方向导数与梯度
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8-7-1方向导数与梯度
（ 其中 ( x )2 ( y )2 ( z )2 ）
设方向 L 的方向角为 , ,
x cos ,
y cos ,
z cos ,
同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点沿任 意方向 L 的方向导数都存在，且有
f f f f cos cos cos . l x y z
例如, 函数 z sin xy 图形及其等高线图形．
梯度与等高线的关系：
函数 z f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 的梯度的方向与点 P 的等高线 f ( x , y ) c 在这点的法线的一个方 向相同，且从数值较低 的等高线指向数值较高 的等高线，而梯度的模 等于函数在 这个法线方向的方向导 数．
设 e cos i sin j 是方向 l 上的单位向量，
由方向导数公式知
f f f f f cos sin { , } {cos , sin } l x y x y gradf ( x, y ) e | gradf ( x, y ) | cos ,
两边同除以 , 得到
f ( x x , y y ) f ( x , y )
故有方向导数
f x f y o( ) x y
cos
sin
f f f ( x x , y y ) f ( x , y ) f lim cos sin . l 0 x y
设函数 z f ( x , y )在平面区域 D 内具有一阶连续偏导 f f 数， 则对于每一点 P ( x, y ) D ， 都可定出一个向量 i j， x y 这向量称为函数 z f ( x , y )在点 P ( x, y ) 的梯度，记为 f f j. gradf ( x , y ) i x y 定义
高等数学第九章第七节 方向导数与梯度
| PP | (x)( x, y), 考虑 z ,
当 P沿着 l 趋于P时，
lim f ( x x, y y) f ( x, y) 是否存在？
0
1、定义
函数的增量 f (x x, y y) f (x, y) 与
2、设 f ( x, y, z) x 2 2 y 2 3z 2 xy 3 x 2 y 6z ,
则gradf (0,0,0) __________________.
3、已 知 场 u( x,
y, z)
x2 a2
y2 b2
z2 c2
,则u沿
场的梯度
方向的方向导数是__________________.
4、称向量场 a 为有势场,是指向量a 与某个函数
u( x, y, z)的梯度有关系__________________.
练习题答案
一、1、1 2 3；
2、3 i 2 j 6 k ；
3、
(
2 a
x
2
)
2
(
2 b
y
2
)
2
(
2z c2
)
2
gradu ；
4、a gradu.
四、小结
1、方向导数的概念
（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）
2、梯度的概念
（注意梯度是一个向量）
3、方向导数与梯度的关系
梯度的方向就是函数 f ( x, y) 在这点增长 最快的方向.
练习题
一、填空题:
1、函数z x 2 y 2 在点(1,2) 处沿从点(1,2) 到点
(2,2 3)的方向的方向导数为_____________.
(1,1)
(1,1)
cos sin 2 sin( ), 4
第六节 方向导数与梯度
f x ( x, y) , f y ( x, y) 是 沿 x 轴正向 及 y 轴正向的变化率 .
讨论函数 z f ( x , y ) 在一点 P0 沿任意方
向的变化率问题就是方向导数问题．
设函数 z f ( x , y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 的某一邻域U ( P ) 内有定义． 设 e cos i cos j 为一单位
1 3
f l
( 0,0 )
f ( ta , tb) f (0,0) ( t 2ab) lim lim . t 0 t 0 t t
此例同时也说明函数在一点连续也未必能推 出函数在该点处沿各方向的方向导数都存在.
(2) 函数在一点处沿各方向的方向导数都存在，
也未必在该点处连续.
z f ( x t cos , y t cos ) f ( x , y ), 考虑
当 P 沿着 l 趋于P0 时，
z
t
,
f ( x t cos , y t cos ) f ( x , y ) 是否存在？ lim t 0 t
1、方向导数的定义
定义 设函数 z f ( x , y ) 在点P ( x0 , y0 )的某个邻 域内有定义 , l 是一非零向量 , el (cos , cos ) 是与 l 同方向的单位向量 , 如果极限 f ( x0 t cos , y0 t cos ) f ( x0 , y0 ) lim t 0 t 存在 , 则称这极限为函数 z f ( x , y ) 在点 P 沿 f 方向 l 的方向导数 , 记为 ,即 l ( x0，y0 )
有何意义?
二阶方向导数几何意义：
2 f 的近旁 的 0 ，则说明在 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) l l 2 切线斜率沿 el 方向单调增加，曲线为下凸；
9.7 方向导数与梯度(新)
， 不 存 在.
同理，
( 0 ,0 )
不 存 在 ， 故 两 个 偏 导 数 均 不 存 在.
