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河南省开封市2023届高三一模考试 理科数学试题(后附参考答案)
理科数学 第 页 (共4页)开封市2023届高三年级第一次模拟考试理科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名㊁考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一㊁选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A =x 12<2x<8,B =-1,0,1,2 ,则A ɘB =A .2B .-1,0C .0,1,2D .-1,0,1,22.设命题p :∀x ɪR ,e xȡx +1,则¬p 是A .∀x ɪR ,e xɤx +1B .∀x ɪR ,e x<x +1C .∃x ɪR ,e x ɤx +1D .∃x ɪR ,e x<x +13.若3+4iz 是纯虚数,则复数z 可以是A .-3+4iB .3-4iC .4+3i D.4-3i4.已知әA B C 中,D 为B C 边上一点,且B D =13B C ,则A D ң=A .13A C ң+23AB ңB .23AC ң+13A B ңC .14A C ң+34A B ңD .34A C ң+14A B ң5.已知圆锥的底面半径为1,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的体积为A .3π6B .3π3C .3πD .π36.如图为甲㊁乙两位同学在5次数学测试中成绩的茎叶图,已知两位同学的平均成绩相等,则甲同学成绩的方差为A .4B .2C .3 D.27.已知x +y -3ɤ0,x -y +1ȡ0,x ȡ0,y ȡ0,则x +2y 的最大值为A .2B .3C .5 D.68.设f (x )是定义域为R 的偶函数,且在[0,+ɕ)上单调递减,则满足f (x )<f (x -2)的x 的取值范围是A .(-ɕ,-2)B .(-2,+ɕ)C .(-ɕ,1)D .(1,+ɕ)1理科数学 第 页 (共4页)9.已知数列a n 的前n 项和S n =2n +1-2,若p +q =5(p ,q ɪN *),则a p a q =A .8B .16C .32D .6410.已知点P (x ,y )到点F 1(-3,0)和点F 2(3,0)的距离之和为4,则x yA.有最大值1B .有最大值4C .有最小值1 D.有最小值-411.如图,在正方体A B C D -A 1B 1C 1D 1中,点M ,N 分别是A 1D ,D 1B 的中点,则下述结论中正确的个数为①MN ʊ平面A B C D ;②平面A 1N D ʅ平面D 1M B ;③直线MN 与B 1D 1所成的角为45ʎ;④直线D 1B 与平面A 1N D 所成的角为45ʎ.A .1B .2C .3D .412.在数学中,布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理,它可应用到有限维空间,并且是构成一般不动点定理的基石.简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数f (x ),存在点x 0,使得f (x 0)=x 0,那么我们称该函数为 不动点 函数.若函数f (x )=x (a e x-l n x )为 不动点 函数,则实数a 的取值范围是A .(-ɕ,0]B .-ɕ,1eC .(-ɕ,1]D .(-ɕ,e ]二㊁填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若函数f (x )=A s i n x -c o s x 的一个零点为π6,则f 5π12=.14.已知点A (1,0),B(2,2),C 为y 轴上一点,若øB A C =π4,则A B ң㊃A C ң=.15.3D 打印是快速成型技术的一种,它是一种以数字模型文件为基础,运用粉末状金属或塑料等可粘合材料,通过逐层打印的方式来构造物体的技术.如图所示的塔筒为3D 打印的双曲线型塔筒,该塔筒是由离心率为5的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的,已知该塔筒(数据均以外壁即塔筒外侧表面计算)的上底直径为6c m ,下底直径为9c m ,高为9c m ,则喉部(最细处)的直径为c m.16.在数列a n 中,a 1=1,a n +2+(-1)n a n =2(n ɪN *).记S n 是数列a n的前n 项和,则S 4n =.三㊁解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22㊁23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)在әA B C 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知a c o s B +C2=b s i n A ,2a =3b .(1)求c o s B 的值;(2)若a =3,求c .2理科数学 第 页 (共4页)18.(12分)甲㊁乙两人组成 星队 参加猜成语活动,每轮活动由甲㊁乙各猜一个成语,已知甲每轮猜对的概率为23,乙每轮猜对的概率为p .在每轮活动中,甲和乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响.已知 星队 在第一轮活动中猜对1个成语的概率为12.(1)求p 的值;(2)记 星队 在两轮活动中猜对成语的总数为X ,求X 的分布列与期望.19.(12分)如图,әA B C 是正三角形,在等腰梯形A B E F 中,A B ʊE F ,A F =E F =B E =12A B .平面A B C ʅ平面A B E F ,M ,N 分别是A F ,C E 的中点,C E =4.(1)证明:MN ʊ平面A B C ;(2)求二面角M -A B -N 的余弦值.20.(12分)已知函数f (x )=2s i n x -a x ,a ɪR .(1)若f (x )是R 上的单调递增函数,求实数a 的取值范围;(2)当a =1时,求g (x )=f (x )-l n (x +1)在0,π6上的最小值;(3)证明:s i n12+s i n 13+s i n 14+ +s i n 1n >l n n +12.3理科数学 第 页 (共4页)21.(12分)如图1所示是一种作图工具,在十字形滑槽上各有一个活动滑标M ,N ,有一根旋杆将两个滑标连成一体,|MN |=3,D 为旋杆上的一点且在M ,N 两点之间,且|N D |=λ|DM |.当滑标M 在滑槽E F 内做往复运动,滑标N 在滑槽G H 内随之运动时,将笔尖放置于D 处进行作图,当λ=1和λ=2时分别得到曲线C 1和C 2.如图2所示,设E F 与G H 交于点O ,以E F 所在的直线为x 轴,以G H 所在的直线为y 轴,建立平面直角坐标系.(1)求曲线C 1和C 2的方程;(2)已知直线l 与曲线C 1相切,且与曲线C 2交于A ,B 两点,记әO A B 的面积为S ,证明:S ɤ378.(二)选考题:共10分.请考生在22㊁23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系x O y 中,曲线C 的参数方程为x =2pt y =2pt 2(t 为参数),(2,4)为曲线C 上一点的坐标.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程;(2)过点O 任意作两条相互垂直的射线分别与曲线C 交于点A ,B ,以直线O A 的斜率k 为参数,求线段A B 的中点M 的轨迹的参数方程,并化为普通方程.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)已知函数f (x )=|x +a |+2|x -1|.(1)当a =1时,求f (x )的最小值;(2)若a >0,b >0时,对任意x ɪ[1,2]使得不等式f (x )>x 2-b +1恒成立,证明:a +122+b +122>2.4开封市2023届高三年级第一次模拟考试数学（理科）参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）题号123456789101112答案C D D A B BCDCACB二、填空题（每小题5分，共20分）13.14.515.16.24+2n n三、解答题（共70分）17.（1）因为A B C π++=，所以222B C A π+=-，得cos sin 22B C A+=，……1分由正弦定理，可得sin sin sin sin 2A A B A ⋅=⋅，sin 0A ≠，所以sin sin 2AB =，……2分又因为,A B 均为三角形内角，所以2AB =，即2A B =，……3分又因为23a b =，即2sin 3sin A B =，即4sin cos 3sin B B B =，……4分sin 0B ≠，得3cos 4B =；……5分（2）若3a =，则2b =，由（1）知3cos 4B =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-可得29502c c -+=，……7分即()5202c c ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，所以2c =或52，……9分当2c =时，b c =，则22A B C ==，即ABC ∆为等腰直角三角形，又因为a ≠，此时不满足题意，……11分所以52c =.……12分18.（1）“星队”在第一轮活动中猜对1个成语的概率为12，所以()2211+1=332p p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，解得1=2p .……4分（2）设i A 表示事件“甲在两轮中猜对i 个成语”，i B 表示事件“乙在两轮中猜对i 个成语”()0,1,2i =，根据独立性假定，得()()()012111124224===2===339339339P A P A P A ⨯⨯⨯⨯，()()()012111===424P B P B P B ，，，……6分X 的可能取值为0,1,2,3,4，所以()()001110===9436P X P A B =⨯()()()0110114131=+=+=929418P X P A B P A B =⨯⨯()()()()021120114141132=++=++=94929436P X P A B P A B P A B =⨯⨯⨯，()()()1221414133=+=+=94929P X P A B P A B =⨯⨯，()()224114===949P X P A B =⨯X 的分布列如下表所示：X 01234P13631813363919……10分()1313311=0+1+2+3+4=2.361836993E X ⨯⨯⨯⨯⨯……12分19.