多元函数微分学总结.pdf
《数学分析》第十七章多元函数微分学
06 曲线积分与曲面积分在多 元函数中的应用
曲线积分计算及其在电磁学中的应用
曲线积分的定义与计算方法
包括第一类曲线积分和第二类曲线积分的概念、性质及计算 方法。
曲线积分在电磁学中的应用
通过曲线积分可以计算电场强度、磁场强度等物理量，进而 研究电磁场的分布和变化规律。
曲面积分计算及其在流体力学中的应用
如果函数$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$ 的某一邻域内有定义，且$lim_{(x,y) to (x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)$，则称 函数$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$连续。
如果函数$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$ 不连续，则称$P_0(x_0,y_0)$为函数 $f(x,y)$的间断点。
全微分概念与计算
全微分的定义
全微分是多元函数微分学中的一个重要概念，表示函数在某一点附 近的变化量可以近似地用一个线性函数来表示。
全微分的计算
全微分可以通过偏导数来计算，具体为将函数的增量表示为各自变 量增量的线性组合，系数即为偏导数。
全微分的几何意义
全微分表示函数在某一点附近的变化量，可以用来近似计算函数值 的增量。
多元反函数微分法
多元反函数存在定理
若函数$f: D subseteq mathbb{R}^n to mathbb{R}^n$在点$x_0$处可逆，即存在反函数$f^{-1}$，则$f^{1}$在点$f(x_0)$处也可微。
多元反函数微分法
设$y = f(x)$在点$x_0$处可微，且$f'(x_0)$可逆，则反函数$x = f^{-1}(y)$在点$y_0 = f(x_0)$处也可微，且其 导数为$[f^{-1}]'(y_0) = [f'(x_0)]^{-1}$。
多元函数的微分学（第九讲）
第九讲 多元函数的微分一、主要知识点1．主要概念（以二元函数为主）（1）函数的极限与连续定义极限定义（εδ-定义）A y x f y y x x =→→),(lim 00：如果对于任意给定0ε>，总存在0δ>，使得对于适合不等式00pp δ<=<的一切点(,)p x y ，都有ε<-A y x f ),(成立．连续函数定义 设函数),(y x f z =在区域D 内有定义，且000(,)p x y D ∈，若),(),(lim 0000y x f y x f y y x x =→→则称函数),(y x f 在点000(,)p x y 处连续． 注意：二元函数与一元函数的差异． （2）偏导数的定义设函数),(y x f z =在点),(y x p 的某邻域内有定义，函数的偏导数为0(,)(,)lim x z f x x y f x y x x ∆→∂+∆-=∂∆，0(,)(,)lim y z f x y y f x y y y∆→∂+∆-=∂∆． 注意：分段函数在分段点的偏导数用偏导数定义计算． （3）全微分定义设函数),(y x f z =在点),(y x p 的某邻域内有定义，若()z A x B y o ρ∆=∆+∆+，其中22)()(y x ∆+∆=ρ，全微分dy yzdx x z y B x A dz ∂∂+∂∂=∆+∆=． 2． 主要理论（1）定理1（求偏导数与次序无关的定理）若函数),(y x f z =的两个混合偏导数x y z y x z ∂∂∂∂∂∂22,在区域D 内连续，则xy z y x z ∂∂∂=∂∂∂22．（2）定理2（可微与偏导数存在关系定理）若函数),(y x f z =在点),(y x p 可微，则在该点处yzx z ∂∂∂∂,存在，且 dy yzdx x z dz ∂∂+∂∂=． （3）定理3（偏导连续与可微的关系定理）若函数),(y x f z =偏导数yzx z ∂∂∂∂,在点),(y x p 的某邻域内存在且连续，则),(y x f 在点),(y x p 可微．3．主要公式（1） 全导数公式设函数),(v u f z =偏导数连续，而)(),(t v t u ψϕ==导数连续，则)](),([t t f z ψϕ=的全导公式为dtdvv f dt du u f dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=． （2）显函数 ),,(z y x f u =的偏导数求u 对x 的偏导数xu∂∂时，将z y ,视作常数，利用一元函数求导公式及法则求之． 求u 对y 的偏导数yu∂∂时，将z x ,视作常数，利用一元函数求导公式及法则求之． 求u 对z 的偏导数zu∂∂时，将y x ,视作常数，利用一元函数求导公式及法则求之． （3）复合函数的偏导数1）设),(),,(),,(y x v y x u v u f z ψϕ===的偏导数连续，则)],(),,([y x y x f z ψϕ=偏导数为xv v x x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂， yv v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂． 