沿 任 意 方 向 l { x , y}的 方 向 导 数 z l
( 0 ,0 )
lim
f ( x , y ) f (0 , 0 )
(1) 0， 即 ， 向 量 e l 与 梯 度 g r a d f ( x 0 , y 0 ) 方 向 相 同 时 ， z f ( x, y ) 在 此 方 向 的 方 向 导 数 达 到 最 大 值 ， 且 最 大 值 为 | grad f ( x0 , y0 ) | .
12
( 2 ) ， 即 ， 向 量 el 与 梯 度 g r a d f ( x 0 , y 0 ) 方 向 相 反 时 ， z f ( x, y) 在 此 方 向 的 方 向 导 数 达 到 最 小 值 ， 且 最 小 值 为 | g ra d f ( x0 , y0 ) | .
2 2 2
,
( x) ( y ) ( z ) ，
设 方 向 l 的 方 向 角 为 , , ， x co s ， y co s ， z co s .
同 理 ： 当 f ( x, y, z ) 在 此 点 可 微 时 ， 则 在 该 点 沿 任 意 方 向 l的 方 向 导 数 都 存 在 ， 且 f l f x co s f y co s f z co s .
3 4
或
7 4
.
15
梯度的概念可以推广到三元函数
三 元 函 数 u f ( x, y, z ) 在 空 间 区 域 G 内 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ， 则 对 于 每 一 点 P ( x , y , z ) G， 都 可 定 义 一 个 向 量 (梯 度 )
方向导数和梯度
f y tan f x
要点： 1）点 P 在 D 上的任一向量 2）如果存在一 L 方向的射线，则可以引入方向导数 与梯度的关系 2） 三元函数 u f ( x , y , z )
gradf ( x , y , z )
f f f i j k y z x
3） 对于三元函数 u
f ( x, y, z )
f f ( x x, y y ) f ( x, y ) lim l 0
f f cos cos cos l x y z
2、 梯度 1） 二元函数 z f ( x , y ) 在平面区域 D 内具有一阶连续偏导数，则对于每一点 P∈D,都可以定出一个向量：
= gradf ( x , y ) e = gradf ( x , y ) cos[ gradf ( x , y ), e ]
f 上式表示方向导数 l
影。 由梯度的定义可知：
即为梯度在射线 L 上的投
gradf ( x , y )
(
f 2 f 2 ) ( ) x x
f 0 则 x 轴到梯度的转角正切为： 如果 x
距离（ (x) (y) ）的比值，当 P 沿着 L 趋向 P 点时，
2 2
这个比值的极限存在，则这个极限为函数 z f ( x , y ) 在点 P 延 L 方向的方向导数，记作：
f l
f f ( x x, y y ) f ( x, y ) lim 且： l 0
方向导数和梯度
1、 方向导数
1） 定义：
现在讨论 z
f ( x , y ) 所确定的空间曲面在一点 P 沿
L
某一方向的变化率问题。
P
要点： 1）点 P 在 D 上的任一向量 2）如果存在一 L 方向的射线，则可以引入方向导数 与梯度的关系 2） 三元函数 u f ( x , y , z )
gradf ( x , y , z )
f f f i j k y z x
3） 对于三元函数 u
f ( x, y, z )
f f ( x x, y y ) f ( x, y ) lim l 0
f f cos cos cos l x y z
2、 梯度 1） 二元函数 z f ( x , y ) 在平面区域 D 内具有一阶连续偏导数，则对于每一点 P∈D,都可以定出一个向量：
= gradf ( x , y ) e = gradf ( x , y ) cos[ gradf ( x , y ), e ]
f 上式表示方向导数 l
影。 由梯度的定义可知：
即为梯度在射线 L 上的投
gradf ( x , y )
(
f 2 f 2 ) ( ) x x
f 0 则 x 轴到梯度的转角正切为： 如果 x
距离（ (x) (y) ）的比值，当 P 沿着 L 趋向 P 点时，
2 2
这个比值的极限存在，则这个极限为函数 z f ( x , y ) 在点 P 延 L 方向的方向导数，记作：
f l
f f ( x x, y y ) f ( x, y ) lim 且： l 0
方向导数和梯度
1、 方向导数
1） 定义：
现在讨论 z
f ( x , y ) 所确定的空间曲面在一点 P 沿
L
某一方向的变化率问题。
P
8-7 方向导数与梯度
fx (1, 1, 1) =1 , fy(1, 1, 1)=2 , fz(1, 1, 1)=3
f ∴ l
P
2 1 1 2 = 1 + 2 ( ) + 3 = 3 3 3 3
f f f f cos α + cos β + cos γ = 方向导数公式 l x y z
二,梯度
f = G l 0 = G cos( G , l 0 ) ( l 0 = 1 ) l 0 方向导数取最大值: 当 l 与 G 方向一致时 , 方向导数取最大值:
ρ
的方向导数. 则称 f 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数 l
定理: 定理 若函数 f ( x, y) 在点P( x, y) 处可微, 则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 且有
f f f cosα + cos β = l x y
l
证明: 证明 由函数 f ( x, y) 在点 P 可微 , 得
f f f= x+ y + o(ρ ) x y
=ρ (
P′ ρ P( x, y)
) + o (ρ )
f f f f = lim 故 l ρ →0 ρ = x cosα + y cos β
对于可微的函数 f ( x, y),在点P( x, y)处沿方向l (向角为α , β ) 的方向导数为 的方向导数为 向角为
内容小结 1. 方向导数 三元函数 在点 沿方向 l (方向角 方向角
为α, β, γ ) 的方向导数为 f f f f = cosα + cos β + cosγ l x y z
二元函数 在点 沿方向 l (方向角为 方向角为
