2015人教A版高考数学(文)复习课件学法指导第2部分指导4-6
人教A版高考数学(文)选修部分4-5-课件
热点一 含绝对值不等式的解法 【例 1】 已知函数 f(x)＝|x＋a|＋|x－2|. (1)当 a＝－3 时，求不等式 f(x)≥3 的解集； (2)若 f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求 a 的取值范围．
－2x＋5，x≤2， 解 (1)当 a＝－3 时，f(x)＝1，2<x<3，
2x－5，x≥3. 当 x≤2 时，由 f(x)≥3 得－2x＋5≥3，解得 x≤1； 当 2<x<3 时，f(x)≥3 无解；
探究提高 利用待定系数法求解，如本题中：设 y＝m(x＋y)＋ n(2x－y)，
则 mn＝＝－23，13，
即 3y＝2(x＋y)－(2x－y)．
【训练 2】 设 a，b 是非负实数，求证：a3＋b3≥ ab(a2＋b2)． 证明 由 a，b 是非负实数，作差得 a3＋b3－ ab(a2＋b2)＝a2 a ( a－ b)＋b2 b( b－ a)＝( a－ b)[( a)5－( b)5]．当 a≥b 时， a≥ b，从而( a)5≥( b)5，得( a－ b)[( a)5－( b)5]≥0； 当 a<b 时， a< b，从而( a)5<( b)5，得( a－ b)[( a)5－ ( b)5]>0. 所以 a3＋b3≥ ab(a2＋b2)．
▪高考定位 该部分主要有三个考点，一是带有 绝对值的不等式的求解；二是与绝对值不等式 有关的参数范围问题；三是不等式的证明与运 用．对于带有绝对值不等式的求解，主要考查 形如|x|＜a或|x|＞a及|x－a|±|x－b|＜c或|x－ a|±|x－b|＞c的不等式的解法，考查绝对值的几 何意义及零点分区间去绝对值符号后转化为不 等式组的方法．试题多以填空题或解答题的形 式出现．对于与绝对值不等式有关的参数范围 问题，此类问题常与绝对值不等式的解法、函 数的值域等问题结合，试题多以解答题为 主．对于不等式的证明问题，此类问题涉及到 的知识点多，综合性强，方法灵活，主要考查
2015年人教A版高三数学二轮复习专题课件 1-6-2
的关键，一 般以中档题为主；③随机变量的分
布列、均值和方差，以考生比较熟悉的实际应
用题为背景，综合排列组合、概率公式、互斥 真题感悟·考点
热点聚焦·题
归专纳题总训结练·思对第二页，编辑于星期五：十点 三十七分。
[真题感悟] (2014·安徽卷)甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直 接赢得比赛，若赛完 5 局仍未出现连胜，则判定获胜局数多 者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13， 各局比赛结果相互独立． (1)求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率； (2)记 X 为比赛决出胜负时的总局数，求 X 的分布列和均值(数 学期望)．
真题感悟·考点
热点聚焦·题
归专纳题总训结练·思对第十五页，编辑于星期五：十点 三十七分。
可得随机变量 ξ 的分布列为：
ξ 0 12 3 4 6
P
1 30
1 6
1 5
2 15
11 30
1 10
所以数学期望
E(ξ)
＝
0× 310
＋
1×
1 6
＋
2×
15 ＋ 3×
2 15
＋
4×
11 30
＋
6×110＝9310.
真题感悟·考点
热点聚焦·题
归专纳题总训结练·思对第十六页，编辑于星期五：十点 三十七分。
• 规律方法 求复杂事件的概率，要正确分析复 杂事件的构成，看复杂事件能转化为几个彼此 互斥的事件的和事件，还是能转化为几个相互 独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式 求解．
真题感悟·考点
热点聚焦·题
归专纳题总训结练·思对第十七页，编辑于星期五：十点 三十七分。
真题感悟·考点
高考数学(人教A版·数学文)全程复习方略配套课件：4.5 数系的扩充与复数的引入(共47张PPT)
【解析】(1)3+(2+x)i若为实数，则2+x=0,∴x=-2,故(1)正确. (2)由复数相等知， x 2 3 ，∴
y 2 x 1 y 2
，故(2)正确.