（1）取CF 的中点D ，连接DM DN ，，M N ，分别是AF CE ，的中点，DM AC DN EF ∴∥，∥，又DM ABC AC ABC ⊄⊂ 平面，平面，.DM ABC ∴∥平面……2分又EF AB ∥，DN AB ∴∥，同理可得，DN ABC ∥平面.……3分=DM MND DN MND DM DN D ⊂⊂ 平面，平面，，.MND ABC ∴平面∥平面……5分.MN MND MN ABC ⊂∴ 平面，∥平面……6分（2）取AB 的中点O ，连接OC OE ，.由已知得=OA EF ∥，OAFE ∴是平行四边形，=OE AF ∴∥.ABC ∆ 是正三角形，OC AB ∴⊥，ABC ABEF ⊥ 平面平面，=ABC ABEF AB 平面平面，OC ABEF∴⊥平面，又OE ABEF ⊂平面，OC OE ∴⊥.……7分设1====2AF EF EB AB a ，OC ，在Rt COE ∆中，由222+=OC OE CE ，解得=2a ，即1====22AF EF EB AB (8)分取EF 的中点P ，连接OP，则OP AB ⊥，以O 为原点，OP OB OC ，，所在直线分别为x y z ，，轴，建立直角坐标系如图所示.则()()310,2,022A C E N -⎝，，，，()1=0,2,0=,22OA ON -⎝ ，，由已知易得，平面ABM 的一个法向量为(=OC，……9分设平面ABN 的法向量为()=,,x y z n ,则2=0=01=022y OA x y ON -⎧⎧⋅⎪⎨+⋅⎪⎪⎩⎩ ，，即，，n n 取2x =，则平面ABN 的一个法向量为()=2,0,1-n .……10分cos ,O OC OC C ⋅〈〉==∴n n n 分二面角--M AB N 为锐角，∴二面角--M AB N ……12分20.（1）由已知可得：0cos 2)(≥-='a x x f ，……1分即x a cos 2≤恒成立，则有]2,(--∞∈a .……3分（2）由已知可得：111cos 2)(+--='x x x g，令()=()h x g x '，21()2sin (1)h'x x x =-++在[0,6π上单调递减，……4分又因为，(0)h'0>，(6h'π0<，所以存在6,0(0π∈x 使得()0h'x =，……5分则有又有115(0)=0(1101631162g g ππ''=-->--->++，，所以在(0,6π上)(x g '0>，……7分则)(x g 在]6,0[π∈x 上单调递增，所以最小值为0)0(=g .……8分（3）由（2）可得x x x ++>)1ln(sin 2在(0,)6π上恒成立，令()()=ln +1x x x ϕ-，在(0,)6π上()=0+1x 'x x ϕ>，所以()x ϕ单调递增且(0)0ϕ=，所以ln(1)x x >+，)1ln(2sin 2+>x x ，从而当(0,)6x π∈时)1ln(sin +>x x ，……10分令n x 1,,41,31,21 =，得到23ln 21sin >，34ln 31sin >，45ln 41sin >，⋯，nn n 1ln 1sin +>，相加得：11111sin sin sin sin ln2342n n +++++> .……12分21.（1）由题意，=ND DM λ，设()()()00,,00,，，，D x y M x N y 所以()()00,=,=---，，ND x y y DM x x y ()()00,=,---，x y y x x y λ……1分由()()00==-⎧⎪⎨--⎪⎩，，x x x y y y λλ解得()()001+==1+⎧⎪⎨⎪⎩，，x x y y λλλ又因为2200+=9，x y 所以()()222221++1+=9，x y λλλ……3分将=1=2λλ和分别代入，得2219+=4：C x y ……4分222+=1.4x C y ：……5分（2）①直线l 斜率不存在时，3=2l x ±：，带入2C方程得ABS 分②直线l 斜率存在时，设=+l y kx m ：，l 与曲线1C()229+13=24k m ，即，……7分联立22+=14=+x y y kx m ⎧⎪⎨⎪⎩，，可得()2221+4+8+44=0k x kmx m -，x),0(0x )6,(0πx ()h'x 正负)(x g '递增递减()()222225=641614107k m k m k ∆-+->>由得，()2121222418==1414m km x x x x k k--+，，……8分1222=1+41+4AB x k k-，……10分()4224247+25=16+8+1k k AB k k -，因为()()422424247+2572487=016+8+14416+8+1k k k k k k k ----<，所以2AB <，8S <.……11分综合①②可证，S ……12分22.（1）消去参数t 可得：22x py =，将点()2,4带入可得12p =，……2分所以曲线C 的普通方程为：y x =2.……4分（2）由已知得：OB OA ,的斜率存在且不为0，设OA 的斜率为k ，方程为kx y =，则OB 的方程为：x ky 1-=，联立方程2y kx x y =⎧⎨=⎩，，可得：()2,k k A ，同理可得：211,B k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，……6分设()y x M ,，所以22112112x k k y k k ⎧⎛⎫=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩，，……8分所以=24x 222122-=-+y kk ，所以=22x 1-y 即为点M 轨迹的普通方程.……10分23.（1）当1a =时，()121-++=x x x f ，当()()()min 1,31,14;x f x x f x f ≤-=-+=-=当()()()11,3,2,4;x f x x f x -<<=-+∈当()()()min 1,31,12;x f x x f x f ≥=-==……2分∴当1a =时，()f x 的最小值为2.……4分（2）00a b >>，，当12x ≤≤时，221+1x a x x b ++-->可化为233a b x x +>-+……6分令()233h x x x =-+，[]1,2x ∈，()()max 11h x h ==，∴1a b +>，……8分∴()222221111222222a b a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫+++=+++++++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥.……10分。
高考理科数学模拟试题
高考理科数学模拟试题一、选择题（每小题5分，满分40分）1. 设方程 EMBED Equation.DSMT4 的解集为A ，方程 EMBED Equation.DSMT4 的解集为B,若 EMBED Equation.DSMT4， 则p+q= ( )A 、２B 、０C 、１D 、－１2. 已知 EMBED Equation.DSMT4,且 EMBED Equation.DSMT4 是第四象限的角,则 EMBED Equation.DSMT4( ) A EMBED Equation.DSMT4 B EMBED Equation.DSMT4C EMBED Equation.3D EMBED Equation.DSMT4 3. 已知 EMBED Equation.3的实根个数是 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、1个或2个或3个4.实数 EMBED Equation.3 是直线 EMBED Equation.3 和 EMBED Equation.3平行的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件5.平面上有一个△ABC 和一点O,设 EMBED Equation.3 ,又OA 、BC 的中点分别为D 、E ，则向量 EMBED Equation.3 等于（ ）A ． EMBED Equation.3B EMBED Equation.3C EMBED Equation.3D EMBED Equation.36. 函数 EMBED Equation.3 在下面哪个区间内是增函数（ ）A 、 EMBED Equation.3B 、 EMBED Equation.3C 、 EMBEDEquation.3D 、 EMBED Equation.37.点 EMBED Equation.3 是椭圆 EMBED Equation.3（ EMBED Equation.3上的任意一点， EMBED Equation.3是椭圆的两个焦点，且∠ EMBED Equation.3 ，则该椭圆的离心率的取值范围是 （ ）A. EMBED Equation.3B. EMBED Equation.3C. EMBEDEquation.3 D. EMBED Equation.38. 已知函数 EMBED Equation.DSMT4 是 EMBED Equation.DSMT4 上的奇函数，函数 EMBED Equation.DSMT4 是 EMBED Equation.DSMT4 上的偶函数，且 EMBED Equation.DSMT4 ，当 EMBED Equation.DSMT4 时， EMBEDEquation.DSMT4 ，则 EMBED Equation.DSMT4 2 -2 O 6 2 xy （图1）的值为（ ） A ． EMBED Equation.DSMT4 B ． EMBED Equation.DSMT4 C ． EMBED Equation.DSMT4 D ． EMBED Equation.DSMT4二、填空题（每小题5分，满分30分）9.复数 EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 是虚数单位)的实部为10.在 EMBED Equation.3 的展开式中, EMBED Equation.3 的系数是 11. 函数 EMBED Equation.3的部分图象 如图1所示，则 EMBED Equation.DSMT4 12. 程序框图（如图2）的运算结果为13. 从以下两个小题中选做一题（只能做其中一个，做两个 按得分最低的记分）． （1）自极点O 向直线l 作垂线，垂足是H( EMBED Equation.3 )，则直线l 的极坐标方程为 。
高三数学(理科)模拟试题及答案
高三数学（理科）模拟试题及答案姓名： 班级： 座位号： 分数： 一、选择题：（每题 分，总计 分，把答案填在答题卡上。
