第九章多元函数积分学总结
多元函数积分知识点总结
多元函数积分知识点总结1. 多元函数的概念多元函数是指至少含有两个自变量的函数，它是自变量的多项式和、积、商或者反函数的复合函数。
多元函数的自变量可以是实数，也可以是复数。
例如，z=f(x,y)表示一个含有两个自变量的函数，其中x和y称为自变量，z称为因变量。
多元函数的图形通常是在三维坐标系中表示的，它描述了自变量之间的关系和对因变量的影响。
2. 多元函数的积分多元函数的积分是对多元函数在给定区域上的积分运算，它可以表示为对函数在该区域上的所有微小部分进行求和。
多元函数的积分具有广泛的应用，例如在物理学、工程学、经济学等领域中都有重要应用。
多元函数的积分包括二重积分和三重积分两种重要形式。
3. 二重积分二重积分是对二元函数在给定区域上的积分运算，它可以表示为对函数在该区域上的面积进行求和。
二重积分的计算通常涉及到对区域进行分割、确定积分范围、选择合适的坐标系等步骤。
二重积分的求解可以利用极坐标、直角坐标等不同坐标系进行计算，根据具体问题的情况选择合适的坐标系可以简化计算过程。
4. 三重积分三重积分是对三元函数在给定区域上的积分运算，它可以表示为对函数在该区域上的体积进行求和。
三重积分的计算通常涉及到对区域进行分割、确定积分范围、选择合适的坐标系等步骤。
三重积分的求解可以利用柱面坐标、球面坐标等不同坐标系进行计算，根据具体问题的情况选择合适的坐标系可以简化计算过程。
5. 多元函数的积分性质多元函数的积分具有一些重要的性质，包括线性性质、可加性、区域可加性等。
其中线性性质指的是积分运算满足线性运算规律，可加性指的是积分在不同区域的和等于对整个区域的积分，区域可加性指的是积分在求和区域上的分割等价性。
这些性质在多元函数积分的计算中起着重要的作用，可以帮助简化计算过程和求得精确解。
6. 多元函数的变限积分多元函数的变限积分是对多元函数在变化区域上的积分运算，它可以表示为对函数在变限区域上的所有微小部分进行求和。
第九章____多元函数积分学总结
第九章 多元函数积分学（三重积分、第一类曲线积分与第一类曲面积分、点函数的性质及其应用）1、 三重积分的引入：三重积分的概念是从求三维立体的质量而引入的，问题的关键点是同一个立体的不同质点处的密度并不均匀，密度函数是一个三元函数。
（了解三重积分的来源有助于真正的掌握它的应用哦）问题的解决方法是经典的四部曲，分割，取近似，求和，取极限。
2、 三重积分的计算：（1） 作图,由于三重积分是体积的质量，自然我们要先将积质量的基准区域找出来，作图的功力要大家慢慢练习好好体会了，苏老师的复习小帮手上写得很清楚了。
（2） 计算三重积分主要有四种计算方法（平面坐标系下的投影法及平面截割法、柱面坐标系转换、球面坐标系转换），接下来我们一一归纳之……投影法方法概要该法的本质是将所求的立体看作是一个主体，通过将每一个小主体上的质量积分最终得到总的质量，立体区域V 是曲面()y x z z,1=（称为下曲面），()y x z z ,2=（称为上曲面）与以σxy边界为准线，母线平行于Oz 轴的柱面为侧面。
图形示例适用范围投影区域较简单，上、下曲面可表示为垂直坐标平面坐标轴对应的变量为坐标平面上对应的两个变量的函数，且化成累次积分后容易计算出积分的值。
注意点若xy σ是x 一型区域：()()b x a x y x ≤≤≤≤,21ϕϕ，则有()()()()()().,,,,,,2121⎰⎰⎰⎰⎰⎰=y x z y x z x x b aVdz z y x f dy dx dv z y x f ϕϕ若σxy 是y 一型区域：()()d x c y x y ≤≤≤≤,21ϕϕ，则有()()()()()().,,,,,,2121⎰⎰⎰⎰⎰⎰=y x z y x z y y dcVdz z y x f dx dy dv z y x f ϕϕ若σxy 是圆域或圆域的一部分时，也可化为σxy 上的二重积分以后，再用极坐标变换化为累次积分。
