高三数学(理科)综合测试题(一)
陕西省咸阳市2023届高三下学期一模理科数学试题(解析版)
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，求出抛物线C的焦点坐标及准线方程，再利用定义求解作答.
【详解】抛物线C： 的焦点 ，准线方程 ，
显然点A的横坐标为2，由抛物线定义得： ，所以 .
故选：B6.执行如图所来自的程序框图，若输入 ，则输出s＝（）
A. B. C. D.
【答案】A
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意得 ，进而结合双曲线的性质和已知条件得 ， ， ，再根据 ， ， 得 ，进而根据离心率公式求解即可.
【详解】解：如图，设直线 为双曲线 的两条渐近线，
则直线 的方程分别为 ， ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，直线 的方程分别为 ，即 ，
所以 到直线 的距离为 ，
所以， 的实数解有 个，
所以，函数 零点的个数是 个.
故答案为：
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17.已知数列 的前n项之积为 ．
（1）求数列 的通项公式；
A.11.1米B.10.1米C.11.11米D.11米
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等比数列通项及前n项和公式计算作答.
【详解】依题意，乌龟爬行的距离依次排成一列构成等比数列 ， ，公比 ， ，
所以当阿喀斯与乌龟相距0.01米时，乌龟共爬行的距离 .
故选：C
5.设F为抛物线C： 的焦点，点A在C上，且A到C焦点的距离为3，到y轴的距离为2，则p＝（）
【小问1详解】
【高三数学试题】高三数学试题1(理科)及参考答案
高三数学试题1(理科)一、选择题1、设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B ⋃=的集合B 的个数是（ ）A ．1B ．3C ．4D ．82、若集合{|3},{|33}xM y y P x y x ====-，则M P I =（ ） A {|1}x x > B {|1}y y ≥ C {|0}y y > D {|0}x x ≥3、已知命题p ：若,022=+y x 则x 、y 全为0；命题q ：若a b >，则11a b <．给出下列四个命题：①p 且q ，②p 或q ，③p 的逆否命题，④ q ⌝，其中真命题的个数为（ ）()A 1()B 2 ()C 3 ()D 44．集合{}22M x x =-≤≤，{}02N y y =≤≤，给出下列四个图形，其中能表示以M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（ ）.5、已知集合A ＝{(x ，y)|32y x --=1，x ，y ∈R}，B={(x ，y)|y=ax+2，x ，y ∈R}，若A ⋂B ＝∅，则a 的值为（ ）A ．a ＝1或a ＝32B ．ａ＝１或a ＝12 C ．a ＝2或a ＝3 D ．以上都不对 6、若函数)(212)(为常数a k k x f xx⋅+-=在定义域上为奇函数，则的值为k （ ）A ． 1 B. 1- C. 1± D. 07、若函数()(2)()[1,1]()||,()f x f x f x x f x x y f x +=∈-==满足且时则函数的图象与 函数||log 3x y =的图像的交点个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．多于4x y 0-2 2x y 0 -2 22 xy 0 -2 22 xy 0 -2 2 2A. B. C . D.8、已知函数2()24(03),f x ax ax a =++<<若1212,1,x x x x a <+=-则（ ）A ．12()()f x f x >B ．12()()f x f x <C ．12()()f x f x = D ．1()f x 与2()f x 的大小不能确定二、填空题9、设,0.(),0.x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1[()]2g g =__________．10．已知函数22(),1x f x x R x =∈+，则1()()f x f x += ；11、设0)1)((:;1|34:|≤---≤-a x a x q x p ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 .12、若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是 （结果用最简分数表示）。
河南省2023届高三上学期第一次考试数学理科试题(解析版)
“顶尖计划”2023届高中毕业班第一次考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}223,N ,18400A x x n nB x x x ==+∈=--<∣∣，则A B 中的元素个数为（）A.8B.9C.10D.11【答案】B 【解析】【分析】解一元二次不等式化简集合B ，再根据已知列出不等式，求解判断作答.【详解】解不等式218400x x --<得：220x -<<，即{|220}B x x =-<<，而{}23,N A x x n n ==+∈∣，由22320n -<+<解得：51722n -<<，又N n ∈，显然满足51722n -<<的自然数有9个，所以A B 中的元素个数为9.故选：B 2.已知复数33i2i z =+，则z =（）A.1B.35C.355D.3【答案】C 【解析】【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用复数的模长公式可求得结果.【详解】因为()()()33i 2i 3i 3i 36i 2i 2i 2i 2i 55z +====-++--+，因此，5z ==.故选：C.3.已知非零向量a 、b满足a b =r r ，且()2a b b +⊥ ，则,a b <>= （）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】C 【解析】【分析】由已知可得出()20a b b +⋅= ，利用平面向量数量积的运算性质求出cos ,a b <> 的值，结合平面向量夹角的取值范围可求得结果.【详解】因为()2a b b +⊥ ，则()222cos ,0a b b a b a b b +⋅=⋅<>+= ，a b = ，可得1cos ,2a b <>=- ，因为0,πa b ≤<>≤ ，因此，2π,3a b <>= .故选：C.4.某士兵进行射击训练，每次命中目标的概率均为34，且每次命中与否相互独立，则他连续射击3次，至少命中两次的概率为（）A.2732B.916C.2764D.932【答案】A 【解析】【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式及互斥事件的概率加法公式即可求解.【详解】解：因为每次命中目标的概率均为34，且每次命中与否相互独立，所以连续射击3次，至少命中两次的概率322333327C 144432P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：A.5.已知函数()2sin 3cos f x x x =+在x ϕ=处取得最大值，则cos ϕ=（）A.13 B.13C.13-D.31313-【答案】A 【解析】【分析】根辅助角公式和正弦函数最值求解即可.【详解】()()2sin 3cos f x x x x θ=+=+，其中θ为锐角，sin 13θ=.因为当x ϕ=处取得最大值，所以22πϕθπ+=+k ，k Z ∈，即22πϕθπ=-+k ，k Z ∈，所以313cos cos 2sin 213πϕθπθ⎛⎫=-+== ⎪⎝⎭k .故选：A6.已知定义域为R 的偶函数()f x 满足()(4)0f x f x +-=，且当[2,2)x ∈-时，2()4f x x =-，则(2021)f =（）A.3-B.1- C.1D.3【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，探讨出函数()f x 的周期，再结合已知函数式求解作答.【详解】因R 上的偶函数()f x 满足()(4)0f x f x +-=，即有()()()4f x f x f x -=-=--，则(8)(4)()f x f x f x -=--=-，因此，函数()f x 是周期为8的周期函数，2(2021)(25285)(5)(1)[(1)4]3f f f f =⨯+==--=---=.故选：D7.我国古代经典数学名著《九章算术》中有一段表述:“今有圆堡壔（dăo ），周四丈八尺，高一丈一尺”，意思是有一个圆柱，底面周长为4丈8尺，高为1丈1尺.则该圆柱的外接球的表面积约为（）（注:1丈=10尺，π取3）A.1185平方尺B.1131平方尺C.674平方尺D.337平方尺【答案】B 【解析】【分析】根据题意作图，再由底面周长求得底面半径，连接上下底面圆心，取中点为外接圆的圆心，根据勾股定理，可得外接圆半径，可得答案.【详解】由1丈=10尺，则4丈8尺=48尺，1丈1尺=11尺，如下图：则11,2·48BC AB π==，即8AB =，假设点D 为圆柱外接圆的圆心，即AD 为外接圆的半径，且112BD DC ==，在Rt ABD △中，222AB BD AD +=，解得294.25AD =，则外接球的表面积241131S AD π=⋅=，故选：B.8.甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者去,,A B C 三个不同的小区参加新冠疫情防控志愿服务，每个小区至少去1人，每人只去1个小区，且甲、乙去同一个小区，则不同的安排方法有（）A.28种B.32种C.36种D.42种【答案】C 【解析】【分析】先将甲、乙看成一个元素，然后先分组后排列可得.【详解】将甲、乙看成一个元素A ，然后将A 、丙、丁、戊四个元素分为3组，共有21142122C C C 6A =种，再将3组分到3个不同小区有33A =6种，所以满足条件的安排方法共有66=36⨯种.故选：C9.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(,4)m -，其中0m <，若7cos 225α=-，则πtan 2m α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.2B.12-C.43-D.34-【答案】D 【解析】【分析】利用三角函数定义求出tan α，再利用二倍角的余弦公式结合齐次式法求解作答.【详解】依题意，4tan 0mα=->，又22222222cos sin 1tan 7cos 2cos sin cos sin 1tan 25ααααααααα--=-===-++，解得4tan 3α=，从而得3m =-，所以3πsin()π3πcos 132tan(tan()3π22sin tan 4cos(2m ααααααα-+=-===-=---.故选：D10.过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 且斜率为1-的直线交C 于A 、B （其中A 在x轴上方）两点，交C 的准线于点M ，且16AB =，O 为坐标原点，则OM =（）A.2B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理结合抛物线的焦点弦长公式求出p 的值，可求得点M 的坐标，再利用平面间两点间的距离公式可求得OM 的值.【详解】抛物线C 的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，直线AB 的方程为2⎛⎫=--⎪⎝⎭p y x ，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立222p y x y px⎧⎛⎫=--⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩可得22304p x px -+=，2290p p ∆=->，由韦达定理可得123x x p +=，则12416x x p A p B =++==，可得4p =，联立22p x p y x ⎧=-⎪⎪⎨⎛⎫⎪=-- ⎪⎪⎝⎭⎩可得2p x y p ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，即点()2,4M -，因此，OM ==.故选：D.11.已知32()2(2)3f x x a x x =+--是奇函数，则过点(1,2)P -向曲线()y f x =可作的切线条数是（）A.1B.2C.3D.不确定【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出a ，再求出函数()f x 的导数，设出切点坐标，借助导数的几何意义列出方程求解作答.【详解】因函数()f x 是奇函数，则由()()0f x f x -+=得()2220a x -=恒成立，则2a =，即有3()23f x x x =-，2()63'=-f x x ，设过点(1,2)P -向曲线()y f x =所作切线与曲线()y f x =相切的切点为3000(,23)Q x x x -，而点(1,2)P -不在曲线()y f x =上，则320000232631x x x x ---=+，整理得32004610x x +-=，即2000(21)(221)0x x x ++-=，解得012x =-或0132x -±=，即符合条件的切点有3个，所以过点(1,2)P -向曲线()y f x =可作的切线条数是3.故选：C12.设双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的左、右焦点分别为点12(,0),(,0)F c F c -，过点(2,0)P c -且斜率为12的直线与双曲线的左、右两支分别交于,M N 两点，若||3||PN PM =，且直线2F N 的斜率为3，则Γ的离心率为（）A.132B.2C.2D.2【答案】B 【解析】【分析】通过题意可以得到直线PN 和直线2NF 的方程，两条方程联立可以得到N 的坐标，代入双曲线即可求出答案【详解】解：由题意可得直线PN 的方程为()122y x c =+，直线2NF 的方程为()3y x c =-，所以()()1223y x c y x c ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩，解得8595c x cy ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即89,55c c N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将89,55c c N ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入双曲线可得2222648112525c c a b-=即()22222648112525c c a c a -=-，所以2264811125251e e -=⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为1,e >所以e =故选：B二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数2()log (1)f x x a =-+在区间(2,3)上有且仅有一个零点，则实数a 的取值范围为_____.【答案】(1,0)-【解析】【分析】结合函数的单调性和零点的存在定理，即可求解【详解】解：由对数函数的性质，可得()f x 为单调递增函数，且函数()f x 在(2,3)上有且仅有一个零点，所以()()230f f ⋅<，即(1)0a a ⋅+<，解得10a -<<，所以实数a 的取值范围是(1,0)-，故答案为：(1,0)-14.写出一个同时具有下列性质①②③的函数:()f x =_____.①()()()1212f x x f x f x =+;②当,()0x ∈+∞时，()f x 单调递减;③()f x 为偶函数.【答案】12log x （不唯一）【解析】【分析】根据对数函数性质即可做出判断.【详解】性质①显然是和对数有关，性质②只需令对数的底01a <<即可，性质③只需将自变量x 加绝对值即变成偶函数.故答案为：12log x （不唯一）15.已知平面上的动点P 到点(0,0)O 和(2,0)A 的距离之比为32，则点P 到x 轴的距离最大值为_____.【答案】【解析】【分析】设(,)P x y ，然后根据题意列方程化简可得点P 的轨迹是以(6,0)-为圆心，为半径的圆，从而可求得答案.【详解】设(,)P x y ，因为动点P 到点(0,0)O 和(2,0)A 的距离之比为32，2=，22223(2)4x y x y +=-+，2222443(44)3x y x x y +=-++，221212x y x ++=22(6)48x y ++=，所以点P 的轨迹是以(6,0)-为圆心，所以点P 到x 轴的距离最大值为故答案为：16.微型航空遥感技术以无人机为空中遥感平台，为城市经济和文化建设提供了有效的技术服务手段.如图所示，有一架无人机在空中P 处进行航拍，水平地面上甲、乙两人分别在,A B 处观察该无人机（两人的身高忽略不计），C 为无人机在水平地面上的正投影.已知甲乙两人相距100m ，甲观察无人机的仰角为45︒，若再测量两个角的大小就可以确定无人机的飞行高度PC ，则这两个角可以是_____.（写出所有符合要求的编号）①BAC ∠和ABC ∠；②BAC ∠和PAB ∠;③PAB ∠和PBA ∠；④PAB ∠和ABC ∠.【答案】①③④【解析】【分析】①：根据已知先解ABC 得AC ，然后可得；②：根据已知直接判断可知；③：先解PAB △得PA ，然后可得；④：先由最小角定理的BAC ∠，解ABC 可得AC ，然后可得.【详解】①：当已知BAC ∠和ABC ∠时，在ABC 利用内角和定理和正弦定理可得AC ，然后在Rt PAC △中，由三角函数定义可得PC ，故①正确；②：当已知BAC ∠和PAB ∠时，在ABC 已知一角一边，在PAB △中已知一角一边，显然无法求解，故②错误；③：当已知PAB ∠和PBA ∠时，在PAB △中已知两角一边，可解出PA ，然后在Rt PAC △中，由三角函数定义可得PC ，故③正确；④：当已知PAB ∠和ABC ∠时，可先由最小角定理求得BAC ∠，然后解ABC 可得AC ，最后在Rt PAC △中，由三角函数定义可得PC ，故④正确.故答案为：①③④三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题:共60分.17.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知251,15a S ==.（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）若23log 2n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）23n a n =-（2）1(25)210n n T n +=-⨯+【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程组直接求解可得；（2）由错位相减法可得.