不等关系与不等式的性质基本不等式
不等式的基本性质与基本不等式
目
CONTENCT
录
• 不等式的基本性质 • 基本不等式的概念 • 基本不等式的应用 • 不等式的解法 • 不等式的扩展知识
01
不等式的基本性质
传递性
总结词
如果a>b且b>c，则a>c。
详细描述
这是不等式的基本性质之一，即如果两个数之间存在一个大于关系，并且它们 之间还有另一个数存在大于关系，那么这两个数之间也存在大于关系。
在解决实际问题中的应用
80%
优化问题
基本不等式可以用于解决各种优 化问题，例如在资源分配、生产 计划、运输问题等方面。
100%
最大最小值问题
基本不等式可以用于求函数的最 大值和最小值，例如在求函数的 极值、最值等方面。
80%
经济问题
基本不等式在经济问题中也有广 泛应用，例如在分析市场供需、 投资组合等方面。
在数学竞赛中的应用
代数竞赛
在代数竞赛中，基本不等式是 重要的解题工具之一，例如在 解决代数不等式、代数方程等 问题时。
几何竞赛
在几何竞赛中，基本不等式也 是重要的解题工具之一，例如 在解决几何不等式、几何证明 等问题时。
组合数学竞赛
在组合数学竞赛中，基本不等 式也有着广泛的应用，例如在 解决组合不等式、组合计数等 问题时。
不等式的代数意义
代数解释
不等式是数学中一种重要的代数结构， 它反映了变量之间的相对大小关系。
代数意义应用
通过代数运算可以解决各种不等式问 题，例如求解不等式、证明不等式、 比较大小等。不等式的应用领域 Nhomakorabea数学领域
不等式在数学中有着广泛的应用，如数 学分析、线性代数、概率论等领域。
《高考数学第一轮复习课件》第41讲 不等式的性质与基本不等式及应用
(4)a>b,c>0 ac>bc ;a>b,c<0 11 ac<bc . 推论１ 推论１:a>b>0,c>d>0 12 ac>bd .
13 推论２ 推论２:a>b>0 an>bn .
n a > n b . 推论３ 推论３:a>b>0 14
3.基本不等式 基本不等式 定理1:如果 、 ∈ 那么 那么a 定理 如果a、b∈R,那么 2+b2≥ 如果 且仅当a=b时取“＝”号). 时取“ 且仅当 时取
第41讲 41讲
不等式的性质与基本不等 式及应用
1.了解现实世界与日常生活中的不 了解现实世界与日常生活中的不 等关系，了解不等式(组 的实际背景 的实际背景. 等关系，了解不等式 组)的实际背景 2.掌握并能运用不等式的性质，掌 掌握并能运用不等式的性质， 掌握并能运用不等式的性质 握比较两个实数大小的一般步骤. 握比较两个实数大小的一般步骤 3.掌握基本不等式，会用基本不等 掌握基本不等式， 掌握基本不等式 式解决简单的最大（ 值问题. 式解决简单的最大（小）值问题
新课标高中一轮 总复习
理数
第六单元 不等式及不等式选讲
知识体系
考纲解读
1.不等关系 不等关系. 不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系， 了解现实世界和日常生活中的不等关系， 了解不等式（ 的实际背景. 了解不等式（组）的实际背景 2.一元二次不等式 一元二次不等式. 一元二次不等式 (1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式 会从实际情境中抽象出一元二次不等式 模型. 模型 (2)通过函数图象了解一元二次不等式与相 通过函数图象了解一元二次不等式与相 应的二次函数、一元二次方程的联系. 应的二次函数、一元二次方程的联系 (3)会解一元二次不等式，对给定的一元二 会解一元二次不等式， 会解一元二次不等式 次不等式，会设计求解的程序框图. 次不等式，会设计求解的程序框图
不等关系与不等式
1.掌握不等式的性质及其推论，并能证明这些结论. 2.利用不等式的有关基本性质研究不等关系.
不等式：用不等号连接的式子，叫作不等式． 说明： (1)不等号的种类：＞、＜、≥、≤、≠． (2) 不等式研究的范围是实数集R．
对于任意两个实数 a、b，在“a＞b，a = b，a＜b”
用“＜”或“＞”填空
（１） 如果 a b, c d ，则 a c __＞__ b d ； （２） 如果 a b 0, c d 0 ，则 ac _＞___ bd ； （３） 如果 a b 0 ，则 a2 _＞___ b2 ； （４） 如果 a b 0 ，则 a _＞___ b .