(3)2i+3的共轭复数为-2i+3,故(3)错误. (4)|1+i|= 2 ,|2-i|= 5 ,故(4)错误. 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×
【提醒】解题时，需注意两方面问题：一是正确理解和表达 有关概念，如a+bi为实数的条件，其共轭复数是什么,a+bi的
虚部是什么等;二是加强复数代数形式的四则运算的熟练程度.
【例1】(2011·安徽高考)设i是虚数单位，复数 1 ai 为纯虚
2i
数，则实数a为( (A)2 (C)- 1
2
) (B)-2 (D) 1
熟练应用运算技巧.
2.几个常用结论 在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度.
(1) (1 i) 2 2i; 1 i i; 1 i i;
1 i 1 i
(2)-b+ai=i(a+bi); (3)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0,n∈N*.
i 2 i3 i 4 【例3】(1)(2011·重庆高考)复数 =( ) 1 i 1 1 1 1 (A) i (B) i 2 2 2 2 (C) 1 1 i (D) 1 1 i 2 2 2 2 (2)(2011·湖北高考)i为虚数单位，则 (1 i ) 2 011 =( 1 i
高考数学总复习 第2节 参数方程课件 新人教A版选修44
数的关系 y＝g(t)
x＝ft ，那么 y＝gt 就是曲线的参数方程．
第五页，共70页。
在参数方程与普通(pǔtōng)方程的互化中，x，y的取值范围必 须保持一致．
第六页，共70页。
三、常见曲线的参数方程的一般形式
1．直线的参数方程
经过点 P0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线的参数方程为
x＝ x0＋tcos α y＝ y0＋tsin α
第十四页，共70页。
2．若 P(2，－1)为圆xy＝＝15＋sin5θcos θ， (θ 为参数且 0≤θ
＜2π)的弦的中点，则该弦所在的直线方程为( )
A．x－y－3＝0
B．x＋2y＝0
C．x＋y－1＝0
D．2x－y－5＝0
第十五页，共70页。
解析：由xy＝ ＝15＋sin5θc，os θ 消去参数 θ，得(x－1)2＋y2＝25， ∴圆心 C(1,0)，∴kCP＝－1. ∴弦所在的直线的斜率为 1. ∴弦所在的直线方程为 y－(－1)＝1·(x－2)， 即 x－y－3＝0，故选 A.
第二十页，共70页。
解析：曲线
C1：xy＝＝34＋＋csions
θ θ
(θ 为参数)的直角坐标方
程为(x－3)2＋(y－4)2＝1，可知曲线 C1 是以(3,4)为圆心，1 为半径的圆；曲线 C2：ρ＝1 的直角坐标方程是 x2＋y2＝1， 故 C2 是以原点为圆心，1 为半径的圆．由题意知|AB|的最小 值即为分别在两个圆上的两点 A，B 间的最短距离．由条件
① ②
①2＋②2 得 x2＋(y－1)2＝1，
即所求普通方程为 x2＋(y－1)2＝1，
答案(dáàn)：x2＋(y－1)2＝1
第二十六页，共70页。
2015高考数学(人教A版 理)配套课件：2-4 二次函数与幂函数
B．①④
C．②③
[解析] 因为图象与 x 轴交于两点，所以 b2－ 4ac>0，即 b2>4ac，①正确；对称轴为 x＝－1，即－ 2ba＝－1,2a－b＝0，②错误；
结合图象，当 x＝－1 时，y>0，即 a－b＋c>0， ③错误；
由对称轴为 x＝－1 知，b＝2a.又函数图象开口 向下，所以 a<0，所以 5a<2a，即 5a<b，④正确．
解析：∵a>b>c，且a＋b＋c＝0， ∴a>0，c<0. 答案：D
2．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，如果f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)，则f(x1＋
x2)＝( )
A．－2ba
B．－ba
C．c
4ac－b2 D. 4a
解析：由题意得：a≠0，x1，x2关于x＝－2ba对称，
所以x1＋2 x2＝－2ba，x1＋x2＝－ba.
