梯度及其与方向导数的关系
梯度及其与方向导数的关系
证明：设
u
r u(x) u(x1, x2,L
, xn )
由一元函数的
链式法则，有
f (u) f (u) f (u)
, x1
,L , x2
xn
f (u) u , x1
f (u) u ,L , f (u) u
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类似可以定义更高阶的偏导数. 例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为
z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶
偏导数为
( y
)
nz xn1 y
二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。
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x2
,
r f (x0 )
xn
其中 称为向量微分算子或 Nabla算子.
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其中 称为向量微分算子或 Nabla算子.
它本身没有意义，将 作用于函数 f 就得到一向量，即
f
r (x0 )
,
x1
f
r (x0 )
,L
x2
,
f
r (x0 )
2ex2y
注意:此处 2 z 2 z , 但这一结论并不总成立. xy yx
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反例：f (x, y)
xy
x2 x2
y2 y2
,
高等数学《方向导数与梯度》
一、问题的提出 二、方向导数的定义 三、梯度的概念
一、问题的提出
实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐 标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点 处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上 任意一点处的温度与该点到原点的距离成反 比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿 什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？
问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方 向（即梯度方向）爬行．
二、方向导数的定义
回顾函数 z f ( x, y) 在点 P0( x0 , y0 ) 处关于
x, y 的偏导数定义：
f x ( x0 , y0 )
limx0f (源自x0x, y0 ) xf ( x0 , y0 )
f y ( x0 , y0 )
P0 P
(x
x0
,
y
y0
)
(t
cos
,t
cos
)
te ,
| P0P || te || t |,
t表示点 P 到点 P0 的有向距离.
z f ( x t cos , y t cos ) f ( x, y), 考虑 z ,
t
当 P 沿着 l 趋于P0 时，
lim f ( x t cos , y t cos ) f ( x, y) 是否存在？
t0
t
沿同任理意：方当向函l数的在方此向点导可数微都时存，在那,末且函el 数 (在a,该b,c点), 则有：
f l ( x0 , y0 ,z0 ) f x ( x0 , y0 , z0 ) a f y ( x0 , y0 , z0 ) b fz ( x0 , y0 , z0 ) c.
| grad f ( x, y) | f x2 f y2 .
方向导数与梯度在工程和生活中的应用
