高阶偏导数、方向导数与梯度
直观理解梯度，以及偏导数、方向导数和法向量等（转载）
直观理解梯度，以及偏导数、⽅向导数和法向量等（转载）写在前⾯梯度是微积分中的基本概念，也是机器学习解优化问题经常使⽤的数学⼯具（梯度下降算法），虽然常说常听常见，但其细节、物理意义以及⼏何解释还是值得深挖⼀下，这些不清楚，梯度就成了“熟悉的陌⽣⼈”，仅仅“记住就完了”在⽤时难免会感觉不踏实，为了“⽤得放⼼”，本⽂将尝试直观地回答以下⼏个问题，梯度与偏导数的关系？梯度与⽅向导数的关系？为什么说梯度⽅向是上升最快的⽅向，负梯度⽅向为下降最快的⽅向？梯度的模有什么物理意义？等⾼线图中绘制的梯度为什么垂直于等⾼线？全微分与隐函数的梯度有什么关系？梯度为什么有时⼜成了法向量？闲话少说，书归正传。
在全篇“作⽤域”内，假定函数可导。
偏导数在博⽂《单变量微分、导数与链式法则 | | 》中，我们回顾了常见初等函数的导数，概括地说，导数是⼀元函数的变化率（斜率）。
导数也是函数，是函数的变化率与位置的关系。
如果是多元函数呢？则为偏导数。
偏导数是多元函数“退化”成⼀元函数时的导数，这⾥“退化”的意思是固定其他变量的值，只保留⼀个变量，依次保留每个变量，则NN元函数有NN个偏导数。
以⼆元函数为例，令z=f(x,y)z=f(x,y)，绘制在3维坐标系如下图所⽰，在分别固定yy和xx的取值后得到下图中的⿊⾊曲线——“退化”为⼀元函数，⼆维坐标系中的曲线——则偏导数∂z∂x∂z∂x和∂z∂y∂z∂y分别为曲线的导数（切线斜率）。
由上可知，⼀个变量对应⼀个坐标轴，偏导数为函数在每个位置处沿着⾃变量坐标轴⽅向上的导数（切线斜率）。
⽅向导数如果是⽅向不是沿着坐标轴⽅向，⽽是任意⽅向呢？则为⽅向导数。
如下图所⽰，点PP位置处红⾊箭头⽅向的⽅向导数为⿊⾊切线的斜率，来⾃链接⽅向导数为函数在某⼀个⽅向上的导数，具体地，定义xyxy平⾯上⼀点(a,b)(a,b)以及单位向量u=(cosθ,sinθ)u→=(cosθ,sinθ)，在曲⾯z=f(x,y)z=f(x,y)上，从点(a,b,f(a,b))(a,b,f(a,b))出发，沿u=(cosθ,sinθ)u→=(cosθ,sinθ)⽅向⾛tt单位长度后，函数值zz为F(t)=f(a+tcosθ,b+tsinθ)F(t)=f(a+tcosθ,b+tsinθ)，则点(a,b)(a,b)处u=(cosθ,sinθ)u→=(cosθ,sinθ)⽅向的⽅向导数为：=====ddtf(a+tcosθ,b+tsinθ)∣∣∣t=0limt→0f(a+tcosθ,b+tsinθ)−f(a,b)tlimt→0f(a+tcosθ,b+tsinθ)−f(a,b+tsinθ)t+limt→0f(a,b+tsinθ)−f(a,b)t∂∂xf(a,b)dxdt+∂∂yf(a,b)dydtfx(a,b)cosθ+fy(a,b)sinθ(fx(a,b),fy( (fx(a,b),fy(a,b))⋅(cosθ,sinθ)上⾯推导中使⽤了链式法则。
梯度及其与方向导数的关系
u y
2
2
2
1 r
3
3y r
2
5
,
2
u z
2
2
1 r
3
3z 下页
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结束 11/22
例3.
处矢径 r 的模 , 试证
x x y z
2 2 2
证:
f (r ) y
grad f (r )
f (r )
f ( r )
f (r ) x
f ( r )
x r
y r
,
f (r ) y
f (r ) z
j
f ( r )
2 2
(x y )
2 2 2 2
2
y x
2 2
2 2
(x y )
2
z y
2
x y y 2y (x y )
2 2 2
x y
2 2
2 2
(x y )
2
2 2
z x
2
z
2
y
2
y x
2 2
(x y )
2
x y
2 2
2 2
(x y )
2
1 5
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u (1,1) u ( 1,1) , el l
(6 3)
3 5
返回 结束
7/22
(1) 方向导数取最大值的方向即梯度方向，其单位向 量为
1 2 (1,1)
，方向导数的最大值为
1 2
u ( 1,1) 3 2.
