2020-2021学年高三数学(理科)第一次高考模拟考试试题及答案解析
上海高中2024年高三第一次模拟考试(数学试题含解析)
上海高中2024年高三第一次模拟考试（数学试题含解析）请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合2{|1}M x x ==．N 为自然数集，则下列表示不正确的是（ ）A ．1M ∈B ．{1,1}M =-C ．M ∅⊆D ．M N ⊆ 2．下列说法正确的是（ ）A ．“若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤”B ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题C ．0(0,)x ∃∈+∞，使0034x x >成立D ．“若1sin 2α≠，则6πα≠”是真命题 3．已知数列{}n a 中，112,()1,n n n a n a a a n N *+=-=+∈ ，若对于任意的[]*2,2,a n N ∈-∈，不等式21211n a t at n +<+-+恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A ．(][),21,-∞-⋃+∞B ．(][),22,-∞-⋃+∞C ．(][),12,-∞-⋃+∞D ．[]2,2- 4．已知15455,log log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c b a >>5．已知m ∈R ，复数113z i =+，22z m i =+，且12z z ⋅为实数，则m =（ ）A ．23-B ．23C ．3D ．-36．为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度．某地区在2015 年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为70%．2015年开始，全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占 2019 年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表：参加用户比 40% 40% 10% 10%脱贫率 95% 95% 90% 90%那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（ ）A ．2728倍B ．4735倍C ．4835倍D ．75倍 7．已知函数()()614,7,7x a x x f x a x -⎧-+≤=⎨>⎩是R 上的减函数，当a 最小时，若函数()4y f x kx =--恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1(,0)2-B ．1(2,)2-C ．(1,1)-D ．1(,1)28．函数()3221f x x ax =-+在()0,∞+内有且只有一个零点，则a 的值为（ ）A ．3B ．－3C ．2D ．－2 9．函数的定义域为（ ）A ．[，3）∪（3，+∞）B ．（-∞，3）∪（3，+∞）C ．[，+∞）D ．（3，+∞）10．2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数字为茎，个位数字为叶）.若甲队得分的中位数是86，乙队得分的平均数是88，则x y +=（ ）A ．170B ．10C ．172D ．12 11．下列与函数y x=定义域和单调性都相同的函数是（ ） A ．2log 2x y = B ．21log 2x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ．21log y x = D ．14y x =12．已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）．A ．122B ．112C ．102D ．92二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
宁波市2021学年第一学期高考模拟考试高三数学试卷 答案
即 sin = 2 + cos ，得 2 cos + cos2 = 1− cos2 ，解得 cos = 3 −1 (舍负).
cos sin
2
可知此时， cos AOB = 1− 3 . 2
（5）当 AOB = 0, , 时，显然不合题意. 2
由（1），（2），（3），（4），（5）可知， cos AOB (−1, 1− 3 ] [1 ,1) .
4
10．答案：B
解析：{an}的前几项依次为1,1, 2, 3, 5,8,13 ，易知数列{an}从第二项起为递增数列，
从而 an+2
=
an+1
+ an
2an (n
2)
，即得
1 an+2
1 2
1 an
(n
2)
，
1 11
1 1 11 1
由 (n 2) ，得 + ( + )(n 2) ，
an+2 2 an
(事实上， f (x) 在 (a, a +1) 上有两个零点) 此时， (a − 3, a) (0, a) ，且 f (x) 在 (a − 3, a) 上有两个零点.
又 a + 1 − 3 = a − 5 0 ， f (0) = f (3) = 9 − 3(2a +1) + a2 + 3 = a2 − 6a + 9 0 ，
E
O
B
C
情形(4)-1
情形(4)-2
C l
下面考虑使得 OC = 1 的 AOB 的大小.
A H
此时，设 AOE = ，有 HOB = COE = ，
从而 B = − ，得 EAB = . 2
2020-2021学年度山西省高考第一次模拟考试数学(理)试题及答案
理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知单元素集合(){}2|210A x x a x =-++=，则a =（ ） A ． 0 B ． -4 C ． -4或1 D ．-4或02. 某天的值日工作由4名同学负责，且其中1人负责清理讲台，另1人负责扫地，其余2人负责拖地，则不同的分工共有（ ）A ．6种B ． 12种C ．18种D ．24种3. 已知函数()sin f x x x =+，若()()()23,2,log 6a f b f c f ===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．b a c << D ．b c a <<4.在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，BE 与AC 的交点为F ，设,AB a AD b ==u u u r u u u r ，则向量BF =u u u r（ ） A ．1233a b+B ．1233a b -- C. 1233a b -+ D ．1233a b - 5.已知抛物线2:C y x =，过点(),0P a 的直线与C 相交于,A B 两点，O 为坐标原点，若0OA OB <u u u r u u u rg，则a 的取值范围是 （ ）A ．(),0-∞B ．()0,1 C. ()1,+∞ D ．{}16.《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵.将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均匀直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵111ABC A B C -中，15,3,4AA AC AB BC ====，则阳马111C ABB A -的外接球的表面积是 （ ）A ．25πB ． 50π C. 100π D ．200π7. 若,x y 满足约束条件44030y x x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则1x y +的取值范围是（ ）A ．5,113⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．13,115⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 3,115⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．15,113⎡⎤⎢⎥⎣⎦8. 执行如图所示的程序框图，如果输入的n 是10，则与输出结果S 的值最接近的是（ ）A ． 28eB ． 36e C. 45e D ．55e9.在ABC ∆中，点D 为边AB 上一点，若3,32,3,sin 3BC CD AC AD ABC ⊥==∠=，则ABC ∆的面积是（ ） A ．922 B ．1522C. 62 D ．122 10.某市1路公交车每日清晨6：30于始发站A 站发出首班车，随后每隔10分钟发出下一班车.甲、乙二人某日早晨均需从A 站搭乘该公交车上班，甲在6：35-6：55内随机到达A 站候车，乙在6：50-7：05内随机到达A 站候车，则他们能搭乘同一班公交车的概率是 （ ） A ．16 B ． 14 C. 13 D ．51211.如图，Rt ABC ∆中，,6,2AB BC AB BC ⊥==，若其顶点A 在x 轴上运动，顶点B 在y 轴的非负半轴上运动.设顶点C 的横坐标非负，纵坐标为y ，且直线AB 的倾斜角为θ，则函数()y f θ=的图象大致是 （ ）A ．B ．C. D ．12. 定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥时，()21,0122,1xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是（ ） A ． -1 B ．12-C. 13- D ．13二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.在复平面内，复数()228z m m m i =+--对应的点位于第三象限，则实数m 的取值范围是． 14.已知tan 24πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭，则1sin 2cos 2αα-=．15.过双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的右焦点，且斜率为2的直线与E 的右支有两个不同的公共点，则双曲线离心率的取值范围是．16.一个正方体的三视图如图所示，若俯视图中正六边形的边长为1，则该正方体的体积是．三、解答题 ：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 已知等比数列{}n a 中，*11211120,,,64n n n n a a n N a a a ++>=-=∈. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设()()221log nn n b a =-g ，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .18.某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1kg 的包裹收费10元；重量超过1kg 的包裹，除1kg 收费10元之外，超过1kg 的部分，每超出1kg （不足1kg ，按1kg 计算）需再收5元.该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如下： 包裹重量（单位：kg ）1234 5包裹件数43 30 15 8 4包裹件数范围 0100: 101200: 201300: 301400: 401500:包裹件数（近似处理）50 150 250 350 450 天数6630126（1）计算该公司未来3天内恰有2天揽件数在101400:之间的概率； （2）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；②公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用.目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，工资100元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利？19.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，//,AF DE AF AD ⊥，且平面BED ⊥平面ABCD .（1）求证：AF CD ⊥； （2）若0160,2BAD AF AD ED ∠===，求二面角A FB E --的余弦值.20.已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>过点⎛ ⎝⎭，且两个焦点的坐标分别为()()1,0,1,0-. （1）求E 的方程；（2）若,,A B P 为E 上的三个不同的点，O 为坐标原点，且OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r，求证：四边形OAPB 的面积为定值.21. 已知函数()()()221ln f x x m x x m R =-++∈. （1）当12m =-时，若函数()()()1ln g x f x a x =+-恰有一个零点，求a 的取值范围； （2）当1x >时，()()21f x m x <-恒成立，求m 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，[]0,θπ∈），将曲线1C 经过伸缩变换：x xy '=⎧⎪⎨'=⎪⎩得到曲线2C .（1）以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，求2C 的极坐标方程；（2）若直线cos :sin x t l y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）与12,C C 相交于,A B两点，且1AB ，求α的值.23. 【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()()1f x x a a R =--∈.（1）若()f x 的最小值不小于3，求a 的最大值；（2）若()()2g x f x x a a =+++的最小值为3，求a 的值.试卷答案一、选择题1-5: DBDCB 6-10: BABCA 11、12：AC 二、填空题13. ()2,0- 14. 12-15. (16.三、解答题17.解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >， 因为12112n n n a a a ++-=，所以11111112n n n a q a q a q -+-=， 因为0q >，解得2q =， 所以17*122,64n n n a n N --=⨯=∈； （2）()()()()()()2227221log 1log 217nnnn n n b a n -=-=-=--g g g ，设7n c n =-，则()()21nn n b c =-g ，()()()()()()222222212342121234212n n n n n T b b b b b b c c c c c c --⎡⎤⎡⎤=++++++=-++-+++-+⎣⎦⎣⎦L L()()()()()()12123434212212n n n n c c c c c c c c c c c c --=-+++-++++-++L ()()2123421226272132132n n n n c c c c c c n n n n --+-⎡⎤⎣⎦=++++++==-=-L .18.