高中数学第一章不等关系与基本不等式1.2含有绝对值的不等式1.2.1含有绝对值的不等式北师大版选修
2017年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.1.2基本不等式课件新人教A版选修4_5
【归纳总结】 1.理解基本不等式的两个关键点 一是定理成立的条件是a,b都是正数;二是等号取得的 条件是当且仅当a=b时.
2(.1利 )各用项a或2 b各因a式b 为求正最.值的三个条件 (2)和或积为定值. (3)各项或各因式能取得相等的值.
3.定理1与定理2的不同点 定理1的适用范围是a,b∈R;定理2的适用范围是 a>0,b>0.
ab 等式 1 2 2 1 2 , 构造关于 ab 的不等式.
ab ab
2.如何利用“x+2y+xy=30”这个条件? 提示:由x+2y+xy=30,得y= 30 x .
x2
【解析】1.选C.因为 1 2 ab ,所以a>0,b>0,由 ab
ab 1 2 2 1 2 ＝2
方法一:由于2x+3y≥ 2 2x 3y 2 6ห้องสมุดไป่ตู้y, 所以2 6x≤y18,得xy≤ , 27
2
即S≤ 27,当且仅当2x=3y时,等号成立.
由
2x 2x
23y 3y,
18,
解得
x y
4.5, 3.
故每间虎笼长为4.5m,宽为3m时,可使面积最大.
方法二:由2x+3y=18,得x=93- y.
小,最小费用为2200元.
【补偿训练】动物园要围成相同面积的长方形虎笼四 间.一面可利用原有的墙,其他各面(不包括上盖和地面) 用钢筋网围成.
(1)现有36m长的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少 时,可使每间虎笼面积最大? (2)若使每间虎笼面积为24m2,则每间虎笼的长、宽各 设计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小?
高中数学必修一高中数学第章(第课时)含有绝对值的不等式(一)公开课教案课件课时训练练习教案课件
课 题：含有绝对值的不等式（1）教学目的：1．理解含有绝对值的不等式的性质；2．培养学生观察、推理的思维能力， 使学生树立创新意识； 3运用联系的观点解决问题,提高学生的数学素质；4．认识不等式证法的多样性、灵活性教学重点：含有绝对值不等式的性质、定理的综合运用教学难点：对性质的理解、常见证明技巧授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：前面我们已学过不等式的性质和证明方法，这一节我们再来研究一些含有绝对值的不等式的证明问题我们知道，当a ＞0时，|x |＜a ⇔－a ＜x ＜a ,|x |＞a ⇔x ＞a 或x ＜－a根据上面的结果和不等式的性质，我们可以推导出含有绝对值的不等式具有下面的性质二、讲解新课：定理：||||||||||b a b a b a +≤+≤-证明：∵|||||)||(|||||||||b a b a b a b b b a a a +≤+≤+-⇒⎭⎬⎫≤≤-≤≤- ||||||b a b a +≤+⇒ ①又∵a =a +b -b |-b |=|b |由①|a |=|a +b -b |≤|a +b |+|-b | 即|a |-|b |≤|a +b | ②综合①②: ||||||||||b a b a b a +≤+≤-注意：1︒ 左边可以“加强”同样成立，即||||||||||b a b a b a +≤+≤-2︒ 这个不等式俗称“三角不等式”—三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边3︒ a ,b 同号时右边取“=”，a ,b 异号时左边取“=”推论1：||21n a a a +++ ≤||||||21n a a a +++推论2：||||||||||b a b a b a +≤-≤-证明：在定理中以-b 代b 得：|||||)(|||||b a b a b a -+≤-+≤--即 ||||||||||b a b a b a +≤-≤-三、讲解范例：例1 已知|x |＜3ε，|y |＜6ε,|z |＜9ε, 求证 |x +2y －3z |＜ε 证明：|x +2y －3z |≤|x |＋|2y |＋|－3z |=|x |＋2|y |＋3|z |∵|x |＜3ε，|y |＜6ε,|z |＜9ε, ∴|x |＋2|y |＋3|z |＜εεεε=++93623 ∴|x ＋2y －3z |＜ε说明：此例题主要应用了推论1，其中出现的字母ε，其目的是为学生以后学习微积分作点准备例2 设a , b , c , d 都是不等于0的实数，求证||||||||a d d c cb b a +++≥4证明：∵ ,0||,0||,0||,0||>>>>ad a c c b b a ∴,||2||2||||2||||ca cb b ac b b a c b b a =⋅=⋅≥+ ① ,||2||2||||2||||ac ad d c a d d c a d d c =⋅=⋅≥+ ② 又 2||2||||2||||4=⋅=⋅≥+a c c a a c c a ac c a ③ 由①，②，③式，得4)||||2( ||2||2||||||||≥+=+≥+++ac c a a c c a ad d c c b b a 说明：此题作为一个含绝对值的不等式，在证明过程中运用了基本不等式及不等式的性质，在证法上采用的是综合法例3 已知|a |＜1,|b |＜1,求证|1|abb a ++＜1 证明：|1|ab b a ++＜122)1()(ab b a ++⇔＜1 .0)1)(1(012122222222222>--⇔>+--⇔++<++⇔b a b a b a b a ab b ab a 由|a |＜1,|b |＜1,可知（1－a 2）(1－b 2)＞0成立，所以 |1|abb a ++＜1 说明：此题运用了|x |＜a ⇔x 2＜a 2这一等价条件将绝对值符号去掉，并采用了求差比较法证明其等价不等式的正确性，并用到了绝对值的有关性质，也体现了证明不等式的方法的综合性和灵活性例4 设|a |<1, |b |<1 求证|a +b |+|a -b |<2证明：当a +b 与a -b 同号时，|a +b |+|a -b |=|a +b +a -b |=2|a |<2当a +b 与a -b 异号时，|a +b |+|a -b |=|a +b -(a -b )|=2|b |<2∴|a +b |+|a -b |<2例5 已知21)(x x f += 当a ≠b 时 求证：|||)()(|b a b f a f -<- 证法一：1111|11||)()(|222222+++--+=+-+=-b a b a b a b f a f|||||)(||||))((|11||222222b a b a b a b a b a b a b a b a +-+=+-+<+++-= |||||||||)||(|b a b a b a b a -=+-+≤ 证法二：（构造法）如图21)(a a f OA +==，f OB =||||b a AB -=，由三角形两边之差小于第三边得|||)()(|b