2020届北京市西城区高三第一次模拟考试数学试题及答案

绝密★启用前2020届北京市西城区高三第一次模拟考试数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．设集合{|3}{|02}A x x B x x x =<=，或，则A B ⋂=（） A ．()0-∞，B ．()23，C ．()()023-∞⋃，， D ．()3-∞， 答案：C直接求交集得到答案. 解：集合{|3}{|02}A x x B x x x =<=，或，则()()023A B ⋂=-∞⋃，，. 故选：C . 点评：本题考查了交集运算，属于简单题. 2．若复数()()31z i i =-+，则z =（）A ．B ．CD ．20答案：B 化简得到()()3142z i i i =-+=+，再计算模长得到答案.解：()()3142z i i i =-+=+，故z =故选：B . 点评：本题考查了复数的运算，复数的模，意在考查学生的计算能力. 3．下列函数中，值域为R 且为奇函数的是（） A ．2y x =+ B ．y sinx =C ．3y x x =-D ．2xy =答案：C依次判断函数的值域和奇偶性得到答案.A.2y x =+，值域为R ，非奇非偶函数，排除；B.y sinx =，值域为[]1,1-，奇函数，排除；C.3y x x =-，值域为R ，奇函数，满足；D.2xy =，值域为()0,∞+，非奇非偶函数，排除；故选：C . 点评：本题考查了函数的值域和奇偶性，意在考查学生对于函数知识的综合应用. 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31425a a a =+=，，则6S =（） A ．10 B ．9C ．8D ．7答案：B 根据题意3141152223a a a a d a d =+=+=+=，，解得14a =，1d =-，得到答案.解：3141152223a a a a d a d =+=+=+=，，解得14a =，1d =-，故616159S a d =+=.故选：B . 点评：本题考查了等差数列的求和，意在考查学生的计算能力.5．设()()2141A B -，，，，则以线段AB 为直径的圆的方程是（）A ．22(3)2x y -+= B ．22(3)8x y -+= C ．22(3)2x y ++= D ．22(3)8x y ++=答案：A计算AB 的中点坐标为()3,0，圆半径为r =.解：AB 的中点坐标为：()3,0，圆半径为22ABr ===， 圆方程为22(3)2x y -+=. 故选：A .本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力. 6．设a b c ，，为非零实数，且a c b c >>，，则（） A ．a b c +> B ．2ab c >C ．a b2c +> D ．112a b c+> 答案：C取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误，根据不等式性质知C 正确，得到答案. 解：,a c b c >>，故2a b c +>，2a bc +>，故C 正确； 取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误； 故选：C . 点评：本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用. 7．某四棱锥的三视图如图所示，记S 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）A ．2223S S ，且B ．2223S S ，且C ．2223S S ，且D ．2223S S ，且 答案：D如图所示：在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，四棱锥1C ABCD -满足条件，故{}2,2,3S =，得到答案.解：如图所示：在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，四棱锥1C ABCD -满足条件.故{}2,22,23S =，故22S ∈，23S ∈.故选：D .点评：本题考查了三视图，元素和集合的关系，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 8．设,a b 为非零向量，则“a b a b +=+”是“a 与b 共线”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：A根据向量共线的性质依次判断充分性和必要性得到答案. 解：若a b a b +=+，则a 与b 共线，且方向相同，充分性； 当a 与b 共线，方向相反时，a b a b ≠++，故不必要. 故选：A . 点评：本题考查了向量共线，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力. 9．已知函数()sinx12sinxf x =+的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（）①绕着x 轴上一点旋转180︒; ②沿x 轴正方向平移; ③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. A ．①③ B ．③④C ．②③D ．②④答案：D计算得到()()2f x k f x π+=，22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数是周期函数，轴对称图形，故②④正确，根据图像知①③错误，得到答案. 解：()sin 12sin xf x x =+，()()()()sin 2sin 212sin 212sin x k x f x k f x x k x πππ++===+++，k Z ∈， 当沿x 轴正方向平移2,k k Z π∈个单位时，重合，故②正确；co sin 2212co s s s 12in 2x f x xx x πππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-== ⎪+⎛⎫⎝⎭+- ⎪⎝⎭，co sin 2212co s s s 12in 2x f x xx x πππ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+== ⎪+⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭， 故22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数关于2x π=对称，故④正确；根据图像知：①③不正确； 故选：D . 