第6章多元函数微分学4-10(方向导数 梯度)
梯度及其与方向导数的关系
u y
2
2
2
1 r
3
3y r
2
5
,
2
u z
2
2
1 r
3
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例3.
处矢径 r 的模 , 试证
x x y z
2 2 2
证:
f (r ) y
grad f (r )
f (r )
f ( r )
f (r ) x
f ( r )
x r
y r
,
f (r ) y
f (r ) z
j
f ( r )
2 2
(x y )
2 2 2 2
2
y x
2 2
2 2
(x y )
2
z y
2
x y y 2y (x y )
2 2 2
x y
2 2
2 2
(x y )
2
2 2
z x
2
z
2
y
2
y x
2 2
(x y )
2
x y
2 2
2 2
(x y )
2
1 5
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u (1,1) u ( 1,1) , el l
(6 3)
3 5
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(1) 方向导数取最大值的方向即梯度方向，其单位向 量为
1 2 (1,1)
，方向导数的最大值为
1 2
u ( 1,1) 3 2.
多元微分学的几何应用方向导数和梯度
f x ( x0 , y0 ) tan a
第十章 多元函数微分法及其应用
第六节 多元函数微分学的几何应用
一、空间曲线的切线与法平面
空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限位置. 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面.
M
T
7.6.1 空间曲线的切线与法平面
1 曲线方程为参数式
( x 1) 2( y 1) 3( z 1) 0, x 2 y 3z 6.
即
2 当曲面方程为一般式 空间曲线方程为
y ( x) , z ( x)
在M ( x0 , y0 , z0 )处, 切向量 T (1, ( x0 ), ( x0 ))
x
o
M
y
割线 MM 的方程为
z
M
x x 0 y y0 z z 0 x y z
M
x
o
y
考察割线趋近于极限位置——切线的过程
上式分母同除以 t ,
x x0 y y0 z z0 , x y z t t t
当M M ,即t 0时 ,
同一平面上， 这个平面就是 曲面在点 M 的切平面. 这些与 n垂直
的切线构成了曲面
n
切平面
M
在点 M 0处的切平面。
法线
曲面 F ( x , y , z ) 0 在M(x0, y0, z0)处 切平面的法向量： n ( Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )) 切平面方程：
z=f (x,y)在(x0, y0)的全微分，表示
第6章 多元函数微分学4-8导学解答(6.1.6 方向导数6.1.7 梯度)
6.1 多元函数微分的基本概念6.1.6 方向导数 6.1.7 梯度一、相关问题1.一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？ (问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行．)2.假设你在攀登一座形状满足方程2210000.010.02z x y =--的山峰，且正处在坐标为（60，100，764）的位置。
（1）为了最快到达山顶，此时你应选择哪个方向进行？（2）如果沿上所确定的方向进行，初始的上升角度是多少？二、相关知识1.函数的方向导数有什么几何意义？2.函数的方向导数与函数的连续、可导、可微之间有什么关系？3.函数的梯度有何几何意义？4.函数的梯度与方向导数有什么区别和联系？三、练习题1.求函数xyz u =在点)2,1,5(处沿从点)2,1,5(到点)14,4,9(的方向的方向导数。
解 {}{},12,3,4214,14,59=---=→l.131691234||222==++=→l 1312cos ,133cos ,134cos ===γβα 1312133134cos cos cos xy xz yz z u y u x u l u +⋅+⋅=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβα 所以 ()1398513121013321342,1,5=⨯+⨯+⨯=∂∂l u . 2.已知函数(,)f x y 在000(,)P x y 点的偏导数存在，且00(,)x f x y m '=，求(,)f x y 在0P点沿x 轴负方向的方向导数。