【小问1详解】设数列{}n a 的公差为d ，由题设可得111,51015a d a d +=⎧⎨+=⎩解得112,a d =-⎧⎨=⎩所以1(1)223n a n n =-+-⨯=-.【小问2详解】由（1）知2log 23n b n n =-，所以223nn bn =-可得(23)2nn b n =-⨯，所以231121232(25)2(23)2n n n T n n -=-⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ①23412121232(25)2(23)2n n n T n n +=-⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ②②减①可得:341112222(23)2n n n T n ++=⨯----+-⨯ 118(12)(23)2212n n n -+⨯-=-⨯+--1(25)210n n +=-⨯+18.某工厂共有甲、乙两个车间，为了比较两个车间的生产水平，分别从两个车间生产的同一种零件中各随机抽取了100件，它们的质量指标值m 统计如下:质量指标值m [)0,20[)20,40[)40,60[)60,80[]80,100甲车间（件）152025319乙车间（件）510153931（1）估计该工厂生产这种零件的质量指标值m 的平均数;（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（2）根据所给数据，完成下面的22⨯列联表（表中数据单位:件），并判断是否有99%的把握认为甲、乙两个车间的生产水平有差异.60m <60m ≥合计甲车间乙车间合计附:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()2P K k≥0.050.010.001k3.8416.63510.828【答案】（1）58；（2）列联表见解析，有99%把握认为甲乙两个车间的生产水平有差异.【解析】【分析】（1）根据给定的数表，求出各组数据的频率，再列式计算作答.（2）完善22⨯列联表，计算2K 的观测值，再与临界值比对作答.【小问1详解】由所给数据，各组的频率分别为0.1，0.15，0.2，0.35，0.2，所以该工厂生产这种零件的质量指标值m 的平均数的估计值为：100.1300.15500.2700.35900.258⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】22⨯列联表如下：60m <60m ≥合计甲车间6040100乙车间3070100合计90110200所以22200(60704030)18.18210010090110K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯因为18.182大于6.635，所以有99%把握认为甲乙两个车间的生产水平有差异.19.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，190,24,ACB AA AC BC M ︒∠====为棱1AA 上靠近1A 的三等分点，N 为棱AC 的中点，点P 在棱BC 上，且直线PN ∥平面1BMC .（1）求PC 的长;（2）求二面角1P BM C --的余弦值.【答案】（1）23PC =（2）22110【解析】【分析】(1)在1CC 上取一点Q ，使得CP CQ =，根据面面平行判定定理证明平面PQN平面1BMC ，再根据面面平行性质定理确定CQ 的长即可，(2)建立空间直角坐标系，求出平面PBM ，平面1BC M 的法向量，根据二面角向量公式求二面角1P BM C --的余弦值.【小问1详解】在1CC 上取一点Q ，使得CP CQ =，连接,PQ NQ .由已知得11CC AA CB ==，所以1CQ CPCC CB=所以1PQ BC ∥.因为PQ ⊄平面1BMC ，1BC ⊂平面1BMC ，所以PQ ∥平面1BMC .又因为PN ∥平面1,BMC PN PQ P ⋂=，,PN NQ ⊂平面PQN ，所以平面PQN 平面1BMC .平面11ACC A 平面PQN QN =，平面11ACC A 平面11BC M MC =，根据面面平行的性质可知1//MC QN .在矩形11ACC A 中，可得11CQN A MC ∽，所以11123A M CQ CN A C ==，所以2233PC CQ CN ===.【小问2详解】以C 为坐标原点，分别以1,,CA CB CC 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.则182(0,0,0),(0,0,4),(0,4,0),2,0,,0,,033C C B M P ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.114(0,4,4),2,0,3C B C M ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ，8102,4,,0,,033BM BP ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，设平面1C MB 的法向量为()111,,m x y z =r，则110,0,C B m C M m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，所以1111440,420,3y z x z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，取13z =得()2,3,3.m = 设平面PMB 的法向量为()222,,n x y z =r ，则0,0,BM n BP n ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 所以22228240,3100,3x y z y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩取23z =-，得()4,0,3.n =- 所以22cos ,110m n m n m n ⨯++⨯-⋅===-⋅结合图可知二面角1PBM C --的余弦值为110.20.过椭圆22:143x y C +=上任意一点P 作直线:l y kx p=+（1）证明:2234p k + ;（2）若0,p O ≠为坐标原点，线段OP 的中点为M ，过M 作l 的平行线,l l ''与C 交于,A B 两点，求ABP △面积的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）32.【解析】【分析】（1）联立椭圆方程与直线方程，消元整理一元二次方程，由题意，该方程有解，则判别式大于等于零，可得答案.（2）设出题目中的两点，根据平行，设出另一条直线，根据中点，找出两直线的截距之间的关系，联立椭圆方程与直线方程，消元整理一元二次方程，写出韦达定理，根据三角形的等积变换，利用分割法，整理函数，根据（1），可得答案.【小问1详解】联立221,43,x y y kx p ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 整理得：()2223484120k x kpx p +++-=，因为点P 在C 上，所以()()2222644412340,k p p k ∆=--+ 化简得2234p k + .【小问2详解】设:l y kx m '=+，点()00,P x y ，则00,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭.由已知得00y kx p =+，所以00222y x p k =⋅+，即点00,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭满足方程2p y kx =+，所以2p m =.由221,43,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()2223484120k x kmx m +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则21212228412,3434km m x x x x k k-+=-=++.所以122.34x x k-==+∣所以121||2ABPABOSS m x x ==-==令2234m t k =+，因为2223444p k m += ，所以10,4t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.所以32ABPS ==所以ABP △面积的最大值为32.21.设函数()()e xf x mx m m =--∈R .（1）讨论()f x 的单调性;（2）若()f x 有两个零点1x 和2x ，设1202x x x +=，证明：()00f x '>（()f x '为()f x 的导函数）.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）分0m ≤、0m >两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数()f x 的增区间和减区间；（2）由函数零点的定义可得出1212e 0e 0x x mx m mx m ⎧--=⎨--=⎩，可得出1212e e x x m x x -=-，将所证不等式等价变形为12212212eex x x x x x --->-，令1202x x t -=>，即证e e 2t t t -->，构造函数()e e 2t t g t t -=--，其中0t >，利用导数分析函数()g t 的单调性，即可证得结论成立.【小问1详解】解：因为()e x f x mx m =--，则()e xf x m '=-，若0m ≤，对任意的x ∈R ，则()0f x '<，函数()f x 的单调递减区间为(),-∞+∞；若0m >，令()e 0xf x m '=-=，得ln x m =，当ln x m <时，()0f x '>，当ln x m >时，()0f x '<.所以()f x 的增区间为(),ln m -∞，减区间为()ln ,m +∞.综上所述，当0m ≤时，函数()f x 的单调递减区间为(),-∞+∞；当0m >时，函数()f x 的增区间为(),ln m -∞，减区间为()ln ,m +∞.【小问2详解】证明：不妨令12x x >，由题设可得1212e 0e 0x x mx m mx m ⎧--=⎨--=⎩，两式相减整理可得1212e e x x m x x -=-.所以()1212121222012e e ee 2x x x x x x x xf x f m x x ++''+-⎛⎫==-=- ⎪-⎝⎭，要证()00f x '>，即证1212212e e e 0x x x x x x +-->-，即证12212212eex x x x x x --->-，令1202x x t -=>，即证e e 2t t t -->，其中0t >，构造函数()e e 2ttg t t -=--，其中0t >，则()e e 220t t g t -'=+->=，所以，函数()g t 在()0,∞+上单调递增，所以，当0t >时，()()00g t g >=，即e e 2t t t -->，故原不等式得证.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.（二）选考题：共10分.请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2(cos sin )(,0),(cos sin )x m m y m ϕϕϕϕϕ=-⎧≠⎨=+⎩为参数以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 504πθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.（1）写出l 的直角坐标方程;（2）若l 与C 只有一个公共点，求m 的值.【答案】（1）50x y +-=（2）102=±m 【解析】【分析】(1)利用和差化积的正弦公式把直线l 的极坐标方程展开，再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可求解.(2)先得出曲线C 的普通方程，再联立方程，利用判别式等于0即可求解.【小问1详解】由l 的极坐标方程可得sin cos 50ρθρθ+-=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可知，直角坐标方程为：50x y +-=.【小问2详解】由C 的参数方程可得2222x y m m ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即C 的普通方程为222480x y m +-=.联立方程22250480x y x y m +-=⎧⎨+-=⎩得：2254010080x x m -+-=，因为直线l 与曲线C 只有一个公共点，所以()222404510081604000m m∆=-⨯⨯-=-=，解得：2=±m .[选修4-5:不等式选讲]23.已知,,a b c 均为正实数，且1abc =.（1）求124a b c++的最小值;（2）证明:222++≥+++++bc ac ab b c a c a b.【答案】（1）6（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用三元基本不等式求解即可.（2）利用基本不等式证明即可得到答案.【小问1详解】由基本不等式可知1246++≥==a b c ，当且仅当124a b c ==，即1,1,22a b c ===时等号成立，所以124a b c++的最小值为6.【小问2详解】因为1abc =，所以111bc ac ab a b c++=++.11242+≥=≥=++a b a b a b .同理可得114b c b c+≥+，114a c a c+≥+所以4111442⎛⎫++≥++⎪+++⎝⎭a b c b c a c a b，当且仅当a b c==时等号成立.所以111222++≥+++++a b c b c a c a b，即222. ++≥+++++ bc ac abb c a c a b。
2013年高三理科数学综合测试题一
2013届高三第二学期理科数学训练题（一）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项． 1.已知集合2{|9},{|33}M x x N x z x ===∈-≤<,则M N = （ ）A ．∅B ．{3}-C ．{3,3}-D ．{3,2,0,1,2}--2.已知命题p ：21,04x R x x ∀∈-+≥，则命题p 的否定p ⌝是 （ ） A ．21,04x R x x ∃∈-+< B ．21,04x R x x ∀∈-+≤C ．21,04x R x x ∀∈-+<D ．21,04x R x x ∃∈-+≥3. 在复平面内，复数21i+对应的点与原点的距离是 （ ）A.1B.2D.4.如图，是一个几何体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）、俯视图，正视图（主视图）、侧视图（左视图）都是矩形，则该几何体的体积是 ( )A ．24B ．12C ．8D ．45.为了得到函数)322sin(π+=x y 的图像，只需把函数)62sin(π+=x y 的图像（ ） A.向左平移2π个单位长度 B.向右平移2π个单位长度C.向左平移4π个单位长度D.向右平移4π个单位长度6.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为,,a b c ，若∠C=120°，c ，则( ) A.a b > B.a b < C. a b = D.,a b 的大小关系不能确定7.若椭圆12222=+by a x (0)a b >>的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线bx y 22=的焦点分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为 ( )A ．1617B C ．45 D8.对于任意两个正整数,m n ,定义某种运算“※”如下:当,m n 都为正偶数或正奇数时,m ※n =m n +;当,m n 中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m ※n =mn ．则在此定义下,集合{(,)M a b a =※12,,}b a b **=∈∈N N 中的元素个数是 ( )A ．10个B ．15个C ．16个D ．18个二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题是必做题，每道试题考生都必须做答．9.已知||1,||2,,60a b a b ==<>=,则|2|a b += .10.某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人．为了了解该校教师的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其他教师中共抽取了16人，则该校共有教师 人．11.若关于x 的不等式()21m x x x ->-的解集为{}12x x <<，则实数m 的值为 ．12.若0x >，0y >，123x y +=，则11x y+的最小值是 . 13. 在如下程序框图中，已知：0()x f x xe =，则输出的是_____ ___.（二）选做题：第14、15题是选做题，考生只能从中选做一题． 14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线24sin =⎪⎭⎫⎝⎛+πθρ被圆4=ρ截得的弦长为 . 15．（几何证明选讲选做题）如图，已知：ABC △内接于O ，点D 在OC 的延长线上，AD 是O 的切线，若30B ∠=︒，1AC =，则AD 的长为 .三．解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知向量(cos ,sin )a αα= ，(cos ,sin )b ββ= ， 且||a b -= .（I ）求cos()αβ-的值；（II ）若202π<α<<β<π-,且5sin 13β=-,求sin α的值.17．（本小题满分12分）为深入贯彻素质教育，增强学生体质，某中学从高一、高二、高三三个年级中分别选了甲、乙、丙三支足球队举办一场足球赛。
高三数学(理科)试题及答案
高三数学(理科)试题及答案高三数学(理科)试题及答案试题一：1. 解方程：(1) 解方程 $3x - 5 = 4x + 7$(2) 解方程 $2x^2 + 5x - 3 = 0$2. 已知函数 $f(x) = \frac{3}{x+1}$，求 $f(2) \cdot f(-2)$ 的值。
3. 已知 $\triangle ABC$，$AB = 3$，$BC = 4$，$AC = 5$。
求$\angle BAC$ 的大小。
4. 已知等差数列 $a_1 = 3$，$d = 4$。
求前10项的和 $S_{10}$。
5. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y = x^2 - 2x - 3$。