方向导数与梯度一、方向导数1．概念 设是平面上以为始点的一条射线．是与同方向的单位向量射线的参数方程为设函数在点的某个邻域内有定义，为上另一点，且,到的距离若当沿着趋于即时的极限存在，则称此极限为函数在点沿方向的方向导数．记作 即有定义可知是在点沿方向的变化率． 若在点偏导数存在则又若则但反之 若 存在．则不一定存在．如在点处沿方向的方向导数，而偏导数不存在．类似．对三元函数来说，它在空间一点沿方向的方向导数为2．方向导数的存在性及其计算方法 函数具备什么条件才能保证在点沿任一方向的方向导数存在？它和该点偏导数又有什么l xoy ()000,y x P ()cos ,cos l e αβ=l l αcos 0t x x +=βcos 0t y y +=()0≥t =z ()y x f ,()000,y x P ()0p U ()βαcos ,cos 000t y t x P ++l ()0p U p ∈p0p t pp =0()()t y x f t y t x f 0000,cos ,cos -++βαp l 0p ()+→0t ()y x f ,0p l ()00,|y x l f∂∂()00,|y x l f∂∂()()t y x f t y t x f t 00000,cos ,cos lim -++=+→βα()00,|y x l f∂∂()y x f ,()000,y x P l ()y x f ,()000,y x P i e l=()0,1=()00,|y x l f∂∂()()t y x f y t x f t 00000,,lim -+=+→()00,y x f x =l e j =()1,0=()00,|y x l f∂∂()()t y x f y t x f t 00000,,lim -+=+→()00,y x f y =i e l =()0,0|z l ∂∂()0,0|z x ∂∂22y x z +=()0,0i l =()00,|y x l z ∂∂1=()00,|y x x z ∂∂()z y x f ,,()0000,,z y x P ()γβαcos ,cos ,cos =l e()000,,|z y x l f∂∂()t t z t y t x f t γβαcos ,cos ,cos lim 0000+++=+→()000,y x P关系？有如下定理定理 若在点可微分，则函数在该点沿任一方向的方向导数存在且有其中是方向的方向余弦证在点可微分点在以 为始点的射线上时应有， ，所以这就证明了方向导数存在，且其值为同样可以证明在点可微分，则函数在该点沿着方向的方向导数二、梯度1． 二元函数梯度定义 设在区域内具有一阶连续导数，点，则向量称为在点的梯度，记作，即2． 二元函数梯度与方向导数的关系若在点可微分，是与方向同向的单位向量，则()y x f ,()000,y x P l ()00,|y x l f∂∂()()βαcos ,cos ,0000y x f y x f y x +=βαcos ,cos L ()y x f ,()00,y x ∴()y y x x f ∆+∆+00,()00,y x f -()()()()2200000,,y x y y x f x y x f y x ∆+∆+∆+∆=()y y x x ∆+∆+00,()00,y x l αcos t x =∆βcos t y =∆()()22y x ∆+∆t =()()t y x f t y t x f t 00000,cos ,cos lim -+++→βα()()βαcos ,cos ,0000y x f y x f y x +=()00,|y x l f∂∂()()βαcos ,cos ,0000y x f y x f y x +=()z y x f ,,()000,,z y x ()γβαcos ,cos ,cos =→l e ()()()()γβαcos ,,cos ,,cos ,,000000000,,000z y x f z y x f z y x f lfz y x z y x ++=∂∂()y x f ,D ()D y x P ∈000,()()→→+jy x f i y x f y x 0000,,()y x f ,()000,y x P ()00,y x gradf ()()()→→+=jy x f i y x f y x gradf y x 000000,,,()y x f ,()000,y x P ()βαcos ,cos =→l e l ()()()()()()000000,000000,cos ,cos ,,cos ,cos x y x y ll ff x y f x y l gradf x y e gradf x y e gradf x y αβθθ→→∂=+∂=⋅==其中当时，方向导数取得最大值，这个最大值就是梯度的模．由上知：函数在一点的梯度是个向量，它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向，它的模等于方向导数的最大值．在几何上表示一个曲面这曲面被平面（是常数）所截得曲线的方程为，在面上的投影是一条平面曲线，它在平面直角坐标系中的方程为，对上一切点，已给函数的函数值都是，称为的等值线．