多元函数微积分汇总
多元函数微积分汇总一、多元函数的极限对于多元函数，其极限的定义与一元函数相似。
设有一个二元函数，如果对于任意的正数ε，总存在正数δ，使得当点(x,y)满足0＜√[(x-a)²+(y-b)²]＜δ 时，必有，f(x,y)-A，＜ε成立，那么常数A是这个二元函数f(x,y)在点(x,y)处的极限，记作lim_(x,y)→(a,b)(f(x,y))=A。
类似地，也可以定义其它维度函数的极限。
二、多元函数的连续性在多元函数中，连续性的定义也与一元函数相似。
若多元函数f(x,y)在点(x0,y0)处极限存在且等于f(x0,y0)，则称多元函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续。
对于多元函数来说，全体连续点的集合称为多元函数的连续域。
三、多元函数的可微性多元函数的可微性与一元函数的可微性有一些差异。
设有一个二元函数f(x,y)，如果对于任意给定的（Δx,Δy）,有f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)=AΔx+BΔy+o(√Δx²+Δy²)其中A和B为常数，那么称二元函数f(x,y)在点(x,y)处可微。
类似地，对于三元、四元或n元函数也可以定义可微性。
四、多元函数的偏导数对于多元函数，其偏导数是指函数在其中一变量上的导数，而把其他变量视为常数。
例如，对于二元函数f(x,y)，其对于变量x的偏导数记为∂f/∂x。
偏导数描述了函数在其中一方向上的变化率。
五、多元函数的全微分全微分是指多元函数的微分与偏导数之间的关系。
对于二元函数f(x,y)，其全微分df可表示为df=∂f/∂x*dx+∂f/∂y*dy。
全微分可用于描述函数的微小变化。
六、多元函数的方向导数方向导数是指多元函数在其中一方向上的变化率。
给定一个二元函数f(x,y)和一个单位向量u=(cosθ, sinθ)，函数f(x,y)在点(x0,y0)处沿着方向u的方向导数定义为D_uf(x0,y0)=∂f/∂x * cosθ + ∂f/∂y * sinθ七、多元函数的梯度多元函数的梯度是一个向量，其方向与函数在其中一点上变化最快的方向一致，大小为变化率的最大值。
大学数学微积分第九、十章 多元函数积分学二重积分知识点总结
第九、十章 多元函数积分学§9.1 二重积分一、在直角坐标系中化二重积分为累次积分以及交换积分顺序序问题 X型区域：设有界闭区域{}12(,),()()D x y a x b x y x φφ=≤≤≤≤其中12(),()x x ϕϕ在[,]a b 上连续，(,)f x y 在 D 上连续，则21()()(,)(,)(,)x bDDax f x y d f x y dxdy dx f x y dy φφσ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰Y 型区域：设有界闭区域{}12(,),()()D x y c y d y x y φφ=≤≤≤≤其中12(),()y y ϕϕ在[,]c d 上连续，(,)f x y 在D 上连续则21()()(,)(,)(,)y dDDcy f x y d f x y dxdy dy f x y dx ϕϕσ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰关于二重积分的计算主要根据X 型区域或Y 型区域I ，把二重积分化为累次积分从而进行计算，对于比较复杂的区域D 如果既不符合X 型区域中关于D 的要求，又不符合Y 型区域中关于D 的要求，那么就需要把D 分解成一些小区域，使得每一个小区域能够符合X 型区域或Y 型区域中关于区域的要求，利用二重积分性质，把大区域上二重积分等于这些小区域上二重积分之和，而每个小区域上的二重积分则可以化为累次积分进行计算。
