高等数学 方向导数与梯度
高等数学8.8 方向导数
f ( x0
x, y0
y)
f ( x0 , y0 )
f x (x0 , y0 )
(2). 沿着 x轴负向、 y 轴负向的方向导数是 f x , f y.
定理 如果函数z f ( x, y)在点 P(x0, y0) 处可微，那末函数在该
点沿任意方向 L 的方向导数都存在，且有
(6
x
2
8
y
2
1
)2
在此处沿方向n的方向导数.
z
解 令 F( x, y, z) 2x2 3 y2 z2 6,
故 nr |(1,1,1) Fx, Fy, Fz |(1,1,1) 4, 6, 2 ,
cos 2 ,
14
cos 3 ,
14
cos 1 .
f lim f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 ) lim fx ( x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 )y o( )
l （x0 ,y0）0+
0+
fx ( x0 , y0 )cos f y ( x0 , y0 )cos
y
l
• P
且 P U( p). = | PP | (x)2 (y)2 ,
y
若 lim f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 )
P
••
x
0+
o
f
x
则称此极限为 z f ( x, y)在P处沿方向 l 的方向导数, 记为 l （x0 , y0）
l 0
z
高等数学第17章第3节方向导数与梯度
§3 方向导数与梯度在许多问题中，不仅要知道函数在坐标轴方向上的变化率（即偏导数），而且还要设法求得函数在其他特定方向上的变化率.这就是本节所要讨论的方向导数． 定义1 设三元函数f 在点),,(0000z y x P 的某邻域30)(R P ⊂ 内有定义，l 为从点0P 出发的射线，),,(z y x P 为l 上且含于 )(0P 内的任一点，以ρ表示P 与0P 两点间的距离。
若极限ρρρρf P f P f l ∆=-++→→000lim )()(lim存在，则称此极限为函数f 在点0P 沿方向l 的方向导数，记作)(,00P f l f l P ∂∂或).,,(000z y x f l 容易看到，若f 在点0P 存在关于x 的偏导数，则f 在点0P 沿轴正向的方向导数恰为 .00P P x f lf∂∂=∂∂ 当l 的方向为x 轴的负方向时，则有 .00P P x f l f∂∂-=∂∂ 沿任一方向的方向导数与偏导数的关系由下述定理给出．定理17.6 若函数f 在点),,(0000z y x P 可微，则f 在点0P 处沿任一方向l 的方向导数都存在，且,cos )(cos )(cos )()(0000γβαP f P f P f P f z y x ++= )1( 其中γβαcos ,cos ,cos 为方向l 的方向余弦．证 设),,(z y x P 为l 上任一点，于是（见图17－5）⎪⎭⎪⎬⎫=∆=-=∆=-=∆=-.cos ,cos ,cos 000γρβραρz z z y y y x x x ()2由假设f 在点0P 可微，则有 ()()=-0p f p f ()ρo z P f y P f x P f z y x .).()()(000+∆+∆+∆上式左、右两边皆除以ρ，并根据（2）式可得()ρρρρρρo z P f y P f x P f P f P f z y x +∆+∆+∆=-)()()()()(0000 ()ρργβαo P f P f P f z y x +++=cos )(cos )(cos )(000. 因为当0→ρ时，上式右边末项,0)(→ρρo ，于是左边极限存在且有()ρρ)()(lim 000P f P f P f l -=+→ .cos )(cos )(cos )(000γβαP f P f P f z y x ++= □对于二元函数),(y x f 来说，相应于)1(的结果是 (),cos ),(cos ),(00000βαy x f y x f P f y x l += 其中βα,是平面向量l 的方向角．例1 设,),,(32z y x z y x f ++=求f 在点0P )1,1,1(沿方向)1,2,2(:-l 的方向导数． 解 易见f 在点0P 可微.故由3)(,2)(,1)(000===P f P f P f z y x 及方向l 的方向余弦,321)2(22cos ,321)2(22cos 222222-=+-+-==+-+=βα grad ),3,3,1()(0--=P f g ra d .19)3()3(1222=-+-+=f □作业布置：Ｐ１２７ １；３．。
高等数学讲义课件 第7节 方向导数及梯度
u z P
6x2 8 y2 14. z2
P
故 u (ucos ucos ucos ) 11.
n P x
y
z
7
P
三、梯度的概念
方向导数公式 f f cos f cos f cos
l x
y
z
令向量 G f , f , f x y z
l 0 (cos , cos , cos )
| gradf ( x, y) |
f
2
f
2
.