• 怎样求二次函数的解析式？
• 根据已知条件确定二次函数的解析式，一 般用待定系数法，二次函数三种表示形式 的选择规律如下
• (1)若已知函数图象上任意三个点的坐标， 宜选用一般式；
• (2)若已知顶点坐标、对称轴或最大(小)值 ，宜选用顶点式；
• 1．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c且 a＋b＋c＝0，则它的图象可能是( )
• (1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)
• (2)顶点式：
，其中(h，k)为
抛物线的顶f(x)＝点a(x坐－x1标)(x－．x2)(a≠0)
• (3)两根式：
．
• 3．二次函数的图象与性质
• ____________________[通关方略 ]____________________
2021年人教A版高考数学(文)复习课件学法指导第2部分指导4-3
1．α 终边与 θ 终边相同(α 的终边在 θ 终边所在的射线上)⇔α＝θ ＋2kπ(k∈Z)，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的 角不一定相等． 任意角的三角函数的定义：设 α 是任意一个角，P(x，y)是 α 的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是 r＝ x2＋y2＞0，那么 sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx，(x≠0)，三角 函数值只与角的大小有关，而与终边上点 P 的位置无关．
减区间：π2＋2kπ，32π＋2kπ(k∈Z)； y＝cos x 的增区间：[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)， 减区间：[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)； y＝tan x 的增区间：－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)． (4)周期性与奇偶性： y＝sin x 的最小正周期为 2π，为奇函数；y＝cos x 的最小正周 期为 2π，为偶函数；y＝tan x 的最小正周期为 π，为奇函数．
[回扣问题 3] 函数 y＝sin－2x＋π3的递减区间是________． 答案 kπ－1π2，kπ＋152π(k∈Z)
4．两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式 sin(α±β)＝sin αcosβ±cos αsin β 令 α＝β, sin 2α＝2sin αcos α. cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β 令 α＝β, cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. tan(α±β)＝1t∓antaαn±αttaannββ. cos2α＝1＋c2os 2α，sin2α＝1－c2os 2α，tan 2α＝12－tatnanα2α.
[回扣问题 1] 已知角 α 的终边经过点 P(3，－4)，则 sin α＋cos α 的值为______． 答案 －15
2015年高考数学总复习(人教A版,理科)配套教案：第四章 三角函数、解三角形 4.6
§4.6正弦定理、余弦定理及解三角形1．正弦、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容asin A＝bsin B＝csin C＝2Ra2＝b2＋c2－2bc cos_A；b2＝c2＋a2－2ca cos_B；c2＝a2＋b2－2ab cos_C变形(1)a＝2R sin A，b＝2R sin_B，c＝2R sin_C；(2)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R；(3)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(4)a sin B＝b sin A，b sin C＝c sinB，a sin C＝c sin Acos A＝b2＋c2－a22bc；cos B＝c2＋a2－b22ac；cos C＝a2＋b2－c22ab2. S△ABC＝12ab sin C＝12bc sin A＝12ac sin B＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.3．在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A<a<b a≥b a>b解的个数一解两解一解一解4. 实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等． (3)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②)． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在△ABC 中，A >B 必有sin A >sin B ．( √ )(2)若满足条件C ＝60°，AB ＝3，BC ＝a 的△ABC 有两个，那么a 的取值范围是(3，2)．( √ ) (3)若△ABC 中，a cos B ＝b cos A ，则△ABC 是等腰三角形．( √ ) (4)在△ABC 中，tan A ＝a 2，tan B ＝b 2，那么△ABC 是等腰三角形．( × )(5)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( × )2． (2013·湖南)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b ，若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( )A.π12B.π6C.π4D.π3答案 D解析 在△ABC 中，利用正弦定理得 2sin A sin B ＝3sin B ，∴sin A ＝32. 又A 为锐角，∴A ＝π3.3． (2013·陕西)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sinA ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定答案 B解析 由b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，所以sin A ＝1，由0<A <π，得A ＝π2，所以△ABC 为直角三角形．