在直角坐标系中两种不同顺序的累次积分的互相转化是一种很重要的手段，具体做法是先把给定的累次积分反过来化为二重积分，求出它的积分区域D ，然后根据D 再把二重积分化为另外一种顺序的累次积分。
二、在极坐标系中化二重积分为累次积分在极坐标系中一般只考虑一种顺序的累次积分，也即先固定θ对γ进行积分，然后再对θ进行积分，由于区域D 的不同类型，也有几种常用的模型。
模型I 设有界闭区域{}12(,),()()D γθαθβϕθγϕθ=≤≤≤≤其中12(),()ϕθϕθ在[,]αβ上连续，(,)(cos ,sin )f x y f γθγθ=在D 上连续。
多元函数积分小结-46页文档资料
则f(x ,y ,z )d x d y d zd x d zy 2 (x ,z )f(x ,y ,z )d y 。 y 1 (x ,z )
D
3. 若区域 在yz平面上的投D影 ， 且区域为 { x , y , z ) |( x 1 ( x , y ) x x 2 ( x , y ) , ( y , z ) D } ,
f(x,y,z)dxdydz
f ( r s i c n , o r ss i sn i ,r n c) o r 2 ss i d r n d d *
性质
设f(x,y,z)在有界闭 上 区连 域续。 若关于xy平面对称，则
f(x ,y,z)d xd yd z 2 1f(x ,y 0 ,z)d xd yd z若 若 ff((x x ,,y y , , zz )) ff((x x ,,y y ,,zz ))
(3)三重积分化为累次积分
f(x,y,z)dxdydzbdxy2(x)dyz2(x,y)f(x ,y,z)dz。
a y 1(x)
z1(x,y)
(2). 利用柱面坐标计算
xrco ,s
yrsin,
zz。
|J||r|r
f(x,y,z)dxdydz
f(rco ,rs si,n z)rdrddz
f(M)d f(x, y,z)dV
曲线积分 R2或R3上（有向）,曲线
f(M)d f(M)ds. f(M )df(M )d.x
曲面积分 R3上（有向）S曲, 面
f(M)d f(x, y,z)dS.
S
f(M )df(x,y,z)dx.dy
D
y型区域上化 的为 二 x， 先 重后 对 y积 的 对 分 两可 次定
第九章多元函数的积分学
第9章 多元函数的积分学第一节 重积分的概念与性质一、重积分的概念引例1 曲顶柱体的体积曲顶柱体是指底是xOy 面上的有界闭区域D ，它的侧面是以D 的边界为准线而母线平行于z 轴的柱面的一部分，它的顶面是曲面),(y x f z =，D y x ∈),(，且0),(≥y x f 为D 上的连续函数，如图所示，现在我们讨论如何计算上述曲顶柱体的体积V 。
（1）分割区域D ：任取一组曲线网将区域D 分割成n 个小闭区域：1D ∆，2D ∆，…，i D ∆，…，n D ∆，（2）近似代替：在i D ∆中任取一点),(i i ηξ，用i σ∆表示i D ∆的面积，则以i D ∆为底，以),(i i f ηξ为高的平顶柱体的体积为：i i i f σηξ∆),(，于是有i i i i f V σηξ∆≈∆),( ),,2,1(n i =（3）作和：∑∑==∆≈∆=ni i i i n i i f V V 11),(σηξ。
（4）取极限：记}{max 1i ni d ≤≤=λ，当λ趋于零时，∑=→∆=ni iiif V 1),(limσηξλ引例2 平面薄片的质量设有一平面薄片占有xOy 面上的有界闭区域D ，它在点),(y x 处的面密度为0),(≥y x ρ,且在D 上连续，现在要计算该薄片的质量M 。
首先作分割，将薄片任意分成n 个小块，在i D ∆上任取一点),(i i ηξ，用i σ∆表示i D ∆的面积，就可得到每个小块薄片质量i M ∆的近似值：i i i σηξρ∆),( ),,2,1(n i = 再通过求和即得平面薄片质量的近似值：∑∑==∆≈∆=ni iiin i iM M 11),(σηξρ，记}{max 1i ni d ≤≤=λ，则∑=→∆=ni iiiM 1),(limσηξρλ。