2）设),,,(v u y x f z =，),(),,(y x v y x u ψϕ==的偏导数连续，则函数)],(),,(,,[y x y x y x f z ψϕ=的偏导数为x v v f x u u f x f x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂=∂∂，yv v f y u u f y f y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂=∂∂．注意：1）偏导函数yzx z ∂∂∂∂,的复合关系同原函数一样，求二阶偏导数方法同一阶方法类似．2）抽象函数的二阶偏导数的求法及其重要．（4）隐函数的偏导数1） 由方程0),(=y x F 确定的隐函数)(x y y =的导数公式为),(),(y x F y x F dx dyy x''-= ， (0),(≠y x F y )． 2）由方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x z z =的偏导数公式为),(),(,),(),(y x F y x F y z y x F y x F x zz y z x ''-=∂∂''-=∂∂ ， (0),(≠'y x F z )． 3）由三个变量两个方程所构成的方程组⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 确定的隐函数),(x y y =)(x z z =，求导数dx dz dx dy ,可通过解关于dxdzdx dy ,的线性方程组来完成，即解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'-=+'-='+'x z y x z y G dx dz G dxdy G F dxdz F dx dy F ''． 4）由四个变量两个方程所构成的方程组⎩⎨⎧==0),,,(0),,,(v u y x G v u y x F ， 确定的隐函数(,),(,)u u x y v v x y ==，求偏导数yvx v y u x u ∂∂∂∂∂∂∂∂,,,，可通过解关于x v x u ∂∂∂∂, ),(yvy u ∂∂∂∂的线性方程组来完成，即解方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'-=∂∂+∂∂''-=∂∂'+∂∂'x v u x v u G x v G x u G F xv F x u F ' ， ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'-=∂∂'+∂∂''-=∂∂'+∂∂'y v u y v u G y v G y u G F y vF y u F ． 4．主要计算方法（1）显函数求偏导数的方法（包含二阶偏导数，抽象函数）；（2）隐函数求偏导数的方法（包含二阶偏导数，抽象函数，方程组）；二、例题分析1．二元函数极限、连续、偏导数与全微分之间的联系例1．设223222(,)()0x y f x y x y ⎧⎪=⎨+⎪⎩2222,0,0x y x y +≠+=，证明函数),(y x f 在点)0,0(连续且偏导数存在，但不可微分． 证明：（1）证明连续性因为32240cos sin 232222)0,0(),()0,0(),(cos sin lim )(lim),(lim rr y x yx y x f r r x r y y x y x θθθθ→==→→====+=2220lim sin cos 0r r θθ→==)0,0(f =． 所以),(y x f 在点)0,0(连续．（2）证明偏导数存在．因为 232200()0(0,0)(0,0)(()0)(0,0)limlim 0x x x x f x f x f x x∆→∆→∆⋅-+∆-∆+'===∆∆232200()0(0,0)(0,0)(0())(0,0)limlim 0y y y y f y f y f y y∆→∆→⋅∆-+∆-+∆'===∆∆所以函数(,)(0,0)f x y 在处偏导数存在且为0． （3）证明(,)f x y 在点(0,0)不可微．因为 223222()()[(0,0)(0,0)][()()]x y x y z f x f y z x y ∆∆''∆-∆-∆=∆=∆+∆，所以41])(2[)(lim ])()[()()(lim ])()[()()(lim224,0222220,02322220,0=∆∆=∆+∆∆∆=∆+∆∆∆∆=∆→∆→∆→∆→∆→∆x x y x y x y x y x x y x y x y x ρ于是函数)0,0(),(o y x f 在点不可微．说明：通常判断函数(,)f x y 在点00(,)x y 是否可微，可以按以下步骤考虑：（1）考察函数(,)f x y 在点00(,)x y 是否连续．