4． 在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．答案 27解析 由正弦定理知AB sin C ＝3sin 60°＝BCsin A， ∴AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A .又A ＋C ＝120°，∴AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin(120°－C ) ＝2(sin C ＋2sin 120°cos C －2cos 120°sin C ) ＝2(sin C ＋3cos C ＋sin C )＝2(2sin C ＋3cos C )＝27sin(C ＋α)， 其中tan α＝32，α是第一象限角， 由于0°＜C ＜120°，且α是第一象限角， 因此AB ＋2BC 有最大值27.5． 一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为______ km. 答案 30 2解析 如图所示，依题意有AB ＝15×4＝60，∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°， 在△AMB 中，由正弦定理得60sin 45°＝BM sin 30°，解得BM ＝30 2 (km)．题型一 正、余弦定理的简单应用例1 (1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A 等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ，则sin B ＋sin C 的最大值为( )A ．0B ．1C.12D. 2思维启迪 (1)由sin C ＝23sin B 利用正弦定理得b 、c 的关系，再利用余弦定理求A . (2)要求sin B ＋sin C 的最大值，显然要将角B ，C 统一成一个角，故需先求角A ，而题目给出了边角之间的关系，可对其进行化边处理，然后结合余弦定理求角A . 答案 (1)A (2)B解析 (1)∵sin C ＝23sin B ，由正弦定理得c ＝23b ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，又A 为三角形的内角，∴A ＝30°.(2)已知2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ， 根据正弦定理，得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ， 即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－12，又A 为三角形的内角，∴A ＝120°.故sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin(60°－B )＝32cos B ＋12sin B ＝sin(60°＋B )， 故当B ＝30°时，sin B ＋sin C 取得最大值1.思维升华 (1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． (2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．(1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C 等于( )A.725B ．－725C ．±725D.2425(2)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则角A 的大小为________． 答案 (1)A (2)π6解析 (1)由正弦定理b sin B ＝csin C ，将8b ＝5c 及C ＝2B 代入得bsin B ＝85b sin 2B ，化简得1sin B ＝852sin B cos B ，则cos B ＝45，所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝2×(45)2－1＝725，故选A.(2)∵A ＋C ＝2B 且A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3.由正弦定理知：sin A ＝a sin B b ＝12，又a <b ，∴A <B ，∴A ＝π6.题型二 正弦定理、余弦定理的综合应用例2 (2012·课标全国)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sinC －b －c ＝0. (1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .思维启迪 利用正弦定理将边转化为角，再利用和差公式可求出A ；面积公式和余弦定理相结合，可求出b ，c .解 (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0.因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12. 又0<A <π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.思维升华 有关三角形面积问题的求解方法： (1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化．(2)合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、二倍角公式等．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .(1)若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状． 解 (1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得a 2＋b 2－ab ＝4. 又∵△ABC 的面积为3，∴12ab sin C ＝3，ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)由sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ， 得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin A cos A ，即2sin B cos A ＝2sin A cos A ，∴cos A ·(sin A －sin B )＝0， ∴cos A ＝0或sin A －sin B ＝0， 当cos A ＝0时，∵0<A <π，∴A ＝π2，△ABC 为直角三角形；当sin A －sin B ＝0时，得sin B ＝sin A ， 由正弦定理得a ＝b ， 即△ABC 为等腰三角形．∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 题型三 解三角形的实际应用例3 某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10 n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile /h 的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．思维启迪 本题中所涉及的路程在不断变化，但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等，先设出所用时间t ，找出等量关系，然后解三角形．解 如图所示，根据题意可知AC ＝10，∠ACB ＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h ，并在B 处与渔轮相遇，则AB ＝21t ，BC ＝9t ，在△ABC 中，根据余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 120°，所以212t 2＝102＋92t 2＋2×10×9t ×12，即360t 2－90t －100＝0，解得t ＝23或t ＝－512(舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为23 h ．此时AB ＝14，BC ＝6.在△ABC 中，根据正弦定理得BC sin ∠CAB ＝ABsin 120°，所以sin ∠CAB ＝6×3214＝3314，即∠CAB ≈21.8°或∠CAB ≈158.2°(舍去)． 即舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°.所以舰艇以66.8°的方位角航行，需23h 才能靠近渔轮．思维升华 求解测量问题的关键是把测量目标纳入到一个可解三角形中，三角形可解，则至少要知道这个三角形的一条边长．解题中注意各个角的含义，根据这些角把需要的三角形的内角表示出来，注意不要把角的含义弄错，不要把这些角与要求解的三角形的内角之间的关系弄错．在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为15°，如图所示，向山顶前进100 m 后，又从B 点测得斜度为45°，设建筑物的高为50 m ．求此山对于地平面的斜度θ的余弦值．解 在△ABC 中，∠BAC ＝15°，∠CBA ＝180°－45°＝135°，AB ＝100 m ， 所以∠ACB ＝30°.由正弦定理，得100sin 30°＝BC sin 15°，即BC ＝100sin 15°sin 30°.在△BCD 中，因为CD ＝50，BC ＝100sin 15°sin 30°，∠CBD ＝45°，∠CDB ＝90°＋θ，由正弦定理，得50sin 45°＝100sin 15°sin 30°sin (90°＋θ)，解得cos θ＝3－1.因此，山对地面的斜度的余弦值为3－1.代数式化简或三角运算不当致误典例：(12分)在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断△ABC 的形状．易错分析 (1)从两个角的正弦值相等直接得到两角相等，忽略两角互补情形； (2)代数运算中两边同除一个可能为0的式子，导致漏解； (3)结论表述不规范． 规范解答解 ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，∴b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )]＝a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2sin A cos B ·b 2＝2cos A sin B ·a 2， 即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cos B ．[4分]方法一 由正弦定理知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， ∴sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B ，又sin A ·sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B .[8分]在△ABC 中，0<2A <2π，0<2B <2π，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰或直角三角形．[12分] 方法二 由正弦定理、余弦定理得： a 2bb 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a a 2＋c 2－b 22ac， ∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， ∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， ∴a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0. 即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 为等腰或直角三角形．[12分]温馨提醒 (1)判断三角形形状要对所给的边角关系式进行转化，使之变为只含边或只含角的式子然后判断；注意不要轻易两边同除以一个式子．(2)在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．方法与技巧1． 应熟练掌握和运用内角和定理：A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．2． 正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B ·sin C ·cos A ，可以进行化简或证明． 3． 合理利用换元法、代入法解决实际问题． 失误与防范1． 在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解，所以要进行分类讨论．2． 