北京市朝阳区高三年级数学学科测试第一次综合练习

北京市朝阳区高三年级数学学科测试第一次综合练习
（文史类）2013.4
（考试时间120分钟满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
（1）为虚数单位，复数的虚部是
A．B．C． D .
（2）若集合，，则
A. B. C. D.
（3）已知向量，.若，则实数的
值为
A．B．C．D．
（4）已知命题：，；命题：，.
则下列判断正确的是
A．是假命题B．是假命题C．是真命题D．是真命题
（5）若直线与圆有两个不同的公共点，则实数的取值范围是
A．B．
C． D .
（6）“”是“关于的不等式组表示的平面区域为三角形”的
A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
（7）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为
（8）已知函数.若，使，则称为函数的一个“生成点”.函数的“生成点”共有
A. 1个 B .2个 C .3个 D .4个
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.
（9）以双曲线的右焦点为焦点，顶点在原点的抛物线的标准方程是.
（10）执行如图所示的程序框图，输出结果S= .
（11）在等比数列中，，则，若为等差数列，且，则数列的前5项和等于. （12）在中，, , 分别为角, , 所对的边，且满足，则，
若，则.
（13）函数是定义在上的偶函数，且满足.当时，.若在区间上方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是.
（14）在平面直角坐标系中，点是半圆（≤≤）上的一个动点，点在线段的延长线上．当时，则点的纵坐标的取值范围是．
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
（15）（本小题满分13分）
已知函数（）的最小正周期为.
（Ⅰ）求的值及函数的单调递增区间；
（Ⅱ）当时，求函数的取值范围.
（16）（本小题满分13分）
国家环境标准制定的空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表：
空气质量指数0-50 51-100 101-150 151-200 201-300 300以上
空气质量等级1级优2级良3级轻度污染4级中度污染5级重度污染6级严重污染
由全国重点城市环境监测网获得2月份某五天甲城市和乙城市的空气质量指数数据用
茎叶图表示如下：
（Ⅰ）试根据上面的统计数据，判断甲、乙两个城市的空气质量指数的方差的大小关系（只需写出结果）；
（Ⅱ）试根据上面的统计数据，估计甲城市某一天空气质量等级为2级良的概率；
（Ⅲ）分别从甲城市和乙城市的统计数据中任取一个，试求这两个城市空气质量等级相同的概率．
(注：，其中为数据的平均数.)
（17）（本小题满分14分）
如图，在四棱锥中，平面平面，且，．四边形满足，，．为侧棱的中点，为侧棱上的任意一点.
（Ⅰ）若为的中点，求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）是否存在点，使得直线与平面垂直？若存在，
写出证明过程并求出线段的长；若不存在，请说明理由．
（18）（本小题满分13分）
已知函数，其中．
（Ⅰ）若曲线在点处的切线的斜率为，求的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间.
（19）（本小题满分14分）
已知椭圆过点,离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点且斜率为（）的直线与椭圆相交于两点，直线，分别交直线于，两点,线段的中点为.记直线的斜率为，求证: 为定值.
（20）（本小题满分13分）
由按任意顺序组成的没有重复数字的数组，记为，设，其中.
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）求的最大值.
(注：对任意，都成立.)
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习
数学学科测试答案（文史类）2013.4
一、选择题：
题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）
答案A C B D D A D B
二、填空题：
题号（9）（10）（11）（12）（13）（14）
答案；；
（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）
三、解答题：
（15）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）……………………………………………1分
. ……………………………………………………4分
因为最小正周期为，所以.………………………………………………5分
于是.
由，，得.
所以的单调递增区间为[ ]，.……………………………8分
（Ⅱ）因为，所以，…………………………………10分
则. …………………………………………………12分
所以在上的取值范围是[ ]. ………………………………………13分
（16）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）甲城市的空气质量指数的方差大于乙城市的空气质量指数的方差.……………3分（Ⅱ）根据上面的统计数据，可得在这五天中甲城市空气质量等级为2级良的频率为，则估计甲城市某一天的空气质量等级为2级良的概率为．………………6分,
（Ⅲ）设事件A：从甲城市和乙城市的上述数据中分别任取一个，这两个城市的空气质量等级相同，由题意可知，从甲城市和乙城市的监测数据中分别任取一个，共有个结果，分别记为：
（29，43），（29，41），（29，55），（29，58）（29，78）
（53，43），（53，41），（53，55），（53，58），（53，78），
（57，43），（57，41），（57，55），（57，58），（57，78），
（75，43），（75，41），（75，55），（75，58），（75，78），
（106，43），（106，41），（106，55），（106，58），（106，78）.
其数据表示两城市空气质量等级相同的包括同为1级优的为甲29，乙41，乙43，同为2级良的为甲53，甲57，甲75，乙55，乙58，乙78.
则空气质量等级相同的为：
（29，41），（29，43），
（53，55），（53，58），（53，78）,
（57，55），（57，58），（57，78），
（75，55），（75，58），（75，78）.共11个结果.
则.
所以这两个城市空气质量等级相同的概率为．
…………………………………………………………………13分
（17）（本小题满分14分）
证明：（Ⅰ）因为分别为侧棱的中点，
所以．
因为，所以．
而平面，平面，
所以平面．……………………………………………………4分（Ⅱ）因为平面平面，
平面平面，且，平面.
所以平面，又平面，所以．
又因为，，所以平面，
而平面，
所以平面平面．……………………………………………………8分
（Ⅲ）存在点，使得直线与平面垂直.
在棱上显然存在点,使得.
由已知，，，，．
由平面几何知识可得．
由（Ⅱ）知，平面，所以，
因为，所以平面．
而平面，所以．
又因为,所以平面.
在中，，
可求得，．
可见直线与平面能够垂直，此时线段的长为．……………14分
（18）（本小题满分13分）
解：(Ⅰ)由可知，函数定义域为，
且.由题意，，
解得.……………………………………………………………………………4分（Ⅱ）.
令，得，.
（1）当时，，令，得;令，得.
则函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）当，即时，令，得或.
则函数的单调递增区间为，.
令，得.
则函数的单调递减区间为.
（3）当，即时，恒成立，则函数的单调递增区间为.
（4）当，即时，令，得或，
则函数的单调递增区间为，.
令，得.
则函数的单调递减区间为. ……………………………………13分
（19）（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）依题得解得，.
所以椭圆的方程为. …………………………………………………4分
（Ⅱ）根据已知可设直线的方程为.
由得.
设,则.
直线，的方程分别为：，
令，
则,所以.
所以
. ……………………………………………………14分
（20）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）.………3分
（Ⅱ）证明：由及其推广可得，
= . ……………………………7分
（Ⅲ）的倍与倍共个数如下：
其中最大数之和与最小数之和的差为，所以，
对于，，
所以的最大值为. ……………………………………………………13分
注：使得取得最大值的有序数组中，只要保证数字1，2，3，4互不相邻，数字7，8，9，10也互不相邻，而数字5和6既不在7，8，9，10之一的后面，又不在1，2，3，4之一的前面都符合要求.。