第1讲 不等关系与不等式
不等关系与不等式第一课时教学设计
3.1 不等关系与不等式教学设计（第一课时）【教学过程】一．情景导入，创设问题：以章头图为情景，让学生发挥想象，举出生活中类似“不等关系”的实例.如：某天的天气预报报道，最高气温30℃，最低气温15℃.(学生举手发表，教师给以肯定与表扬)〖设计意图〗由章头图让学生自由发挥，举出类似的例子.提问：如何用数学符号表示这些不等关系呢？生：用不等式.回顾不等式的相关知识：举例-7＜-5；3+4＞1+4；26x ≤；a +2≥0；3≠4；22≥.不等式：用不等号将两个式子连接起来所成的式子.我们学过的有哪些不等号？> 表示大于 < 表示小于≥ 表示大于或等于（不小于、不低于）≤ 表示小于或等于（不大于、不超过）人的身高有高与矮，重量有轻重之分，数有大小之分.即两个实数有：a b >或a b <或a b =三种大小关系如：（给出教材上的两个实例，学生用不等式表示出来）实例1 限速40 km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40 km/h.实例2 某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不 少于2.3%.（对两个不等式同时满足的强调）二．师生互动，建立不等关系：问题1 设点A 与直线l 的距离为d ，B 为直线l 上任意一点，如图，你能得出怎样的不等关系？ AdlB［学生活动］由学生讨论、发言，师生共同总结出d AB ≤问题2 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，若单价每提高0.1 元，销售量就可能相应减少2000本.若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表 示销售的总收入不低于20万元呢？［师生活动］阅读题目，学生勾画出重要信息（注意单位的统一），按下列要求独立思考. 提问：怎样用自己的语言描述出销售总收入？用数学式子又怎样表示呢？（见预学案）解：设杂志的定价为x 元，则定价提高了( 2.5x -)元，即定价提高了（2.50.1x -）个0.1销售量减少了(2.50.20.1x -⨯)万本. 此时销售量为( 2.580.20.1x --⨯)万本.那么总收入为 2.5(80.2)0.1x x --⨯⋅万元. 故可以建立不等式 2.5(80.2)200.1x x --⨯⋅≥. ［学生活动］学生结合学案讨论，最后师生共同总结.问题3 某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种.按照生产的要求， 600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管的3倍.如何用不等式组表示上述所有不等关 系？［学生活动］自己阅读题目，找出其中蕴涵的不等关系.提示：若令截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根.根据题意，应当有什么样 的不等量关系呢？由学生讨论，举手到黑板上进行板演，最后集体讲评.解：令截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根.根据题意得：5006004000;3;0;0.x y x y x y +≤ ⎧⎪≥ ⎪⎨≥⎪⎪≥⎩[学有所用] 74p 练习1 （学生举手到黑板上板演）生活实例探究 若b 克糖水中有a 克糖，其中0b a >>；之后再放m 克糖（0m >）为什么会 变得更甜呢？思考：之后再放m 克糖使得糖水的什么变了？试猜想此过程中是否蕴涵了一个 不等关系？三. 类比实数的大小，比较代数式的大小：事实上，对于两个实数a b 、：若a b -是正数，那么a b >；若a b -等于零，那么a b =；若0a b -<， 那么a b <.反过来也成立吗？故有：0;0;0.a b a b a b ->⇔⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽-=⇔⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽-<⇔⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽思考：实数可以比较大小，那么，对于任意的两个代数式，又如何比较大小呢？四．实例剖析比较代数式2225856x x x x ++++与的大小.活动：让学生验证糖水实例探究中的猜想.归纳作差比较法的步骤：1.作差；2.变形：配方、因式分解、通分（分母）分子有理化3.定号.练习：比较下列代数式的大小（1）233x x +与；（2）6421x x x ++与 （其中1x ≠±）.五.课堂小结1.通过具体情景，建立不等式（组）2.比较两个代数式的大小——作差法【本节作业】7551P A B【板书设计】 3.1不等关系与不等式（一）实例 方法引导 方法归纳 如何用不等式或不等式组表示 实例剖析（知识方法应用） 小结 实际问题中不等量关系？ 示范解题。
§1 1.2 不等关系与不等式
i > j > 0, a j = a1q j −1 , (2)对于任意的 (2)对于任意的
ai = aq = aq 1 1
,
i− 1
( j− +(i− j) 1)
= aq 1
( j− (i− j) 1)
q
= ajq
(i− j)
,
2 因 0 < q <1,由 等 的 要 质3,有q2 <1 =1 为 质3 不 式 主 性
因此, 因此,
a+m a a > , 又 ≥ 10%, b+m b b
一般地, 为正实数, 一般地,设 a,b 为正实数,且 a < b, m > 0 ,则
a+m a > . b+m b
日常生活中,还有哪些实例满足例3中的不等式? 日常生活中,还有哪些实例满足例3中的不等式? 糖水越加糖越甜
1．不等式(1)a2＋2>2a；(2)a2＋b2≤2(a－b－1)；(3)a2＋b2>ab 恒成立的个数是 B ) ．不等式 恒成立的个数是( ； － － ； A．0 ． C．2 ． B．1 ． D．3 ．
思考:如何进行作差比较呢? 思考:如何进行作差比较呢?