若不连续，则函数(,)f x y 在点00(,)x y 不可微；（2）若函数(,)f x y 在点00(,)x y 连续，再考察偏导数0000(,),(,)x y f x y f x y 是否存在．若两个偏导数有一个不存在，则函数(,)f x y 在点00(,)x y 不可微；（3）若函数(,)f x y 在点00(,)x y 连续，偏导数0000(,),(,)x y f x y f x y 存在，再考察偏导数0000(,),(,)x y f x y f x y 是否连续，若偏导数0000(,),(,)x y f x y f x y 连续，则函数(,)f x y 在点00(,)x y 可微；（4）若偏导数0000(,),(,)x y f x y f x y 不连续，则利用全微分定义判别，如例1．练习题：设222222()sin 0(,)00x y x y f x y x y ⎧++≠⎪=⎨⎪+=⎩，证明函数),(y x f 在点)0,0(连续且偏导数存在，但是偏导数在点)0,0(不连续，而函数点)0,0(可微分．二元函数),(y x f z =连续，偏导存在与可微三者关系函数连续 偏导数存在2．多元复合显函数求导问题例2．设函数(,,)f x y z 是k 次齐次函数，即(,,)(,,)k f tx ty tz t f x y z =，k 为某一常数，求证：(,,)f f f xy z kf x y z x y z∂∂∂++=∂∂∂． 证明：令,,u tx v ty w tz ===，则(,,)(,,)k f tx ty tz t f x y z =化为(,,)(,,)k f u v w t f x y z =，上式两边对t 求导得1(,,)k f u f v f wkt f x y z u t v t w t -∂∂∂∂∂∂++=∂∂∂∂∂∂， 又 ,u v w x y z t t t ∂∂∂===∂∂∂ 有 1(,,)k f f f x y z k t f x y z u v w-∂∂∂++=∂∂∂上式两边同乘以t ，得(,,)k f f f txty tz kt f x y z u v w ∂∂∂++=∂∂∂ 即有 (,,)f f fu v w k f u v wu v w∂∂∂++=∂∂∂ 于是得 (,,)f f fxy z k f x y z x y z∂∂∂++=∂∂∂． 例3．已知函数(,)u u x y =，满足方程2222()0u u u u a x y x y∂∂∂∂-++=∂∂∂∂ （1）试选择参数α，β，利用变量(,)(,)x y u x y v x y e αβ+=，将原方程变形使得新方程中不含一阶偏导数项；（2）再令x y ξ=+，x y η=-，使新方程变换形式 解：（1）()x y x y x y u v v e v e v e x x xαβαβαβαα+++∂∂∂=+=+∂∂∂ 2222()()x y x yu v v v e v e x x x xαβαβααα++∂∂∂∂=+++∂∂∂∂ 222(2)x y v vv e x xαβαα+∂∂=++∂∂， ()x y u vv e y yαββ+∂∂=+∂∂， 22222(2)x yu v v v e y y yαβββ+∂∂∂=++∂∂∂ 将上述式子代入已知方程中，消去x yeαβ+变得到222222(2)(2)()0u u v va a a a v x y x yαβαβαβ∂∂∂∂-+++-++-++=∂∂∂∂， 由题意，令2020a a αβ+=⎧⎨-+=⎩，解出22a a αβ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故原方程为22220u ux y ∂∂-=∂∂．（2）令x y ξ=+，x y η=-，则v v v v vx x x ξηξηξη∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂， v v v v vy y y ξηξηξη∂∂∂∂∂∂∂=+=-∂∂∂∂∂∂∂ 22222222v v v v v x x x x xξηξηξξηξηη∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 222222v v vξξηη∂∂∂=++∂∂∂∂ 同理 2222222v v v v y ξξηη∂∂∂∂=-+∂∂∂∂∂ 将上面式子代入22220u ux y∂∂-=∂∂中得到20vξη∂=∂∂． 例4．证明：若u =20d u ≥．（二阶全微分）记号：222222(),(),()dx dx dy dy dz dz ===，()0,()0,()0d dx d dy d dz ===． 证明：因为一阶全微分为xdx ydy zdzdu u++=则 22222()()u dx dy dz xdx ydy zdz dud u u ++-++=2222()()xdx ydy zdzu dx dy dz xdx ydy zdz u u ++++-++=222223()()u dx dy dz xdx ydy zdz u ++-++=22222223()()()x y z dx dy dz xdx ydy zdz u++++-++= 2223()()()0xdy ydx ydz zdy zdx xdz u -+-+-=≥于是有20d u ≥．