若，不同时为零，则等值线上任一点处的一个单位法向量为这表明的方向与等值线上这点的一个法线方向相同．而沿这个方向的方向导数就等于于是，这一关系式表明函数在一点的梯度方向与等值线在这点的一个法线方向相同，它的指向为从数值较低的等值线指向数值较高的等值线．梯度的模就等于函数在这个法线方向的方向导数．3．三元函数梯度概念与方向导数关系 类似 设在空间区域G 内具有一阶连续偏导数,则对于每一点都可以定出一个向量，为在点的梯度，记做即，与二元函数类似，三元函数的梯度也是一个向量，它的方向与取得最大导数的方向一致，它的模为方向导数的最大值．若曲面=，为的等量面，则在点的梯度方向与过点的等量面=在这点的法线的一个方向相同，它的指向为从数值较()⎪⎭⎫ ⎝⎛=→l e y x gradf ,,00θ0=θ()00,y x lf∂∂()00,y x gradf ()y x f z ,=c z =c L ()⎩⎨⎧==c z y x f z ,L xoy L xoy ()c y x f =,L c L ()y x f z ,=xf yf ()c y x f =,()000,y x P ()()()()()002002,,,,,1y x f y x f y x f y x fn yxyx+=→()00,y x gradf n f∂∂()00,y x gradf ()nn fy x gradf ∂∂=00,()z y x f ,,()G z y x P ∈0000,,()()()κ000000000,,,,,,z y x f j z y x f i z y x f y x Z ++()z y x f ,,()0000,,z y x p ()000,,z y x gradf ()=000,,z y x gradf ()()()κ000000000,,,,,,z y x f j z y x f i z y x f y x Z ++()z y x f ,,c ()z y x f ,,()z y x f ,,()0000,,z y x P ()0000,,z y x P ()z y x f ,,c低的等量面指向数值较高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数．。
最优化方法方向导数与梯度例题
最优化方法方向导数与梯度例题一、引言在数学和计算机领域中，最优化方法是一种常用的数学工具，用于解决优化问题。
在这个过程中，方向导数和梯度是非常重要的概念，它们帮助我们找到函数的最大值或最小值。
本文将深入探讨最优化方法中的方向导数和梯度，并通过例题来帮助读者更好地理解这些概念。
二、方向导数与梯度的定义1. 方向导数方向导数是一个向量的数量函数，表示函数在某一点沿着某一方向的变化率。
在数学上，对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，在点P0(x10, x20, ..., xn0)处沿着向量v=(v1, v2, ..., vn)的方向导数定义如下：∇f(P0)•v = lim(h→0) [f(P0+hv) - f(P0)] / h其中∇f(P0)表示函数f在点P0处的梯度，v表示方向向量。
2. 梯度梯度是一个向量，表示函数在某一点的变化率最大的方向。
对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，函数在点P0(x10, x20, ..., xn0)处的梯度定义如下：∇f(P0) = (∂f/∂x1, ∂f/∂x2, ..., ∂f/∂xn)其中∂f/∂xi表示对第i个自变量求偏导数。
三、方向导数与梯度的关系方向导数与梯度之间有着密切的关系。
事实上，当方向向量为梯度的时候，方向导数达到最大值。
这意味着，函数在梯度的方向上的变化率最大。
这也是最优化方法中常用的一种策略，即沿着梯度的方向不断调整自变量，以寻找函数的最大值或最小值。
四、例题分析为了更好地理解方向导数与梯度的概念，我们将通过一个具体的例题来说明。
例题：求函数f(x, y) = x^2 + y^2在点(1, 2)处沿着方向向量(3, 4)的方向导数和梯度。
解析：我们求函数在点(1, 2)处的梯度。
计算过程如下：∇f(1, 2) = (∂f/∂x, ∂f/∂y) = (2x, 2y)|_(1, 2) = (2, 4)我们求函数在点(1, 2)处沿着方向向量(3, 4)的方向导数。
导数、偏导数、方向导数、梯度，有何区别？