点评：本题考查了根据函数图像判断函数性质，意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用.10．设函数()210100x x x f x lgx x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解A ．(]0101， B ．(]099， C ．(]0100， D ．()0+∞，答案：B画出函数图像，根据图像知：1210x x +=-，341x x =，31110x ≤<，计算得到答案. 解：()21010 lg 0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，，画出函数图像，如图所示：根据图像知：1210x x +=-，34lg lg x x =-，故341x x =，且31110x ≤<. 故()()(]1234330110,99x x x x x x ⎛⎫∈ ⎪⎭-⎝+-=-. 故选：B .点评：本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出图像是解题的关键.11．在61()x x+的展开式中，常数项为________.(用数字作答) 答案：2061()x x+的展开式的通项为6216-+=r r r T C x ，取3r =计算得到答案.解：61()x x +的展开式的通项为：6621661rr r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，取3r =得到常数项3620C =. 故答案为：20. 点评：本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.12．若向量()()221a x b x ==，，，满足3a b ⋅<，则实数x 的取值范围是____________. 答案：()3,1-根据题意计算223a b x x ⋅=+<，解得答案. 解：()()221a x b x ==，，，，故223a b x x ⋅=+<，解得31x -<<.故答案为：()3,1-. 点评：本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算能力.13．设双曲线2221(0)4x y b b -=>的一条渐近线方程为2y x =，则该双曲线的离心率为____________.答案：2根据渐近线得到b =c =.解：2221(0)4x y b b -=>，一条渐近线方程为：2y x =，故b =c =6ce a .点评：本题考查了双曲线的渐近线和离心率，意在考查学生的计算能力.14．函数()24f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为________;若函数()f x 在区间()0α，上单调递增，则α的最大值为________. 答案：π8π直接计算得到答案，根据题意得到2,2444x πππα⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，242ππα+≤，解得答案.解：()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故22T ππ==，当()0,x α∈时，2,2444x πππα⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，故242ππα+≤，解得8πα≤.故答案为：π；8π. 点评：本题考查了三角函数的周期和单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.15．在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中:甲校男生成绩的优秀率为70%，女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试，给出下列三个结论:①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中，所有正确结论的序号是____________. 答案：②③根据局部频率和整体频率的关系，依次判断每个选项得到答案. 解：不能确定甲乙两校的男女比例，故①不正确；因为甲乙两校的男生的优秀率均大于女生成绩的优秀率，故甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率，故②正确；因为不能确定甲乙两校的男女比例，故不能确定甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩故答案为：②③. 点评：本题考查局部频率和整体频率的关系，意在考查学生的理解能力和应用能力. 三、解答题16．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 满足AD ∥BC ，且122 2.AB AD AA BD DC =====，(Ⅰ)求证:AB ⊥平面11ADD A ;(Ⅱ)求直线AB 与平面11B CD 所成角的正弦值. 答案：(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ6(Ⅰ)证明1AA AB ⊥，根据222AB AD BD +=得到AB AD ⊥，得到证明.(Ⅱ)如图所示，分别以1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，平面11B CD 的法向量()1,1,2n =，()2,0,0AB =，计算向量夹角得到答案.解：(Ⅰ)1AA ⊥平面ABCD ，AB平面ABCD ，故1AA AB ⊥.2AB AD ==，22BD =，故222AB AD BD +=，故AB AD ⊥.1AD AA A ⋂=，故AB ⊥平面11ADD A .