利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制.A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题1． 在△ABC ，已知∠A ＝45°，AB ＝2，BC ＝2，则∠C 等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．30°或150°答案 A解析 在△ABC 中，AB sin C ＝BC sin A ，∴2sin C ＝2sin 45°，∴sin C ＝12，又AB <BC ，∴∠C <∠A ，故∠C ＝30°.2． △ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cb<cos A ，则△ABC 为( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形答案 A解析 依题意得sin Csin B <cos A ，sin C <sin B cos A ，所以sin(A ＋B )<sin B cos A ，即sin B cos A ＋cos B sin A －sin B cos A <0， 所以cos B sin A <0.又sin A >0，于是有cos B <0，B 为钝角，△ABC 是钝角三角形．3． (2012·湖南)△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A.32B.332C.3＋62D.3＋394答案 B解析 设AB ＝a ，则由AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B 知7＝a 2＋4－2a ，即a 2－2a －3＝0，∴a ＝3(负值舍去)． ∴BC 边上的高为AB ·sin B ＝3×32＝332. 4． (2013·辽宁)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cosA ＝12b ，且a ＞b ，则∠B 等于( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案 A解析 由条件得a b sin B cos C ＋c b sin B cos A ＝12，依正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，∴sin(A ＋C )＝12，从而sin B ＝12，又a ＞b ，且B ∈(0，π)，因此B ＝π6.5． 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知b 2＝c (b ＋2c )，若a ＝6，cos A＝78，则△ABC 的面积等于( )A.17B.15C.152D ．3答案 C解析 ∵b 2＝c (b ＋2c )，∴b 2－bc －2c 2＝0， 即(b ＋c )·(b －2c )＝0，∴b ＝2c .又a ＝6，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝78，解得c ＝2，b ＝4.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×2×1－(78)2＝152.二、填空题6． (2013·安徽)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sinB ，则角C ＝________. 答案2π3解析 由已知条件和正弦定理得：3a ＝5b ，且b ＋c ＝2a ， 则a ＝5b 3，c ＝2a －b ＝7b3cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0<C <π，因此角C ＝2π3.7． 在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则a ＝________.答案 210解析 由tan A ＝2得sin A ＝2cos A . 又sin 2A ＋cos 2A ＝1得sin A ＝255. ∵b ＝5，∠B ＝π4，根据正弦定理，有a sin A ＝bsin B ，∴a ＝b sin A sin B ＝2522＝210.8． 如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在点A 的同侧的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点的距离为________． 答案 50 2 m 解析 由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝ACsin B，所以AB ＝AC ·sin ∠ACBsin B ＝50×2212＝50 2.三、解答题9． (2013·北京)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A .(1)求cos A 的值； (2)求c 的值．解 (1)在△ABC 中，由正弦定理 a sin A ＝b sin B ⇒3sin A ＝26sin 2A ＝262sin A cos A ， ∴cos A ＝63. (2)由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ⇒32＝(26)2＋c 2－2×26c ×63则c 2－8c ＋15＝0. ∴c ＝5或c ＝3.当c ＝3时，a ＝c ，∴A ＝C .由A ＋B ＋C ＝π，知B ＝π2，与a 2＋c 2≠b 2矛盾．∴c ＝3舍去．故c 的值为5.10．(2013·江西)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0. (1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．解 (1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B －3sin A cos B ＝0 即有sin A sin B －3sin A cos B ＝0， 因为sin A ≠0，所以sin B －3cos B ＝0， 即3cos B ＝sin B . 因为0<B <π， 所以sin B >0， 所以cos B >0，所以tan B ＝3， 即B ＝π3.(2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 因为a ＋c ＝1，cos B ＝12，所以b 2＝(a ＋c )2－3ac ≥(a ＋c )2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝14(a ＋c )2＝14， ∴b ≥12.