解 过0P 点沿x 轴负方向作射线L ，在0P 点的邻域内射线L 上取一点00(,)P x x y +∆，则000000(,)(,)l i m P P f x x y f x y PP →+∆-00000(,)(,)l i m x f x x y f x y x∆→+∆-=∆ 0000000(,)(,)lim (,)x x f x x y f x y f x y m x∆→+∆-'==-=--∆ 所以(,)f x y 在0P 点沿x 轴负方向的方向导数为m -．3.问函数2u xy z =在点(1,1,2)P -处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值．解 {}{}22,,,2,x y z gradu u u u y z xyz xy '''=={}2,4,1M gradu=-是方向导数在点P 取最大值的方向， {}2,4,1M gradu =-=4.问函数z xy u 2=在点)2,1,1(-P 处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值。
(整理)多元函数微分学
模块十二 多元函数微分学※知识框架一、二重极限及连续 二、偏导数概念 三、可微与全微分 四、相互关系 五、方向导数与梯度※课程脚本：★引入：本章的标题是多元函数微分学，在前面我们介绍过一元函数微分，这里的‘多元’就是自变量为多个，而为了方便，我们一般研究的是二元函数，那么我们首先看看二元函数的概念，一． 二重极限及连续1、 二重极限 ●讲义内容【定义1】：设D 是平面上的一个点集，如果对于任意一点(),x y D ∈，变量z 按照一定的运算法则总有确定的值与之对应，则称z 关于变量,x y 的二元函数，记作(),z f x y =. ★讲解且过渡：给出二元函数定义后，下面不妨我们可以回忆下一元函数微分中的知识点，一块回忆下：一元函数()y f x =中自变量就一个“x ”，而二元函数显然就是自变量为两个，我们一般用,x y 来表示，当然也可以定义三元或者多元的函数，不过对于我们来说研究的对象大多是二元，其定义域也有一元函数时的区间变成了二元函数的平面区域，举个简单的二元函数例子：2z x y =，。
另外在一元函数中我们研究了极限、连续、可导。
可微等，其实这些可以延拓到二元函数中的，下面首先看看二元函数的极限问题，为了显示和一元函数的区别，我们称二元函数的极限为二重极限 ●讲义内容【定义2】：设(),z f x y =是D 上的一个函数，()00,x y D ∈，假设存在实数A ，使得0ε∀>，总0δ∃>，当0δ<时，有()0,f x y A ε<-<.则称当(),x y 趋近于()00,x y 时，函数(),fx y 的二重极限为A .记作()()00(,),lim,x y x y f x y A →=或()00lim ,x x y y f x y A →→=.★讲解且过渡：二重极限是一元函数极限的推广，它的定义要与一元函数的极限对比起来理解.例如，与一元函数一样，(),x y 在趋近于()00,x y 时，也不会等于()00,x y ，只会无限地接近；一元函数极限中x 趋近于0x 仅有两种方式——左或右，所以只要求左右极限存在且相等就能说明极限存在了；而二维平面上(),x y 趋近于()00,x y 的方式可以有无穷多种，另外在一元函数中极限存在的话是左右极限存在且相等，那么在二元函数中关于二重极限存在的内在要求是(),x y 沿任何路径趋近于()00,x y 的极限值都应该存在并且相等，换句话说如果能找到函数按照两种不同的路径逼近某一点的极限不一样，就可以断定函数在该点的极限不存在，其实这也是我们在具体做题的过程中判断极限不存在的思路，那么其他求极限的方法有哪些呢？其实这个时候也可以按照一元函数求极限的方法进行分析，大概有一下几种：1、四则运算。
微积分-多元函数部分(多元复合函数的求导法则、方向导数与梯度)
方向导数的最大值．梯度的模为
| gradf ( x, y) |
f x
2
f y
2
.
P
当f 不为零时，
都可定出一个向量f
i
f
j ，这向量称为函数
x y
z f ( x, y)在点P( x, y)的梯度，记为
gradf
( x,
y)
f x
i
f y
j.
设e
cosi
sin
j 是方向
l 上的单位向量，
由方向导数公式知
f f cos f sin {f , f }{cos ,sin }
x y
故有方向导数
cos sin
f lim f ( x x, y y) f ( x, y)
l 0
f cos f sin .