1.二重积分的定义定义 1 设),(y x f 是有界闭区域D 上的有界函数，将闭区域D 任意分割成n 个小闭区域1D ∆，2D ∆，…，i D ∆，…，n D ∆，并用i σ∆表示第i 个小闭区域i D ∆的面积。
多元函数微积分学总结
多元函数微积分学总结多元函数微积分学是微积分学的一个重要分支，研究多个变量之间的关系以及对这些变量的变化进行分析和计算。
本文将对多元函数微积分学的主要内容进行总结，并介绍常见的方法和技巧。
一、空间坐标系和极坐标系在多元函数微积分学中，我们通常使用空间坐标系和极坐标系来描述多维空间中的点和曲线。
空间坐标系是由三个相互垂直的坐标轴x、y、z组成，用来表示三维空间中的点。
我们可以通过向量运算、平面的方程等方式来研究空间中的曲线、曲面以及相关的计算方法。
极坐标系是在平面上建立的坐标系，由极径r和极角θ组成。
极坐标系可以用来描述平面上的点和曲线，通过坐标变换的方法可以与空间坐标系进行转换。
二、多元函数的极限和连续性多元函数的极限和连续性是多元函数微积分学的基础概念。
类似于一元函数的极限和连续性，多元函数的极限和连续性也可以通过定义、性质等方式进行研究和计算。
对于多元函数的极限，我们需要考虑函数在不同方向上的极限以及函数在某点处的极限。
通过使用极限的定义和极限运算法则，我们可以判断多元函数在某点处的极限是否存在，并进行具体的计算。
多元函数的连续性与一元函数的连续性类似，即函数在某点附近的函数值和极限值之间存在一个足够小的常数δ，使得当自变量的取值在这个常数范围内时，函数值的变化足够小。
通过使用连续函数的定义和连续性的性质，我们可以判断多元函数在某点处是否连续，并进行具体的计算。
三、多元函数的偏导数和全微分多元函数的偏导数和全微分是研究多元函数变化的重要工具，在微积分学中有着广泛的应用。
对于多元函数的偏导数，我们可以通过定义和偏导数的性质来进行计算。
偏导数可以表示函数在某个方向上的变化率，它在多个方向上的值决定了函数的变化趋势和比例。
通过计算偏导数和一阶偏导数的矩阵，我们可以得到多元函数的梯度，进而进行更复杂的分析和计算。
多元函数的全微分则广义地描述了函数在某一点附近的变化情况。
全微分可以通过偏导数和偏导数向量的运算来进行计算，并可以表示函数值的一个线性近似。
考研数学高数9多元函数积分学
第九讲：多元函数积分学1. 定义设()f x y ，是定义在有界闭区域D 上的有界函数，如果对任意分割D 为n 个小区域12n σσσ∆∆∆，，，，对小区域()12k k n σ∆=，，上任意取一点()k k ξη，都有()01lim nk k k d k f ξησ→=∆∑，存在，（其中k σ∆又表示为小区域k σ∆的面积，k d 为小区域k σ∆的直径，而1max k k nd d ≤≤=），则称这个极限值为()f x y ，在区域D 上的二重积分，记以()Df x y d σ⎰⎰，这时就称()f x y ，在D 上可积，如果()f x y ，在D 上是有限片上的连续函数，则()f x y ，在D 上是可积的。
2. 几何意义当()f x y ，为闭区域D 上的连续函数，且()0f x y ≥，，则二重积分()Df x y d σ⎰⎰，表示以曲面()z f x y =，为顶，侧面以D 的边界曲线为准线，母线平行于z 轴的曲顶柱体的体积。
