福建省2021届高三数学毕业班第一次综合质量检测试题理

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2021年高三数学上学期第一次(10月)检测试题理

2021年高三数学上学期第一次（10月）检测试题理本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页。

满分150分，考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷以及答题卡和答题纸一并交回。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在试卷、答题卡和答题纸规定的地方。

第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分1. 已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有() A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个2. 已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是( )A ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3B ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2<3C ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2≥3D ．若a 2＋b 2＋c 2≥3，则a ＋b ＋c ＝33. 函数f (x )＝的定义域是( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)4. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f(1)＝0，则实数a 的值等于( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．35. 设 554a log 4b log c log ===25，（3），，则（）A ． B.C. D ．6. 若函数是偶函数，则（）A ． B. C. D ．7. 求曲线与所围成图形的面积，其中正确的是（）A ． B.C. D.8. 将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,则所得图象的函数解析式是( )A ．B ．C. D.9. 设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝，则＝( )A ．－12B ．－14 C. 14 D. 1210.函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点，则f (x )的极大值、极小值分别为( )A. 0， B ．，0 C ．－，0 D ．0，－第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分11 . 函数的最小值是_____12. “x ＝3”是“x 2＝9”的______条件13. 当函数取得最大值时，______14. 在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝3f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x 2－2x ，则当x ∈[－4，－2]时，f (x )的最小值是_______15. 已知：命题p ：函数y ＝log 0.5(x 2＋2x ＋a )的值域为R.；命题q ：函数y ＝－(5－2a )x 是R 上的减函数．若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共75分16．（本小题满分12分）设是R 上的偶函数．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）证明f （x ）在（0，+∞）上是增函数．17．（本小题满分12分）设函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，a >0.（Ⅰ）求f (x )的单调区间；（Ⅱ）求所有的实数a ，使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立．注：e 为自然对数的底数．18. （本小题满分12分）设的周期，最大值，（Ⅰ）求、、的值；（Ⅱ）若为方程=0的两根，终边不共线，求的值19. （本小题满分12分）设函数（其中），且的图象在轴右侧的第一个最高点的横坐标为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）如果在区间上的最小值为，求的值.20. （本小题满分13分）已知函数f (x )＝(x －k )e x .（Ⅰ）求f (x )的单调区间；（Ⅱ）求f (x )在区间[0,1]上的最小值．21. （本小题满分14分）已知函数)0()23()(23>+--++=a d x b a c bx ax x f的图像如右。

福州市2021届高三3月质量检查数学试题+答案

2021年3月福州市高中毕业班质量检测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{1,2,3,4,5}A =，{21,}B x x k k A ==+∈∣，则A B ⋂= A. {1,3} B. {2,4} C. {3,5} D.{1,3,5}2.设复数(,)z a bi a b =+∈∈Z Z ，则满足|1|1z -的复数z 有 A. 7个 B. 5个 C. 4个 D. 3个3.“5m ”是“2450m m --”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 4.若抛物线2y mx =上一点(,2)t 到其焦点的距离等于，则 A. 14m =B. 12m = C. 2m = D. 4m = 5.已知函数()ln f x x =，则函数1()1y f x=-的图象大致为A B C D6.在ABC △中，E 为AB 边的中点，D 为AC 边上的点，BD ，CE 交于点F .若3177AF AB AC =+，则 AC AD的值为A. 2B. 3C. 4D. 57.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学.如图，有一列曲线P 0，P 1，…，P n ，….已知P 0是边长为1的等边三角形，P k +1是对P k 进行如下操作而得到：将P k 的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉(0,1,2,)k =..记P n 的周长为L n 、所围成的面积为S n .对于n N ∀∈，下列结论正确的是P 0 P 1 P 2 … P n … A. n n S L ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列 B. n n S L ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列 C. 0M ∃>，使n L M <D. 0M ∃>，使n S M < 8. 已知函数()2sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的图象过点(0,1)，在区间,123ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为单调函数，把()f x 的图象向右平移π个单位长度后与原来的图象重合.设125,,26x x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且12x x ≠，若()()12f x f x =，则()12f x x +的值为 A. 3- B. 1-C. 1D.3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. “一粥一饭，当思来之不易”，道理虽简单，但每年我国还是有2000多亿元的餐桌浪费，被倒掉的食物相当于2亿多人一年的口粮.为营造“节约光荣，浪费可耻”的氛围，某市发起了“光盘行动”.某机构为调研民众对“光盘行动”的认可情况，在某大型餐厅中随机调查了90位来店就餐的客人，制成如右所示的列联表，通过计算得到K 2的观测值为已知()2 6.6350.010P K =，()210.8280.001P K =，则下列判断正确的是 A.在该餐厅用餐的客人中大约有66.7%的客人认可“光盘行动” B.在该餐厅用餐的客人中大约有99%的客人认可“光盘行动” C.有99%的把握认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关D.在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关10.如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB ∥平面MNP 的是A B C D11.已知P 是双曲线22:145x y E -=在第一象限上一点，F 1，F 2分别是E 的左、右焦点，12PF F △的面积为152.则以下结论正确的是 A.点P 的横坐标为52B.1232F PF ππ<∠<C. 12PF F △的内切圆半径为1D. F PF ∠平分线所在的直线方程为3240x y --=12. 在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数.最基本的双曲函数是双曲正弦函数sinh 2x xe e x --=和双曲余弦函数cosh 2x xe e x -+=等.双曲函数在物理及生活中有着某些重要的应用，譬如达·芬奇苦苦思索的悬链线（例如固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线即为悬链线）问题，可以用双曲余弦型函数来刻画.则下列结论正确的是 A. 22cosh sinh 1x x +=B. cosh y x =为偶函数，且存在最小值C. 00x ∀>，()00sinh sinh sinh x x >D. 12,x x R ∀∈，且12x x ≠，1212sinh sinh 1x x x x ->-第II 卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13.设x ，y 满足约束条件40,260, 0,x y x y y +-⎧⎪+-⎨⎪⎩则2x y -的取值范围为 .14. 5x ⎛⎝的展开式中，1x 的系数为 . 15.在三棱锥P ABC -中，侧面P AC 与底面ABC 垂直，90BAC ∠=︒，30PCA ∠=︒，3AB =，2PA =.则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为 .16.已知圆C 的方程为22(2)(1)4x y -+-=，过点(2,0)M 的直线与圆C 交于P ，Q 两点（点Q 在第四象限）.若2QMO QPO ∠=∠，则点P 的纵坐标为 .四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）在①21n n S a =+；②11a =-，()21log 21n n a a n +=-；③212n n n a a a ++=，23S =-，34a =-这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并解答.问题：已知单调数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足 . （1）求{}n a 的通项公式；18.（本小题满分12分）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos cos a b c B b C +=-. （1）求角C 的大小；（2）设CD 是ABC △的角平分线，求证：111CA CB CD+=. 19.（本小题满分12分）如图，在三棱台111ABC A B C -中，11111AA AC CC ===，2AC =，1A C AB ⊥. （1）求证：平面11ACC A ⊥11ABB A ；（2）若90BAC ∠=︒，1AB =，求二面角1A BB C --的正弦值.20.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0) x y E a b a b+=>>的左、右顶点分别为1(A ，2A ，上、下顶点分别为B 1，B 2，四边形1221A B A B 的周长为（1）求E 的方程；（2）设P 为E 上异于A 1，A 2，的动点，直线A 1P 与y 轴交于点C ，过A 1作12A D PA ∥，交y 轴于点D .试探究在x 轴上是否存在一定点Q ，使得3QC QD ⋅=，若存在，求出点Q 坐标；若不存在，说明理由. 21. （本小题满分12分）从2021年1月1日起某商业银行推出四种存款产品，包括协定存款、七天通知存款、结构性存款及大额存单.协定存款年利率为1.68%，有效期一年，服务期间客户帐户余额须不少于50万元，多出的资金可随时支取；七天通知存款年利率为1.8%，存期须超过7天，支取需要提前七天建立通知；结构性存款存期一年，年利率为3.6%；大额存单，年利率为3.84%，起点金额1000万元.（注：月利率为年利率的十二分之一）已知某公司现有2020年底结余资金1050万元.（1）若该公司有5个股东，他们将通过投票的方式确定投资一种存款产品，每个股东只能选择一种产品且不能弃权，求恰有3个股东选择同一种产品的概率；万元作为公司的日常开销.将余下500万元中的x 万元作七天通知存款，准备投资高新项目，剩余(500)x -万元作结构性存款.①求2021年全年该公司从协定存款中所得的利息；②假设该公司于2021年7月1日将七天通知存款全部取出，本金x 万元用于投资高新项目，据专业机构评估，该笔投资到2021年底将有60%的概率获得320.020.13530000x x x -++万元的收益，有20%的概率亏损0.27x 万元，有20%的概率保本.问：x 为何值时，该公司2021年存款利息和投资高新项目所得的总收益的期望最大，并求最大值.22.（本小题满分12分）已知2()e 1xf x x =-.（1）判断()f x 的零点个数，并说明理由；（2）若()(2ln )f x a x x +，求实数a 的取值范围.2021年3月福州市高中毕业班质量检测数学参考答案及评分细则一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. C 2.B 3.B 4.A 5. D 6.C 7.D 8.C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 9. AC 10.ABD 11.BCD 12.BCD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.[2,4]- 14. 5 15. 25π 16.12四、解答题：本大题共6小题，共70分. 17.（本小题满分10分）【命题意图】本小题主要考查等比数列、n a 与n S 的关系、数列求和等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想；考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性.满分10分. 【解答】（1）选①，即21n n S a =+（i ）则当1n =时，1121S a =+，11a =-；（i ）（ii ）两式相减得12n n a a -=，所以{}n a 为等比数列，其中公比为2，首项为1-.所以12n n a -=-.选②，即11a =-，()21log 21n n a a n +=- 所以当2n 时，()()2121log log 2n n n n a a a a +--= 即114n n a a +-=，所以{}*21()k a k -∈N 为等比数列，其中首项为11a =-，公比为4，所以1(21)121142k k k a ----=-⨯=-.由11a =-，()212log 1a a =，得22a =-，同理可得，121*2 24)2(k k k a k --=-⨯=-∈N . 综上，12n n a -=-选③，即212n n n a a a ++=，23S =-，34a =-.所以{}n a 为等比数列，设其公比为q ，则121(1)3,4,a q a q +=-⎧⎨=-⎩解得11,2,a q =-⎧⎨=⎩或19,2,3a q =-⎧⎪⎨=-⎪⎩又因为{}n a 为单调数列，所以0q >，故11,2,a q =-⎧⎨=⎩所以12n n a -=-.（2）由（1）知，12n n na n --=⋅，所以22112232(1)22,n n n T n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅2212222(2)2(1)22n n n n T n n n --=+⨯++-⋅+-⋅+⋅，两式相减得221122222n n n n T n ---=+++++-⋅()212n n n =--⋅18.（本小题满分12分）【命题意图】本小题主要考查解三角形等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查函数与方程思想、数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性.满分12分. 【解答】解法一：（1）因为cos cos a b c B b C +=-，由正弦定理得sin sin sin cos sin cos A B C B B C +=-，因为sin()sin()sin B C A A π+=-=，所以sin()sin sin cos sin cos B C B C B B C ++=-，所以2sin cos sin 0B C B +=，因为(0,)B π∈，所以sin 0B ≠，所以1cos 2C =-又(0,)C π∈，所以23C π=（2）因为CD 是ABC △的角平分线，且23C π=，所以3ACD BCD π∠=∠=.在ABC △中，ABC ACD BCD S S S =+△△△，则由面积公式得1211sin sin sin 232323CA CB CA CD CD CB πππ⋅=⋅+⋅，即CA CB CA CD CD CB ⋅=⋅+⋅. 两边同时除以CA CB CD ⋅⋅得111CA CB CD+=.解法二：（1）因为cos cos a b c B b C +=-，222222a cb a bc +-+-整理得222()22a a b c b +=-，即2220a b c ab +-+=，所以(12cos )0ab C +=，所以1cos 2C =-，又(0,)C π∈，所以23C π=. （2）因为CD 是ABC △的角平分线，且23C π=，所以3ACD BCD π∠=∠=.在ABC △中，由正弦定理得2sin sin sin 3CA CB ABB A π==，即sin sin sin sin 33CA CB AD DB B A ππ==+. 同理在CAD △和CBD △中，得sin sin 3CD AD A π=，sin sin 3CD DBB π=，所以sin sin sin CA CD CD B A B =+，即sin sin CA CD CD B A-=，故CA CD CD CA CB -=，即1CD CDCB CA =+，故111CA CB CD+=.力、运算求解能力与空间想象能力；考查数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性.满分12分.【解答】（1）依题意，四边形11ACC A 为等腰梯形，过1A ，1C 分别引AC 的垂线，垂足分别为D ，E ，则()1111111(21)2222AD AC AC AA =-=⨯-==，故160A AC ∠=︒. 在1ACA △中，22222111112cos 1221232AC A A AC A A AC A AC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，所以22211A C A A AC +=，故190AAC ∠=︒，即11A C AA ⊥. 因为1A C AB ⊥，1AB AA A ⋂=，且AB ，1AA ⊂平面11ABB A ，所以111 AC ABB A ⊥平面，因为111 AC ACC A ⊂平面，所以1111ACC A ABB A ⊥平面平面平面.（2）因为AB AC ⊥，1A C AB ⊥，1AC AC C ⋂=，且AC ，11AC ACC A ⊂平面，所以11 AB ACC A ⊥平面，结合（1）可知AB ，AC ，A 1D 三条直线两两垂直. 以A 为原点，分别以1,,AB AC DA 的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A-xyz ，如图所示，则各点坐标为(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(0,2,0)C ，110,2A ⎛ ⎝⎭，130,2C ⎛ ⎝⎭.由（1）知，30,,1)n AC ⎛==-=-为平面ABB A 的法向量.(1,2,0)BC =-，110,,22C C ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设2(,,)n x y z =为平面11BCC B 的法向量，则221,,n BC n C C ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩故22120,10,2n BC x y n C C y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩取2(23,n =，所以121212311cos ,244n n n nn n ⋅-===⨯ 设二面角1A BB C --的大小为θ，则sin θ==. 20.（本小题满分12分）【命题意图】本小题主要考查直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性与创新性.满分12分.【解答】解法一：（1）依题意，a =由椭圆的对称性可知，四边形1221A B A B 为菱形，其周长为=.所以1b =所以E 的方程为2212x y +=. （2）设()00,P xy ，则220022y x =-，直线1AP的方程为y x =，故C⎛⎫⎝，由12A D PA ∥知1A D的方程为y x =，故D⎛⎫⎝，假设存在(,0)Q t，使得3QC QD ⋅=，则QC QD t t ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅- ⎝⎝2202022y t x =+- 2202022x t x -=+-21t =-3=.解得2t =±.所以当Q 的坐标为(2,0)±时，3QC QD ⋅=解法二（1）同解法一.（2）当点P 与点B 1重合时，C 点即1(0,1)B ，而点D 即2(0,1)B -，假设存在(,0)Q t ，使得3QC QD ⋅=，则(,1)(,1)3t t -⋅--=，即213t -=，解得2t =±.以下证明当Q 为(2,0)±时，3QC QD ⋅=设()00,P x y ，则220022y x =-，直线A 1P的方程为y x =+，故C ⎛⎫ ⎝. 由12A D PA ∥知A 1D的方程为 y x =+，故D ⎛⎫ ⎝，所以QC QD t t ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅- ⎝⎝ 2202022y t x =+- 2020242x x -=+- 41=-3=.说明：Q 只求出(2,0)或(2,0)-，不扣分.21.（本小题满分12分）【命题意图】本小题主要考查古典概型、概率分布列、等差数列、导数等基础知识；考查数据处理能力、推理论证能力、运算求解能力与创新意识；考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、必然与或然思想；考查数学建模、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现综合性、应用性与创新性.满分12分.【解答】（1）设恰好有3个股东同时选择同一款理财产品的事件为A ，由题意知，5个股东共有45种选择，而恰好有3个股东同时选择同一款理财产品的可能情况为()323544C A A ⋅+种，所以()323544545()4128C A A P A ⋅+==.（2）①2021年全年该公司从协定存款中所得的利息为： 0.0168[(55050045010050)50]12++++++⨯ 5505011500.0014 4.692+⎡⎤=⨯+⨯=⎢⎥⎣⎦（万元）. ②由条件，高新项目投资可得收益频率分布表投资收益 t 320.020.13530000x x x -++ 0 0.27x - P 0.6 0.2 0.2所以，高新项目投资所得收益的期望为：3232()0.020.1350.600.20.20.270.000020.0120.02730000x E t x x x x x x ⎛⎫=-++⨯+⨯-⨯=-++ ⎪⎝⎭所以，存款利息和投资高新项目所得的总收益的期望为： 326()0.000020.0120.0270.036(500)0.018 4.6912L x x x x x x =-+++⨯-+⨯+ 320.000020.01222.69(0500)x x x =-++. ()2 '()0.00006400L x x x =--令'()0L x =，得400x =，或0x =.由'()0L x >，得0400x <<；由'()0L x <，得400500x <<.由条件可知，当400x =时，()L x 取得最大值为：(400)662.69L =（万元）.所以当400x =时，该公司2021年存款利息和投资高新项目所得的总收益的期望取得最大值662.69万元.22.（本小题满分12分）【解答】解法一：（1）依题意，'()(2)e xf x x x =+，则当(,2)(0,)x ∈-∞-⋃+∞时，'()0f x >；当(2,0)x ∈-时，)'(0f x <所以()f x 在区间(,2),(0,)-∞-+∞上单调递增，在区间(2,0)-上单调递减. 因为24(2)10ef -=-<，(1)e 10f =-> 所以()f x 有且只有1个零点.（2）令2()e (2ln )1xF x x a x x =-+-，则()2(2)e (2)'()(2)e (0)x x x x a a x F x x x x x x+-+=+-=>. ①若0a ，则'()0F x >，()F x 为增函数，111112ln 1ln 402222F a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=---< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，不合题意； ②若0a >，令2()e (0)x h x x x =>，易知()h x 单调递增，且值域为(0,)+∞，则存在00x >，使得020e x x a =，即002ln ln x x a +=.当()00,x x ∈时，'()0F x <，()F x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，'()0F x >，()F x 单调递增.()()02min 0000()e 2ln 1ln 1x F x F x x a x x a a a ==-+-=--，令()ln 1a a a a ϕ=--，'()ln a a ϕ=-，当01a <<时，'()ln 0a a ϕ=->；当1a >时，'()ln 0a a ϕ=-<；所以()(1)0a ϕϕ=，由()0F x 得()0a ϕ，所以1a =.综上，a 的取值范围是{1}.解法二：（1）同解法一.（2）令2e xt x =，当0x >时，0t >，则ln 2ln t x x =+，故()(2ln )1ln f x a x x t a t +⇔-. 令()1ln F t t a t =--，则'()1a t a F t t t-=-=， ①若0a ，则'()0F t >，()F x 为增函数，又(1)0F =，故当01t <<时，()0F t <，不合题意. ②若0a >，则当(0,)t a ∈时，'()0F t <；当(,)t a ∈+∞时，'()0F t >；所以()F t 在区间(0,)a 上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增，因为(1)0F =，所以若1a >，则当(1,)t a ∈时()0F t <，不合题意；若01a <<，则当(,1)t a ∈时()0F t <，不合题意；若1a =，则()(1)0F t F =，符合题意. 综上，a 的取值范围是{1}.。