求顶点坐标和焦点坐标。
答案：1.(1) 将 $4x + 7$ 移项得 $3x - 4x = 7 + 5$，化简得 $x = -12$。
(2) 使用因式分解法或配方法，将方程 $2x^2 + 5x - 3 = 0$ 化简为$(2x - 1)(x + 3) = 0$。
解得 $x = \frac{1}{2}$ 或 $x = -3$。
2. 代入函数 $f(x)$ 的定义，得到 $f(2) \cdot f(-2) = \frac{3}{3} \cdot \frac{3}{1} = 3$。
3. 根据余弦定理，$AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot\cos(\angle BAC) = BC^2$。
代入已知条件，解得 $\cos(\angle BAC) = -\frac{7}{25}$。
因为 $\angle BAC$ 是锐角，所以 $\angle BAC =\arccos\left(-\frac{7}{25}\right)$。
4. 使用等差数列的求和公式 $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$，其中$S_{10}$ 是前10项的和，$n = 10$，$a_1 = 3$，$d = 4$。
广东省广州市2016届高三普通高中毕业班综合测试(一)数学(理)试题
绝密 ★ 启用前2016年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）已知集合{}1A x x =<，{}20B x x x =-≤，则AB =（A ）{}11x x -≤≤ （B ）{}01x x ≤≤ （C ）{}01x x <≤ （D ）{}01x x ≤< （2）已知复数3i1iz +=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数z 所对应的点在 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限（3）执行如图所示的程序框图，如果输入3x =，则输出k 的值为（A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12 （4）如果函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0ω>的相邻两个零点之间的距离为6π，则ω的值为（A ）3 （B ）6 （C ）12（D ）24（5）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且271224a a a ++=，则13S =（A ）52 （B ）78 （C ）104 （D ）208 （6）如果1P ，2P ，…，n P 是抛物线C ：24y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，n x ，F 是抛物线C 的焦点，若1210n x x x +++=，则12n PF P F P F +++=（A ）10n + （B ）20n + （C ）210n + （D）220n +（7）在梯形ABCD 中，A DB C ，已知4AD =，6BC =，若C D m B A n =+(),m n ∈R ，则mn = （A ）3- （B ）13- （C ）13（D ）3（8）设实数x ，y 满足约束条件10,10,1x y x y x --≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩， 则()222x y ++的取值范围是（A ）1,172⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）[]1,17 （C）⎡⎣ （D）⎣ （9）一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（A ）20π （B（C ）5π （D）（11）已知下列四个命题：1p ：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l α⊥； 2p ：若()22x x f x -=-，则x ∀∈R ，()()f x f x -=-； 3p ：若()11f x x x =++，则()00,x ∃∈+∞，()01f x =； 4p ：在△ABC 中，若A B >，则sin sin A B >．其中真命题的个数是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（11）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（A）8+ （B）8+（C）2+ （D）1224（12）以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．1 2 3 4 5 … 2013 2014 2015 20163 5 7 9 ………… 4027 4029 4031 8 12 16 ………………… 8056 8060 20 28 ………………………… 16116 …………………………………………该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（A ）201520172⨯ （B ）201420172⨯ （C ）201520162⨯ （D ）201420162⨯第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）一个总体中有60个个体，随机编号0，1，2，…，59，依编号顺序平均分成6个小组，组号依次为1，2，3，…，6．现用系统抽样方法抽取一个容量为6的样本，若在第1组随机抽取的号码为3，则在第5组中抽取的号码是 ．（14）已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>的左顶点为A ，右焦点为F ，点()0,B b ，且0BA BF =，则双曲线C 的离心率为 ．（15）()422x x --的展开式中，3x 的系数为 ． （用数字填写答案） （16）已知函数()211,1,42,1x x f x x x x ⎧-+<⎪=⎨-+≥⎪⎩，则函数()()22xg x f x =-的零点个数为个．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD BC ⊥，AC =5CD =,2BD AD =.（Ⅰ）求AD 的长； （Ⅱ）求△ABC 的面积．（18）（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[)55,65，[)65,75，[]75,85内的频率之比为4:2:1．（Ⅰ）求这些产品质量指标值落在区间[]75,85内的频率；（Ⅱ）若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产 品中质量指标值位于区间[)45,75内的产 品件数为X ，求X 的分布列与数学期望．（19）（本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A BC D -的底面ABCD 是菱形，AC BD O =，1AO ⊥底面ABCD ，21==AA AB ．（Ⅰ）证明：平面1ACO ⊥平面11BB D D ；（Ⅱ）若60BAD ∠=，求二面角1B OB -（20）（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为()120F -，，点(B 在椭圆C 上，直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．（21）（本小题满分12分）已知函数+3()e x m f x x =-,()()ln 12g x x =++．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线斜率为1，求实数m 的值； （Ⅱ）当1m ≥时，证明：()3()f x g x x >-.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号．（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图所示，△ABC 内接于⊙O ，直线AD 与⊙O 相切于点A ，交BC 的延长线于点D ，过点D 作DECA 交BA 的延长线于点E ．（Ⅰ）求证：2DE AE BE =；（Ⅱ）若直线EF 与⊙O 相切于点F ，且4EF =，2EA =，求线段AC 的长．（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρsin 2=，[)0,2θ∈π. （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）在曲线C 上求一点D ，使它到直线l ：32x y t ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ）的距离最短，并求出点D 的直角坐标.（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设函数()f x x x =+- （Ⅰ）当1a =时，求不等式()12f x ≥的解集； （Ⅱ）若对任意[]0,1a ∈，不等式()f x b ≥的解集为空集，求实数b 的取值范围．绝密 ★ 启用前2016年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学试题答案及评分参考评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分． 一．选择题（1）D （2）D （3）C （4）B （5）C （6）A （7）A （8）A（9）D（10）B（11）A（12）B二．填空题（13）43（14 （15）40- （16）2三．解答题（17）(Ⅰ) 解法一： 在△ABC 中，因为2BD AD =，设AD x =()0x >，则2BD x =．在△BCD 中，因为CD BC ⊥，5CD =，2BD x =， 所以cos CD CDB BD ∠=52x=．………………………………………………………2分在△ACD 中，因为AD x =，5CD =，AC =由余弦定理得222cos 2AD CD AC ADC AD CD +-∠==⨯⨯ ………4分 因为CDB ADC ∠+∠=π， 所以cos cos ADC CDB ∠=-∠，52x=-．………………………………………………………5分 解得5x =．所以AD 的长为5. …………………………………………………………………6分解法二： 在△ABC 中，因为2BD AD =，设AD x =()0x >，则2BD x =． 在△BCD 中，因为CD BC ⊥，5CD =，2BD x =，所以BC =．所以cos BC CBD BD ∠==．……………………………………………2分在△ABC 中，因为3AB x =，BC AC =由余弦定理得2222cos 2AB BC AC CBA AB BC +-∠==⨯⨯．…………4分=25分 解得5x =．所以AD 的长为5. …………………………………………………………………6分（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）求得315AB x ==，BC ==．………………8分所以cos 2BC CBD BD ∠==1sin 2CBD ∠=．…………………………10分 所以1sin 2ABC S AB BC CBA ∆=⨯⨯⨯∠111522=⨯⨯=12分解法二：由（Ⅰ）求得315AB x ==，BC =．………………8分因为AC =ABC 为等腰三角形．因为cos BC CBD BD ∠==30CBD ∠=．……………………………10分所以△ABC 底边AB 上的高12h BC == 所以12ABC S AB h ∆=⨯⨯1152=⨯=12分解法三：因为AD 的长为5， 所以51cos ==22CD CDB BD x ∠=，解得3CDB π∠=．……………………………8分所以12sin 234ADC S AD CD ∆π=⨯⨯⨯=．1sin 232BCD S BD CD ∆π=⨯⨯⨯=．……………………………………10分所以ABC ADC BCD S S S ∆∆∆=+=12分（18）解：（Ⅰ）设区间[]75,85内的频率为x ，则区间[)55,65，[)65,75内的频率分别为4x 和2x ．…………………………1分 依题意得()0.0040.0120.0190.0310421x x x +++⨯+++=，………………3分 解得0.05x =．所以区间[]75,85内的频率为0.05．………………………………………………4分 （Ⅱ）从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，所以X 服从二项分布(),B n p ，其中3n =．由（Ⅰ）得，区间[)45,75内的频率为0.30.2+0.1=0.6+，将频率视为概率得0.6p =．………………………………………………………5分 因为X 的所有可能取值为0，1，2，3，…………………………………………6分且0033(0)C 0.60.40.064P X ==⨯⨯=，1123(1)C 0.60.40.288P X ==⨯⨯=， 2213(2)C 0.60.40.432P X ==⨯⨯=，3303(3)C 0.60.40.216P X ==⨯⨯=．所以X 的分布列为：X 0 1 2 3P0.064 0.288 0.432 0.216所以X 的数学期望为00.06410.28820.43230.216 1.8EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． （或直接根据二项分布的均值公式得到30.6 1.8EX np ==⨯=）……………12分………………………10分（19）（Ⅰ）证明：因为1AO ⊥BD ⊂平面ABCD ，所以1AO BD ⊥因为ABCD 是菱形，所以CO BD ⊥因为1AO CO O =，所以BD ⊥平面1ACO 因为BD ⊂平面11BB D D ，所以平面11BB D D ⊥平面1ACO ．…………………………………………………4分 （Ⅱ）解法一：因为1AO ⊥平面ABCD ，CO BD ⊥，以O 为原点，OB ，OC ，1OA 方 向为x ，y ，z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系．………………………5分 因为12AB AA ==，60BAD ∠=， 所以1OB OD ==，OA OC =11OA ==．………………6分则()1,0,0B ，()C ，()0,A ，()10,0,1A ，所以()11BB AA ==设平面1OBB 的法向量为n 因为()1,0,0OB =，1OB =所以0,0.x x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩令1=y ，得(0,1,=n 同理可求得平面1OCB 的法向量为()1,0,1=-m ．………………………………10分 所以cos ,<>==n m 11分 因为二面角1B OB C --的平面角为钝角，所以二面角1B OB C --的余弦值为4-．……………………………………12分解法二：由（Ⅰ）知平面连接11AC 与11B D 交于点连接1CO ，1OO ，因为11AA CC =，1//AA 所以11CAAC 因为O ，1O 分别是AC ，11所以11OAO C 为平行四边形．且111OC OA ==． 因为平面1ACO 平面11BB D D 1OO =，过点C 作1CH OO ⊥于H ，则CH ⊥平面11BB D D ．过点H 作1HK OB ⊥于K ，连接CK ，则1CK OB ⊥．所以CKH ∠是二面角1B OB C --的平面角的补角．……………………………6分 在1Rt OCO ∆中，11122O C OC CH OO ⨯===．………………………………7分在1OCB ∆中，因为1AO ⊥11A B ，所以1OB ==因为11A B CD =，11//A B CD ， 所以11B C A D ===．因为22211B C OC OB +=，所以1OCB ∆为直角三角形．……………………………8分 所以11CB OC CK OB ===⨯9分所以KH ==．…………………………………………………10分所以cos 4KH CKH CK∠==．……………………………………………………11分所以二面角1B OB C --的余弦值为4-．……………………………………12分（20）（Ⅰ）解法一：设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆的左焦点为()120F -，，所以224a b -=．……………………………1分 设椭圆的右焦点为()220F ，，已知点(2B 在椭圆C 上， 由椭圆的定义知122BF BF a +=，所以2a ==．………………………………………………………2分所以a =2b =．………………………………………………………3分所以椭圆C 的方程为22184x y +=．………………………………………………4分 解法二：设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆的左焦点为()120F -，，所以224a b -=． ①…………………1分因为点(2B 在椭圆C 上，所以22421a b+=． ②…………………2分由①②解得，a =2b =．…………………………………………………3分所以椭圆C 的方程为22184x y +=．………………………………………………4分 （Ⅱ）解法一：因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A的坐标为()-．…………5分因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ， 设点()00,E x y （不妨设00x >），则点()00,F x y --．联立方程组22,184y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22812x k =+．所以0x =，则0y =．所以直线AE的方程为y x =+．……………………………6分因为直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ，令0x =得y =M ⎛ ⎝．……………………7分同理可得点N ⎛ ⎝．…………………………………………………8分所以MN ==．…………………9分设MN 的中点为P ，则点P 的坐标为0,P k ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．…………………………10分则以MN 为直径的圆的方程为22x y ⎛+= ⎝⎭2， 即224x y y k++=．…………………………………………………………11分 令0y =，得24x =，即2x =或2x =-．故以MN 为直径的圆经过两定点()12,0P ，()22,0P -．………………………12分 解法二：因为椭圆C的左端点为A ，则点A 的坐标为()-．