导数、偏导数、⽅向导数、梯度，有何区别？0、总结1、定义①导数：反映的是函数y=f(x)在某⼀点处沿x轴正⽅向的变化率。
再强调⼀遍，是函数f(x)在x轴上某⼀点处沿着x轴正⽅向的变化率/变化趋势。
直观地看，也就是在x轴上某⼀点处，如果f’(x)>0，说明f(x)的函数值在x点沿x轴正⽅向是趋于增加的；如果f’(x)<0，说明f(x)的函数值在x点沿x轴正⽅向是趋于减少的。
②偏导数：导数与偏导数本质是⼀致的，都是当⾃变量的变化量趋于0时，函数值的变化量与⾃变量变化量⽐值的极限。
直观地说，偏导数也就是函数在某⼀点上沿坐标轴正⽅向的的变化率。
（注意：偏导数的⽅向不是切线⽅向，⽽是沿着⾃变量坐标轴的⽅向）区别在于：导数，指的是⼀元函数中，函数y=f(x)在某⼀点处沿x轴正⽅向的变化率；偏导数，指的是多元函数中，函数y=f(x1,x2,…,xn)在某⼀点处沿某⼀坐标轴（x1,x2,…,xn）正⽅向的变化率。
③⽅向导数：在前⾯导数和偏导数的定义中，均是沿坐标轴正⽅向讨论函数的变化率。
那么当我们讨论函数沿任意⽅向的变化率时，也就引出了⽅向导数的定义，即：某⼀点在某⼀趋近⽅向上的导数值。
通俗的解释是：我们不仅要知道函数在坐标轴正⽅向上的变化率（即偏导数），⽽且还要设法求得函数在其他特定⽅向上的变化率，⽽⽅向导数就是函数在其他特定⽅向上的变化率。
④梯度：梯度的提出只为回答⼀个问题：函数在变量空间的某⼀点处，沿着哪⼀个⽅向有最⼤的变化率？梯度定义如下：函数在某⼀点的梯度是这样⼀个向量，它的⽅向与取得最⼤⽅向导数的⽅向⼀致，⽽它的模为⽅向导数的最⼤值。
这⾥注意三点： 1）梯度是⼀个向量，即有⽅向有⼤⼩； 2）梯度的⽅向是最⼤⽅向导数的⽅向，即函数增长最快的⽅向； 3）梯度的值是最⼤⽅向导数的值。
2、理解如下视频和⽂章有助于直观理解：注意：假设⼀个⼆元函数z=f(x,y)，可视化后是⼀个可以呈现在xyz坐标系中的三维图像，求某个⽅向的偏导数或梯度时，原函数会降⼀维。
(整理)第七节方向导数与梯度
第七节 方向导数与梯度要求：了解方向导数与梯度的概念，会计算方向导数与梯度方法。
重点：方向导数与梯度的计算。
难点：梯度的几何意义，方向导数与梯度的联系。
作业：习题8－7（60P ）2,4,6,8,10一．方向导数问题提出：在许多实际问题中，常常需要知道函数),(y x f z =在点(,)P x y 沿任意方向或某个方向的变化率．例如预报某地的风向和风力就必须知道气压在该处沿着哪个方向的变化率，在数学上就是多元函数在一点沿给定方向的方向导数问题．1．方向导数定义设函数),(y x f z =在点(,)P x y 的某一邻域内有定义，自P 点引有向直线L ，x 轴正向与直线L 夹角为ϕ，在L 上任取一点'(,)P x x y y +∆+∆，若'P 沿着L 趋近于P 时，即当0)()(22→∆+∆=y x ρ时，极限ρρ),(),(limy x f y y x x f -∆+∆+→ 存在则称此极限值为函数在点P 沿着L 方向的方向导数．记作ρρ),(),(lim 0y x f y y x x f L f -∆+∆+=∂∂→． 说明（1）规定逆时针方向旋转生成的角是正角0>ϕ，顺时针方向旋转生成的角是负角0<ϕ；2．方向导数的计算定理 若函数),(y x f z =在点(,)P x y 可微分，那么函数),(y x f z =在点(,)P x y 沿任一方向L 的方向导数都存在，且有计算公式ϕϕsin cos y f x f L f ∂∂+∂∂=∂∂{},cos ,sin ,f f f f e x y x y ϕϕ⎧⎫⎧⎫∂∂∂∂=⋅=⋅⎨⎬⎨⎬∂∂∂∂⎩⎭⎩⎭． 其中ϕ为x 轴到方向L 的转角，e 是与L 同方向的单位向量．证明：因为函数),(y x f z =在点(,)P x y 可微分，所以有()f ff x y o x yρ∂∂∆=∆+∆+∂∂， 上式两边同除以ρ，得()()cos sin ff x f y o f f o x y x y ρρϕϕρρρρρ∆∂∆∂∆∂∂=++=++∂∂∂∂，则0lim cos sin f f f f L x yρϕϕρ→∂∆∂∂==+∂∂∂ 例1．求函数yxe z 2=在点(1,0)P 处沿从点(1,0)P 到点)1,2(-Q 的方向的方向导数．解 这里方向L 即向量{}1,1PQ =-的方向，因此x 轴到L 方向的转角4πϕ=,又因为y e x z 2=∂∂，y xe y z 22=∂∂，所以在点)0,1(处，1=∂∂xz，2=∂∂y z ，于是方向导数为22)4sin(2)4cos(1-=-+-⋅=∂∂ππL z ． 