α, β )的方向导数为
方向导数和梯度
方向导数和梯度
本节的研究目的
研究标量场的变化率。最大变化率？
本节的研究内容
一、方向导数 二、梯度
一、方向导数
1. 方向导数的定义
l
P
P0
l
u lim u lim u(P) u(P0 )
l l PP0 P0
P P0
l
方向导数：表示标量场中 u(P)在给定点处沿某一方
向 l 的变化率。
一、方向导数
方向导数：表示标量场中 u(P)在给定点处沿某一方
向 l 的变化率。
u u cos u cos u cos
l x
y
z
函数 u(P) 从给定点出发有无穷多个变化方向，其 中哪个方向的变化率最大？
最大变化率是多少？
一、方向导数
u u cos u cos u cos
l x
y
z
令：
g
u x
ex
u y
ey
u z
ez
el
ex
cos
ey
cos
ez
cos
u l
g
el
g el cos(g, el ) g cos(g, el )
cos(g, el ) 1
u g 方向导数取得最大值
l
二、梯度
gradu
u x
ex
u y
ey
u z
ez
梯度小结：
1. 标量场的梯度是一个矢量，是空间坐导数；
3. 梯度的方向为该点方向导数最大的方向；
二、梯度
gradu
u x
ex
u y
ey
u z
ez
梯度小结：
4. 梯度描述标量场中任一点函数值在该点附近增 减性质的量，沿着梯度的方向，函数值增加或 减小得最快；
本节的研究目的
研究标量场的变化率。最大变化率？
本节的研究内容
一、方向导数 二、梯度
一、方向导数
1. 方向导数的定义
l
P
P0
l
u lim u lim u(P) u(P0 )
l l PP0 P0
P P0
l
方向导数：表示标量场中 u(P)在给定点处沿某一方
向 l 的变化率。
一、方向导数
方向导数：表示标量场中 u(P)在给定点处沿某一方
向 l 的变化率。
u u cos u cos u cos
l x
y
z
函数 u(P) 从给定点出发有无穷多个变化方向，其 中哪个方向的变化率最大？
最大变化率是多少？
一、方向导数
u u cos u cos u cos
l x
y
z
令：
g
u x
ex
u y
ey
u z
ez
el
ex
cos
ey
cos
ez
cos
u l
g
el
g el cos(g, el ) g cos(g, el )
cos(g, el ) 1
u g 方向导数取得最大值
l
二、梯度
gradu
u x
ex
u y
ey
u z
ez
梯度小结：
1. 标量场的梯度是一个矢量，是空间坐导数；
3. 梯度的方向为该点方向导数最大的方向；
二、梯度
gradu
u x
ex
u y
ey
u z
ez
梯度小结：
4. 梯度描述标量场中任一点函数值在该点附近增 减性质的量，沿着梯度的方向，函数值增加或 减小得最快；
方向导数与梯度
其中
e l = (cos α , cos β , cos γ )
例3 n 是2 x 2 + 3 y 2 + z 2 = 6 在 (1,1,1) 处指向外侧的法向量， 处指向外侧的法向量，
6 x 2 + 8 y 2 在该点沿 的方向导数. 求u = n 的方向导数. z | n |= 14 n = ( 2 x ,3 y , z ) (1,1,1) = ( 2,3,1) 解 1 2 3 cos α = cos γ = cos β = 14 14 14 6 8 6x 6x 8y u x ( 1 ,1 , 1 ) = = = uy = ( 1 , 1 ,1 ) 14 14 z 6x2 + 8 y2 z 6x2 + 8 y2
zx
( 1, 0 )
=e
2y
=1
zy
( 1, 0 )
= 2 xe 2 y
( 1, 0 )
=2
∂f ∂l
( 1, 0 )
1 1 2 = 1⋅ ) =− − + 2 ⋅ (− 2 2 2
例2 求 z = 3 x 2 y − y 2 切线方向（ 增大方向） 沿曲线在该点处切线方向（ x 增大方向）的 方向导数. 方向导数. 解
l = (1,0)
∂f ∂l ∂f
l = (−1,0) −
∂l
f x (0,0) = lim t →0
lim f ( t ,0) − f (0,0) = lim t = 1 t →0+ t →0+ t t ( 0,0 ) lim f ( − t ,0) − f (0,0) = lim t = 1 = t →0+ t →0+ t t ( 0,0 ) f ( t ,0) − f (0,0) = lim | t | 不存在 t →0+ t t
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f f cos f cos f cos
l x
y
z
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2. 梯度
二元函数
在点
处的梯度为
grad f ( fx , f y )
三元函数
在点
处的梯度为
grad f f , f , f x y z
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练习
1. 设函数 (1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线
x
y
o( )
故
f l
lim f
0
f cos f cos
x
y
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二元函数 f ( x, y)
f f cos f cos
l x
y
其中 , 为方向l的方向角
特别:
• 当 l 与 x 轴同向 0, 时,有 f f
2
l x
• 当 l 与 x 轴反向 , 时,有 f f
max f G
l
这说明
G:
方向：f 变化率最大的方向 模 : f 的最大变化率之值
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1. 定义
向量 G 称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度 (gradient),
记作grad f , 即
f , f , f x y z
同样可定义二元函数
在点P(x, y) 处的梯度
故 gradu(1,1,2) (5, 2, 1) 5i 2 j 12k
在
P0
(
3 2
,
1 2
,0)
处梯度为
0.