解：（1）样本中包裹件数在101400:之间的天数为48，频率484605f ==， 故可估计概率为45， 显然未来3天中，包裹件数在101400:之间的天数X 服从二项分布，即43,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，故所求概率为223414855125C ⎛⎫⨯⨯=⎪⎝⎭； （2）①样本中快递费用及包裹件数如下表：故样本中每件快递收取的费用的平均值为1530201525830415100+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）， 故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元.②根据题意及（2）①，揽件数每增加1，可使前台工资和公司利润增加11553⨯=（元）， 将题目中的天数转化为频率，得若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：EY500.11500.12500.53000.23000.1235⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=因9751000<，故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利.19.（1）证明：连接AC，由四边形ABCD为菱形可知AC BD⊥，∵平面BED⊥平面ABCD，且交线为BD，∴AC⊥平面BED，∴AC ED⊥，又//AF DE，∴AF AC⊥，∵,AC AD AAF AD⊥=I，∴AF⊥平面ABCD，∵CD⊂平面ABCD，∴AF CD⊥；（2）解：设AC BD O=I，过点O作DE的平行线OG，由（1）可知,,OA OB OG两两互相垂直，则可建立如图所示的空间直角坐标系O xyz-，设()1202AF AD ED a a===>，则)()()()3,0,0,0,,0,3,0,2,0,,4A aB a F a a E a a-，所以()()()()3,,0,0,0,2,0,2,4,3,,2 AB a a AF a BE a a BF a a a=-==-=-u u u r u u u r u u u r u u u r，设平面ABF的法向量为(),,m x y z=u r，则m ABm AF⎧=⎪⎨=⎪⎩u r u u u rgu r u u u rg，即3020x yz⎧+=⎪⎨=⎪⎩，取3y=()3,0m=u r为平面ABF的一个法向量，同理可得()0,2,1n=r为平面FBE的一个法向量.则2315cos,525m n==⨯，又二面角A FB E--的平面角为钝角，则其余弦值为1520.解：（1）由已知得1,2c a ===∴1a b ==，则E 的方程为2212x y +=； （2）当直线AB 的斜率不为零时，可设:AB x my t =+代入2212x y +=得： ()2222220my mty t +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则212122222,22mt t y y y y m m -+=-=++，()2282m t ∆=+-，设(),P x y ，由OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r，得()121212122224,222mt ty y y x x x my t my t m y y t m m =+=-=+=+++=++=++， ∵点P 在椭圆E 上，∴()()22222221641222t m t m m+=++，即()()22224212t m m+=+，∴2242t m =+，AB ===原点到直线x my t =+的距离为d =∴四边形OAPB的面积：22122242OABS S AB d t ∆==⨯⨯===. 当AB的斜率为零时，四边形OAPB的面积112222S =⨯⨯=，∴四边形OAPB 21.解：（1）函数()g x 的定义域为()0,+∞，当12m =-时，()2ln g x a x x =+，所以()222a x a g x x x x +'=+=，①当0a =时，()2,0g x x x =>时无零点，②当0a >时，()0g x '>，所以()g x 在()0,+∞上单调递增， 取10ax e-=，则21110aa g e e --⎛⎫⎛⎫=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()11g =，所以()()010g x g <g ，此时函数()g x 恰有一个零点，③当0a <时，令()0g x '=，解得x =当0x <<()0g x '<，所以()g x 在⎛ ⎝上单调递减；当x >()0g x '>，所以()g x 在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增.要使函数()f x 有一个零点，则ln 02ag a ==即2a e =-，综上所述，若函数()g x 恰有一个零点，则2a e =-或0a >；（2）令()()()()22121ln h x f x m x mx m x x =--=-++，根据题意，当()1,x ∈+∞时，()0h x <恒成立，又()()()()1211221x mx h x mx m x x--'=-++=， ①若102m <<，则1,2x m ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0h x '>恒成立，所以()h x 在1,2m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，且()1,2h x h m ⎛⎫⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以不符题意. ②若12m ≥，则()1,x ∈+∞时，()0h x '>恒成立，所以()h x 在()1,+∞上是增函数，且()()()1,h x h ∈+∞，所以不符题意.③若0m ≤，则()1,x ∈+∞时，恒有()0h x '<，故()h x 在()1,+∞上是减函数，于是“()0h x <对任意()1,x ∈+∞，都成立”的充要条件是()10h ≤，即()210m m -+≤，解得1m ≥-，故10m -≤≤.综上，m 的取值范围是[]1,0-.22.解：（1）1C 的普通方程为()2210x y y +=≥，把,3x x y y ''==代入上述方程得，()22103y x y '''+=≥， ∴2C 的方程为()22103y x y +=≥， 令cos ,sin x y ρθρθ==， 所以2C 的极坐标方程为[]()2222230,3cos sin 2cos 1ρθπθθθ==∈++；（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈，由1ρθα=⎧⎨=⎩，得1A ρ=， 由2232cos 1ρθθα⎧=⎪+⎨⎪=⎩，得B ρ=，11=，∴1cos 2α=±， 而[]0,απ∈，∴3πα=或23π. 23.解：（1）因为()()min 1f x f a ==-，所以3a -≥，解得3a ≤-，即max 3a =-；（2）()()212g x f x x a a x x a =+++=-++，当1a =-时，()310,03g x x =-≥≠，所以1a =-不符合题意，当1a <-时，()()()()()()()12,12,112,1x x a x a g x x x a x a x x a x -++≥-⎧⎪=--+≤<-⎨⎪---+<⎩，即()312,12,1312,1x a x a g x x a x a x a x -+≥-⎧⎪=---≤<-⎨⎪-+-<⎩， 所以()()min 13g x g a a =-=--=，解得4a =-，当1a >-时，同法可知()()min 13g x g a a =-=+=，解得2a =，综上，2a =或-4.。
安徽省合肥市2020-2021学年高三上学期期初调研性检测理科数学试题
合肥市2021届高三调研性检测数学试（理科）（考试时间：120分钟 满分：150分）第Ⅰ卷（60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若复数z满足1zi -=，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为（ ）A.B.C.D. 3B首先根据题意得到z i =，再计算模长即可.因为1zi -=，所以221++===iz i ii.所以==z 故选：B2. 若集合{}1A xx =>∣，{}2230B x x x =--≤∣，则A B =（ ） A. (1,3] B. [1,3] C. [1,1)- D. [1,)-+∞A化简集合B ，根据交集的定义，即可求解.{}2230[1,3]B x x x =--≤=-∣, {}1(1,)A x x =>=+∞∣,(1,3]A B ∴=。
故选：A.3. 若变量x ，y 满足约束条件1133x y x y x y -≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≥⎩，则目标函数3z x y =+的最小值为（ ）A. 92- B. 4- C. 3- D. 1D根据变量x ，y 满足1133x y x y x y -≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≥⎩，画出可行域，然后平移直线30x y +=，当直线在y 轴上截距最小时，目标函数取得最小值.由变量x ，y 满足1133x y x y x y -≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≥⎩，画出可行域如图所示：平移直线30x y +=，当直线在y 轴上截距最小时，经过点1,0A ，此时目标函数取得最小值，最小值是1，故选：D4. 为了保障广大人民群众的身体健康，在新冠肺炎疫情防控期间，有关部门对辖区内15家药店所销售的A 、B 两种型号的口罩进行了抽检，每家药店抽检10包口罩（每包10只），15家药店中抽检的A 、B 型号口罩不合格数（Ⅰ、Ⅱ）的茎叶图如图所示，则下列描述不正确．．．的是（ ）A. 估计A 型号口罩的合格率小于B 型号口罩的合格率B. Ⅰ组数据的众数大于Ⅱ组数据的众数C. Ⅰ组数据的中位数大于Ⅱ组数据的中位数D. Ⅰ组数据的方差大于Ⅱ组数据的方差 D根据茎叶图中的数据计算出两种型号口罩的合格率，可判断A 选项的正误；求出两组数据的众数，可判断B 选项的正误；求出两组数据的中位数，可判断C 选项的正误；利用排除法可判断D 选项的正误. 对于A选项，由茎叶图可知，A 型号口罩的不合格数为658210124131416202130199++⨯++⨯++++++=，B 型口罩的不合格数为245682101131416212528180++++⨯++⨯+++++=，A 型号口罩的合格率为1991301115001500-=，B 型口罩的合格率为1801320115001500-=， 所以，A 型口罩的合格率小于B 型口罩的合格率，A 选项正确； 对于B 选项，Ⅰ组数据的众数为12，Ⅱ组数据的众数11，B 选项正确； 对于C 选项，Ⅰ组数据的中位数为12，Ⅱ组数据的11，C 选项正确； 由排除法可知D 选项不正确.故选：D.5. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3122n n S a =-，则5S =（ ）A. 81B. 121C. 243D. 364B利用递推式与等比数列求和的通项公式即可得出.31,22n n S a =-∴当2n ≥时，113122n n S a --=-，∴111313133222222n n n n n n n a S S a a a a ---⎛⎫=-=---=- ⎪⎝⎭， 化简可得：13n n a a -=， 当1n =时，1113122a S a ==-，解得：11a =. ∴数列{}n a 是等比数列,首项为1,公比为3,()()55151113121113a q S q-⨯-∴===--.故选：B.6. 函数cos ()x xx xf x e e -=+在[],ππ-上的图象大致是（ ）A. B.C .D.A先由函数的奇偶性定义，判断()f x 为奇函数，排除B ，D ，再由()f x 在(0,),(,)22πππ函数值的正负值判断，即可得出结论.cos (),[,]x xx xf x x e eππ-=∈-+定义域关于原点对称， cos ()(),()x xx xf x f x f x e e ---==-∴+是奇函数，图象关于原点对称，排除选项B ，D ，(0,),()0,,()022x f x x f x ππ∈>==，(,),()02x f x ππ∈<，所以选项C 不满足，选项A 满足.故选：A. 7. 周六晚上，小红和爸爸、妈妈、弟弟一起去看电影，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起，为安全起见，每个孩子至少有一侧有家长陪坐，则不同的坐法种数为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20C先计算出4个人的全排列，再减去不符合情况的种数即可.4个人坐四个座位，共有4424A =种坐法，当孩子坐在一起并且坐在最边上时，有一个孩子没有大人陪伴，共有222228A A =种，所以每个孩子旁边必须有大人陪着共有24-8=16种坐法. 故选：C .8. 已知函数()2)0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数()f x 的单调递减区间为（ ）A. 32,2()88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B. 3,()88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C. 372,2()88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D. 37,()88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D由图可知，20,218822f f ππππωϕωϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，338288T πππ=-=，从而可求出2,4πωϕ==-，()2)4f x x π=-，进而由3222,242k x k k Z πππππ+≤-≤+∈可求得答案解：由图可知，20,218822f f ππππωϕωϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以18k πωϕπ+=，1k Z ∈，2224k ππωϕπ+=+或2232,24k k Z ππωϕπ+=+∈，因为338288T πππ=-=，所以T π=，所以2ππω=， 因为0>ω，所以2ω=， 所以14k πϕπ=-，1k Z ∈，2324k πϕπ=-+或222,4k k Z πϕπ=-+∈ 因为||2ϕπ<，所以4πϕ=-， 所以()2)4f x x π=-，由3222,242k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 解得37,88k x k k Z ππππ+≤≤+∈，所以()f x 的单调递减区间为37,()88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，故选：D 由三视图可知，几何体为一个三棱锥A BCD -， 如下图所示：根据三视图可知，4DB =，2DC =，高为2，1182323A BCD V DC DB -∴=⨯⨯⨯⨯=，∴所求几何体体积：83，故选：C .10. 在ABC 中，D 、E 、F 分别是边BC 、CA 、AB 的中点，AD 、BE 、CF 交于点G ，则：①1122EF CA BC =-；②1122BE AB BC =-+；③AD BE FC +=； ④0GA GB GC ++=． 