x
y
20
例 1 求函数 f ( x, y) x2 xy y2在点（1，1）
沿与 x轴方向夹角为 的方向射线l 的方向导数.并
例1. 设 z eu sin v , u x y , v x y
求 z . x
z
解： z z u z v x u x v x
eu sin v y eu cos v 1
uv x yx y
ex y[ y sin( x y) cos(x y)]
但z f (0 x,0) f (0,0) lim (x)2 lim x 不存在
x
x
x0 x
x0 x
类似:
方向导数与梯度的关系与计算公式
方向导数与梯度的关系与计算公式方向导数（Directional Derivative）是多元函数在某个给定点上沿指定方向的变化率。
它在物理学、工程学和优化问题中具有重要的应用。
在求解方向导数时，我们常常会遇到梯度（Gradient）的概念。
本文将介绍方向导数与梯度之间的关系，并探讨它们的计算公式。
一、方向导数的定义在多元函数中，给定一个点P(x₀, y₀, z₀)及一个单位向量u = (a, b, c)，其中a² + b² + c² = 1，方向导数Duf(x₀, y₀, z₀)表示函数f(x, y, z)在P点上沿u方向的变化率。
方向导数用符号∇f(x₀, y₀, z₀)·u表示。
二、梯度的定义梯度是一个向量，它在多元函数的每个点上都有定义。
对于二元函数f(x, y)，梯度∇f(x, y)表示函数f在每个点上的变化率最大的方向。
梯度可以用向量形式表示为∇f(x, y) = (fx, fy)，其中fx和fy分别表示f对x和y的偏导数。
对于三元函数f(x, y, z)，梯度∇f(x, y, z)表示函数f在每个点上的变化率最大的方向。
梯度可以用向量形式表示为∇f(x, y, z) = (fx, fy, fz)，其中fx、fy和fz分别表示f对x、y和z的偏导数。
三、方向导数与梯度的关系在函数f(x, y, z)的某一点P(x₀, y₀, z₀)处，方向导数和梯度的关系可以表示为：Duf(x₀, y₀, z₀) = ∇f(x₀, y₀, z₀)·u即，方向导数等于梯度与单位向量u的内积。
四、方向导数的计算公式在笛卡尔坐标系中，给定一个点P(x₀, y₀, z₀)及一个非零向量u = (a, b, c)，其中a² + b² + c² = 1，方向导数可以通过以下公式计算：Duf(x₀, y₀, z₀) = fx(x₀, y₀, z₀)a + fy(x₀, y₀, z₀)b + fz(x₀, y₀, z₀)c其中fx、fy和fz分别表示f对x、y和z的偏导数。
2.1方向导数与梯度ppt课件
证明:i). fx(0,0,0)
条件 , 但不必要 .
limf( x,0,0)f(0,0,0)
x 0
x
lim x , x0 x
fx(0 ,0 ,0 )不 存 在 ;同 理 , fy ( 0 ,0 ,0 ) ,fz ( 0 ,0 ,0 ) 不 存 在 .
:
i i ) .记 l 的 方 向 数 为 l 0 l x , l y , l z, 则
l
对 二 元 函 数 f(x,y),
•P
y
定义 定理1
fl(P0)li m 0 f(P)f(P0)
••
P 0 x
o
fx (P 0 )c o s fy (P 0 )c o s
x
其 中 和 是 l的 方 向 角 . :
例 1. 设 f(x,y,z)xy2z3, 求 f在 点 P0(1,1,1)处 沿 l方 向 的 方 向 导 数 . 其 中 i).l为 方 向 (2, 2,1);
i i i ) . g r a d u v u g r a d v v g r a d u ,
iv ). g ra du vug ra d v u 2 vg ra d u,
v ) . g r a d fu f( u ) g r a d u .
:
证明:iv). u v xuvxu 2uxv, u v yuvyu 2uyv
l
0
0
存在 , 则称此极限值为函数 f 在点P0沿l 方向的方向导数。
P P0
o
y
记为 f l
或 fl (P0 )、 fl (x0, y0, z0 ).