高三数学下学期毕业班联考试卷一理含解析试题

十二重点中学2021届高三下学期毕业班联考〔一〕创作人：历恰面日期：2020年1月1日数学〔理〕试题本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部.一共150分.考试时间是是120分钟．第一卷选择题 (一共40分)考前须知：1．答第一卷前，所有考生必须将本人的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定的位置上．2．第一卷每一小题在选出答案以后，需要用2B铅笔把答题卡上对应之答案标号涂黑；参考公式：·假如事件、互斥，那么柱体的体积公式. 其中表示柱体的底面积,表示柱体的高.一、选择题：本大题一一共8小题，每一小题5分，满分是40分．1.集合等于〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出中的范围确定出，求出中的范围确定出，找出与的交集即可．【详解】由，得到，，由中，得到，即，那么，，应选：【点睛】此题考察了交集及其运算，纯熟掌握交集的定义是解此题的关键．2.设变量满足约束条件，那么目的函数的最大值为〔〕A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先作出不等式对应的可行域，再利用数形结合分析得到目的函数的最大值.【详解】作出不等式组的可行域如下图，由题得目的函数为，直线的斜率为纵截距为，当目的函数经过点A()时，纵截距最小，z最大.所以.故答案为：B【点睛】此题主要考察线性规划求最值，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和数形结合分析推理才能.3.以下三个命题：①命题：，那么：；②命题：，命题：，那么是成立的充分不必要条件；③在等比数列中，假设，，那么；其中真命题的个数为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】对每一个命题逐一判断分析得解.【详解】①命题：，那么：，所以该命题是假命题；②命题：0≤x≤1，命题：x＜1，那么是成立的非充分非必要条件，所以该命题是假命题；③在等比数列中，假设，，那么，但是等比数列的奇数项都是同号的，所以要舍去-4,所以.所以该命题是假命题.应选:A【点睛】此题主要考察全称命题的否认，考察充要条件的判断，考察等比数列的计算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.4.如图是一个算法流程图，那么输出的的值是( )A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】分析程序中的变量，语句的作用，根据流程图的顺序，即可得出答案.【详解】由题意提供的算法流程图中的算法程序可知当S=1，k=1时，S=2<10，k=2；当S=2，k=2时，S=6<10，k=3；当S=6，k=3时，S=15>10，此时运算程序完毕，输出k=3应选B.【点睛】此题主要考察了程序框图，属于简单题.5.将函数的图象向左平移的单位后，得到函数的图象，那么等于〔〕A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将函数的图象向左平移的单位后，得到函数,所以，解之即得解.【详解】将函数的图象向左平移的单位后，得到函数,所以，因为，所以k=0时，.应选：D【点睛】此题主要考察三角函数图像的变换和三角函数的图像和性质，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.6.,,,那么实数的大小关系为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化简得到b=2,再分析得到a<c,再证明c<2，即得解.【详解】由题得=2，因为，，所以.应选：C【点睛】此题主要考察对数函数指数函数幂函数的图像和性质，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.7.双曲线，过原点的直线与双曲线交于两点，以为直径的圆恰好过双曲线的右焦点C，假设的面积为，那么双曲线的渐近线方程为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据以为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点，得到以为直径的圆的方程为，根据三角形的面积求出的坐标，代入双曲线方程进展整理即可得解．【详解】以为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点，以为直径的圆的方程为，由对称性知的面积，即，即点的纵坐标为，那么由，得，因为点在双曲线上，那么，即，即，即，即，即，得，即，得，得，.那么双曲线的渐近线方程为.应选：B【点睛】此题主要考察双曲线的几何性质，考察圆的方程，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理计算才能.8.函数，，那么方程的实根个数最多为〔〕A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C【解析】【分析】先求出函数g(x)的值域，再令g(x)=t换元得到f(t)=a,作出函数f(x)的图像，数形结合观查分析得到方程的实根个数最多为8.【详解】由题得函数的值域为，设g〔x〕=t(),作出函数f(x)的图像为：所以f(t)=a,当1≤a≤2时，直线和图像交点个数最多，有四个交点，也就是t有四个实根.且一个t≤-1，有三个t＞1.因为函数在〔0,1〕〔-1,0〕单调递减，在〔1，+∞〕，〔-∞，-1〕单调递增.所以g(x)=t, 当t在每取一个t值时，x都有两个值和它对应，因为t 最多有4个根，所以x最多有8个解.应选:C【点睛】此题主要考察函数的图像和性质的综合应用，考察利用函数的图像研究零点问题，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和数形结合分析推理才能.第二卷非选择题 (一共110分)二、填空题：本大题一一共6小题，每一小题5分，一共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上.9.假设，且，那么__________．【答案】6【分析】先化简得，解方程即得a,b的值，即得解.【详解】由题得〔a+bi〕(1-2i)=8-i,化简得a+2b+(b-2a)i=8-i ,即.故答案为：6【点睛】此题主要考察复数的运算和复数相等的概念，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.10.，那么的二项展开式中，的系数为__________．【答案】80【解析】【分析】由题得a=2,再利用二项式展开式的通项求出的系数.【详解】由题得，所以=，设二项式展开式的通项为，令所以的系数为.故答案为：80【点睛】此题主要考察定积分的计算和二项式展开式的某一项的系数的求法，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理计算才能.11.圆柱的高和底面半径均为2，那么该圆柱的外接球的外表积为_____________．【答案】【分析】设球的半径为r,由题得，再求圆柱外接球的外表积.【详解】设球的半径为r,由题得故答案为：【点睛】此题主要考察圆柱外接球外表积的计算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.12.直线：〔为参数〕，圆：〔极轴与x轴的非负半轴重合，且单位长度一样〕，假设圆上恰有三个点到直线的间隔为，那么实数__________．【答案】【解析】【分析】先求出直线的普通方程为2x+ay-a=0,再求出圆的方程为，根据得到方程，解方程即得a的值.【详解】由题得直线的方程为2x+ay-a=0,圆的方程为，因为圆上恰有三个点到直线的间隔为，所以，解之即得a=.故答案为：【点睛】此题主要考察参数方程、极坐标与直角坐标的互化，考察直线和圆的位置关系，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.13.，，是与的等比中项，那么的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】先由得到x+2y=1,再对化简变形，再利用根本不等式求其最小值.【详解】由题得.所以=.当且仅当时取等.所以的最小值为.故答案为：【点睛】此题主要考察根本不等式求最值，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.14.在等腰梯形中，下底长为4，底角为，高为，为折线段上的动点，设的最小值为，假设关于的方程有两个不相等的实根，那么实数的取值范围为__________．【答案】【解析】【分析】建立直角坐标系，其中A(0,0),B(4,0),C(4-m,m),D(m,m),先对Q的位置分类讨论得到，根据得到有两个不相等的实根，再利用导数和数形结合求得k的取值范围.【详解】建立坐标系，其中A(0,0),B(4,0),C(4-m,m),D(m,m),所以,所以点E(2，m),且0＜m＜2，又动点Q为折线上B-C-D上的点，①Q在CD上时，，②Q在BC上时，，因为0＜m＜2，所以.因为，所以，构造函数，函数在单调递减，在单调递增.所以，即k∈.故答案为：【点睛】此题主要考察平面向量的坐标运算和数量积，考察导数求函数的单调性，考察导数研究函数的零点问题，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.三、解答题：本大题6小题，一共80分．解容许写出必要的文字说明，证明过程或者演算步骤．15.在中，内角所对的边分别为，.〔Ⅰ〕求角的大小；〔Ⅱ〕假设的面积，且，求.【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕.【解析】【分析】〔Ⅰ〕利用余弦定理正弦定理对化简即得. 〔Ⅱ〕先化简得到,再利用余弦定理求得，再求b+c的值.【详解】〔Ⅰ〕，，由正弦定理得，即，，,.〔Ⅱ〕,,,,, 即.【点睛】此题主要考察正弦定理余弦定理解三角形，考察三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.16.“绿水青山就是金山银山〞，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组，讨论学习。