内容小结
1. 方向导数
• 二元函数
在点
沿方向 l (方向角为
, )的方向导数为
f f cos f cos
l x
y
• 三元函数
在点
为 , , ) 的方向导数为
沿方向 l (方向角
一、方向导数
l
定义: 若函数 f ( x, y) 在点 P( x, y) 处
沿方向 l (方向角为 , )存在下列极限:
P1
lim f
0
P(x, y)
lim f ( x x, y y) f ( x, y)
则称 f 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.
方向余弦为 cos 2 , cos 3 , cos 1
14
14
14
而
u
x
P
z
6x
6x2 8y2 P
6 14
同理得
u 1 6 2 8 3 141 11
n P 14
7
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问题：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是 (1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个 火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的 温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一 个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快 到达较凉快的地点？
问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向 （即梯度方向）爬行
函数在点 P 沿哪一方向变化率最大?
二、梯度
方向导数公式 f f cos f cos f cos
l x
y
z
令向量 G f , f , f x y z
l 0 (cos , cos , cos )
当 l 0 与 G 方向一致时, 方向导数取最大值：
的方向导数 .
解: 向量 l 的方向余弦为
u 2x yz 2
l P
14
x2 y 3 14
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例2. 设 n 是曲面
在点 P(1, 1, 1 )处
指向外侧的法向量, 求函数
在点P 处沿
方向 n 的方向导数.
解: n (4x , 6 y , 2z) P 2(2 , 3 , 1)
gradf方向就是 f变化最快的方向 gradf 就是 f最大变化率的值
例 求函数 u x2 2 y2 3z2 3x 2 y 在点 (1,1,2)处的梯度，并问在 哪些点处梯度为零？
解 由梯度计算公式得
gradu( x, y, z) (u , u , u) x y z
(2x 3, 4 y 2, 6z)
2
l x
f f cos f cos
l x
y
例 1 求z xe2 y 在点P(1,0)处沿从点 P(1,0)
到点Q(2,1)的方向的方向导数
解: 方向l 即为PQ 1,1
z e2 y 1
x (1,0)
(1,0)
z 2xe2 y 2
y
(1,0)
(1,0)
z 1 cos 2 cos 2
l
2
二元函数 f ( x, y)
f f cos f cos
l x
y
其中 , 为方向l的方向角
三元函数 f ( x, y, z)
f l
f cos f cos f cos
x
y
z
其中 , , 为方向l 的方向角
f f cos f cos f cos
l x
y
z
例2. 求函数
在点 P(1, 1, 1) 沿向量
在该点切线方向的方向导数; (2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与(1)中切线方向
的夹角 .
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解:
1. (1)
曲线
M (1,1,1) 处切线的方向向量
在点
l
函数沿 l 的方向导数
f l
M fx cos f y cos fz cos (1,1,1)
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(2) grad f M (2 , 1 , 0)
cos
l
l
arccos 6
130
f l M
grad f M
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第七 节 方向导数与梯度
一、方向导数 二、梯度
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复习偏导数定义: z f (P) f x , y
f x, y
f x x, y f x, y
lim
x
x0
x
f x , y lim f x , y y f x , y
y
y0
y
偏导数反映了函数 f P沿坐标轴方向上的变化率 .
l
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定理: 若函数 f ( x, y) 在点 P( x, y) 处 可微 ,
则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 且有
f f cos f cos
l x
y
l
P
证明: 由函数 f ( x, y) 在点 P 可微 , 得
P(x, y)
f f x f y o( )