gradf
x y
当 f 不为零时， x
P gradf
x轴正向与梯度方向的夹角的正切为
tan f / f
y x
在几何上 z f ( x, y) 表示一个曲面
曲面被平面 z c
所截得
z z
f c
(
x,
y) ,
所得曲线在xoy面上投影如图
第七节 方向导数与梯度
一、问题的提出 二、方向导数的定义 三、梯度的概念
一、问题的提出
实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是 (1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个 火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的 温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一 个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快 到达较凉快的地点？
y f ( x, y) c2 gradf ( x, y)
P 梯度为等高线上的法向量
f ( x, y) c 等高线
f ( x, y) c1
o
x
梯度与等高线的关系：
函数 z f ( x, y) 在点 P( x, y)的梯度的方向与点 P 的等高线 f ( x, y) c 在 这点的法线的一个方向相 同，且从数值较低的等高 线指向数值较高的等高线， 而梯度的模等于函数在这 个法线方向的方向导数．
高等数学(下册)第9章第5节方向导数与梯度
x P0
y P0
z P0
f cos f cos f cos o() .
x P0
y P0
z P0
一、方向导数
所以
f lim f (P) f (P0 ) f cos f cos f cos .
l 0 P0
x P0
y P0
z P0
注 对于二元函数f (x, y)，由于 π ，所以相应于(1)式的结果是
二、梯度
例 9.30 求函数u x2 2 y2 3z2 3x 2 y在点(1,1, 2)处的梯度，并问在哪些点处梯度为零？
解 由梯度计算公式得
gradu(x, y, z) u i u j u k = (2x 3)i (4 y 2) j 6zk， x y z
故gradu(1,1,
cos 1 ，cos 1 .因为
2
2
z e2 y 1；z 2xe2 y 2，
x (1,0)
(1,0)
y
(1,0)
(1,0)
故所求方向导数为
z 1 l (1,0)
1 221 2Fra bibliotek2. 2
一、方向导数
例 9.28 设n是曲面2x2 3y2 z2 6在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量，求函数
2)
5i
2
j
12k.易知在点P0
(
3 2
,
1 2
,
0)处梯度为零.
高等数学（下册）
学海无涯，祝你成功！
u
1
(6x2
1
8y2)2
在此处沿方向n 的方向导数.
z
解 令F (x, y, z) 2x2 3y2 z2 6，因为
Fx P 4x P 4，Fy P 6 y P 6，Fz P 2z P 2，
高等数学同济版下第七节方向导数与梯度
f f f f cos cos cos l x y z
其中 , , 为 l 的方向角 .
对于二元函数 f (x 向角 ,y ), 在点 P ( x ,y ) 处沿方向 l( 方
为, ) 的方向导数为
f f ( x x , y y ) f ( x , y ) lim l 0 l
2
l x f f • 当 l 与 x 轴反向 , 时 ,有 2 l x
例1. 求函数 u x2yz 在点 P(1, 1, 1) 沿向量 l ( 2 , 1 , 3 )
的方向导数 .
6 14
2 2 在点P(2, 3)沿曲线 y x2 1 3 x y y 例2. 求函数 z
, y) 在点 P(x, y) 处的梯度 同样可定义二元函数 f (x
f f f f grad f i j , x y x y
说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影. 2. 梯度的几何意义
z f( x ,y ) 对函数 z f ( x , y ) , 曲线 在 xoy 面上的 z C
第七节 方向导数与梯度
一、方向导数 二、梯度
三、物理意义
一、方向导数
x ,y ,z )在点 P 定义: 若函数 f( (x, y, z) 处
, ,) 存在下列极限: 沿方向 l (方向角为
记作 f f f ( x x , y y , z z ) f ( x , y , z ) lim lim l 0 0
朝 x 增大方向的方向导数.