另一方法．例2. 设由原点到点),(y x 的向径为r ，x 轴到r的转角为θ，x 轴到射线L 的转角为ϕ，求Lr ∂∂，其中22y x r r +== )0(≠r ． 解 因为θcos 22==+=∂∂r x y x x xr ，θsin 22==+=∂∂ryy x y yr 所以)cos(sin sin cos cos ϕθϕθϕθ-=+=∂∂Lr， 讨论：当θϕ=时，1=∂∂L r,即沿着向径本身方向的方向导数为1,当2πθϕ±=时，0=∂∂Lr,即沿着与向径垂直的方向导数为零．3．三元函数的方向导数三元函数),,(z y x f u =在空间一点(,,)P x y z 沿方向L (设方向L 的方向角为γβα,,)的方向导数，同样定义为ρρ),,(),,(lim 0z y x f z z y y x x f L f -∆+∆+∆+=∂∂→．其中222)()()(z y x ∆+∆+∆=ρ，γρβραρcos ,cos ,cos =∆=∆=∆z y x ．若函数),,(z y x f 在点(,,)P x y z 可微分，则在该点方向导数计算公式为cos cos cos {,,}{cos ,cos ,cos }f f f f f f fL x y z x y zαβγαβγ∂∂∂∂∂∂∂=++=⋅∂∂∂∂∂∂∂ {,,}f f fe x y z∂∂∂=⋅∂∂∂． 其中{cos ,cos ,cos }e αβγ=是与L 同方向的单位向量．例3．求函数u xyz =在点(5,1,2)P 处沿从点(5,1,2)P 到点(9,4,14)Q 的方向的方向导数．解 因为u yz x ∂=∂，,u u xz xy y z ∂∂==∂∂，所以2,10,5PPPu uu xyz∂∂∂===∂∂∂，而且{95,41,142}{4,3,12}PQ =---=，2||413PQ ==，于是 4312cos ,cos ,cos 131313αβγ===，从而431298cos cos cos 210513131313f f f f L x y z αβγ∂∂∂∂=++=⨯+⨯+⨯=∂∂∂∂． 二．梯度1．梯度定义设函数),(y x f z =在平面区域D 内具有一阶连续偏导数，则对于每一点(,)P x y D∈都可确定出一个向量j yf i x f∂∂+∂∂，这个向量称为函数),(y x f z =在点(,)P x y D ∈的梯度，记作⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂∂∂=∂∂+∂∂=x f x f j y f i x f y x gradf ,),( ． 2．梯度与方向导数关系设cos sin e i j ϕϕ=+是与L 同方向的单位向量，则由方向导数的计算公式得{}cos sin ,cos ,sin f f ff f L x y x y ϕϕϕϕ⎧⎫∂∂∂∂∂=+=⋅⎨⎬∂∂∂∂∂⎩⎭(,)(,)cos(^)gradf x y e gradf x y e gradf e =⋅=⋅),(y x gradf prj L =． 可见，方向导数Lf∂∂就是梯度在方向L 上的投影． 当L 方向与梯度方向一致时，有1)^cos(=e gradf，从而方向导数(,)f gradf x y L∂=∂有最大值，所以沿梯度方向的方向导数达到最大值，也就是说，梯度的方向是函数),(y x f 在这点增长最快的方向．结论：函数在某点的梯度方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值，即(,)max()f gradf x y L∂=∂ 3．梯度的计算梯度的模为 22)()(),(xfx f y x gradf ∂∂+∂∂=， 梯度方向为 当0≠∂∂xf时，x 轴到梯度转角的正切xf y f∂∂∂∂=θtan ． 4．梯度的几何意义曲面),(y x f z =被平面c z =所截得曲线L 的方程为⎩⎨⎧==c z y x f z ),(这条曲线L 在xoy 面上的投影是一条平面曲线*L ，它在xoy 平面上的直角坐标方程为c y x f =),(对于曲线*L 上一切点，对应的函数值都是c ，所以称曲线*L 为函数),(y x f z =的等高线， 等高线*L 上任一点(,)P x y 处法线斜率为11tan ()y x x yf dy f f dx f θ-=-==-，梯度j yf i x f ∂∂+∂∂为等高线上点P 处的法向量．