8多元函数微分学专题解析
专题七：多元函数微分学【大纲要求】1．理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.2．了解二元函数的极限与连续性的概念以及有界闭区域上连续函数的性质.3．理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性.4．掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 5．会用隐函数的求导法则.6．理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法.7．了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程. 8．了解二元函数的二阶泰勒公式.9．理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题.【知识要点】1.多元函数及其极限与连续：1.1 二元函数的定义：设D 为一平面点集，若()D y x ∈∀,，变量z 按一定法则，总有确定值与之相对应,则称变量z 是变量y x ,的二元函数，记作()y x f z ,=。
1.2 二元函数的极限：设函数()y x f z ,=在点()00,y x 的某去心邻域内有定义，A 为常数，如果,0,0>∃>∀δε当()()δ<-+-<20200y y x x 时，有()ε<-A y x f ,，则称函数()y x f z ,=当()y x ,趋于()00,y x 时极限为A ，记作()A y x f y y x x =→→,lim0,。
1.3 二元函数的连续性：设函数()y x f z ,=在点()00,y x 的某邻域内有定义，且()()00,,,lim0y x f y x f y y x x =→→，则称函数()y x f z ,=在点()00,y x 连续。
2. 多元函数的偏导数与全微分：2.1 偏导数： 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内有定义，极限xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(), (lim00000存在, 则称此极限为函数),(y x f z =在点),(00y x 对x 的偏导数,记为;),(00y x x z ∂∂;),(00y x x f∂∂),(00y x f x 。
方向导数梯度方向导数与梯度
方向导数梯度方向导数与梯度
梯度的概念可以推广到三元函数
三元函数u f ( x, y, z)在空间区域 G 内具有一阶连续偏
导数，则对于每一点 P( x, y, z)G，都可定义一个向量(梯度)
gradf ( x, y, z) f
方向导数梯度方向导数与梯度
定义 设函数 z f ( x, y)在平面区域 D 内具有一阶连续偏导
数，则对于每一点 P( x, y) D，都可定出一个向量f
i
f
j，
x y
这向量称为函数z f ( x, y)在点 P( x, y)的梯度，记为
gradf ( x, y) f
i
f
j.
x y
方向导数梯度方向导数与梯度
第七节 方向导数与梯度
一、方向导数 二、梯度
第八章
方向导数梯度方向导数与梯度
一、方向导数的定义
讨论函数 zf(x在,y一)点P沿某一方向的变化率问题．
设函数z f (x, y) 在点
y
l
• P
P(x, y)的某一邻域U(P) 内有定义，自点P 引射线l．
y
••
P x
o
x
方向导数梯度方向导数与梯度
x(1,0)
(1,0)
z 2xe2y 2,
y(1,0)
(1,0)
所求方向导数 z cos()2sin () 2 .
l
4
42
方向导数梯度方向导数与梯度
例 2 求函数 f ( x, y) x2 xy y2在点（1，1）沿与 x轴方向
夹角为 的方向射线l 的方向导数.并问在怎样的方向上此方向
第六节 方向导数与梯度
y (1,0)
(1,0)
所求方向导数 z 1 .
l (1,0)
2
3、方向导函数
若
z
f
(
x,
y
)
在区域
D
内任何一点方向
el
的
方向导数都存在，则
f l
是
D上的一个函数，
称为方向导函数.
4、推广可得三元函数方向导数的定义
设函数 u
f
(
x
,
y, z
)
在
点
P
(
x0
,
( x0 , y0 )
表示曲线
l
:
z b( x
f (x, y) x0 ) a( y
y0 )
0
在点 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 处的切线相对于el 的
斜率 tan .