福建省七地市2024届高三上学期第一次质量检测数学含答案解析

厦门市2024届高中毕业班第一次质量检测数学试题2024．1准考证号__________姓名__________（在此卷上答题无效）本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码．2．作答选择题时，用2B 铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑．3．非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液．4．考试结束后，考生上交答题卡．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 1z z ⋅=+（i 为虚数单位），则||z =（） A.12B.22C.1D.2.设集合{}22M x x =-≤≤，{}21xN y y ==+，则M N ⋃=（）A.[2,)-+∞ B.(1,2]C.[1,2]D.(1,)+∞3.已知直线l 与曲线3y x x =-在原点处相切，则l 的倾斜角为（）A.π6B.π4 C.3π4 D.5π64.已知a ，b 为单位向量，若||||a b a b +=- ，则a b + 与a b - 的夹角为（）A.π3B.π2C.2π3D.3π45.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()21f x x x =-+，则(2)(0)f f +=（）A.2B.1C.8- D.9-6.已知1a x x=+，e e x x b -=+，sin c x x =，则下列结论错误的为（）A.[1,1]x ∃∈-，a c> B.[1,1]x ∃∈-，b c>C.[1,1]x ∃∈-，a c <D.[1,1]x ∃∈-，b c<7.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图所示的1，5，12，22被称为五边形数，将所有的五边形数从小到大依次排列，则其第8个数为（）151222A.51B.70C.92D.1178.已知函数()f x 的定义域为R ，x ∀，y ∈R ，(1)(1)()()f x f y f x y f x y ++=+--，若(0)0f ≠，则(2024)f =（）A.2- B.4- C.2D.4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知函数π()2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为π2B.()f x 的图象关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称C.()f x 在区间π0,3⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增D.若()f x 的图象关于直线0x x =对称，则01sin 22x =10.已知甲、乙两组数据分别为：20，21，22，23，24，25和a ，23，24，25，26，27，若乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大3，则（）A.甲组数据的第70百分位数为23B.甲、乙两组数据的极差相同C.乙组数据的中位数为24.5D.甲、乙两组数据的方差相同11.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 交于A ，B 两点，若122F F =，且2ABF △的周长为8，则（）A.2a = B.C 的离心率为14C.||AB 可以为πD.2BAF ∠可以为直角12.如图所示，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，ABF △和DCE △均是等边三角形，且AB =(0)EF x x =>，则（）A.//EF 平面ABCDB.二面角A EF B --随着x 的减小而减小C.当2BC =时，五面体ABCDEF 的体积(x)V 最大值为272D.当32BC =时，存在x 使得半径为32的球能内含于五面体ABCDEF 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若π3sin 45α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则πcos 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________．14.《九章算术》、《数书九章》、《周髀算经》是中国古代数学著作，甲、乙、丙三名同学计划每人从中选择一种来阅读，若三人选择的书不全相同，则不同的选法有_________种．15.已知平面α的一个法向量为(1,0,1)n = ，且点(1,2,3)A 在α内，则点(1,1,1)B 到α的距离为_________．16.设ABC 是面积为1的等腰直角三角形，D 是斜边AB 的中点，点P 在ABC 所在的平面内，记PCD与PAB 的面积分别为1S ，2S ，且121S S -=．当||PB =||||PA PB >时，||PA =_________；记PA PB a -=，则实数a 的取值范围为_________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos cos 2a B ab A c +=．（1）求a ；（2）若2π3A =，且ABC 的周长为2+，求ABC 的面积．18.如图，在四棱锥E ABCD -中，//AD BC ，22AD BC ==，AB =，AB AD ⊥，EA ⊥平面ABCD ，过点B 作平面BD α⊥．（1）证明：平面//α平面EAC ；（2）已知点F 为棱EC 的中点，若2EA =，求直线AD 与平面FBD 所成角的正弦值．19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2124a a ==，当*n ∈N ，且2n ≥时，1132n n n S S S +-=-．（1）证明：{}n a 为等比数列；（2）设()()111n n n n a b a a +=--，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，若21172m m T -+>⨯，求正整数m 的最小值．20.已知甲、乙两支登山队均有n 名队员，现有新增的4名登山爱好者a b c d ,,,将依次通过摸出小球的颜色来决定其加入哪支登山队，规则如下：在一个不透明的箱中放有红球和黑球各2个，小球除颜色不同之外，其余完全相同先由第一名新增登山爱好者从箱中不放回地摸出1个小球，再另取完全相同的红球和黑球各1个放入箱中；接着由下一名新增登山爱好者摸出1个小球后，再放入完全相同的红球和黑球各1个，如此重复，直至所有新增登山爱好者均摸球和放球完毕．新增登山爱好者若摸出红球，则被分至甲队，否则被分至乙队．（1）求,,a b c 三人均被分至同一队的概率；（2）记甲，乙两队的最终人数分别为1n ，2n ，设随机变量12X n n =-，求()E X ．21.已知函数1()ln 1x f x a x x -=-+有两个极值点1x ，2x ．（1）求实数a 的取值范围；（2）证明：()()2121221f x f x a a x x a -->--．22.在平面直角坐标系xOy 中，点(1,0)P ，点A 为动点，以线段AP 为直径的圆与y 轴相切，记A 的轨迹为Γ，直线AP 交Γ于另一点B ．（1）求Γ的方程；（2）OAB 的外接圆交Γ于点C （不与O ，A ，B 重合），依次连接O ，A ，C ，B 构成凸四边形OACB ，记其面积为S ．（i ）证明：ABC 的重心在定直线上；（ii ）求S 的取值范围．厦门市2024届高中毕业班第一次质量检测数学试题2024．1准考证号__________姓名__________（在此卷上答题无效）本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码．2．作答选择题时，用2B 铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑．3．非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液．4．考试结束后，考生上交答题卡．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 1z z ⋅=+（i 为虚数单位），则||z =（） A.12B.22C.1D.【答案】B 【解析】【分析】先求出复数z ，再求||z .【详解】由i 1z z ⋅=+，得()i 11z -=，即()()()i 1111i i 1i 1i 122z --===------，所以||2z ==，故选：B2.设集合{}22M x x =-≤≤，{}21xN y y ==+，则M N ⋃=（）A.[2,)-+∞B.(1,2]C.[1,2]D.(1,)+∞【答案】A 【解析】【分析】由指数函数值域求集合N ，应用集合并运算求结果.【详解】由题设{|1}N y y =>，故M N ⋃={}{}221{|2}x x y y x x -≤≤⋃=≥-.故选：A3.已知直线l 与曲线3y x x =-在原点处相切，则l 的倾斜角为（）A.π6B.π4C.3π4 D.5π6【答案】C 【解析】【分析】利用导数几何意义求直线的斜率，进而确定倾斜角.【详解】由231y x '=-，则0|1x y ='=-，即直线l 的斜率为1-，根据倾斜角与斜率关系及其范围知：l 的倾斜角为3π4.故选：C4.已知a ，b 为单位向量，若||||a b a b +=- ，则a b + 与a b - 的夹角为（）A.π3B.π2C.2π3 D.3π4【答案】B 【解析】【分析】根据已知，应用向量数量积的运算律求()()a b a b +⋅-即可判断夹角大小.【详解】由题意22()()0a b a b a b +⋅-=-= ，则a b + 与a b - 的夹角为π2.故选：B5.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()21f x x x =-+，则(2)(0)f f +=（）A.2B.1C.8- D.9-【答案】D 【解析】【分析】根据奇函数的定义求解即可.【详解】当0x <时，2()21f x x x =-+，所以()()()2222219f -=--⨯-+=，因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()()229f f =--=-，且()00f =，所以(2)(0)9f f +=-故选：D6.已知1a xx=+，e e x x b -=+，sin c x x =，则下列结论错误的为（）A.[1,1]x ∃∈-，a c >B.[1,1]x ∃∈-，b c >C.[1,1]x ∃∈-，a c <D.[1,1]x ∃∈-，b c<【答案】D 【解析】【分析】举例即可判断ABC ；再根据基本不等式及三角函数的性质即可判断D.【详解】对于A ，当π6x =时，π63626π64a =+>+=，13222c =+=，此时a c >，所以[1,1]x ∃∈-，a c >，故A 正确；对于B ，当0x =时，2b =，c =b c >，所以[1,1]x ∃∈-，b c >，故B 正确；对于C ，当π6x =-时，π606πa =--<，13122c =-+=，此时a c <，所以[1,1]x ∃∈-，a c <，故C 正确；对于D ，当[]1,1x ∈-时，2e e x x b -=≥=+，当且仅当e e x x-=，即0x =时取等号，πsin 2sin 3c x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由[]1,1x ∈-，得πππ1,1333x ⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦，而ππππ1π,012332<+<<-+<，所以当π3x +，即π6x =时，πsin 2sin 23c x x x ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，所以2≤c ，当且仅当π6x =时取等号，而π06≠，所以[1,1]x ∀∈-，b c >，故D 错误.故选：D.7.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图所示的1，5，12，22被称为五边形数，将所有的五边形数从小到大依次排列，则其第8个数为（）151222A.51B.70C.92D.117【答案】C 【解析】【分析】根据题图及前4个五边形数找到规律，即可得第8个数.【详解】由题图及五边形数知：后一个数与前一个数的差依次为4,7,10,13,16,19,22, ，所以五边形数依次为1,5,12,22,35,51,70,92, ，即第8个数为92.故选：C8.已知函数()f x 的定义域为R ，x ∀，y ∈R ，(1)(1)()()f x f y f x y f x y ++=+--，若(0)0f ≠，则(2024)f =（）A.2-B.4- C.2D.4【答案】A 【解析】【分析】利用赋值法对,x y 进行赋值结合函数的周期可得答案.【详解】令0x y ==，得()()()()11000f f f f ⋅=-=，即()10f =，令0x =，得()()()()110f f y f y f y ⋅+=--=，得()()-=f y f y ，所以函数()f x 为偶函数，令1x y ==，得()()()2220ff f =-，令1x y ==-，得()()()()()202020f f f f f =--=-，()()2220f f ∴=，()()20f f ∴=或()()20f f =-，若()()20f f =，解得()00f =与已知()00f ≠矛盾，()()20f f ∴=-，即()()2222f f =，解得()22f =，()02f =-，令1y =，得()()()()1211f x f f x f x +⋅=+--，()()()2111f x f x f x ∴+=+--，()()11f x f x ∴+=--，()()2f x f x ∴+=-，∴()()4f x f x +=，所以函数()f x 的周期为4.()()202402f f ∴==-.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知函数π()2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为π2B.()f x 的图象关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称C.()f x 在区间π0,3⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增D.若()f x 的图象关于直线0x x =对称，则01sin 22x =【答案】BC 【解析】【分析】根据正弦型函数的性质，结合代入法、整体法逐一判断各项正误.【详解】由π()2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，最小正周期2ππ2T ==，A 错；由2π2ππ()2sin 20333f ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，即2π,03⎛⎫⎪⎝⎭是对称中心，B 对；由π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则πππ2[,]333x -∈-，显然()f x 在区间π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，C 对；由题意00ππ5π2π2π326x k x k -=+⇒=+，故01sin 22x =±，D 错.故选：BC10.已知甲、乙两组数据分别为：20，21，22，23，24，25和a ，23，24，25，26，27，若乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大3，则（）A.甲组数据的第70百分位数为23B.甲、乙两组数据的极差相同C.乙组数据的中位数为24.5D.甲、乙两组数据的方差相同【答案】BD 【解析】【分析】根据已知平均数的关系求得28a =，再由极差、中位数、方差求法判断各项正误即可.【详解】由题设，2021222324252324252627366a ++++++++++=-，所以28a =，甲组数据中670% 4.2⨯=，故第70百分位数为24，A 错；甲乙组数据的极差都为5，B 对；乙组数据从小到大为23,24,25,26,27,28，故其中位数为252625.52+=，C 错；由上易知：甲的平均数为22.5，乙的平均数为25.5，所以甲的方差为2222221(2.5 1.50.50.5 1.5 2.5)6⨯+++++=3512，乙的方差为2222221(2.5 1.50.50.5 1.5 2.5)6⨯+++++=3512，故两组数据的方差相同，D 对.故选：BD11.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 交于A ，B 两点，若122F F =，且2ABF △的周长为8，则（）A.2a = B.C 的离心率为14C.||AB 可以为πD.2BAF ∠可以为直角【答案】AC 【解析】【分析】根据已知可得1c =、2a =，进而有12e =，结合椭圆性质求相交弦长的范围及焦点三角形内角的范围判断各项的正误.【详解】由12221F F c c ==⇒=，如下图2ABF △周长为482a a =⇒=，故2223b a c =-=，所以，椭圆离心率为12e =，A 对，B 错；当AB x ⊥轴，即AB 为通径时2min 2||3b AB a==，且||24AB a <=，所以3||4AB ≤<，故||AB 可以为π，C 对；由椭圆性质知：当A 为椭圆上下顶点时2BAF ∠最大，此时222222c 41os 2a a F c a BA +∠-==，且2(0,π)BAF ∈∠，故2max π)3(BAF =∠，即2BAF ∠不可能为直角，D 错.故选：AC12.如图所示，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，ABF △和DCE △均是等边三角形，且23AB =(0)EF x x =>，则（）A.//EF 平面ABCDB.二面角A EF B --随着x 的减小而减小C.当2BC =时，五面体ABCDEF 的体积(x)V 最大值为272D.当32BC =时，存在x 使得半径为32的球能内含于五面体ABCDEF 【答案】ACD 【解析】【分析】A 由线面平行的判定证明；B 设二面角A EF B --的大小为2α，点F 到面ABCD 的距离为h ，则3tan hα=，分析取最小值的对应情况即可判断；C 把五面体ABCDEF 补成直三棱柱FGI EKJ -，取,AB GI 的中点,M H ，设π(0)2FMH θθ∠=<≤，则3cos ,3sin MH FH θθ==，结合()2FGI EKJ F ABIG V x V V --=-并应用导数研究最值；D 先分析特殊情况：ABF △和DCE △所在平面均垂直于面ABCD 时构成正三棱柱ABF DCE -，再借助左视图、正视图研究内切圆半径分析一般情况判断.【详解】A ：由题设//BC AD ，AD ⊂面ADEF ，BC ⊄面ADEF ，则//BC 面ADEF ，由面BCEF 面ADEF EF =，BC ⊂面BCEF ，则//BC EF ，BC ⊂面ABCD ，EF ⊄面ABCD ，则//EF 平面ABCD ，对；B ：设二面角A EF B --的大小为2α，点F 到面ABCD 的距离为h ，则3tan hα=，点F 到面ABCD 的距离，仅在面FAB ⊥面ABCD 时取得最大值，当EF x BC ==时tan α取最小值，即α取最小值，即二面角A EF B --取最小值，所以EF x =∈(0,)+∞，二面角先变小后变大，错；C ：当2BC =，如图，把五面体ABCDEF 补成直三棱柱FGI EKJ -，分别取,AB GI 的中点,M H ，易得FH ⊥面ABCD ，3FM =，设π(02FMH θθ∠=<≤，则3cos ,3sin MH FH θθ==，()2ABCDEFFGI EKJ F ABIG V x V V V --==-=113sin (26cos )23sin 3cos 23θθθθ⨯⨯+-⨯⨯⨯cos θθθ=+，令()cos f θθθθ=+，则()2f θθθ'=+，令2()02cos cos 10f θθθ'=⇒+-=，可得1cos 2θ=或cos 1θ=-（舍），即π3θ=，π03θ<<，()0f θ'>，()f θ递增，ππ32θ<≤，()0f θ'<，()f θ递减，显然π3θ=是()f θ的极大值点，故max 127()2222f θ=+=.