a b f a f -<-四、课堂练习：已知：|x －1|≤1,求证：（1）|2x ＋3|≤7; (2)|x 2－1|≤3证明：（1）∵|2x ＋3|=|2(x －1)＋5|≤2|x －1|＋5≤2＋5=7(2)|x 2－1|=|(x ＋1)(x －1)|=|(x －1)[(x －1)＋2]|≤|x －1||(x －1)＋2|≤|x －1|＋2≤1＋2=3五、小结 ：通过本节学习，要求大家理解含有绝对值不等式的性质，并能够简单的应用，同时认识证明不等式的方法的灵活性、多样性六、课后作业： 1:(1)a ,b ∈R ,求证|a +b |≤|a |+|b |;(2)已知|h |<ε,|k |<ε(ε>0),求证:|hk |<ε;(3)已知|h |<c ε, c <|x | (c >0,ε>0),求证:|xh |<ε 分析:用绝对值性质及不等式性质作推理运算绝对值性质有:|ab |=|a |·|b |;|a n |=|a |n ,|b a |=ba 等证明:(1)证法1:∵-|a |≤a ≤|a |,-|b |≤b ≤|b |∴-(|a |+|b |)≤a +b ≤|a |+|b | 即|a +b |≤|a |+|b |证法2:(平方作差)(|a |+|b |)2-|a +b |2=a 2+2|a ||b |+b 2-(a 2+2ab +b 2)=2［|a |·|b |-ab )=2(|ab |-ab )≥0显然成立故(|a |+|b |)2≥|a +b |2又∵|a |+|b |≥0,|a +b |≥0，所以|a |+|b |≥|a +b |, 即|a +b |≤|a |+|b |(2)∵0≤|h |<ε,0≤|k |<ε (ε>0)，∴0≤|hk |＝|h |·|k |<ε·ε=ε(3)由0<c <|x |可知: 0<c x 11<且0≤|h |<c ε,∴c h x 11<⋅·c ε,即|xh |<ε 2:|x +x1|≥2(x ≠0) 分析:x 与x 1同号,因此有|x +x 1|=|x |+|x 1| 证法一:∵x 与x 1同号,∴|x +x1|=|x |+x 1∴|x +x 1|=|x |+x 1≥2xx 1⋅=2,即|x +x 1|≥2 证法二:当x >0时,x +x1≥2x x 1⋅=2 当x <0时,-x >0,有-x +2121)(21-≤+⇒=-⋅-≥-xx x x x ∴x ∈R 且x ≠0时有x +x 1≤-2,或x +x 1≥2 即|x +x1|≥2 方法点拨:不少同学这样解: 因为|x +x 1|≤|x |+x 1,又|x |+x 1≥2xx 1⋅=2,所以|x +x 1|≥2 学生认为这样解答是根据不等式的传递性实际上,上述两个不等式是异向不等式,是不符合传递性的,因而如此作解是错误的 3:|A-a |<2ε,|B-b |<2ε,求证: (1)|(A +B )-(a +b )|<ε；(2)|(A -B )-(a -b )|<ε分析:证明本题的关键是把结论的左边凑出条件的左边,创造利用条件的机会证明:因为|A -a |<2ε,|B -b 2所以(1)|(A +B )-(a +b )|=|(A -a )+(B -b )|≤|A -a |+|B -b |<2ε+2ε=ε 即|(A +B )-(a +b )|<ε(2)|(A -B )-(a -b )|=|(A -a )-(B -b )|≤|A -a |+|B -b |<2ε+2ε=ε 即|(A -B )-(a -b )|<ε方法点拨:本题的证明过程中运用了凑的技巧,望给予足够重视,灵活掌握七、板书设计（略）八、课后记：活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。
高中数学新人教A版选修4-5课件：第一讲不等式和绝对值不等式1.1.2基本不等式
年销售收入为 150% 32 3- t+1 + 3 + 2t.
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探究一
探究二
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
探究三
由题意,生产 x 万件化妆品正好销完,
由年利润=年销售收入-年生产成本-促销费,
-t2 +98t+35
得年利润 y=
(t≥0).
2(t+1)
-t2 +98t+35
1 2x+y 2
1
(x,y∈R+)中,用的是不等式链中的
其变形去解题,如 xy= ×(2x)y≤
2
2
2
2
1 (2x+y)
1
a+b 2
(x,y∈R+)也可以,这两种解法比较,
.但是 xy= ×(2x)y≤ ×
ab≤
2
2
2
2
可以发现,求得的最值不一样,这说明选择不同的重要不等式的变形形式,求
得的值或范围是不同的,所以我们在选择重要不等式的变形形式时,要使
论有关的不等关系,得出有关理论参数的值.
(4)作出问题结论:根据③中得到的理论参数的值,结合题目要求得出问
题的结论.
J 基础知识 Z 重点难点
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ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
1
1.下列各式中,最小值等于 2 的是(
x
A.
y
y
+
x
B.
1
C.tanθ+θ
2
3
S 随堂练习
1
的最大值,转化为求 (2x)y 的最大值,即
2018_2019学年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二绝对值不等式2绝对值不等式的解法课件新人教A版选修4_5
2．不等式|x－1|<1 的解集为( )
A．(0，2)
B．(－∞，2)
C．(1，2)
D．[0，2)
解析：选 A.由|x－1|<1⇔－1<x－1<1⇔0<x<2，
所以不等式的解集为(0，2)．
3．不等式 3≤|5－2x|<9 的解集为( ) A．[－2，1)∪[4，7) B．(－2，1]∪(4，7] C．[－2，1]∪[4，7) D．(－2，1]∪[4，7) 解析：选 D.因为|5－2x|＝|2x－5|，则原不等式等价于 3≤2x－5<9 或－9<2x－5≤－3， 解得 4≤x<7 或－2<x≤1， 故解集为(－2，1]∪[4，7)．
(3)原不等式等价于||xx－ －22||≥ ≤24， .②① 由①得 x－2≤－2，或 x－2≥2， 所以 x≤0，或 x≥4. 由②得－4≤x－2≤4， 所以－2≤x≤6. 所以原不等式的解集为{x|－2≤x≤0，或 4≤x≤6}．
含有一个绝对值号不等式的常见类型及其解法 (1)形如|f(x)|<a(a>0)和|f(x)|>a(a>0)型不等式可运用等价转化法 化成等价的不等式(组)求解． (2)形如|f(x)|<g(x)和|f(x)|>g(x)型不等式的解法有 ①等价转化法：|f(x)|<g(x)⇔－g(x)<f(x)<g(x)， |f(x)|>g(x)⇔f(x)<－g(x)或 f(x)>g(x)． (这里 g(x)可正也可负)
含有两个绝对值号不等式的解法 解下列不等式： (1)|x－1|>|2x－3|； (2)|x－1|＋|x－2|>2； (3)|x＋1|＋|x＋2|>3＋x.