(Ⅱ)如图所示：分别以1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()12,0,2B ，()2,4,0C ，()10,2,2D .设平面11B CD 的法向量(),,n x y z =，则11100n B C n B D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即420220y z x y -=⎧⎨-+=⎩，故6sin cos ,626n AB n AB n ABθ⋅====⋅.点评：本题考查了线面垂直，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 17．已知ABC 满足 ，且263b A π==，，求sinC 的值及ABC 的面积.（从①4B π=，②3a =32a sinB =这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答.）答案：见解析 选择①时：4B π=,23A π=，计算62sin C -=3a =，计算面积得到答案；选择②时，3a =6b =，故B A >，A 为钝角，故无解；选择③时，32a B =，根据正弦定理解得2sin B 62sin C -=3a =，计算面积得到答案. 解：选择①时：4B π=,23A π=，故()62sin sin sin cos cos sin 4C A B A B A B -=+=+=. 根据正弦定理：sin sin a b A B =，故3a =，故1933sin 24S ab C -==. 选择②时，3a =6b =，故B A >，A 为钝角，故无解.选择③时，32sin a B =，根据正弦定理：sin sin a b A B=，故6sin 332sin B B =， 解得2sin B =，()62sin sin sin cos cos sin 4C A B A B A B -=+=+=. 根据正弦定理：sin sin a b A B =，故3a =，故1933sin 2S ab C -==. 点评：本题考查了三角恒等变换，正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 18．2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数;(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X ，求X 的分布列和数学期望;(Ⅲ)为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000)，并在每组中随机选取m 个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出m 的最小值.(结论不要求证明) 答案：(Ⅰ)5万；(Ⅱ)分布列见解析，()34E X =；(Ⅲ)4 (Ⅰ)根据比例关系直接计算得到答案.(Ⅱ)X 的可能取值为0,1,2，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.(Ⅲ)英语测试成绩在70分以上的概率为101202p ==，故1190%2m⎛⎫<- ⎪⎝⎭，解得答案. 解：(Ⅰ)样本中女生英语成绩在80分以上的有2人，故人数为：250520⨯=万人. (Ⅱ)8名男生中，测试成绩在70分以上的有3人，X 的可能取值为：0,1,2.()25285014C p X C ===，()11532815128C C p X C ===，()23283328C p X C ===.故分布列为：()0121428284E X =⨯+⨯+⨯=. (Ⅲ)英语测试成绩在70分以上的概率为101202p ==，故1190%2m⎛⎫<- ⎪⎝⎭，故4m ≥. 故m 的最小值为4. 点评：本题考查了样本估计总体，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 19．设函数()()22f x alnx x a x =+-+，其中.a R ∈(Ⅰ)若曲线()y f x =在点()()22f ，处切线的倾斜角为4π，求a 的值; (Ⅱ)已知导函数()'f x 在区间()1e ，上存在零点，证明:当()1x e ∈，时，()2f x e >-. 答案：(Ⅰ)2a =；(Ⅱ)证明见解析 (Ⅰ)求导得到()()'22a f x x a x =+-+，()'ta 12n 4f π==，解得答案. (Ⅱ)()()()12'0x x a f x x--==，故02a x=，()f x 在()01,x 上单调递减，在()0,x e 上单调递增，()20000min 2ln 2f x x x x x =--，设()22ln 2g x x x x x =--，证明函数单调递减，故()()2min g x g e e >=-，得到证明.解：(Ⅰ)()()2ln 2f x a x x a x =+-+，故()()'22af x x a x=+-+， ()()'42tan 1242a f a π=+-+==，故2a =.(Ⅱ)()()()()12'220x x a af x x a x x--=+-+==，即()22,a x e =∈，存在唯一零点， 设零点为0x ，故()()000'220af x x a x =+-+=，即02a x =， ()f x 在()01,x 上单调递减，在()0,x e 上单调递增，故()()()()0220000i 0000m n ln 22ln 22a x x a x x x f x f x x x x +-+=+-+==200002ln 2x x x x =--，设()22ln 2g x x x x x =--，则()'2ln 2g x x x =-，设()()'2ln 2h x g x x x ==-，则()2'20h x x=-<，()h x 单调递减， ()()1'12h g ==-，故()'2ln 20g x x x =-<恒成立，故()g x 单调递减. ()()2min g x g e e >=-，故当()1x e ∈，时，()2f x e >-.点评：本题考查了函数的切线问题，利用导数证明不等式，转化为函数的最值是解题的关键.20．