解: 设住宅窗户面积和地板面积分别为 a,b ,同时增加的面积为 m ,
根据问题的要求 a b, 且 a 10% . b
由于 a m a m(b a) 0, b m b b(b m)
于是 a m a , 又 a 10%, bm b b
因此, a m a 10%. bm b
初中时我们曾经学过哪些不等式的性质?
１（对称性）：如果a>b，那么b<a;如果b<a，那么a>b. 2（传递性）：如果a>b，b>c，那么a>c.
3（可加性）：如果a>b，则a+c>b+c. 不等式的两边都加上同一个实数，不等号方向不变.
4（可乘性）：如果a>b，c>0，则ac>bc； 如果a>b，c<0，则ac<bc.
所以,同时增加相 等的窗户面积和地板面积后,住宅的 采光条件变好了!
一般地,设 a,b 为正实数,且 a b, m 0 ,则 am a. bm b 日常生活中,还有哪些实例满足例3中的不等式?
不等式关系与不等式
不等式关系与不等式一.基础知识1.不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础 不等式的基本性质有： （1）对称性：a>b ⇔b<a ；（2）传递性：若a>b ，b>c ，则a>c ； （3）可加性：a>b ⇒a+c>b+c ；（4）可乘性：a>b ，当c>0时，ac>bc ；当c<0时，ac<bc 。
不等式运算性质：（1）同向相加：若a>b ，c>d ，则a+c>b+d ； （2）异向相减：b a >，d c <d b c a ->-⇒.（3）正数同向相乘：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd 。
（4）乘方法则：若a>b>0，n ∈N +，则n n b a >； （5）开方法则：若a>b>0，n ∈N +，则n n b a >； （6）倒数法则：若ab>0，a>b ，则b1a1<。
2、基本不等式（或均值不等式）利用完全平方式的性质，可得a 2+b 2≥2ab （a ，b ∈R ），该不等式可推广为a 2+b 2≥2|ab|；或变形为|ab|≤2b a 22+；当a ，b ≥0时，a+b ≥ab 2或ab ≤22b a ⎪⎭⎫⎝⎛+.3、不等式的证明（1）不等式证明的常用方法：比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，放缩法；（2）在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质联合使用； （3）证明不等式的过程中，放大或缩小应适度。
4.利用基本不等式求最大（小）值时，要注意的问题：（一“正”；二“定”；三“相等”）即:（1）和、积中的每一个数都必须是正数；（2）求积的最大值时，应看和是否为定值；求和的最小值时，应看积是否为定值，；简记为：和定积最_____，积定和最______. （3）只有等号能够成立时，才有最值。
不等式关系和不等式性质
例1,将下列不等式化成“x>a”或“x<a” 的形式： 1 (1)x-7>2 (2) 4 x 1
解：(1)根据不等式的基本性质1，
两边都加上7，得
x-7+7>2+7 即 x>9
(2)根据不等式的基本性质3，两边都
乘以 -4 ，得
1 x (4) ＞ 1 (4) 4
整理，得 x>4
a (3)3a______ ＜ 0； (4) ______0; ＞ 4
(5)a2_____0; ＞
＜ (6)a3______0
＞ ． (8)|a|______0
＜ ； (7)a-1______0
你做对了吗？
3、将下列不等式化成“x>a” 或“x<a”的形式： (1)x+5>2 x>-3 （2）3x＞5x-8 X<4
不等式定义
用符号< 、 > 、≤、≥、 连接的式子叫做不等式。 用≠连接的式子也是不等式
不等号 ＞
读
法
大于
＜ ≥
≤ ≠
小于 大于等于 （不小于）
小于等于 （不大于） 不等于
下列各式中的不等式有
个。
（1）8＜9 (2) 2a+b=0； 2 （3）a + 1 > 0 （4）3x-1≤x； （5）x-y≠1 （6）3x=0； 2 （7）4-2x （8）x + y < 0
达标检测
1、已知x ＞ y，下列不等式一定成立吗？
（1）x-6＜y-6 (3) -2x＜-2y (2) 3x＜3y
（4）2x+1＞2y+1
2、已知a＜0，用“＜”或“＞”号填空： (1)a+2 ______ 2； (2)a-1 ______ -1； (3)3a______ 0； (4)-a/4______0; (5)a2_____0; (6)a3______0 (7)a-1______0； (8)|a|______0． 3、将下列不等式化成“x>a”或“x<a” 的形式： (1)x+5>2 （2）3x＞5x-8
不等式性质和基本不等式