上述结论中，正确的是（ ） A. ①② B. ②③C. ②③④D. ①③④C 分析】作出图形，利用平面向量的加法法则可判断①②③④的正误. 如下图所示：对于①，F 、E 分别为AB 、AC 的中点，111222FE BC CA BC ∴=≠-，①错误； 对于②，以BA 、BC 为邻边作平行四边形ABCO ，由平面向量加法的平行四边形法则可得2BE BO BA BC AB BC ==+=-+，1122BE AB BC ∴=-+，②正确；对于③，由②同理可得2AD AB AC =+，1122AD AB AC ∴=+，同理可得1122CF CA CB =+，()102AD BE CF AB AC BA BC CA CB ∴++=+++++=， AD BE CF FC ∴+=-=，③正确；对于④，易知点G 为ABC 的重心，所以，23GA AD =-，23GB BE =-，23GC CF =-，因此，()203GA GB GC AD BE CF ++=-++=，④正确.故选：C. 11. 双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，M 为C 的渐近线上一点，直线2F M 交C 于点N ，且20F M OM ⋅=，2232F M F N =（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为（ ） A. 5 B. 2 C. 3 D. 2 A设点M 为第一象限内的点，求出直线2F M 的方程，可求得点M 的坐标，由2232F M F N =可求得点N 的坐标，再将点N 的坐标代入双曲线C 的方程，进而可求得双曲线C 的离心率.设点M 为第一象限内的点，可知直线OM 的方程为by x a=，()2,0F c ，2F M OM ⊥，所以，直线2F M 的方程为()ay x c b=--， 联立()b y x a a y x c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得2a x c ab y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点2,a ab M c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设点(),N x y ，()222,,0,a ab b ab F M c c c c c ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2,F N x c y =-，2232F M F N =，()23232b x c c ab y c ⎧-=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，解得222323a c x c ab y c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点2222,33a c ab N c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，将点N 的坐标代入双曲线C 的方程得22222222331a c ab c c a b ⎛⎫+⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=， 可得22249e e e⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，整理得25e =，1e >，解得5e =故选：A.12. 已知a 、b R ∈，函数()()3210f x ax bx x a =+++<恰有两个零点，则+a b 的取值范围（ ）A. (),0-∞B. (),1-∞-C. 1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D. 1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D利用导数分析函数()y f x =的单调性，可得出该函数的极小值()10f x =，由题意得出()()2111321111321010f x ax bx f x ax bx x ⎧=++=⎪⎨=+++='⎪⎩，进而可得23112111223a x xb x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，可得出32111222a b x x x +=--，令110t x =<，由0a <可得出12t <-，构造函数()32222g t t t t =--，求得函数()y g t =在区间1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上的值域，由此可求得+a b 的取值范围.()321f x ax bx x =+++且0a <，()2321f x ax bx '=++，24120b a ∆=->， 则方程()0f x '=必有两个不等的实根1x 、2x ，设12x x <， 由韦达定理得1223bx x a+=-，12103x x a=<，则必有120x x <<，且()21113210f x ax bx '=++=，① 当1x x <或2x x >时，()0f x '<；当12x x x <<时，()0f x '>.所以，函数()y f x =的单调递增区间为()12,x x ，单调递减区间为()1,x -∞和()2,x +∞.由于()010f =>，若函数()y f x =有两个零点，则()32111110f x ax bx x =+++=，②联立①②得21132111321010ax bx ax bx x ⎧++=⎨+++=⎩，可得23112111223a x xb x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，所以，32111222a b x x x +=--， 令110t x =<，令()32222g t t t t =--，则()a b g t +=， ()3222210a t t t t =+=+<，解得12t <-，()()()()2264223212311g t t t t t t t '=--=--=+-.当12t <-时，()0g t '>，此时，函数()y g t =单调递增，则()321111122222224a b g t g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=<-=⨯--⨯--⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D.第Ⅱ卷（90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在答题卡上的相应位置． 13. 若命题:p 若直线l 与平面α内的所有直线都不平行，则直线l 与平面α不平行；则命题p ⌝是________命题（填“真”或“假”）．假先写出p ⌝，再判断真假即可.命题:p 若直线l 与平面α内的所有直线都不平行，则直线l 与平面α不平行； 命题p ⌝：若直线l 与平面α内的所有直线都不平行，则直线l 与平面α平行，假命题. 故答案为：假命题.14. 若直线l 经过抛物线24x y =-的焦点且与圆22(1)(2)1x y -+-=相切，则直线l 的方程为________．0x =或4330x y --=先根据抛物线方程24x y =-，求得焦点坐标()0,1F -，再分直线的斜率不存在和直线的斜率存在时，两种情况设直线方程，然后利用圆心到直线的距离等于半径求解. 因为抛物线方程为24x y =-， 所以焦点坐标为：()0,1F -，当直线的斜率不存在时，设直线方程为：0x =， 圆心到直线的距离为1d r ，符合题意，当直线的斜率存在时，设直线方程为：1y kx =-，即10kx y --=， 圆心到直线的距离为2311k d r k -===+，解得43k =， 所以直线方程为4330x y --=， 故答案为：0x =或4330x y --=15. 已知函数()cos ()f x x x x R =-∈，α，β是钝角三角形的两个锐角，则(cos )f α________(sin )f β （填写：“>”或“<”或“=”）．>对函数()f x 求导判断其单调性，再由钝角三角形内角判断cos ,sin αβ的大小. 由()1sin 0f x x '=+≥，可得()f x 在R 上单调递增， 因为α，β是钝角三角形两个锐角，所以2παβ+<，022ππβα<<-<，sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调增，sin sin 2πβα⎛⎫∴<- ⎪⎝⎭，sin cos βα<，所以()(cos )sin f f αβ> 故答案为：>16. 已知三棱锥P ABC -的顶点P 在底面的射影O 为ABC 的垂心，若2ABC OBC PBC S S S ⋅=△△△，且三棱锥P ABC -的外接球半径为3，则PAB PBC PAC S S S ++△△△的最大值为________． 18连AO 交BC 于D ，由顶点P 在底面的射影O 为ABC 的垂心，得AD BC ⊥，进而证明,,BC PA PC AB PD BC ⊥⊥⊥，由2ABC OBC PBC S S S ⋅=△△△。
浙江省宁波市2023届高三上学期一模数学试题(解析版)
对于B， ，所以图象关于点 中心对称，B正确；
对于C，令 ，即 ， ，
当 时，单调递增区间为 ， 不是其子区间，C错误；
对于D，三角函数的极值点即为函数图像对称轴所对应的横坐标，
令 ，得 ，当 和 时，
和 为 在区间 上的2个极值点，D正确.
故选：ABD
10.已知直线 ： 与圆 ： 相交于 两点，与两坐标轴分别交于 两点，记 的面积为 ， 的面积为 ，则（）
【答案】
【解析】
【分析】由累加法即可求得 ，再利用裂项相消法即可求解.
【详解】由题可知： ，
即有 ，
所以
，当n=1成立
所以 ，
所以
.
故答案为：
15.在棱长均相等的四面体ABCD中，P为棱AD（不含端点）上的动点，过点A的平面α与平面PBC平行．若平面α与平面ABD，平面ACD的交线分别为m，n，则m，n所成角的正弦值的最大值为__________．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的运算法则求得参数 ，再求目标复数的模长即可.
【详解】因为 ，故 ，故 ，
则 .
故选：B.
4.一种药品在病人血液中的量不低于1500mg时才有疗效，如果用药前，病人血液中该药品的量为0mg，用药后，药在血液中以每小时20%的比例衰减．现给某病人静脉注射了3000mg的此药品，为了持续保持疗效，则最长需要在多少小时后再次注射此药品（ ，结果精确到0.1）（）
所以 ．
【小问2详解】
，
故 ，
故 ，
令 ①，
②，
①-②得
即 ，
故 ．
18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为 , ．
高三数学高考模拟考试试卷理试题
卜人入州八九几市潮王学校十校2021年高考模拟考试数学试题〔理科〕本套试卷分第I 卷和第II 卷两局部，考试时间是是120分钟，试卷总分为150分。
请考生按规定用笔将所用试题之答案涂、写在答题纸上。
参考公式：假设事件A 、B 互斥，那么 棱柱的体积公式假设事件A 、B 互相HY ，那么其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 )()()(B P A P B A P ⋅=⋅棱锥的体积公式假设事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 Sh V 31=n 次HY 重复试验中恰好发生k 次的概率其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高 k n k kn n P P C k P --=)1()(),,2,1,0(n k =球的外表积公式棱台的体积公式24R S π=)(312211S S S S h V ++=球的体积公式其中S 1，S 2分别表示棱台的上、下底面积， 343V R π=h 表示棱台的高其中R 表示球的半径第一卷一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分。
在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的。
1．集合2{|22},{|log (1)},M x x N x y x MN =-≤<==-则=〔〕A ．{|20}x x -≤< B ．{|10}x x -<< C ．{|12}x x <<D ．{—2，0}2．,αβ的终边在第一象限，那么“αβ>〞是“sin sin αβ>〞〔〕A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分与不必要条件3．下课后教室里最后还剩下2位男同学和2位女同学，假设没有2位同学一块走，那么第二位走的是男同学的概率是〔〕A ．12B ．13C ．14D ．154．直线,l m αβ⊥⊂平面直线平面〔1〕//l m αβ⇒⊥；〔2〕//l m αβ⊥⇒；〔3〕//l m αβ⇒⊥；〔4〕//l m αβ⊥⇒ 〕A ．〔1〕〔2〕B ．〔1〕〔3〕C ．〔2〕〔4〕D ．〔3〕〔4〕5．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点是F 1，F 2，设P 是双曲线右支上一点，121F F F P 在上的投影的大小恰好为1||F P 且它们的夹角为6π，那么双曲线的离心率e 为 〔〕A 21+B 31+ C 31+D 216．向量,0,||1,||2,|2|a b a b a b a b ⋅===-满足则=〔〕A ．0B ．22C ．4D ．87．如图，给出的是11113599++++的值的一个程序框图， 框内应填入的条件是〔〕 A ．99i ≤ B ．99i <C ．99i≥D ．99i>8．在二项式121412nx x ⎛⎫⎪+⎪⎝⎭的展开式中，假设前3项的系数成等差数列，那么展开式中有理项的项数为〔〕A ．5B ．4C ．3D ．29．设变量,x y 满足约束条件：34,|3|2y x x y z x y x ≥⎧⎪+≤=-⎨⎪≥-⎩则的最大值为〔〕 A ．10B ．8C ．6D ．410．2*11()2,()(),()(())(2,)n n f x x x c f x f x f x f f x n n N -=-+==≥∈，假设函数()n y f x x =-不存在零点，那么c 的取值范围是〔〕A ．14c<B ．34c ≥C ．94c>D ．94c ≤第二卷二、填空题：本大题有7小题，每一小题4分，一共28分。
北京市西城区2021届高三数学第一次模拟考试试题(含解析).doc