练习题：1．设函数(,,),(,,),(,),(,)u f x y z x z s t y x t z s t ϕψω====偏导数存在，求,u u s t∂∂∂∂． 2．设函数(,)()z f x y x y g x ky =-+++，其中,f g 具有二阶连续偏导数，且"0g ≠，如果222"222224z z z f x x y y∂∂∂++=∂∂∂∂，求常数k 的值．（2120k k ++=，故1k =-） 3．设z =，求二阶全微分20d z ≥．（222223222()()()()x y dx dy xdx ydy x y ++-++）3．隐函数的求导问题例5．设),(t x f y =，而t 是由方程0),,(=t y x G 所确定的y x ,的隐函数，求dxdy（其中),,(),,(t y x G t x f 为可微函数）． 解：设方程组⎩⎨⎧==0),,(),(t y x G t x f y 确定t y ,皆为x 的函数，将方程组对x 求导数，得0x t dy t f f dx x G G dy G tx y dx t x∂⎧''=+⎪∂⎪⎨∂∂∂∂⎪++=∂∂∂∂⎪⎩或 t x dy tf f dx xG dy G t G ydx t x x∂⎧''-=⎪∂⎪⎨∂∂∂∂⎪+=-∂∂∂∂⎪⎩解方程组，得1x t x t t t f f G G G G f f dy x t t x G G f dx f t y G Gy t''-∂∂∂∂-''-∂∂∂∂==∂∂'-'+∂∂∂∂∂∂． 例6．设(,,)u f x y z =，2(,,)0y x e z ϕ=，sin y x =，其中,f ϕ具有一阶连续偏导数，且0x ϕ∂≠∂，求dudx． 解：这是有显函数，隐函数构成的复合函数的求导问题，xy zx yxu从复合关系图看出复合关系后求导，有x y z du u u dy u dz dy dz f f f dx x y dx z dx dx dx∂∂∂'''=++=++∂∂∂ 由2(,,)0y x e z ϕ=两边对x 求导，得12320ydy dzx e dx dxϕϕϕ'''++= ， 又cos dyx dx=，代入上式得 1231(2cos )y dz x e x dx ϕϕϕ''=-+'于是123cos (2cos )y z x y f duf f x x e x dx ϕϕϕ'''''=+-+'． 例7．设(,)z z x y =是由方程(,)z z f xy e =确定的隐函数，求偏导数,z zx y∂∂∂∂． 解法1：设(,,)(,)z F x y z f xy e z =-，求偏导数1x F f y''=⋅，1y F f x ''=⋅，21z z F f e '=⋅-， 应用公式得112211x z zz F yf yf zx F f e e f '''∂=-=-='''∂--，112211y z zz F xf xf zy F f e e f '''∂=-=-='''∂--． 方法2：直接应用复合函数求导法则，方程两边关于x 求偏导数，此时z 是,x y 得函数，于是12(,)(,)z z z z zf xy e y f xy e e x x∂∂''=⋅+⋅∂∂， 从上述方程中解出z x ∂∂，即得121z yf zx e f '∂='∂-．方程两边关于y 求偏导数，此时z 是,x y 得函数， 于是12(,)(,)z z z z z f xy e x f xy e e y y∂∂''=⋅+⋅∂∂，从上述方程中解出zy∂∂，即得121zxf z y e f '∂='∂-． 方法3：应用一阶全微分形式不变性12(,)()z z dz df xy e f d xy f de ''==⋅+⋅ 112z f ydx f xdy f e dz '''=⋅+⋅+⋅，移项得 211(1)zf e d z y f d x x f d y '''-⋅=⋅+⋅， 解出112211z z yf yf dz dx dy e f e f ''=+''--，因此121z yf z x e f '∂='∂-，121z xf zy e f '∂='∂-． 例8．设sin ,sin u xu v x y v y+=+=，求22,,,du dv d u d v ． 解：方程组sin sin u v x yy u x v+=+⎧⎨=⎩对x 求微分，得s i nc o s s i n c o sd u d v d x d y u d y y u d u v d x x v d v+=+⎧⎨+=+⎩ （1）解方程组的1[(s i n c o s )(s i n c o s )]c o s c o sd u v x v d xu x v d y x v y u =+--+ 1[(s i n c o s )(s i n c o s )]c o s c o sd v u y u d yv y u d x x v y u=+--+ （1） 式方程组再微分一次，得222222cos 2cos sin cos 2cos sin d u d v y ud u udydu y udu x vd v vdxdv x vdv ⎧+=⎨+-=+-⎩（2） 解方程组（2），得221[(2cos sin )(2cos sin )]cos cos d u d v vdx x vdv dv udy y udu du x v y u=-=---+．