高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.2 绝对值不等式 1.2.1 绝对值三角不等式练习(含解
二绝对值不等式1.绝对值三角不等式课后篇巩固探究A组1.设ab>0,下面四个不等式:①|a+b|>|a|;②|a+b|<|b|;③|a+b|<|a-b|;④|a+b|>|a|-|b|.其中正确的是()A.①②B.①③C.①④D.②④ab>0,∴a,b同号.∴|a+b|=|a|+|b|>|a|-|b|.∴①④正确.2.函数f(x)=|3-x|+|x-7|的最小值等于()A.10B.3C.7D.4|3-x|+|x-7|≥|(3-x)+(x-7)|=4,所以函数f(x)的最小值为4.3.已知|a|≠|b|,m=,n=,则m,n之间的大小关系是()A.m>nB.m<nC.m=nD.m≤n,知|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.∴≤1≤.∴m≤n.4.若|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|与2的大小关系是()A.|a+b|+|a-b|>2B.|a+b|+|a-b|<2C.|a+b|+|a-b|=2D.不确定(a+b)(a-b)≥0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|a|<2;当(a+b)(a-b)<0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|<2,综上有|a+b|+|a-b|<2.5.若关于x的不等式|x|+|x-1|<a(a∈R)的解集为⌀,则a的取值X围是()A.[-1,1]B.(-1,1)C.(-∞,1]D.(-∞,1)|x|+|x-1|≥|x-(x-1)|=1,∴若关于x的不等式|x|+|x-1|<a的解集为⌀,则a的取值X围是a≤1.6.若a,b∈R,且|a|≤3,|b|≤2,则|a+b|的最大值是,最小值是.|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,所以1=3-2≤|a+b|≤3+2=5.7.若不等式|x-4|-|x-3|≤a对一切x∈R恒成立,则实数a的取值X围是.f(x)=|x-4|-|x-3|,则f(x)≤a对一切x∈R恒成立的充要条件是a大于等于f(x)的最大值.∵|x-4|-|x-3|≤|(x-4)-(x-3)|=1,即f(x)max=1,∴a≥1.+∞)8.不等式≥1成立的充要条件是.1⇔≥0⇔(|a|-|b|)[|a+b|-(|a|-|b|)]≥0(且|a|-|b|≠0).而|a+b|≥|a|-|b|,∴|a+b|-(|a|-|b|)≥0.∴|a|-|b|>0,即|a|>|b|.9.设m等于|a|,|b|和1中最大的一个,当|x|>m时,求证<2.m等于|a|,|b|和1中最大的一个,|x|>m,∴∴==2.故原不等式成立.10.导学号26394011已知函数f(x)=log2(|x-1|+|x-5|-a).(1)当a=2时,求函数f(x)的最小值;(2)当函数f(x)的定义域为R时,某某数a的取值X围.函数的定义域满足|x-1|+|x-5|-a>0,即|x-1|+|x-5|>a.设g(x)=|x-1|+|x-5|,由|x-1|+|x-5|≥|x-1+5-x|=4,当a=2时,∵g(x)min=4,∴f(x)min=log2(4-2)=1.(2)由(1)知,g(x)=|x-1|+|x-5|的最小值为4.∵|x-1|+|x-5|-a>0,∴a<g(x)min时,f(x)的定义域为R.∴a<4,即a的取值X围是(-∞,4).B组1.对任意x,y∈R,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为()A.1B.2C.3D.4|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|=(|1-x|+|x|)+(|1-y|+|1+y|)≥|(1-x)+x|+|(1-y)+(1+y)|=1+2=3,当且仅当(1-x)·x≥0,(1-y)·(1+y)≥0,即0≤x≤1,-1≤y≤1时等号成立,∴|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为3.2.函数f(x)=|2x+1|-|x-4|的最小值等于.y=|2x+1|-|x-4|,则y=作出函数y=|2x+1|-|x-4|的图象(如图),由函数的图象可知,当x=-时,函数取得最小值-.3.已知a和b是任意非零实数,则的最小值为.4.4.下列四个不等式:①log x10+lg x≥2(x>1);②|a-b|<|a|+|b|;③≥2(ab≠0);④|x-1|+|x-2|≥1,其中恒成立的是.(把你认为正确的序号都填上)x>1,∴lg x>0,∴log x10+lg x=+lg x≥2,①正确;当ab≤0时,|a-b|=|a|+|b|,②不正确;∵ab≠0,同号,∴≥2,③正确;由|x-1|+|x-2|的几何意义知|x-1|+|x-2|≥1恒成立,④也正确;综上,①③④正确.5.导学号26394012已知函数f(x)=x2-x+13,|x-a|<1,求证|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).|f(x)-f(a)|=|x2-x+13-(a2-a+13)|=|x2-a2-x+a|=|(x-a)(x+a-1)|=|x-a||x+a-1|<|x+a-1|=|x-a+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|<1+|2a|+1=2(|a|+1),∴|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).6.导学号26394013已知a,b,c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,求证:(1)|c|≤1;(2)当-1≤x≤1时,|g(x)|≤2.∵当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,∴|f(0)|≤1,即|c|≤1.(2)当a>0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是增函数,∴g(-1)≤g(x)≤g(1).∵当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,且|c|≤1,∴g(1)=a+b=f(1)-c≤|f(1)|+|c|≤2,g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≥-(|f(-1)|+|c|)≥-2,∴|g(x)|≤2.当a<0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是减函数,∴g(-1)≥g(x)≥g(1).∵当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,且|c|≤1,∴g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≤|f(-1)|+|c|≤2.g(1)=a+b=f(1)-c≥-(|f(1)|+|c|)≥-2.∴|g(x)|≤2.当a=0时,g(x)=b,f(x)=bx+c,且-1≤x≤1,∴|g(x)|=|f(1)-c|≤|f(1)|+|c|≤2.综上可知,|g(x)|≤2.。
高中数学第一章不等关系与基本不等式1.2含有绝对值的
【做一做3】 解不等式|2x-5|-|x+1|<2.