作差比较法其一般步骤是: 作差比较法其一般步骤是: 其一般步骤是
作差→变形→判断符号→确定大小. 作差→变形→判断符号→确定大小.
（ 的大小. 例 1 试比较 x + 1)( x + 5) 与 ( x + 3) 的大小
2
解:由于
（x + 1)( x + 5) - ( x + 3) 2
m＋ n
的大小关系是( 与 d ＋ d 的大小关系是 A )
不等式与不等关系(第一课时)教案
§3.1不等式与不等关系【教学目标】1．知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质；2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；3．情态与价值：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。
【教学重点】用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。
理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
【教学难点】用不等式（组）正确表示出不等关系。
【教学过程】1.课题导入在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。
如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。
人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。
在数学中，我们用不等式来表示不等关系。
下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。
2.讲授新课1）用不等式表示不等关系引例1：限速40km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40km/h ，写成不等式就是：40v ≤引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示2.5%2.3%f p ≤⎧⎨≥⎩问题1：设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点，则||d AB ≤。
问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。
据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。
若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 2.5(80.2)0.1x x --⨯ 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式2.5(80.2)200.1x x --⨯≥ 问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种。
第一节 不等关系与不等式
∵a＋b＞0，(a－b)2≥0， a＋ba－b2 ∴ ≥0. a2b2 a b 1 1 ∴ 2＋ 2≥a＋b. b a a b 1 1 答案： 2＋ 2≥ ＋ b a a b
数学
首页
上一页
ห้องสมุดไป่ตู้
下一页
末页
结束
谢谢观看
数学
首页
上一页
下一页
末页
m＋n＝4， 则 m－n＝－2， m＝1， 解得 n＝3.
∴f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1)． ∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4， ∴5≤f(－2)≤10. 即 f(－2)的取值范围为[5,10]．
数学
首页
上一页
下一页
末页
第一节
不等关系与不等式
第一节
不等关系与不等式
结束
第一节 备考基础· 查清 1．a>b a＝b a<b 2.b<a an>bn n
不等关系与不等式 a>c a＋c>b＋c ac>bc ac<bc
a＋c>b＋d [试一试]
ac>bd
n a> b
1．解析：由性质知选 D. 答案：D 2．解析： 答案：< b＋c a＋c [练一练] > a＋c b＋c
数学
首页
上一页
下一页
末页
第一节
不等关系与不等式
结束
(2)法一：∵a＞0＞b，c＜d＜0，∴ad＜0，bc＞0，∴ad＜bc，故①错误． ∵a＞0＞b＞－a，∴a＞－b＞0， ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0， ∴a(－c)＞(－b)(－d)，∴ac＋bd＜0， a b ac＋bd ∴ ＋ ＝ ＜0，故②正确． d c cd ∵c＜d，∴－c＞－d， ∵a＞b，∴a＋(－c)＞b＋(－d)，a－c＞b－d，故③正确． ∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)， 故④正确，故选 C. 法二：取特殊值． 答案：(1)D
不等关系与不等式 课件
不等式性质的应用
[探究问题] 1．小明同学做题时进行如下变形： ∵2<b<3， ∴13<1b<12， 又∵－6<a<8， ∴－2<ab<4. 你认为正确吗？为什么？
提示：不正确．因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变， 但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道－6<a<8.不明确 a 值 的正负．故不能将31<b1<21与－6<a<8 两边分别相乘，只有两边都是正数的同向 不等式才能分别相乘．
2．由－6<a<8，－4<b<2，两边分别相减得－2<a－b<6，你认为正确吗？ 提示：不正确．因为同向不等式具有可加性与可乘性．但不能相减或相 除，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不可随意 “创造”性质．
3．你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？ ∵－2<a－b<4， ∴－4<b－a<－2. 又∵－2<a＋b<2， ∴0<a<3，－3<b<0， ∴－3<a＋b<3. 这怎么与－2<a＋b<2 矛盾了呢？
0<x≤18，
x15－2x≥110.
[规律方法] 1．此类问题的难点是如何正确地找出题中的显性不等关系和隐性不等 关系． 2．当问题中同时满足几个不等关系，则应用不等式组来表示它们之间 的不等关系，另外若问题有几个变量，选用几个字母分别表示这些变量 即可．
3．用不等式(组)表示不等关系的步骤： (1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、不多于、 不少于等． (2)适当的设未知数表示变量． (3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式．
§3.1.1不等关系与不等式(一)
浓度为 b m ,
am
bm b 可以证明 成立. am a
你能证明吗？预习下一节内容，给出证明.
2013-1-21 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 16
§3.1.1不等关系与不等式(一)
小结 1. 两 实数间的大小与两数之差有如下关系:
a>ba–b>0 a=ba–b=0 a<ba–b<0
根据两个正数的和仍是正数,得
(a b) (b c) 0, 即a c 0,
推论: 由a b, 且b c a c.
2013-1-21 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 12
a c.
