2020高考数学第一轮复习全套讲义
第一章 集合与简易逻辑
第1课时 集合的概念及运算
【考点导读】
1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．
2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义．
3. 理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一个子集补集的含义，会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．
4. 集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要复杂一些，综合性较强，往往渗透数形思想和分类讨论思想．
【基础练习】 1.
集
合
{(,
)0
2,02,,}
x y x y x y Z ≤≤≤<∈用列举法表示{
(
,
)
,
(
0,．
2.设集合{21,}A x x k k Z ==-∈，{2,}B x x k k Z ==∈，则A B ?=?．
3.已知集合{0,1,2}M =，{2,}N x x a a M ==∈，则集合M N ?=_______．
4.设全集{1,3,5,7,9}I =，集合{1,5,9}A a =-，{5,7}I C A =，则实数a 的值为____8
或2___．
【范例解析】
例.已知R 为实数集，集合2{320}A x x x =-+≤.若R B C A R ?=，
{01R B C A x x ?=<<或23}x <<，求集合B .
分析：先化简集合A ，由R B C A R ?=可以得出A 与B 的关系；最后，由数形结合，利用数轴直观地解决问题. 解：（1）
{12}A x x =≤≤，{1R C A x x ∴=<或2}x >.又R B C A R ?=，
R A C A R ?=，
可得A B ?.
{0,2}
而{01R B C A x x ?=<<或23}x <<，
∴{01x x <<或23}x <<.B ?
借助数轴可得B A =?{01x x <<或23}x <<{03}x x =<<.
【反馈演练】
1．设集合{
}2,1=A ，{}3,2,1=B ，{}4,3,2=C ，则()C B A U ?=_________． 2．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合
P +Q =},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q ，则P +Q 中元素的个数是____8___个．
3．设集合2{60}P x x x =--<，{23}Q x a x a =≤≤+. （1）若P Q P ?=，求实数a 的取值范围； （2）若P Q ?=?，求实数a 的取值范围； （3）若{03}P Q x x ?=≤<，求实数a 的值. 解：（1）由题意知：{23}P x x =-<<，
P Q P ?=，Q P ∴?.
①当Q =?时，得23a a >+，解得3a >．
②当Q ≠?时，得2233a a -<≤+<，解得10a -<<． 综上，(1,0)(3,)a ∈-?+∞．
（2）①当Q =?时，得23a a >+，解得3a >；
②当Q ≠?时，得23,3223a a a a ≤+??+≤-≥?或，解得3
532a a ≤-≤≤或．
综上，3
(,5][,)2
a ∈-∞-?+∞．
（3）由{03}P Q x x ?=≤<，则0a =．
第2课 命题及逻辑联结词
【考点导读】
1. 了解命题的逆命题，否命题与逆否命题的意义；会分析四种命题的相互关系．
2. 了解逻辑联结词“或”，“且”，“非”的含义；能用“或”，“且”，“非”表述相关的数学内容．
3. 理解全称量词与存在量词的意义；能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容．理解对含有一个量词的命题的否定的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 【基础练习】
1.下列语句中：①230x -=；②你是高三的学生吗？③315+=；④536x ->． 其中，不是命题的有____①②④_____．
2.一般地若用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，则它的逆命题可表示为若q 则p ，否命题可表示为 p q ??若则，逆否命题可表示为q p ??若则；原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题． 【范例解析】
例1. 写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题并判断真假. （1） 平行四边形的对边相等； （2） 菱形的对角线互相垂直平分；
（3） 设,,,a b c d R ∈，若,a b c d ==，则a c b d +=+.
分析：先将原命题改为“若p 则q ”，在写出其它三种命题. 解： （1）
原命题：若一个四边形是平行四边形，则其两组对边相等；真命题；
逆命题：若一个四边形的两组对边相等，则这个四边形是平行四边形；真命题； 否命题：若一个四边形不是平行四边形，则其两组对边至少一组不相等；真命题； 逆否命题：若一个四边形的两组对边至少一组不相等，则这个四边形不是平行四边形；真命题. （2）
原命题：若一个四边形是菱形，则其对角线互相垂直平分；真命题；
逆命题：若一个四边形的对角线互相垂直平分，则这个四边形是菱形；真命题； 否命题：若一个四边形不是菱形，则其对角线不垂直或不平分；真命题；
逆否命题：若一个四边形的对角线不垂直或不平分，则这个四边形不是菱形；真命题. （3）
原命题：设,,,a b c d R ∈，若,a b c d ==，则a c b d +=+；真命题； 逆命题：设,,,a b c d R ∈，若a c b d +=+，则,a b c d ==；假命题；
否命题：设,,,a b c d R ∈，若a b ≠或c d ≠，则a c b d +≠+；假命题； 逆否命题：设,,,a b c d R ∈，若a c b d +≠+，则a b ≠或c d ≠；真命题.