北京市西城区2021届高三数学第一次模拟考试试题（含解析）第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题:本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设集合{|3}{|02}A x x B x x x =<=，或，则A B ⋂=（ ） A. ()0-∞，B. ()23，C. ()()023-∞⋃，，D. ()3-∞，【答案】C 【解析】 【分析】直接求交集得到答案.【详解】集合{|3}{|02}A x x B x x x =<=，或，则()()023A B ⋂=-∞⋃，，. 故选：C .【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题. 2.若复数()()31z i i =-+，则z =（ ）A. B.D. 20【答案】B 【解析】 【分析】 化简得到()()3142z i i i =-+=+，再计算模长得到答案.【详解】()()3142z i i i =-+=+，故z ==故选：B .【点睛】本题考查了复数的运算，复数的模，意在考查学生的计算能力. 3.下列函数中，值域为R 且为奇函数的是（ ） A. 2y x =+ B. y sinx = C. 3y x x =-D. 2xy =【答案】C 【解析】 【分析】依次判断函数的值域和奇偶性得到答案.【详解】A. 2y x =+，值域为R ，非奇非偶函数，排除； B. y sinx =，值域为[]1,1-，奇函数，排除； C. 3y x x =-，值域为R ，奇函数，满足； D. 2xy =，值域为()0,∞+，非奇非偶函数，排除；故选：C .【点睛】本题考查了函数的值域和奇偶性，意在考查学生对于函数知识的综合应用. 4.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31425a a a =+=，，则6S =（ ） A. 10 B. 9C. 8D. 7【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意3141152223a a a a d a d =+=+=+=，，解得14a =，1d =-，得到答案. 【详解】3141152223a a a a d a d =+=+=+=，，解得14a =，1d =-，故616159S a d =+=.故选：B .【点睛】本题考查了等差数列的求和，意在考查学生的计算能力.5.设()()2141A B -，，，，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）A. 22(3)2x y -+= B. 22(3)8x y -+= C. 22(3)2x y ++= D. 22(3)8x y ++=【答案】A 【解析】 【分析】计算AB 的中点坐标为()3,0，圆半径为r =.【详解】AB 的中点坐标为：()3,0，圆半径为22ABr ===，圆方程为22(3)2x y -+=. 故选：A .【点睛】本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力. 6.设a b c ，，为非零实数，且a c b c >>，，则（ ） A. a b c +>B. 2ab c >C.a b2c +> D.112a b c+> 【答案】C 【解析】 【分析】取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误，根据不等式性质知C 正确，得到答案. 【详解】,a c b c >>，故2a b c +>，2a bc +>，故C 正确； 取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误； 故选：C .【点睛】本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用. 7.某四棱锥的三视图如图所示，记S 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）A. 2223S S ，且B. 2223S S ，且C. 2223S S ，且D. 2223S S ，且 【答案】D 【解析】【分析】如图所示：在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，四棱锥1C ABCD -满足条件，故{}2,22,23S =，得到答案.【详解】如图所示：在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，四棱锥1C ABCD -满足条件. 故12AB BCCD AD CC =====，1122BC DC ==，123AC =.故{}2,22,23S =，故22S ∈，23S ∈.故选：D .【点睛】本题考查了三视图，元素和集合的关系，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 8.设,a b 为非零向量，则“a b a b +=+”是“a 与b 共线”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线的性质依次判断充分性和必要性得到答案.【详解】若a b a b +=+，则a 与b 共线，且方向相同，充分性； 当a 与b 共线，方向相反时，a b a b ≠++，故不必要. 故选：A .【点睛】本题考查了向量共线，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力. 9.已知函数()sinx12sinxf x =+的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（ ）①绕着x 轴上一点旋转180︒; ②沿x 轴正方向平移; ③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. A. ①③ B. ③④C. ②③D. ②④【答案】D 【解析】 【分析】计算得到()()2f x k f x π+=，22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数是周期函数，轴对称图形，故②④正确，根据图像知①③错误，得到答案. 【详解】()sin 12sin xf x x=+，()()()()sin 2sin 212sin 212sin x k x f x k f x x k x πππ++===+++，k Z ∈，当沿x 轴正方向平移2,k k Z π∈个单位时，重合，故②正确；co sin 2212co s s s 12in2x f x x x x πππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-== ⎪+⎛⎫⎝⎭+- ⎪⎝⎭，co sin 2212co s s s 12in2x f x x x x πππ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+== ⎪+⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭，故22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数关于2x π=对称，故④正确；根据图像知：①③不正确；故选：D .【点睛】本题考查了根据函数图像判断函数性质，意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用.10.设函数()210100x x x f x lgx x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解()1234i x i =，，，，其中1234x x x x <<<，则()()1234x x x x +-的取值范围是（ ） A. (]0101， B. (]099， C. (]0100， D. ()0+∞，【答案】B 【解析】 【分析】画出函数图像，根据图像知：1210x x +=-，341x x =，31110x ≤<，计算得到答案. 【详解】()21010lg 0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，，画出函数图像，如图所示：根据图像知：1210x x +=-，34lg lg x x =-，故341x x =，且31110x ≤<. 故()()(]1234330110,99x x x x x x ⎛⎫∈ ⎪⎭-⎝+-=-. 故选：B .【点睛】本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出图像是解题的关键.第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.在61()x x+的展开式中，常数项为________.(用数字作答) 【答案】20 【解析】 【分析】61()x x+的展开式的通项为6216-+=r r r T C x ，取3r =计算得到答案.【详解】61()x x +的展开式的通项为：6621661rr r r rr T C x C xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，取3r =得到常数项3620C =.故答案为：20.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.12.若向量()()221a x b x ==，，，满足3a b ⋅<，则实数x 的取值范围是____________. 【答案】()3,1- 【解析】 【分析】根据题意计算223a b x x ⋅=+<，解得答案.【详解】()()221a x b x ==，，，，故223a b x x ⋅=+<，解得31x -<<. 故答案为：()3,1-.【点睛】本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算能力.13.设双曲线2221(0)4x y b b -=>的一条渐近线方程为2y x =，则该双曲线的离心率为____________.【解析】 【分析】根据渐近线得到b =c =.【详解】2221(0)4x y b b -=>，一条渐近线方程为：y x =，故b =c =6c e a.故答案为：2【点睛】本题考查了双曲线的渐近线和离心率，意在考查学生的计算能力. 14.函数()24f x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为________;若函数()f x 在区间()0α，上单调递增，则α的最大值为________.【答案】 (1). π (2). 8π 【解析】 【分析】直接计算得到答案，根据题意得到2,2444x πππα⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，242ππα+≤，解得答案.【详解】()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故22T ππ==，当()0,x α∈时，2,2444x πππα⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭， 故242ππα+≤，解得8πα≤.故答案为：π；8π. 【点睛】本题考查了三角函数的周期和单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用. 15.在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中:甲校男生成绩的优秀率为70%，女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试，给出下列三个结论:①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中，所有正确结论的序号是____________. 【答案】②③ 【解析】 【分析】根据局部频率和整体频率的关系，依次判断每个选项得到答案. 【详解】不能确定甲乙两校的男女比例，故①不正确；因为甲乙两校的男生的优秀率均大于女生成绩的优秀率，故甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率，故②正确；因为不能确定甲乙两校的男女比例，故不能确定甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系，故③正确. 故答案为：②③.【点睛】本题考查局部频率和整体频率的关系，意在考查学生的理解能力和应用能力. 三、解答题:本大题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 满足AD ∥BC ，且1222.AB AD AA BD DC =====，(Ⅰ)求证:AB ⊥平面11ADD A ;(Ⅱ)求直线AB 与平面11B CD 所成角的正弦值.【答案】(Ⅰ) 证明见解析；(Ⅱ)66【解析】 【分析】(Ⅰ)证明1AA AB ⊥，根据222AB AD BD +=得到AB AD ⊥，得到证明.(Ⅱ) 如图所示，分别以1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，平面11B CD 的法向量()1,1,2n =，()2,0,0AB =，计算向量夹角得到答案.【详解】(Ⅰ) 1AA ⊥平面ABCD ，AB平面ABCD ，故1AA AB ⊥.2AB AD ==，22BD =，故222AB AD BD +=，故AB AD ⊥.1AD AA A ⋂=，故AB ⊥平面11ADD A .(Ⅱ)如图所示：分别以1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()12,0,2B ，()2,4,0C ，()10,2,2D .设平面11B CD 的法向量(),,n x y z =，则11100n B C n B D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即420220y z x y -=⎧⎨-+=⎩，取1x =得到()1,1,2n =，()2,0,0AB =，设直线AB 与平面11B CD 所成角为θ故6sin cos ,626n AB n AB n ABθ⋅====⋅.【点睛】本题考查了线面垂直，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 17.已知ABC 满足 ，且263b A π==，，求sinC 的值及ABC 的面积.（从①4B π=，②3a =32a sinB =这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答.）【答案】见解析 【解析】 【分析】 选择①时：4B π=,23A π=，计算62sin 4C =3a =，计算面积得到答案；选择②时，3a =6b ，故B A >，A 为钝角，故无解；选择③时，32a B =，根据正弦定理解得2sin B 62sin 4C =，根据正弦定理得到3a =，计算面积得到答案.详解】选择①时：4B π=,23A π=，故()62sin sin sin cos cos sin C A B A B A B -=+=+=根据正弦定理：sin sin a b A B =，故3a =，故1933sin 2S ab C -==. 选择②时，3a =，6b =，故B A >，A 为钝角，故无解.选择③时，32sin a B =，根据正弦定理：sin sin a bA B=，故6sin 332sin B B =， 解得2sin B =，()62sin sin sin cos cos sin 4C A B A B A B -=+=+=. 根据正弦定理：sin sin a b A B =，故3a =，故1933sin 2S ab C -==. 【点睛】本题考查了三角恒等变换，正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18.2021年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数;(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X ，求X 的分布列和数学期望;(Ⅲ)为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000)，并在每组中随机选取m 个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出m 的最小值.(结论不要求证明) 【答案】(Ⅰ)5万；(Ⅱ)分布列见解析，()34E X = ；(Ⅲ)4 【解析】【分析】(Ⅰ)根据比例关系直接计算得到答案.(Ⅱ) X 的可能取值为0,1,2，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.(Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为101202p == ，故1190%2m⎛⎫<- ⎪⎝⎭，解得答案. 【详解】(Ⅰ)样本中女生英语成绩在80分以上的有2人，故人数为：250520⨯=万人. (Ⅱ) 8名男生中，测试成绩在70分以上的有3人，X 的可能取值为：0,1,2.()25285014C p X C ===，()11532815128C C p X C ===，()23283328C p X C ===.故分布列为：()515330121428284E X =⨯+⨯+⨯=. (Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为101202p == ，故1190%2m⎛⎫<- ⎪⎝⎭，故4m ≥. 故m 的最小值为4.【点睛】本题考查了样本估计总体，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.19.设函数()()22f x alnx x a x =+-+，其中.a R ∈(Ⅰ)若曲线()y f x =在点()()22f ，处切线的倾斜角为4π，求a 的值; (Ⅱ)已知导函数()'f x 在区间()1e ，上存在零点，证明:当()1x e ∈，时，()2f x e >-. 【答案】(Ⅰ)2a =；(Ⅱ)证明见解析 【解析】 【分析】(Ⅰ)求导得到()()'22a f x x a x =+-+，()'ta 12n 4f π==，解得答案. (Ⅱ) ()()()12'0x x a f x x--==，故02a x=，()f x 在()01,x 上单调递减，在()0,x e 上单调递增，()20000min 2ln 2f x x x x x =--，设()22ln 2g x x x x x =--，证明函数单调递减，故()()2min g x g e e >=-，得到证明.【详解】(Ⅰ)()()2ln 2f x a x x a x =+-+，故()()'22af x x a x=+-+， ()()'42tan 1242a f a π=+-+==，故2a =. (Ⅱ) ()()()()12'220x x a af x x a x x--=+-+==，即()22,a x e =∈，存在唯一零点， 设零点为0x ，故()()000'220af x x a x =+-+=，即02a x =， ()f x 在()01,x 上单调递减，在()0,x e 上单调递增，故()()()()0220000i 0000m n ln 22ln 22a x x a x x x f x f x x x x +-+=+-+==200002ln 2x x x x =--，设()22ln 2g x x x x x =--，则()'2ln 2g x x x =-，设()()'2ln 2h x g x x x ==-，则()2'20h x x=-<，()h x 单调递减， ()()1'12h g ==-，故()'2ln 20g x x x =-<恒成立，故()g x 单调递减. ()()2min g x g e e >=-，故当()1x e ∈，时，()2f x e >-.【点睛】本题考查了函数切线问题，利用导数证明不等式，转化为函数的最值是解题的关键.20.设椭圆22:12x E y +=，直线1l 经过点()0M m ，，直线2l 经过点()0N n ，，直线1l 直线2l ，且直线12l l ，分别与椭圆E 相交于A B ，两点和C D ，两点.(Ⅰ)若M N ，分别为椭圆E 的左、右焦点，且直线1l x ⊥轴，求四边形ABCD 的面积; (Ⅱ)若直线1l 的斜率存在且不为0，四边形ABCD 为平行四边形，求证:0m n +=;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，判断四边形ABCD 能否为矩形，说明理由. 【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)不能，证明见解析 【解析】 【分析】(Ⅰ)计算得到故2A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1,2B ⎛-- ⎝⎭，1,2C ⎛ ⎝⎭，1,2D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，计算得到面积. (Ⅱ) 设1l 为()y k x m =-，联立方程得到2122221224212221k mx x k k m x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，计算AB =，同理CD =AB CD =得到22m n =，得到证明.(Ⅲ) 设AB 中点为(),P a b ，根据点差法得到20a kb +=，同理20c kd +=，故112PQ k k k=-≠-，得到结论. 【详解】(Ⅰ)()1,0M -，()1,0N ，故A ⎛- ⎝⎭，1,2B ⎛-- ⎝⎭，C ⎛ ⎝⎭，1,D ⎛ ⎝⎭. 故四边形ABCD的面积为S =(Ⅱ)设1l 为()y k x m =-，则()2212x y y k x m ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，故()22222214220k x k mx m k +-+-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，故2122221224212221k m x x k k m x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，12AB x =-==同理可得CD =，AB CD ==， 即22m n =，m n ≠，故0m n +=.(Ⅲ)设AB 中点为(),P a b ，则221112x y +=，222212x y +=，相减得到()()()()1212121202x x x x y y y y +-++-=，即20a kb +=，同理可得：CD 的中点(),Q c d ，满足20c kd +=， 故11222PQ d b d b k c a kd kb k k--===-≠---+，故四边形ABCD 不能为矩形. 【点睛】本题考查了椭圆内四边形的面积，形状，根据四边形形状求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 21.对于正整数n ，如果()*k k N∈个整数12ka a a ⋯，，，满足121k a a a n ≤≤≤⋯≤≤，且12k a a a n ++⋯+=，则称数组()12k a a a ⋯，，，为n 的一个“正整数分拆”.记12k a a a ⋯，，，均为偶数的“正整数分拆”的个数为12n k f a a a ⋯，，，，均为奇数的“正整数分拆”的个数为n g .(Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;(Ⅱ)对于给定的整数()4n n ≥，设()12k a a a ⋯，，，是n 的一个“正整数分拆”，且12a =，求k 的最大值;(Ⅲ)对所有的正整数n ，证明:n n f g ≤;并求出使得等号成立的n 的值.(注:对于n 的两个“正整数分拆”()12k a a a ⋯，，，与()12m b b b ⋯，，，，当且仅当k m =且1122k m a b a b a b ==⋯=，，，时，称这两个“正整数分拆”是相同的.)【答案】(Ⅰ) ()1,1,1,1，()1,1,2，()1,3，()2,2，()4；(Ⅱ) n 为偶数时，2nk =，n 为奇数时，12n k -=；(Ⅲ)证明见解析，2n =，4n = 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据题意直接写出答案.(Ⅱ)讨论当n 为偶数时，k 最大为2n k =，当n 为奇数时，k 最大为12n k -=，得到答案.(Ⅲ) 讨论当n 为奇数时，0n f =，至少存在一个全为1的拆分，故n n f g <，当n 为偶数时， 根据对应关系得到n n f g ≤，再计算221f g ==，442f g ==，得到答案.【详解】(Ⅰ)整数4的所有“正整数分拆”为：()1,1,1,1，()1,1,2，()1,3，()2,2，()4.(Ⅱ)当n 为偶数时，123...2k a a a a =====时，k 最大为2n k =； 当n 为奇数时，1231...2,3k k a a a a a -======时，k 最大为12n k -=；综上所述：n 为偶数，k 最大为2n k =，n 为奇数时，k 最大为12n k -=.(Ⅲ)当n 为奇数时，0n f =，至少存在一个全为1的拆分，故n n f g <； 当n 为偶数时，设()12,,...,k a a a 是每个数均为偶数的“正整数分拆”，则它至少对应了()1,1,...,1和()121,1,...,1,1,...,1k a a a ---的均为奇数的“正整数分拆”， 故n n f g ≤. 综上所述：n n f g ≤.当2n =时，偶数“正整数分拆”为()2，奇数“正整数分拆”为()1,1，221f g ==； 当4n =时，偶数“正整数分拆”为()2,2，()4，奇数“正整数分拆”为()1,1,1,1，()1,3 故442f g ==；当6n ≥时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为1的奇数拆分外，至少多出一项各项均为1的“正整数分拆”，故n n f g <.综上所述：使n n f g =成立的n 为：2n =或4n =.【点睛】本土考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。
四川内江市2021届高三数学(理)上学期高考一模试卷附答案解析
数 学 (理科 )
1。 本试卷 包括 第 I卷 (选 择题 )和 第 Ⅱ卷 (非 选择题 )两 部分 ,共 4页 。全卷满分 150分 , 考试时间 120分钟。
2.答 第 I卷 时,用 2B铅 笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑,如 需改动 ,用 橡皮擦 干 净后 ,再 选涂其它答案标号;答 第 Ⅱ卷时,用 0.5毫 米的黑色签字笔在答题卡规定的区域 内作
１９ ３０
１ ３
１ ３０
分 １２
解：（） （） 分 １８．
１ ｆ′ ｘ
＝
ａ ｘ
－ ２ｂｘ
２
∵
函数ｆ（ｘ）在ｘ ＝
１
处与直线ｙ ＝
－
１ ２
相切，
（） ｆ′ １ ＝ ０
，即 ， 分 ∴
{ （） { ｆ １
）∞ ．
（） ， ｆ′ ｘ ＝ １ － ｘ ＝ １ － ｘ２
ｘ
ｘ
令（） ，得 ，令（） ，得 分 ｆ′ ｘ ＞ ０ ０ ＜ ｘ ＜ １ ｆ′ ｘ ＜ ０ ｘ ＞ １． ８
∴ ｆ（ｘ）在（１ｅ ，１）上单调递增，在（１，ｅ）上单调递减， １０ 分
∴
D。 -7,3j
3.已 知随机变量 X服 从正态分布 Ⅳ(G,4),且 P(X>1)〓 0.5,P(X>2)=0。 3,则
P(X<0)=
A。 0.2
B。 0.3
C。 0.7
D。 0.8
4.为 了解户籍性别对生育二胎选择倾 向的影响,某 地从育龄人群 中随机抽取 了容量为 1∞ 的调查样本 ,其 中城镇户籍与农村户籍各 sO人 ;男 性 ω 人 ,女 性 们 人 ,绘制不同群体中倾 向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数 比例图(如 图所示 ),其 中阴影部分表示倾 向选
2020-2021学年山东师大附中高三(上)第一次模拟数学试卷
2020-2021学年山东师大附中高三（上）第一次模拟数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知复数z满足（2-i）z=i+i2，则z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.（单选题，5分）已知集合A={x|y=2x-1}，集合B={y|y=x2}，则集合A∩B=（）A.（1，1）B.{（1，1）}C.{1}D.[0，+∞）3.（单选题，5分）已知x，y∈（0，+∞），2x-4=（1）y，则xy的最大值为（）4A.2B. 98C. 32D. 944.（单选题，5分）若不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|-1＜x＜2}，则不等式a（x2+1）+b （x-1）+c＜2ax的解集为（）A.{x|-2＜x＜1}B.{x|x＜-2或x＞1}C.{x|x＜0或x＞3}D.{x|0＜x＜3}5.（单选题，5分）设f0（x）=sinx，f1（x）=f0'（x），f2（x）=f1'（x），…，f n+1（x）=f n'（x），n∈N，则f2020（x）等于（）A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx6.（单选题，5分）某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有（）A.72B.36C.24D.187.（单选题，5分）若幂函数f（x）的图象过点(√22，12)，则函数g(x)=f(x)e x的递增区间为（）A.（0，2）B.（-∞，0）∪（2，+∞）C.（-2，0）D.（-∞，-2）∪（0，+∞）8.（单选题，5分）设函数f（x）=mx2-mx-1，若对于x∈[1，3]，f（x）＞-m+2恒成立，则实数m的取值范围是（）A.（3，+∞）B. (−∞，37)C.（-∞，3）D. (37，+∞)9.（多选题，5分）若复数z= 21+i，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A.z的虚部为-1B.|z|= √2C.z2为纯虚数D.z的共轭复数为-1-i10.（多选题，5分）下列命题正确的是（）A.“a＞1”是“ 1a＜1”的必要不充分条件B.命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0-1”的否定是“∀x∈（0，+∞），lnx≠x-1”C.若a，b∈R，则ba +ab≥2√ba•ab=2D.设a∈R，“a=1”，是“函数f(x)=a−e x1+ae x在定义域上是奇函数”的充分不必要条件11.（多选题，5分）关于（a-b）11的说法，正确的是（）A.展开式中的二项式系数之和为2048B.展开式中只有第6项的二项式系数最大C.展开式中第6项和第7项的二项式系数最大D.展开式中第6项的系数最小AB=2，E为AB中12.（多选题，5分）如图直角梯形ABCD，AB || CD，AB⊥BC，BC=CD= 12点，以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC=2 √3．则（）A.平面PED⊥平面EBCDB.PC⊥EDC.二面角P-DC-B的大小为π4D.PC与平面PED所成角的正切值为√213.（填空题，5分）从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动，设所选三人中男生人数为ξ，则数学期望E（ξ）=___ ．14.（填空题，5分）如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，BB'的中点为M，CD的中点为N，异面直线AM与D'N所成的角是___ ．15.（填空题，5分）在（1-2x）5（2+x）展开式中，x4的系数为___ ．−1=0在（0，e]上有两个不相等的实根，则实16.（填空题，5分）关于x的方程kx−lnxx数k的取值范围为 ___ ．17.（问答题，10分）据某市地产数据研究显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如图所示，3月至7月房价上涨过快，为抑制房价过快上涨，政府从8月开始采用宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制．