第七章 不等式知识网络.第1讲 不等关系与不等式★ 知 识 梳理 ★1.比较原理：两实数之间有且只有以下三个大小关系之一：a>b;a<b;a=b ；0>-⇔>b a b a ； 0<-⇔<b a b a ； 0=-⇔=b a b a ．2．不等式的性质：（1）对称性:a b b a <⇔>， a b b a >⇔< （2）传递性:,a b b c >>⇒，a c >（3）可加性:a b >⇔. a c b c +>+ 移项法则:a b c a c b +>⇔>-推论：同向不等式可加. ,a b c d >>⇒ a c b d +>+ （4）可乘性:bc ac c b a >⇒>>0,，,0a b c ><⇒ac bc < 推论1：同向(正)可乘: 0,0a b c d >>>>⇒ac bd > 推论2：可乘方(正):0a b >>⇒ n n a b >` (,2)n N n *∈≥(5) 可开方(正):0a b >>⇒>(,2)n N n *∈≥第4讲 基本不等式★ 知 识 梳理 ★1.基本形式:,a b R ∈,则222a b ab +≥;0,0a b >>,则a b +≥,当且仅当a b =时等号成立.2求最值:当ab 为定值时,22,a b a b ++有最小值;当a b +或22a b +为定值时,ab 有最大值(0,0a b >>).3.拓展：若0,0a b >>时,2112a b a b+≤≤+,当且仅当a b =时等号成立. ★ 热 点 考 点 题 型 探 析★考点1 利用基本不等式求最值(或取值范围) 题型1. 当积ab 为定值时,求和a b +最小值 例1 . 已知0,0x y >>且满足281x y+=,求x y +的最小值. 【解题思路】利用281x y+=，构造均值不等式 解析：∵2828()1()()28y xx y x y x y x y x y+=+⋅=+⋅+=+++,0,0x y >>,∴280,0y xx y>>1018x y +≥+=,当且仅当28y x x y=时等号成立,即224y x =,∴2y x =,又281x y+=, ∴6,12x y == ∴当6,12x y ==时,x y +有最小值18. 【名师指引】利用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”即（1)要求各数均为正数；(2)要求“和”或“积”为定值；(3)要注意是否具备等号成立的条件． 题型2. 当和a b +为定值时, 求积ab 最大值例2. 已知x>0，y>0，且3x+4y=12，求lgx+lgy 的最大值及此时x 、y 的值．【解题思路】这是条件最值问题，但目标式与已知条件的联系较隐蔽，不易发现. 应将lgx+lgy 转化成lgxy 考虑．解析∵x>0，y>0，3x+4y=12，∴ y x xy 43121⋅⋅=≤32431212=⎪⎭⎫⎝⎛+y x ，∴lgx+lgy=lgxy ≤lg3 ．由⎪⎩⎪⎨⎧==+>>y x y x y x 4312430,0 解得 ⎪⎩⎪⎨⎧==232y x ∴当x=2，y=23时，lgx+lgy 取得最大值lg3 ． 【名师指引】利用基本不等式求最值是高考中最常考的方法之一． 考点2 利用基本不等式证明题型：用综合法证明简单的不等式例1. 已知,,a b c R ∈,求证:222a b c ab bc ca ++≥++. 【解题思路】因为是轮换对称不等式，可考虑由局部证整体. [解析] Q 2222222,2,2a b ab b c bc a c ac +≥+≥+≥,相加整理得222a b c ab bc ca ++≥++. 当且仅当a b c ==时等号成立. 【名师指引】综合法证明不等式常用两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这一结论，运用时要结合题目条件，有时要适当变形. 例2. 已知a ，b 为正数，求证：ab ba +≥b a +．【解题思路】观察结构用基本不等式加以证明.解析1：∵ a>0，b>0， ∴b b a +≥a b b a 22=⋅，a ab +≥b a ab 22=⋅，两式相加，得a ab b ba +++≥b a 22+，∴ab ba +≥b a +．解析2. abb b a a b a b a a b ba +++=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+)(≥ab b a 2++ 2)(b a +=．∴ab ba +≥b a +．【名师指引】当要证明的不等式形式上比较复杂时，常通过分析法寻求证题思路． “分析法”与“综合法”是数学推理中常用的思维方法，特别是这两种方法的综合运用能力，对解决实际问题有重要的作用． 这两种数学方法是高考考查的重要数学思维方法．6.已知函数12()f x a x=-+，若02≥+x x f )(在（0，+∞）上恒成立，求a 的取值范围。
不等关系和不等式的基本性质