当封闭曲面S 它在xy 平面上的投影区域为D ，上半曲面方程为()2z f x y =，，下半曲面方程为()1z f x y =，，则封闭曲面S 围成空间区域的体积为()()21Df x y f x y d σ-⎡⎤⎣⎦⎰⎰，， 3. 基本性质 （1）()()() DDkf x y d k f x y d k σσ=⎰⎰⎰⎰，，为常数（2）()()()()DDDf x yg x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰，，，， （3）()()()12DD D f x y d f x y d f x y d σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰，，，其中12D D D =。
除公共边界外，1D 与2D 不重叠。
（4）若()()()f x y g x y x y D ≤∈，，，，，则()()DDf x y dg x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰，，（5）若()()m f x y M x y D ≤≤∈，，，，则 ()DmS f x y d MS σ≤≤⎰⎰，其中S 为区域D 的面积 （6）()()DDf x y d f x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰，，（7）积分中值定理，设(),f x y 在有界闭区域D 上连续，S 为D 的面积，则存在(),D ξη∈，使得()()Df x y d f S σξη=⎰⎰，，我们也把()1Df x y d S σ⎰⎰，称为()f x y ，在D 上的积分平均值。
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第九章多元函数积分学（三重积分、第一类曲线积分与第一类曲面积分、点函数的性质及其应用）1、三重积分的引入：三重积分的概念是从求三维立体的质量而引入的，问题的关键点是同一个立体的不同质点处的密度并不均匀，密度函数是一个三元函数。
（了解三重积分的来源有助于真正的掌握它的应用哦）问题的解决方法是经典的四部曲，分割，取近似，求和，取极限。
2、三重积分的计算：（1）作图，由于三重积分是体积的质量，自然我们要先将积质量的基准区域找岀来，作图的功力要大家慢慢练习好好体会了，苏老师的复习小帮手上写得很清楚了。
（2）计算三重积分主要有四种计算方法（平面坐标系下的投影法及平面截割法、柱面坐标系转换、球球面坐标变换x -「sin COST , y -「sin :sin 片 z -『cos 10 _ r _ 2二.0 _-二，0 _ ：： _ ::.由直角坐标和球面坐标可知。
v 就是点M x, y, z 在Oxy 平面上投影点 M x, y 的极坐标r,v 中的，此2时！!! f x, y, z dv 二 H ： sin COSJ ,「sin 「sinv,「cos"sind ?.VV1、找出立体 V 在Oxy 平面上投影区域 匚xy 的极角v 的范围:-< "：：-。
即立体V 在两半平面ZOA 与ZOBt 间，即立体V 中的任意一点 M 二：：T 满足、:「：：：〔 <『「2、在：•，1之间过极点作射线v - v , 该射线与Oz 轴组成的半平面与立体起截得一截面区域。
若对 ［2，B ］之任一 Q 值。
对应的射线与 OZ 轴组成的3T半平面与立体 V 截面的圆形相同。
我们一般选取特殊的 Q 值如Q=_，此时得到的截面，我们观察更清楚。
2找出该区域：的范围•: I ,笃V I 即］•门.门2二（一般情况下「厂- 0 ,且笃二）为 常数）。
过极点O 在该截面上作射线与截面的边界交于两点。
极径小的交点落在下曲面P=气（日，® ），极径大的交点落在上曲面p= P 2（0,®）,即截面上任意一点（申，P ）满足耳（日，申芦P 兰p 2（e ,®）,七 m ：：：〕2匸］,如图6-28.从而在球面坐标立体区域 V 可表示为v - r : j :-二• 一 ：「_ ：\ 亠—二「「宀■< - z 于是若立体V 是由以原点为心的球面围成的立体或是由以原点为球心的球面与以原点为顶点的维面围成的主2 2 2体，（或被积函数中含有 x +y +z ）。