设椭圆22:12x E y +=，直线1l 经过点()0M m ，，直线2l 经过点()0N n ，，直线1l 直线2l ，且直线12l l ，分别与椭圆E 相交于A B ，两点和C D ，两点.(Ⅰ)若M N ，分别为椭圆E 的左、右焦点，且直线1l x ⊥轴，求四边形ABCD 的面积; (Ⅱ)若直线1l 的斜率存在且不为0，四边形ABCD 为平行四边形，求证:0m n +=; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，判断四边形ABCD 能否为矩形，说明理由. 答案：(Ⅰ)(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)不能，证明见解析(Ⅰ)计算得到故1,2A ⎛- ⎝⎭，1,2B ⎛-- ⎝⎭，1,2C ⎛ ⎝⎭，1,2D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，计算得到面积. (Ⅱ)设1l 为()y k x m =-，联立方程得到2122221224212221k mx x k k m x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，计算AB =，同理CD =根据AB CD =得到22m n =，得到证明.(Ⅲ)设AB 中点为(),P a b ，根据点差法得到20a kb +=，同理20c kd +=，故112PQ k k k=-≠-，得到结论. 解：(Ⅰ)()1,0M -，()1,0N，故A ⎛- ⎝⎭，1,2B ⎛-- ⎝⎭，C ⎛⎝⎭，1,D ⎛ ⎝⎭. 故四边形ABCD的面积为S =(Ⅱ)设1l 为()y k x m =-，则()2212x y y k x m ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，故()22222214220k x k mx m k +-+-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，故2122221224212221k m x x k k m x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，12AB x =-==同理可得CD =，AB CD ==， 即22m n =，m n ≠，故0m n +=.(Ⅲ)设AB 中点为(),P a b ，则221112x y +=，222212x y +=，相减得到()()()()1212121202x x x x y y y y +-++-=，即20a kb +=，同理可得：CD 的中点(),Q c d ，满足20c kd +=， 故11222PQ d b d b k c a kd kb k k--===-≠---+，故四边形ABCD 不能为矩形. 点评：本题考查了椭圆内四边形的面积，形状，根据四边形形状求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21．对于正整数n ，如果()*k k N∈个整数12ka a a ⋯，，，满足121k a a a n ≤≤≤⋯≤≤，且12k a a a n ++⋯+=，则称数组()12k a a a ⋯，，，为n 的一个“正整数分拆”.记12k a a a ⋯，，，均为偶数的“正整数分拆”的个数为12n k f a a a ⋯，，，，均为奇数的“正整数分拆”的个数为n g . (Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;(Ⅱ)对于给定的整数()4n n ≥，设()12k a a a ⋯，，，是n 的一个“正整数分拆”，且12a =，求k 的最大值;(Ⅲ)对所有的正整数n ，证明:n n f g ≤;并求出使得等号成立的n 的值.(注:对于n 的两个“正整数分拆”()12k a a a ⋯，，，与()12m b b b ⋯，，，，当且仅当k m =且1122k m a b a b a b ==⋯=，，，时，称这两个“正整数分拆”是相同的.)答案：(Ⅰ)()1,1,1,1，()1,1,2，()1,3，()2,2，()4；(Ⅱ)n 为偶数时，2n k =，n 为奇数时，12n k -=；(Ⅲ)证明见解析，2n =，4n = (Ⅰ)根据题意直接写出答案. (Ⅱ)讨论当n 为偶数时，k 最大为2n k =，当n 为奇数时，k 最大为12n k -=，得到答案.(Ⅲ)讨论当n 为奇数时，0n f =，至少存在一个全为1的拆分，故n n f g <，当n 为偶数时， 根据对应关系得到n n f g ≤，再计算221f g ==，442f g ==，得到答案. 解：(Ⅰ)整数4的所有“正整数分拆”为：()1,1,1,1，()1,1,2，()1,3，()2,2，()4.(Ⅱ)当n 为偶数时，123...2k a a a a =====时，k 最大为2n k =； 当n 为奇数时，1231...2,3k k a a a a a -======时，k 最大为12n k -=；综上所述：n 为偶数，k 最大为2n k =，n 为奇数时，k 最大为12n k -=.(Ⅲ)当n 为奇数时，0n f =，至少存在一个全为1的拆分，故n n f g <； 当n 为偶数时，设()12,,...,k a a a 是每个数均为偶数的“正整数分拆”，则它至少对应了()1,1,...,1和()121,1,...,1,1,...,1k a a a ---的均为奇数的“正整数分拆”， 故n n f g ≤.综上所述：n n f g ≤.当2n =时，偶数“正整数分拆”为()2，奇数“正整数分拆”为()1,1，221f g ==； 当4n =时，偶数“正整数分拆”为()2,2，()4，奇数“正整数分拆”为()1,1,1,1，()1,3 故442f g ==；当6n ≥时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为1的奇数拆分外，至少多出一项各项均为1的“正整数分拆”，故n n f g <.综上所述：使n n f g =成立的n 为：2n =或4n =. 点评：本土考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。