P0
:
x
在方向导数定义式 f lim f (P) f (P0) 中，
关于多元函数的梯度与方向导数
关于多元函数的梯度与方向导数多元函数的梯度与方向导数是微积分中非常重要的概念。
在这篇文章中，我们将详细介绍这两个概念的含义和应用。
多元函数的梯度是指一个函数在空间中的变化方向。
在二元函数中，梯度是一个二维向量，包含两个分量，即在x方向上的变化率和在y方向上的变化率。
在三元函数中，梯度是一个三维向量，包含三个分量，即在x、y、z三个方向上的变化率。
一般地，对于一个n元函数，其梯度是一个n维向量。
了解梯度对于研究函数的极值和最优化问题非常重要。
通过求出梯度，我们可以判断函数在某一点是否有极值，并可以求出函数最快增长的方向。
在最优化问题中，我们通常希望有一个函数值最小（或最大）的解。
通过求出梯度，我们可以找到函数值增长最快的方向，并在该方向上进行逼近搜索，从而找到函数的最小值（或最大值）。
梯度的计算非常简单，只需要对函数的各个分量分别求偏导数，再组成一个向量即可。
例如，对于一个二元函数f(x, y)，其梯度为(gx, gy)，其中gx表示f在x方向的变化率，gy表示f在y方向的变化率，计算公式如下：（1）gx = ∂f/∂x（2）gy = ∂f/∂y对于一个三元函数f(x, y, z)，其梯度为(gx, gy, gz)，计算公式如下：（1）gx = ∂f/∂x（2）gy = ∂f/∂y（3）gz = ∂f/∂z方向导数是指一个函数在某一点沿着某一个方向的变化率。
求解方向导数时，我们必须指定一个方向，方向可以用一个向量表示。
例如，对于一个二元函数f(x, y)，我们可以指定一个方向向量u = (a, b)，表示在x轴上移动a单位，在y轴上移动b单位。
函数在该方向上的变化率就是方向导数，计算公式如下：Duf(x, y) = ∂f/∂x * a + ∂f/∂y * b对于一个三元函数f(x, y, z)，我们可以指定一个方向向量u = (a, b, c)，表示在x轴上移动a单位，在y轴上移动b单位，在z轴上移动c单位。
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l X = (x0+x, y0+y) y
f (X ) f (X0) || X 0 X ||
o
x X0=(x0, y0)
x
2.若 z = f (X) = f (x, y)在 X0 = (x0, y0)处偏导存在. 则在 X0 处沿 x 轴正向的方向导数, (此时, y 0, x 0),
由于l的单位方向向量为e = (cos, cos ), 从而 l 的参数式方程为 x = x0 + tcos y = y0 + tcos
t >0
或 (x, y) = (x0, y0) + t (cos , cos ), 即 X = X0+ te
且 || X 0 X || || X X 0 || || te || t
表示在 (x0, y0)处沿 y 轴负方向的变化率.
但在许多实际问题中, 常需知道 f (X)在 X0 沿任何方向的变化率. 比如, 设 f (X)表示某物 体内部点 X 处的温度. 那么, 这个物体的热传导 就依赖于温度沿各方向下降的速度. 因此有必要引进 f (X)在 X0 沿一给定方向 的方向导数.
f ( X 0 ) f ( X 0 ) cos cos x y
特别:
f f • 当 l 与 x 轴同向 0 , 时, 有 2 l x f f • 当 l 与 x 轴反向 , 时, 有 l x 2
4. 推广 公式可推广到三元函数中去.
z = f ( x, y)
x0
o
X0
T2
y
x
即 f 'y (x0, y0) 表示 x = x0 与 z = f (x, y)
的交线在 M0处的切线对 y 的斜率.
如图
z
M0
o
N
M l
y
X = (x0+x, y0+y)
X0=(x0, y0)
x
2. 方向导数定义 定义 设 z = f (X) = f (x, y)在点 X0 = (x0, y0)的某邻域U(x0)内有定义.
6.1.7 梯 度
梯度的几何意义
梯度的基本运算公式 习例6-7
小 结
6.1.6 方向导数 6.1.7 梯度
一、方向导数
1. 方向导数定义引入 函数的导数就是函数的变化率. f ( x0 x) f ( x0 ) y lim 比如, y = f (x), f ( x0 ) lim x 0 x 0 x x 如图所示 y 其中, y是函数改变量,
z
M0
以 X0 为端点引射线 l , 其单位方 向向量为 e = (cos, cos), 设X = (x0+x, y0+y)是 l 上另一点.
x
o
N
M l
y
X0=(x0, y0)
X = (x0+x, y0+y)
z
若当 X 沿 l 趋于 X0 时,
对应的函数改变量与线
0 0
段X X的长 || X X ||的比值
高等数学A
第6章多元函数微分学
6.1 多元函数微分的基本概念
6.1.6 方向导数 6.1.7 梯度
中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
6.1.6 方向导数 6.1.7 梯度
方向导数定义引入
6.1.6 方向导数 方 向 导 数 梯 度
方向导数定义 方向导数存在定理 方向导数的计算习例
定义 方向导数与梯度的关系
z z x (1,2) cos z y (1,2) cos 1 2 3. l (1, 2)
例2.