梯度与等高线关系：函数),(y x f z =在点),(y x p 的梯度的方向与过点p 的等高线c y x f =),(在该点的法线方向相同，且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数，这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向．5．三元函数的梯度k zf j y f i x f z y x gradf∂∂+∂∂+∂∂=),,(等高线对应等量面．例3．求221y x grad+．解 因为221),(yx y x f +=，所以22)(2y x x x f +-=∂∂，22)(2y x yy f +-=∂∂， 于是j y x yi y x x y x grad 22222222)(2)(21+-+-=+．例4．设222),,(z y x z y x f ++=，求)2,1,1(-gradf ．解 因为k z j y i x z y x gradf222),,(++=，所以k j i gradf422)2,1,1(+-=-．6.数量场与向量场如果对于空间区域G 内的任一点M ，都有一个确定的数量)(M f ，则称在这空间区域G 内确定了一个数量场，一个数量场可由一个数量函数)(M f 来确定，如果与点M 相对应的是一个向量()F M ，则称在空间区域内确定了一个向量场，一个向量场可用一个向量函数()F M 来确定．思考题1．2．方向导数与梯度有何区别？又有何联系？（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
梯度与方向导数的应用
梯度与方向导数的应用梯度和方向导数是微积分中重要的概念，它们在许多领域中有着广泛的应用。
本文将介绍梯度和方向导数的概念，并探讨它们在不同领域中的具体应用。
一、梯度的概念及应用梯度是一个矢量，表示函数在某一点上的变化率最大的方向。
在二维空间中，梯度就是函数的偏导数，可以用矢量表示为(∂f/∂x, ∂f/∂y)。
在三维空间中，梯度是一个向量，可以用矢量表示为(∂f/∂x, ∂f/∂y,∂f/∂z)。
梯度的大小表示了函数在该点上的变化率的大小。
梯度在很多领域中有着广泛的应用。
例如在物理学中，梯度可以用来描述场量（如温度、压力、电势等）在空间中的分布情况。
在工程中，梯度可以用来优化设计，寻找设计空间中的最优解。
在计算机图形学中，梯度可以用来生成真实感的渐变效果。
在机器学习中，梯度可以用来优化模型的参数，提升模型的性能。
二、方向导数的概念及应用方向导数是函数在一点上沿着某一给定方向的变化率。
以二维空间为例，函数f(x, y)在点(x0, y0)沿着向量v=(a, b)的方向导数定义为∇f·v，其中∇f是梯度，·表示点积运算。
方向导数可以用来表示函数在某一方向上的变化快慢，其大小表示了函数在该方向上的变化率的大小。
方向导数在物理学、工程学、经济学等领域都有着广泛的应用。
例如在流体力学中，方向导数可以用来描述流体在某一方向上的速度变化。
在热传导中，方向导数可以用来描述热量在不同方向上的传导情况。
在经济学中，方向导数可以用来描述产品价格在某一方向上的变化率。
三、梯度和方向导数的应用案例1. 地质勘探：在地质勘探中，梯度和方向导数可以用来分析地下资源的分布情况。
通过计算地下资源（如石油、煤炭等）的梯度和方向导数，可以帮助勘探人员确定最佳的勘探方向和位置，提高勘探效率。
2. 机器人导航：在机器人导航中，梯度和方向导数可以用来规划机器人的移动路径。
通过计算机器人所在位置的梯度和方向导数，可以确定机器人应该沿着哪个方向移动，并调整移动的速度，从而实现快速而安全的导航。
数量场的方向导数与梯度
梯度的几何意义
01
在三维空间中，梯度表示函数值增长最快的方向，其方向与该 方向导数的方向一致。
02
梯度的模长表示函数在该点的变化率，即函数值在该点增加或
减少的速度。
在等高线图上，梯度的方向与等高线切线的方向垂直，梯度的
数量场的方向导数与梯度
目录
• 数量场的基本概念 • 方向导数 • 梯度 • 方向导数与梯度的关系 • 数量场的应用
01
数量场的基本概念
数量场的定义
总结词
数量场是一个数学概念，它是一个函 数，将点集映射到实数集，表示物理 量在空间中的分布情况。
详细描述
数量场是一个定义在一定空间上的函 数，其取值代表该空间位置上的物理 量的大小。例如，温度场表示温度在 空间中的分布，速度场表示速度在空 间中的分布。
GDP分布等。
02 分析经济现象，如区域经济发展、人口流动等。
03
预测经济趋势，如经济发展趋势、市场变化趋势等。