例9．设函数(,)z f x y =有连续的一阶偏导数，(,)w w u v =是由方程组2211w x y u x y v x y z e ++⎧=+⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎩所确定的隐函数，试将方程()()z z y x y x z x y x y∂∂-=-≠∂∂化为,w w u v ∂∂∂∂所满足的关系式． 解：由方程组可以看出(,,),(,)w x y z f x y w e w w u v ++===，则1321()(2)w x y w x y z w u w v w w z z e e x x u x v x u x v++++∂∂∂∂∂∂∂=++=+-∂∂∂∂∂∂∂ 2321()(2)w x y w x y z w u w v w w z z e e y y u y v y u y v++++∂∂∂∂∂∂∂=++=+-∂∂∂∂∂∂∂ 因此 左边22()()w x y y x z z v y x∂=-+-∂，右边()y x z =-， 于是方程()()z z y x y x z x y x y∂∂-=-≠∂∂化为 22()0w x y z v y x∂-=∂， 又由于3322220x y x y y x x y--=≠，故0w v ∂=∂． 例10．设)(u f 有连续的二阶导数，且)sin (y e f z x=满足方程z e y z x z x 22222=∂∂+∂∂，求)(u f ．解：设sin x u e y =，则'()'()sin '()x z u f u f u e y uf u x x∂∂===∂∂， '()'()cos x z u f u f u e y y y∂∂==∂∂， 222"()'()z f u u f u u x∂=+∂，（u u x ∂=∂）， 2222'()sin cos "()'()"()cos x x x z u f u e y e yf u uf u f u e y y y∂∂=-+=-+∂∂，所以 22222"()x z z e f u x y∂∂+=∂∂． 由已知条件，得22"()()x x e f u e f u =，即"()()0f u f u -=，这是二阶常系数线性微分方程，其特征方程为210r -=，特征根为1r =±，则12()u u f u c e c e -=+为所求．练习题：1．已知ty y e x =+，而t 是由方程2221y t x +-=所确定的,x y 的函数，求dy dx． （22()tytydy t xye dx t y t e +=+-） 2．设2222221x y z a b c++=，求全微分2,dz d z ． 3．设函数222),(z y x r r f u ++==，在0>r 内满足0222222=∂∂+∂∂+∂∂zu y u x u ， 其中)(r f 为二阶可导函数，且1)1()1(='=f f ，试将方程化为以y 为自变量的常微分方程，并求)(r f ．（1()2f r r=-+）。
多元微分小结
累次极限
lim lim f x, y x x0 y y0 lim lim f x , y y y0 x x0
注：1）二重极限与二次累次极限是各自独立的概念， 存在性上没有必然的联系。 2) 若二重极限及累次极限均存在，则
x x0 y y0
u u x , y v v x , y
偏导数的几何应用与极值
空间曲线的切线 1.曲线L方程：x xt , y yt , z zt . P0 x0 , y0 , z0 L
P0 处切线方程：
x x0 y y0 z z0 ' ' ' x t0 y t0 z t0
P0 x0 , y0处连续。
注：f x, y 在 x0 , y0 连续
f x, y0 在x x0 连续。
Ch.17 多元函数微分学 全微分：若z f ( x, y) 在 P0 ( x0 , y0 ) 的全增量可表示为
z Ax By o( )
(x) 2 (y ) 2
' x
f x0 , y0 y f x0 , y0 f x0 , y f x0 , y0 f x0 , y0 lim lim y 0 y y0 y y y0
' y
方向导数
u f x , y , z
cos ,cos , cos 为 l 的方向余弦
Ch.18 隐函数定理及其应用
隐函数微分法：
F x , y , z 0. z f x , y 三种方法
F x , y , z 0 Gx , y , z 0 y yx , z zx
多元函数微分学
r = r (u0 , v) , 所有这样的 u曲线和 v曲线构
上的参数曲线网 参数曲线网， 成曲面 S 上的参数曲线网， 而影射 r 将
uov 平面上的区域 D 变成 R 3 中的曲面 S.