解
x2 y 2 a b x2 y 2 求z 1 ( 2 2 )在点( , )处沿曲线 2 2 1 a b a b 2 2
在这点的内法线方向的方向导数.
y
|x|0
lim
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) x
x0
f x( x0 , y0 )
同样可得沿 y 轴正向的方向导数为 f 'y (x0, y0), 而沿 y 轴负方向的方向导数为 – f 'y (x0, y0).
3.定义中的极限表示式可用另一形式给出.
把偏导数概念略加推广即可得到方向导数的概念. z 1 : z = f ( x, y0 )
M0
1
z = f ( x, y)
o
X0
y0
y
即 f ‘x (x0, y0) 表示 y = y0 与 z = f (x, y)的交线在 M0处的切 线对 x 的斜率.
x
T1
z
2
M0
2 : z = f ( x0 , y )
x0
f x( x0 , y0 )
在 X0 处沿 x 轴负方向的方向导数, (此时, y 0, x 0),
f ( x0 , y0 ) l
lim
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) x
2
0
lim
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) | x |
x>0 xห้องสมุดไป่ตู้+x
o
x0+x x0
x
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 ) lim x 0 x
表示在 x0处沿 x 轴负方向的变化率.
又比如, z = f (x, y), 偏导数
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) f x( x0 , y0 ) lim x 0 x
f (X0 + te ) – f (X0) = Jf (X0) · ( te ) + 0(|| te ||) = t [(Jf (X0) · e] + 0 ( t )
除以 t > 0, 并令 t 0+, 有
f ( X 0 ) f ( X 0 te) f ( X 0 ) lim t 0 e t 0(t ) lim J f ( X 0 ) e = Jf (X0) · e t 0 t
f (X ) f (X0) || X 0 X ||
M0
o x
N
M
l
y
的极限存在.
X0=(x0, y0) X = (x0+x, y0+y)
则称它为 z = f (X) = f (x, y)在点 X0 = (x0, y0)
沿 l 的方向导数.
f ( X 0 ) f ( x0 , y0 ) 记作 , . l l f ( X 0 ) f ( x0 , y0 ) 或 , . e e f ( x0 , y0 ) 即 l f (X ) f (X0) lim X X0 || X 0 X ||
|| X0 X || = || X || = t
o
x
由方向导数定义
f ( X 0 ) e
lim
沿l
f (X ) f (X0) || X 0 X ||
X X0
f ( X 0 te) f ( X 0 ) lim t 0 t
看 f (X0 + te) – f (X0).
f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) lim y 0 y
分别表示函数在点 (x0, y0)沿 x 轴方向,沿 y 轴方向 的变化率.
如图 z
z f ( x0 , y )
y z f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
= Jf (X0) · X + 0(|| X ||)
即 z = f (X0 + X ) – f (X0) = Jf (X0) · X + 0(|| X ||)
上式对任何x, y 都成立.
特别, 当 X = X0 + X 在射线 l 上时, 当然成立.
即, 当 X0 + X = X0 + te 时, 有
= Jf (X0) · e. (最后两式为数量积)
证: 如图
在射线 l 上取点 X = (x0+x, y0+y) = X0 + X 其中, X =(x, y)
y
X0 = (x0+x, y0+y) l x X0 = (x0, y0) e y
因向量X = X – X0 = X0 X // e , 故 X = te , (t > 0), X = X0 +te ,
即, 若 u = f (x, y, z) 在点 X0 = (x0, y0 , z0) 可微,
则 u 在该点处沿任何方向e = (cos, cos , cos ) 的方向导数存在
且
f ( X 0 ) e
= Jf (X0) · e
f ( X 0 ) f ( X 0 ) f ( X 0 ) cos cos cos x y z
5.方向导数的计算习例
2 2 求 z x y 在点(1,2)处沿从(1,2)到(2,2 3) 例1.
的方向的方向导数.
解
z x (1, 2) 2 x | x 1 2, z y (1, 2) 2 y | y 2 4
方向l {1, 3}
1 1 3 3 cos , cos 1 3 2 1 3 2
y 就是平均改变量. 即 x 平均变化率.
o
y = f ( x)
y
x<0 x0+x x0