此时用球面坐标系下的计算。
球面坐标系下，总是先积P ,再积申，最后积B ，而且在大多数情况下，P 他申）=0,®』° ）= 0,铁（日）1惴A/ 13mI1/方 法 概 要■； ：2 sin 黑d 】Z_i —「d /V ,卜：sin ；•： sin 二，卜：cos !■占八、、2为常数。
不要忘记p 申因子哦。
第一类曲线积分是一直曲线的线密度函数，来求解曲线的质量，当线密度函数恒为常数1时，积分的结果就是我们在微积分一当中遇到过的解曲线弧长的问题。
关建是把曲线:表示成参数方程，并且找岀参数的区间'：■ J 1即可化成t的一元函数定积分。
‘X = x(t ) R ,______________(1) 若r'怙兰t 兰为则J「f(x,y,ds= J f(Xt)y(t))J x'2(t)+y'2(t)dt. y = y(t) I ab ■----------- z ------(2) 若「y 二x ,a 空x 乞b,则f x, y ds f x, x J :x dx.(3) 若「x -- y ,c ^ y 乞d,则.f x, y ds 二：f * y , y J 2y dy.(4) 若丨：r = r v ,「*：：v "::-,即x = r v COST, y 二r v sin v，:• "：：v ":: -. _则j『f (x,y恥=f f(申z,「(日丽日vVWTV用.(5)另外」也可以表示为r的函数，但是这种方法不常用以上各种转化的目标是将积分最终转化为一元函数的定积分，小心公示运用过程中的平方和开放4、第一类曲面积分的引入：第一类曲面积分是已知曲面的面密度函数，来求曲面的的质量11 f x, y, z dS 二Q f x, y, z x, y .J ■ z^z,d二.S:-xy若曲面S : y = y X, z , x,z ］三-xy，则i if x, y, z dS 'i f x, y x, z , z若曲面S : x = x y,z , y, z •二yz,则总结看来共有五种类型：设平面第一类曲线积分为 f x,y ds这里的各种转化实质上是将将积分转化为二重积分, 标平面上的积分更好积一些两个第一类积分都是的被积函数往往都是可以化简的5. 点函数积分的基本性质设f P ,g P 在有界闭区域 门上都可积，有 性质 i f P _ g P d — f P _ g PQQ Q性质2 kf Pd ;；】-k f P d 1（k 为常数）。
QQ上面两条性质称为线性运算法则。
性质3 . f P d 」 f P d 「. f P d 1，其中i I 1 _• i -二11，且i I 1与' 2无公共内QQQ点。
性质4若f P _0,P 门，则f p 肿_0.若 f p _0, f P = 0，且 f P 连续，P ■.1，则 f p 0.Q性质 5 若 f P 乞 g P ，P ■ J ，则 f P d"乞 g P d 1.Q Q若 f P mg P, f P = g P ，且 f P,g P 连续，P ■.1，则 f P :: g P d 1. Q Q性质 6 f P d* f P d 1.性质7若f p 在积分区域门上的最大值为M 最小值为m 则_ f P d" - M 1.Q性质8 （中值定理） 若f P 在有界闭区域I 】上连续，则至少有一点P 1，使得f P d' 1f P d" = f P ” 11 f P称为函数f P 在11上的平均值。
（对于中值定理的理解Q°就是求平均值的过程，在连续函数范围内必有一个函数的函数值可取到平均值）6. 对称区域上点函数的积分（1）设口R 3， i 1或曲线或曲面或立体。