）1、 10i2-i =A 、 -2+4iB 、 -2-4iC 、 2+4iD 、 2-4i 答案：解：原式10i(2+i)24(2-i)(2+i)i==-+、故选A 、2、 设集合{}1|3,|04x A x x B x x -⎧⎫=>=<⎨⎬-⎩⎭，则A B = A 、 ∅ B 、 ()3,4 C 、()2,1- D 、 ()4.+∞ 答案：解：{}{}1|0|(1)(4)0|144x B x x x x x x x -⎧⎫=<=--<=<<⎨⎬-⎩⎭、(3,4)A B ∴=、故选B 、3、 已知ABC ∆中，12cot 5A =-， 则cos A =A 、 1213B 、513C 、513-D 、 1213-答案：解：已知ABC ∆中，12cot 5A =-，(,)2A ππ∴∈、12cos 13A ===-故选D 、4、曲线21xy x =-在点()1,1处的切线方程为A 、 20x y --=B 、 20x y +-=C 、450x y +-=D 、 450x y --= 答案：解：111222121||[]|1(21)(21)x x x x x y x x ===--'==-=---,故切线方程为1(1)y x -=--,即20x y +-=故选B 、5、 已知正四棱柱1111ABCD A BCD -中，12AA AB =，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所成的角的余弦值为A 、B 、 15C 、D 、 35答案：解：令1AB =则12AA =,连1A B 1C D ∥1A B ∴异面直线BE 与1CD 所成的角即1A B与BE 所成的角。
在1A BE ∆中由余弦定理易得1cos 10A BE ∠=。
故选C6、 已知向量()2,1,10,||a a b a b =⋅=+=，则||b =A 、B 、C 、5D 、 25解：222250||||2||520||a b a a b b b =+=++=++||5b ∴=。
高考数学(理科)模拟试题含答案(一)精编版
高考数学(理科)模拟试题含答案(一)精编版高考理科数学模拟试题精编(一)注意事项：1.作答选择题时，在答题卡上涂黑对应选项的答案信息点。
如需改动，先擦干净再涂其他答案。
不得在试卷上作答。
2.非选择题用黑色钢笔或签字笔作答，写在答题卡指定区域内。
如需改动，先划掉原答案再写新答案。
不得用铅笔或涂改液。
不按要求作答无效。
3.答题卡需整洁无误。
考试结束后，交回试卷和答题卡。
第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
)1.设全集Q={x|2x²-5x≤0，x∈N}，且P⊆Q，则满足条件的集合P的个数是()A。
3B。
4C。
7D。
82.若复数z=m(m-1)+(m-1)i是纯虚数，其中m是实数，则z=()A。
iB。
-iC。
2iD。
-2i3.已知等差数列{an}的公差为5，前n项和为Sn，且a1，a2，a5成等比数列，则S6=()A。
80B。
85C。
90D。
954.XXX每天上学都需要经过一个有交通信号灯的十字路口。
已知十字路口的交通信号灯绿灯亮的时间为40秒，黄灯5秒，红灯45秒。
如果XXX每天到路口的时间是随机的，则XXX上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒的概率是()A。
4/5B。
3/4C。
2/3D。
3/56.已知p：a=±1，q：函数f(x)=ln(x+a²+x²)为奇函数，则p 是q成立的()A。
充分不必要条件B。
必要不充分条件C。
充分必要条件D。
既不充分也不必要条件7.(省略了一个选项) 327.(1+x²+4x)²的常数项为()A。
120B。
160C。
200D。
2408.我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如图所示的程序框图表示其基本步骤(函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生(0,1)内的任何一个实数)，若输出的结果为521，则由此可估计π的近似值为()A。
3.119B。
甘肃省兰州市五十九中2022-2023学年高三下学期高考模拟考试数学(理科)试题(含答案解析)
甘肃省兰州市五十九中2022-2023学年高三下学期高考模拟考试数学（理科）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}{}(,)8,,,(,)1A x y x y x y N B x y y x *=+=∈=>+，则A B ⋂中元素的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．52．已知复数21iz =-+，则A ．2z =B ．z 的实部为1C ．z 的虚部为1-D ．z 的共轭复数为1i+3．已知向量(3,4)OA =- ，(6,3)OB =- ，(2,1)OC m m =+ ．若//AB OC，则实数m 的值为（）A ．15B ．35-C ．3-D ．17-4．执行如图所示的程序框图,输出的s 值为()A ．2B ．32C ．53D ．855．函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是A ．（-2，-1）B ．（-1,0）C ．（0,1）D ．（1,2）6．若等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足44S =，612S =，则2S =（）A ．1-B ．0C ．1D ．37．若xy 是正数，则221122⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x y y x 的最小值是（）A ．3B ．72C ．4D ．928．已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ，b 为常数，a ≠0，x ∈R)在x ＝3π4处取得最小值，则函数π()4y f x =-是（）A ．偶函数且它的图象关于点(π，0)对称B ．偶函数且它的图象关于点3π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．奇函数且它的图象关于点3π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．奇函数且它的图象关于点(π，0)对称9．中国古代的五经是指：《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》，甲、乙、丙、丁、戊5名同学分别选取了其中一本不同的书作为课外兴趣研读，若甲乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，则5名同学所有可能的选择有A ．18种B ．24种C ．36种D ．54种10．若双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>上存在一点P 满足以OP 为边长的正方形的面积等于2ab （其中O 为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎦B ．⎛ ⎝⎦C ．,2⎫+∞⎪⎪⎣⎭D ．2⎫+∞⎪⎪⎣⎭11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0及点A (－1,0)，B (1,2)，在圆C 上存在点P ，使得|PA |2＋|PB |2＝12，则点P 的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．412．设函数3()2ln(3f x x x =+(22)x -<<，则使得(2)(43)0f x f x +->成立的x 的取值范围是A ．(1,1)-B ．1(,1)2C ．(1,14)D ．15(,)44二、填空题13．已知在直角三角形ABC 中，90,2ACB AC BC ∠=== ，点P 是斜边AB 的中点.则CP CB CP CA ⋅+⋅=__________.14．已知直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若1AB AC ==，12AA =，120BAC ︒∠=，则此球的表面积等于______．15．若函数21()ln 22f x x ax x =--存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是________.16．命题p：实数a满足260a a+-≥；命题q：函数y=R．若命题p∧q为假，p∨q为真，则实数a的取值范围为________.三、解答题17．已知△ABC中，C＝2π3，角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若a，b，c依次成等差数列，且公差为2，求c的值；(2)若△ABC的外接圆面积为π，求△ABC周长的最大值.18．为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示.(1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；(2)从这200名司机中任选两人，设这两人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的分布列.19．如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.（Ⅰ）证明MN∥平面PAB;（Ⅱ）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.20．已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．21．已知曲线S 的参数方程为3sin 13cos x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数，02θπ≤<)．点1,22P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭在曲线S 上，直线l 过点P ，且倾斜角为3π．（1）求点P 在曲线S 上对应的参数θ的值；（2）求直线l 被曲线S 截得的线段的长度．22．已知函数()|3|f x x =-.(1)解不等式(24)4f x +≥；(2)若a ，R b ∈，1a <，1b <，求证：(2)(3)f ab f a b +>-+.参考答案：1．B【分析】求得集合A 的元素，由此求得A B ⋂的元素，从而确定正确选项.【详解】依题意()()()()()()(){}1,7,2,6,3,5,4,4,5,3,6,2,7,1A =，其中满足1y x >+的有()()()1,7,2,6,3,5，所以()()(){}1,7,2,6,3,5A B = ，有3个元素.故选：B 2．C【详解】分析：由题意首先化简复数z ，然后结合z 的值逐一考查所给的选项即可确定正确的说法.