*6、二阶方向导数
如果 f 在 ( l
就把它为
x0 f
, (
y0 x,
)y沿) 在el(仍x0有, y方0 ) 向沿导el 数的二l 阶f方l 向( x0,,y0
t0
t
存在 , 则称这极限为函数z f (x, y) 在点 P 沿
方向
l
的方向导数
,
记为f
,即
l ( x0，y0 )
f
lim f ( x0 t cos , y0 t cos ) f ( x0 , y0 )
l ( x0，y0 )
t0
t
依定义，函数 f ( x, y) 在点 P 沿着 x 轴正向
第六节 方向导数与梯度
一、问题的提出 二、方向导数的定义 三、梯度的概念
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同济版高数知识点归纳总结大全# 同济版高数知识点归纳总结大全## 一、极限与连续1. 极限的定义：数列极限、函数极限、无穷小量。
2. 极限的性质：唯一性、有界性、保号性、夹逼定理。
3. 无穷小的比较：高阶无穷小、同阶无穷小。
4. 极限的运算法则：四则运算、复合函数的极限。
5. 连续性：连续点、连续函数、间断点的分类。
6. 连续函数的性质：局部有界性、最值定理、零点定理。
## 二、导数与微分1. 导数的定义：导数的几何意义、物理意义。
2. 基本初等函数的导数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数。
3. 导数的运算法则：和差法则、积商法则、链式法则。
4. 高阶导数：二阶导数、三阶导数及其应用。
5. 隐函数与参数方程的导数：隐函数求导、参数方程求导。
6. 微分：微分的定义、微分与导数的关系。
## 三、中值定理与导数的应用1. 罗尔定理：定理条件、几何意义。
2. 拉格朗日中值定理：定理条件、几何意义、应用。
3. 柯西中值定理：定理条件、应用。
4. 泰勒公式：泰勒展开、麦克劳林公式。
5. 导数在几何上的应用：曲线的切线、法线、弧长、曲率。
6. 导数在物理上的应用：速度、加速度、变速运动。
## 四、不定积分1. 不定积分的定义：原函数、积分号。
2. 基本积分公式：基本积分表。
3. 换元积分法：第一类换元法、第二类换元法。
4. 分部积分法：分部积分公式、应用。
5. 有理函数的积分：部分分式分解、积分。
6. 三角函数的积分：正弦函数、余弦函数的积分。
## 五、定积分1. 定积分的定义：黎曼和、定积分的性质。
2. 定积分的计算：牛顿-莱布尼茨公式、定积分的换元法、分部积分法。
3. 定积分的应用：面积、体积、平均值、物理意义。
4. 反常积分：无穷区间上的积分、无界函数的积分。
## 六、多变量函数微分学1. 偏导数：偏导数的定义、高阶偏导数。
2. 全微分：全微分的定义、全微分与偏导数的关系。
3. 多元函数的极值：拉格朗日乘数法、条件极值。
导数、偏导数、方向导数、梯度，有何区别？
导数、偏导数、⽅向导数、梯度，有何区别？0、总结1、定义①导数：反映的是函数y=f(x)在某⼀点处沿x轴正⽅向的变化率。
再强调⼀遍，是函数f(x)在x轴上某⼀点处沿着x轴正⽅向的变化率/变化趋势。
直观地看，也就是在x轴上某⼀点处，如果f’(x)>0，说明f(x)的函数值在x点沿x轴正⽅向是趋于增加的；如果f’(x)<0，说明f(x)的函数值在x点沿x轴正⽅向是趋于减少的。
②偏导数：导数与偏导数本质是⼀致的，都是当⾃变量的变化量趋于0时，函数值的变化量与⾃变量变化量⽐值的极限。
直观地说，偏导数也就是函数在某⼀点上沿坐标轴正⽅向的的变化率。
（注意：偏导数的⽅向不是切线⽅向，⽽是沿着⾃变量坐标轴的⽅向）区别在于：导数，指的是⼀元函数中，函数y=f(x)在某⼀点处沿x轴正⽅向的变化率；偏导数，指的是多元函数中，函数y=f(x1,x2,…,xn)在某⼀点处沿某⼀坐标轴（x1,x2,…,xn）正⽅向的变化率。
③⽅向导数：在前⾯导数和偏导数的定义中，均是沿坐标轴正⽅向讨论函数的变化率。
那么当我们讨论函数沿任意⽅向的变化率时，也就引出了⽅向导数的定义，即：某⼀点在某⼀趋近⽅向上的导数值。
通俗的解释是：我们不仅要知道函数在坐标轴正⽅向上的变化率（即偏导数），⽽且还要设法求得函数在其他特定⽅向上的变化率，⽽⽅向导数就是函数在其他特定⽅向上的变化率。
④梯度：梯度的提出只为回答⼀个问题：函数在变量空间的某⼀点处，沿着哪⼀个⽅向有最⼤的变化率？梯度定义如下：函数在某⼀点的梯度是这样⼀个向量，它的⽅向与取得最⼤⽅向导数的⽅向⼀致，⽽它的模为⽅向导数的最⼤值。
这⾥注意三点： 1）梯度是⼀个向量，即有⽅向有⼤⼩； 2）梯度的⽅向是最⼤⽅向导数的⽅向，即函数增长最快的⽅向； 3）梯度的值是最⼤⽅向导数的值。
2、理解如下视频和⽂章有助于直观理解：注意：假设⼀个⼆元函数z=f(x,y)，可视化后是⼀个可以呈现在xyz坐标系中的三维图像，求某个⽅向的偏导数或梯度时，原函数会降⼀维。
考研高数二全部知识点总结
考研高数二全部知识点总结一、多元函数微分学1. 多元函数的概念多元函数是指自变量有两个以上的函数。