§3.1.1不等关系与不等式(一)
不等式的性质
性质3:
3
§3.1.1不等关系与不等式(一)
问题2 :某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以 销售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元， 销售量就可能相应减少2000本，若把提价后杂志的 定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍 不低于20万元呢？ 分析:若杂志的定价为x元，则销售的总收入为
x 2.5 （8 0.2）x 万元。 0.1
4 x y 10 18 x 15 y 66 x 0 y 0
2013-1-21 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 7
§3.1.1不等关系与不等式(一)
练习3、某年夏天，我国遭受特大洪灾，灾区学生 小李家中经济发生困难，为帮助小李解决开学费用 问题，小李所在班级学生（小李除外）决定承担这 笔费用。若每人承担12元人民币，则多余84元；若 每人承担10元，则不够；若每人承担11元，又多出 40元以上。问该班共有多少人？这笔开学费用共多 少元？ 分析：设该班除小李外共有x人，这笔开学费用共 y元，则：
jiang_不等关系与不等式_ppt
理论迁移
例3
已知
12<a<60,15<b<36，求
a－b
及a的取值范围． b
解 ∵15<b<36， ∴－36<－b<－15. ∴12－36<a－b<60－15， ∴－24<a－b<45. 又316<1b<115，∴1326<ab<6105，∴13<ab<4.
∴－24<a－b<45，1<a<4. 3b
减少 x 2.5 0.2万本
0.1
数学应用
1.某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以 售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元销售 量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价 设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低 于20万元呢？
解：设每本杂志价格为x元，根据题意，
得
x(8 x 2.5 0.2) 20
那么ac bc.
(乘法法则)
自主学习 课本73~74页内容
(5)如果a b, c d, 那么a c b d. (同向不等式相加) (推论)如果a b, c d, 那么a c b d.
(6)如果a b 0, c d 0, 那么ac bd. (乘法法则)
分析:假设截得 500mm 的钢管 x 根，截得 600mm 的钢管 y 根.
根据题意，应有如下的不等关系：
⑴解得两种钢管的总长度不能超过 4000mm；
⑵截得 600mm 钢管的数量不能超过 500mm 钢管数量的 3 倍；
⑶解得两钟钢管的数量都不能为负。
500x 600 y ≤ 4000
由以上不等关系，可得不等式组： 3x ≥ y
高中数学人教A版必修5课件 3-1 不等关系与不等式 第15课时《不等关系与不等式》
a>b c>d>0⇒ac>bd
同向
7
可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N*，n≥2)
8
可开方性
a>b>0⇒n
n a>
b(n∈N*，n≥2)
同正
【练习 3】 (1)已知 a>b，e>f，c>0.求证：f－ac<e－bc； (2)若 bc－ad≥0，bd>0.求证：a＋b b≤c＋d d.
证明：证法一：(1)∵a>b，c>0，∴ac>bc，∴－ac<－bc.∵f<e， ∴f－ac<e－bc.
分析：首先分别设出每天派出甲型卡车和乙型卡车的数量，然后
明确问题中的不等关系：(1)甲型卡车的数量不超过 4 辆且为自然数， 乙型卡车的数量不超过 7 辆且为自然数；(2)驾驶员不能超过 9 名；(3) 每天至少要运 360 t 矿石．再用不等式组表示出来即可．
解析：设每天派出甲型卡车 x 辆，乙型卡车 y 辆，则
变 式 探 究 4 若 二 次 函 数 f(x) 的 图 象 关 于 y 轴 对 称 ， 且 1≤f(1)≤2,3≤f(2)≤4，求 f(3)的范围．
解析：设 f(x)＝ax2＋c(a≠0)．ff12＝＝a4＋a＋cc ⇒ca＝＝4ff21－3－3ff12，.
z≥45
x>95 C.y>380
z>45
x≥95 D.y>380
z>45
解析：“不低于”即“≥”，“高于”即“＞”，“超过”即 “＞”，∴x≥95，y＞380，z＞45.
答案：D
知识点二 比较两个实数(代数式)大小
作差法比较两实数(代数式)大小
高中数学第一章不等关系与基本不等式1
法二 画出数轴，B，C，P 三点所对应的数分别为12，3， a.由实数绝对值的几何意义，知当点 P 在射线 Bx 上(不含点 B) 时，原不等式成立．故原不等式的解集为xx＞12.
法三 将原不等式转化为|x－3|－|x＋1|－1＜0，构造函数 y ＝|x－3|－|x＋1|－1，即
y＝3－，2xx＜ ＋－ 1，1， －1≤x＜3， －5，x≥3.
③当 x≥12时，原不等式可化为 2x－1＜x＋1， 解得 x＜2.从而有12≤x＜2. 综上，原不等式的解集是{x|0＜x＜2}． (2)法一 原不等式等价于 ①x－＜x－－13，＋x＋1＜1或
②－ －1x≤－x3＜－3，x＋1＜1或③xx≥－33，－x＋1＜1， 不等式组①的解集为∅， 由不等式组②，得12＜x＜3. 由不等式组③，得 x≥3. 综上，原不等式的解集为xx＞12.
(3)零点分区间法(或叫定义法)：含有两个或两个以上绝对 值符号的不等式，可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转 化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．
(4)几何法：利用绝对值的几何意义画出数轴，将绝对值转 化为数轴上两点的距离求解．
法二 原不等式等价于
2≤x－4＜3 或－3＜x－4≤－2，
即 6≤x＜7 或 1＜x≤2.