……………5分因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ， 设点00(,)E x y ，则点00(,)F x y --．所以直线AE的方程为y x =+．………………………………6分 因为直线AE 与y 轴交于点M ，令0x =得y =，即点M ⎛⎫⎝．……………………………7分同理可得点N ⎛⎫⎝．……………………………………………………8分所以020168y MN x =-=-．因为点00(,)E x y 在椭圆C 上，所以2200184x y +=． 所以08MN y =．……………………………………………………………………9分 设MN 的中点为P ，则点P的坐标为000,P y ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭．………………………10分 则以MN为直径的圆的方程为2200x y y ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭2016y ．即220+x y y y +=4．………………………………………………………11分 令0y =，得24x =，即2x =或2x =-．故以MN 为直径的圆经过两定点()12,0P ，()22,0P -．………………………12分 解法三：因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A的坐标为()-．……………5分因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ，设点(),2sin E θθ（0θ<<π），则点(),2sin F θθ--． 所以直线AE的方程为y x =+．………………………6分因为直线AE 与y 轴交于点M ，令0x =得2sin cos 1y θθ=+，即点2sin 0,cos 1M θθ⎛⎫⎪+⎝⎭．………………………………7分同理可得点2sin 0,cos 1N θθ⎛⎫⎪-⎝⎭．………………………………………………………8分所以2sin 2sin 4cos 1cos 1sin MN θθθθθ=-=+-．………………………………………9分 设MN 的中点为P ，则点P 的坐标为2cos 0,sin P θθ⎛⎫-⎪⎝⎭．………………………10分 则以MN 为直径的圆的方程为222cos sin x y θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭24sin θ，即224cos 4sin x y y θθ++=．………………………………………………………11分 令0y =，得24x =，即2x =或2x =-．故以MN 为直径的圆经过两定点()12,0P ，()22,0P -．………………………12分（21）（Ⅰ）解：因为+3()e x m f x x =-，所以+2()e 3x m f x x '=-.……………………………………………………………1分 因为曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线斜率为1，所以()0e 1mf '==，解得0m =.…………………………………………………2分（Ⅱ）证法一：因为+3()e x m f x x =-,()()ln 12g x x =++，所以()3()f x g x x >-等价于()+e ln 120x mx -+->．当1m ≥时，()()+1e ln 12e ln 12x mx x x +-+-≥-+-．要证()+eln 120x mx -+->，只需证明1e ln(1)20x x +-+->.………………4分以下给出三种思路证明1e ln(1)20x x +-+->． 思路1：设()()1eln 12x h x x +=-+-，则()11e 1x h x x +'=-+. 设()11e 1x p x x +=-+，则()()121e 01x p x x +'=+>+． 所以函数()p x =()11e 1x h x x +'=-+在()1+-∞，上单调递增．…………………6分 因为121e 202h ⎛⎫'-=-< ⎪⎝⎭，()0e 10h '=->，所以函数()11e1x h x x +'=-+在()1+-∞，上有唯一零点0x ，且01,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. ………………………………8分 因为()00h x '=，所以0+101e1x x =+，即()()00ln 11x x +=-+.………………9分 当()01,x x ∈-时，()0h x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，所以当0x x =时，()h x 取得最小值()0h x .………………………………………10分 所以()()()0100=e ln 12x h x h x x +≥-+-()0011201x x =++->+. 综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-. ……………………………………12分 思路2：先证明1e2x x +≥+()x ∈R ．……………………………………………5分设()1e 2x h x x +=--，则()+1e 1x h x '=-．因为当1x <-时，()0h x '<，当1x >-时，()0h x '>，所以当1x <-时，函数()h x 单调递减，当1x >-时，函数()h x 单调递增． 所以()()10h x h ≥-=． 所以1e2x x +≥+（当且仅当1x =-时取等号）．…………………………………7分所以要证明1e ln(1)20x x +-+->，只需证明()2ln(1)20x x +-+->．………………………………………………8分 下面证明()ln 10x x -+≥．设()()ln 1p x x x =-+，则()1111xp x x x '=-=++． 当10x -<<时，()0p x '<，当0x >时，()0p x '>，所以当10x -<<时，函数()p x 单调递减，当0x >时，函数()p x 单调递增． 所以()()00p x p ≥=．所以()ln 10x x -+≥（当且仅当0x =时取等号）．……………………………10分 由于取等号的条件不同， 所以1eln(1)20x x +-+->．综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-. ……………………………………12分 （若考生先放缩()ln 1x +，或e x、()ln 1x +同时放缩，请参考此思路给分！） 思路3：先证明1eln(1)20x x +-+->．令1t x =+，转化为证明e ln 2tt ->()0t >．……………………………………5分因为曲线e t y =与曲线ln y t =关于直线y t =对称，设直线0x x =()00x >与曲线e t y =、ln y t =分别交于点A 、B ，点A 、B 到直线y t =的距离分别为1d 、2d ，则)12AB d d =+．其中01x d =，2d ()00x >．①设()000e x h x x =-()00x >，则()00e 1x h x '=-． 因为00x >，所以()00e 10x h x '=->．所以()0h x 在()0,+∞上单调递增，则()()001h x h >=．所以01x d =>． ②设()000ln p x x x =-()00x >，则()0000111x p x x x -'=-=． 因为当001x <<时，()00p x '<；当01x >时，()00p x '>， 所以当001x <<时，函数()000ln p x x x =-单调递减；当01x >时，函数()000ln p x x x =-单调递增． 所以()()011p x p ≥=．所以2d ≥．所以)122AB d d ≥+>=⎭． 综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-.……………………………………12分 证法二：因为+3()ex mf x x =-,()()ln 12g x x =++，所以()3()f x g x x >-等价于()+e ln 120x mx -+->．…………………………4分以下给出两种思路证明()+eln 120x mx -+->．思路1：设()()+e ln 12x m h x x =-+-，则()+1e 1x mh x x '=-+. 设()+1e1x mp x x =-+，则()()+21e 01x m p x x '=+>+． 所以函数()p x =()+1e 1x mh x x '=-+在()+∞-1，上单调递增．………………6分 因为1m ≥， 所以()()1e+1e 1ee e e e 10mmmmm m h ----+-+'-+=-=-<，()0e 10m h '=->.所以函数()+1e1x mh x x '=-+在()+∞-1，上有唯一零点0x ，且()01e ,0m x -∈-+. …………………8分 因为()00h x '=，所以0+01e1x mx =+，即()00ln 1x x m +=--．………………9分 当()00,x x ∈时，()0h x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>.所以当0x x =时，()h x 取得最小值()0h x ．……………………………………10分 所以()()()0+00e ln 12x mh x h x x ≥=-+-00121x m x =++-+ ()0011301x m x =+++->+． 综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-．……………………………………12分 思路2：先证明e 1()xx x ≥+∈R ，且ln(1)(1)x x x +≤>-．…………………5分 设()e 1xF x x =--，则()e 1x F x '=-．因为当0x <时，()0F x '<；当0x >时，()0F x '>， 所以()F x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增． 所以当0x =时，()F x 取得最小值(0)0F =．所以()(0)0F x F ≥=，即e 1()xx x ≥+∈R ．…………………………………7分 所以ln(1)x x +≤（当且仅当0x =时取等号）．…………………………………8分 再证明()+eln 120x mx -+->．由e 1()x x x ≥+∈R ，得1e 2x x +≥+（当且仅当1x =-时取等号）．…………9分 因为1x >-，1m ≥，且1e2x x +≥+与ln(1)x x +≤不同时取等号，所以 ()()+11e ln 12e e ln 12x m m x x x -+-+-=⋅-+-11e (2)2(e 1)(2)0m m x x x -->+--=-+≥．综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-．……………………………………12分（22）（Ⅰ）证明：因为AD 是⊙O 的切线，所以DAC B ∠=∠（弦切角定理）． (1)因为DECA ，所以DAC EDA ∠=∠．……………………………2所以EDA B ∠=∠．因为AED D EB ∠=∠（公共角），所以△AED ∽△DEB ．……………………………………………………………3分 所以DE AE BEDE=．即2DE AE BE =．…………………………………………………………………4分 （Ⅱ）解：因为EF 是⊙O 的切线，EAB 是⊙O 的割线，所以2EF EA EB = （切割线定理）．……………………………………………5分 因为4EF =，2EA =，所以8EB =，6AB EB EA =-=．…………………7分 由（Ⅰ）知2DE AE BE =，所以4DE =．………………………………………8分 因为DE CA ，所以△BAC ∽△BED ． ………………………………………9分所以BA ACBEED =．所以6438BA EDAC BE⋅⨯===． …………………………………………………10分（23）（Ⅰ）解：由θρsin 2=，[)0,2θ∈π，可得22sin ρρθ=．…………………………………………………………………1分 因为222x y ρ=+，sin y ρθ=，…………………………………………………2分所以曲线C 的普通方程为2220x y y +-=（或()2211x y +-=）． …………4分（Ⅱ）解法一：因为直线的参数方程为32x y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ），消去t 得直线l的普通方程为5y =+． ……………………………………5分因为曲线C ：()2211x y +-=是以G ()1,0为圆心，1为半径的圆，设点()00,D x y ，且点D 到直线l：5y =+的距离最短， 所以曲线C 在点D 处的切线与直线l：5y =+平行． 即直线GD 与l 的斜率的乘积等于1-，即(0011y x -⨯=-．………………7分 因为()220011x y +-=，解得0x =或0x = 所以点D 的坐标为12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，或32⎫⎪⎪⎝⎭，．……………………………………9分 由于点D到直线5y =+的距离最短，所以点D 的坐标为32⎫⎪⎪⎝⎭，．……………………………………………………10分 解法二：因为直线l的参数方程为32x y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ），消去t 得直线l50y +-=．……………………………………5分因为曲线C ()2211x y +-=是以G ()1,0为圆心，1为半径的圆，因为点D 在曲线C 上，所以可设点D ()cos ,1sin ϕϕ+[)()0,2ϕ∈π．………7分 所以点D 到直线l的距离为d =2sin 3ϕπ⎛⎫=-+⎪⎝⎭．………………………………8分 因为[)0,2ϕ∈π，所以当6ϕπ=时，min 1d =．…………………………………9分 此时D 32⎫⎪⎪⎝⎭，，所以点D 的坐标为32⎫⎪⎪⎝⎭，．……………………………10分（24）（Ⅰ）解：当1a =时，()12f x ≥等价于112x x +-≥．……………………1分 ①当1x ≤-时，不等式化为112x x --+≥，无解； ②当10x -<<时，不等式化为112x x ++≥，解得104x -≤<； ③当0x ≥时，不等式化为112x x +-≥，解得0x ≥．…………………………3分 综上所述，不等式()1≥x f 的解集为1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．………………………………4分 （Ⅱ）因为不等式()f x b ≥的解集为空集，所以()max b f x >⎡⎤⎣⎦．…………………5分以下给出两种思路求()f x 的最大值.思路1：因为()f x x x =+-()01a ≤≤，当x ≤()f x x x =-=0<．当x <时，()f x x x =2x =£=+当x ≥()f x x x =+=所以()max f x ⎡⎤⎣⎦=7分思路2：因为 ()f x x x =+-x x ≤++==当且仅当x ≥所以()max f x ⎡⎤⎣⎦=7分因为对任意[]0,1a ∈，不等式()f x b ≥的解集为空集，所以max b >．………………………………………………………8分以下给出三种思路求()g a =. 思路1：令()g a =所以()21g a =+2212≤++=．=12a =时等号成立． 所以()max g a =⎡⎤⎣⎦所以b的取值范围为)∞．…………………………………………………10分 思路2：令()g a =因为01a ≤≤，所以可设2cos a θ= 02θπ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭， 则()g a=cos sin 4θθθπ⎛⎫=+=+≤ ⎪⎝⎭ 当且仅当4θπ=时等号成立． 所以b的取值范围为)∞．…………………………………………………10分 思路3：令()g a =因为01a ≤≤，设x y ìï=ïíï=ïî则221x y +=()01,01x y ＃＃． 问题转化为在221x y +=()01,01x y ＃＃的条件下， 求z x y =+的最大值．利用数形结合的方法容易求得z此时x y ==． 所以b的取值范围为)∞．…………………………………………………10分。
北京市东城区2014届高三下学期综合练习(一)理科数学试卷(带解析)
北京市东城区2014届高三下学期综合练习（一）理科数学试卷（带解析）1）．AC【答案】C 【解析】C正确。
考点：1一元二次不等式；2集合的运算。
2）．AC【答案】C【解析】C正确。
考点：复数的运算。
3）．ABC D【答案】D【解析】试题分析：D正确。
考点：三角函数伸缩平移变换。
4）．A．27 B．36 C．42 D．63【答案】D【解析】故D正确。
考点：1等差数列的通项公式；23等差中项。
5）．A．2【答案】A【解析】A正确。
考点：1直角坐标和极坐标间的互化；2点到线的距离公式。
6）．A．3 B．4 C．5 D．不能确定【答案】B【解析】B正确。
考点：平面向量的加减法。
7率为（）．A．2 B【答案】C【解析】1。
依题意可因为，所。
所以C正确。
考点：1双曲线的简单几何性质；2点到线的距离；3直线和圆的位置关系。
8）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】2个。
故B正确。
考点：1函数解析式；2函数零点问题。
9的解析式为______________．(2+∞，【解析】，所以()f x -()2,+∞。
考点：1函数的奇偶性；2一元二次不等式；3分类讨论思想。
10________．（用数字作答）【解析】考点：二项式定理。
11．【解析】考点：直角三角形和等边三角形的简单性质。
12________．【解析】 试题分析：平面区域D表示的区域为区域D考点：1不等式表示平面区域；2几何概型概率。
13．某写字楼将排成一排的6个车位出租给4个公司，其中有两个公司各有两辆汽车，如果这两个公司要求本公司的两个车位相邻，那么不同的分配方法共有________种．（用数字作答）【答案】24 【解析】试题分析：此问题相当于将4分配方法共有24种。
考点：排列组合。
14________．【解析】试题分析：由面面垂直的性质定理可得D。
因为，即Q，所以为直角三角形，则，令，则2考点：1面面垂直的性质定理；2棱锥的体积；3基本不等式。
陕西省汉中市2023届高三上学期教学质量第一次检测理科数学试题(含答案解析)
（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．函数 f x 2 x3 x e x 的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．m，n 为空间中两条不重合直线， 为空间中一平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若 m // n ， n ，则 m / /
B．若 m ， m // n ，则 n
7．A 【分析】先将原函数用诱导公式变形为正弦函数表示，再根据“左加右减”的原则判断即可.