分析:利用零点分区间法解题.
解:令 2x-5=0,得 x= 5 . 令x+1=0,得 x=-1.
2
(1)当 x≤-1 时,原不等式等价于-(2x-5)+(x+1)<2,
即-x+6<2,即 x>4,无解.
(2)当-1<x<
5 2
时,原不等式等价于-(2x-5)-(x+1)<2,
题型一 题型二 题型三
解法一:(几何法)如图,设数轴上与-2,1对应的点分别是A,B,则A,B 两点的距离是3,因此区间[-2,1]上的数都不是原不等式的解.为了求 出不等式的解,关键要在数轴上找出与点A,B的距离之和为5的点. 将点A向左移动1个单位到点A1,这时有|A1A|+|A1B|=5;
同理,将点B向右移动1个单位到点B1,这时也有|B1A|+|B1B|=5. 从数轴上可以看到,点A1与B1之间的任何点到点A,B的距离之和 都小于5;点A1的左边或点B1的右边的任何点到点A,B的距离之和都 大于5. 所以,原不等式的解集是(-∞,-3]∪[2,+∞).
2.2 绝对值不等式的解法
1.会用数轴上的点表示绝对值不等式的范围. 2.会解|ax+b|≤c,|ax+b|≥c,|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c四种类 型的绝对值不等式.
1.(1)解绝对值不等式的主要依据 解含绝对值的不等式的主要依据为绝对值的定义、绝对值的几 何意义及不等式的性质. (2)绝对值不等式的解法
【做一做1】 解下列绝对值不等式: (1)|x|<3;(2)|x|>4.
高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.2 绝对值不
1.2.2 绝对值不等式的解法课堂导学三点剖析一、绝对值不等式的典型类型和方法(一) 【例1】 解下列不等式: (1)1<|x+2|<5; (2)|3-x|+|x+4|>8.解析：(1)法一:原不等式⇔⎩⎨⎧<<--<->⇔⎩⎨⎧<+<->+⇔⎩⎨⎧<+>+.37,31525125|2|1|2|x x x x x x x 或 故原不等式的解集为{x|-1<x<3或-7<x<-3}.法二:原不等式⎩⎨⎧<--<<+⎩⎨⎧<+<≥+⇔521,02521,02x x x x 或, ⇔⎩⎨⎧-<<--<⎩⎨⎧<<--≥⇔37,231,2x x x x 或-1<x<3或-7<x<-3.∴原不等式的解集为{x|-1<x<3或-7<x<3}.(2)法一:原不等式⎩⎨⎧>++-<<-⎩⎨⎧>---≤⇔,843,34843,4x x x x x x 或⎩⎨⎧>≥⎩⎨⎧><<-⎩⎨⎧>---≤⇔⎩⎨⎧>++-≥.72,387,34821,4843,3x x x x x x x x 或或或 ∴x>27或x<29-. ∴原不等式的解集为{x|x<29-或x>27}.法二:将原不等式转化为|x-3|+|x+4|-8>0,构造函数y=|x-3|+|x+4|-8,即y=⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<---≤--.3,72,34,1,492x x x x作出函数的图象如图.从图象可知当x>27或x<29-时,y>0,故原不等式的解集为{x|x>27或x<29-}. 温馨提示在本例中主要利用了绝对值的概念,|x|<a(或|x|>a)的解集以及数形结合的方法,这些方法都是解绝对值不等式的典型方法. 各个击破 类题演练1 解下列不等式:(1)|432-x x|≤1; (2)|x+3|-|2x-1|>2x+1.解析:(1)原不等式⎩⎨⎧≥+-±≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧-≤≠-⇔016172)4(904242222x x x x x x ⇔⎩⎨⎧≥≤±≠⇔161222x x x 或-1≤x≤1或x≤-4或x≥4. 故原不等式的解集为{x|-1≤x≤1或x≤-4或x≥4}. (2)由x+3=0,得x 1=-3, 由2x-1=0,得x 2=21. ①当x<-3时,不等式化为x-4>2x+1,解得x>10,而x<-3,故此时无解; ②当-3≤x<21时,不等式化为3x+2>2x +1,解得x>52-,这时不等式的解为52-<x<21;③当x≥21时,不等式化为-x+4>2x +1,即x<2,这时不等式的解为21≤x<2.综合上述,原不等式的解集为{x|52-<x<2}.变式提升1(1)解不等式|x 2-5x+5|<1.解析:不等式可化为-1<x 2-5x+5<1,即⎪⎩⎪⎨⎧->+-<+-.155,15522x x x x解之,得1<x<2或3<x<4.所以原不等式的解集为{x|1<x<2或3<x<4}.(2)求使不等式|x-4|+|x-3|<a 有解的a 的取值范围. 解法一:将数轴分为(-∞,3),［3,4］,(4,+∞)三个区间. 当x<3时,得(4-x)+(3-x)<a,x>27a -有解条件为27a-<3,即a>1; 当3≤x≤4,得(4-x)+(x-3)<a,即a>1; 当x>4时,得(x-4)+(x-3)<a,则x<27+a有解条件为27+a >4.∴a>1. 以上三种情况中任何一个均可满足题目要求,故是它们的并集,即仍为a>1.解法二:设数x 、3、4在数轴上对应的点分别为P 、A 、B,由绝对值的几何意义,原不等式即求|PA|+|PB|<a 成立.因为|AB|=1,故数轴上任一点到A 、B 距离之和大于(等于)1,即|x-4|+|x-3|≥1,故当a>1时,|x-4|+|x-3|<a 有解.另外,本题还可利用绝对值不等式性质求函数的最值方法处理: ∵|x -4|+|x-3|=|x-4|+|3-x| ≥|x -4+3-x|=1,∴a 的取值范围是a>1.二、绝对值不等式的典型类型和方法(二)【例2】 解不等式|x 2-9|≤x+3.解析：方法一:原不等式⎪⎩⎪⎨⎧+≤-≥-⇔39,0922x x x ⎪⎩⎪⎨⎧+≤-≥-39,0922x x x 或 由①得x=-3或3≤x≤4,由②得2≤x<3,∴原不等式解集是{x|2≤x≤4或x=-3}.