所以原不等式的解集为{x|1＜x≤2 或 6≤x＜7}．
(3)由原不等式，可得
x＋1＞2－x 或 x＋1＜x－2.
解得 x＞12.
所以所求不等式的解集为xx＞12
.
|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0) 型不等式的解法
a＜0 ∅ R
1．不等式|x|＜a的解集为{x|－a＜x＜a}吗？ 提示：当a＞0时，不等式的解集为{x|－a＜x＜a}； 当a≤0时，不等式的解集为∅.
高中数学 第一章 不等关系与基本不等式 2 2.1 绝对值不等式教学案 5数学教学案
§1不等式的性质[对应学生用书P1][自主学习]1．实数大小的比较求差法a >b ⇔a －b >0；a <b ⇔a －b <0； a ＝b ⇔a －b ＝0.求商法当a >0，b >0时，⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a >b ；ab <1⇔a <b ；a b ＝1⇔a ＝b .2(1)性质1(对称性)：如果a >b ，那么b <a ； 如果b <a ，那么a >b .(2)性质2(传递性)：如果a >b ，b >c ，那么，a >c . (3)性质3(加法性质)：如果a >b ，那么a ＋c >b ＋c . ①移项法则：如果a ＋b >c ，那么a >c －b .②推论(加法法则)：如果a >b ，c >d ，那么a ＋c >b ＋d . (4)性质4(乘法性质)：如果a >b ，c >0，那么ac >bc ， 如果a >b ，c <0，那么ac <bc .①推论1(乘法法则)：如果a >b >0，c >d >0，那么ac ＞bd . ②推论2(平方法则)：如果a >b >0，那么a 2>b 2.③推论3(乘方法则)：如果a >b >0，那么a n>b n (n 为正整数)．④推论4(开方法则)：如果a >b >0，那么a 1n >b 1n(n 为正整数)．[合作探究]1．怎样比较两个代数式的大小？提示：整式、分式一般用求差的方法来比较大小；而算式则一般用求商的方法来比较大小．2．两个不同向不等式的两边可以分别相减或相除吗？ 提示：不可以，两个不同向不等式的两边不能分别相减，也不能分别相除，在需求差或商时，可利用不等式性质化为同向不等式相加或相乘，例如：a >b 且c <d ⇒a >b 且－c >－d ，⇒a －c >b －d .3．若a >b >0，当n <0时，a n >b n成立吗？提示：不成立，如当a ＝3，b ＝2，n ＝－1时， 3－1＝13<12＝2－1.[对应学生用书P1]比较大小[例1] (1) (2)设a ＞0，b ＞0，求证：a a b b≥(ab )a ＋b2.[思路点拨] 本题考查求差比较法及求商比较法在比较代数式大小中的应用，同时考查了运算及转化能力，解答此题(1)需要用求差的方法比较，解答(2)需要用求商的方法证明．[精解详析] (1)a 4－b 4－4a 3(a －b )＝(a －b )(a ＋b )(a 2＋b 2)－4a 3(a －b ) ＝(a －b )[(a ＋b )(a 2＋b 2)－4a 3] ＝(a －b )(a 3＋ab 2＋ba 2＋b 3－4a 3)＝(a －b )[(ab 2－a 3)＋(ba 2－a 3)＋(b 3－a 3)] ＝(a －b )(a －b )[－a (a ＋b )－a 2－(a 2＋b 2＋ab )] ＝－(a －b )2(3a 2＋2ab ＋b 2) ＝－(a －b )2[(3a ＋b3)2＋23b 2]≤0(当且仅当a ＝b 时取等号)． ∴a 4－b 4≤4a 3(a －b )．(2)证明：∵a a b b＞0，(ab )＞0，∴a a b bab ＝a ·b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b .①当a ＝b 时，显然有(a b )a －b 2＝1，②当a ＞b ＞0时，a b ＞1，a －b2＞0，③当b ＞a ＞0时，0＜a b＜1，a －b2＜0.由指数函数的单调性，②③均有⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b2＞1.综上可知，对任意正数a ，b ，都有a a b b≥(ab )a ＋b2.比较大小的常用方法及步骤：1．求差法：a ≥b ⇔a －b ≥0，a ≤b ⇔a －b ≤0.一般步骤是：作差→变形→判号→定论．变形是作差法的关键，配方和因式分解是常用的变形手段． 2．求商法：当a ＞0，b ＞0时，把比较a ，b 的大小转化为比较ab与1的大小关系，此即为作商比较法． 理论依据是不等式的性质：若a ＞0，b ＞0，则a b ≥1⇔a ≥b ，ab≤1⇔a ≤b .一般步骤为：作商→变形→与1比较大小→定论． 1．已知x ≠0，求证：(x 2－1)2＜x 4＋x 2＋1. 证明：(x 2－1)2－(x 4＋x 2＋1) ＝x 4－2x 2＋1－x 4－x 2－1 ＝－3x 2＜0，∴(x 2－1)2＜x 4＋x 2＋1.2．