点评：已知原命题写出其它的三种命题首先应把命题写成“若p 则q ”的形式，找出其条件p 和结论q ，再根据四种命题的定义写出其它命题；对于含大前提的命题，在改写命题时大前提不要动；在写命题p 的否定即p ?时，要注意对p 中的关键词的否定，如“且”的否定为“或”，“或”的否定为“且”，“都是”的否定为“不都是”等.
例2.写出由下列各组命题构成的“p 或q ”，“p 且q ”，“非p ”形式的命题，并判断真假.
（1）p ：2是4的约数，q ：2是6的约数；
（2）p ：矩形的对角线相等，q ：矩形的对角线互相平分；
（3）p ：方程210x x -+=的两实根的符号相同，q ：方程210x x -+=的两实根的绝对值相等.
分析：先写出三种形式命题，根据真值表判断真假. 解：
（1）p 或q ：2是4的约数或2是6的约数，真命题；
p 且q ：2是4的约数且2是6的约数，真命题； 非p ：2不是4的约数，假命题.
（2）p 或q ：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；
p 且q ：矩形的对角线相等且互相平分，真命题； 非p ：矩形的对角线不相等，假命题.
（3）p 或q ：方程210x x -+=的两实根的符号相同或绝对值相等，假命题；
p 且q ：方程210x x -+=的两实根的符号相同且绝对值相等，假命题； 非p ：方程210x x -+=的两实根的符号不同，真命题.
点评：判断含有逻辑联结词“或”，“且”，“非”的命题的真假，先要把结构弄清楚，确定命题构成的形式以及构成它们的命题p ，q 的真假然后根据真值表判断构成新命题的真假.
例3.写出下列命题的否定，并判断真假.
（1）p ：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除； （2）p ：每一个非负数的平方都是正数；
（3）p ：存在一个三角形，它的内角和大于180°； （4）p ：有的四边形没有外接圆； （5）p ：某些梯形的对角线互相平分.
分析：全称命题“,()x M p x ?∈”的否定是“,()x M p x ?∈?”，特称命题
“,()x M p x ?∈”的否定是“,()x M p x ?∈?” . 解：
（1）p ?：存在末位数字是0或5的整数，但它不能被5整除，假命题； （2）p ?：存在一个非负数的平方不是正数，真命题；
（3）p ?：任意一个三角形，它的内角和都不大于180°，真命题； （4）p ?：所有四边形都有外接圆，假命题； （5）p ?：任一梯形的对角线都不互相平分，真命题.
点评：一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下：
【反馈演练】
1．命题“若a M ∈，则b M ?”的逆否命题是__________________. 2．已知命题p ：1sin ,≤∈?x R x ，则:p ?,sin 1x R x ?∈>.
3．若命题m 的否命题n ，命题n 的逆命题p ，则p 是m 的____逆否命题____.
4．命题“若b a >，则122->b a ”的否命题为________________________
． 5．分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．
（1）设,a b R ∈，若0ab =，则0a =或0b =； （2）设,a b R ∈，若0,0a b >>，则0ab >． 解：
（1）逆命题：设,a b R ∈，若0a =或0b =，则0ab =；真命题； 否命题：设,a b R ∈，若0ab ≠，则0a ≠且0b ≠；真命题； 逆否命题：设,a b R ∈，若0a ≠且0b ≠，则0ab ≠；真命题； （2）逆命题：设,a b R ∈，若0ab >，则0,0a b >>；假命题； 否命题：设,a b R ∈，若0a ≤或0b ≤，则0ab ≤；假命题； 逆否命题：设,a b R ∈，若0ab ≤，则0a ≤或0b ≤；真命题．
若b M ∈，则a M ? 若a b ≤，则221a b
≤-
第3 课时 充分条件和必要条件
【考点导读】
1. 理解充分条件，必要条件和充要条件的意义；会判断充分条件，必要条件和充要条件．
2. 从集合的观点理解充要条件，有以下一些结论： 若集合P Q ?，则P 是Q 的充分条件； 若集合P Q ?，则P 是Q 的必要条件； 若集合P Q =，则P 是Q 的充要条件．
3. 会证明简单的充要条件的命题，进一步增强逻辑思维能力． 【基础练习】
1.若p q ?，则p 是q 的充分条件．若q p ?，则p 是q 的必要条件．若p q ?，则p 是q 的充要条件．
2.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.
