多元函数积分学复习
高等数学第八章多元函数积分学
D
证:f (x, y)d
y
D
d
f1(x) f2(y)dxdy
c
D
bd
dx ac
f1(x)
f2(y)dy
0a
bx
b
d
d
b
a[f1(x) c f2(y)d]ydxc f2(y)dy af1(x)d.x
.
比如， 1dx3xyed y1xd x 3eyd.y
y
xydxdy
1
dx
1x2
xydy
D
00
11x(1x2)dx1(x2x4)11. 1
02
22 4 0 8
D
本 题 若 先 对 x 积 分 ， 解 法 类 似 . O x 1
x
.
例4
改变积分
01dx
1
0
x
f
( x,
y )dy 的次序.
解 积分区域为 y
0x1, D:
1
0y1x.
0x1y, D:
f (x, y)d
b
d
a dxc f(x,y)dy
D
d
b
c dya f(x,y)dx
（2）如果被积函数 f (x, y) = f1(x)·f2(y),且积分区域是矩
形区域，则
f(x,y)da bf1(x)dxcdf2(y)d.y
D
.
设D：a x b, c y d. f (x, y) = f1(x)·f2(y)可积，
y
4
2
yx
D2 D1
D D 1D 2.
D1 :
2 x4, 2 y x.
多元函数微积分学
3、 f ( x, y) f ( x, y) y x
x
y
4、 f ( x, y) 1, f ( x, y) 2 y.
x
y
二、隐函数的求导法则（重点）
(1) F( x, y) 0
隐函数存在定理 1 设函数F ( x, y)在点 P( x0 , y0 )的 某一邻域内具有连续的偏导数，且F( x0 , y0 ) 0， Fy ( x0 , y0 ) 0，则方程F ( x, y) 0在点 P( x0 , y0 )的
y
x y
3. 设 f ( x y, x y) x2 y2 , 求 f ( x, y) f ( x, y) .
x
y
4．设 f ( xy, x y) x2 y2 xy, 求 f ( x, y) , f ( x, y)
x
y
练习四答案
1、 dz esin xcos x (cos2 x sin2 x); dx
z 2ex2y y 2z 2ex2y x y
2z 2 e x2 y y x
2 z y2
4e x2 y
二、全微分概念
如果函数z f ( x, y)在点( x, y)的全增量 z f ( x x, y y) f ( x, y)可以表示为
z
uv tt
定理 2 如果u ( x, y)及v ( x, y)都在点
( x, y)具有对 x和 y 的偏导数，且函数z f (u,v)
在对应点(u, v )具有连续偏导数，则复合函数
z f [ ( x, y), ( x, y)]在对应点( x, y)的两个偏
导数存在，且可用下列公式计算
高三数学知识点：多元函数和多元微积分
高三数学知识点：多元函数和多元微积分1. 多元函数1.1 定义多元函数是指含有两个或两个上面所述变量的函数。
通常表示为f(x1,x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn是变量，称为自变量。
1.2 多元函数的图形多元函数的图形是多元函数的图像。
在平面上，我们可以画出二元函数的图像。
对于二元函数f(x, y)，我们可以固定一个变量的值，然后画出另一个变量的值随该变量变化的曲线。
这些曲线称为等值线。
1.3 多元函数的偏导数多元函数的偏导数是指对一个变量的导数，而将其他变量视为常数。
对于函数f(x1, x2, ..., xn)，其偏导数可以表示为：•∂f/∂x1：表示对x1的偏导数。
•∂f/∂x2：表示对x2的偏导数。
•∂f/∂xn：表示对xn的偏导数。
1.4 多元函数的极值多元函数的极值是指在某个区域内，函数取得最大值或最小值的情况。
通过求偏导数并解方程组，可以找到多元函数的极值。
2. 多元微积分2.1 多元积分多元积分是指对多元函数进行积分。
根据积分变量的不同，可以分为二重积分、三重积分和四重积分等。
2.1.1 二重积分二重积分是指对二元函数在某个区域上进行积分。
其一般形式为：∫∫_D f(x, y) dA其中，D表示积分区域，f(x, y)是被积函数，dA是面积元素。
2.1.2 三重积分三重积分是指对三元函数在某个区域上进行积分。
其一般形式为：∫∫∫_D f(x, y, z) dV其中，D表示积分区域，f(x, y, z)是被积函数，dV是体积元素。
2.1.3 四重积分四重积分是指对四元函数在某个区域上进行积分。
其一般形式为：∫∫∫∫_D f(x, y, z, w) dV其中，D表示积分区域，f(x, y, z, w)是被积函数，dV是体积元素。
2.2 向量微积分向量微积分包括向量的导数和向量的积分。
2.2.1 向量的导数向量的导数是指对向量场的导数。
对于向量场F(x, y, z)，其导数可以表示为：∂F/∂x, ∂F/∂y, ∂F/∂z2.2.2 向量的积分向量的积分是指对向量场进行积分。
专升本(高数—)第五章多元函数微积分学PPT课件
第七节 二重积分的应用
*
2
考试点津：
• 本讲出题在18分—26分之间，本讲内容是 一元函数微分内容的延伸，一般在选择题、 填空题、解答题中出现。
• 本讲重点：
（1）二元函数的偏导数和全微分。
（2）二元函数的有关极值问题及应用。 （3）会计算二重积分
• 建议重点复习前几年考过的试题，把握考 试重心和知识点，重在模仿解题。
成人高考高数一辅导
•
College of Agriculture & Biological Engineering
*
1
第五章 多元函数微积分学 (11年考了22分）
第一节 多元函数、极限和连续 第二节 偏导数与全微分 第三节 二元函数的极值 第四节 二重积分的概念和性质 第五节 直角坐标系下二重积分的计算 第六节 极坐标系下二重积分的计算
可 以 证 明 ，一 元 函 数 关 于 极 限 的 运 算 法 则 仍 适 用 于 多 元 函 数 ，即 多 元 连 续 函 数 的 和 、差 、积 为 连 续 函 数 ，在 分 母 不 为 零 处 ，连 续 函 数 的 商 也 是 连 续 函 数 ，多 元 函 数 的 复 合 函 数 也 是 连 续 函 数 .由 此 还 可 得 出 如 下 结 论 ： 一 切 多 元 初等函数在其定义区域内是连续的.