【详解】
y
cos
2x
3
cos
2x
5 6
2
sin
2x
5 6
sin
2
x
5 12
故可由
y
sin2x 的图象向左平移
5 12
个单位长度得到.
故选：A.
8．C
【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.
三、解答题
17．已知 a,b, c 分别为 ABC 内角 A, B,C 的对边，且 2b a cosC c cosA
(1)求角 C ； (2)若 c2 2ab,ABC 的面积为 3 ，求 a b 的值. 18．如图，多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 为菱形， ABB FA 2ED 2 .
A．
1 3
B． 2 5
C．
1 2
D． 3 5
11．若双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
的实轴的两个端点与抛物线
x2
8by
的焦点是一个直
角三角形的顶点，则该双曲线的离心率为（ ）
2022年四川省高考理科数学第一次统一检测试卷及答案解析
2022年四川省高考理科数学第一次统一检测试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A ＝{x |x 2+x ﹣6≤0}，B ＝{x |﹣1＜x ＜3}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，2）B ．（﹣1，2]C ．[2，3）D ．（2，3）2．（5分）已知复数z 满足（3+4i ）z ＝2+i ，则z 的虚部为（ ） A ．25B ．225C ．−15D ．﹣13．（5分）某市为了解全市环境治理情况，对本市的200家中小型企业的污染情况进行了摸排，并把污染情况各类指标的得分综合折算成标准分100分，统计并制成如图所示的直方图，则标准分不低于70分的企业数为（ ）A ．30B ．60C ．70D ．1304．（5分）当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．经过9个“半衰期”后，死亡生物组织内的碳14的含量约为死亡前的（ ） A ．1128B ．1256C ．1512D ．110245．（5分）如图，网格纸中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体中最长的棱长为（ ）A ．2√2B ．4C ．2√5D ．2√66．（5分）双曲线mx 2+y 2＝1的焦距是虚轴长的2倍，则m ＝（ ） A ．−13B ．﹣3C ．﹣5D ．−157．（5分）命题“∀x ∈[﹣1，3]，x 2﹣2x ﹣a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是（ ） A ．a ≥4B ．a ≥3C ．a ≥2D ．a ≥18．（5分）已知sin(α−π6)+cosα=35，则cos(2α+π3)=（ ） A ．1825B ．725C ．−725D ．−18259．（5分）若从1，3中选一个数字，从0，2，4中选两个数字，组成无重复数字的三位数，则组成的三位数为偶数的概率是（ ） A ．45B ．57C ．23D ．3510．（5分）如图，A 处为长江南岸某渡口码头，北岸B 码头与A 码头相距√3km ，江水向正东(AD →)流．已知一渡船从A 码头按AC →方向以10km /h 的速度航行，且∠BAC ＝30°，若航行0.2h 到达北岸的B 码头，则江水速度是（ ）A ．10√2km/ℎB ．5√2km/ℎC ．5km /hD ．1km /h11．（5分）祖暅是南北朝时代伟大的科学家，在数学上有突出贡献．他在五世纪末提出祖暅原理：“密势既同，则积不容异．”其意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面面积相等，则这两个几何体的体积相等．我们称由双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b＞0）中|y |≤m （m ＞0）的部分绕其虚轴旋转形成的几何体为双曲线旋转体．如图，双曲线旋转体的下半部分挖去底面直径为2a ，高为m 的圆柱体后，所得几何体与底面半径为am b，高为m 的圆锥均放置于平面β上（几何体底面在β内）．与平面β平行且到平面β距离为h （0≤h ≤m ）的平面与两几何体的截面面积分别为S 圆，S 圆环，可以证明S 圆＝S圆环总成立．依据上述原理，x 2−y 24=1(|y|≤4)的双曲线旋转体的体积为（ ）A ．443π B ．563π C ．283π D ．323π12．（5分）已知函数f （x ）＝xe x ﹣x 2﹣2x ﹣m 在（0，+∞）上有零点，则m 的取值范围是（ ）A ．[1﹣ln 22，+∞）B ．[﹣ln 22﹣1，+∞）C ．[﹣ln 22，+∞）D ．[−12ln 22，+∞)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知a →，b →是单位向量，且|a →−b →|=1，则|a →+b →|= ． 14．（5分）给出两个条件：①a ，b ∈R ，f （a +b ）＝f （a ）f （b ）； ②f （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递增．请写出一个同时满足以上两个条件的一个函数 ．（写出满足条件的一个函数即可） 15．（5分）定义运算“⊕”：a ⊕b ＝sin a ⋅cos b ．设函数f （x ）＝[（2x ）⊕φ]+[φ⊕（2x ）]，将f （x ）的图象向右平移π8个单位长度得到函数g （x ）的图象，且g （x ）的图象关于y轴对称，则|φ|的最小值为 ． 16．（5分）已知点F 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的右焦点，过点A(0，b2)且垂直于y 轴的直线与椭圆交于B ，C 两点．当△BCF 为锐角三角形时，椭圆的离心率的取值范围为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）给出以下条件：①a 2，a 3，a 4+1成等比数列；②S 1+1，S 2，S 3成等比数列；③S n =a n a n+14(n ∈N ∗)．从中任选一个，补充在下面的横线上，再解答．已知递增等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，_____． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若{bn a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，求数列{b n }的前n 项的和T n ．18．（12分）某县对高一年级学生进行体质测试（简称体测），现随机抽取了800名学生的体测结果等级（“良好以下”或“良好及以上”）进行分析，并制成下图所示的列联表．良好以下 良好及以上合计 男 400 550 女 50 合计600800（1）将列联表补充完整；计算并判断是否有95%的把握认为本次体测结果等级与性别有关系；（2）将频率视为概率，用样本估计总体．若从全县高一所有学生中，采取随机抽样的方法次抽取1名学生成绩进行具体指标分析，连续抽取4次，且每次抽取的结果相互独立，记被抽取的4名学生的体测等级为“良好及以上”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望E （ξ）． 附表及公式： P （K 2≥k 0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 02.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828其中K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ．19．（12分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱AA 1垂直于底面ABC ，△ABC 是边长为2的正三角形，AA 1＝3，点D 在线段A 1B 上且A 1D ＝2DB ，点E 是线段B 1C 1的动点． （1）当点E 在什么位置时，直线DE ∥平面ACC 1A 1？（2）当直线DE ∥平面ACC 1A 1时，求二面角D ﹣EB ﹣C 的余弦值．20．（12分）如图，已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）与圆M ：（x ﹣4）2+y 2＝12相交于A ，B，C ，D 四点．（1）若以线段AD 为直径的圆经过点M ，求抛物线C 的方程；（2）设四边形ABCD 两条对角线的交点为E ，点E 是否为定点？若是，求出点E 的坐标；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数f(x)=−√x +alnx(a ≠0)，曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线为l ．（1）求l 的方程；（2）是否存在实数a ，使得l 与函数f （x ）的图象有2个不同公共点？若存在，求a 的值或取值范围；若不存在，请说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosθy =2sinθ，（θ为参数），曲线C 2的方程为x 2+（y ﹣3）2＝9．以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 1的极坐标方程；（2）已知射线l 1：θ=α(0＜α＜π2)与曲线C 1交于O ，A 两点，将射线l 1绕极点逆时针方向旋转π3得到射线l 2，射线l 2与曲线C 2交于O ，B 两点．当△AOB 的面积最大时，求α的值，并求△AOB 面积的最大值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x +1|+|2x ﹣3|，M 为不等式f （x ）≤4的解集． （1）求M ；（2）若a ，b ∈R ，且a 2+b 2∈M ，证明：0≤a 2﹣ab +b 2≤3．2022年四川省高考理科数学第一次统一检测试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A ＝{x |x 2+x ﹣6≤0}，B ＝{x |﹣1＜x ＜3}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，2）B ．（﹣1，2]C ．[2，3）D ．（2，3）【解答】解：由A ＝{x |x 2+x ﹣6≤0}＝{x |﹣3≤x ≤2}， B ＝{x |﹣1＜x ＜3}， 得A ∩B ＝{x |﹣1＜x ≤2}． 故选：B ．2．（5分）已知复数z 满足（3+4i ）z ＝2+i ，则z 的虚部为（ ） A ．25B ．225C ．−15D ．﹣1【解答】解：∵（3+4i ）z ＝2+i ， ∴z =2+i 3+4i =(2+i)(3−4i)(3+4i)(3−4i)=25−15i ， ∴z 的虚部为−15． 故选：C ．3．（5分）某市为了解全市环境治理情况，对本市的200家中小型企业的污染情况进行了摸排，并把污染情况各类指标的得分综合折算成标准分100分，统计并制成如图所示的直方图，则标准分不低于70分的企业数为（ ）A ．30B ．60C ．70D ．130【解答】解：根据频率分布直方图，标准分不低于70分的企业的频率为： （0.01+0.02+0.04）×5＝0.35，∴标准分不低于70分的企业数为0.35×200＝70（家）． 故选：C ．4．（5分）当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．经过9个“半衰期”后，死亡生物组织内的碳14的含量约为死亡前的（ ） A ．1128B ．1256C ．1512D ．11024【解答】解：设生物组织死亡前碳14的含量为1，经过1个半衰期后，死亡生物组织内的碳14的剩余量为P =12，经过n 个半衰期后，死亡生物组织内的碳14的剩余为P ＝（12）n ，当n ＝9时，P =129=1512． 故选：C ．5．（5分）如图，网格纸中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体中最长的棱长为（ ）A ．2√2B ．4C ．2√5D ．2√6【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体A ﹣BCD ； 如图所示：由于AE ＝DE ＝BC ＝2，EB ＝DC ＝4，所以AC =√22+22+42=2√6，AB ＝BD =√22+42=2√5，AD =√22+22=2√2， 故选：D ．6．（5分）双曲线mx 2+y 2＝1的焦距是虚轴长的2倍，则m ＝（ ） A ．−13B ．﹣3C ．﹣5D ．−15【解答】解：双曲线mx 2+y 2＝1的标准方程：y 2−x 2−1m=1，双曲线的焦距是虚轴长的2倍， 可得2√1−1m =4√−1m， 解得m ＝﹣3， 故选：B ．7．（5分）命题“∀x ∈[﹣1，3]，x 2﹣2x ﹣a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是（ ） A ．a ≥4B ．a ≥3C ．a ≥2D ．a ≥1【解答】解：∵命题“∀x ∈[﹣1，3]，x 2﹣2x ﹣a ≤0”为真命题，∴∀x ∈[﹣1，3]，x 2﹣2x ≤a ，则当x ∈[﹣1，2]时，x 2﹣2x ＝（x ﹣1）2﹣1≤3， ∴命题“∀x ∈[﹣1，3]，x 2﹣2x ﹣a ≤0”为真命题时，a ≥3， 经验证，A 选项符合题意． 故选：A ．8．（5分）已知sin(α−π6)+cosα=35，则cos(2α+π3)=（ ） A ．1825B ．725C ．−725D ．−1825【解答】解：∵sin(α−π6)+cosα=√32sin α+12cos α＝sin （α+π6）=35， ∴cos(2α+π3)=1﹣2sin 2(α+π6)=1﹣2×925=725， 故选：B ．9．（5分）若从1，3中选一个数字，从0，2，4中选两个数字，组成无重复数字的三位数，则组成的三位数为偶数的概率是（ ） A ．45B ．57C ．23D ．35【解答】解：组成无重复数字的三位数无0的选法C 21×C 22×A 33=12，有0的选法有C 21C 21×2×A 22=16，组成无重复数字的三位数共有28种， 组成的三位数为偶数，若三位数的个位为0，则有2×2×A 22＝8个； 若十位为0，则有C 21•C 21＝4个；若这个三位数没有0，则有C 21•C 21A 22＝8个． 综上，要求的三位偶数的个数为 8+8+4＝20个， 则组成的三位数为偶数的概率是2028=57．故选：B ．10．（5分）如图，A 处为长江南岸某渡口码头，北岸B 码头与A 码头相距√3km ，江水向正东(AD →)流．