又a ＋c >b ，∴b <1，∴12≤b <1.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)1． △ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则ba等于( )A ．2 3B ．2 2C. 3D. 2答案 D解析 ∵a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ， ∴sin A sin A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ， ∴sin B ＝2sin A ，∴b a ＝sin Bsin A＝ 2.2． 有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )A ．1B ．2sin 10°C ．2cos 10°D ．cos 20°答案 C解析 如图，∠ABC ＝20°， AB ＝1，∠ADC ＝10°， ∴∠ABD ＝160°.在△ABD 中，由正弦定理得AD sin 160°＝ABsin 10°，∴AD ＝AB ·sin 160°sin 10°＝sin 20°sin 10°＝2cos 10°.3． (2013·浙江)在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点．若sin ∠BAM ＝13，则sin ∠BAC＝________. 答案63解析 因为sin ∠BAM ＝13，所以cos ∠BAM ＝223.如图，在△ABM 中，利用正弦定理，得BM sin ∠BAM ＝AM sin B ，所以BM AM ＝sin ∠BAM sin B ＝13sin B ＝13cos ∠BAC .在Rt △ACM 中，有CMAM ＝sin ∠CAM ＝sin(∠BAC －∠BAM )．由题意知BM ＝CM ，所以13cos ∠BAC＝sin(∠BAC －∠BAM )．化简，得22sin ∠BAC cos ∠BAC －cos 2∠BAC ＝1. 所以22tan ∠BAC －1tan 2∠BAC ＋1＝1，解得tan ∠BAC ＝ 2.再结合sin 2∠BAC ＋cos 2∠BAC ＝1，∠BAC 为锐角可解得sin ∠BAC ＝63. 4． (2012·江西)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝a . (1)求证：B －C ＝π2；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．(1)证明 由b sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝a ，应用正弦定理，得sin B sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －sin C sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝sin A ， sin B ⎝⎛⎭⎫22sin C ＋22cos C －sin C⎝⎛⎭⎫22sin B ＋22cos B ＝22， 整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1， 即sin(B －C )＝1.由于0<B ，C <34π，从而B －C ＝π2.(2)解 B ＋C ＝π－A ＝3π4，因此B ＝5π8，C ＝π8.由a ＝2，A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2sin 5π8sin π8＝2cos π8sin π8＝12.5． 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，角B 所对的边b ＝3，且函数f (x )＝23sin 2x＋2sin x cos x －3在x ＝A 处取得最大值． (1)求f (x )的值域及周期； (2)求△ABC 的面积．解 (1)因为A ，B ，C 成等差数列， 所以2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π， 所以B ＝π3，即A ＋C ＝2π3.因为f (x )＝23sin 2x ＋2sin x cos x － 3 ＝3(2sin 2x －1)＋sin 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 所以T ＝2π2＝π.又因为sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈[－1,1]， 所以f (x )的值域为[－2,2]． (2)因为f (x )在x ＝A 处取得最大值， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2A －π3＝1. 因为0<A <23π，所以－π3<2A －π3<π，故当2A －π3＝π2时，f (x )取到最大值，所以A ＝512π，所以C ＝π4.由正弦定理，知3sin π3＝csin π4⇒c ＝ 2. 又因为sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π6＝2＋64， 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝3＋34.。
2015高考数学(人教A版,文)一轮课件：1-2命题及其关系、充分条件与必要条件
∵綈p是綈q的必要而不充分条件．
∴A B，∴1m－＞m0＜，－2， 1＋m≥10，
在数学中用语言、符号或式子表达的，可以 □1 __________ 的陈述句叫做命题．其中 □2 ____________的语句叫真命题， □3
____________的语句叫假命题．
第五页，编辑于星期五：十五点 十分。
2．四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系
第六页，编辑于星期五：十五点 十分。
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有□7 ____的真假性； ②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性 □8
__________. 3．充分条件与必要条件
(1)如果p⇒q，则p是q的□9 ________，q是p的□10 _________. (2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的□11 __________.