所以五面体ABCDEF 的体积(x)V 最大值为272，C 对；D ：当32BC =时，ABF △和DCE △所在平面均垂直于面ABCD 时构成正三棱柱ABF DCE -，此时正三棱柱内最大的求半径342r =<，故半径为2的球不能内含于五面体ABCDEF ，对于一般情形，如下图示，左图为左视图，右图为正视图，由C 分析结果，当五面体ABCDEF 体积最大时，其可内含的球的半径较大，易知，当π3FMH ∠=时，3339,22FH IH IF ===，设FIG 的内切圆半径为1r ，则113313922222r ⨯⨯=⨯⨯，可得12r =>，另外，设等腰梯形EFMN 中圆的半径为2r ，则213π33tan434r r ==>=所以，存在x 使半径为2的球都能内含于五面体ABCDEF ，对.故选：ACD【点睛】关键点点睛：对于C 通过补全几何体为棱柱，设π(02FMH θθ∠=<≤得到五面体ABCDEF 的体积关于θ的函数；对于D 从特殊到一般，结合几何体视图研究内切圆判断最大半径是否大于2为关键.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若π3sin 45α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则πcos 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________．【答案】35-##0.6-【解析】【分析】应用诱导公式有ππππcos cos[()]sin()4424ααα⎛⎫-=+-=+ ⎪⎝⎭，即可求值.【详解】ππππ3cos cos[()sin()44245ααα⎛⎫-=+-=+=- ⎪⎝⎭.故答案为：35-14.《九章算术》、《数书九章》、《周髀算经》是中国古代数学著作，甲、乙、丙三名同学计划每人从中选择一种来阅读，若三人选择的书不全相同，则不同的选法有_________种．【答案】24【解析】【分析】先求出三人选书没有要求的选法，再排除三人选择的书完全相同的选法即可.【详解】若三人选书没有要求，则有3327=种，若三人选择的书完全相同，则有3种，所以三人选择的书不全相同，不同的选法有27324-=种.故答案为：24.15.已知平面α的一个法向量为(1,0,1)n =，且点(1,2,3)A 在α内，则点(1,1,1)B 到α的距离为_________．【答案】【解析】【分析】由题设得(0,1,2)BA =，应用向量法求点面距离即可.【详解】由题设(0,1,2)BA = ，则点(1,1,1)B 到α的距离为||||BA n n ⋅==16.设ABC 是面积为1的等腰直角三角形，D 是斜边AB 的中点，点P 在ABC 所在的平面内，记PCD与PAB 的面积分别为1S ，2S ，且121S S -=．当||PB =||||PA PB >时，||PA =_________；记PA PB a -=，则实数a 的取值范围为_________．【答案】①.②.(2)5【解析】【分析】以D 为原点，AB为x 轴正方向建立直角坐标系，设00(,)P x y ，根据已知得001||||12y x =-、2200(1)10x y -+=，即可得04x =，0||1y =，应用两点距离公式求||PA ；根据PA PB a -=确定P 的轨迹曲线，并写出方程，利用曲线性质列不等式求参数范围.【详解】以D 为原点，AB为x 轴正方向建立直角坐标系，设00(,)P x y ，则101||2S x =，20||S y =，所以001||||12x y -=，则001||||12y x =-，当||PB =，||||PA PB >时，00x >，即22200||(1)10PB x y =-+=，所以22001(1)(1)102x x -+-=，即200512320x x --=，可得04x =（负值舍），则0||1y =，故||PA ==若0PA PB a -=>，结合双曲线定义知：P 在以,A B 为焦点的双曲线上，但不含顶点，该双曲线为22221()1()22x y a a -=-，即22224414x y a a -=-，双曲线顶点的横坐标的绝对值小于半焦距1，则双曲线与曲线1||||12x y -=有交点，即双曲线的渐近线和曲线1||||12x y -=有交点，则双曲线的渐近线斜率的绝对值小于12，所以221115160424165a a <<⇒<<⇒<<，故4525a <<，所以实数a的取值范围为(,2)5.，(2)5【点睛】关键点点睛：第二空，注意P 在以,A B 为焦点的双曲线上，但不含顶点，将问题化为双曲线的渐近线斜率的绝对值小于12为关键.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos cos 2a B ab A c +=．（1）求a ；（2）若2π3A =，且ABC 的周长为2+，求ABC 的面积．【答案】（1）2a =；（2）4.【解析】【分析】（1）应用正弦边角关系及和角正弦公式有sin()2sin a A B C +=，再由三角形内角性质即可求边长；（2）应用余弦定理及已知得224b c bc ++=且b c +=1bc =，最后应用面积公式求面积.【小问1详解】由题设(cos cos )2a a B b A c +=，由正弦定理有(sin cos sin cos )2sin a A B B A C +=，所以sin()2sin a A B C +=，而πA B C +=-，故sin 2sin a C C =，又sin 0C >，所以2a =.【小问2详解】由（1）及已知，有2222241cos 222b c a b c A bc bc +-+-===-，可得224b c bc ++=，又2a b c ++=+，即b c +=，所以2()541b c bc bc bc +-=-=⇒=，故13sin 24ABC S bc A ==△.18.如图，在四棱锥E ABCD -中，//AD BC ，22AD BC ==，AB =，AB AD ⊥，EA ⊥平面ABCD ，过点B 作平面BD α⊥．（1）证明：平面//α平面EAC ；（2）已知点F 为棱EC 的中点，若2EA =，求直线AD 与平面FBD 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见详解（2）277【解析】【分析】（1）利用三角形相似及等量代换得AC BD ⊥，利用线面垂直得EA BD ⊥，进而得BD ⊥平面EAC ，结合已知条件得证；（2）利用空间向量法可求【小问1详解】设AC 与BD 的交点为O ，连接OF ，因为AD BC ∥，且AB AD ⊥，所以AB BC ⊥，因为22AD =，所以1AD =，AB =，AB AD ⊥，且AB =，2BC =，AB BC ⊥，所以ABD BCA ，所以ABD BCA ∠=∠，所以BAC ABD BAC BCA ∠+∠=∠+∠，因为AB BC ⊥，所以90BAC BCA ∠+∠=︒，所以90BAC ABD ∠+∠=︒，即90BAO ABO ∠+∠=︒，所以90AOB ∠=︒，所以AO OB ⊥，即AC BD ⊥，因为EA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以EA BD ⊥，因为EA AC A = ，,EA AC ⊂平面EAC ，所以BD ⊥平面EAC ，又因为平面BD α⊥，且B ∉平面EAC ，所以平面//α平面EAC 【小问2详解】因为AB AD ⊥，EA ⊥平面ABCD ，所以,,AB AD EA 两两垂直，如图，以A 为原点，,,AB AD EA 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()0,1,0D ，()()(),0,0,2,2,0B E C ，所以())())0,1,0,,0,2,0,2AD BD BC BE ====，因为点F 为棱EC 的中点，所以()1,1,122BF BC BE ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，设平面FBD 的一个法向量为(),,n x y z =，则00BD n BF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以0202y x y z +=++=⎪⎩，取2x =，得y z =-=，所以平面FBD的一个法向量为(2,n =-，记直线AD 与平面FBD 所成角为θ，则27sin cos ,7AD n AD n AD n θ⋅===，所以直线AD 与平面FBD 所成角的正弦值为277．19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2124a a ==，当*n ∈N ，且2n ≥时，1132n n n S S S +-=-．（1）证明：{}n a 为等比数列；（2）设()()111n n n n a b a a +=--，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，若21172m m T -+>⨯，求正整数m 的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）3.【解析】【分析】（1）由题设112()n n n n S S S S +--=-，结合已知得到12n n a a +=在*n ∈N 上都成立，即可证结论；（2）由（1）得()()122121nn n n b +=--，裂项相消法求n T ，根据不等式关系得221m ->，即可确定正整数m 的最小值.【小问1详解】当2n ≥时，1111322()n n n n n n n S S S S S S S +-+-=-⇒-=-，即12n n a a +=，又2124a a ==，故12n n a a +=在*n ∈N 上都成立，且12a =，所以{}n a 是首项、公比均为2的等比数列.【小问2详解】由（1）知：2n n a =，则()()1121121212121n n n n n n b ++==-----，所以11111111212121211111133712n n n n n n T -++=-+-+--=----+-+- ，则21211117221712m m m m T -+-+=-+>⨯-⨯，即2121722182m m m -+-⨯-⨯<-=，所以221m ->，可得m>2，而*m ∈N ，故3m ≥，正整数m 的最小值为3.20.已知甲、乙两支登山队均有n 名队员，现有新增的4名登山爱好者a b c d ,,,将依次通过摸出小球的颜色来决定其加入哪支登山队，规则如下：在一个不透明的箱中放有红球和黑球各2个，小球除颜色不同之外，其余完全相同先由第一名新增登山爱好者从箱中不放回地摸出1个小球，再另取完全相同的红球和黑球各1个放入箱中；接着由下一名新增登山爱好者摸出1个小球后，再放入完全相同的红球和黑球各1个，如此重复，直至所有新增登山爱好者均摸球和放球完毕．新增登山爱好者若摸出红球，则被分至甲队，否则被分至乙队．（1）求,,a b c 三人均被分至同一队的概率；（2）记甲，乙两队的最终人数分别为1n ，2n ，设随机变量12X n n =-，求()E X ．【答案】（1）215；（2）3835.【解析】【分析】（1）由题意，,,a b c 三人均被分至同一队，即三人同分至甲队或乙队，分别求出a 被分至甲队即a 摸出红球的概率、b 被分至甲队即b 摸出红球的概率、c 被分至甲队即c 摸出红球的概率，再应用条件概率公式及互斥事件加法求,,a b c 三人均被分至同一队的概率；（2）根据题意有X 可能取值为4,2,0，分析X 各对应值的实际含义，并求出对应概率，进而求期望即可.【小问1详解】,,a b c 三人均被分至同一队，即三人同分至甲队或乙队，记事件A =“a 被分至甲队”，事件B =“b 被分至甲队”，事件C =“c 被分至甲队”，当a 即将摸球时，箱中有2个红球和2个黑球，则a 被分至甲队即a 摸出红球的概率为1()2P A =；当a 被分至甲队时，箱中有2个红球和3个黑球，则b 被分至甲队即b 摸出红球的概率为2(|)5P B A =；当,a b 均被分至甲队时，箱中有2个红球和4个黑球，则c 被分至甲队即c 摸出红球的概率为1(|)3P C AB =；所以121()()(|)255P AB P A P B A ==⨯=，则111()()(|)5315P ABC P AB P C AB ==⨯=，同理知：新增登山爱好者,,a b c 均被分至乙队的概率也为115，所以,,a b c 三人均被分至同一队的概率为215.【小问2详解】由题设，X 可能取值为4,2,0，4X =为新增的4名登山爱好者被分至同一队，则22224(4)24567105P X ⨯⨯⨯==⨯=⨯⨯⨯，2X =为新增的4名登山爱好者中有3名均被分至同一队，其余1名被分至另一队，设新增的第(1,2,3,4)k k =名登山爱好者被单独分至甲队或乙队，则123339(1)2456770P P k ⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯，223339(2)2456770P P k ⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯，322434(3)2456735P P k ⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯，422252(4)2456721P P k ⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯，所以12347(2)15P X P P P P ==+++=，X 0=为新增的4名登山爱好者中各有2名被分至甲队和乙队，则52(0)1(2)(4)105P X P X P X ==-=-==，所以475238()4201051510535E X =⨯+⨯+⨯=.21.已知函数1()ln 1x f x a x x -=-+有两个极值点1x ，2x ．（1）求实数a 的取值范围；（2）证明：()()2121221f x f x a a x x a -->--．【答案】（1）1(0,2；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用导数，结合()f x 的极值点个数，得到0a >且1x ，2x 是22(1)0ax a x a +-+=的两个不同根，列不等式组求参数范围；（2）设1201x x <<<，应用分析法将问题化为证11212211ln 21x x x x x x -<+，令12(0,1)x t x =∈，则证11ln 21t t t -<+，再由12a =对应()f x 单调性即可证结论.【小问1详解】由题设22222(1)()(1)(1)a ax a x a f x x x x x +-+'=-=++且0x >，若0a ≤，则()0f x '<在(0,)+∞上恒成立，即()f x 递增，不可能有两个极值点，不符；故0a >，又()f x 有两个极值点，则1x ，2x 是22(1)0ax a x a +-+=的两个不同正根，所以()()22Δ4144120100a a a a aa ⎧=--=->⎪-⎪->⎨⎪>⎪⎩，可得102a <<，即实数a 的取值范围是1(0,2.【小问2详解】由（1）102a <<且122(1)a x x a-+=，121=x x ，不妨设1201x x <<<，则()()1212f x f x x x -=-1212121211ln ln 11x x a x a x x x x x ----+++-112212122()ln (1)(1)x x x a x x x x x --++=-121212121212ln (ln ln )21x a x a x x a x x x x x x x x -=-=--+++-，要证()()2121221f x f x a a x x a -->--，需证1212ln ln 1211x x a x x a --->--，即1212ln ln 1x x a x x a ->--，只需证121212ln ln 2x x x x x x ->-+，即11212211ln 21x x x x x x -<+，令12(0,1)x t x =∈，则证11ln 21t t t -<+，由（1），12a =时2212(1)(1)02ax a x a x +-+=-≥，即()0f x '≥，所以11()ln 21x f x x x -=-+在(0,)+∞上递增，又01t <<，故()(1)0f t f <=，即11ln 21t t t -<+，综上，()()2121221f x f x a a x x a -->--.【点睛】关键点点睛：第二问，设1201x x <<<，应用分析法将问题转化为证11212211ln 21x x x x x x -<+为关键.22.在平面直角坐标系xOy 中，点(1,0)P ，点A 为动点，以线段AP 为直径的圆与y 轴相切，记A 的轨迹为Γ，直线AP 交Γ于另一点B ．（1）求Γ的方程；（2）OAB 的外接圆交Γ于点C （不与O ，A ，B 重合），依次连接O ，A ，C ，B 构成凸四边形OACB ，记其面积为S ．（i ）证明：ABC 的重心在定直线上；（ii ）求S 的取值范围．【答案】（1）24y x=（2）证明见详解；32,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）设(),A x y ，根据已知条件列出方程化简即得；（2）（i ）因为,,,O A B C 四点共圆，设该圆的方程为220x y dx ey +++=，联立22204x y dx ey y x ⎧+++=⎨=⎩，得()42416160y d y ey +++=，结合重心公式可得证；（ii ）记,OAB ABC △△的面积分别为12,S S ，用已知条件分别表示出12,S S ，进而表示出面积为S 的表达式，然后利用导数求最值即得.【小问1详解】设(),A x y ，则线段AP 的中点坐标为1,22x y +⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为以线段AP 为直径的圆与y 轴相切，所以1122x AP +==，化简，得24y x =.【小问2详解】（i ）因为,,,O A B C 四点共圆，设该圆的方程为220x y dx ey +++=，联立22204x y dx ey y x⎧+++=⎨=⎩，消去x ，得()42416160y d y ey +++=，即()()3416160y y d y e +++=，所以123,,y y y 即为关于y 的方程()3416160y d y e +++=的3个根，则()()()()312341616y d y e y y y y y y +++=---，因为()()()()()32123123122313123y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y ---=-+++++-，由2y 的系数对应相等得，1230y y y ++=，即()123103y y y ++=，因为ABC 的重心的纵坐标为()12313y y y ++，所以ABC 的重心在定直线0y =上.（ii ）记,OAB ABC △△的面积分别为12,S S ，由已知得直线AB 的斜率不为0设直线AB ：1x my =+，联立241x xy y m =+=⎧⎨⎩，消去x ，得2440y my --=，所以12124,4y y m y y +=⋅=-，所以1121122S OP y y =⋅⋅-==，由（i ）得，()3124y y y m =-+=-，所以()22233114444x y m m ==⨯-=，即()24,4C m m -，因为()212122444AB x x m y y m =++=++=+，点C 到直线AB的距离d =，所以()22211448122S AB d m m =⋅⋅=⋅+=-，所以)221281181S S S m m =+=-=+-不妨设0m >，且A 在第一象限，即120,0y y ><，340y m =-<，依次连接O ，A ，C ，B 构成凸四边形OACB ，所以()3122y y y y =-+<，即122y y -<，又因为124y y ⋅=-，2242y y <，即222y <，即20y <<，所以122244m y y y y =+=->+=，即24m >，即218m >，所以)218116S m m=+-=，设t =，则324t >，令()()2161f t t t =-，则()()()2221611614816f t t t t t '='=-+--，因为324t >，所以()248160f t t -'=>，所以()f t 在区间32,4∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()323242f t f ⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭，所以S 的取值范围为32,2∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】第二问：（i ）关键是把证明ABC 的重心在定直线上转化为方程根的问题，利用韦达定理以及重心公式可得.（ii ）关键是把四边形OACB 拆成两个三角形，然后用相同的变量分别表示两个三角形的面积以及变量的取值范围的确定，进而得到四边形OACB 面积的表达式，然后利用导数求最值即得.。