（4）最大值和最小值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大 值和最小值各一次．
（5）介值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的
函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．分
（一） 偏导数
1. 偏导数的定义
定义 设函数 z f (x, y)在点(x0, y0 )的某一邻域内有 定义，当 y固定在 y0，而 x在 x0处有增量x时，相应地函 数有增量 f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 )，如果极限
考研数学高数9多元函数积分学
第九讲：多元函数积分学1. 定义设()f x y ，是定义在有界闭区域D 上的有界函数，如果对任意分割D 为n 个小区域12n σσσ∆∆∆，，，，对小区域()12k k n σ∆=，，上任意取一点()k k ξη，都有()01lim nk k k d k f ξησ→=∆∑，存在，（其中k σ∆又表示为小区域k σ∆的面积，k d 为小区域k σ∆的直径，而1max k k nd d ≤≤=），则称这个极限值为()f x y ，在区域D 上的二重积分，记以()Df x y d σ⎰⎰，这时就称()f x y ，在D 上可积，如果()f x y ，在D 上是有限片上的连续函数，则()f x y ，在D 上是可积的。
2. 几何意义当()f x y ，为闭区域D 上的连续函数，且()0f x y ≥，，则二重积分()Df x y d σ⎰⎰，表示以曲面()z f x y =，为顶，侧面以D 的边界曲线为准线，母线平行于z 轴的曲顶柱体的体积。
当封闭曲面S 它在xy 平面上的投影区域为D ，上半曲面方程为()2z f x y =，，下半曲面方程为()1z f x y =，，则封闭曲面S 围成空间区域的体积为()()21Df x y f x y d σ-⎡⎤⎣⎦⎰⎰，， 3. 基本性质 （1）()()() DDkf x y d k f x y d k σσ=⎰⎰⎰⎰，，为常数（2）()()()()DDDf x yg x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰，，，， （3）()()()12DD D f x y d f x y d f x y d σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰，，，其中12D D D =。
除公共边界外，1D 与2D 不重叠。
（4）若()()()f x y g x y x y D ≤∈，，，，，则()()DDf x y dg x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰，，（5）若()()m f x y M x y D ≤≤∈，，，，则 ()DmS f x y d MS σ≤≤⎰⎰，其中S 为区域D 的面积 （6）()()DDf x y d f x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰，，（7）积分中值定理，设(),f x y 在有界闭区域D 上连续，S 为D 的面积，则存在(),D ξη∈，使得()()Df x y d f S σξη=⎰⎰，，我们也把()1Df x y d S σ⎰⎰，称为()f x y ，在D 上的积分平均值。
高中数学知识点多元函数微积分
高中数学知识点多元函数微积分高中数学知识点：多元函数微积分数学是一门充满魅力的学科，是一种日常生活中必不可少的学问。
而在高中数学中，多元函数微积分是一个十分重要的知识点，也是理所当然的。
在本文中，我们将探讨多元函数微积分的相关知识。
一、函数的概念在数学中，函数是指每个自变量对应一个唯一的因变量的规则。
其中，自变量表示不同的变量，而因变量表示任何由自变量产生的结果。
在函数中，自变量和因变量的关系可以用一个方程或者一张图表来表示。
二、多元函数在二元函数中，函数的自变量和因变量是二维的，通常用 (x,y) 表示。
同样的，在多元函数中，函数的自变量和因变量可以是任意维度的向量，而多元函数在图像上可以画出一个三维图像。
三、多元函数的微积分在学习多元函数微积分时，我们需要掌握很多基本概念。
其实，微积分就是计算函数导数和积分的算法。
在多元函数中，导数可以理解为瞬时速度或瞬时变化率。
而在三维空间中，导数也可以表示为切向量的方向。
对于多元函数 f(x,y)，我们可以把它的微分表示成df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy。
其中，∂f/∂x 和∂f/∂y 是偏导数，分别对应自变量 x 和y。
微分也可以用来表示函数的局部线性逼近。