方法二:原不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≤-≥⇔⎩⎨⎧+≤-≤+-≥+⇔433339)3(032x x x x x x x x ⇔或2≤x≤4. ∴原不等式的解集为{x|x=-3或2≤x≤4}. 温馨提示对于|f(x)|≤g(x)型的不等式,通常有两种思路,一种是利用绝对值的意义,将其转化为f(x)≥0,⎩⎨⎧≤-<⎩⎨⎧≤≥).()(,0)()()(,0)(x g x f x f x g x f x f 或 另一种则是转化为⎩⎨⎧≤≤-≥)()()(,0)(x g x f x g x g 来求.当然也可直接转化为-g(x)≤f(x)≤g(x)来解(为什么?请同学们思考). 类题演练2解不等式|2x-1|>3x.解析:①当x<0时,原不等式显然成立;②当x≥0时,两端平方,得(2x-1)2>9x 2,即5x 2+4x-1<0,解之,得-1<x<51, ∴0≤x<51. 由①②知原不等式的解集为{x|x<51}. 变式提升2(1)解不等式|x 2-3x+2|>x 2-3|x|+2.解析:在同一坐标系内分别画出函数y=|x 2-3x+2|和y=x 2-3|x|+2=|x|2-3|x|+2的图象(如图所示).由图可知,原不等式的解集为{x|x<0或1<x<2}. (2)解不等式|x+1|(x-1)≥0. 解析:1° x+1=0,适合不等式;2° x+1≠0,则|x+1|>0,故原不等式等价于x-1≥0,∴x≥1,显然x+1≠0. ∴原不等式的解集为{x|x≥1或x=-1}. 三、绝对值不等式的证明【例3】 设f(x)=ax 2+bx+c,当|x|≤1时,总有|f(x)|≤1,求证:当|x|≤2时,|f(x)|≤7. 证明:由于f(x)是二次函数,|f(x)|在［-2,2］上的最大值只能是|f(2)|,|f(-2)|或|f(a b 2-)|,故只要证明|f(2)|≤7,|f(-2)|≤7;当|a b 2-|≤2时,有|f(ab 2-)|≤7. 由题意有|f(0)|≤1,|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1.由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=--+=⎪⎩⎪⎨⎧+-=-++==).0()],1()1([21)],0(2)1()1([21,)1(,)1(,)0(f c f f b f f f a c b a f c b a f c f 得∴|f(2)|=|4a+2b+c|=|3f(1)+f(-1)-3f(0)|≤3|f(1)|+|f(-1)|+3|f(0)|≤3+1+3=7, |f(-2)|=|4a-2b+c|=|f(1)+3f(-1)-3f(0)|≤|f(1)|+3|f(-1)|+3|f(0)|≤1+3+3=7. ∵|b|=21|f(1)-f(-1)|≤21(|f(1)|+|f(-1)|)≤21(1+1)=1, ∴当|ab2-|≤2时,|f(a b 2-)|=|a b ac 442-|=|c a b 42-|=|c a b 2-·2b |≤|c|+|a b 2|·2||b ≤1+2×21=2<7.因此当|x|≤2时,|f(x)|≤7.类题演练3已知f(x)=x 2+ax+b(x 、a 、b∈R ,a 、b 是常数),求证:|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于21. 证明:假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|全都小于21,即有|f(1)|<21,|f(2)|<21,|f(3)|<21. 于是|f(1)+f(3)-2f(2)|≤|f(1)|+|f(3)|+2|f(2)|<21+21+2×21=2.又f(1)+f(3)-2f(2)=2,二者产生矛盾,故|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于21. 变式提升3已知函数f(x)=ax+b,满足|x|≤1,a 2+b 2=1,求证:|f(x)|≤2.证法一:|f(x)|≤2⇔2-≤f(x)≤2⇔f(x)min ≥2-且f(x)max ≤2.若a>0,则f(x)max =f(1)=a+b≤2)(222=+b a ,f(x)min =f(-1)=-a+b≥2])[(222-=+--b a . 若a=0,则f(x)=b 且b 2=1, ∴|f(x)|≤2.若a<0,则f(x)max =f(-1)=-a+b≤2)(222=+b a ,f(x)min =f(1)=a+b≥2)(222-=+-b a . 综上,知不等式成立. 证法二:|f(x)|2-(2)2=(ax+b)2-2(a 2+b 2)=a 2x 2+b 2+2abx-2(a 2+b 2)≤a 2+b 2+2abx-2(a 2+b 2)=2abx-a 2-b 2≤2abx -a 2x 2-b 2=-(ax-b)2≤0, ∴|f(x)|≤2.。
高中数学 第一章 不等关系与基本不等式 2 2.1 绝对值不等式教学案 5数学教学案
§1不等式的性质[对应学生用书P1][自主学习]1．实数大小的比较求差法a >b ⇔a －b >0；a <b ⇔a －b <0； a ＝b ⇔a －b ＝0.求商法当a >0，b >0时，⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a >b ；ab <1⇔a <b ；a b ＝1⇔a ＝b .2(1)性质1(对称性)：如果a >b ，那么b <a ； 如果b <a ，那么a >b .(2)性质2(传递性)：如果a >b ，b >c ，那么，a >c . (3)性质3(加法性质)：如果a >b ，那么a ＋c >b ＋c . ①移项法则：如果a ＋b >c ，那么a >c －b .②推论(加法法则)：如果a >b ，c >d ，那么a ＋c >b ＋d . (4)性质4(乘法性质)：如果a >b ，c >0，那么ac >bc ， 如果a >b ，c <0，那么ac <bc .