（1）地产数据研究院发现，3月至7月的各月均价y （万元/平方米）与月份x 之间具有较强的线性相关关系，试建立y 关于x 的回归方程；（2）若政府不调控，依此相关关系预测第12月份该市新建住宅销售均价．参考数据： ∑5i=1 x i =25， ∑5i=1 y i =5.36， ∑5i=1 （x i - x ）（y i - y ）=0.64；回归方程 y ̂ = b ̂ x+ a ̂ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ̂ = ∑(x i −x )ni=1(y i −y )∑(x i −x )2n i=1 ， a ̂ = y - b ̂ x ．18.（问答题，12分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，四边形ABEF 为等腰梯形，且AB || EF ，AF=2，EF=2AB=4AD=4 √2 ，平面ABCD⊥平面ABEF ．（1）求证：BE⊥DF ；（2）求三棱锥C-AEF 的体积V ．19.（问答题，12分）某新建公司规定，招聘的职工须参加不小于80小时的某种技能培训才能上班．公司人事部门在招聘的职工中随机抽取200名参加这种技能培训的数据，按时间段[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的200名职工中，参加这种技能培训服务时间不少于90小时的人数，并估计从招聘职工中任意选取一人，其参加这种技能培训时间不少于90小时的概率；（Ⅱ）从招聘职工（人数很多）中任意选取3人，记X为这3名职工中参加这种技能培训时间不少于90小时的人数．试求X的分布列和数学期望E（X）和方差D（X）．20.（问答题，12分）设f（x）=ax3+xlnx．的单调区间；（1）求函数g(x)=f(x)x＜1，求实数a的取值范围．（2）若∀x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，f(x1)−f(x2)x1−x221.（问答题，12分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2，CC1=3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD=1，CE=2，M为棱A1B1的中点．（Ⅰ）求证：C1M⊥B1D；（Ⅱ）求二面角B-B1E-D的正弦值；（Ⅲ）求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值．22.（问答题，12分）已知函数f（x）=e x（lnx-ax+a+b）（e为自然对数的底数），a，b∈R，x是曲线y=f（x）在x=1处的切线．直线y= e2（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）是否存在k∈Z，使得y=f（x）在（k，k+1）上有唯一零点？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．2020-2021学年山东师大附中高三（上）第一次模拟数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知复数z满足（2-i）z=i+i2，则z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【正确答案】：C【解析】：把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求出z的坐标得答案．【解答】：解：由（2-i）z=i+i2，得z=i+i22−i =(−1+i)(2+i)(2−i)(2+i)=−35+15i，∴ z=−35−15i，∴ z在复平面内对应的点的坐标为（−35，−15），位于第三象限角．故选：C．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.（单选题，5分）已知集合A={x|y=2x-1}，集合B={y|y=x2}，则集合A∩B=（）A.（1，1）B.{（1，1）}C.{1}D.[0，+∞）【正确答案】：D【解析】：先分别求出集合A，集合B，由此能求出集合A∩B．【解答】：解：∵集合A={x|y=2x-1}=R，集合B={y|y=x2}={y|y≥0}，∴集合A∩B={y|y≥0}=[0，+∞）．故选：D．【点评】：本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.（单选题，5分）已知x，y∈（0，+∞），2x-4=（14）y，则xy的最大值为（）A.2B. 98C. 32D. 94【正确答案】：A【解析】：由已知结合指数的运算性质可得x+2y=4，然后结合基本不等式即可求解．【解答】：解：因为x，y∈（0，+∞），2x−4=(14)y=（12）2y，所以x-4=-2y即x+2y=4，由基本不等式可得，4=x+2y ≥2√2xy，当且仅当x=2y时取等号，解可得xy≤2，故选：A．【点评】：本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础试题．4.（单选题，5分）若不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|-1＜x＜2}，则不等式a（x2+1）+b （x-1）+c＜2ax的解集为（）A.{x|-2＜x＜1}B.{x|x＜-2或x＞1}C.{x|x＜0或x＞3}D.{x|0＜x＜3}【正确答案】：C【解析】：由已知结合二次方程与不等式的关系可得a，b，c的关系，然后结合二次不等式的求法即可求解．【解答】：解：由ax 2+bx+c ＞0的解集为{x|-1＜x ＜2}可得x=-1，x=2是ax 2+bx+c=0的解，由方程的根与系数关系可得， { −1+2=−b a −1×2=c a a ＜0， ∴b=-a ，c=-2a ，a ＜0，则不等式a （x 2+1）+b （x-1）+c ＜2ax 可得ax 2+a-ax+a-2a ＜2ax ，整理可得，x 2-3x ＞0，解可得x ＞3或x ＜0．故选：C ．【点评】：本题主要考查了一元二次不等式与二次方程的关系的相互转化，还考查了二次不等式的求解，体现了转化思想的应用．5.（单选题，5分）设f 0（x ）=sinx ，f 1（x ）=f 0'（x ），f 2（x ）=f 1'（x ），…，f n+1（x ）=f n '（x ），n∈N ，则f 2020（x ）等于（ ）A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx【正确答案】：A【解析】：由题意知f 0（x ）=sinx ，f 1（x ）=f 0'（x ），f 2（x ）=f 1'（x ），…，f n+1（x ）=f n '（x ），n∈N ，所以列举出各项发现周期为4，即可得到答案．【解答】：解：由题意知f 0（x ）=sinx ，f 1（x ）=f 0'（x ），f 2（x ）=f 1'（x ），…，f n+1（x ）=f n '（x ），n∈N ，所以由题意知f 0（x ）=sinx ，f 1（x ）=cosx ，f 2（x ）=-sinx ，f 3（x ）=-cosx ，f 4（x ）=sinx ，所以发现f n （x ）周期为4，所以2021÷4=505••1，所以f 2020（x ）=f 0（x ）=sinx ，故选：A．【点评】：本题考查了导数公式以及函数的周期性，属于简单题．6.（单选题，5分）某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有（）A.72B.36C.24D.18【正确答案】：B【解析】：根据条件2名内科医生，每个村一名，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，根据排列组合进行计算即可．【解答】：解：2名内科医生，每个村一名，有2种方法，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，要求外科医生和护士都有，若甲村分1名外科，2名护士，则由C31C32 =3×3=9若甲村分2名外科医生和1名护士，C32C31 =3×3=9，则分组方法有2×（9+9）=36，故选：B．【点评】：本题主要考查排列组合的应用，根据条件进行分类讨论是解决本题的关键．7.（单选题，5分）若幂函数f（x）的图象过点(√22，12)，则函数g(x)=f(x)e x的递增区间为（）A.（0，2）B.（-∞，0）∪（2，+∞）C.（-2，0）D.（-∞，-2）∪（0，+∞）【正确答案】：A【解析】：先求幂函数f（x），再利用导数判定函数g（x）的单调递增区间．【解答】：解：设幂函数f（x）=xα，它的图象过点（√22，12），∴（√22）α= 12，∴α=2；∴f（x）=x2；∴g（x）= x2e x ，g′（x）= x(2−x)e x，令g′（x）＞0，即2-x＞0，解得：0＜x＜2，故g（x）在（0，2）递增，故选：A．【点评】：本题考查了幂函数的定义以及利用导数判定函数的单调区间问题，是中档题．8.（单选题，5分）设函数f（x）=mx2-mx-1，若对于x∈[1，3]，f（x）＞-m+2恒成立，则实数m的取值范围是（）A.（3，+∞）B. (−∞，37)C.（-∞，3）D. (37，+∞)【正确答案】：A【解析】：由题意可得m＞3x2−x+1在x∈[1，3]恒成立，即m＞（3x2−x+1）max，运用y=3x2−x+1在[1，3]递减，即可得到所求范围．【解答】：解：函数f（x）=mx2-mx-1，若对于x∈[1，3]，f（x）＞-m+2恒成立，则mx2-mx-1＞-m+2恒成立，即m＞3x2−x+1恒成立，由y= 3x2−x+1在[1，3]递减，可得x=1时，y取得最大值3，可得m＞3，即m的取值范围是（3，+∞）．故选：A．【点评】：本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和函数的单调性，考查转化思想和运算能力，属于中档题．9.（多选题，5分）若复数z= 21+i，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A.z的虚部为-1B.|z|= √2C.z2为纯虚数D.z的共轭复数为-1-i【正确答案】：ABC【解析】：利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．【解答】：解：∵z= 21+i = 2(1−i)(1+i)(1−i)=1-i，∴z的虚部为-1，|z|= √2，z2=（1-i）2=-2i为纯虚数，z的共轭复数为1+i．∴正确的选项为：ABC．故选：ABC．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．10.（多选题，5分）下列命题正确的是（）A.“a＞1”是“ 1a＜1”的必要不充分条件B.命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0-1”的否定是“∀x∈（0，+∞），lnx≠x-1”C.若a，b∈R，则ba +ab≥2√ba•ab=2D.设a∈R，“a=1”，是“函数f(x)=a−e x1+ae x在定义域上是奇函数”的充分不必要条件【正确答案】：BD【解析】：对于A：直接利用不等式的解法求出解集，进一步利用充分条件和必要条件的应用求出结果．对于B：直接利用命题的否定的应用判定结果；对于C：直接利用基本不等式的应用和不等式的成立的条件的应用判定结果；对于D：直接利用奇函数的性质的应用判定结果．【解答】：解：对于选项A：1a ＜1，整理得1−aa＜0，即a（a-1）＞0，解得a＞1或a＜0，所以“a＞1”是“ 1a＜1”的充分不必要条件，故A错误；对于B：命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0-1”的否定是“∀x∈（0，+∞），lnx≠x-1”故B正确；对于C：当ab＞0时，ba +ab≥2√ba•ab=2，故C错误．对于D：设a∈R，“a=1”时“函数f(x)=a−e x1+ae x =1−e x1+e x在定义域上是奇函数”，当函数f(x)=a−e x1+ae x在定义域上是奇函数，利用f（-x）=-f（x），则a=±1，故“a=1”，是“函数f(x)=a−e x1+ae x在定义域上是奇函数”的充分不必要条件，故D正确．故选：BD．【点评】：本题考查的知识要点：不等式的解法和应用，命题的否定，基本不等式，函数的奇偶性，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．11.（多选题，5分）关于（a-b）11的说法，正确的是（）A.展开式中的二项式系数之和为2048B.展开式中只有第6项的二项式系数最大C.展开式中第6项和第7项的二项式系数最大D.展开式中第6项的系数最小【正确答案】：ACD【解析】：对于A，B，C选项，分别利用赋值法，二项式系数的性质即可解决；对于选项D，先根据通项写出其系数的表达式，构造不等式即可．【解答】：解：对于A：二项式系数之和为211=2048，故A正确；对于B、C：展开式共12项，中间第6、7项的二项式系数最大，故B错误，C正确；对于D：展开式中各项的系数为C k+1=(−1)k C11k，k=0，1，……，11，（注：用C k+1表示展开式中第k+1项的系数．）易知当k=5时，该项的系数最小．故D正确．故选：ACD．【点评】：本题考查了二项式展开式二项式系数的性质、以及系数与二项式系数的关系，需要熟记公式才能解决问题．同时考查了学生的计算能力和逻辑推理能力．12.（多选题，5分）如图直角梯形ABCD，AB || CD，AB⊥BC，BC=CD= 12AB=2，E为AB中点，以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC=2 √3．则（）A.平面PED⊥平面EBCDB.PC⊥EDC.二面角P-DC-B的大小为π4D.PC与平面PED所成角的正切值为√2【正确答案】：AC【解析】：在A中，四边形EBCD是边长为2的正方形，PE=2，推导出PE⊥DE，PE⊥CE，从而PE⊥平面EBCD，进而平面PED⊥平面EBCD；在B中，由DE || BC，BC⊥PB，得BC与PC 不垂直，从而PC与ED不垂直；在C中，推导出BE⊥平面PDE，BE || CD，从而CD⊥平面PDE，进而∠PDE是二面角P-DC-B的平面角，进而求出二面角P-DC-B的大小为π4；在D中，PC与平面PED所成角的正切值为tan∠CPD= CDPD =2√2=√22．【解答】：解：直角梯形ABCD，AB || CD，AB⊥BC，BC=CD= 12AB=2，E为AB中点，以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC=2 √3．在A中，四边形EBCD是边长为2的正方形，PE=2，∴PE⊥DE，CE= √22+22 =2 √2，∴PE2+CE2=PC2，∴PE⊥CE，∵DE∩CE=E，∴PE⊥平面EBCD，∵PE⊂平面PED，∴平面PED⊥平面EBCD，故A正确；在B中，∵DE || BC，BC⊥PB，∴BC与PC不垂直，∴PC与ED不垂直，故B错误；在C中，∵BE⊥PE，BE⊥DE，PE∩DE=E，∴BE⊥平面PDE，∵BE || CD，∴CD⊥平面PDE，∴∠PDE是二面角P-DC-B的平面角，∵PE⊥平面BCD，PE=DE，∴∠PDE= π4，∴二面角P-DC-B的大小为π4，故C正确；在D中，∵CD⊥平面PDE，∴∠CPD是PC与平面PED所成角，PD= √PC2−CD2 = √(2√3)2−22 =2 √2，∴PC与平面PED所成角的正切值为tan∠CPD= CDPD =2√2=√22，故D错误．故选：AC．【点评】：本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力以及化归与转化思想，是中档题．13.（填空题，5分）从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动，设所选三人中男生人数为ξ，则数学期望E（ξ）=___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：随机变量随机ξ的所有可能的取值为1，2，3．