百校联盟2021届高三普通高中教育教学质量监测考试全国数学(理)试题

（1）求一轮抽奖游戏中，甲摸出“2张奖券”的次数为零的概率；
（2）记一轮抽奖游戏中，甲摸出“2张奖券”的次数为，求的分布列以及数学期望；
（3）试用概率与统计的相关知识，从数学期望的角度进行分析，多次参与抽奖游戏后，甲的最终积分情况.
21．已知椭圆：的离心率为，且过点 .
（1）求椭圆的方程；
图（1）
图（2）
A． B．
C． D．
4．已知抛物线：上的点到焦点的距离为，若点在：上，则点到点距离的最小值为（）
A． B． C． D．2
5．已知两个随机变量，呈现非线性关系.为了进行线性回归分析，设，，利用最小二乘法，得到线性回归方程，则（）
A．变量的估计值的最大值为 B．变量的估计值的最小值为
故所求表面积 .
故答案为：C.
【点睛】
本题考查由三视图求几何体表面积，属于基础题.
4．B
【分析】
根据抛物线焦半径得到，代入抛物线方程得到点坐标，再利用点到圆心的距离减去半径即为答案.
【详解】
依题意，，故，则；
由对称性，不妨设，
故到点距离的最小值为 .
故选：B.
【点睛】
本题考查抛物线的方程、几何性质，点到圆上点距离最小的问题.
三、解答题
17．已知的内角，，的对边分别为，，， .
（1）求；
（2）若，，点在线段上，，求的余弦值.
18．已知数列满足，且，数列是公差为的等差数列.
（1）证明是等比数列；
（2）求使得成立的最小正整数的值.
19．已知长方体中，，，点是线段上靠近的三等分点，点在线段上.