z
= R sin ϕ sin θ
ϕ
o
P( x, y, z)
z = OP cos ϕ
= R cos ϕ
R
ϕ R y
R
y
x
x
θ
M
( x , y, 0)
的球面参数方程： 于是得半径为 R 的球面参数方程：
r = r (ϕ ,θ ) = { R sin ϕ cosθ , R sinϕ sinθ , R cosϕ }
= rv′ ( u0 , v ) v0
19
曲面S 在点P (u0 , v0 )处的v曲线的切向量 0
r
v0
N
u = u0
P0 = r (u0 , v0 )
S
v = v0
o
20
满足
ru′ × rv′
P0
P0
( u0 , v 0 )
≠ 0,
′ 这说明 ru × rv′
n
P0
是个确定了方向的向量,且 是个确定了方向的向量 且
曲线： 得球面的 ϕ曲线： 一族以球心为圆心的大 的交线(经线 经线)。 圆——是球面与射面θ = θ 0 的交线 经线 。 是球面与射面 正螺面的参数方程。 例4 正螺面的参数方程。 或
x = u ⋅ cos( 0 .3 v ) y = u ⋅ sin( 0 .3 v ) z = 4v
多元函数微分学总结
`第八章 多元函数微分学8.1基本知识点要求1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。
3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必 要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。
4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法.5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法.6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法.7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。
8.了解二元函数的二阶泰勒公式.9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。
8.2基本题型及解题思路分析题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题1. 二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。
（1）基本概念①二元函数极限的定义：设()(,)f P f xy =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若∃常数A ，对于∀0ε>，总∃0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时，都有()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记作000(,)(,)lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。
②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且0P D ∈.若0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。
第九章多元函数微分学(方向导数在前)总结
E
若存在点 P 的某邻域 U(P) E ,
则称 P 为 E 的内点；
若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = ,
则称 P 为 E 的外点 ; 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E 的外点 , 则称 P 为 E 的边界点 . 显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的 边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .
(2) 聚点
若对任意给定的 , 点P 的去心 邻域
E
内总有E 中的点 , 则
称 P 是 E 的聚点. 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 E 的边界点 ) 所有聚点所成的点集成为 E 的导集 .
(3) 开区域及闭区域
若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;
当函数在此点可微时那末函数在该点沿任意方向l的方向导数都存在且有coscoscos设方向l的方向角为定义设函数内具有一阶连续偏导数则对于每一点最快沿哪一方向增加的速度函数在点问题sincossincos上的单位向量由方向导数公式知函数在某点的梯度是这样一个向量它的方向与取得最大方向导数的方向一致而它的模为方向导数的最大值
x
y
图形为
空间中的超曲面.