分别求出其对应的概率，列出分布列，求期望即可．【解答】：解：随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3．P（ξ=1）= C41C22C63 = 15．P（ξ=2）= C42C21C63 = 35．P（ξ=3）= C43C63 = 15．所有随机变量ξ的分布列为：ξ 1 2 3P 153515所以ξ的期望E（ξ）=1× 15 +2× 35+3× 15=2．故答案为：2．【点评】：本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．14.（填空题，5分）如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，BB'的中点为M，CD的中点为N，异面直线AM与D'N所成的角是___ ．【正确答案】：[1]90°【解析】：取CC′中点M′，连接DM′，利用三角形全等证明DM′⊥D′N即可得出答案．【解答】：解：取CC′中点M′，连接DM′，则AM || DM′，由△DCM′≌△D′DC可知∠CDM′=∠DD′N，∴∠CDM′+∠D′ND=∠DD′N+∠D′ND=90°，∴DM′⊥D′N，∴AM⊥D'N，∴异面直线AM与D'N所成的角为90°．故答案为：90°．【点评】：本题考查了异面直线所成角的计算，属于基础题．15.（填空题，5分）在（1-2x）5（2+x）展开式中，x4的系数为___ ．【正确答案】：[1]80【解析】：从展开式中求出含有x4的项，找出对应的系数，即可求解．【解答】：解：由已知可得：含有x4的项为C 54(−2x)4×2+C53(−2x)3×x =160x4-80x4=80x4，所以x4的系数为80，故答案为：80．【点评】：本题考查了二项式定理的展开式的系数问题，属于基础题．16.（填空题，5分）关于x的方程kx−lnxx−1=0在（0，e]上有两个不相等的实根，则实数k的取值范围为 ___ ．【正确答案】：[1] [e+1e2，1)【解析】：把kx−lnxx −1=0变形为k= lnxx2+1x，先利用导数研究函数f（x）=f（x）= lnxx2+1x，x∈（0，e]的单调性与极值，结合题意得答案．【解答】：解：kx−lnxx −1=0可变形为：k= lnxx2+1x，设f（x）= lnxx2+1x，x∈（0，e]f′（x）= 1−2lnx−xx3，设g（x）=1-2lnx-x，x∈（0，e]g′（x）= −2x−1＜0，即y=g（x）为减函数，又g（1）=0，即0＜x＜1时，g（x）＞0，即f′（x）＞0，1＜x ＜e 时，g （x ）＜0，f′（x ）＜0，即y=f （x ）在（0，1）为增函数，在（1，e ）为减函数， 又x→0+时，f （x ）→-∞， f （1）=1，f （e ）= e+1e 2 ． 关于x 的方程 kx −lnx x −1=0 在区间（0，e]上有两个不相等的实根，等价于y=f （x ）的图象与直线y=k 的交点个数有两个，由上可知，当 e+1e 2 ≤k ＜1时，关于x 的方程 kx −lnx x−1=0 在区间（0，e]上有两个不相等的实根，故答案为： [e+1e 2，1) ．【点评】：本题考查了导数的综合应用，利用导数研究函数的大致图象，属中档题． 17.（问答题，10分）据某市地产数据研究显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如图所示，3月至7月房价上涨过快，为抑制房价过快上涨，政府从8月开始采用宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制．（1）地产数据研究院发现，3月至7月的各月均价y （万元/平方米）与月份x 之间具有较强的线性相关关系，试建立y 关于x 的回归方程；（2）若政府不调控，依此相关关系预测第12月份该市新建住宅销售均价．参考数据： ∑5i=1 x i =25， ∑5i=1 y i =5.36， ∑5i=1 （x i - x ）（y i - y ）=0.64；回归方程 y ̂ = b ̂ x+ a ̂ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ̂ = i −x )ni=1i −y )∑(x −x)2n ， a ̂ = y - b ̂ x ．【正确答案】：【解析】：（1）由题意，计算 x 、 y ，求出回归系数 b ̂ 、 a ̂ ，即可写出回归方程； （2）利用（1）中回归方程，计算x=12时 y ̂ 的值即可．【解答】：解：（1）由题意，得出下表；月份x 3 4 5 6 7 均价y0.950.981.111.121.20计算 x = 15 × ∑5i=1 x i =5， y = 15 × ∑5i=1 y i =1.072， ∑5i=1 （x i - x ）（y i - y ）=0.64， ∴ b ̂ = ∑(x i −x )ni=1(y i −y )∑(x i−x )2n i=1= 0.64(3−5)2+(4−5)2+(5−5)2+(6−5)2+(7−5)2 =0.064， a ̂ = y - b̂ x =1.072-0.064×5=0.752， ∴从3月到6月，y 关于x 的回归方程为 y ̂ =0.064x+0.752；（2）利用（1）中回归方程，计算x=12时， y ̂ =0.064×12+0.752=1.52； 即可预测第12月份该市新建住宅销售均价为1.52万元/平方米．【点评】：本题考查了回归直线方程的求法与应用问题，正确计算是解题的关键．18.（问答题，12分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，四边形ABEF 为等腰梯形，且AB || EF ，AF=2，EF=2AB=4AD=4 √2 ，平面ABCD⊥平面ABEF ． （1）求证：BE⊥DF ；（2）求三棱锥C-AEF 的体积V ．【正确答案】：【解析】：（1）取EF 的中点G ，连结AG ，推导出四边形ABEG 为平行四边形，AG || BE ，且AG=BE=AF=2，再求出AG⊥AF ，AD⊥AB ，从而AD⊥平面ABEF ，AD⊥AG ，进而AG⊥平面ADF ，再由AG || BE ，得BE⊥平面ADF ，由此能证明BE⊥DF ；（2）首先证明CD || 平面ABEF ，可得V C-AEF =V D-AEF ，由（1）得DA⊥平面ABEF ，再求出三角形AEF的面积，代入棱锥体积公式得答案．【解答】：（1）证明：取EF的中点G，连结AG，∵EF=2AB，∴AB=EG，又AB || EG，∴四边形ABEG为平行四边形，∴AG || BE，且AG=BE=AF=2，在△AGF中，GF= 12EF=2 √2，AG=AF=2，∴AG2+AF2=GF2，∴AG⊥AF，∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥AB，又平面ABCD⊥平面ABEF，且平面ABCD∩平面ABEF=AB，∴AD⊥平面ABEF，又AG⊂平面ABEF，∴AD⊥AG，∵AD∩AF=A，∴AG⊥平面ADF，∵AG || BE，∴BE⊥平面ADF，∵DF⊂平面ADF，∴BE⊥DF；（2）解：∵CD || AB且CD⊄平面ABEF，BA⊂平面ABEF，∴CD || 平面ABEF，∴V C-AEF=V D-AEF，由（1）得，DA⊥平面ABEF，∵ S△AEF=12×4√2×√2=4，∴V C-AEF=V D-AEF= 13×4×√2=4√23．【点评】：本题考查线线垂直的证明，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．19.（问答题，12分）某新建公司规定，招聘的职工须参加不小于80小时的某种技能培训才能上班．公司人事部门在招聘的职工中随机抽取200名参加这种技能培训的数据，按时间段[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的200名职工中，参加这种技能培训服务时间不少于90小时的人数，并估计从招聘职工中任意选取一人，其参加这种技能培训时间不少于90小时的概率；（Ⅱ）从招聘职工（人数很多）中任意选取3人，记X 为这3名职工中参加这种技能培训时间不少于90小时的人数．试求X 的分布列和数学期望E （X ）和方差D （X ）．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）依题意，参加这种技能培训时间在时间段[90，95）小时的职工人数为60，在时间段[95，100）小时的职工人数为20，由此能求出从招聘职工中任意选取一人，其参加这种技能培训时间不少于90小时的概率．（Ⅱ）依题意，随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X 的分布列、数学期望与方差．【解答】：解：（Ⅰ）依题意，参加这种技能培训时间在时间段[90，95）小时的职工人数为：200×0.04×5=40，在时间段[95，100）小时的职工人数为200×0.02×5=20，∴抽取的200位职工中，参加这种技能培训时间不少于90小时的职工人数为60， ∴从招聘职工中任意选取一人，其参加这种技能培训时间不少于90小时的概率估计为： p= 60200 = 310 ．（Ⅱ）依题意，随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，P （X=0）= C 30(35)3 = 27125 ， P （X=1）= C 31(25)(35)2 = 54125 ，P（X=2）= C32(25)2(35) = 36125，P（X=3）= C33(25)3=8125，∴随机变量X的分布列为：∵X～B（3，5），EX= 3×5=5，DX=3×5×5=25．【点评】：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．20.（问答题，12分）设f（x）=ax3+xlnx．（1）求函数g(x)=f(x)x的单调区间；（2）若∀x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，f(x1)−f(x2)x1−x2＜1，求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为a≤−lnx3x2，设ℎ(x)=−lnx3x2，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】：解：（1）g（x）=ax2+lnx（x＞0），g′(x)=2ax+1x =2ax2+1x(x＞0)，① 当a≥0时，g'（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上单调递增；② 当a＜0时，若x∈(0，√−12a )，则g'（x）＞0，若x∈(√−12a，+∞)，则g'（x）＜0，所以g（x）在(0，√−12a )上单调递增，在(√−12a，+∞)上单调递减．综上，当a≥0时，函数g（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜0时，函数g（x）在(0，√−12a )上单调递增，在(√−12a，+∞)上单调递减．（2）因为x1＞x2＞0，所以f（x1）-f（x2）＜x1-x2，即f（x1）-x1＜f（x2）-x2恒成立，设F（x）=f（x）-x在（0，+∞）上为减函数，即F'（x）≤0恒成立．所以F'（x ）=3ax 2+lnx≤0，即 a ≤−lnx3x 2，设 ℎ(x )=−lnx3x 2， ℎ′(x )=−3+6lnx9x 3(x ＞0) ， 当 x ∈(0，√e) ，h'（x ）＜0，h （x ）单减，当 x ∈(√e ，+∞) ，h'（x ）＞0，h （x ）单增， ℎ(x )≥ℎ(√e)=−16e ，所以 a ≤−16e ．【点评】：本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．21.（问答题，12分）如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，AC⊥BC ，AC=BC=2，CC 1=3，点D ，E 分别在棱AA 1和棱CC 1上，且AD=1，CE=2，M 为棱A 1B 1的中点． （Ⅰ）求证：C 1M⊥B 1D ；（Ⅱ）求二面角B-B 1E-D 的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）方法一：根据线面垂直的性质定理和判定定理即可证明； 方法二：建立空间坐标系，根据向量的数量积等于0，即可证明；（Ⅱ）先平面DB 1E 的法向量 n ⃗ ，再根据向量的夹角公式，求出二面角B-B 1E-D 的正弦值； （Ⅱ）求出cos ＜ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， n ⃗ ＞值，即可求出直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值．【解答】：解：（Ⅰ）在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ， 则该三棱柱是个直三棱柱（各侧棱均垂直底面，各侧面均与底面垂直） ∵C 1A 1=C 1B 1=2，M 为 M 为棱A 1B 1的中点， ∴C 1M⊥A 1B 1，又平面C 1A 1B 1⊥平面A 1B 1BA ， ∴C 1M⊥平面A 1B 1BA ， ∵B 1D⊂A 1B 1BA ， ∴C 1M⊥B 1D ； 方法二：（Ⅰ）以C 为原点， CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则C （0，0，0），A （2，0，0），B （0，2，0），C 1（0，0，3），A 1（2，0，3），B 1（0，2，3），D （2，0，1），E （0，0，2），M （1，1，3）， ∴C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，1，0）， B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，-2，-2）， ∴ C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2-2+0=0，∴C 1M⊥B 1D ；（Ⅱ）依题意， CA⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，0，0）是平面BB 1E 的一个法向量， EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，2，1）， ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，0，-1）， 设 n ⃗ =（x ，y ，z ）为平面DB 1E 的法向量， 则 {n ⃗ •EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ •ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即 {2y +z =02x −z =0 ，不妨设x=1，则 n ⃗ =（1，-1，2）， ∴cos ＜ CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， n ⃗ ＞= CA ⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ |CA ⃗⃗⃗⃗⃗|•|n⃗ | = √66 ， ∴sin ＜ CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， n ⃗ ＞= √1−16 = √306 ，∴二面角B-B 1E-D 的正弦值√306； （Ⅲ）依题意， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-2，2，0），由（Ⅱ）知， n ⃗ =（1，-1，2）为平面DB 1E 的一个法向量，∴cos ＜ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， n ⃗ ＞= AB ⃗⃗⃗⃗⃗•n ⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |•|n ⃗ | =- √33，∴直线AB与平面DB1E所成角的正弦值为√33．