福建省泉州市2021届高三一模数学试题及答案

泉州市2021届高中毕业班质量监测（三）高三数学2021.03本试卷共22题，满分150分，共6页.考试用时120分钟.注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.3. 选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.4. 保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知i 是虚数单位，则“a i =”是“21a =-”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2. 已知集合(){}*,8,,A x y x y x y N =+=∈，(){},1B x y y x =>+，则AB 中元素的个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 53. 函数cos 2sin 2y x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最小值为（） A. -2B. 98-C. 58-D. 04. “立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据ξ（单位：cm ）服从正态分布()2200,N σ，且()2200.1P ξ≥=，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记ξ不．在()180,220的人数为X ，则（） A. ()1802200.9P ξ<<= B. () 2.4E X = C. ()0.16D X =D. ()10.488P X ≥=5. 已知单位向量a ，b 满足14a b ⋅=，且2c a b =+，则sin ,a c =（）A.8B.8C.8D.386. 在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =，则异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值为（）A.6B.112C. 6-D. 112-7. 已知32a =，b =ln 3ln 2c =，则（） A. a b c >>B. c b a >>C. c a b >>D. a c b >>8. 已知曲线E ：()()22480y xyx -+=，直线1x my =+与E 有且只有4个公共点，这些公共点从左到右依次为A ，B ，C ，D ，设()11,A x y ，()22,B x y ，则下列结论中错误的是（）A. 2m >或2m <- B. 121x x <-<C. 6CD >D. AB <二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若210a =，52S S =，则（） A. 34S S =B. 610a =C. n S 的最大值为30D. n a 的最大值为1510. 已知函数()3()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（）A.2ω=B. 267ω=C. 76πϕ=D. 6πϕ=-11. 已知函数,1()1ln ,1xx f x x x x ⎧<⎪=-⎨⎪≥⎩，()g x kx k =-，则（）A. ()f x 在R 上为增函数B. 当14k =时，方程()()f x g x =有且只有3个不同实根 C. ()f x 的值域为()1,-+∞D. 若()()1()()0x f x g x --≤，则[)1,x ∈+∞12. 如图，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，侧棱长为2，点P ，Q 分别在半圆弧1C C ，1A A （均不含端点）上，且1C ，P ，Q ，C 在球O 上，则（）A. 当点P 在1C C 中点处，三棱锥1C PQC -的体积为定值B. 当点P 在1C C 中点处，过1C ，P ，Q 三点的平面截正四棱柱所得的截面的形状都是四边形C. 球O 的表面积的取值范围为()4,8ππD. 当点Q 在1A A 的三等分点处，球O的表面积为(11π- 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. ()62x +展开式中，二项式系数最大的项的系数为___________.（用数字填写答案）14. 甲问乙：“您有几个孩子”，乙说：“四个”.此时，一男孩过来.乙对甲说：“这是我小孩”，接着乙对该男孩说：“去把哥哥姐姐都叫过来，你们四人一起跟甲去趟学校”.根据上述信息，结合正确的推理，最多需要猜测___________次，才可以推断乙的四个小孩从长到幼的正确性别情况；第3次才猜对的概率为____________.15. 圆锥曲线光学性质（如图1所示）在建筑、通讯、精密仪器制造等领域有着广泛的应用.如图2，一个光学装置由有公共焦点1F ，2F 的椭圆C 与双曲线'C 构成，一光线从左焦点1F 发出，依次经过'C 与C 的反射，又回到点1F 历时m 秒；若将装置中的'C 去掉，则该光线从点1F 发出，经过C 两次反射后又回到点1F 历时n 秒.若C 与'C 的离心率之比为13，则mn=__________.16. 若正数x ，y 满足()216xy x y +=，则x y +的最小值为__________. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知数列{}n a ，{}n b 满足19a =，1109n n a a +=+，1n n b a =+. （1）证明：{}n b 是等比数列；（2）求数列(){}1lg nnb -的前n 项和nS .18. 脱贫攻坚取得的全面胜利是中国共产党领导全国人民创造的又一个彪炳史册的人间奇迹.某地区有一贫困村坐落于半山平台，村民通过悬崖峭壁间的藤条结成的“藤梯”往返村子，因而被称为“悬崖村”.当地政府把“藤梯”改成钢梯，使之成为村民的“脱贫天梯”，实现了“村民搬下来，旅游搬上去”，做到了长效脱贫.如图，为得到峭壁上的A ，B 两点的距离，钢梯的设计团队在崖底的P ，Q 两点处分别测得1APQ α∠=，1BPQ β∠=，APB θ∠=，2AQP α∠=，2BQP β∠=，且PQ s =.（1）用1α，2α，s 表示AP ；（2）已知117β=︒，2150β=︒，90.0s =米，51.3θ=︒，又经计算得250.0AP =米，求AB . 参考数据：sin130.225︒≈，cos130.974︒≈，sin51.30.780︒≈，cos51.30.625︒≈.19. 永春老醋以其色泽鲜艳，浓香醇厚的独特风味，与山西陈醋、镇江香醋、保宁药醋并称中国四大名醋.为提高效率、改进品质，某永春老醋生产公司于2018年组织技术团队进行发酵工艺改良的项目研究.2020年底，技术团队进行阶段试验成果检验，为下阶段的试验提供数据参考.现从改良前、后两种发酵工艺生产的成品醋中，各随机抽取100件进行指标值M 的检测，检测分两个步骤，先检测是否合格，若合格，再进一步检测是否为一等品.因检测设备问题，改良后的成品醋有20件只进行第一步检测且均为合格，已完成检测的180件成品醋的最终结果如下表所示.附：成品醋的品质采用指标值M 进行评价，评价标准如下表所示.（1）现从样本的不合格品中随机抽取2件，记来自改良后的不合格品件数为X ，求X 的分布列；（2）根据以往的数据，每销售一件成品醋的利润少（单位：元）与指标值M 的关系为[)[)[)5,0,13,1,32,0,3M y M M ⎧∈⎪=∈⎨⎪-∉⎩，若欲实现“改良后成品醋利润比改良前至少增长20%”，则20件还未进一步检测的样本中，至少需要几件一等品？20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，二面角P AD C --是直二面角，AD 为等腰直角三角形PAD 的斜边，2AD CD ==，1AB BC ==，BD =M 为线段PC 上的动点.（1）当PM MC =时，证明：//PA 平面MBD ；（2）若平面MBD ⊥平面ABCD ，求二面角B MD C --的余弦值.21. 已知椭圆C ：22143x y +=的左、右顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，折线()10x my m -=≠与C 交于M ，N 两点.（1）当2m =时，求MF NF +的值；（2）直线AM 与BN 交于点P ，证明：点P 在定直线上. 22. 已知函数()sin xf x aex x -=+-.（1）若()f x 在()0,2π单调递减，求实数a 的取值范围；（2）证明：对任意整数a ，()f x 至多1个零点.泉州市2021届高中毕业班质量监测（三）参考答案与评析高三数学三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.【命题意图】本小题主要考查二项式定理等基础知识，考查运算求解能力，体现基础性，导向对发展数学运算等核心素养的关注.【试题简析】依题意，二项式系数最大项为3333462160T C x x ==，其系数为160.故答案为160.14.【命题意图】本小题主要考查古典概型等基础知识；考查阅读理解并提取信息进行推理论证的能力；体现基础性、创新性、应用性，导向对发展理性思维与数学应用等核心素养的关注.【试题简析】记1A 为乙的第i 个孩子是男性，依题意，四个孩子从长到幼的性别情况有()1234,,,A A A A ，()1234,,,A A A A ，()1234,,,A A A A ，()1234,,,A A A A ，()1234,,,A A A A ，()1234,,,A A A A ，共6种，最多需要猜测5次，便可以知道乙的四个小孩从长到幼的正确性别情况；第3次就猜对的概率为16. 故答案为5；16. 15.【命题意图】本题考查椭圆定义、双曲线定义、离心率等基础知识；考查推理论证、运算求解等能力；考查数形结合、化归与转化等思想；体现综合性、创新性，导向对发展数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养的关注.【试题简析】设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，在图2左图中，由椭圆定义可得1212BF BF a += ① 由双曲线定义可得2122AF AF a -= ② ①-②得111222AF AB BF a a ++=-，所以1ABF △的周长为1222a a -.在图2右图中，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后经过椭圆的另一个焦点，即直线ED 过点2F ，所以1EDF △的周长为14a ，又因为椭圆与双曲线焦点相同，离心率之比为13，所以123a a =，又两次所用时间分别为m ，n ，而光线速度相同，所以122212226214123a a a a m n a a --===. 16.【命题意图】本小题主要考查不等式、函数与导数等基础知识；考查逻辑推理、运算求解等能力；考查函数与方程、化归与转化等思想；导向对发展逻辑推理、数学运算等核心素养的关注. 【试题简析】令t x y =+，则()()()2216t y y t y y t y -+=-=，所以2216t y y =+，令216 ()f y y y=+，由216'()20f y y y =-+=，解得2y =. ()0,2y ∈时，()'0f y <，()f y 单调递减，()2,y ∈+∞时，()'0f y >，()f y 单调递增；所以()f y 的最小值为()212f =，又对正数x ，y 有0t x y =+>，所以min t = 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.【命题意图】本小题主要考查等比数列的定义与前n 项和等基础知识；考查运算求解能力；考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等.体现基础性和综合性，导向对发展数学运算等核心素养的关注. 【试题解析】解法一：（1）依题意，1111n n n n b a b a +++=+ 109110101011n n n n a a a a +++===++（非零常数）.又11110b a =+=.故{}n b 为首项110b =，公比10q =的等比数列.（2）（1）由可知1110n nn b b q -==.所以(1)lg (1)lg10(1)n n n nn n c b n =-=-=-⋅.①当n 为偶数时，[](12)(34)(1)2n n S n n =-++-+++--+=； ②当n 为奇数时，[]1(12)(34)(2)(1)2n n S n n n +=-++-+++--+--=-. 故,21,2n nn S n n ⎧⎪⎪=⎨+⎪-⎪⎩为偶数为奇数.解法二：（1）同解法一；（2）由（1）可知1110n nn b b q -==.所以(1)lg (1)lg10(1)n n n nn n c b n =-=-=-⋅.211(1)2(1)(1)(1)(1)n n n S n n -=⋅-+⋅-+-⋅-+⋅- ①231(1)1(1)2(1)(1)(1)(1)n n n S n n +-=⋅-+⋅-++-⋅-+⋅- ② ①-②得212(1)(1)(1)(1)n n n S n +=-+-+--⋅-1(1)1(1)(1)1(1)n n n +⎡⎤---⎣⎦=-⋅---111(1)(1)11(1)(1)222n n n n n +++---⎛⎫=-⋅-=--+⋅- ⎪⎝⎭，故111(1)442n n n S +⎛⎫=--+⋅- ⎪⎝⎭. 18.【命题意图】本小题以“悬崖村”的脱贫事件为背景，以修建钢梯的测量为问题情境，考查正弦定理、余弦定理，解三角形等基础知识；考查抽象概括能力，空间想象能力，运算求解能力与应用意识和创新意识；考查转化与化归思想，函数与方程思想；考查基本活动经验；导向对数学抽象，数学建模，数学运算核心素养的关注.【试题解析】（1）如图，在APQ △中，根据正弦定理得()212sin sin AP PQαπαα=--，化简得()212sin sin s AP ααα⋅=+；（2）在BPQ △中，根据正弦定理得()212sin sin BP PQβπββ=--，可得()212sin 900.5200sin 1800.225s BP βββ⋅⨯===︒--，又在ABP △中，根据余弦定理得2222cos AB AP BP AP BP θ=+-⋅，代入得2400006250022002500.62540000AB =+-⨯⨯⨯=，所以200AB =米.19.【命题意图】本小题主要考查条件概率、独立性检验、数学期望等基础知识；考查数据处理能力、应用意识和创新意识等；考查统计与概率思想；导向对发展逻辑推理、数学运算、数学建模、数据分析等核心素养的关注.【试题解析】（1）依题意，已检测的不合格品样本共有20个，其中改良前的有15个，改良后的有5个.0,1,2X =.2015522021(0)38C C P X C ⋅===； 1115522015(1)38C C P X C ⋅===； 021552201(2)19C C P X C ⋅===. 故X 的分布列为：（2）由样本估计总体的思想，改良前成品醋利润的数学期望30551553(2) 2.85100100100⨯+⨯+-⨯=；若要使“改良后成品醋利润比改良前至少增长20%”，则改良后的利润至少应为()2.85120% 3.42⨯+=.假设改良后20个还未进行进一步检测的样本中，一等品有x 个，则改良后的一等品有26x +个，二等品有69x -个.改良后成品醋利润的数学期望2669553(2)100100100x x +-⨯+⨯+-⨯. 依题意，2669553(2) 3.42100100100x x +-⨯+⨯+-⨯≥.求得7.5x ≥，又x N ∈，故20个还未进行进一步检测的样本中，一等品至少需要8个.20.【命题意图】本题考查空间几何点线面位置关系、线面垂直的性质和判定、面面垂直的判定、点面距离的求法等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化的思想；考查直观想象、逻辑推理和数学运算等核心素养.【试题解析】（1）连结AC 交BD 于N ，连结MN ，因为2AD CD ==，1AB BC ==，所以BD 为AC 的垂直平分线，则AN CN =，又因为PM MC =，所以MN 为PAC △的中位线，则//PA MN ，又因为PA ⊄平面MBD ，MN ⊂平面MBD ，所以//PA 平面MBD .（2）解法一：取AD 的中点O ，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以OP ⊥平面ABCD，过O 作AD 的垂线作为x 轴，分别以OD ，OP 所在的直线为y 轴，z 轴建立如图空间直角坐标系，则()0,0,1P ，()0,1,0A -，()0,1,0D ，由已知22214AB AD BD +=+=，得AB AD ⊥，故()1,1,0B -，假设(),,0C x y ，因为(),1,0AC x y =+，()1,2,0BD =-，()1,1,0BC x y =-+，(),1,0DC x y =-，由00AC BD BC DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2222010x y x x y -++=⎧⎨-+-=⎩，解得81,,055C ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 81,,155PC ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，86,,055DC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，假设平面MCD 的一个法向量是()1111,,n x y z =，则1100PC n DC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11111850430x y z x y --=⎧⎨-=⎩，令13x =，14y =，14z =，取()13,4,4n =，因为平面MBD ⊥平面ABCD ，且AC BD ⊥，所以平面MBD 的一个法向量是84,,055AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，取()22,1,0n =，假设二面角B MD C --的平面角为θ，因为二面角B MD C --的平面角为锐角，则二面角B MD C --的余弦值1212cos 4141n n n n θ⋅===⋅.解法二：（1）同解法一；（2）因为22214AB AD BD +=+=，得AB AD ⊥，又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，故以点A 为原点，AB ，AD 所在的直线为x 轴，y 轴，在平面PAD 内过点A 作AD 的垂线为z 轴建立如图空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()0,2,0D ，()0,1,1P ，84,,055C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，于是84,,055AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(0,1,1)PD =-，86,,055DC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，假设平面MCD 的一个法向量是()1111,,n x y z =，则110PD n DC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111430y z x y -=⎧⎨-=⎩，令13x =，14y =，14z =，取()13,4,4n =，因为平面MBD ⊥平面ABCD ，且AC BD ⊥，所以平面MBD 的一个法向量是84,,055AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，取()22,1,0n =，假设二面角B MD C --的平面角为θ，则1212cos 41n n n n θ⋅===⋅ 因为二面角B MD C --.解法三：（1）同解法一；（2）以PA 所在直线为x 轴，PD所在的直线为y 轴，过P 作AB 平行线为z 轴，则)A，()D ，()0,0,0P ，)B，8555C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，于是8,,555AC ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭，(0,PD =，38,555PC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，假设平面MCD 的一个法向量是()1111,,n x y z =，则110PD n PC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11110330y x y =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令1x =10y =，13z =-，取()142,0,3n =-，因为平面MBD ⊥平面ABCD ，且AC BD ⊥，所以平面MBD的一个法向量是85AC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，取(2n =-，假设二面角B MD C --的平面角为θ，则12124cos 41n nn n θ-⋅===⋅ 因为二面角B MD C --的平面角为锐角，所以其大小的余弦值41.解法四：（1）同解法一；（2）取AD 的中点O ，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以OP ⊥平面ABCD ，过O 作AD 的垂线作为x 轴，分别以OD ，OP 所在的直线为y 轴，z 轴建立如图空间直角坐标系，由已知22214AB AD BD +=+=，得AB AD ⊥，故()1,1,0B -，又()0,0,1P ，()0,1,0A -，()0,1,0D ，()1,2,0BD =-，假设()00,,0C x y ，因为()00,1,0AC x y =+，()001,1,0BC x y =-+，()00,1,0DC x y =-，由00AC BD BC DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得002200022010x y x x y -++=⎧⎨-+-=⎩，解得81,,055C ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 81,,155PC ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，86,,055DC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，假设(),,M x y z ，(),,1PM x y z=-，设81,,55PM PC λλλλ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，解得81,,155M λλλ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，81,1,155DM λλλ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，因为平面MBD ⊥平面ABCD ，且AC BD ⊥，则AC DM ⊥，又因为84,,055AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以8481604,,0,1,105555255AC DM λλλλ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅---=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得13λ=，于是812,,15153M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则8162,,15153DM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，假设平面MCD 的一个法向量是()1111,,n x y z =，则110DC n DM n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111114304850x y x y z -=⎧⎨-+=⎩，令13x =，14y =，14z =，取()13,4,4n =，依题意可取平面MBD 的一个法向量为84,,055AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，取()22,1,0n =，假设二面角B MD C --的平面角为θ，则则121210cos 41n n n n θ⋅===⋅. 因为二面角B MD C --. 21.【命题意图】本题主要考查直线与椭圆的位置关系、弦长计算、两直线的位置关系等基础知识；考查运算求解能力、应用意识和创新意识等；考查数形结合、化归与转化等思想；体现综合性、创新性，导向对发展逻辑推理、数学运算、直观想象、数学抽象等核心素养的关注. 【试题解析】解法一：（1）由已知可得()1,0F ，设点M 关于x 轴的对称点为1M ，则1MF M F =，如图，不妨设直线21x y =+与椭圆相交于1M ，N 两点，设()111,M x y ，()22,N x y ，联立2221143x y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得223(21)4120y y ++-=，即2161290y y +-=，所以1234y y +=-，12916y y =-，故11M F NF M N MF NF =+==+154===.（2）由已知可得()2,0A -，()2,0B ，()111,M x y ，()11,M x y -，()22,N x y ，不妨设直线1x my =+与椭圆相交于点1M ，N ，联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得223(1)4120my y ++-=，即()2234690m y my ++-=，所以122634m y y m -+=+，122934y y m -=+，且()121232my y y y =+. 直线AM ：11(2)2y y x x -=++，直线BN ：22(2)2y y x x =--，联立两直线方程，消去y 可得()()()()21211212232221y x y my x x y x y my +++=-=----，即()()12212221112133322332332y y y my y y x x my y y y y y ++++=-=-=---+-，所以()232x x +=--，1x =，即点P 在定直线1x =上.解法二：（1）同上.（2）由已知可得()2,0A -，()2,0B ，()111,M x y ，()11,M x y -，()22,N x y ，不妨设直线1x my =+与椭圆相交于点1M ，N ，联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得223(1)4120my y ++-=，即()2234690m y my ++-=，所以122634m y y m -+=+，122934y y m -=+，直线AM ：11(2)2y y x x -=++，直线BN ：22(2)2y y x x =--，由点M 在椭圆上，可知()2211344y x =--，所以11112324y x x y --=⋅+，所以直线AM ：1123(2)4x y x y -=+，联立两直线方程，消去y 可得121223(2)(2)42x y x x y x -⋅+=--，即()()1212324222y y x x x x +⋅=---，即()()()()1212121232422211y y y y x x x x my my +⋅==-----()12212121y y m y y m y y =-++，所以22232994296344x x m m m +-⋅==---+++，所以()232x x +=--，1x =，即点P 在定直线1x =上.解法三：（1）同上.（2）由已知可得()2,0A -，()2,0B ，()111,M x y ，()11,M x y -，()22,N x y ，不妨设直线1x my =+与椭圆相交于点1M ，N ，联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得223(1)4120my y ++-=，即()2234690m y my ++-=，所以122634m y y m -+=+，122934y y m -=+，设直线1AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，则()()12121212122222y y y y k k x x x x ⋅=⋅=++++()()()121221212123339y y y y my my m y y m y y ==+++++ 2229191827364m m m -==---++，所以直线AM ，AN 的斜率满足1214k k -⋅=，又设直线BN 的斜率为3k ，则222223222232244y y y k k x x x ⋅=⋅==-+--，所以直线AM ，BN 的斜率满足1313k k -=-，故直线AM ：31(2)3y k x =-+，BN ：()32y k x =-，联立解得1x =，即点P 在定直线1x =上.22.【命题意图】本小题主要考查函数与方程，不等式，导数的应用等基础知识，考查逻辑推理，运算求解能力，体现综合性，导向对发展数学抽象、数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养的关注. 【试题解析】解法一：（1）'()cos 1xf x aex -=-+-.【当0a ≥时，'()0f x ≤显然成立.（无持续求解，只写这一结论，可补这1分.）2分】()f x 在()0,2π单调递减⇔对()0,2x π∈，恒有'()0f x ≤()0,2x π⇔∈，恒有()cos 1x a e x ≥-，令()[]()()cos 10,2x g x e x x π=-∈，则'()(cos 1sin )14x x g x e x x e x π⎫⎛⎫=--=--+ ⎪⎪⎝⎭⎭，令'()0g x =，解得32x π=（或0x =，或2x π=）. 则当30,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'()0g x <，()g x 单调递减；当3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'()0g x >，()g x 单调递增.又()()020g g π==，所以当[]0,2x π∈时，max ()0g x =. 所以0a ≥.（2）令()sin x x x ϕ=-，则'()cos 10x x ϕ=-≤，所以()x ϕ单调递减，又因为()00ϕ=，所以0x ≥时，sin 0x x -≤；0x <时，sin 0x x ->.令()()sin xF x a ex x =+-，则()F x 与()f x 零点一致.当0x ≥时，()()()'()sin cos 10xF x ex x x =-+-≤，所以()F x 递减，()()0F x F a ≤=.当0x <时，有(sin )(1)xxa a e x x a e x <+-≤+-，令()(1)(0)xG x a e x x =+-<，因为'()0x G x xe =->，()G x 在(),0-∞递增，所以0()(0)(10)1G x G a e a <=+-=+. 故()1a F x a <<+.综上，当0a ≥时，()F x 在0x ≥有唯一零点，在0x <恒正不存在零点；当1a ≤-时，()10F x a <+≤，不存在零点.即对任意整数a ，()F x 至多1个零点，所以()f x 至多1个零点. 解法二：（1）同解法一. （2）当0a ≥时，()'()cos 10xf x ae x -=-+-≤恒成立，()f x 为递减函数，所以()f x 至多1个零点.令()sin x x x ϕ=-，则'()cos 10x x ϕ=-≤，所以()x ϕ单调递减，又因为()00ϕ=，则0x ≥时，sin 0x x -≤；0x <时，sin 0x x ->. 当1a ≤-时，()sin sin xx f x ae x x e x x --=+-≤-+-.令()sin xx ex x φ-=-+-.当0x ≥时，()sin sin 0xx e x x x x φ-=-+-<-≤.当0x <时，'()cos 1xx ex φ-=+-；''()sin 1sin 0x x e x x φ-=--≤--≤，所以'()x φ在0x <时单调递减，此时()'()'01x φφ>=，所以()x φ在0x <时单调递增，所以()()01x φφ≤=-.综上所述，当1a ≤-时，()0x φ<. 所以当1a ≤-时，()sin 0xf x ex x -≤-+-<.所以，对任意整数a ，函数()f x 至多1个零点.。