在多元函数微分学中，需要掌握多元函数的定义、取值范围、图像等知识。
2. 偏导数偏导数是多元函数微分学的基础，偏导数的概念、性质、计算方法是高数二中的重点内容。
在复习过程中，需要重点掌握偏导数的计算方法，包括利用定义求偏导数、隐函数求导、高阶偏导数等内容。
3. 方向导数和梯度方向导数是用来表示函数在某一点沿着某一方向的变化率，梯度是方向导数的一种特殊情况，是多元函数在某一点的变化率最大的方向。
复习时需要掌握方向导数和梯度的定义、性质、计算方法等知识点。
4. 隐函数与参数方程在高数二中，隐函数与参数方程是重要的内容，需要掌握隐函数的存在性与偏导数求法、参数方程的导数、相关方程的结论等知识点。
5. 全微分全微分是多元函数微分学中的重要概念，包括全微分的定义、性质、计算方法等内容，需要在复习过程中重点掌握。
6. 泰勒公式泰勒公式是多元函数微分学中的重要内容，需要掌握泰勒公式的一阶、二阶、多元泰勒公式等内容。
二、多元函数积分学1. 重积分重积分是多元函数积分学的重要内容，包括重积分的定义、性质、计算方法等内容。
复习时需要重点掌握二重积分、三重积分的计算方法，包括直角坐标系下的积分、极坐标系下的积分、柱坐标系下的积分等内容。
2. 曲线、曲面积分曲线积分和曲面积分是高数二中的难点内容，需要复习时掌握曲线积分和曲面积分的定义、性质、计算方法等知识。
3. 格林公式格林公式是多元函数积分学中的重要内容，复习时需要掌握格林公式的定义、性质、应用等知识点。
4. 散度和旋度在多元函数积分学中，散度和旋度是重要的内容，需要掌握散度和旋度的定义、性质、计算方法等知识。
5. 曲线积分公式和斯托克斯定理曲线积分公式和斯托克斯定理是多元函数积分学中的重要内容，需要复习时掌握曲线积分公式和斯托克斯定理的定义、性质、应用等知识点。
总结：多元函数微分学和多元函数积分学是高数二的重要内容，在复习高数二的过程中，需要掌握多元函数微分学和多元函数积分学的全部知识点，包括偏导数、方向导数、梯度、全微分、泰勒公式、重积分、曲线、曲面积分、格林公式、散度和旋度、曲线积分公式和斯托克斯定理等内容。
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2ex2y
注意:此处 2 z 2 z , 但这一结论并不总成立. xy yx
4/30
例如,
f (x, y)
xy
x2 x2
y2 y2
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
fx (x, y)
y
x4
4x2y2 (x2 y2)2
y4
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立. 例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续时, 有
说明: 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 而初等 函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序. (与求导次序无关. )
l
l
arccos 6
130
f l M
grad f M
26/30
备用题 1. 函数
处的梯度
2 (1, 2, 2) 9
在点
( 具有轮换对称性
2 (1, 2, 2) 9
27/30
2. 函数u ln(x y2 z2 )在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A
f y (x, y)
x
x4
4x2y2 (x2 y2)2
y4
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
f xy (0,0)
lim
y 0
f x (0,
y) y
f x (0, 0)
lim y y0 y
1
二 者
f yx (0,0)
lim
x0
第2.2节 高阶偏导数、方向导数与梯度
一、高阶偏导数 二、方向导数 三、梯度
作业 习题5.2(A) 15, 16, 17, 18, 19, 21, 22, 25
一、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
z x
fx (x,
y) ,
z y
f y (x,
y)
若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z = f ( x , y )
( f x , f y ) P grad f P
同样, 对应函数 有等值面(等量面)
y
f c3
f c2
P f c1
当各偏导数不同时为零时, 其上
点P处的法向量为 grad f P .
o
x
(设c1 c2 c3)
16/30
函数在一点的梯度垂直于等值面(或等值线) 在该点的切线(或梯度与等值线在相应点的法线 平行),指向函数增大的方向.