①推论1(乘法法则)：如果a >b >0，c >d >0，那么ac ＞bd . ②推论2(平方法则)：如果a >b >0，那么a 2>b 2.③推论3(乘方法则)：如果a >b >0，那么a n>b n (n 为正整数)．④推论4(开方法则)：如果a >b >0，那么a 1n >b 1n(n 为正整数)．[合作探究]1．怎样比较两个代数式的大小？提示：整式、分式一般用求差的方法来比较大小；而算式则一般用求商的方法来比较大小．2．两个不同向不等式的两边可以分别相减或相除吗？ 提示：不可以，两个不同向不等式的两边不能分别相减，也不能分别相除，在需求差或商时，可利用不等式性质化为同向不等式相加或相乘，例如：a >b 且c <d ⇒a >b 且－c >－d ，⇒a －c >b －d .3．若a >b >0，当n <0时，a n >b n成立吗？提示：不成立，如当a ＝3，b ＝2，n ＝－1时， 3－1＝13<12＝2－1.[对应学生用书P1]比较大小[例1] (1) (2)设a ＞0，b ＞0，求证：a a b b≥(ab )a ＋b2.[思路点拨] 本题考查求差比较法及求商比较法在比较代数式大小中的应用，同时考查了运算及转化能力，解答此题(1)需要用求差的方法比较，解答(2)需要用求商的方法证明．[精解详析] (1)a 4－b 4－4a 3(a －b )＝(a －b )(a ＋b )(a 2＋b 2)－4a 3(a －b ) ＝(a －b )[(a ＋b )(a 2＋b 2)－4a 3] ＝(a －b )(a 3＋ab 2＋ba 2＋b 3－4a 3)＝(a －b )[(ab 2－a 3)＋(ba 2－a 3)＋(b 3－a 3)] ＝(a －b )(a －b )[－a (a ＋b )－a 2－(a 2＋b 2＋ab )] ＝－(a －b )2(3a 2＋2ab ＋b 2) ＝－(a －b )2[(3a ＋b3)2＋23b 2]≤0(当且仅当a ＝b 时取等号)． ∴a 4－b 4≤4a 3(a －b )．(2)证明：∵a a b b＞0，(ab )＞0，∴a a b bab ＝a ·b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b .①当a ＝b 时，显然有(a b )a －b 2＝1，②当a ＞b ＞0时，a b ＞1，a －b2＞0，③当b ＞a ＞0时，0＜a b＜1，a －b2＜0.由指数函数的单调性，②③均有⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b2＞1.综上可知，对任意正数a ，b ，都有a a b b≥(ab )a ＋b2.比较大小的常用方法及步骤：1．求差法：a ≥b ⇔a －b ≥0，a ≤b ⇔a －b ≤0.一般步骤是：作差→变形→判号→定论．变形是作差法的关键，配方和因式分解是常用的变形手段． 2．求商法：当a ＞0，b ＞0时，把比较a ，b 的大小转化为比较ab与1的大小关系，此即为作商比较法． 理论依据是不等式的性质：若a ＞0，b ＞0，则a b ≥1⇔a ≥b ，ab≤1⇔a ≤b .一般步骤为：作商→变形→与1比较大小→定论． 1．已知x ≠0，求证：(x 2－1)2＜x 4＋x 2＋1. 证明：(x 2－1)2－(x 4＋x 2＋1) ＝x 4－2x 2＋1－x 4－x 2－1 ＝－3x 2＜0，∴(x 2－1)2＜x 4＋x 2＋1.2．设a >b >0，求证：a 2－b 2a 2＋b 2>a －ba ＋b .证明：法一：a 2－b 2a 2＋b 2－a －ba ＋b＝a －b [a ＋b 2－a 2＋b 2]a 2＋b 2a ＋b＝2ab a －ba 2＋b 2a ＋b>0， 所以原不等式成立．法二：∵a >b >0，故a 2>b 2>0.故左边>0，右边>0.∴左边右边＝a ＋b 2a 2＋b 2＝1＋2ab a 2＋b 2>1. ∴原不等式成立.利用不等式的性质辨别不等式的正误(1)若a >b ，则ac <bc ； (2)若ac 2>bc 2，则a >b ； (3)若a <b <0，则a 2>ab >b 2； (4)若a <b <0，则|a |>|b |； (5)若c >a >b >0，则ac －a >bc －b.[思路点拨] 本题考查不等式性质的应用及逻辑推理能力．解答此题需要依据实数的基本性质，实数的符号的运算法则以及不等式性质，然后经过合理逻辑推理即可判断．[精解详析] (1)由于c 的符号未知，因而不能判断ac ，bc 的大小关系，故该命题是假命题．(2)由ac 2>bc 2知c ≠0，而c 2>0， ∴a >b ，故该命题是真命题．(3)⎩⎪⎨⎪⎧ a <b ，a <0⇒a 2>ab ；又⎩⎪⎨⎪⎧a <b ，b <0⇒ab >b 2，∴a 2>ab >b 2，故该命题是真命题．(4)两个负实数，较小的离原点远，其绝对值反而大，故该命题是真命题．(5)⎭⎪⎬⎪⎫a ＞b ＞0⇒－a ＜－b ＜0 c ＞a ＞b ＞0 ⇒0<c －a ＜c －b⇒⎭⎪⎬⎪⎫1c －a ＞1c －b ＞0 a ＞b ＞0⇒ac －a ＞bc －b，故该命题是真命题．在利用不等式性质判断不等式真假时，关键是依据题设条件，正确恰当地选择使用不等式的性质，当否定一个结论时只需举一个反例即可；有时也可采用特殊方法比较判断．3．若a ＞b ＞c ，则下面不等式中一定成立的是( ) A ．a |c |＞b |c | B ．ab ＞ac C ．a －|c |＞b －|c |D.1a ＜1b ＜1c解析：选项A 需要c ≠0，选项B 需要a ＞0，选项D 需要a ，b ，c 同号．答案：C4．利用不等式的性质判断下列各命题是否成立，并简述理由．(1)a ＞b ⇒2－x ·a ＞2－x·b . (2)a ＞b ，c ＞d ⇒a －c ＞b －d .(3)a ＞b ，c ＜d ，cd ≠0⇒a c ＞bd.(4)a ＜b ＜0⇒1a －b ＞1a .解：(1)成立．因为2－x＞0，由性质(4)知2－x·a ＞2－x·b .(2)不成立．