已知一渡船从A 码头按AC →方向以10km /h 的速度航行，且∠BAC ＝30°，若航行0.2h 到达北岸的B 码头，则江水速度是（ ）A ．10√2km/ℎB ．5√2km/ℎC ．5km /hD ．1km /h【解答】解：如图，∵北岸B 码头与A 码头相距√3km ，且航行时间为0.2h ， ∴合速度为√30.2=5√3，在△AEC 中，AE =5√3，AC ＝10，∠CAE ＝30°， ∴EC ＝5．即江水速度是5km /h ． 故选：C ．11．（5分）祖暅是南北朝时代伟大的科学家，在数学上有突出贡献．他在五世纪末提出祖暅原理：“密势既同，则积不容异．”其意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面面积相等，则这两个几何体的体积相等．我们称由双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b＞0）中|y |≤m （m ＞0）的部分绕其虚轴旋转形成的几何体为双曲线旋转体．如图，双曲线旋转体的下半部分挖去底面直径为2a ，高为m 的圆柱体后，所得几何体与底面半径为am b，高为m 的圆锥均放置于平面β上（几何体底面在β内）．与平面β平行且到平面β距离为h （0≤h ≤m ）的平面与两几何体的截面面积分别为S 圆，S 圆环，可以证明S 圆＝S圆环总成立．依据上述原理，x 2−y 24=1(|y|≤4)的双曲线旋转体的体积为（ ）A ．443π B ．563π C ．283πD ．323π【解答】解：依题意，m ＝4，a ＝1，b ＝2，圆锥底面半径am b=2，即圆锥的底面面积为4π，由祖暅原理可知，V ＝2（V 圆柱+V 圆锥）=2(π×12+13×π×22×4)=56π3． 故选：B ．12．（5分）已知函数f （x ）＝xe x ﹣x 2﹣2x ﹣m 在（0，+∞）上有零点，则m 的取值范围是（ ）A ．[1﹣ln 22，+∞）B ．[﹣ln 22﹣1，+∞）C ．[﹣ln 22，+∞）D ．[−12ln 22，+∞)【解答】解：因为函数f （x ）＝xe x ﹣x 2﹣2x ﹣m 在（0，+∞）上有零点， 所以方程f （x ）＝xe x ﹣x 2﹣2x ﹣m ＝0在（0，+∞）上有解， 即m ＝xe x ﹣x 2﹣2x 在（0，+∞）上有解，令g （x ）＝xe x ﹣x 2﹣2x ，则g ′（x ）＝（x +1）（e x ﹣2）， 令g ′（x ）＞0，可得x ＞ln 2，令g ′（x ）＜0，可得0＜x ＜ln 2， 所以g （x ）在（0，ln 2）上单调递减，在（ln 2，+∞）上单调递增， 所以g （x ）min ＝g （ln 2）＝﹣ln 22，所以m ≥﹣ln 22，即m 的取值范围是[﹣ln 22，+∞）． 故选：C ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知a →，b →是单位向量，且|a →−b →|=1，则|a →+b →|= √3 ． 【解答】解：根据题意，a →，b →是单位向量，且|a →−b →|=1， 则（a →−b →）2=a →2+b →2﹣2a →•b →=1，变形可得a →•b →=12， 则（a →+b →）2=a →2+b →2+2a →•b →=3，即|a →+b →|=√3； 故答案为：√3． 14．（5分）给出两个条件：①a ，b ∈R ，f （a +b ）＝f （a ）f （b ）； ②f （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递增．请写出一个同时满足以上两个条件的一个函数 f （x ）＝2x （答案不唯一） ．（写出满足条件的一个函数即可）【解答】解：由条件①可知函数f （x ）为指数函数， 由条件②可知，指数函数的底数a ＞1，则同时满足以上两个条件的一个函数可以为f （x ）＝2x ，f （x ）＝4x 等． 故答案为：f （x ）＝2x （答案不唯一）．15．（5分）定义运算“⊕”：a ⊕b ＝sin a ⋅cos b ．设函数f （x ）＝[（2x ）⊕φ]+[φ⊕（2x ）]，将f （x ）的图象向右平移π8个单位长度得到函数g （x ）的图象，且g （x ）的图象关于y轴对称，则|φ|的最小值为π4．【解答】解：∵运算“⊕”：a ⊕b ＝sin a ⋅cos b ，设函数f （x ）＝[（2x ）⊕φ]+[φ⊕（2x ）]＝sin2x cos φ+sin φcos2x ＝sin （2x +φ）， 将f （x ）的图象向右平移π8个单位长度得到函数g （x ）＝sin （2x −π4+φ）的图象，且g （x ）的图象关于y 轴对称， ∴−π4+φ＝±π2+k π，k ∈Z ，则|φ|的最小值为π4，故答案为：π4．16．（5分）已知点F 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的右焦点，过点A(0，b2)且垂直于y 轴的直线与椭圆交于B ，C 两点．当△BCF 为锐角三角形时，椭圆的离心率的取值范围为 (√63，√32) ．【解答】解：如图，易得B(−√32a ，b 2)，C(√32a ，b2)，F(c ，0)．所以CB →=(−√3a ，0)，CF →=(c −√32a ，−b 2)，FB →=(−√3a 2−c ，b2)，FC →=(√32a −c ，b 2)． 根据椭圆对称性，有BF ＞CF ，因此，若△BCF 为锐角三角形， 只需∠BCF 和∠BFC 均为锐角，即{CB →⋅CF →＞0FB →⋅FC →＞0，所以{−√3a(c −√3a2)＞0，(−√3a 2−c)(√3a 2−c)+b24＞0． 由此可得√63＜c a ＜√32， 故椭圆离心率的取值范围是(√63，√32)，故答案为：(√63，√32)．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）给出以下条件：①a 2，a 3，a 4+1成等比数列；②S 1+1，S 2，S 3成等比数列；③S n=a n a n+14(n∈N∗)．从中任选一个，补充在下面的横线上，再解答．已知递增等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，_____．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若{b na n}是以2为首项，2为公比的等比数列，求数列{b n}的前n项的和T n．【解答】解：（1）设数列{a n}的公差为d，则d＞0，选择条件①：因为a2，a3，a4+1成等比数列，所以a32=a2•（a4+1），所以（2+2d）2＝（2+d）•（2+3d+1），化简得d2﹣d﹣2＝0，解得d＝2或﹣1（舍负），所以数列{a n}的通项公式为a n＝2+（n﹣1）×2＝2n．选择条件②：因为S1+1，S2，S3成等比数列，所以S22=（S1+1）•S3，所以（2×2+d）2＝（2+1）•（3×2+3d），化简得d2﹣d﹣2＝0，解得d＝2或﹣1（舍负），所以数列{a n}的通项公式为a n＝2+（n﹣1）×2＝2n．选择条件③：因为S n=a n a n+14(n∈N∗)，所以当n≥2时，S n﹣1=a n−1a n4，两式相减得，a n=14a n（a n+1﹣a n﹣1），因为a n≠0，所以a n+1﹣a n﹣1＝4，即2d＝4，所以d＝2，所以数列{a n}的通项公式为a n＝2+（n﹣1）×2＝2n．（2）因为{b na n}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以b na n=2•2n﹣1＝2n，所以b n＝2n•2n，所以T n＝2•21+4•22+6•23+…+2n•2n，2T n＝2•22+4•23+6•24+…+（2n﹣2）•2n+2n•2n+1，两式相减得，﹣T n＝2•21+2•22+2•23+2•24+…+2•2n﹣2n•2n+1＝2×2(1−2n)1−2−2n•2n+1＝（1﹣n）2n+2﹣4，所以T n ＝（n ﹣1）2n +2+4．18．（12分）某县对高一年级学生进行体质测试（简称体测），现随机抽取了800名学生的体测结果等级（“良好以下”或“良好及以上”）进行分析，并制成下图所示的列联表．良好以下 良好及以上合计 男 400 550 女 50 合计600800（1）将列联表补充完整；计算并判断是否有95%的把握认为本次体测结果等级与性别有关系；（2）将频率视为概率，用样本估计总体．若从全县高一所有学生中，采取随机抽样的方法次抽取1名学生成绩进行具体指标分析，连续抽取4次，且每次抽取的结果相互独立，记被抽取的4名学生的体测等级为“良好及以上”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望E （ξ）． 附表及公式： P （K 2≥k 0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 02.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828其中K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ．【解答】解：（1）补充列出二联表如下：良好以下 良好及以上合计 男 400 150 550 女 200 50 250 合计600200800∴k 2=800(400×50−200×150)2600×200×550×250≈4.848＞3.841．∴有95%的把握认为本次体测结果等级与性别有关系．（2）由（1）表格可得：“良好及以上”的频率即概率P =200800=14， 由题意可知ξ～B （4，14），P （ξ＝k ）=C 4k(14)k (34)4−k ，k ＝0，1，2，3，4．ξ 0 1234P8125610825654256122561256∴E （ξ）＝4×14=1．19．（12分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱AA 1垂直于底面ABC ，△ABC 是边长为2的正三角形，AA 1＝3，点D 在线段A 1B 上且A 1D ＝2DB ，点E 是线段B 1C 1的动点． （1）当点E 在什么位置时，直线DE ∥平面ACC 1A 1？（2）当直线DE ∥平面ACC 1A 1时，求二面角D ﹣EB ﹣C 的余弦值．【解答】解：（1）当点E 是线段B 1C 1上靠近B 1的三等分点时，DE ∥平面ACC 1A 1． 过点D 作DF ∥AA 1交A 1B 1于点F ，过点F 作FE ∥A 1C 1于点E ，连接DE ， ∵EF ∥A 1C 1，EF ⊄平面AA 1C 1C ，∴EF ∥平面AA 1C 1C ， ∵DF ∥AA 1，FD ⊄平面AA 1C 1C ，∴FD ∥平面AA 1C 1C ， ∵EF ∩FD ＝F ，∴平面EFD ∥平面AA 1C 1C ， ∵DE ⊂平面EFD ，∴DE ∥平面AA 1C 1C ， 而B 1E EC 1=B 1F FA 1=BD DA 1=12，∴当点E 是线段B 1C 1上靠近B 1的三等分点时，DE ∥平面ACC 1A 1． （2）以BC 的中点O 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系O ﹣xyz ，则B （0，1，0），C （0，﹣1，0），E （0，13，3），A 1（√3，0，3），由BD →=13BA 1→，得D （√33，23，1），∴ED →=（√33，13，﹣2），EB →=（0，23，﹣3），设平面DEB 的一个法向量为m →=（x ，y ，z ），由{m →⋅ED →=0m →⋅EB →=0，得{√33x +13y −2z =023y −3z =0，令z ＝2，得y ＝9，x =√3，即m →=（√3，9，2）， 设二面角D ﹣EB ﹣C 的平面角为θ， 而面EBC 的一个法向量为n →=（1，0，0），则|cos θ|＝|n →⋅m→|n →|×|m →||=√32√22=√6644，故二面角D ﹣EB ﹣C 的余弦值为√6644． 20．（12分）如图，已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）与圆M ：（x ﹣4）2+y 2＝12相交于A ，B ，C ，D 四点．（1）若以线段AD 为直径的圆经过点M ，求抛物线C 的方程；（2）设四边形ABCD 两条对角线的交点为E ，点E 是否为定点？若是，求出点E 的坐标；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）根据已知圆及抛物线的对称性，可设A （x 1，y 1），D （x 2，y 2），B （x 1，﹣y 1），C （x 2，﹣y 2），由{y 2=2px (x −4)2+y 2=12消去y ，可得x 2+（2p ﹣8）x +4＝0， 则Δ＝（2p ﹣8）2﹣16＞0，得0＜p ＜2或P ＞6，x 1+x 2＝8﹣2p ，x 1x 2＝4，且y 12y 22＝4p 2x 1x 2＝16p 2，显然y 1＞0，y 2＞0，故y 1y 2＝4p ， 由以AD 为直径的圆经过点M ，知MA →•MD →=0，∴（x 1﹣4）（x 2﹣4）+y 1y 2＝0，∴x 1x 2﹣4（x 1+x 2）+16+4p ＝0，∴﹣4（8﹣2p ）+4p +20＝0，∴p ＝1，故抛物线C 的方程为y 2＝2x ； （2）由题意，直线AC 的斜率存在，且为k AC =−y 2−y 1x 2−x 1=−y 2−y 1y 222p −y 122p=2py 1−y 2，∴直线AC 的方程为y ﹣y 1=2p y 1−y 2（x ﹣x 1），即y =2p y 1−y 2x +y 1−2py 1−y 2×y 122p =2py 1−y 2x +y 12−y 1y 2−y 12y 1−y 2， ∴y =2p y 1−y 2x −4p y 1−y 2=2py 1−y 2（x ﹣2），于是直线AC 过定点（2，0）， 由抛物线和圆的对称性，易知ABCD 的两条对角线交点必在x 轴上， 故四边形ABCD 两条对角线的交点为E 是定点（2，0）．21．（12分）已知函数f(x)=−√x +alnx(a ≠0)，曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线为l ．（1）求l 的方程；（2）是否存在实数a ，使得l 与函数f （x ）的图象有2个不同公共点？若存在，求a 的值或取值范围；若不存在，请说明理由． 