第三十页，编辑于星期五：十五点 十分。
④设a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，若a ＝1，b＝ 3，则“A＝30°”是“B＝60°”的必要不充分条件．
其中真．命题的序号是__________．
第三十一页，编辑于星期五：十五点 十分。
解析：对于①，当数列{an}为等比数列时，易知数列{anan＋1} 是等比数列，但当数列{anan＋1}为等比数列时，数列{an}未必是等 比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列
第二十九页，编辑于星期五：十五点 十分。
通关训练2 给出下列命题： ①“数列{an}为等比数列”是“数列{anan＋1}为等比数列”的 充分不必要条件； ②“a＝2”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函 数”的充要条件； ③“m＝3”是“直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5 ＝0互相垂直”的充要条件；
2021年人教A版高考数学(文)复习课件学法指导第2部分指导4-2
f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)；
定义域含 0 的奇函数满足 f(0)＝0；定义域关于原点对称是函
数为奇函数或偶函数的必要不充分的条件；判断函数的奇偶
性，先求定义域，再找 f(x)与 f(－x)的关系．
[回扣问题 5] 函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，当 x＞0 时，
答案 8 6
2．求函数的定义域，关键是依据含自变量 x 的代数式有意义来 列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是 非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的 不等式，不应遗漏．若 f(x)定义域为[a，b]，复合函数 f[g(x)] 定义域由 a≤g(x)≤b 解出；若 f[g(x)]定义域为[a，b]，则 f(x) 定义域相当于 x∈[a，b]时 g(x)的值域． [回扣问题 2] 已知 f(x)＝ －x2＋10x－9，g(x)＝[f(x)]2＋f(x2) 的定义域为________．
答案 [1,3]
3．求函数解析式的主要方法： (1)代入法；(2)待定系数法；(3)换元(配凑)法；(4)解方程法等． [回扣问题 3] 已知 f(x)－4f(1x)＝－15x，则 f(x)＝________. 答案 x＋4x
4．分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来 表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数． 2x3，x＜0 [回扣问题 4] 已知函数 f(x)＝－tan x，0≤x＜π2， 则 f(f(π4))＝________. 答案 －2
[回扣问题 8] 函数 y＝2x2＋x 1(x≥0)的值域为________． 答案 12，1
9．常见的图象变换 (1)平移变换 ①函数 y＝f(x＋a)的图象是把函数 y＝f(x)的图象沿 x 轴向左(a ＞0)或向右(a＜0)平移|a|个单位得到的． ②函数 y＝f(x)＋a 的图象是把函数 y＝f(x)的图象沿 y 轴向上(a ＞0)或向下(a＜0)平移|a|个单位得到的． (2)伸缩变换 ①函数 y＝f(ax)(a＞0)的图象是把函数 y＝f(x)的图象沿 x 轴伸 缩为原来的1a得到的．
2015高考数学(人教A版)一轮课件：4 5简单的三角恒等变换
题型三 三角变换的简单应用
【例 3】 (2014·安徽合肥一模)设函数 f(x)＝ 22cos(2x＋π4) ＋sin2x.
(1)求 f(x)的最小正周期； (2)设函数 g(x)对任意 x∈R，有 g(x＋π2)＝g(x)，且当 x∈[0， π2]时，g(x)＝12－f(x)，求 g(x)在区间[－π，0]上的解析式．
由于对任意 x∈R，g(x＋π2)＝g(x)，从而 g(x)＝g(x＋2π)＝12sin[2(x＋π2)] ＝12sin(π＋2x)＝－12sin 2x.
②当 x∈[－π，－π2)时，x＋π∈[0，π2)，从而 g(x)＝g(x＋π)＝12sin[2(x＋π)]＝12sin 2x. 综合①②得 g(x)在[－π，0]上的解析式为
(2)由(1)知，f(α)＝ 22cos(α＋π4)＝3102， 所以 cos(α＋π4)＝35. 所以 sin2α＝－cos(2π＋2α) ＝－cos2(α＋π4)＝1－2cos2(α＋4π) ＝1－285＝275.
使用公式时不注意使用条件
【例 1】 若 sinα＝m，α 为第二象限角，则 tan2α 的值为( )
(1)C
10 (2)13
1－11232＝153，
[方法·规律] 1.本题(2)求解时，也可将 cos(π4－α)，sin(π4＋α) 展开化简最终转化为求 cosα－sinα 的值．
2．三角函数的“给式(值)求值”的关键是找出已知式与未 知式的关系，将所给一个或几个三角函数式经过变形，转化成所 求函数式能使用的形式，或者将所求函数式经过变形后再用条件 达到求值的目的．
sin2 cos2
＝cos2α2α－sinα2α2·csoinsαα sin2·cos2
＝2scionαsα·csoinsαα＝2.