令a ＝5，b ＝4，c ＝3，d ＝1，有a －c ＜b －d .(3)不成立．当a ＞b ＞0，c ＜0，d ＞0时显然有a c ＜bd.(4)不成立． 1a －b －1a ＝b aa －b ，由a ＜b ＜0，可得1a －b ＜1a.利用不等式的基本性质求代数式的取值范围________，xy的取值范围为________．[思路点拨] 利用不等式性质，先求－y 和1y的取值范围，再求x －y 和xy的取值范围．[精解详析] x －y ＝x ＋(－y )， 所以需先求出－y 的取值范围；x y ＝x ×1y ，所以需先求出1y的取值范围． ∵28＜y ＜33，∴－33＜－y ＜－28，133＜1y ＜128.又60＜x ＜84，∴27＜x －y ＜56，6033＜x y ＜8428.即2011＜xy＜3. [答案] 27＜x －y ＜56 2011＜xy＜3本题不能直接用x 的取值范围去减或除y 的取值范围，应严格利用不等式的基本性质去求得取值范围；其次在有些题目中，还要注意整体代换的思想，即弄清要求的与已知的“取值范围”间的联系．如已知20＜x ＋y ＜30,15＜x －y ＜18，要求2x ＋3y 的取值范围，不能分别求出x ，y 的取值范围，再求2x ＋3y 的取值范围，应把已知的“x ＋y ”“x －y ”视为整体，即2x ＋3y ＝52(x ＋y )－12(x－y )来求2x ＋3y 的取值范围，或根据线性规化知识求目标函数z ＝2x ＋3y 的取值范围．5．已知①－1≤a ＋b ≤1，②1≤a －b ≤3，求3a －b 的取值范围．解：设3a －b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＝(x ＋y )a ＋(x －y )b .∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.由①＋②×2得：－1＋2≤(a ＋b )＋2(a －b )≤1＋3×2， 即1≤3a －b ≤7.利用不等式的性质证明不等式[例4] 若a >b >0，c <d <0，e <0.求证： (1)ea －c >eb －d；(2)e a －c2>e b －d2.[思路点拨] 本题考查不等式性质的应用及逻辑推理能力．解答本题可先比较a －c 与b －d ，(a －c )2与(b －d )2的大小，进而判断1a －c 与1b －d，1a －c2与1b －d2的大小，再两边同乘以负数e ，得出要证明的结论．[精解详析] ∵c <d <0，∴－c >－d >0， ∵a >b >0，∴a －c >b －d >0. (*) (1)由(*)式知1a －c <1b －d .又∵e <0，∴ea －c >eb －d.(2)由(*)式知(a －c )2>(b －d )2>0， ∴1b －d2>1a －c2.又∵e <0，∴e b －d2<e a －c2.即e a －c2>e b －d2.利用不等式的性质证明不等式，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果能由不等式的性质直接进行推理论证，则严格按不等式性质成立的条件论证；否则可以先分析需要证明的不等式的结构，再利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．6．已知a ＞b ＞c ＞d ＞0，且a b ＝cd ，求证：a ＋d ＞b ＋c .证明：∵a b ＝c d ，∴a －b b ＝c －dd.∴(a －b )d ＝(c －d )b . 又∵a ＞b ＞c ＞d ＞0，∴a －b ＞0，c －d ＞0，b ＞d ＞0且bd ＞1，∴a －b c －d ＝b d＞1， ∴a －b ＞c －d ，即a ＋d ＞b ＋c .本课时内容是不等式的基础，是高考的重要考点，主要考查比较大小问题，不等式正误的判断以及利用不等式性质确定代数式的取值范围问题．一般与函数、方程等知识交汇命题．[考题印证](江苏高考)设x ，y 为实数，满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，则x 3y4的最大值是________．[命题立意]本题主要考查不等式的性质与函数的最大值的概念的综合应用及函数方程思想、转化分类及运算求解能力．[自主尝试]由题设知，实数x ，y 均为正实数，则条件可化为lg 3≤lg x ＋2lg y ≤lg 8， lg 4≤2lg x －lg y ≤lg 9，令lg x ＝a ，lg y ＝b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧lg 3≤a ＋2b ≤3lg 2，2lg 2≤2a －b ≤2lg 3.又设t ＝x 3y4，则lg t ＝3lg x －4lg y ＝3a －4b ，令3a －4b ＝m (a ＋2b )＋n (2a －b ), 解得m ＝－1，n ＝2.即lg t ＝－(a ＋2b )＋2(2a －b )≤－lg 3＋4lg 3＝lg 27.∴x 3y4的最大值是27. 另解：将4≤x 2y ≤9两边分别平方得，16≤x 4y2≤81，①又由3≤xy 2≤8可得，18≤1xy 2≤13，②由①×②得，2≤x 3y 4≤27，即x 3y4的最大值是27.[答案] 27[对应学生用书P4]一、选择题1．若a ＜0，－1＜b ＜0，则有( )A ．a ＞ab ＞ab 2B ．ab 2＞ab ＞a C ．ab ＞a ＞ab 2D ．ab ＞ab 2＞a解析：∵a ＜0，－1＜b ＜0，∴ab ＞0，b －1＜0,1－b ＞0,0＜b 2＜1， ∴1－b 2＞0，ab －a ＝a (b －1)＞0. ∴ab ＞a .又ab －ab 2＝ab (1－b )＞0， ∴ab ＞ab 2.又a －ab 2＝a (1－b 2)＜0， ∴a ＜ab 2.故ab ＞ab 2＞a . 答案：D2．设a >b >1，c <0，给出下列三个结论：①c a >c b；②a c <b c；③log b (a －c )>log a (b －c )． 