22/30
4. 几个概念之间的关系
• 可微
方向导数存在
偏导数存在
• f grad f l 0 梯度在方向 l 上的投影. l
5. 方向导数的几何意义(P26)
23/30
思考与练习
1. 设函数 (1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线
在该点切线方向的方向导数; (2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与(1)中切线方向
15/30
对函数
z
f
(x,
y) ,曲线
z
f (x, zC
y) 在
xoy
面上的投
影L* : f (x, y) C 称为函数 f 的等值线(P5) .
（等值线实质就是曲面 z=f(x,y）与平面z=C
的交线在xoy坐标平面上的投影.）
设 f x , f y 不同时为零 , 则L*上点P 处的法向量为
y
z
9/30
对于二元函数 f (x, y), 在点P(x, y)处沿方向 l (方向角
为, ) 的方向导数为
f lim f (x x, y y) f (x, y)
l 0
y lP
l
fx (x, y) cos f y (x, y) cos
o
x
14/30
1. 定义
向量 G 称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度 (gradient), 记作grad f , 即
f (P)
f , x
f, y
f z
同样可定义二元函数
在点P(x, y) 处的梯度
说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影. 2. 梯度的几何意义
f y (x,
0) x
f y (0, 0)
lim
x0
x x
1
不 等
5/30
例2. 证明函数
满足拉普拉斯
方程
u
2u x2
2u y2
2u z2
0
（偏微分方程）
证：
r2
2u x2
1 r3
3 r
x
4
r x
1 r3
3x2 r5
利用对称性
,
证明: 由函数 f (x, y, z) 在点 P 可微 , 得
P(x, y, z)
f f x f y f z o( )
x y z
o( )
故 f lim f f cos f cos f cos
l 0 x
的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导
数:
(z) x x
2 x
z
2
f xx (x, y);
(z) y x
2z
yx
f x y (x,
y)
(z) x y
2z x y
f y x (x, y)
f21(x, y);
(z) y y
处所产生的电位为 u q ( r x2 y2 z2 ), 试证
4 r
gradu E
(场强
E
4π
q ε
r2
r
0
)
证: 利用例4的结果 grad f (r) f (r) r 0
grad u
q
4 r
r
0
4
q
r
2
r
0 E
这说明场强: 垂直于等位面, 且指向电位减少的方向.
第14周（5月27号）主B-304上数学实验理论课
第15周上机实验，地点:理科楼－226 1.核工程01,建环01,土木01 时间: （6月1号）星期三3-4节10:00-12:00 2.核工程02,03, 地环01 时间:(6月3号)星期五3-4节10:00-12:00;
14
14
14
而
u
x P z
6x 6x2 8y2
P
6 14
同理得
u 1 6 2 8 3 141 11
n P 14
7
13/30
三、梯度
方向导数公式 f f cos f cos f cos
l x
y
z
令向量
g
19/30
内容小结
1. 高阶偏导数
• 混合偏导数连续
与求导顺序无关
• 求高阶偏导数的方法
逐次求导法
(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)
20/30
2. 方向导数
• 三元函数
在点
为, , ) 的方向导数为
沿方向 l (方向角
f f cos f cos f cos
f x
,
f y
,
f z
l 0 (cos , cos , cos )
f
g
l 0
g
c
os
(g
,
l
0
)
l 0 1
g与l0l方向一致时，方向导数取最大值：
这说明 g
max(f ) g l
方向：f 的值增长最快的那个方向;
模 : f 的最大方向导数的值.
r
f (r) f (r) z
z
r
grad
f
(r)
f
(r)
i
f
(r)
j
f
(r)
k
z
x
y
z
P
f (r) 1 (x
i y
jz
k)
r
r
o
y
f (r) 1 r f (r) r0
x
r
18/30
例7. 已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点
17
17
yP o 1 2 x
60 17
12/30
例5. 设n 是曲面
在点 P(1, 1, 1 )处
指向外侧的法向量, 求函数
在点P 处沿
方向 n 的方向导数.
解: n (4x , 6 y , 2z) P 2(2 , 3 , 1)
方向余弦为 cos 2 , cos 3 , cos 1
指向 B( 3, －2 , 2) 方向的方向导数是
1 2
. (96考研)
提示:
则
{cos , cos , cos }
ln(x 1)
ln(1 y2 1)
1 2
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