详解：由复数的运算法则可得：()()()()21211112i i z i i i ----===---+--，则z =，选项A 错误；z 的实部为1-，选项B 错误；z 的虚部为1-，选项C 正确；z 的共轭复数为1z i =-+，选项D 错误.本题选择C 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．C【分析】根据向量共线坐标表示得方程，解得结果.【详解】因为//AB OC，所以()()3,1//2,1m m +,3(1)2 3.m m m ⨯+=∴=-选C.【点睛】本题考查向量共线，考查基本分析与求解能力，属基础题.4．C【详解】试题分析：0k =时，03<成立，第一次进入循环：111,21k s +===；13<成立，第二次进入循环：2132,22k s +===；23<成立，第三次进入循环：31523,332k s +===，33<不成立，输出53s =，故选C.【名师点睛】解决此类型问题时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构，并根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体，争取写出每一个循环，这样避免出错.5．B【详解】试题分析：因为函数f(x)=2x +3x 在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=153022-=-<,f （0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B ．考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用．点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间．6．B【详解】根据等差数列的性质624,,246S S S 仍成等差数列，则6422426S S S ⨯=+，则6423S S S =+，62412444033S S S =-=-=-=，选B.7．C【分析】首先根据题意得到22222211112244⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭y x x y x y y x x y x y ，再利用基本等式求最小值即可.【详解】22222211112244⎛⎫⎛⎫+++=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x y x y x y y x y y x x222211444⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++≥+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭y x x y x y x y当且仅当2x y ==或2x y ==时取等号.故选：C【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，考查学生分析问题的能力，属于简单题.8．D【分析】由辅助角公式化f (x )＝a sin x －b cos x (x ＋φ)，tan φ＝－ba，再由最小值点求得ϕ，得出函数π()4y f x =-的表达式，然后判断各选项．【详解】f (x )＝a sin x －b cos x (x ＋φ)，tan φ＝－b a.∵f (x )在x ＝3π4处取得最小值，∴3π4＋φ＝2k π－π2(k ∈Z)，∴φ＝2k π－5π4(k ∈Z)，∴π()4f x -π5π(2π)44x k -+-(－x )x ，∴π()4f x -是奇函数，且图象关于点(k π，0)(k ∈Z)对称.故选：D.9．D【分析】分两类求解：(1)甲选《春秋》；(2)甲不选《春秋》；分别求出可能的选择情况，再求和即可得出结果.【详解】(1)若甲选《春秋》，则有133318C A =种情况；(2)若甲不选《春秋》，则有233336A A =种情况；所以5名同学所有可能的选择有183654+=种情况.故选D【点睛】本题主要考查计数原理，熟记排列组合的概念等即可，属于常考题型.10．C【详解】试题分析：由条件，2||2OP ab =，又P 为双曲线上一点，从而OP a ≥，∴22ab a ≥，∴2b a ≥，又∵222222544a c a b a a =+≥+=，∴2c e a =≥．考点：双曲线的离心率．11．B【分析】设P (x ,y )，由2212PA PB +=求得P 点轨迹是圆，又P 在已知圆上，判断出两圆相交后可得P 点个数．【详解】设P (x ,y )，则(x －2)2＋y 2＝4，|PA |2＋|PB |2＝(x ＋1)2＋(y －0)2＋(x －1)2＋(y －2)2＝12，即x 2＋y 2－2y －3＝0，即x 2＋(y －1)2＝4，圆心为(0,1)，半径为2，又圆C 圆心为(2,0)，半径为2，因为2222-<<+，所以圆(x －2)2＋y 2＝4与圆x 2＋(y －1)2＝4相交，所以点P 的个数为2.故选：B.12．B【分析】本道题目结合奇函数的判定条件和单调函数满足的条件，建立不等式，即可得出答案．【详解】()(()32ln 3f x x x f x -=--=-,所以()f x 为奇函数,()2'60f x x >,所以()f x 单调递增()()2430f x f x +->,转化成()()234f x f x >-得到222{2342234x x x x-<<-<-<>-,解得x 满足1,12⎛⎫⎪⎝⎭，故选B ．【点睛】本道题目考查了奇函数判定条件和单调函数的性质，注意判断()()f x f x +-与0的关系．13．4【分析】由题意以C 为坐标原点，CA 边为x 轴，CB 边为y 轴建立直角坐标系，求出各点坐标，利用向量坐标和向量数量积的坐标计算方法即可求解.【详解】由题意以C为坐标原点，建立直角坐标系，可得C (0，0)，()2,0A ，()0,2B ，()1,1P ，故可得()1,1CP = ，()2,0CA = ，()0,2CB =，∴()()()2,00,22,2CA CB +=+=，故()224CP CB CP CA CP CB CA ⋅+⋅=⋅+=+=.故答案为：4.14．8π【分析】根据球和直三棱柱的对称性可知，直三棱柱的外接球球心是上下底面的三角形的外接圆的圆心连线的中点，根据几何关系，在直角三角形内利用勾股定理即可求出外接球半径.【详解】设直三棱柱111ABC A B C -的上下底面的三角形的外接圆的圆心分别是点,P M ，∴直三棱柱111ABC A B C -的外接球的球心O 为线段PM 的中点，设ABC 的外接圆半径为r ，直三棱柱111ABC A B C -的外接球的半径为R ，如图所示：在ABC 中，1,120AB AC BAC ∠=== ，∴由余弦定理得：22201cos120,22AB AC BCBC AB AC+-==-∴=⋅∴由正弦定理得：22,1sin120BCr r ==∴=，∴在Rt OMC 中，11,1,12OC R OM AA MC r =====，222112R ∴=+=，∴直三棱柱111ABC A B C -的外接球的表面积为：248R ππ=，故答案为：8π.15．(1,)-+∞【分析】先求导函数，递减小于0，再解含参数的不等式分类讨论即可.【详解】2112()2x ax f x ax x x--'=--=，由题意知，()0f x '<在(0,)+∞上有实数解，即2210ax x +->有实数解，当0a ≥时，显然满足，当a<0时，只需440a ∆=+>10a ∴-<<综上所述1a >-故答案为：(1,)-+∞【点睛】本题考查导函数的单调性，及含参数的不等式有解求参数的取值范围问题.16．(,3][0,2)(4,)-∞-⋃⋃+∞【分析】分别求出当命题,p q 为真命题时a 的取值范围，由p q ∧为假，p q ∨为真可得“p 真q 假”或“p 假q 真”，分两种情况分别求解即可．【详解】当命题p 为真时，即260a a +-≥，解得2a ≥或3a ≤-；当命题q 为真时，可得210ax ax +≥-对任意x ∈R 恒成立，若a ＝0，则满足题意；若0a ≠，则有20Δ40a a a >⎧⎨=-≤⎩，解得04a <≤,所以04a ≤≤，∵p ∧q 为假，p ∨q 为真，∴“p 真q 假”或“p 假q 真”，①当p 真q 假时，则2340a a a a >≤-⎧⎨><⎩或或，∴4a >或3a ≤-；②当p 假q 真时，则3204a a -<<⎧⎨≤≤⎩，∴02a ≤<．综上，实数a 的取值范围是(,3][0,2)(4,)-∞-⋃⋃+∞.故答案为：(,3][0,2)(4,)-∞-⋃⋃+∞.17．(1)7(2)2【分析】（1）由等差数列的性质把,a b 用c 表示，然后由余弦定理可求得c ；（2）设B ＝θ，求出外接圆半径后由正弦定理把,,a b c 用θ表示，从而把三角形周长表示为θ的函数，由三角恒等变换化函数为一个角的一个三角函数后，利用正弦函数性质得最大值．【详解】（1）∵a ，b ，c 依次成等差数列，且公差为2，∴b －a ＝c －b ＝2，∴b ＝c －2，a ＝c －4，∵C ＝2π3，由余弦定理得cos 2π3＝2222a b c ab+-＝222(4)(2)2(2)(4)c c c c c -+----＝－12，整理得c 2－9c ＋14＝0，解得c ＝7或c ＝2，又a ＝c －4>0，则c >4，∴c ＝7.（2）设B ＝θ，外接圆的半径为R ，则πR 2＝π，解得R ＝1，由正弦定理可得sin a A ＝sin b B ＝sin c C＝2R ＝2，∴sin b θ＝πsin()3a θ-＝2sin 3πc ＝2，可得b ＝2sin θ，a ＝2sin (π)3θ-，c∴△ABC 的周长＝2sin θ＋2sin (π)3θ-＝2sin θ＋2sin π3cos θ－2cos π3sin θ＝sin θθ2sin ()3πθ+又θ∈(0,π3，∴π3<θ＋π233π<，∴当θ＋π3＝π2，即θ＝π6时，△ABC 的周长取得最大值218．(1)2.3(2)分布列见解析【分析】（1）人均次数等于总的“爱心送考”次数除以200；（2）由题意知X 的所有可能取值为0，1，2，求出对应概率，进而得出分布列．【详解】（1）由统计图，得200名司机中送考1次的有20人，送考2次的有100人，送考3次的有80人，所以该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为2011002803200⨯+⨯+⨯＝2.3．（2）从该公司任选两名司机，记“这两人中一人送考1次，另一人送考2次”为事件A ，“这两人中一人送考2次，另一人送考3次”为事件B，“这两人中一人送考1次，另一人送考3次”为事件C，“这两人送考次数相同”为事件D，由题意知X的所有可能取值为0，1，2，则P(X＝0)＝P(D)＝22220100802200C C CC++＝83199，P(X＝1)＝P(A)＋P(B)＝11201002200C CC＋11100802200C CC＝100199，P(X＝2)＝P(C)＝1120802200C CC＝16199.