【点评】：本题考查了空间向量在几何中的应用，线线平行和二面角和线面角的求法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，逻辑推理能力，属于中档题．22.（问答题，12分）已知函数f（x）=e x（lnx-ax+a+b）（e为自然对数的底数），a，b∈R，直线y= e2x是曲线y=f（x）在x=1处的切线．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）是否存在k∈Z，使得y=f（x）在（k，k+1）上有唯一零点？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，解方程可得所求值；（Ⅱ）求得f（x）的导数，设g（x）=lnx-x+ 1x + 12，求得导数，判断单调性，求得g（1），g（2）的符号，判断g（x）的零点范围，可得f（x）的零点范围，即可得到所求k的值．【解答】：解：（Ⅰ）f（x）=e x（lnx-ax+a+b）的导数为f′（x）=e x（lnx-ax+ 1x+b），由已知，有f（1）=eb= e2，f′（1）=e（b-a+1）= e2，解得a=1，b= 12；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e x（lnx-x+ 32），则f′（x）=e x（lnx-x+ 1x + 12），令g（x）=lnx-x+ 1x + 12，则g′（x）=- x2−x+1x2＜0恒成立，所以g（x）在（0，+∞）上单调递减，又因为g（1）= 12＞0，g（2）=ln2-1＜0，所以存在唯一的x0∈（1，2），使得g（x0）=0，且当x∈（0，x0）时，g（x）＞0，即f′（x）＞0，当x∈（x0，+∞）时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，所以f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减．又因为当x→0时，f（x）＜0，f（1）= e2＞0，f（2）=e2（ln2- 12）＞0，f（e）=e e（52-e）＜0，所以存在k=0或2，使得y=f（x）在（k，k+1）上有唯一零点．【点评】：本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查函数零点存在定理和构造函数法，考查化简运算能力，属于中档题．。
2021届高三数学练习题(参考答案)
3
由于 d 7.049 8.957 8.96 ，………………………………………………………(4 分) 0.787
所以 c y d u 3.63 8.957 0.269 1.22 ，……………………………………(6 分)
所以 y 关于 u 的线性回归方程为 y 1.22 8.96u ，
分）
选择条件③：
设等差数列{an}的公差为 d，
1
5 (4a1 6d) 14(2a1 d),
则
(a1
4d )2
9 2
(a1
2d ),
………………………………………………….（2 分）
解得 a1=1， d 1 ，或 a1=0，d=0,不合题意，舍去，…………….（4 分） 2
∴
an
n 1 ……………………………………………………………………………………….（5 2
19. (1)证明：∵底面 ABCD 是菱形，∴ AB / /CD ，……………………….. （1 分）
又∵ AB 面 PCD ， CD 面 PCD ，
∴ AB / / 面 PCD ………………………………………………………（3 分）
又∵ A ， B ， E ， F 四点共面
且平面 ABEF 平面 PCD EF ，………………………………………………. （4 分）
又∵ AB / /EF ，点 E 是棱 PC 中点，
∴点 F 是棱 PD 中点， ……………………………………………（7 分）
∴ E 1,
3, 2
3 2
，
F
1 2
,
0,
3 2
，
AF
3 2
,
0,
3 2
,
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@学无止境！@绝密★启用前 试卷类型：A 最新第一次高考模拟考试数学试卷（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回。
第Ⅰ卷 （选择题，共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数i215-（i为虚数单位）的虚部是（ ）A. 2iB. 2i -C. 2-D. 22. 下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是 （ ）A ．()2x f x =B ．()sin f x x x =C ．1()f x x =D ．()||f x x x =- 3.已知()=-παcos 12，πα-<<，则tan α=（ ）A.B.C. D.4.设双曲线2214y x -=上的点P到点的距离为6，则P点到(0,的距离是（ ）@学无止境！@A ．2或10 B.10 C.2 D.4或85. 下列有关命题说法正确的是（ ）A. 命题p ：“sin +cos =2x x x ∃∈R ，”，则⌝p 是真命题 B ．21560x x x =---=“”是“”的必要不充分条件 C ．命题2,10x x x ∃∈++<R “使得”的否定是：“210x x x ∀∈++<R ，”D ．“1>a ”是“()log (01)(0)a f x x a a =>≠+∞，在，上为增函数”的充要条件6. 将函数⎪⎭⎫⎝⎛-=32sin )(πx x f 的图像向右平移3π个单位得到函数)(x g 的图像,则)(x g 的一条对称轴方程可以为 （ ） A. 43π=x B. 76x π= C. 127π=x D. 12π=x 7．2015年高中生技能大赛中三所学校分别有3名、2名、1名学生获奖，这6名学生要排成一排合影，则同校学生排在一起的概率是 （ ）A ．130 B ．115 C ．110 D ．158．执行如图8的程序框图，若输出S 的值是12，则a 的值可以为（ ）A ．2014B ．2015C ．2016D ．20179．若某几何体的三视图(单位：cm )如图所示，则该几何体的体积（ ）A.310cmB.320cmC.330cmD.340cm10．若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-321的展开式中存在常数项，则n 可以为 （ ） A ．8 9 C ．10 D. 1111．=∠=⋅==∆C CA A B CA BC ABC 则中在,60,6,8, （ ）A ．︒60B ．C ．︒150D ．︒120 12. 形如)0,0(||>>-=b c cx by 的函数因其图像类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”．若函数()()2log 1a f x x x =++)1,0(≠>a a 有最小值，则当,c b 的值分别为方程222220x y x y +--+=中的,x y 时的“囧函数”与函数||log x y a =的图像交点个数为（ ）．A ．1B ．2C ．4D ．6第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题 5分，共20分.13．一个长方体高为5，底面长方形对角线长为12，则它外接球的表面积为@学无止境！@14．如图，探照灯反射镜的纵截面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点F 处，灯口直径AB 为60cm ，灯深（顶点O 到反射镜距离）40cm ， 则光源F 到反射镜顶点O 的距离为15.已知点()y x P ,的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤≤02221y x y x ，那么()221y x ++的取值范围为 16．CD CB AD AC AD AB ，AB D ABC 3,,3,===∆且的一个三等分点为中在，则B cos =三.解答题：本大题共5小题，每题12分共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知{}n b 为单调递增的等差数列，168,266583==+b b b b ,设数列{}n a 满足n b n n a a a a 2222233221=+⋅⋅⋅+++(1)求数列{}n b 的通项 ； (2)求数列{}n a 的前n 项和n S 。
18. （本小题满分12分）我国新发布的《环境空气质量标准》指出：空气质量指数在050-为优秀，人类可正常活动。
某市环保局对该市2015年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图.（1） 求a 的值，并根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；（2） 如果空气质量指数不超过15，就认定空气质量为“特优等级”，则从这一年的监测数据中随机抽取2天的数值，其中达到“特优等级”的天数为ξ.求ξ的分布列和数学期望。
19．（本小题满分12分）如图，ABCD 是平行四边形，EA ⊥平面ABCD ，EA PD //,42B ===EA PD D ，3=AD ，5=AB . F ，G ，H 分别为PB ， EB ，PC 的中点．@学无止境！@（1）求证：GH DB ⊥；（2）求平面FGH 与平面EBC 所成锐二面角的余弦值。
20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>离心率为32e =，以原点为圆心，以椭圆C 的短半轴长为半径的圆O 与直线1l ： 2y x =+相切。
(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设不过原点O 的直线2l 与该椭圆交于P 、Q 两点，满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围。
21． （本小题满分12分）已知定义在R 上的偶函数()f x ，当[0,)x ∈+∞时，()xf x e =.（1）当(,0)x ∈-∞时，求过原点与函数()f x 图像相切的直线的方程;（2）求最大的整数(1)m m >，使得存在t R ∈，只要[1,]x m ∈，就有()f x t ex +≤.请在第22.23.24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.22． （本小题满分10分）选修4-1，几何证明选讲如图，A 、B 是圆O 上的两点,且AB 的长度小于圆O 的直径， 直线l 与AB 垂于点D 且与圆O 相切于点C.若1,2==DB AB （1） 求证：CB 为ACD ∠的角平分线; （2）求圆O 的直径的长度。
23． （本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x+y-8=0，曲线C 的参数方程为@学无止境！@cos (x y ααα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）. （1） 已知极坐标系与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点， 以x 轴正半轴为极轴，若点P 的极坐标为4π（，），请判断点P 与曲线C 的位置关系； （2）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值与最大值。
24． （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数()f x x a =-．(1) 当2a =时，求不等式124)(-+≤x x f 的解集；（2） 若{}04|2≤-=x x x A ,关于x 的不等式2)(2-≤a x f 的解集为B ,且A B ⊆,求实数a 的取值范围.数学试卷（理科）参考答案二．填空题： 本大题共4小题，每小题5分． 13. 169π ；14. 5.625cm 或558cm 或 458cm ；15. ⎥⎦⎤⎝⎛8,516 ; 16. 1867提示： 1. 复数2255(12)12121(2)i i ii +==+--，所以虚部为2。
选D2. A 中()f x 非奇非偶；B 中()f x 是偶函数；C 中()f x 在(,0)+)-∞∞、（0，分别是减函数，但在定义域(,0)+)-∞∞U （0，上不是减函数；D 中22(0)()=(0)x x f x x x ⎧-≥⎪⎨<⎪⎩是奇函数且在R上是减函数。
选D@学无止境！@3.()()cos cos cos αππαα-=-=-=12，1cos 2α=-又0πα-<<， 所以23πα=-，22tan tan()tan tan 3333πππα=-=-==。
选A4.双曲线a=2,b=1,c=225a b +=,它的左右焦点分别是1F (0,5)，2F (0,5)-，由定义有121|||||||||6|24,PF PF PF a -=-==所以 1||64PF =±，1||210PF =或。
选A6. 法一：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32sin )(πx x f 的图像向右平移3π个单位得新函数()sin[2()]33g x x ππ=--sin(2)sin 2x x π=-=-，由22x k ππ=+得()g x 对称轴为24k x ππ=+，k Z ∈，取1k =，得43π=x 为所求。
选A法二：由232x k πππ-=+，k Z ∈得()f x 对称轴为5212k x ππ=+，k Z ∈，图像向右平移3π个单位得()g x 对称轴为53212324k k x πππππ=++=+，k Z ∈取0k =，得43π=x 为所求。
7. 由已知把第一个及第二个学校的学生看做整体得同校学生排在一起共323323A A A 种方法，而三个学校的学生随便排有66A 种方法，由古典概型的概率计算公式得所求概率：32332366A A A 121A 65410P ===⨯⨯，故选C ． 8．第1次运算：10111112S S ===---，1k =；第2次运算：2111111(1)2S S ===---，2k =；第3次运算：3021121112S S S ====--，3k =；{}n S 是周期为3的周期数列，201536712212S S S ⨯+===，2015k = ；所以2015a = 满足要求。
选B9.该几何体是三棱柱111ABC A B C -砍掉一角111B A B C -而成的，体积为111111111ABC B ABC 2V -V V 3A B C A B C A B C ---=214352032=⨯⨯⨯⨯=，选B 10．nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-321的展开式通项为@学无止境！@23251()()(1)r n r r rr n r r n n T C x x C x ---+=-=- ，若存在常数项，则250n r -=有整数解，故25n r =，n 必为5的倍数，选C11. 22()||686cos 60BA CA CA CB CA CA CB CA C ⋅=-⋅=-⋅=-⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1cos 2C ∴=-又0(0,180)C ∈︒120C ∴=︒。