设a >b >0，求证：a 2－b 2a 2＋b 2>a －ba ＋b .证明：法一：a 2－b 2a 2＋b 2－a －ba ＋b＝a －b [a ＋b 2－a 2＋b 2]a 2＋b 2a ＋b＝2ab a －ba 2＋b 2a ＋b>0， 所以原不等式成立．法二：∵a >b >0，故a 2>b 2>0.故左边>0，右边>0.∴左边右边＝a ＋b 2a 2＋b 2＝1＋2ab a 2＋b 2>1. ∴原不等式成立.利用不等式的性质辨别不等式的正误(1)若a >b ，则ac <bc ； (2)若ac 2>bc 2，则a >b ； (3)若a <b <0，则a 2>ab >b 2； (4)若a <b <0，则|a |>|b |； (5)若c >a >b >0，则ac －a >bc －b.[思路点拨] 本题考查不等式性质的应用及逻辑推理能力．解答此题需要依据实数的基本性质，实数的符号的运算法则以及不等式性质，然后经过合理逻辑推理即可判断．[精解详析] (1)由于c 的符号未知，因而不能判断ac ，bc 的大小关系，故该命题是假命题．(2)由ac 2>bc 2知c ≠0，而c 2>0， ∴a >b ，故该命题是真命题．(3)⎩⎪⎨⎪⎧ a <b ，a <0⇒a 2>ab ；又⎩⎪⎨⎪⎧a <b ，b <0⇒ab >b 2，∴a 2>ab >b 2，故该命题是真命题．(4)两个负实数，较小的离原点远，其绝对值反而大，故该命题是真命题．(5)⎭⎪⎬⎪⎫a ＞b ＞0⇒－a ＜－b ＜0 c ＞a ＞b ＞0 ⇒0<c －a ＜c －b⇒⎭⎪⎬⎪⎫1c －a ＞1c －b ＞0 a ＞b ＞0⇒ac －a ＞bc －b，故该命题是真命题．在利用不等式性质判断不等式真假时，关键是依据题设条件，正确恰当地选择使用不等式的性质，当否定一个结论时只需举一个反例即可；有时也可采用特殊方法比较判断．3．若a ＞b ＞c ，则下面不等式中一定成立的是( ) A ．a |c |＞b |c | B ．ab ＞ac C ．a －|c |＞b －|c |D.1a ＜1b ＜1c解析：选项A 需要c ≠0，选项B 需要a ＞0，选项D 需要a ，b ，c 同号．答案：C4．利用不等式的性质判断下列各命题是否成立，并简述理由．(1)a ＞b ⇒2－x ·a ＞2－x·b . (2)a ＞b ，c ＞d ⇒a －c ＞b －d .(3)a ＞b ，c ＜d ，cd ≠0⇒a c ＞bd.(4)a ＜b ＜0⇒1a －b ＞1a .解：(1)成立．因为2－x＞0，由性质(4)知2－x·a ＞2－x·b .(2)不成立．令a ＝5，b ＝4，c ＝3，d ＝1，有a －c ＜b －d .(3)不成立．当a ＞b ＞0，c ＜0，d ＞0时显然有a c ＜bd.(4)不成立． 1a －b －1a ＝b aa －b ，由a ＜b ＜0，可得1a －b ＜1a.利用不等式的基本性质求代数式的取值范围________，xy的取值范围为________．[思路点拨] 利用不等式性质，先求－y 和1y的取值范围，再求x －y 和xy的取值范围．[精解详析] x －y ＝x ＋(－y )， 所以需先求出－y 的取值范围；x y ＝x ×1y ，所以需先求出1y的取值范围． ∵28＜y ＜33，∴－33＜－y ＜－28，133＜1y ＜128.又60＜x ＜84，∴27＜x －y ＜56，6033＜x y ＜8428.即2011＜xy＜3. [答案] 27＜x －y ＜56 2011＜xy＜3本题不能直接用x 的取值范围去减或除y 的取值范围，应严格利用不等式的基本性质去求得取值范围；其次在有些题目中，还要注意整体代换的思想，即弄清要求的与已知的“取值范围”间的联系．如已知20＜x ＋y ＜30,15＜x －y ＜18，要求2x ＋3y 的取值范围，不能分别求出x ，y 的取值范围，再求2x ＋3y 的取值范围，应把已知的“x ＋y ”“x －y ”视为整体，即2x ＋3y ＝52(x ＋y )－12(x－y )来求2x ＋3y 的取值范围，或根据线性规化知识求目标函数z ＝2x ＋3y 的取值范围．5．已知①－1≤a ＋b ≤1，②1≤a －b ≤3，求3a －b 的取值范围．解：设3a －b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＝(x ＋y )a ＋(x －y )b .∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.由①＋②×2得：－1＋2≤(a ＋b )＋2(a －b )≤1＋3×2， 即1≤3a －b ≤7.利用不等式的性质证明不等式[例4] 若a >b >0，c <d <0，e <0.求证： (1)ea －c >eb －d；(2)e a －c2>e b －d2.[思路点拨] 本题考查不等式性质的应用及逻辑推理能力．解答本题可先比较a －c 与b －d ，(a －c )2与(b －d )2的大小，进而判断1a －c 与1b －d，1a －c2与1b －d2的大小，再两边同乘以负数e ，得出要证明的结论．