因此，我们可以通过微分来计算多元函数的斜率和切角。
四、多元函数的求极限在计算多元函数极限时，我们需要用到极限的三个特性：唯一性、保序性和有界性。
此外，我们还需要掌握一些极限的常用公式和技巧。
例如，当两个无穷小的乘积趋近于零时，我们可以使用 L'Hopital 法则来解决。
五、多元函数的最大值和最小值在多元函数中，我们常常需要求解最大值和最小值，这些值对于优化和排课等问题都非常重要。
通常我们可以使用一些基本的极值定理来解决这些问题。
例如，当函数的偏导数等于零时，函数的值最大或最小。
此外，我们还可以使用拉格朗日乘数法求解非约束性最大值和最小值。
六、多元函数应用多元函数在模拟现实问题时有着广泛的应用。
(整理)第六章多元函数积分1
第六章 多元函数积分学一．重积分例1：将⎰⎰=Dd y x f I σ),(用两种积分次序表为二次积分。
（1）D ：由曲线1,21,0,8222====+y y x y y x 所围； （2）⎩⎨⎧≤≤-≤≤axy x ax ax D 2220:2例2：交换二次积分⎰⎰xdy y x f dxsin 020),(π的顺序。
例3：计算二次积分⎰⎰xxdy yxdx 2sin21π⎰⎰+2422sinxdy yxdx π例4：计算二次积分+⎰⎰--yxR y dx e dy e 0222⎰⎰---22222y R x RR ydx edy e例5：计算二重积分⎰⎰=Dydxdy I ，其中D 是由直线2,0,2==-=y y x 以及曲线22y y x --=所围成的平面区域。
（答案：24π-）例6：计算二重积分⎰⎰-=Ddxdy x y I 2，其中D 是由直线2,1,1=-==y x x 和x 轴所围成的平面区域。
（答案：352+π） 例7：设)(t f 在),0[+∞上连续，且 +=1)(t f ⎰⎰≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛+22242221t y x dxdy y x f 求)(t f （答案：24)(t e t f π=）例8：设闭区域D ：.0,22≥≤+x y y x ),(y x f 为D 上的连续函数，且 ---=221),(y x y x f ()⎰⎰Ddudv v u f ,8π求),(y x f （答案：---=221),(y x y x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32234ππ） 例9：计算二重积分⎰⎰+=Ddxdy y x I 22，其中D 由圆轴及直线x x y x y x ==+,222所围成的平面区域。
（答案：2910） 例10：设D 是xoy 平面上以)1,1(),1,1(),1,1(---为顶点的三角形区域，1D 是D 在第一象限部分，则⎰⎰+Ddxdy y x xy )sin cos (等于)(A ⎰⎰1sin cos 2D ydxdy x )(B ⎰⎰12D xydxdy)(C ⎰⎰+1)sin cos (4D dxdy y x xy 0)(D例11：计算⎰⎰++++++=Ddxdy y x x x y y I 22211ln 1）（ 其中}01{22≥≤+=y y x y x D ，），（。
多元函数积分学
（ 4）
。
（5）如果 是分段光滑的：
，则
。
（6）如果 是封闭曲线，特记为 。
所围成的区域。
解二：画出积分区域的草图。 因为 D虽然是 X----型区域，但由于在定限时，第一次积分的上、下限发生了一次
改变，故不得已对 D进行分块。（作图：用直线
将 D分成
其中，
，
于是，有
。
注意；由例 2可见，对此题，虽然两种积分次序都可行，但第二种显然更麻烦。我们说有些 时候，就不仅仅是麻烦的问题了，如果积分次序选得不合适，可能做不出来。请看下面的
解：（1）这里
。画出草图如右。
（2）更换积分次序，即要将积分区域视为 X----型区域。为定限方便，需将积分区域分 为三块：
，则
其中，
，
，
于是，有：
例 9。对 （1）画出积分区域的草图；（2）更换积分次序。
解：（1）这里 记
，
。分别画
出草图如右。则
（2）更换积分次序，即要将积分区域视为 X----型区域。为定限方便，需将积分区域分 为四块：
，所以，
3．由积分中值定理，知：
注意：（6）关于重积分的对称性 （i）如果积分区域 D关于 X轴（或 Y）轴 对称，且被积函数
为奇，则
=0；
关于 y（或 X）
（ii）如果积分区域 D关于 X轴（或 Y）轴 对称，且被积函数
关于 y（或 X）
为偶，则
（其中， 为 D的上（右）一半区域）。
三.二重积分的计算 （一）利用直角坐标计算二重积分
的上、下限； （三）。计算累次积分。 注意：选择积分次序的原则 （一）。选择的积分次序使积分区域 D尽可能的少分块，以简化计算过程。 （二）。第一次积分的上、下限表达式要简单，并且容易根据第一次计算的结果作第二 次积分。 （三）。确定上、下限是重积分的关键。