所以X的分布列为X012P831991001991619919．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ．【详解】（Ⅰ）由已知得.取的中点T，连接，由为中点知，.又，故=TN AM∥，四边形AMNT为平行四边形，于是MN AT∥.因为平面，平面，所以平面.（Ⅱ）取的中点，连结.由得，从而，且.以A为坐标原点，A E的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意知，，，，，(0,2,4)PM =-，(2)2PN =-，(2)2AN = .设(,,z)x y =n 为平面PMN 的一个法向量，则0,{0,n PM n PN ⋅=⋅=即240,20,2y z x y z -=+-=可取(0,2,1)n =.于是cos ,25n AN n AN n AN⋅〈〉==.【考点】空间线面间的平行关系，空间向量法求线面角．【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求解空间中的角和距离常常可通过建立空间直角坐标系，利用空间向量中的夹角与距离来处理．20．(Ⅰ)24x y =-，1y =；(Ⅱ)见解析.【分析】(Ⅰ)由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程；(Ⅱ)联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令x =0即可证得题中的结论.【详解】(Ⅰ)将点()2,1-代入抛物线方程：()2221p =⨯-可得：2p =，故抛物线方程为：24x y =-，其准线方程为：1y =.(Ⅱ)很明显直线l 的斜率存在，焦点坐标为()0,1-，设直线方程为1y kx =-，与抛物线方程24x y =-联立可得：2440x kx +-=.故：12124,4x x k x x +=-=-.设221212,,,44x x M x N x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12,44OM ON x x k k =-=-，直线OM 的方程为14x y x =-，与1y =-联立可得：14,1A x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理可得24,1B x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，易知以AB 为直径的圆的圆心坐标为：1222,1x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，圆的半径为：1222x x -，且：()1212122222x x k x x x x ++==，12222x x -==，则圆的方程为：()()()2222141x k y k -++=+，令0x =整理可得：2230y y +-=，解得：123,1y y =-=，即以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点()()0,3,0,1-.【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求解及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21．（1）76θπ=；（2）6．【分析】（1）由题知1sin 2cos θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，再结合02θπ≤<得76θπ=；（2）根据题意得直线l0y -=，再把曲线S 化为普通方程得()2219x y -+=，进而得直线l 过圆心，进而得答案.【详解】解：（1）曲线S 的参数方程为3sin 13cos x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数，02θπ≤<)．点1,22P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭在曲线S 上，所以1sin 2{cos 2θθ=-=-，由于02θπ≤<，所以76θπ=．（2）曲线S 的参数方程为3sin 13cos x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数，02θπ≤<)转换为直角坐标方程为()2219x y -+=，直线l 过点1,22P ⎛-- ⎝⎭，且倾斜角为3π，0y -=，由于圆心()1,0在直线上，故直线l 被曲线S 截得的线段成为圆的直径6．【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查直线与圆相交的弦长问题，考查运算求解能力，本题解题的关键在于写出直线l 的方程，曲线S 的普通方程得直线l 过圆心，进而得答案.22．(1)5|2x x ⎧≤-⎨⎩或32x ⎫≥⎬⎭(2)证明见解析【分析】（1）根据绝对值不等式的解法求解即可；（2）由(2)(3)f ab f a b +>-+，得||1ab a b ->-，两边平方后利用作差法证明即可.【详解】（1）由(24)4f x +≥，得|2|14x +≥，即214x +≥或214x +≤-，解得32x ≥或52x ≤-，综上所述，不等式的解集为5|2x x ⎧≤-⎨⎩或32x ⎫≥⎬⎭.（2）证明：由(2)(3)f ab f a b +>-+，得||1ab a b ->-，因为1a <，1b <，所以21a <，21b <，所以222222|2|112||ab a b a b ab a ab b ---=-+-+-2222220((11))1a b a b a b =--+=-->，所以22||1||ab a b >--，则||1ab a b ->-，则(2)(3)f ab f a b +>-+.。
高三数学模拟试题三(理科)
高三数学模拟试题三（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}53|≤<-=x x M ,{}5,5|>-<=x x x N 或，则N M ＝A.﹛x |x ＜－5，或x ＞－3﹜B.﹛x |－5＜x ＜5﹜C.﹛x |－3＜x ＜5﹜D.﹛x |x ＜－3，或x ＞5﹜ 2. 若复数z 满足i i z -=+1)1(（i 是虚数单位)，则z 的共轭复数z =A ．i -B ．i 2-C ．iD ．i 23. 已知映射B A f→:,其中R B A ==，对应法则21||:xy x f =→，若对实数B k ∈，在集合A 中不存在元素x 使得k x f →:，则k 的取值范围是A ．0≤kB ．0>kC ．0≥kD ． 0<k 4. 已知函数)sin(2ϕω+=x y 满足)()(x f x f =-，其图象与直线2=y 的某两个交点横坐标为21,x x ，21x x -的最小值为π，则 A. 21=ω，4πϕ=B. 2=ω，4πϕ=C. 21=ω，2πϕ=D. 2=ω，2πϕ=5. 实数y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤-+0,002204y x y x y x ,则yx -2的最小值为 A ．16 B ．4 C ．1 D ．21 6. 下列命题中正确命题的个数是 （1）0cos ≠α是)(22Z k k ∈+≠ππα的充分必要条件；（2）若,0,0>>b a 且112=+ba ，则4≥ab ； （3）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不变；（4）设随机变量ξ服从正态分布N(0,1),若p P =>)1(ξ，则.21)01(p P -=<<-ξ A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 7. 10)31(xx -的展开式中含有x 的正整数幂的项的个数是 A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 8. 在同一平面直角坐标系中，函数)(x f y =的图象与x e y =的图象关于直线x y =对称.而函数)(x f y =的图象与)(x g y =的图象关于y 轴对称，若1)(-=m g ，则m 的值是A ．eB ． e 1C ．e -D ．e1- 9. 曲线2x y =和曲线x y =2围成的图形面积是（ ）A. 31B.32C. 1D. 34 10. 过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点)0)(0,(>-c c F ，作圆4222a y x =+的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若)(21+=，则双曲线的离心率为 A ．10B ．510C ．210 D ．211. 在ABC ∆中，P 是BC 边中点，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若ACc +0=+PB b PA a ，则ABC ∆的形状为A.直角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰三角形但不是等边三角形.12. 直线t x =（0>t ）与函数1)(2+=x x f ，x x g ln )(=的图象分别交于A 、INPUT xIF 0<x THEN2)^2(+=x yELSEIF0=xTHEN4=yB 两点，当||AB 最小时，t 值是A. 1B.22 C. 21D.33 本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13.已知21cos sin =-αα，2,0(πα∈，则=-)42cos παα . 14. 右图所示的程序是计算函数)(x f 函数值的程序，若输出的y 值为4，则输入的x 值是 .15. 已知抛物线)0(22>=p px y ，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 .16. 四棱锥ABCD P -的三视图如右图所示,四棱锥ABCD P -的五个顶点都在一个球面上，E 、F 分别是 棱AB 、CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为22，则该球表面积为 .三．解答题：17. (本小题满分12分)已知公差不为零的等差数列}{n a 的前4项和为10，且732,,a a a 成等比数列.