[精解详析] ∵c <d <0，∴－c >－d >0， ∵a >b >0，∴a －c >b －d >0. (*) (1)由(*)式知1a －c <1b －d .又∵e <0，∴ea －c >eb －d.(2)由(*)式知(a －c )2>(b －d )2>0， ∴1b －d2>1a －c2.又∵e <0，∴e b －d2<e a －c2.即e a －c2>e b －d2.利用不等式的性质证明不等式，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果能由不等式的性质直接进行推理论证，则严格按不等式性质成立的条件论证；否则可以先分析需要证明的不等式的结构，再利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．6．已知a ＞b ＞c ＞d ＞0，且a b ＝cd ，求证：a ＋d ＞b ＋c .证明：∵a b ＝c d ，∴a －b b ＝c －dd.∴(a －b )d ＝(c －d )b . 又∵a ＞b ＞c ＞d ＞0，∴a －b ＞0，c －d ＞0，b ＞d ＞0且bd ＞1，∴a －b c －d ＝b d＞1， ∴a －b ＞c －d ，即a ＋d ＞b ＋c .本课时内容是不等式的基础，是高考的重要考点，主要考查比较大小问题，不等式正误的判断以及利用不等式性质确定代数式的取值范围问题．一般与函数、方程等知识交汇命题．[考题印证](江苏高考)设x ，y 为实数，满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，则x 3y4的最大值是________．[命题立意]本题主要考查不等式的性质与函数的最大值的概念的综合应用及函数方程思想、转化分类及运算求解能力．[自主尝试]由题设知，实数x ，y 均为正实数，则条件可化为lg 3≤lg x ＋2lg y ≤lg 8， lg 4≤2lg x －lg y ≤lg 9，令lg x ＝a ，lg y ＝b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧lg 3≤a ＋2b ≤3lg 2，2lg 2≤2a －b ≤2lg 3.又设t ＝x 3y4，则lg t ＝3lg x －4lg y ＝3a －4b ，令3a －4b ＝m (a ＋2b )＋n (2a －b ), 解得m ＝－1，n ＝2.即lg t ＝－(a ＋2b )＋2(2a －b )≤－lg 3＋4lg 3＝lg 27.∴x 3y4的最大值是27. 另解：将4≤x 2y ≤9两边分别平方得，16≤x 4y2≤81，①又由3≤xy 2≤8可得，18≤1xy 2≤13，②由①×②得，2≤x 3y 4≤27，即x 3y4的最大值是27.[答案] 27[对应学生用书P4]一、选择题1．若a ＜0，－1＜b ＜0，则有( )A ．a ＞ab ＞ab 2B ．ab 2＞ab ＞a C ．ab ＞a ＞ab 2D ．ab ＞ab 2＞a解析：∵a ＜0，－1＜b ＜0，∴ab ＞0，b －1＜0,1－b ＞0,0＜b 2＜1， ∴1－b 2＞0，ab －a ＝a (b －1)＞0. ∴ab ＞a .又ab －ab 2＝ab (1－b )＞0， ∴ab ＞ab 2.又a －ab 2＝a (1－b 2)＜0， ∴a ＜ab 2.故ab ＞ab 2＞a . 答案：D2．设a >b >1，c <0，给出下列三个结论：①c a >c b；②a c <b c；③log b (a －c )>log a (b －c )． 其中，正确结论的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③D ．①②③解析：由a >b >1，c <0得，1a <1b ，c a >c b；幂函数y ＝x c(c <0)是减函数，所以a c <b c；因为a －c >b －c ，所以log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，①②③均正确．答案：D3．设角α，β满足－π2＜α＜β＜π2，则α－β的范围是( )A ．－π＜α－β＜0B ．－π＜α－β＜πC ．－π2＜α－β＜0D ．－π2＜α－β＜π2解析：∵－π2＜α＜β＜π2，∴－π2＜－β＜－α＜π2. ∴－π＜α－β＜β－α＜π， 且α－β＜0.∴－π＜α－β＜0. 答案：A4．若a ＞b ＞0，则下列各式中恒成立的是( ) A.2a ＋b a ＋2b ＞a b B.b 2＋1a 2＋1＞b 2a2 C ．a ＋1a ＞b ＋1bD ．a a＞b b解析：选取适当的特殊值，若a ＝2，b ＝1，可知2a ＋b a ＋2b ＝54，ab ＝2，由此可知选项A 不成立．利用不等式的性质可知，当a ＞b ＞0时，1a ＜1b ，由此可知，选项C 不恒成立．取a ＝12，b ＝14，则a ＞b ＞0，则a a ＝b b ，故选项D 不恒成立．故选B.答案：B 二、填空题5．