【市级联考】福建省泉州市2024届高三普通高中毕业班第一次质量检查理科综合物理试题

【市级联考】福建省泉州市2024届高三普通高中毕业班第一次质量检查理科综合物理试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的答案中，只有一个符合题目要求。

(共8题)第(1)题如图所示，足够长水平传送带逆时针转动的速度大小为，一小滑块从传送带左端以初速度大小滑上传送带，小滑块与传送带之间的动摩擦因数为μ，小滑块最终又返回到左端。

已知重力加速度为g，下列说法正确的是（）A．小滑块的加速度向右，大小为μgB．若，小滑块返回到左端的时间为C．若，小滑块返回到左端的时间为D．若，小滑块返回到左端的时间为第(2)题如图所示的闭合电路，电源电动势为E，内阻为r，定值电阻、，滑动变阻器最大值是10Ω。

在A、B之间接有水平放置的平行板电容器C，滑动变阻器的滑片处于中点时，平行板电容器中的带电微粒恰好静止，带电微粒电荷量的绝对值为q、质量为m，下列说法正确的是（）A．微粒带负电B．若滑片向左滑动，微粒受的电场力将变小C．若滑片向左滑动，微粒在运动的过程中电势能将增加D．若滑片向右滑动，微粒在运动的过程中电势能将增加第(3)题质量为m的物体放置在倾角的粗糙固定斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数，现用拉力F（与斜面的夹角为β）拉动物体沿斜面向上匀速运动，下列说法正确的是（）A．拉力最小时，物体受三个力作用B．时，即拉力沿斜面向上时，拉力F最小C．斜面对物块作用力的方向随拉力F的变化而变化D．拉力F的最小值为第(4)题如图甲所示，倾斜的传送带正以恒定速率沿顺时针方向转动，传送带的倾角为37°。

一物块以初速度从传送带的底部冲上传送带并沿传送带向上运动，其运动的图像如图乙所示，物块到传送带顶端时速度恰好为零，，。

g取，则（）A．传送带的速度为B．摩擦力方向一直与物块运动的方向相反C．物块与传送带间的动摩擦因数为0.25D．传送带转动的速率越大，物块到达传送带顶端时的速度就会越大第(5)题EUV光刻机是利用波长为13.5nm的极紫外光进行曝光来制造芯片。

2021年高三数学第一次诊断性考试试题理(含解析)

2021年高三数学第一次诊断性考试试题理（含解析）【试卷综析】本套试卷能从学科结构上设计试题，已全面覆盖了中学数学教材中的知识模块，同时，试卷突出了学科的主干内容，集合与函数、不等式、数列、概率统计、解析几何、导数的应用等重点内容在试卷中占有较高的比例，也达到了必要的考查深度．本套试卷没有刻意追求覆盖面，还有调整和扩大的空间，注重了能力的考查，特别是运算能力，逻辑思维能力和空间想象能力的强调比较突出，实践能力和创新意识方面也在努力体现.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）。

第I卷1至2页，第II 卷2至4页.共4页。

满分150分。

考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。

考试结束后，将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）注意事项：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑.第I卷共10小题.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．【题文】1.已知集合A={x∈Z|x2-1≤0}，B={x|x2-x-2=0}，则A∩B=(A) (B) {2} (C) {0} (D) {-1}【知识点】集合运算. A1【答案解析】D 解析：因为A={-1，0，1}, B={-1，2}，所以，故选B.【思路点拨】化简集合A、B,从而求得.【题文】2．下列说法中正确的是(A) 命题“，”的否定是“，≤1”(B) 命题“，”的否定是“，≤1”(C) 命题“若，则”的逆否命题是“若，则”(D) 命题“若，则”的逆否命题是“若≥，则≥”【知识点】四种命题A2【答案解析】B 解析：根据命题之间的关系可知命题的否定是只否定结论，但全称量词要变成特称量词，而逆否命题是即否定条件又否定结论，所以分析四个选项可知应该选B.【思路点拨】根据命题之间的关系可直接判定.【题文】3．设各项均不为0的数列{a n}满足(n≥1)，S n是其前n项和，若，则S4=(A) 4 (B)(C) (D)【知识点】等比数列. D3【答案解析】D 解析：由知数列是以为公比的等比数列，因为，所以，所以，故选D. 【思路点拨】由已知条件确定数列是等比数列，再根据求得，进而求.【题文】4．如图，正六边形ABCDEF的边长为1，则=(A) -3 (B)(C) 3 (D)【知识点】向量的数量积. F3【答案解析】A 解析：因为,所以()2+⋅=⋅+⋅=-=-,故选 A.AB BD DB AB DB BD DB BD03【思路点拨】利用向量加法的三角形法则，将数量积中的向量表示为夹角、模都易求的向量的数量积.【题文】5．已知，那么=(A) (B) (C) (D)【知识点】二倍角公式；诱导公式.C2,C6【答案解析】C 解析：因为，所以27cos 22cos 14425x x ππ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即，故选C. 【思路点拨】利用二倍角公式求得值，再用诱导公式求得sin2x 值.【题文】6．已知x ，y 满足则2x -y 的最大值为(A) 1(B) 2 (C) 3 (D) 4http//【知识点】简单的线性规划.E5 【答案解析】B 解析：画出可行域如图：平移直线z=2x-y 得，当此直线过可行域中的点A （1,0）时 2x-y 有最大值2，故选B.【思路点拨】设目标函数z=2x-y ，画出可行域平移目标函数得点A （1,0）是使目标函数取得最大值的最优解.【题文】7.已知x ∈[，]，则“x ∈”是“sin(sin x )<cos(cos x )成立”的(A) 充要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分不必要条件(D) 既不充分也不必要条件【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 A2【答案解析】C 解析：解：（1）∵x∈[﹣，]，∴sinx+cosx≤，即＜sinx ＜﹣cosx ， ∴sin（sinx ）＜sin （﹣cosx ），即sin （sinx ）＜cos （cosx ）成立，（2）∵sin（sinx ）＜cos （cosx ）∴s in （sinx ）＜sin （﹣cosx ），sinx ＜﹣cosxsinx+cosx ＜，x ∈[﹣π，π]，∴x∈[，]，不一定成立，根据充分必要条件的定义可判断：“x∈[﹣，]是“sin（sinx ）＜cos （cosx ）成立”的充分不必要条件，故选：C【思路点拨】利用诱导公式，结合三角函数的单调性判断，命题成立，再运用充分必要条件定义判断【题文】8．是定义在非零实数集上的函数，为其导函数，且时，，记，则(A) (B)(C) (D)【知识点】函数的单调性.B3【答案解析】C 解析：因为对任意两个不相等的正数，都有，即对任意两个不相等的正数，都有，所以函数是上的减函数，因为，所以b>a>c,故选C. 【思路点拨】构造函数，根据条件可以判断它是上的减函数，由此可以判断a,b,c的大小关系.【题文】9．已知函数的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是(A) (B) (C) (D)【知识点】分段函数的应用B1【答案解析】D 解析：解：若x＞0，则﹣x＜0，∵x＜0时，f（x）=sin（）﹣1，∴f（﹣x）=sin（﹣）﹣1=﹣sin（）﹣1，则若f（x）=sin（）﹣1，（x＜0）关于y轴对称，则f（﹣x）=﹣sin（）﹣1=f（x），即y=﹣sin（）﹣1，x＞0，设g（x）=﹣sin（）﹣1，x＞0作出函数g（x）的图象，要使y=﹣sin（）﹣1，x＞0与f（x）=log a x，x＞0的图象至少有3个交点，则0＜a＜1且满足g（5）＜f（5），即﹣2＜log a5，即log a5＞，则5，解得0＜a＜，故选：A【思路点拨】求出函数f（x）=sin（）﹣1，（x＜0）关于y轴对称的解析式，利用数形结合即可得到结论【题文】10．已知R，且≥对x∈R恒成立，则的最大值是(A) (B) (C) (D)【知识点】分类讨论 E8【答案解析】A 解析：由≥对x ∈R 恒成立，显然a ≥0，b ≤-ax ．若a =0，则ab =0．若a >0，则ab ≤a -a 2x ．设函数，求导求出f (x )的最小值为．设，求导可以求出g(a )的最大值为，即的最大值是，此时．【思路点拨】利用导数证明不等关系第II 卷（非选择题共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答。