5月17日（一）不等式1.不等式的定义和不等好的分类2.3.铁路部门对旅客随身携带的行李有如下规定：每件行李的长、宽、高三边之和不得超过160cm，设行李的长、宽、高分别为acm，bcm，ccm，请你列出行李的长、宽、高满足的关系式。
4.通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出它的树龄，通常规定以树干离地面 1.5m 的地方作为测量部位. 某树栽种时的树围为6cm, 以后树围每年增加约3cm。
设经过x 年后这棵树的树围才能超过30 cm，请列出x满足的关系式。
5.用适当的不等号表示下列关系：（1）a是正数；（2）x 的2倍与3的和小于4；（3）x 的一半与6的和大于x的4倍；（4）x 的3倍不大于x 与3的差.6.小结：列不等式时先抓住关键词，再选准不等号。
7.练习：用恰当的不等号表示下列关系:（1） a 是非负数；（2）直角三角形的一条直角边 a 比斜边 c 短；（3）x 与17 的和比它的 5 倍小；（4）两数的平方和不小于这两数积的 2 倍.（5）x 的 3 倍与8 的和比x 的 5 倍大；（6）x2是非负数；（二）不等式的性质1.如果5>3，那么5+2 3+2 5-2 3-2如果-1<3，那么-1+2 -1+2 -1-2 -1-2类比等式的基本性质1你能说出不等式的这个性质吗？不等式的基本性质1：不等式两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变. 符号语言：如果a>b, 那么a+c>b+c, a-c>b-c如果a<b, 那么a+c<b+c, a-c<b-c2.填空你能用自己的语言说一说不等式的这个性质吗？（看课本139页）3.判断正误，并口述理由4.已知a＜b，用“＜”或“＞”填空：5.将下列不等式化成“x＞a” 或“x＜a” 的形式：6.将下列不等式化成“x＞a” 或“x＜a” 的形式：。
高中数学第一章不等关系与基本不等式1.2含有绝对值的
【做一做3】 解不等式|2x-5|-|x+1|<2.
分析:利用零点分区间法解题.
解:令 2x-5=0,得 x= 5 . 令x+1=0,得 x=-1.
2
(1)当 x≤-1 时,原不等式等价于-(2x-5)+(x+1)<2,
即-x+6<2,即 x>4,无解.
(2)当-1<x<
5 2
时,原不等式等价于-(2x-5)-(x+1)<2,
题型一 题型二 题型三
解法一:(几何法)如图,设数轴上与-2,1对应的点分别是A,B,则A,B 两点的距离是3,因此区间[-2,1]上的数都不是原不等式的解.为了求 出不等式的解,关键要在数轴上找出与点A,B的距离之和为5的点. 将点A向左移动1个单位到点A1,这时有|A1A|+|A1B|=5;
同理,将点B向右移动1个单位到点B1,这时也有|B1A|+|B1B|=5. 从数轴上可以看到,点A1与B1之间的任何点到点A,B的距离之和 都小于5;点A1的左边或点B1的右边的任何点到点A,B的距离之和都 大于5. 所以,原不等式的解集是(-∞,-3]∪[2,+∞).
2.2 绝对值不等式的解法
1.会用数轴上的点表示绝对值不等式的范围. 2.会解|ax+b|≤c,|ax+b|≥c,|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c四种类 型的绝对值不等式.
1.(1)解绝对值不等式的主要依据 解含绝对值的不等式的主要依据为绝对值的定义、绝对值的几 何意义及不等式的性质. (2)绝对值不等式的解法
【做一做1】 解下列绝对值不等式: (1)|x|<3;(2)|x|>4.
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所以当 x＝43时，y＝ 3x8－3x的最大值是 4.
【拓展演练 1】Biblioteka (1)已知非零实数 a，b 满足 a>b，则下列不等式中成立的
是( )
A．a2>b2
11 B.a<b
C．a2b>ab2
ab D.b2>a2
(2)设 a，b，c，d∈R，给出下列命题：
① ac>>db⇒a＋c>b＋d；② ac>>db⇒a－c>b－d；
③ ac>>db⇒ac>bd；④ ac>>0b⇒ac>bc；
(B )
A．当 x>0 且 x≠1 时，lg x＋lg1x≥2 B．当 x>0 时， x＋ 1x≥2 C．当 x≥2 时，x＋1x的最小值为 2 D．当 0<x≤2 时，x－1x无最大值
解析：A 中利用基本不等式时不能保证各项为正；C 中 利用不等式时不能使等号成立；在 D 中函数为增函数，故当 x＝2 时有最大值，因此 B 正确，故选 B.
题的是______．
解析：(1)A 中 a＜0 时不成立；B 中 c＝0 时不成立，C 中 b＝0 时不成立，故选 D.
(2)由②ac>db⇔bc－abad>0，可知①③⇒②. 同时，若 ab>0，bc－abad>0，则 bc>ad，即①②⇒③； 若 bc>ad，bc－abad>0，则 ab>0，即②③⇒①.