设a ≥b ＞0，P ＝3a 3＋2b 3，Q ＝3a 2b ＋2ab 2，则P 与Q 的大小关系是________．解析：P －Q ＝3a 3＋2b 3－(3a 2b ＋2ab 2)＝3a 2(a －b )＋2b 2(b －a )＝(3a 2－2b 2)(a －b )．因为a ≥b ＞0，所以a －b ≥0，a 2≥b 2＞0. 所以3a 2≥3b 2＞2b 2，即3a 2－2b 2＞0. 从而(3a 2－2b 2)(a －b )≥0，即3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2，即P ≥Q . 答案：P ≥Q6．若a ，b ∈R ，且a ＞b ，下列不等式：①b a ＞b －1a －1；②(a ＋b )2＞(b ＋1)2；③(a －1)2＞(b －1)2. 其中不成立的是________．解析：①b a －b －1a －1＝ab －b －ab ＋a a a －1＝a －ba a －1.因为a －b ＞0，a (a －1)符号不确定，①不成立；②取a ＝2，b ＝－2，则(a ＋b )2＝0，(b ＋1)2＞0，②不成立；③取a ＝2，b ＝－2，则(a －1)2＝1，(b －1)2＝9，③不成立． 答案：①②③7．有以下四个条件：①b ＞0＞a ；②0＞a ＞b ；③a ＞0＞b ；④a ＞b ＞0. 其中能使1a ＜1b成立的有________个条件．解析：①∵b ＞0，∴1b＞0.∵a ＜0，∴1a ＜0.∴1a ＜1b.②∵b ＜a ＜0，∴1b ＞1a .③∵a ＞0＞b ，∴1a＞0，1b＜0.∴1a ＞1b.④∵a ＞b ＞0，∴1a ＜1b.综上知，①②④均能使1a ＜1b成立．答案：38．若1<a <3，－4<b <2，则a －|b |的取值范围是________． 解析：∵－4<b <2，∴0≤|b |<4，∴－4<－|b |≤0 又∵1<a <3，∴－3<a －|b |<3. 答案：(－3,3) 三、解答题9．当a ≠0时，比较(a 2＋2a ＋1)(a 2－2a ＋1)与(a 2＋a ＋1)(a 2－a ＋1)的大小．解：∵(a 2＋2a ＋1)(a 2－2a ＋1) ＝[(a 2＋1)＋2a ][(a 2＋1)－2a ]＝(a 2＋1)2－2a 2＝a 4＋2a 2＋1－2a 2＝a 4＋1，(a 2＋a ＋1)(a 2－a ＋1)＝[(a 2＋1)＋a ][(a 2＋1)－a ]＝(a 2＋1)2－a 2＝a 4＋2a 2＋1－a 2＝a 4＋a 2＋1，∴(a 2＋2a ＋1)(a 2－2a ＋1)－(a 2＋a ＋1)(a 2－a ＋1)＝(a 4＋1)－(a 4＋a 2＋1)＝－a 2.∵a ≠0，∴a 2＞0，∴－a 2＜0，∴(a 2＋2a ＋1)(a 2－2a ＋1)＜(a 2＋a ＋1)(a 2－a ＋1)． 10．已知a >b >c ，求证：1a －b ＋1b －c ＋1c －a >0.证明：原不等式变形为：1a －b ＋1b －c >1a －c .又∵a >b >c ，∴a －c >a －b >0. 从而有1a －b >1a －c，又∵1b －c >0，∴1a －b ＋1b －c >1a －c .即1a －b ＋1b －c ＋1c －a>0. 11．已知一次函数f (x )＝ax ＋b ，且－1≤f (－1)≤2，－2≤f (2)≤3，求f (3)的取值范围．解：法一：(不等式基本性质)∵⎩⎪⎨⎪⎧－1≤－a ＋b ≤2， ①－2≤2a ＋b ≤3. ②又∵f (3)＝3a ＋b ＝－13(－a ＋b )＋43(2a ＋b )，∴－103≤f (3)≤133.法二：(线性规划)因为⎩⎪⎨⎪⎧－1≤－a ＋b ≤2，－2≤2a ＋b ≤3，所以点(a ，b )所表示的区域如图阴影所示， 又∵f (3)＝3a ＋b ，所以由线性规划知识可知，当(a ，b )在D ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13位置时f (3)取得最大值；在B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，23位置时f (3)取得最小值，∴－103≤f (3)≤133.法三：(利用斜率公式)∵P 1(－1，f (－1))，P 2(2，f (2))，P 3(3，f (3))三点共线，∴kP 1P 2＝kP 1P 3.∴f 2－f －12－－1＝f 3－f －13－－1.∴f (3)＝－13f (－1)＋43f (2)．又∵－1≤f (－1)≤2，－2≤f (2)≤3，∴－103≤f (3)≤133.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第七章 不等式
第1讲 不等关系与不等式
一、选择题
1.已知2log3.6,a4log3.2,b4log3.6,c则( )
A.abc B. acb C. bac D. cab
解析 因为1a,,bc都小于1且大于0,故排除C,D;又因为,bc都是以4为底
的对数,真数大,函数值也大,所以bc,故选B.