（1）已知:2p x >，:2q x ≥，那么p 是q 的_____充分不必要___条件． （2）已知:p 两直线平行，:q 内错角相等，那么p 是q 的____充要_____条件． （3）已知:p 四边形的四条边相等，:q 四边形是正方形，那么p 是q 的___必要不充分__条件．
3.若x R ∈，则1x >的一个必要不充分条件是0x >．
【范例解析】
例.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.
（1）2,2.x y >??>?是4,4.x y xy +>??>?的___________________条件；
（2）(4)(1)0x x -+≥是
4
01
x x -≥+的___________________条件； （3）αβ=是tan tan αβ=的___________________条件； （4）3x y +≠是1x ≠或2y ≠的___________________条件.
分析：从集合观点“小范围?大范围”进行理解判断，注意特殊值的使用.
解：（1）因为2,2.x y >??>?结合不等式性质易得4,4.x y xy +>??>?，反之不成立，若1
2x =，
10y =，有4,4.x y xy +>??
>?，但2,2.x y >??>?不成立，所以2,2.x y >??>?是4,
4.x y xy +>??>?的充分不必要条件.
（2）因为(4)(1)0x x -+≥的解集为[1,4]
-，4
01
x x -≥+的解集为(1,4]-，
故(4)(1)0
x x -+≥是4
01
x x -≥+的必要不充分条件. （3）当2
π
αβ==
时，tan ,tan αβ均不存在；
当tan tan αβ=时，取4
π
α=，54
π
β=
，但αβ≠，所以αβ=是tan tan αβ=的既不充分也不必要条件.
（4）原问题等价其逆否形式，即判断“1x =且2y =是3x y +=的____条件”，故3x y +≠是1x ≠或2y ≠的充分不必要条件.
点评：①判断p 是q 的什么条件，实际上是判断“若p 则q ”和它的逆命题“若q 则p ”的真假，若原命题为真，逆命题为假，则p 为q 的充分不必要条件；若原命题为假，逆命题为真，则p 为q 的必要不充分条件；若原命题为真，逆命题为真，则p 为q 的充要条件；若原命题，逆命题均为假，则p 为q 的既不充分也不必要条件.②在判断时注意反例法的应用.③在判断“若p 则q ”的真假困难时，则可以判断它的逆否命题“若?q 则?p ”的真假. 【反馈演练】
1．设集合}30|{≤<=x x M ，}20|{≤<=x x N ，则“M a ∈”是“N a ∈”的_必要不充分 条件．
2．已知p ：1＜x ＜2，q ：x (x －3)＜0，则p 是q 的 条件． 3．已知条件2:{10}p A x R x ax =∈++≤，条件2:{320}q B x R x x =∈-+≤．若q ?是p ?的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
解：:{12}q B x R x =∈≤≤，若q ?是p ?的充分不必要条件，则A B ?． 若A =?，则240a -<，即22a -<<；
若A ≠?