三、多元函数的极限
定义2. 设 n 元函数 f ( P), P D R n , P0 是 D 的聚 点 , 若存在常数 A , 对任意正数 , 总存在正数 , 对一 切 P D U ( P0 ,δ ) , 都有
则称 A 为函数
记作
P P0
lim f ( P) A (也称为 n 重极限)
(完整word版)多元函数微分学及其应用归纳总结,推荐文档
第八章 多元函数微分法及其应用一、多元函数的基本概念1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念2、多元函数的极限✧00(,)(,)lim (,)x y x y f x y A →=（或0lim (,)P P f x y A →=）的εδ-定义✧ 掌握判定多元函数极限不存在的方法：（1）令(,)P x y 沿y kx =趋向00(,)P x y ，若极限值与k 有关，则可断言函数极限不存在；（2）找两种不同趋近方式，若00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →存在，但两者不相等，此时也可断言极限不存在。
✧ 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商，等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似：例1．用εδ-定义证明2222(,)(0,0)1lim ()sin0x y x y x y →+=+例2（03年期末考试 三、1，5分）当0,0→→x y 时，函数222222()+++-x y x y x y 的极限是否存在？证明你的结论。
例3 设222222,0(,)0,0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩ ，讨论(,)(0,0)lim (,)x y f x y →是否存在？例4（07年期末考试 一、2，3分）设2222422,0(,)0,0⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩xy x y x y f x y x y ，讨论(,)(0,0)lim (,)→x y f x y 是否存在？例5．求222(,)(0,0)sin()lim x y x y x y →+3、多元函数的连续性0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →⇔=✧ 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。
✧ 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”例1． 讨论函数33222222,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩ 在（0，0）处的连续性。
第八章 多元函数的微分学
二元函数偏导数的定义可以类推到三元或三元以上的 函数. 如果函数 z f ( x, y ) 在区域 D 内每一点处，对 x 的偏 导数都存在， 那么在 D 内定义了一个函数， 称为 z f ( x, y ) 的偏导函数，记作 z f 或 或 z x ( x, y ) 或 f x ( x, y ) x x 类似地，函数 z f ( x, y ) 对 y 的偏导函数,记作 z f 或 或 z y ( x, y ) 或 f y ( x, y ) . y y 偏导函数简称为偏导数.
x x0 y y0
上面定义的二元函数的极限又称二重极限,二重极限 是一元函数极限的推广,有关一元函数的运算法则和定理 均可类推到二重极限.
例 4 求极限 lim
x2 y 2 1 x2 y 2 1
x x0 y y0
解 显然，当 x 0, y 0 时, x 2 y 2 0 ,根据极限的 加法法则及有关复合函数的极限定理,有 lim 1 x 2 y 2 lim1 lim( x 2 y 2 ) 1 0 1,
x 0 y 0 x 0 y 0 x 0 y 0
所以
lim
x0 y 0
x2 y 2 1 x2 y 2 1 ( x 2 y 2 )( 1 x 2 y 2 1) ( 1 x 2 y 2 1)( 1 x 2 y 2 1)
lim
x0 y 0
例 6 求极限 lim
x0 y 1
ex y2 1 x2 Leabharlann 2 ex y21 x y
2 2
解 函数 f ( x, y ) 续的， 所以
在点(0,1)处有定义,是连
1 x2 y 2 1 02 12 在有界区域上连续的二元函数有以下性质:
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和体会二者之间的不同。
① 证明二元函数的极限不存在：若 P以两种不同的方式趋于P0时，f (P) 的极
1
限不同，则 lim f (P) 一定不存在（见例 1）。 P→P0
②求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元 函数的极限，比如：极限的局部有界性、局部保号性、四则运算法则、夹逼准则、 两个重要的极限、变量代换法则、等价无穷小代换、分子分母有理化、无穷小量 与有界变量的乘积仍为无穷小量、连续性等（见例 2）
解： lim 1- cos xy = lim 1- cos xy (x, y)→(0,0) 2 − exy −1 ( x, y)→(0,0) 1 + (1 − exy ) −1
xy
=
(x,
lim
y )→( 0,0)