答案 B
2．设0 C．2b<2a<2 D．a2 解析 运用倒数性质，由a>b，ab>0可得1a<1b，②、④正确．又正数大于负数， 5．若a＞0，b＞0，则不等式－b＜1x＜a等价于( )． A．－1b＜x＜0或0＜x＜1a B．－1a＜x＜1b (2)当x＜0时，－b＜1x＜a⇔x＜－1b. ∴甲⇒乙，乙推不出甲，例如：a＝32b，b>0时， 则2b－a＝12b>0， 8．现给出三个不等式：①a2＋1>2a；②a2＋b2>2a－b－32；③7＋10>3＋14. 其中恒成立的不等式共有________个． 解析 ∵z＝－12(x＋y)＋52(x－y)， ∴3≤－12(x＋y)＋52(x－y)≤8， ①若a>b>0，则1a>1b； ②若a>b>0，则a－1a>b－1b； 不成立，错误． 11．已知a∈R，试比较11－a与1＋a的大小． 解析 11－a－(1＋a)＝a21－a. 解 由题意，得 a－c＝f1，4a－c＝f2，解得 a＝13[f2－f1]，c＝－43f1＋13f2. x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy⇔xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2. logca＝1xy，logba＝1x，logcb＝1y，logac＝xy. f1＋2m－74＋cos2x对定义域内的一切实数x均成立？若存在，求出实数m 可得 m－sin x≤4，m－sin x≥1＋2m－74＋cos2x， 即 m－4≤sin x，m－1＋2m＋12≥－sin x－122.
答案 C
3．已知下列四个条件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0，能推出1a<1b成
立的有 ( )．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
①正确，③错误，故选C.
答案 C
4．如果a，b，c满足c
C．cb2
＝0时C不正确．
答案 C
C．x＜－1a或x＞1b D．x＜－1b或x＞1a
解析 由题意知a＞0，b＞0，x≠0，
(1)当x＞0时，－b＜1x＜a⇔x＞1a；
综上所述，不等式－b＜1x＜a⇔x＜－1b或x＞1a.
答案 D
6．若a、b均为不等于零的实数，给出下列两个条件．条件甲：对于区间[－1,0]
上的一切x值，ax＋b>0恒成立；条件乙：2b－a>0，则甲是乙的
( )．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 当x∈[－1,0]时，恒有ax＋b>0成立，
∴当a>0时，ax＋b≥b－a>0，
当a<0时，ax＋b≥b>0，∴b－a>0，b>0，∴2b－a>0，
但是，当x＝－1时，a·(－1)＋b＝－32b＋b＝－12b<0，
∴甲是乙的充分不必要条件．
答案 A
二、填空题
7．若a1
答案 a1b1＋a2b2>a1b2＋
a2b
1
解析 因为a2－2a＋1＝(a－1)2≥0，所以①不恒成立；对于②，a2＋b2－2a
＋2b＋3＝(a－1)2＋(b＋1)2＋1>0，所以②恒成立；对于③，因为(7＋10)
2
－(3＋14)2＝270－242>0，且7＋10>0，3＋14>0，所以7＋
10>3＋14，即③恒成立．
答案 2
9．已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是________(用
区间表示)．
∴z∈[3,8]．
答案 [3,8]
10．给出下列四个命题：
③若a>b>0，则2a＋ba＋2b>ab；
④设a，b是互不相等的正数，则|a－b|＋1a－b≥2.
其中正确命题的序号是________(把你认为正确命题的序号都填上)．
解析 ①作差可得1a－1b＝b－aab，而a>b>0，则b－aab<0，此式错误．②a>b>0，
则1a<1b，进而可得－1a>－1b，所以可得a－1a>b－1b正确．③2a＋ba＋2b－ab＝
b2a＋b－aa＋2ba＋2bb＝b2－a2a＋2bb＝b－ab＋a
a＋2bb
<0，错误．④当a－b<0时此式
答案 ②
三、解答题
①当a＝0时，a21－a＝0，∴11－a＝1＋a.
②当a＜1且a≠0时，a21－a＞0，∴11－a＞1＋a.
③当a＞1时，a21－a＜0，∴11－a＜1＋a.
综上所述，当a＝0时，11－a＝1＋a；
当a＜1且a≠0时，11－a＞1＋a；
当a＞1时，11－a＜1＋a.
12．已知f(x)＝ax2－c且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围．
所以f(3)＝9a－c＝－53f(1)＋83f(2)．
因为－4≤f(1)≤－1，所以53≤－53f(1)≤203，
因为－1≤f(2)≤5，所以－83≤83f(2)≤403.
两式相加，得－1≤f(3)≤20，故f(3)的取值范围是[－1,20]．
13． (1)设x≥1，y≥1，证明
x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy；
(2)设1＜a≤b≤c，证明
logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.
证明 (1)由于x≥1，y≥1，所以
将上式中的右式减左式，得
[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)
－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．
既然x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，
从而所要证明的不等式成立．
(2)设logab＝x，logbc＝y，由对数的换底公式得
于是，所要证明的不等式即为
x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy
其中x＝logab≥1，y＝logbc≥1.故由(1)可知所要证明的不等式成立．
14．已知f(x)是定义在(－∞，4]上的减函数，是否存在实数m，使得f(m－sin x)≤
的取值范围；若不存在，请说明理由．
思维启迪：不等式和函数的结合，往往要利用函数的单调性和函数的值域．
解 假设实数m存在，依题意，
因为sin x的最小值为－1，且－(sin x－12)2的最大值为0，要满足题意，必须
有 m－4≤－1，m－1＋2m＋12≥0，
解得m＝－12或32≤m≤3.
所以实数m的取值范围是32，3∪－12.
探究提高 不等式恒成立问题一般要利用函数的值域，m≤f(x)恒成立，只需
m≤f(x)min.