【解答】解：f′(x)=2√x ax， 将x ＝1代入得：f′(1)=a −12， 将x ＝1代入f （x ）得：f （1）＝﹣1， 则切线方程为：y +1=(a −12)(x −1)， 化简可得；y =(a −12)x −a −12；（2）联立切线与f （x ）可得：alnx −(a −12)x −√x +a +12=0，观察可得x＝1为该方程的根，故仅需探究方程在（0，+∞）是否存在另一解即可，令√x=t（t≥0），则原方程转为：2alnt−(a−12)t2−t+a+12=0，令g(t)=2alnt−(a−12)t2−t+a+12(t≥0)，g′(t)=[(1−2a)t−2a](t−1)t，①当1﹣2a≤0时，即a≥12时，令g′（t）＞0，解得：0＜t＜1，故g（t）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，故g（t）＜g（1）＝0，则不存在第二个实数解，不满足题意，②当1﹣2a＞0时，g′(t)=1−2at (t−2a1−a)(t−1)，（Ⅰ）若2a1−2a≤0，即a≤0时，则0＜t＜1时，g′（t）＜0，则g（t）单调递减，若t＞1，g′（t）＞0，则g（t）单调递增，故g（t）＞g（1）＝0，则原方程仅有一个解为t＝1，不满足题意，（Ⅱ）若2a1−a=1，即a=14，此时g′（t）＞0，g（t）单调递增，则原方程仅有一个解为t＝1，不满足题意，（Ⅲ）若0＜2a1−a＜1，即0＜a＜14，则0＜t＜2a1−a，g（t）单调递增，2a1−a＜t＜1，g（t）单调递减，t＞1，g（t）单调递增，又g（1）＝0，可知g(2a1−a)＞0，且t→0，g（t）→﹣∞，故存在t 0∈(0，2a1−a)使得g （t 0）＝0， 此时，方程存在两个实数解，满足题意， （Ⅳ）若2a 1−a＞1，即14＜a ＜12，则0＜t ＜1，g （t ）单调递增，1＜t ＜2a1−a g （t ）单调递减，t ＞2a1−a ，g （t ）单调递增， 又g （1）＝0，可知g(2a1−a )＜0， 且t →+∞，g （t ）→+∞， 故存在t 0∈(2a1−a，+∞)，使得g （t 0）＝0， 此时，方程存在两个实数解，满足题意， 综上所述：方程存在两个实数解时， 其取值范围为：(0，14)∪(14，12)．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosθy =2sinθ，（θ为参数），曲线C 2的方程为x 2+（y ﹣3）2＝9．以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 1的极坐标方程；（2）已知射线l 1：θ=α(0＜α＜π2)与曲线C 1交于O ，A 两点，将射线l 1绕极点逆时针方向旋转π3得到射线l 2，射线l 2与曲线C 2交于O ，B 两点．当△AOB 的面积最大时，求α的值，并求△AOB 面积的最大值．【解答】解：（1）曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosθy =2sinθ，（θ为参数），转换为直角坐标方程为（x ﹣2）2+y 2＝4，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为极坐标方程为ρ＝4cos θ；（2）曲线C 2的方程为x 2+（y ﹣3）2＝9，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为极坐标方程为ρ＝6sin θ，已知射线l 1：θ=α(0＜α＜π2)与曲线C 1交于O ，A 两点，所以{ρ=4cosθθ=α，整理得ρA ＝4cos α；射线l 1绕极点逆时针方向旋转π3得到射线l 2，射线l 2与曲线C 2交于O ，B 两点． 所以{ρ=6sinθθ=α+π3，所以ρB =6sin(α+π3)；所以S △AOB =12⋅ρA ⋅ρB =12×4cosα⋅6sin(α+π3)⋅sin π3=3√3sin(2α+π3)+92； 由于0＜α＜π2， 故π3＜2α+π3＜4π3；当2α+π3=π2时，即α=π12时，S △AOB 的最大值为92+3√3． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x +1|+|2x ﹣3|，M 为不等式f （x ）≤4的解集． （1）求M ；（2）若a ，b ∈R ，且a 2+b 2∈M ，证明：0≤a 2﹣ab +b 2≤3． 【解答】解：（1）由已知可得，f （x ）={−3x +2，x ≤−1−x +4，−1＜x ≤323x −2，x ＞32，当x ≤﹣1时，由﹣3x +2≤4，解得x ≥−23（舍去）， 当﹣1＜x ≤32时，由﹣x +4≤4，解得x ≥0，故0≤x ≤32，当x ＞32时，由3x ﹣2≤4，解得x ≤2，故32＜x ≤2，综上所述，f （x ）≤4的解集M ＝[0，2]． （2）∵a 2+b 2∈M ，即0≤a 2+b 2≤2，令a ＝r cos α，b ＝r sin α，0≤r ≤√2，α∈[0，2π]， ∴a 2﹣ab +b 2＝r 2﹣r 2sin αcos α=r 2(1−12sin2α)， ∵α∈[0，2π]， ∴12≤1−12sin2α≤32，即12r 2≤r 2(1−12sin2α)≤32r 2，∵0≤r ≤√2，第 21 页 共 21 页∴12r 2≥0，32r 2≤3， ∴0≤a 2﹣ab +b 2≤3，即得证．。
2014届高三理科数学综合测试题(1)
2014届高三理科数学综合测试题一（2014.2）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}2,1,0=M ，{}M a a x x N ∈==,2，则集合=N M A ．}0{B ．}1,0{C ．}2,1{D ．}2,0{2．设a 是实数，且211i i a +++是实数，则=a A ．21B ．1C ．23D ．23．已知函数)sin(2)(ϕω+=x x f （其中0>ω，2πϕ<）的最小正周期是π，且3)0(=f ，则A ．21=ω，6πϕ= B ．21=ω，3πϕ= C ．2=ω，6πϕ=D ．2=ω，3πϕ=4．下列四个命题中，真命题的个数为（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合； （2）两条直线可以确定一个平面；（3）若α∈M ，β∈M ，l =⋂βα，则l M ∈； （4）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内． A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．已知⎩⎨⎧>+-≤=0,1)1(0,cos )(x x f x x x f π，则)34()34(-+f f 的值为A ．2-B ．1-C ．1D ．26．设)('x f 是函数)(x f 的导函数，将)(x f y =和)('x f y =的图像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是A．B．C．D．7．设1e，2e分别为具有公共焦点1F与2F的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足021=⋅PF，则2212221)(eeee+的值为A．21B．1 C．2 D．不确定8．已知1)1,1(=f，*),(Nnmf∈（m、*)Nn∈，且对任意m、*Nn∈都有：①2),()1,(+=+nmfnmf；②)1,(2)1,1(mfmf=+．给出以下三个结论：（1）9)5,1(=f；（2）16)1,5(=f；（3）26)6,5(=f．其中正确的个数为A．3 B．2 C．1 D．0二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．9．圆心为)1,1(且与直线4=+yx相切的圆的方程是_______________．10．向量、满足3a=，5b=，7a b-=，则a、b的夹角为________．11．若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有________种．12．如右图，一个空间几何体的主视图、左视图是周长为4一个内角为060的菱形，俯视图是圆及其圆心，那么这个几何体的表面积为________．13．如右图，一个树形图依据下列规律不断生长：1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点．则第11行的实心圆点的个数是．俯视图左视图主视图 (1) (2) (3) (4) (5) (6)EDCBAPB14．（坐标系与参数方程选做题）极坐标系下，直线2)4cos(=-πθρ 与圆2=ρ的公共点个数是________．15．（几何证明选讲选做题）如右图所示，等腰三角形ABC 的底边AC 长为6 , 其外接圆的半径长为5, 则三角形ABC 的面积是________．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数x x x f 2sin 21)12(cos )(2++=π． （1）求)(x f 的最值； （2）求)(x f 的单调增区间．17．（本小题满分12分）某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消费500元便得到抽奖券一张，每张抽奖券的中奖概率为21，若中奖，商场返回顾客现金100元．某顾客现购买价格为2300的台式电脑一台，得到奖券4张.(Ⅰ)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为ξ，求ξ的分布列；(Ⅱ)设该顾客购买台式电脑的实际支出为η（元），用ξ表示η，并求η的数学期望. 18．（本小题满分14分）如图，四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ，AD AB ⊥，CD AC ⊥，︒=∠60ABC ，BC AB PA ==，E 是PC 的中点．（1）求证：AE CD ⊥； （2）求证：⊥PD 面ABE ；（3）求二面角C PD A --的平面角的正弦值． 19．（本小题满分14分）已知抛物线2:ax y C =（a 为非零常数）的焦点为F ，点P 为抛物线C 上一个动点，过点P 且与抛物线C 相切的直线记为L ． （1）求F 的坐标；（2）当点P 在何处时，点F 到直线L 的距离最小？ 20．（本小题满分14分）数列{}n a 是以a 为首项，q 为公比的等比数列．令n n a a a b ----= 211，n n b b b c ----= 212，*N n ∈．（1）试用a 、q 表示n b 和n c ；（2）若0<a ，0>q 且1≠q ，试比较n c 与1+n c 的大小；（3）是否存在实数对),(q a ，其中1≠q ，使{}n c 成等比数列．若存在，求出实数对),(q a 和{}n c ；若不存在，请说明理由． 21．（本小题满分14分）设函数x b x x f ln )1()(2+-=，其中b 为常数． （1）当21>b 时，判断函数()f x 在定义域上的单调性； （2）若函数()f x 的有极值点，求b 的取值范围及()f x 的极值点； （3）求证对任意不小于3的正整数n ，不等式n n n n 1ln )1ln(12<-+<都成立．启恩中学2014届数学（理科）综合测试题（2）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．D 2．B 3．D 4．A 5．C 6．D 7．C 8．A二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分． 9．2)1()1(22=-+-y x10．︒120（或π32）11．1112．π 13．55 14．1 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 解： x x x f 2sin 21)]62cos(1[21)(+++=π………………………………………… 2分 ]2sin )6sin 2sin 6cos 2(cos 1[21x x x +-+=ππ )2sin 212cos 231(21x x ++=………………………………………… 2分 21)32sin(21++=πx ……………………………………………………. 2分（1）)(x f 的最大值为1、最小值为0；……………………………………………… 2分 （2）)(x f 单调增，故]22,22[32πππππ+-∈+k k x ，…………………………… 2分即)](12,125[Z k k k x ∈+-∈ππππ， 从而)(x f 的单调增区间为)](12,125[Z k k k ∈+-ππππ．…………………… 2分 17.解：(Ⅰ)ξ的所有可能值为0，1，2，3，4.…………………………1分411(0)()216P ξ===，144141(1)()2164P C ξ====，244163(2)()2168P C ξ====344141(3)()2164P C ξ====，44411(4)()216P C ξ===. …………………………4分分(Ⅱ)1~(4,)2B ξ， 1422E ξ∴=⨯=. …………………………8分 由题意可知ξη1002300-=， …………………………10分230010023002002100E E ηξ∴=-=-=元. …………………………12分18．（本小题满分14分）（1）证明：⊥PA 底面ABCD ，PA CD ⊥∴又AC CD ⊥，A AC PA =⋂，故⊥CD 面PAC⊆AE 面PAC ，故AE CD ⊥………………………………………………… 4分 （2）证明：BC AB PA ==，︒=∠60ABC ，故AC PA =E 是PC 的中点，故PC AE ⊥由（1）知AE CD ⊥，从而⊥AE 面PCD ，故PD AE ⊥易知PD BA ⊥，故⊥PD 面ABE ……………………………………………… 5分 （3）过点A 作PD AF ⊥，垂足为F ，连结EF ．由（2）知，⊥AE 面PCD ，故AFE ∠是二面角C PD A --的一个平面角．设a AC =，则a AE 22=，a AD 32=，a PD 37= 从而a PD AD PA AF 72=⋅=，故414sin ==∠AF AE AFE ．……………… 5分 说明：如学生用向量法解题，则建立坐标系给2分，写出相关点的坐标给2分，第（1）问正确给2分，第（2）问正确给4分，第（3）问正确给4分。