1
−
2 e xy
2
= lim ( x, y)→(0,0)
xy − xy
= −1
【评注】二元函数的极限有与一元函数的极限类似的性质与运算法则，求 法一般不难，这里不再多举例子。
证明：
lim f (x, y) = lim x3 + y2
( x, y)→(0,0)
x + y ( x, y)→(0,0) 2
2
x = cos , y = sin lim 2 ( cos3 + sin2 ) = 0 = f (0, 0)
→0
f (x, y) 在点 (0,0) 连续。
2. 偏导数的概念
8.2 基本题型及解题思路分析
题型 1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关 的题
1. 二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。 （1）基本概念 ①二元函数极限的定义：设 f (P) = f (x, y) 的定义域为 D , P0 (x0, y0 ) 是 D 的聚
点.若 常数 A ，对于 0 ，总 0 ，使得当 P(x, y) D U (P0, ) 时，都有
x=ky2
k不同，极限值就不同，故 lim f (x, y) 不存在。 ( x, y)→(0,0)
【评注】证明二元函数的极限不存在是个难点，关键是选择适当的 P → P0 的 路径，注意总结其选择路径的规律。
例 2 lim 1-cos xy =
。
(x, y)→(0,0) 2 − exy −1
【分析】此题既可以直接利用等价无穷小代换，也可以先将分母有理化，再 进行等价无穷小代换。
f x
x = x0 y= y0
zx x=x0 或 fx(x0, y0) 。
y= y0
如果极限 lim f (x0, y0 + y)− f (x0, y0) 存在 则称此极限为函数 z = f (x, y) 在点
y→0
y
(x0 , y0 ) 处对 y 的偏导数，记作
z y
x = x0 y= y0
f y
x = x0 y= y0
zy x=x0 或 fy(x0 y0) y= y0
例 4 设 f (x, y) = e x2 + y4 , 则函数在原点偏导数存在的情况是
( A) fx(0, 0)存在, f y(0, 0)存在
( B) fx(0, 0)存在, fy(0, 0)不存在
`第八章 多元函数微分学 8.1 基本知识点要求
1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必 要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法. 5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它 们的方程的求法。 8.了解二元函数的二阶泰勒公式. 9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条 件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日 乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的 应用问题。
且
P0
D .若 lim ( x, y)→( x0 , y0 )
f
(x,
y)
=
f
( x0 ,
y0) ，则称
f
(x,
y) 在点
P0 (x0 ,
y0 ) 连续。
（2）关于二元函数极限的解题思路
注意：在二元函数 lim P→P0
f
(P) =
A 存在的定义中， P
→
P0 方式任意，正是由于
这一点致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结
f (P) − A = f (x, y) − A 成立，则称 A 为函数 f (x, y) 当 (x, y) → (x0, y0 ) 时的极
限，记作 lim f (x, y) = A或 lim f (P) = A 。
( x, y)→(x0 , y0 )
P→P0
②二元函数的连续：设 f (P) = f (x, y) 的定义域为 D , P0 (x0, y0 ) 为 D 的聚点，
例3
设
f
(x,
y)
=
x3 + y2 , (x, y) (0, 0)
x2 + y2
，证明函数 f (x, y) 在点 (0,0) 连
0
, (x, y) = (0, 0)
续。
2
【分析】：通过观察分子、分母中变量 x, y 的各次幂的特点，可以看出 f (x, y) 在 (0,0) 点的极限存在且为 0 ，但不易利用例 2 中的评注直接求解，可以考虑将 点 (x, y) 转化成极坐标来表示。
二元函数的偏导数的概念：设 z = f (x, y) 在点 (x0, y0 ) 的某一邻域内有定义
如果极限 lim f (x0 +x, y0)− f (x0, y0) 存在 则称此极限为函数 z = f (x, y) 在点
x→0
x
(x0 , y0 ) 处对 x 的偏导数
记作
z x
x = x0 y= y0
例
1
证明：
f
(x,
y)
=
xy2 x2 + y4
在原点（0, 0）的极限不存在。
【分析】观察分子、分母中变量 x, y 的各次幂的特点，可考虑选择路径
x = ky2 。
证明：
lim
y→0
f (x, y) =
lim
y→0
xy2 x2 + y4
ky4
=
lim
y→0
k2
y4
+ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y4
=
k， k2 +1
x=ky2