，则240,
a x ?-≥≤≤解得522a -≤≤-． 综上所述，5
22
a -≤<．
充分不必要
第二章 函数 第1课 函数的概念
【考点导读】
1.在体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型的基础上，通过集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．
2.准确理解函数的概念，能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数． 【基础练习】
1．设有函数组：①y x =
，y =
；②y x =
，y
；③y =
，y =
；④1(0),1
(0),
x y x >?=?-
②④⑤___．
2.设集合{02}M x x =≤≤，{02}N y y =≤≤，从M 到N 有四种对应如图所示：
其中能表示为M 到N 的函数关系的有_____②③____． 3.写出下列函数定义域：
(1) ()13f x x =-的定义域为______________；
(2) 2
1()1
f x x =
-的定义域为______________；
(3)
1()f x x =+的定义域为______________； (4)
()f x =的定义域为
_________________． 4．已知三个函数:(1)()
()
P x y Q x =
；
(2)y =(*)n N ∈； (3)()log ()Q x y P x =．写出使各函数式有意义时，()P x ，()Q x 的约束条件：
(1)______________________；
(2)______________________； (3)______________________________． 5.写出下列函数值域：
(1) 2
()f x x x =+，{1,2,3}x ∈；值域是{2,6,12}．
①
②
③
④
R {1}x x ≠± [1,0)(0,)-?+∞ (,1)(1,0)-∞-?- ()0Q x ≠ ()0P x ≥ ()0Q x >且()0P x >且()1Q x ≠
(2) 2
()22f x x x =-+； 值域是[1,)+∞． (3) ()1f x x =+，(1,2]x ∈． 值域是(2,3]．
【范例解析】
例 1.设有函数组：①21
()1
x f x x -=-，()1g x x =+；
②()f x =
，
()g x =
③()f x =
()1g x x =-；④()21f x x =-，()21g t t =-．其中表示同一个
函数的有③④．
分析：判断两个函数是否为同一函数，关键看函数的三要素是否相同．
解：在①中，()f x 的定义域为{1}x x ≠，()g x 的定义域为R ，故不是同一函数；在②中，
()f x 的定义域为[1,)+∞，()g x 的定义域为(,1][1,)-∞-?+∞，故不是同一函数；③④是
同一函数．
点评：两个函数当它们的三要素完全相同时，才能表示同一函数．而当一个函数定义域和对应法则确定时，它的值域也就确定，故判断两个函数是否为同一函数，只需判断它的定义域和对应法则是否相同即可． 例2.求下列函数的定义域：①
12y x =
- ②
()f x = 解：（1）① 由题意得：2
20,
10,
x x ?-≠??
-≥??解得1x ≤-且2x ≠-或1x ≥且2x ≠，
故定义域为(,2)(2,1][1,2)(2,)-∞-?--??+∞．
② 由题意得：12
log (2)0x ->，解得12x <<，故定义域为(1,2)．
例3.求下列函数的值域：
（1）2
42y x x =-+-，[0,3)x ∈；
（2）2
21
x y x =+()x R ∈；
（3
）y x =-
分析：运用配方法，逆求法，换元法等方法求函数值域． （1） 解：2
2
42(2)2y x x x =-+-=--+，
[0,3)x ∈，∴函数的值域为[2,2]-；
（2） 解法一：由2221
111
x y x x ==-++，21
011
x <
≤+，则21
101
x -≤-
<+，01y ∴≤<，故函数值域为[0,1)．
解法二：由221
x y x =+，则21y x y =-，2
0x ≥，∴
01y y ≥-，01y ∴≤<
，故函数值域为[0,1)．
（3t =(0)t ≥，则2
1x t =-，2221(1)2y t t t ∴=--=--，
当0t ≥时，2y ≥-，故函数值域为[2,)-+∞． 点评：二次函数或二次函数型的函数求值域可用配方法；逆求法利用函数有界性求函数的值域；用换元法求函数的值域应注意新元的取值范围．
【反馈演练】
1．函数f (x )＝x
21-的定义域是___________
． 2．函数)
34(log 1)(2
2-+-=
x x x f 的定义域为_________________． 3. 函数21()1y x R x
=
∈+的值域为________________． 4.
函数23y x =-+的值域为_____________
． 5．函数)34(log 2
5.0x x y -=的定义域为_____________________．
6.记函数f (x )=1
3
2++-
x x 的定义域为A ，g (x )=lg [(x －a －1)(2a －x )](a <1) 的定义域为B ． (1) 求A ；
(2) 若B ?A ，求实数a 的取值范围． 解：(1)由2－
13++x x ≥0，得1
1
+-x x ≥0，x <－1或x ≥1， 即A =(－∞，－1)∪[1，+ ∞) ． (2) 由(x －a －1)(2a －x )>0，得(x －a －1)(x －2a )<0．
∵a <1，∴a +1>2a ，∴B=(2a ，a +1) ． ∵B ?A ， ∴2a ≥1或a +1≤－1，即a ≥2
1
或a ≤－2，而a <1， ∴21≤a <1或a ≤－2，故当B ?A 时， 实数a 的取值范围是(－∞,－2]∪[2
1
,1)．
(,0]-∞ (1,2)(2,3)? (0,1] (,4]-∞ 13[,0)(,1]44
-?