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2007—2008学年崇雅中学高三考试理科数学综合测试题（一）本卷满分150分 试卷用时120分钟第一部分 选择题(共40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列语句不属于基本算法语句的是（ ）A .赋值语句B .运算语句C .条件语句D .循环语句 2.已知i 是虚数单位，那么=-+2)11(ii （ ） A .i B .-i C .1 D .-13.已知A 、B 是两个集合，它们的关系如图所示，则下列式子正确的是( )A .A ∪B =B B .A ∩B =AC .(A B )∪B =AD .(A B )∩A =B 4.空间四点A 、B 、C 、D 共面的一个充分不必要条件是 ( )A .AB ∥CD B . ABCD 构成四边形C .AB=CD D . AC ⊥BD 5.关于数列3，9，…，729，以下结论正确的是( ) A .此数列不能构成等差数列，也不能构成等比数列 B .此数列能构成等差数列，但不能构成等比数列 C .此数列不能构成等差数列，但能构成等比数列 D .此数列能构成等差数列，也能构成等比数列 6.甲、乙两名学生在5次数学考试中的成绩统计如右面的茎叶图所示，若甲x 、乙x 分别表示甲、乙两人的平均成绩，则下列结论正确的是( )A .甲x >乙x ，乙比甲稳定B .甲x >乙x ，甲比乙稳定C .甲x <乙x ，乙比甲稳定D .甲x <乙x ，甲比乙稳定7.以双曲线191622=-x y 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A .191622=+y xB .116922=+y xC .192522=+y xD .125922=+y xA B甲 乙 4 7 7 7 8 8 2 8 6 5 1 9 28.函数x x A y ωωcos sin =（0,0>>ωA ）的最小正周期是π，最大值是2，则函数)sin(2)(Ax x f πω+=的一个单调递增区间是( )A .]2,2[ππ-B .]43,4[ππ-C .]45,4[ππD .]49,45[ππ第二部分 非选择题(共110分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共30分；其中第13~15题是选做题． 9.若32200<-⎰⎰ttdx xdx ，则∈t .10.已知3)(a x +与6)5(-x 的展开式中，2x 的系数相同，那么=a 5log .11.给出平面区域如右图所示，若点C 是目标函数y ax z -=取最小值的唯一最优解，则实数a 的取值范围是 . 12.下列四个函数：①31)(x x f =；②xx f 2)(=；③⎪⎩⎪⎨⎧<+-=>-=)0(3)0(0)0(3)(22x x x x x x f ；④x x x f -=3)(3. 其中为奇函数的是 ；在(1，+∞)上单调递增的函数是 . （分别填写所有满足条件的函数序号）注意：以下三道小题中，请选做其中二题，如果选做多于二题，则只计前二题的得分. 13.已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧==ty t x 3（t 为参数），则此直线的倾斜角=α ；又半径为2，经过原点O 的圆C ，其圆心在第一象限并且在直线l 上，若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的极坐标方程为 . 14.若关于x 的不等式k x x >---|5||2|的解集不是空集，则实数k 的取值区间为 .15. 如图，⊙O 中，直径AB 和弦DE 互相垂直，C 是DE 延长线上一点，连结BC 与圆交于F ，若α=∠CFE ))2,0((πα∈，则=∠DEB ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知平面向量a ),1(x =，b ),32(x x -+=（R x ∈）. （Ⅰ）若a ⊥b ，求x 的值； （Ⅱ）若a ∥b ，求|a -b |. 17．（本小题满分12分） 已知△ABC 中，52π==C B ，记x A =cos ，y C B ==cos cos . （Ⅰ）求证：221x y =+； （Ⅱ）若△ABC 的面积等于5sin 2π，求AC 边上的中线BD 的长.在四棱锥P —ABCD 中，AD ⊥AB ，CD ∥AB ，PD ⊥底面ABCD ，2 ADAB，直线PA 与底面ABCD 成60°角，点M 、N 分别是PA 、PB 的中点. （Ⅰ）求二面角P —MN —D 的大小； （Ⅱ）当ABCD的值为多少时，△CDN 为直角三角形？19．（本小题满分14分）烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染. 已知A 、B 两座烟囱相距20km ，其中B 烟囱喷出的烟尘量是A 烟囱的8倍，经环境检测表明：落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱距离的平方成反比，而与烟囱喷出的烟尘量成正比.（比例系数为k ）.若C 是AB 连线上的点，设AC=x km ，C 点的烟尘浓度记为y . （Ⅰ）写出y 关于x 的函数表达式； （Ⅱ）是否存在这样的点C ，使该点的烟尘浓度最低？若存在，求出AC 的距离；若不存在，说明理由.PABC DMN如图，F是定直线l外的一个定点，C是lCF为半径的圆与l交于A、B两点，过A、B分别作l的垂线与圆C P和点Q，则P、Q必在以F为焦点，l为准线的同一条抛物线上.（Ⅰ）建立适当的坐标系，求出该抛物线的方程；（Ⅱ）对以上结论的反向思考可以得到另一个命题：“若过抛物线焦点F的直线与抛物线交于P、Q两点，则以PQ为直径的圆一定与抛物线的准线l相切”请问：此命题是否正确？试证明你的判断；（Ⅲ）请选择椭圆或双曲线之一类比（Ⅱ）写出相应的命题并证明其真假.（只选择一种曲线解答即可，若两种都选，则以第一选择为评分依据）注：椭圆和双曲线的准线所满足的条件为：曲线上任意一点到一个焦点的距离和到这个焦点所对应的准线的距离的比等于曲线的离心率.21．（本小题满分14分）有一个翻硬币游戏，开始时硬币正面朝上，然后掷骰子根据下列①、②、③的规则翻动硬币：① 骰子出现1点时，不翻动硬币；② 出现2，3，4，5点时，翻动一下硬币，使另一面朝上；③ 出现6点时，如果硬币正面朝上，则不翻动硬币；否则，翻动硬币，使正面朝上. 按以上规则，在骰子掷了n 次后，硬币仍然正面朝上的概率记为P n . （Ⅰ）求证：*N n ∈∀，点（P n ，P n +1）恒在过定点（95，95），斜率为21-的直线上； （Ⅱ）求数列{P n }的通项公式P n ； （Ⅲ）用记号m n S →表示数列{95-n P }从第n 项到第m 项之和，那么对于任意给定的正整数k ，求数列k S →1，k k S 21→+，…，nk k n S →+-1)1(，… 的前n 项和T n .高三数学（理科）综合测试题（一）参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.B2. D3. C4.A5.D6.A7.D8.D .二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9.（-1，3）. 10.5. 11.)103,512(--. 12.①③④（2分）； ②③④.（3分） 13.6π.（2分）；)6cos(4πθρ-=.（3分） 14.(-∞，3). 15.α三、解答题（本大题共6小题，共80分） 16.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）若a ⊥b ，则a ·b ),1(x =·),32(x x -+0)()32(1=-++⨯=x x x . 整理得0322=--x x ，解得：1-=x 或3=x .………………………4分 （Ⅱ）若a ∥b ，则有0)32()(1=+--⨯x x x ，即 0)42(=+x x . 解得：0=x 或2-=x .………………………………………………8分 当0=x 时，a )0,1(=，b )0,3(=； ∴|a -b |=|)0,1()0,3(-|=|)0,2(-|20)2(22=+-=.………………10分当2-=x 时，a )2,1(-=，b )2,1(-=； ∴|a -b |=|)2,1(-)2,1(--|=|)4,2(-|52)4(222=-+=. ……12分17．（本小题满分12分） （Ⅰ）证：∵52π==C B ，∴554)(ππππ=-=+-=C B A ∴2225cos 252cos 11x y ==+=+ππ.………………………6分 （Ⅱ）解：设△ABC 中，角B 、C 所对的边分别为b 、c ，则有5sin 2sin 21π=A bc ，∵c b =，5π=A ， ∴5sin45sin2ππ=b ，故2==c b .………………………9分又5cos 12212cos 22)2(22222π⨯⨯⨯-+=⨯⨯-+=A b c b c BD 5cos 45π-=， ∴5cos45π-=BD .………………………12分18．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）∵PD ⊥面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，∴AB ⊥PD ，又AB ⊥AD ， ∴AB ⊥面PAD .又MN 是△PAB 的中位线， ∴MN ∥AB ，从而MN ⊥面PAD .∴∠PMD 为二面角P —MN —D 的平面角………4分由已知，在Rt △PAD 中，易证：∠PAD=60°，而M 是PA 的中点，∴∠PMD=120°. 即所求二面角P —MN —D 的大小为120°.……………………6分 （Ⅱ）令x ABCD=，不妨设AD=2，则x AD x xAB CD 42=⋅==.……………8分 以D 为原点，DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则 D （0，0，0），N （1，2，3），C （0，4x ，0），∴=（1，2，3），=（1，2-4x ，3）；………………………10分 若△CDN 为直角三角形，则必有CN DN ⊥，即0=⋅CN DN 于是有033)42(211=⨯+-+⨯x ，解得1=x . ∴当1=ABCD时，△CDN 为直角三角形.……………………………………14分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）不妨设A 烟囱喷出的烟尘量为1，则B 烟囱喷出的烟尘量为8，由AC=x ，)200(<<x ，可得BC=20-x ；……………………………………………3分依题意，点C 处的烟尘浓度y 的函数表达式为：22)20(8x k x k y -⋅+=，)200(<<x ………………………………6分 （Ⅱ）对（Ⅰ）中的函数表达式求导得332333)20()80001200609(2)20(162x x x x x k x k x k y --+-=-+-='；……………9分令0='y ，得0)4003()203(2=+⋅-x x ；又200<<x ，∴320=x . ………………………………………………12分 ∵当)320,0(∈x 时，0<'y ；当)20,320(∈x 时，0>'y ，∴当320=x 时，y 取最小值.故存在点C ，当km AC 320=时，该点的烟尘浓度最低. ………………14分20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）过F 作l 的垂线交l 于K ，以KF 的中点为原点，KF 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系如图1，并设|KF|=p ，则可得该该抛物线的 方程为 )0(22>=p px y .………………………4分 （Ⅱ）该命题为真命题，证明如下：如图2，设PQ 中点为M ，P 、Q 、M 在抛物线 准线l 上的射影分别为A 、B 、D ， ∵PQ 是抛物线过焦点F 的弦，∴ |PF|=|PA|，|QF|=|QB|，又|MD|是梯形APQB 的中位线， ∴)||||(21)||||(21||QF PF QB PA MD =+=+=∵M 是以PQ 为直径的圆的圆心，∴圆M 与l 相切.（注：也可利用方程及坐标证明）. ……………8（Ⅲ）选择椭圆类比（Ⅱ）所写出的命题为： “过椭圆一焦点F 的直线与椭圆交于P 、Q 两点， 则以PQ 为直径的圆一定与椭圆相应的准线l 相离”此命题为真命题，证明如下：…………………… 证明：设PQ 中点为M ，椭圆的离心率为e ，则0<e <1，P 、Q 、M 在相应准线l 上的射影分别为A 、B 、D ，∵e PA PF =||||，∴e PF PA ||||=； 同理得 eQF QB ||||=. ∵|MD|是梯形APQB 的中位线， ∴2||2||)||||(212||||||PQ e PQ e QF e PF QB PA MD >=+=+=. ∴圆M 与准线l 相离. ………………………………………………………14分选择双曲线类比（Ⅱ）所写出的命题为：“过双曲线一焦点F 的直线与双曲线交于P 、Q 两点，则以PQ 为直径的圆一定与双曲线相应的准线l 相交”. 此命题为真命题，证明如下：……………………11分证明：设PQ 中点为M ，双曲线的离心率为e ，则e >1，P 、Q 、M 在相应准线l 上的 射影分别为A 、B 、D ，∵e PA PF =||||，∴e PF PA ||||=； 同理得 eQF QB ||||=. ∵|MD|是梯形APQB 的中位线， ∴2||2||)||||(212||||||PQ e PQ e QF e PF QB PA MD <=+=+=. ∴圆M 与准线l 相交. ………………………………………………………14分21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设把骰子掷了n +1次，硬币仍然正面朝上的概率为P n +1，此时有两种情况： ① 第n 次硬币正面朝上，其概率为P n ，且第n +1次骰子出现1点或6点，硬币不动，其概率为3162=；因此，此种情况下产生硬币正面朝上的概率为n P 31.………3分② 第n 次硬币反面朝上，其概率为1-P n ，且第n +1次骰子出现2，3，4，5点或6点，其概率为65； 因此，此种情况下产生硬币正面朝上的概率为)1(65n P -. ∴)1(65311n n n P P P -+=+，变形得 )95(21951--=-+n n P P .∴点（P n ，P n +1）恒在过定点（95，95），斜率为21-的直线上. ……………6分（Ⅱ）10=P ，31)1(6531001=-+=P P P ，又由（Ⅰ）知：2195951-=--+n n P P ， ∴{95-n P }是首项为929531951-=-=-P ，公比为21-的等比数列，……8分 ∴1)21(9295--⋅-=-n n P ，故所求通项公式为229)1(95-⋅-+=n n n P . ………10分 （Ⅲ）解法一：由（Ⅱ）知{95-n P }是首项为929511-=-=P a ，公比为21-=q 的等比数列，又 ∵kk k n k nk nk k n k n nk q q q q a q q q a S S =++++++=---→+-+→+)1()1(1)1(1111)1()1(1 （*N k ∈）是常数， ∴k S →1，k k S 21→+，…，nk k n S →+-1)1(，…，也成等比数列，……………………12分且])21(1[274211])21(1[921k k kS ---=+---=→高三数学（理科）综合测试卷第11页 （共6页） 从而 ])21(1[274)21(1])21(1[])21(1[2741)1(1kn kkn k k kn k n q q S T ---=----⋅---=--=→. ………………………………………………………………………………14分解法二：=n T k S →1+k k S 21→++…+nk k n S →+-1)1(nk a a a ++=21 ])21(1[274211])21(1[92nk nk ---=+---=.……………………………14分。