（Ⅰ）求通项公式n a ；（Ⅱ）设na nb 2=,求数列{}n b 的前n 项和n S .18．某班甲、乙两名同学参加l00米达标训练，在相同条件下两人l0次训练的成绩(单位：秒)如下：(I)请作出样本数据的茎叶图；如果从甲、乙两名同学中选一名参加学校的100米比赛，从成绩的稳定性方面考虑，选派谁参加比赛更好，并说明理由(不用计算，可通过统计图直接回答结论)．(Ⅱ)从甲、乙两人的10次训练成绩中各随机抽取一次，求抽取的成绩．．中至少有一个比12．8秒差的概率．(Ⅲ)经过对甲、乙两位同学的多次成绩的统计，甲、乙的成绩都均匀分布在[11．5，14．5]之间，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于0．8秒的概率．19．（本小题满分12分）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，CDAD ，AB∥CD,221===CD AD AB ,点M 在线段EC 上. （I ）当点M 为EC 中点时，求证：BM ∥平 面ADEF ；（II ）当平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角 的余弦值为66时，求三棱锥BDE M -的体积.20. (本小题满分12分)22=+yx上，⊥PD x点M在射线DP上，且满足DPλ.DMλ=)0(≠（Ⅰ）当点P在圆O上运动时，求点M的轨迹C 程，并根据λ取值说明轨迹C的形状.（Ⅱ）设轨迹C与x轴正半轴交于点A，与y交于点B，直线0x与轨迹C交于点E、F，点G3-y2=在直线AB上，满足6=，求实数λ的值.21．已知函数1)(2++=x bxax x f ，曲线)(x f y =在点（)1(,1f ）处的切线方程是.0145=+-y x（Ⅰ）求b a ,的值；（Ⅱ）设),()1ln(2)(x mf x x g -+=若当[)+∞∈,0x 时，恒有0)(≤x g ，求m 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，O ⊙是△ABC 的外接圆，D 是AC⌒ （Ⅰ）求证：DB DE DC ⋅=2； （Ⅱ）若32=CD ，O到AC 的距离为123．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程平面直角坐标系中，直线l 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==ty t x 3（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为-+θρθρ2222sin cos 03sin 2=-θρ．（Ⅰ）求直线l 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求||AB ． 24．(本小题满分l0分)选修4—5：不等式选讲已知函数|1||2|)(+--=x x x f ． （Ⅰ）求证：3)(3≤≤-x f ；（Ⅱ）解不等式x x x f 2)(2-≥.高三数学模拟试题三（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.A ；2C ；3D ；4D ；5D ；6B ；7B ；8D ；9A ；10C ；11C.；12B.. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13.214-；14.-4,0,4；15.1-=x ；16.π12三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤. 17. (本小题满分12分) 解：（1）由题意知⎩⎨⎧++=+=+).6)(()2(,106411211d a d a d a d a …………………………3分 解得⎩⎨⎧=-=321d a ……………………………………………………… 5分所以a n =3n －5.………………………………………………………… 6分（Ⅱ）∵15384122--⋅===n n a nn b ∴数列{b n }是首项为41，公比为8的等比数列，---------------------------9分所以;281881)81(41-=--=n n n S …………………………………………12分.18.(本小题满分12分) 解：(Ⅰ) 茎叶图…………2分从统计图中可以看出，乙的成绩较为集中，差异程度较小，应选派乙同学代表班级参加比赛更好；………………4分（Ⅱ）设事件A 为：甲的成绩低于12.8，事件B 为：乙的成绩低于12.8，则甲、乙两人成绩至少有一个低于12.8秒的概率为：=P ))((1B A P -=541051041=⨯-；……………8分(此部分，可根据解法给步骤分:2分)（Ⅲ）设甲同学的成绩为x ，乙同学的成绩为y ，则0.8x y -<，……………10分 得0.80.8x y x -+<<+，如图阴影部分面积即为33 2.2 2.2 4.16⨯-⨯=，则4.16104(0.8)(0.80.8)33225P x y P x y x -<=-+<<+==⨯. …………12分19．(本小题满分12分) 解：（1）以直线DA 、DC 、DE 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则)0,0,2(A ，)0,2,2(B )0,4,0(C ，)2,0,0(E ，所以)1,2,0(M . ∴)1,0,2(-=BM ————————2分又，)0,4,0(=OC 是平面ADEF 的一个法向量. ∵0=⋅即⊥∴BM ∥平面ADEF ——————4分 （2）设),,(z y x M ，则)2,,(-=z y x ， 又)2,4,0(-=EC设10(<<=λλ，则，λλ22,4,0-===z y x 即)22,4,0(λλ-M .——6分设),,(111z y x =是平面BDM 的一个法向量，则02211=+=⋅y x 0)22(411=-+=⋅z y λλ取11=x 得 λλ-=-=12,111z y 即 )12,1,1(λλ--=n 又由题设，)0,0,2(=OA 是平面ABF 的一个法向量，——————8分∴ 2166)1(4222|,cos |22=⇒=-+==><λλλn OA ————10分即点M 为EC 中点，此时，2=DEM S ∆，AD 为三棱锥DEM B -的高，∴ =-BDEM V 342231=⋅⋅=-DEMB V ————————————12分20. (本小题满分12分) 解：（1）设),(y x M 、),(00y x P ，由于DP DM λ=和⊥PD x 轴，所以⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧==⇒==λλyy xx y y xx 0000 代入圆方程得：144222=+λy x --------------2分当11<<λ时，轨迹C 表示焦点在x 轴上的椭圆；当1=λ时轨迹C 就是圆O ；当1>λ时轨迹C 表示焦点是y 轴上的椭圆.---------------4分 （2）由题设知)0,2(A ，)2,0(λB ，E ，F 关于原点对称，所以设)32,(11x x E ，)32,(11y x F --，)32,(00x x G ，不妨设01>x ---------------6分直线 AB 的方程为：122=+λy x 把点G 坐标代入得2360+=λλx 又， 点E 在轨迹C 上，则有⇒=+19422121λx x 49621+=λλx -------8分∵ GF EG 6=即 )(60110x x x x --=- 1075x x =⇒-----------10分 ∴⋅=+75236λλ4962+λλ（>λ）⇒9821or=λ----------12分21．(本小题满分12分)解：（1）22)1()()1)(2()(++-++='x bx ax x b ax x f .由于直线.0145=+-y x 的斜是45，且过点（23,1）， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧==⇒=+=+⇒='=21454323245)1(23)1(b a b a b a f f 即1)(2++=x xx x f -------4分（2）由（1）知：),1(12)1ln(2)(2->++-+=x x xx m x x g 则22)(22)22()(+-+-+-='x mx m mx x g ，--------------------------6分令m x m mx x h 22)22()(2-+-+-=，当0=m 时，22)(+=x x h ，在[)+∞∈,0x 时，0)(>x h 0)(>'x g 即，)(x g 在 [)+∞,0上是增函数，则0)0()(=≥g x g ，不满足题设.当0<m 时，∵011222<-=---mm m 且022)0(>-=m h ∴[)+∞∈,0x 时，0)(>x h 0)(>'x g 即，)(x g 在[)+∞,0上是增函数，则)0()(=≥g x g ，不满足题设.----------------------------------8分当10<<m时，则0)1(4)22(4)22(22>-==+-=m m m m ∆，由0)(=x h 得01121<---=m m m x ； 01122>-+-=mm m x则，),0[2x x ∈时，0)(>x h ，0)(>'x g 即，)(x g 在[)2,0x 上是增函数，则)0()(2=≥g x g ，不满足题设.--------------------------------------10分当1≥m 时，0)1(4)22(4)22(22≤-==+-=m m m m ∆，0)(≤x h 0)(≤'x g 即，)(x g 在[)+∞,0上是减函数，则0)0()(=≤g x g ，满足题设. 综上所述，),1[+∞∈m -------------------------------------------------12分请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. （22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 解：（I ）证明：∵CBD ABD ∠=∠，ECD ABD ∠=∠∴ECD CBD ∠=∠，又EDC CDB ∠=∠，∴△BCD ～△CED ，∴DBDCDCDE=， ∴CD 2=DE ·DB ； ………………（5分）23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）消去参数得直线l 的直角坐标方程：x y 3=---------2分由⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 代入得 θρθρcos 3sin =)(3R ∈=⇒ρπθ.（ 也可以是：3πθ=或)0(34≥=ρπθ）---------------------5分（Ⅱ）⎪⎩⎪⎨⎧==--+303sin 2sin cos 2222πθθρθρθρ 得 0332=--ρρ-----------------------------7分设)3,(1πρA ，)3,(2πρB ， 则154)(||||2122121=--=-=ρρρρρρAB .---------10分（若学生化成直角坐标方程求解，按步骤对应给分） 24．(本小题满分l0分)选修4—5：不等式选讲解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧>-<<-+--≤=)2(3)21(12)1(3)(x x x x x f ，------------------3分又当21<<-x 时，3123<+-<-x ，∴3)(3≤≤-x f -----------------------------------------------5分（2）当1-≤x 时，121322=⇒≤≤-⇒≤-x x x x ；当21<<-x 时，11111222≤<-⇒≤≤-⇒+-≤-x x x x x ； 当2≥x 时，φ∈⇒-≤-x x x 322；-------------------------8分综合上述，不等式的解集为：[]1,1-.-------------------------10分。