f x,y,zdS 二 f x y,z ,y,z所以在选择变量的时候要注意好究竟在哪一个坐d .(i )若门-门1 T —，且I 关于Oxy 平面对称，则当f x, y,「z 二-f x, y,z ,即f 关于z 是奇函数, 当f x,y,-z 二fx,y,z ,即f 关于z 是偶函数.(ii )若门-门3 " S ，且'■ 关于Oyz 平面对称，则Q 当f (- x, y,z )= -f (x, y, z)即f 关于x 是奇函数,jf{pd ° =』2 j f (Pd O ,当f (-x,y,z)= f(x,y,z)即f 关于x 是偶函数.(iii )若门-门5「匕，且门5,门6关于Ozx 平面对称，则0,当f x,-y,z = - f x,y,z ,即f 关于y 是奇函数，fPd" = 2 f Pdj 当f x,-y,z =f x,y,z ,即f 关于y 是偶函数.QI Q3简单地说，若：：二R 关于坐标平面对称，当 f P 关于垂直该平面坐标轴的坐标是奇函数时为 0；是偶函数时，为平面一侧区域积分的 2倍。
2 .若口R 关于坐标轴对称，当fP 关于垂直该轴的坐标是奇函数则为 0；是偶函数时，则为该轴一侧区域积分的2倍。
同理可得，若：：二R 关于z 轴对称，当f ：i.「x,「y, z = - f x, y, z 时，积分为o ；当 f ]-x, -y, z = f x, y, z时，积分为z 轴一侧区域上 积分的2倍。
若1】关于原点对称，当 f ]-x,-y,-z = - f x, y, z 时，积分为 o ；当 f [.-x,-y,-z= f x, y, z 时，积分为原点一侧区域上积分的2倍6.应用(求重心(质心、形心)，求转动惯量，求引力)重心公式设密度函数为 T 」p =」x, y, z 连续，求空间形体 「一 R 3的重心坐标(门是曲线、曲面 或空间立体)，设I 】的重心坐标为 x, y, z .n送卩(P i %0iX iJ4(P kd 0J4(p )xd ^x Tim 迁,“ £ H P 验 F (P 四 Mi m■亠Qf P 2 f P d' 1•i P yd ：；i.' iP zd 「」同理 y =. _____________ z =________ （X, y, z ）是0的重心。
M ' M ，xd 「 yd 「 zd 「 特别］二常数时，x 二 ——,y 二 ——,z 二 ——.其中M 是门的质量，「是1的大小。
QQQ当 p =常数时，0关于Oxy 平面对称知，z 关于z 是奇函数，有］z g =0，则2 = 0.同理，当P =Q常数时， Q 关于Ozx 平面对称，则y = 0.当p =常数时，0关于Ozy 平面对称，则x = 0.同理，当二二R 2 （门是曲线或平面区域），设密度函数 J 」P =」x, y 连续，设重心坐标JP xd ［仝 P yd' 1为（x,y ,有 x= ------------ y= ----------------- 当戸=常数时,MM：?=常数，11关于x 轴对称，有y = 0,〔 |关于y 轴对称，有x = 0.转动惯量（转动惯量的定义是质量乘以到转轴距离的平方，具有可加性）若:：二R 3 （■■是空间曲线或曲面或立体） 当 L 是 z 轴时，J z 二 x 2・y 2」Pdi ， x 2 y^1 x,y,z d 1.Q Q 当 L 是 x 轴时，J x 二 y 2・z 2±.Pd ， y 2z ^?：x, y, z d \Q Q当 L 是 y 轴时，J y 二.z 2 • x 2」P d" = . z 2 • x 2 J x, y,z d 1.若"R 2（ i I 是平面曲线或平面区域），当 L 是 x 轴时，J x = J y 24（P m = J y 24（x,y d o .Q Q当 L 是 y 轴时，J y = J x 24（P 血=J x 2卩（x,y d 。
. 0Q引力公式（引力与转动惯量的不同之处在于引力是矢量，要三个坐标轴上分别计算）Fx =km fU （P l ：_xod 纹, QX o 3r xd 」yd 」F y 二km y—y0d“ Q.km " P Z「Z o d- Q F z。