60 17
2 2 2 在点 P(1, 1, 1 )处 是曲面 n 2 x 3 y z 6 例3. 设
方向导数与梯度的关系与计算公式
方向导数与梯度的关系与计算公式方向导数（Directional Derivative）是多元函数在某个给定点上沿指定方向的变化率。
它在物理学、工程学和优化问题中具有重要的应用。
在求解方向导数时，我们常常会遇到梯度（Gradient）的概念。
本文将介绍方向导数与梯度之间的关系，并探讨它们的计算公式。
一、方向导数的定义在多元函数中，给定一个点P(x₀, y₀, z₀)及一个单位向量u = (a, b, c)，其中a² + b² + c² = 1，方向导数Duf(x₀, y₀, z₀)表示函数f(x, y, z)在P点上沿u方向的变化率。
方向导数用符号∇f(x₀, y₀, z₀)·u表示。
二、梯度的定义梯度是一个向量，它在多元函数的每个点上都有定义。
对于二元函数f(x, y)，梯度∇f(x, y)表示函数f在每个点上的变化率最大的方向。
梯度可以用向量形式表示为∇f(x, y) = (fx, fy)，其中fx和fy分别表示f对x和y的偏导数。
对于三元函数f(x, y, z)，梯度∇f(x, y, z)表示函数f在每个点上的变化率最大的方向。
梯度可以用向量形式表示为∇f(x, y, z) = (fx, fy, fz)，其中fx、fy和fz分别表示f对x、y和z的偏导数。
三、方向导数与梯度的关系在函数f(x, y, z)的某一点P(x₀, y₀, z₀)处，方向导数和梯度的关系可以表示为：Duf(x₀, y₀, z₀) = ∇f(x₀, y₀, z₀)·u即，方向导数等于梯度与单位向量u的内积。
四、方向导数的计算公式在笛卡尔坐标系中，给定一个点P(x₀, y₀, z₀)及一个非零向量u = (a, b, c)，其中a² + b² + c² = 1，方向导数可以通过以下公式计算：Duf(x₀, y₀, z₀) = fx(x₀, y₀, z₀)a + fy(x₀, y₀, z₀)b + fz(x₀, y₀, z₀)c其中fx、fy和fz分别表示f对x、y和z的偏导数。
大学经典课件之高等数学——8-6方向导数和梯度
∂f ∂f ∂f ∂f r = cos α + cos β + cos γ . ∂l ∂x ∂y ∂z
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二、梯度
问题 : 函数在点 P 沿哪一方向变化率增加 的 最快 ? r r 设 e = {cos α , cos β } 是方向 l 上的单位向量，
则
∂f ∂f ∂f ∂f ∂f r = cosα + cos β = { , } ⋅ {cosα , cos β } ∂y ∂x ∂y ∂ l ∂x
结论：函数在某点的梯度是一个向量，它的方向与取得 最大方向导数的方向一致，即：沿梯度的方向函数的变化 率增加最快。而梯度的模为方向导数的最大值。梯度的模 为 2
⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂ f ⎞ | gradf ( x , y ) |= ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠
2
机动
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∂ f ∂f r ∂f 2 ∂f 2 = ( ) + ( ) cosθ , 其中 θ = ({ , }, e ) ∂x ∂y ∂x ∂x
∂f 显然当 cos θ = 1 ，即 θ = 0 时， r 有最大值。 ∂l
∂f ∂f 即沿方向 { , } 函数的变化率增加最快 ∂ x ∂y
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然而，在实际问题中还要经常会遇到在其它方 向上的变化率的问题。
问题： 函数 z = f ( x , y )在其它方向上的变化率如 何刻划？
—— 方向导数
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方向导数的定义
y
l
设函数 z = f ( x , y ) 在点P ( x , y ) r α 的某一邻域 U ( P ) 内有定义， 是过 l • • P r Δx 点 P 的任意确定方向。在 l 上任取 ′( x + Δx , y + Δy )， P ′ ∈ U ( P ), o 一点 P 使
高等数学方向导数与梯度
cos 1 , cos 4
17
17
y
P
O 1 2 x
60 17
例3. 设 n 是曲面
在点 P(1, 1, 1 )处
指向外侧的法向量, 求函数
在点P 处沿
方向 n 的方向导数.
解: n (4x , 6 y , 2z) P 2(2 , 3 , 1)
方向余弦为 cos 2 , cos 3 , cos 1
14
14
14
而
u x P z
6x 6x2 8y2
P
6 14
同理得
u 1 6 2 8 3 141 11
n P 14
7
二、梯度
方向导数公式 f f cos f cos f cos
l x
y
z
令向量
G
f, x
f, y
f z
l (cos , cos , cos )
当 l 与 G 方向一致时, 方向导数取最大值：
第七节
第八章
方向导数与梯度
一、方向导数 二、梯度 三、物理意义
一、方向导数
l
定义: 若函数 f (x, y, z) 在点 P(x, y, z) 处
沿方向 l (方向角为 , , ) 存在下列极限:
P
lim f
0
P(x, y, z)
lim
0
f
(x
x,
y
y, z
z)
f
(x,
y,
z)
记作
f l
则称 f 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.
l
定理: 若函数 f (x, y, z) 在点 P(x, y, z) 处可微 ,
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9.8.1 方向导数
定义9.5 (方向导数)
设二元函数z = f (x, y)在点P0(x0, y0)的某一邻域
内有定义, l 是以P0(x0, y0) 为起点的射线, y l (cos , cos ) 为其方向向量. 如果极限
l
P
f ( x0 t cos , y0 t cos ) f ( x0 , y0 ) P0 lim O t 0 t
类似地, 如果三元函数 u f ( x, y, z )在点P0 ( x0 , y0 , z0 ) 且 f l
f f cos cos y P z P0 P0 0 其中 cos , cos , cos 为l 的方向余弦.