高三下学期第三次模拟考试数学(理科)试题Word版含答案
高中届毕业班第三次诊断性考试数 学（理工类）注意事项：1．本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡上。
2．答第Ⅰ卷时，选出每个题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3．答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项目符合题目要求的.1．已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}3,4,5M =，{}2,3N =，则集合U (C )N M =A ．{}2B ．{}2,5C ．{}4,5D ．{}1,3 2．已知是虚数单位，复数21+(1)i i -的虚部为A.12 B. 12- C. 12i D. 12i - 3． 已知两条直线,m n 和两个不同平面,αβ，满足αβ⊥，=l αβ,m α,n β⊥,则A ．m n ⊥B ．n l ⊥ C.mn D ．ml4．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠 穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大 鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图 描述，如图所示，则输出的结果是A. 5B. 4C. 3D. 25．函数33()xx f x e-=的大致图象是6．等比数列的前项和为，若，，则等于A ．33B ． -31C ．5D ．-37．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的概率是A ．B ．C ．D ．8．已知圆22:(3)(1)1C x y +-=和两点(,0),B(,0),(0)A t t t ->，若圆上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则当OP 取得最大值时，点P 的坐标是 A ．333(,2 B ．333)2C ．332(,22 D ．323()229．已知函数()3)(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<，1(,0)3A 为图象()f x 的对称中心，,B C 是该图象上相邻的最高点和最低点，若4BC =，则()f x 的单调递增区间是A ．24(2,2),33k k k Z ππππ-+∈ B ．24(2,2),33k k k Z -+∈C ．24(4,4),33k k k Z ππππ-+∈D ．24(4,4),33k k k Z -+∈10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．883π+B ．1683π+ C ．8163π+ D ．16163π+ 11．已知双曲线2222:1x y E a b-=（0,0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，126F F =，P 是E右支上的一点，1PF 与轴交于点A ，2PAF △的内切圆在边2AF 上的切点为Q ．若3AQ =，则E 的离心率是 235 D.312．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，()00f =. 若对任意x R ∈，都有()()1f x f x '>+，则使得()1x f x e +<成立的的取值范围为A ．(,0)-∞B ．(,1)-∞C ．(1,)-+∞D ．(0,)+∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若不等式组满足21022040x y x y x y -+⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥≤≤，则2z x y =+的最大值为 .14．在42⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中，x 的系数为 ．(用数字作答) 15．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为，0OA AB AC ++=且OA AB =，则向量CA在CB 方向上的投影为 .16．n S 为数列{}n a 的前项和，已知()()()*0,431,n n n n a S a a n N >=+-∈．则{}n a 的通项公式n a =______.三、解答题：本大题共7小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号涂黑。
高考第三次模拟考试(数学理)
6.一
A。
动圆与两圆 抛物线
'+B卢。
〓1和 圆
'+/-C⒏。
+12〓 0都外切 双曲线的工支
,则 动圆圆心轨迹为
D,椭 圆
7.设 J,m是两条不同直线 ,α ,卩 是两个不同平面,则 下列命题中正确的是 、
A.若 J⊥ α,J∥ 卩,则 α⊥卩
m C.若 J∥ α,m∥ α,则 J∥
B。 若J∥ α,Ⅱ ⊥J,则 m⊥ α
A· (i,:冫
] B· (1,÷
⒐[i∶ :). D· 卜,:] ∵
2.复 数 z满 足(4+3j)z± 3-⒉ (j为 虚数单位),则复数 z在 复平面内对应的点位于
A.第-象 限 B,第二象限 C。 第三象限 D。 第四象限
∷ 3.若钝角三角形 ABC的 面积是÷ ,^B〓 1,:c=万 ,则 ⅡC亠
点 B是 曲线 C:与 Cz的 交点,且 A、B均 异于原点 o,丨 ABl〓 4万,求 实数 α的伍
zg.(本题满分 10分 )
∶
已知 函数 灭历)〓 l另 +21刊 巧ˉ41,菡数 gC多 )=/rr,)-m的 定义域为 R.
(1)求 实数 m的取值范围;
(2)求解不等式rfΞ )≤ 8。
搞三三模考试数学(理科)试卷第 4页 (共 4页 )
题记分。
`
) zz。 (本题满分 10分
,
点
,为
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巧0y中
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9的 参犭廴
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轴正半轴为极轴建立议坐标系;曲 线 C2的
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0i参 :?:cp(rP丿
极坐标方程为 ρ 〓砒inO。
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高三理科数学模拟试题（一）高三理科数学模拟试题（一）D. x 甲 x 乙， m甲m乙一、选择题（每小题 5 分共 60 分）x9. 设函数 f (x) xe ，则（ ）1. 集合 M{ x |lg x0} ，2Nx x ，则 M IN（）{ |4}A.x 1为 f (x) 的极大值点 B. x 1为 f (x) 的极小值点A. (1,2)B. [1,2)C. (1,2]D. [1,2]C.x 1为 f (x) 的极大值点D.x 1为 f ( x) 的极小值点2. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A. y x 1B. 2 y xC. y 1 xD. y x | x |10. 两人进行乒乓球比赛，先赢三局着获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（ ）3. 设 a,b R ，i 是虚数单位，则“ ab 0 ”是“复数 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.下列命题中，真命题是（）ab i为纯虚数”的（）A . 10 种 B.15 种 C. 20 种 D. 30 种y≥1，11．已知实数 x ，y 满足 y ≤ 2x 1，如果目标函数（ ）x ym ≤ ．xA ． xR,eB ．x x R,2 x2 A ．7B ．5C ．4D ．3输入N,a 1,a 2, ,aNaa b 01CbD ．a1,b 1是ab 1的充分条件12．如果执行右边的程序框图，输入正整数 N(N 2) 和实数 a 1, a 2 , ,a ，输出 A 、 B ，则（ ）Nk1,A a 1,B a15．已知 { a } 是等差数列，a 1 a 2 4 ， a 7 a 8 28，则该数列前 10 项和 S 10 等于（）nA ．64B ．100C ．110D ．120A 、 AB 为a 1,a 2, , a N 的和xakk k 1 是xx66．(4 2 )（ x R ）展开式中的常数项是 （ ）（A ）20（B ） 15（C ）15（D ）20A BB 、为a 1,a 2, , a 的算术平均数N2B是xx x A? 否 B? 否7. 如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC A 1B 1C 1 ，C 、 A 和 B 分别是 a 1, a 2 , ,a N 中最大的数和最小的数A xCA C C 2CB BC A B ，则直线 与直线 夹角的余弦值为（ ）1 1 1A.5 5B.53C.2 5 5D.3 5D 、 A 和 B 分别是 a 1, a 2 , ,a N 中 最小的数和最大的数二. 