其中，正确结论的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③D ．①②③解析：由a >b >1，c <0得，1a <1b ，c a >c b；幂函数y ＝x c(c <0)是减函数，所以a c <b c；因为a －c >b －c ，所以log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，①②③均正确．答案：D3．设角α，β满足－π2＜α＜β＜π2，则α－β的范围是( )A ．－π＜α－β＜0B ．－π＜α－β＜πC ．－π2＜α－β＜0D ．－π2＜α－β＜π2解析：∵－π2＜α＜β＜π2，∴－π2＜－β＜－α＜π2. ∴－π＜α－β＜β－α＜π， 且α－β＜0.∴－π＜α－β＜0. 答案：A4．若a ＞b ＞0，则下列各式中恒成立的是( ) A.2a ＋b a ＋2b ＞a b B.b 2＋1a 2＋1＞b 2a2 C ．a ＋1a ＞b ＋1bD ．a a＞b b解析：选取适当的特殊值，若a ＝2，b ＝1，可知2a ＋b a ＋2b ＝54，ab ＝2，由此可知选项A 不成立．利用不等式的性质可知，当a ＞b ＞0时，1a ＜1b ，由此可知，选项C 不恒成立．取a ＝12，b ＝14，则a ＞b ＞0，则a a ＝b b ，故选项D 不恒成立．故选B.答案：B 二、填空题5．设a ≥b ＞0，P ＝3a 3＋2b 3，Q ＝3a 2b ＋2ab 2，则P 与Q 的大小关系是________．解析：P －Q ＝3a 3＋2b 3－(3a 2b ＋2ab 2)＝3a 2(a －b )＋2b 2(b －a )＝(3a 2－2b 2)(a －b )．因为a ≥b ＞0，所以a －b ≥0，a 2≥b 2＞0. 所以3a 2≥3b 2＞2b 2，即3a 2－2b 2＞0. 从而(3a 2－2b 2)(a －b )≥0，即3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2，即P ≥Q . 答案：P ≥Q6．若a ，b ∈R ，且a ＞b ，下列不等式：①b a ＞b －1a －1；②(a ＋b )2＞(b ＋1)2；③(a －1)2＞(b －1)2. 其中不成立的是________．解析：①b a －b －1a －1＝ab －b －ab ＋a a a －1＝a －ba a －1.因为a －b ＞0，a (a －1)符号不确定，①不成立；②取a ＝2，b ＝－2，则(a ＋b )2＝0，(b ＋1)2＞0，②不成立；③取a ＝2，b ＝－2，则(a －1)2＝1，(b －1)2＝9，③不成立． 答案：①②③7．有以下四个条件：①b ＞0＞a ；②0＞a ＞b ；③a ＞0＞b ；④a ＞b ＞0. 其中能使1a ＜1b成立的有________个条件．解析：①∵b ＞0，∴1b＞0.∵a ＜0，∴1a ＜0.∴1a ＜1b.②∵b ＜a ＜0，∴1b ＞1a .③∵a ＞0＞b ，∴1a＞0，1b＜0.∴1a ＞1b.④∵a ＞b ＞0，∴1a ＜1b.综上知，①②④均能使1a ＜1b成立．答案：38．若1<a <3，－4<b <2，则a －|b |的取值范围是________． 解析：∵－4<b <2，∴0≤|b |<4，∴－4<－|b |≤0 又∵1<a <3，∴－3<a －|b |<3. 答案：(－3,3) 三、解答题9．当a ≠0时，比较(a 2＋2a ＋1)(a 2－2a ＋1)与(a 2＋a ＋1)(a 2－a ＋1)的大小．解：∵(a 2＋2a ＋1)(a 2－2a ＋1) ＝[(a 2＋1)＋2a ][(a 2＋1)－2a ]＝(a 2＋1)2－2a 2＝a 4＋2a 2＋1－2a 2＝a 4＋1，(a 2＋a ＋1)(a 2－a ＋1)＝[(a 2＋1)＋a ][(a 2＋1)－a ]＝(a 2＋1)2－a 2＝a 4＋2a 2＋1－a 2＝a 4＋a 2＋1，∴(a 2＋2a ＋1)(a 2－2a ＋1)－(a 2＋a ＋1)(a 2－a ＋1)＝(a 4＋1)－(a 4＋a 2＋1)＝－a 2.∵a ≠0，∴a 2＞0，∴－a 2＜0，∴(a 2＋2a ＋1)(a 2－2a ＋1)＜(a 2＋a ＋1)(a 2－a ＋1)． 10．已知a >b >c ，求证：1a －b ＋1b －c ＋1c －a >0.证明：原不等式变形为：1a －b ＋1b －c >1a －c .又∵a >b >c ，∴a －c >a －b >0. 从而有1a －b >1a －c，又∵1b －c >0，∴1a －b ＋1b －c >1a －c .即1a －b ＋1b －c ＋1c －a>0. 11．已知一次函数f (x )＝ax ＋b ，且－1≤f (－1)≤2，－2≤f (2)≤3，求f (3)的取值范围．解：法一：(不等式基本性质)∵⎩⎪⎨⎪⎧－1≤－a ＋b ≤2， ①－2≤2a ＋b ≤3. ②又∵f (3)＝3a ＋b ＝－13(－a ＋b )＋43(2a ＋b )，∴－103≤f (3)≤133.法二：(线性规划)因为⎩⎪⎨⎪⎧－1≤－a ＋b ≤2，－2≤2a ＋b ≤3，所以点(a ，b )所表示的区域如图阴影所示， 又∵f (3)＝3a ＋b ，所以由线性规划知识可知，当(a ，b )在D ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13位置时f (3)取得最大值；在B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，23位置时f (3)取得最小值，∴－103≤f (3)≤133.法三：(利用斜率公式)∵P 1(－1，f (－1))，P 2(2，f (2))，P 3(3，f (3))三点共线，∴kP 1P 2＝kP 1P 3.∴f 2－f －12－－1＝f 3－f －13－－1.∴f (3)＝－13f (－1)＋43f (2)．又∵－1≤f (－1)≤2，－2≤f (2)≤3，∴－103≤f (3)≤133.。