感谢您的观看
THANKS
数量场的几何意义
总结词
数量场的几何意义可以理解为物理量在空间中的梯度变化。
详细描述
在几何上，数量场可以看作是空间中各点的物理量沿各个方 向的变化情况。具体来说，如果一个点附近物理量的变化率 大，则该点处的梯度也大。因此，梯度可以用来描述物理量 在空间中的变化趋势。
数量场的分类
总结词
根据物理量的性质和变化规律，可以将数量场分为不同的类型。
几何图形表示
方向导数的几何意义可以通过函数图像在某一点的切线斜率来理解，切线斜率越大，表示函数在该方 向上的变化率越大；切线斜率越小，表示函数在该方向上的变化率越小。
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u y
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例3.
处矢径 r 的模 , 试证
x x y z
2 2 2
证:
f (r ) y
grad f (r )
f (r )
f ( r )
f (r ) x
f ( r )
x r
y r
,
f (r ) y
f (r ) z
j
f ( r )
2 2
(x y )
2 2 2 2
2
y x
2 2
2 2
(x y )
2
z y
2
x y y 2y (x y )
2 2 2
x y
2 2
2 2
(x y )
2
2 2
z x
2
z
2
y
2
y x
2 2
(x y )
2
x y
2 2
2 2
(x y )
2
1 5
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u (1,1) u ( 1,1) , el l
(6 3)
3 5
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7/22
(1) 方向导数取最大值的方向即梯度方向，其单位向 量为
1 2 (1,1)
，方向导数的最大值为
1 2
u ( 1,1) 3 2.
(2) u 沿梯度的负向即
k
z r
i
f (r ) z
z
r
O
P
y
f (r ) ( x i y j z k ) r 1 f ( r ) r f (r ) er r
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1
x
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3、物理意义
数量场 (数性函数)
函数
场
如: 温度场, 电势场等 向量场(矢性函数)
(物理量的分布)
注意: 对三元函数, f f ( P) 5 与 f (P) 沿此方向的方向导数为 n P 垂直的方向 思考: f 在点P处沿什么方向变化率为0 ? 有无穷多
n f ( P) (2, 1, 0)
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9/22
2. 梯度的运算法则
(2) grad (c u ) c grad u 或 (c u ) c u
1. 定义 如果 n 元函数 u f ( x ) 的偏导函数 xi 在点 x0对变量 x j 的偏导数存在 ，则称这个偏导 数为f 在点 x0 先对变量 xi 再对变量 x j 的二阶偏导
f ( x )
数，记为：
f ( x0 )
2
x j xi
x j xi
(
注：1. 方向导数可以表示成：
2. 若记 dx (dx1 , dx2 ,, dxn ) ，则利用梯度可将
f 在点 x 处的全微分写成：
df ( x ) f ( x ), dx
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6/22
例1. 求二元函数 u x 2 xy y 2 在点 P（-1，1）处
其中 的单位向量。
为l 方向上
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2/22
n f ( x0 ) f ( x0 ) 方向导数公式 cos i xi l i 1
f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) , , , 令向量 g x1 x2 xn
f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) , , , x1 x2 xn
为函数 f
其中
称为向量微分算子或 Nabla算子.