填空题： （本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） （注意：请同学们将答案填写在答题卷相应的题号后的横线上） 13．已知向量 a ，b 夹角为o45 ，且 | a | 1，|2a b |10 ，kN?是输出A,B结束否 8. 从甲乙两个城市分别随机抽取16 台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如则| b |图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为 x 甲， x 乙 ，中位数分别为 m 甲， m 乙，则（）14.如图所示，在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P ，则点 P 恰好取A. x 甲 x 乙， m甲m 乙自阴影部分的概率为 15．已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， ABC 是边长B. x 甲 x 乙， m甲m 乙为 1 的正三角形， SC 为球 O 的直径，且 SC 2，则此棱锥的体积为 C. x 甲 x 乙， m甲m 乙16.双曲线22x y221的右焦点与抛物线 y12x4 b的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为1答题卷（Ⅰ）证明：DC BC 答题卷（Ⅰ）证明：DCBC1 ；（Ⅱ）求二面角A1 BD C 的大小．113 14 15 16三、解答题17.（本小题满分10 分）函数f (x) A sin( x ) 1（A 0, 0 ）的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为6 2 ，（1）求函数 f (x) 的解析式；（2）设(0, )2 ，则f ( ) 2 ，求的值.220. （本小题满分10 分）已知椭圆2x2C1 : y 1，椭圆C2 以C1 的长轴为短轴，且与C1 有相同的离心率.418.（本小题满分10 分）（1）求椭圆C2 的方程；设 a 的公比不为 1 的等比数列，其前n 项和为S n ，且a5,a3 ,a4 成等差数列.n （2）设O 为坐标原点，点A，B 分别在椭圆uu u ru u u rC 和C2 上，OB2OA1，求直线AB 的方程.（1）求数列a n 的公比；（2）证明：对任意k N ，S k 2 ,S k , S k 1成等差数列.C 1 B 1A 119．（本小题满分10 分）如图，直三棱柱1ABC A1B C 中，AC BC A A1 ，1 12DCB21.（本小题满分10 分）某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客D 是棱AA1 的中点，DC1 BD ．A办理业务所需的时间统计结果如下：223. （考生注意：请在下列两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）（1）（本小题满分8 分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点O为几点，x 轴从第一个顾客开始办理业务时计时.2 3的正半轴为极轴建立极坐标系。
已知直线l 上两点M ,N 的极坐标分别为)(2,0), ( , ，圆C 的参数3 2（1）估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务的概率；（2）X 表示至第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数，求X 的分布列及数学期望.x 2 2 cos方程(y 3 2 s in为参数）。
（Ⅰ）设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l 与圆C 的位置关系（2）（本小题满分7 分）选修4-5：不等式选讲已知函数 f (x) m | x 2 |,m R ，且 f (x 2) 0 的解集为[ 1,1 ]。
22．（本小题满分12 分）已知函数 f (x) 满足f1x 1 2 ．( x) f ' (1)e f (0)x x21 1 1（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若a,b,c R，且ma 2b 3c，求证：a 2b 3c 9。
12（Ⅰ）求 f ( x) 的解析式及单调区间；（Ⅱ）若 f (x) x ax b，求(a 1)b 的最大值．23参考答案一、选择题CDBDB CABDC BC二、填空题S Sk 2 k 1k 2 k 1 k 2k 1a (1 q ) a (1 q ) a (2 qq )1 1 11 q 1 q 1 q13 3 2 14. 1/6 15. 1 16. 3三、解答题2S (S S )k k 2 k 1k k 2 k12a (1 q ) a (2 qq )1 11 q 1 q17. （1）∵函数 f ( x) 的最大值为3，∴A 1 3,即A 2 a1 [2(1 )(2 )q q qk k 2 k11 q∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为T，∴最小正周期为2∴2，故函数f (x) 的解析式为y sin(2x ) 16ka q21 ( 2) 0q q1 q（2）∵ f ( ) 2sin( ) 1 22 61即sin( )6 2 因此，对任意kN ，19 题答案S 2 ,S , S 1成等差数列k k k∵0，∴2 6 6 3∴，故6 6 318。
（1）设数列a n 的公比为q（q 0,q 1）由a5, a3 ,a4 成等差数列，得2a3 a5 a4 ，即2 432a q a q a q1 1 1由a1 0, q 0得2 2 0q q ，解得q1 2, q2 1（舍去）∴q 2（2）证法一：对任意k NS 2 S 1 2S (S 2 S ) (S 1 S ) k k k k k k ka a ak 1 k 2 k 12a k a k ( 2) 01 1所以，对任意k N ，S 2 ,S , S 1成等差数列k k kk2a (1 q )证法二对任意k N ， 12Sk1 q20 解（1）由已知可设椭圆C2 的方程为2 2y x2 1 (a2)a 44其离心率为32，故2 43aa 2，则a4，故椭圆的方程为2 2y x16 41办理业务所需的时间均为 2 分钟。
所以P( A) P(Y 1)P (Y 3) P(Y 3) P(Y 1) P(Y 2)P(Y 2)（2）解法一A, B 两点的坐标分别记为( , ), ( , )x y x yA AB B 0.1 0.3 0.3 0.1 0.4 0.4 0.22u u u r u u u r 由OB 2OA 及（1）知，O, A, B 三点共线且点A，B不在y 轴上，（2）解法一X 所有可能的取值为0,1,2X 0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟，因此可以设直线AB 的方程为y kx 所以P(X 0) P(Y 2) 0.5将y kx 代入2x42 1y 中，得2 2(1 4k ) x 4，所以2xA414k2X 1对应第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过 1 分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为 2 分钟。
所以P(X 1) P(Y 1)P(Y 1) P(Y 2)将y kx 代入u u u ru u u r由OB2OA22 yx164，得1中，则2 4 2x x ，即B A2 2(4 k )x16，所以16 16224 k 1 4k2xB416k 20.1 0.9 0.4 0.49X 2对应两个顾客办理业务所需时间均为 1分钟，所以P(X 2) P(Y 1)P(Y 1) 0.1 0.10.01解得k1，故直线AB 的方程为y x或y x 所以X 的分布列为X 0 1 2解法二A, B 两点的坐标分别记为( , ), ( , )x y x yA AB B P 0.5 0.49 0.01u u u r u u u r 由OB 2OA 及（1）知，O, A, B 三点共线且点A，B不在y 轴上，EX0 0.5 1 0.49 2 0.010.51解法二X 所有可能的取值为0,1, 2因此可以设直线AB 的方程为y kx X0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟，将y kx 代入2x42 1y 中，得2 2(1 4k ) x 4，所以2xA414k2所以P(X 0) P(Y 2) 0.5X 2对应两个顾客办理业务所需时间均为 1分钟，u u u r u u u r 由OB 2OA ，得 2xB4162k， 2yB216k21 4k所以P(X 2) P(Y 1)P(Y 1) 0.1 0.10.01P(X1) 1 P(X0) P( X 2) 0.49将x y 代入2 2y x16 41中，得24k21，即 2 24 k 1 4k所以X 的分布列为X 0 122 , 2B B1 4k解得k1，故直线AB 的方程为y x或y x EXP 0.5 0.490.010 0.5 1 0.49 2 0.01 0.5121. 解设Y 表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y 的分布列如下：Y 1 2 3 4 5P 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1（1）A表示事件“第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务”，则事件 A 对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟；③第一个和第二个顾客522.（2）【解析】（1）∵ f (x 2) m x ∴x m ，∴m 0 m x m f (x 2) 0 1 x 1 m 1（2）由（1）知1 1 1a 2b 3c1,a, b, cR,由柯西不等式得（lbylfx ）1 1 1a 2b 3c (a 2b3c)( )a 2b 3c1 1 12 ( a. 2b. 3c. ) 9a 2b 3c23 题答案（1）【解析】（Ⅰ）由题意知2 3M (2,0), N (0, ) ，因为P是线段MN 中点，则33P(1,)3因此O P 直角坐标方程为：3yx.3（Ⅱ）因为直线l 上两点(2,0), (0, 2 3)M N3∴l 垂直平分线方程为：3x 3y 2 3 0 ，圆心(2, 3) ，半径r 2.2 3 3 3 2 3 3d r ,故直线l 和圆C相交.2 3 96。