⑤ac>bc⇒a>b；⑥a>b⇒ac2>bc2.
其中命题正确的是
(填入所有正确命题的序号)．
解析：(1)因为 a>b，所以 a3>b3，所以ba2>ab2，故选 D. (2)①是不等式的同向可加性；④是不等式的可乘性．
二 比较数(式)的大小
【例 2】(1)已知实数 a，b，c 满足 b＋c＝6－4a＋3a2， c－b＝4－4a＋a2，试比较 a，b，c 的大小； (2)若 x<y<0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)·(x＋y)的大 小．
＝－2xy(x－y)．
因为 x<y<0，所以 xy>0，x－y<0，所以－2xy(x－y)>0.
所以(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y)．
【拓展演练 2】 设 a>0，b>0，且 a≠b，试比较 aabb 与 abba 的大小．
解析：由同底数幂的运算法则，可考虑作商比较． aaabbbba＝aa－b·bb－a＝(ab)a－b. ①当 a>b>0 时，ab>1，a－b>0，则(ab)a－b>1， 于是 aabb>abba. ②当 b>a>0 时，0<ab<1，a－b<0，则(ab)a－b>1， 于是 aabb>abba. 综上所述，对于不相等的实数 a，b，都有 aabb>abba.
第37讲 不等关系与不等式的性质、 基本不等式
1．(改编)已知 x＞1，则 M＝x3＋2x＋1 与
N＝(x＋1)2 的大小关系为( A )
A．M＞N
B．M＜N
C．M＝N
D．不能确定
解析：因为 x＞1，所以 M－N＝x3＋2x＋1－(x＋1)2 ＝x2(x－1)＞0，即 M＞N，故选 A.
2．已知 a，b，c 满足 c<b<a，且 ac<0，则下列结论一定
解析：当 c＝0 时，A 不正确；ab<0 时，B 不正确；取 a＝3，b＝c＝2，d＝1，D 不正确；由不等式的性质知 C 为 真命题．
4．(2012·温州十校联合体期末联考)若 x＞0，则 x＋2x的
最小值为
.
解析：x＋2x≥2 2，当且仅当 x＝ 2时取等号，最小值 为 2 2.
5．(2012·广东省佛山上期期末考试)下列结论正确的是
(2)显然 a≠4. 当 a>4 时，a－4>0， 所以a－3 4＋a＝a－3 4＋(a－4)＋4
≥2 a－3 4×a－4＋4＝2 3＋4， 当且仅当a－3 4＝a－4，即 a＝4＋ 3时取等号． 当 a<4 时，a－4<0. 所以a－3 4＋a＝a－3 4＋(a－4)＋4＝－[4－3 a＋(4－a)]＋4
一 不等式性质的应用
【例 1】(1)(2013·山东省诸城市模拟)设 a>b>c，则下列
不等式成立的是( )
A．ab>ac
B．a|c|>b|c|
C．|ab|<|bc|
D．(a－b)|c－b|>0
(2)已知三个不等式：①ab>0；②ac>db；③bc>ad，以其
中两个作为条件，余下一个作结论，则可以组成一个真命
成立的是( D )
A．ab>bc
B．c(b－a)<0
C．cb2<ab2
D．ac(c－a)>0
解析：由 c<b<a，且 ac<0，可知 a>0，c<0，b∈(c，a)， 可知 D 选项一定成立．
3．下列命题中，为真命题的是( C )
A．a，b∈R，且 a>b，则 ac2>bc2 B．a，b∈R，且 ab≠0，则ab＋ba≥2 C．a，b∈R，且 a>|b|，则 an>bn(n∈N*) D．若 a>b，c>d，则ac>bd
三 利用基本不等式求最值
【例 3】(1)设 0<x<2，求函数 y＝ 3x8－3x的最大值； (2)求a－3 4＋a 的取值范围； (3)已知 x>0，y>0，且 x＋y＝1，求8x＋2y的最小值．
分析：(1)属“积大”问题，可直接应用基本不等式；
(2)属“和小”问题，要分拆，使积一定，即a－3 4＋a＝ a－3 4＋(a－4)＋4.
≤－2 4－3 a×4－a＋4＝－2 3＋4.
当且仅当4－3 a＝4－a，即 a＝4－ 3时，取等号． 所以a－3 4＋a 的取值范围是(－∞，－2 3＋4]∪[2 3＋ 4，＋∞)．
解析：(1)因为 c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0， 所以 c≥b，由题设可得 b＝1＋a2， 所以 b－a＝a2－a＋1＝(a－12)2＋34>0，所以 b>a. 综上，c≥b>a. (2)作差比较法
(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)
＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]