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4/22
其中
称为向量微分算子或 Nabla算子.
它本身没有意义，将
作用于函数 f 就得到一向量，即
如: 力场,速度场等
可微函数 f (P) (势) 梯度场 grad f (P) (向量场)
注意: 任意一个向量场不一定是梯度场.
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结束13/22
例4. 已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点
处所产生的电势为 u
grad u E
q 4π r
(r
2 2 2 x y z ), 试证
f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) , , , x1 x2 xn
同样可定义二元函数
在点 P( x, y ) 处的梯度
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5/22
n f ( x0 ) f ( x0 ) 方向导数公式 cos i xi l i 1
(场强 E
q 4πεr
2
er )
证: 利用例3的结果 grad f (r ) f (r ) e r
grad u q 4 π r
er
q 4 π r
2
er E
这说明场强: 垂直于等势面,
且指向电势减少的方向.
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二、高阶偏导数
f
)
x x0
(2) 或 f xi x j ( x0 ) 或 fij ( x0 )
其中 1 i n,1 j n
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结束15/22
例如：二元函数 z = f (x , y) 的二阶偏导数共有四个， 按求导顺序不同, 有
( z z )
z x
第三节 多元数量值函数的导数和微分
一、梯度 二、高阶偏导数
第五章
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1/22
一、梯度
则函数在该点 复习: 若 n 元函数 f 在点 x0 可微，
沿任意方向 l 的方向导数存在 , 且有
n f ( x0 ) f ( x0 ) cos i xi l i 1
0
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结束21/22
例7. 证明函数
方程 u 证：
u x
2 2
满足拉普拉斯
u y
2 2
u z
2
2
0
r
2 3 x r 1 3x 1 u 4 3 5 2 3 r x r r x r
2
2
利用对称性 , 有
u x
2 2
(1, 1) 的方向减小的最快。
(3) 下求使 u 的变化率为零的方向。令 el (cos , sin )
则：u
l
( 1,1)
u ( 1,1) , el 3cos 3sin
3 2 sin(
)
u 令 0 得 , ，此时u 的值不变化。 l 4 4
1 沿方向 el (2,1) 的方向导数，并指出u 在该 5
点沿哪个方向的方向导数最大？这个最大的方向
导数值是多少？u 沿哪个方向减小的最快？沿着
哪个方向u 的值不变化？ 解： u
( 1,1)
( u , u ) x y
( 1,1)
(2x y , 2 y x ) ( 1,1) ( 3, 3)
2
2
x y x
z y x
2
(
z
2
) 2e
x2y
注意:此处
z x y
, 但这一结论并不总成立.
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f 反例： ( x, y )
4
xy
x y
2
2 2
x y 0,
2
,
x y 0
2 2
x y 0
2 2
f x ( x, y )
(4) grad ( u v ) u grad v v grad u
或 (u v ) u v v u
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结束10/22
证明：设 u u ( x ) u ( x1 , x2 ,, xn ) 由一元函数的
链式法则，有
f (u ) f (u ) f (u ) , , , x2 xn x1 u u u f (u ) , f (u ) , , f (u ) x1 x2 xn u u u f (u ) , , , f (u )u xn x1 x2
例5. 求函数 z e x 2 y 的二阶偏导数及
z y x
2
3
.
解:
z x
z x
2
2 2
e
x2y
z y
z x y
2
2 e x2y
2e
x2y
e
x2y
z y x
2e
3
x2y
z y
2
2
4e
x2y
z y x
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4
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例2. 设函数 (1) 求等值面 f ( x, y, z ) 2 在点 P(1,1,1) 处的切平面方程. (2) 求函数 f 在点 P (1,1,1) 沿增加最快方向的方向导数. 解: (1) 点P处切平面的法向量为 故所求切平面方程为 2( x 1) ( y 1) 0 ( z 1) 0 2x y 3 0 即 (2) 函数 f 在点P处增加最快的方向为