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高三数学毕业班第一次综合质量检测试题理(满分：150分考试时间：120分钟)注意事项：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

3.全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合A ＝{x|x 2－3x<0}，B ＝{x|log 2x>0}，则A∩B＝A.{x|1<x<3}B.{x|0<x<2}C.{x|0<x<3}D.{x|0<x<1} 2.在复平面内，复数2(1)12ii +-对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知命题p ：∀x∈R，sinx ＋cosx<2.则－p 为A.∃x 0∈R，sinx 0＋cosx 0>2B.∀x∈R，sinx ＋cosx ≥2C.∀x∈R，sinx ＋cosx>2D.∃x 0∈R，sinx 0＋cosx 0≥2 4.下列函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)单调递减的函数是 A.y ＝2x－2－xB.y ＝xtanxC.y ＝x －sinxD.y ＝1x－2x 5.已知函数2()sin 1xf x x x=⋅+，则函数y ＝f(x)的图像大致为6.从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，……，x n ，y 1，y 2，……，y n ，组成坐标平面上的n个点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…(x n ，y n )，其中到原点距离小于1的点有m 个，用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 A.4n m B.2n m C.4m n D.2m n7.执行如图所示的程序框图，输出的结果是A.5B.6C.7D.88.已知非零向量a r ，b r 满足，(4a r ＋b r )⊥(4a r －b r )，2|a r |2＝a r ·b r ，则向量a r ，b r夹角为A.6π B.3π C.2πD.23π9.设抛物线C ：x 2＝4y 焦点为F ，直线y ＝kx ＋2与C 交于A ，B 两点，且|AF|·|BF|＝25，则k 的值为A.±2B.－1C.±1D.－210.已知函数221tan ()2sin cos 1tan xf x x x x-=-+，给出下列三个结论： ①函数f(x)的最小正周期是π；②函数f(x)在区间[－8π，8π]上是增函数； ③函数f(x)的图像关于点(－8π，0)对称。

其中正确结论的个数是 A.0 B.1 C.2 D.311.设数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)，a 1＝2，则数列{(－1)n·a n }的前200项和是 A.20100 B.20200 C.40200 D.4040012.在棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为AA 1，BC 的中点，点M 在棱B 1C 1上，B 1M＝14B 1C 1，若平面FEM 交A 1B 1于点N ，四棱锥N －BDD 1B 1的五个顶点都在球O 的球面上，则球O 半径为 A.229 B.52C.22D.30 第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第13～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13.函数f(x)＝xlnx 的单调递减区间是；14.将5名志愿者分派到2个不同社区参加公益活动，要求每个社区至少安排2人参加活动，则不同的分派方案共有种；(用数字作答)15.设{a n }是公差不为零的等差数列，a 4是a 2与a 8的等比中项，a 3＋a 7＝20，则a n ＝；16.双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是F 1，F 2，若双曲线上存在点a2b2P 满足12PF PF ⋅u u u r u u u u r ＝－2a 2，则双曲线C 离心率的取值范围为。

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分)锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设(a 2＋b 2－c 2)tanC ＝3ab 。

(1)求C ；(2)若3sinA ＝4sinB ，且△ABC 的面积为33，求△ABC 的周长。

18.(本小题满分12分)如图，在四棱锥S －ABCD 中，平面SBD ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ＝23，CB ＝CD ＝2，∠BCD＝120°。

(1)求证：AC ⊥SB ；(2)若M为线段BD上的一点，DM＝14BD，SM＝332，SM⊥BD，求平面ABS与平面BCS所成锐二面角的余弦值。

19.(本小题满分12分)已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的长轴长是离心率的两倍，直线l：4x－4y＋3＝0交C于A，B两点，且AB的中点横坐标为－12。

(1)求椭圆C的方程；(2)若M，N是椭圆C上的点，O为坐标原点，且满足|OM|2＋|ON|2＝34，求证：OM，ON斜率的平方之积是定值。

20.(本小题满分12分)已知函数ln()x af xx+=(a∈R)，g(x)＝e x－1。

(1)求f(x)的单调区间；(2)若g(x)≥f(x)在(0，＋∞)上成立，求a的取值范围。

21.(本小题满分12分)某购物商场分别推出支付宝和微信“扫码支付”购物活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用“扫码支付”。

现统计了活动刚推出一周内每天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次，统计数据如下表所示：(1)根据散点图判断，在推广期内，扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程适合用y＝c·d x来表示，求出该回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；(2)推广期结束后，商场对顾客的支付方式进行统计，结果如下表：商场规定：使用现金支付的顾客无优惠，使用会员卡支付的顾客享受8折优惠，扫码支付的顾客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的顾客，享受7折优惠的概率为16，享受8折优惠的概率为13，享受9折优惠的概率为12。

现有一名顾客购买了a 元的商品，根据所给数据用事件发生的频率来估计相应事件发生的概率，估计该顾客支付的平均费用是多少?。

参考数据：设770.52111lg , 1.52,49.56,103.317i i i i i i i v y v v x v ====≈⋅≈≈∑∑ 参考公式：对于一组数据(u i ，v i )，(u 2，v 2)，…(u n ，v n )，其回归直线ˆˆˆvu αβ=+⋅的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆˆˆ,ni i i nii u v nuvv u unuβαβ==-==-⋅-∑∑。

请考生在第22、23二题中任选一题作答。

注意：只能做所选定的题目。

如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线lρcos(θ－4π)＝1，曲线C 的参数方程为：()2cos sin cos sin x y αααα=+=-⎧⎪⎨⎪⎩，，(α为参数)，A ，B 为直线l 上距离为2的两动点，点P 为曲线C 上的动点且不在直线l 上。

(1)求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程。

(2)求△PAB 面积的最大值。

23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)＝|2x ＋t|，若f(x)<1的解集为(－1，0)。

(1)求t 并解不等式f(x)>x ＋2；(2)已知：a ，b∈R ＋，若f(x)≥2a ＋b －|2x －2|，对一切实数x 都成立，求证：a 2b ≤1。

理科数学试题答案及评分参考说明：1、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.2、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3、只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分．（1）A （2）C （3）D （4）D （5）C （6）C （7）B （8） B （9）A （10）B （11）B （12）A 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．（13）1(0,)e（14） 20 （15）2n （16） )+∞三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）解：（1）由已知及余弦定理可得：sin2cos 2sin cos Cab C ab C C⋅==，···················2分∴sin C = ∵ABC △为锐角三角形，∴3C π=···················5分（2）由正弦定理，可得34a b =，·················6分∵1sin =24ABC S ab C ==△12ab =， ·················8分解得4,3a b ==，·················9分由余弦定理得2222cos 1691213c a b ab C =+-=+-=，c ∴=ABC △的周长为7·················12分(18) （本小题满分12分）证明：设AC 交BD 于点P ，Q AD AB =，CB CD =，所以ACD BCD ≅△△，所以60ACB ACD ∠=∠=o ，在BCD△中，CB CD =且60ACB ACD ∠=∠=o ，得CP BD ⊥，即AC BD ⊥，…………………2分又平面SBD ⊥平面ABCD ，平面SBD I 平面ABCD BD =，AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥平面SBD ………………………3分又SB ⊂平面SBD ，所以AC ⊥SB ………………5分（2）平面SBD ⊥平面ABCD ，平面SBD I 平面ABCD BD =，SM ⊂平面SAB ，SM BD ⊥，所以SM ⊥平面ABCD ， ……………………6分以P 为原点，以射线,,PA PB PQ 为x 轴，y 轴，z 轴正半轴建立空间直角坐标系，(3,0,0)A ，(0,3,0)B ，333(0,,)S -，(1,0,0)C -，3333(0,,)22SB =-u u r ,(3,3,0)AB =-u u ur ,(1,3,0)BC =--u u u r ……………………7分设平面ASB 的法向量为(,,)n x y z =r ，则33330330y z x y ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩，取1x =，得(1,3,3)n =r………………9分设平面SBC 的法向量为(,,)n x y z '''=r ，则333302230y z x y ⎧''-=⎪⎨⎪''--=⎩，取1y '=，得(3,1,1)m =-r……………11分设所求角为θ，则105|cos ||cos ,|||||||35n m n m n m θ⋅=<>==r r r rr r ，∴所求的锐二面角余弦值为10535………………12分(19) （本小题满分12分）解：由椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长是离心率的两倍得22a e =，即2a c =……….. ①········1分设1122(,),(,)A x y B x y联立22221x y a b+=和4430x y -+=整理得222222239()0216a b x a x a a b +++-=；········3分所以2122232ax x a b +=-+，依题意得：22232=1aa b--+，即222a b =…….. ②········5分由①②得依题意得2211,24a b ==所以椭圆C 的方程为22241x y +=.········6分（2）设3344(,),(,)M x y N x y ，由223||||4OM ON +=得2222334434x y x y +++=········7分因为3344(,),(,)M x y N x y 在椭圆C 上，故223412x x +=·······9分 22223422342222343411(12)(12)44OM ON x x y y K K x x x x -⋅-⋅===222234342234112()4)1164x x x x x x -++=（ (12)（20）（本小题满分12分） 20.解:(1)21ln '()x af x x--=(0)x >. ········1分当10e a x -<<时，'()0,()f x f x >单调递增；········2分当1e a x ->时，'()0,()f x f x <单调递减. ········3分所以()f x 的单调递增区间为()10,e a -，单调递减区间为()1e +a-∞，········4分 (2)由()()g x f x ≥得ln e 1xx ax+-≥也就是e ln x a x x x ≤--，令()e ln xh x x x x =--，········5分则1'()e e 1xxh x x x =+--=1(1)(e )xx x+-，由0x >知，10x +>. 设1()e x t x x =-，21'()e 0xt x x=+>，()t x 在()0,+∞单调递增，········6分又1()20,(1)e 102t t =<=->，所以存在01,12x ∈（）使得0()0t x =，即0x1e x =.········7分当()00,x x ∈时，'()0h x <，()h x 在()00,x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，'()0h x >，()h x 在()0,x +∞单调递增; ········9分所以0min 0000()()e ln x h x h x x x x ==--=0011x x -+=.········11分所以a 的取值范围是(],1-∞.········12分 (21) （本小题满分12分）解：（1）由xd c y ⋅=，两边同时取常用对数得：x d c d c y x⋅+=⋅=lg lg )lg(lg ；设v y =lg x d c v ⋅+=∴lg lg …………………………………………………………1分52.1,4==v x Θ，14049362516941712=++++++=∑=i i x ， …………………2分25.02874714052.14756.49477ˆlg 2271271==⨯-⨯⨯-=⨯-⋅-=∴∑∑==i ii ii xvx v x d，………………………4分把样本中心点)52.14(，代入x d c v ⋅+=lg lg ,得: 52.0ˆlg =c ， x v25.052.0ˆ+=∴x y 25.052.0ˆlg +=∴……………………………………5分 y ∴关于x 的回归方程为：x x x y )10(31.3101010ˆ25.025.052.025.052.0⨯=⨯==+；把8=x 代入上式， 3311031.3ˆ2=⨯=y；活动推出第8天使用扫码支付的人次为331； …………………………………………7分（2）记一名顾客购物支付的费用为ξ，则ξ的取值可能为：a ，a 9.0，a 8.0，a 7.0；…………………………………… 8分2.0)(==a P ξ；15.0213.0)9.0(=⨯==a P ξ； 6.0313.05.0)8.0(=⨯+==a P ξ；05.0613.0)7.0(=⨯==a P ξ…………………10分分布列为：所以，一名顾客购物的平均费用为：a a a a a 85.005.07.06.08.015.09.02.0=⨯+⨯+⨯+（元）………………………12分（22）（本小题满分10分）解：（1）直线l 的极坐标方程1)4(cos 2=-πθρ化成1sin cos =+θρθρΘθρθρsin ,cos ==y x ，∴直线l 的直角坐标方程为01=-+y x ……………2分曲线C 的参数方程化成：为参数）ααααα(,sin cos sin cos 2⎪⎩⎪⎨⎧-=+=y x .平方相加得2422=+y x ，即12822=+y x ………………5分（2）设点P )sin cos ,sin 2cos 2(αααα-+，则P 到直线l 的距离为：2|1sin cos 3|-+=ααd 2|1)sin(10|-+=ϕα ………………8分当sin()1αϕ+=-时，max 2d =9分设PAB ∆的面积为S ，则)225(||21max +⨯⨯=AB S 225+= ……10分法二：也可设点P )sin 2,cos 22(θθ23.已知函数|2|)(t x x f +=，若1)(<x f 的解集为)0,1(-. （1）求t 并解不等式2)(+>x x f ；最新Word（2）已知：+∈R b a ,，若|22|2)(--+≥x b a x f ,对一切实数x 都成立，求证：12≤b a .解：（1）由1)(<x f 可得：121<+<-t x ，即2121t x t -<<+- 解集为（-1，0），所以1=t …………………………………3分当21-≥x 时，不等式2)(+>x x f 化成212+>+x x ，解得：1>x 当21-<x 时，不等式2)(+>x x f 化成212+>--x x ，解得：1-<x 综上所述，解集为),1()1,(+∞⋃--∞………………………………5分（2）由题意得b a x x +≥-++2|22||12|对一切实数x 恒成立，从而min |)22||12(|2-++≤+x x b a …………………………………6分3|)22()12(||22||12|=--+≥-++x x x x Θ|22||12|-++∴x x 的最小值为3 ………………………………8分∴32≤+b a ，又+∈R b a ,∴1)3(32≤++≤b a a b a ………………………………10分。