7
处可微, 则在该点沿任意方向 l 的方向导数都存在 ,
9
6 x2 8 y2 函数u z 1 3 2 , cos cos , cos 14 14 14 u 6x 6 x P z 6 x 2 8 y 2 P 14
u 8y y P z 6 x 2 8 y 2
P
P (1,1,1)
8 14
u 6x 8 y z P z2
向量微分算子或哈密尔顿算子,则梯度又可记为
f f grad f ( x , y ) x , y f
17
结论:
函数在某点的梯度是这样一个向量,
它的方向与取得最大方向导数的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值. 梯度的模为
f f | grad f ( x , y ) | x y f f 沿着 x , y 方向, 函数减少得最快.
l
称为f (x, y)沿方向 l 的方向导函数(简称方向导数).
2
f f ( x t cos , y t cos ) f ( x , y ) lim 方向导数 l t 0 t
是函数在某点沿任何方向的变化率. t一定为正!
f f ( x x , y ) f ( x , y ) lim 偏导数 x x 0 x f f ( x , y y ) f ( x , y ) lim y y 0 y
2
2
14
P
故 u n
P
11 u u u . x cos y cos z cos P 7
10
考虑函数 z x 3 y 2 , 定点 P0(3,1), P1(2,3). 求函数在 P0 沿 P0 P1 方向的方向导数. 解
z x
3 x2 y2
P0
P0
27,
z y
P0
2 x 3 y 54 P
0
P0 P1 ( 1,2),
1 cos , 5
z l
| P0 P1 | 5
2 cos 5
P0
2 81 1 54 27 5 5 5
13
f f f f cos cos cos . l x y z
f f 其中 G x , y , l (cos , cos ), l 1.
而
f 当 l 与G 方向一致时,方向导数取最大值 max l G , f 当 l 与G 方向相反时,方向导数取最小值 min l G . 16
解
u u u gradu( x, y, z ) i j k x y z
(2 x 3)i (4 y 2) j 6zk
故 令
gradu(1,1,2) 5i 2 j 12k .
(2 x 3)i (4 y 2) j 6zk 0,
分别是函数在某点沿平行于坐标轴的直线 的变化率. Δx、Δy可正可负！
3
定理9.12 如果 z f ( x, y)在点P0 ( x0 , y0 )处可微, 则函数 在该点沿任意方向 l 的方向导数都存在 , f f f cos cos 且 l P0 x P0 y P 0 其中 cos , cos 为l 的方向余弦.
f x cos
P0
例 设 n是曲面 2 x2 3 y2 z 2 6 在点P(1,1,1)
处指向外侧的法向量, 求函数 u 在P点处沿方向 n的方向导数 .
6 x2 8 y2 z
解 令 F ( x, y, z) 2 x2 3 y2 z 2 6,
Fx
, Fy , Fz) P (4, 6, 2), 故 n (Fx
P
4 x P 4, Fy
P
6 y P 6, Fz P 2 z P 2
其方向余弦为
1 cos 14
n 42 62 22 2 14,
2 3 cos , cos , 14 14
1
x
存在, 则称此极限为函数z = f (x, y)在点P0(x0, y0)
f 处沿方向 l 的方向导数, 记为 l
f ( x 0 , y0 ) ,或 . l P
0
注: 方向导数是函数沿半直线方向的变化率. 如果函数 f (x, y)在区域D内任何一点(x, y)处沿方向
f 为D内的一个函数, l 的方向导数都存在, 则
24
2 ). (1,2,2) 9
作业
习题9.8 (209页) 1. (3) 2. 3.(3)
26
3 1 可得, 在 P0 , ,0 处梯度为 0. 2 2 23
函数u ln(x 2 y 2 z 2 )在点M (1,2,2)处
的梯度grad u M (
u u u 解 grad u M , , x y z M 2x 2y 2z 2 2 2, 2 2 2, 2 2 2 x y z x y z x y z M 2 (1,2,2). 9
函数u ln( x
y 2 z 2 )沿点A(1,0,1)指向点
1 B(3,2,2)方向的方向导数为 ( 2
).
解 此方向的方向向量为 ( 2,2,1). 2 1 2 , cos , cos , cos 3 3 3 u 1 u u 1 0, , , y A z A 2 x A 2
u l
A
2 1 2 1 1 1 ( ) 0 . 3 2 3 3 2 2
15
9.8.2 梯度的概念 问题: 函数 z f ( x , y ) 沿什么方向的方向导数为
最大或最小? f f f 方向导数 cos cos G l , l x y
f f f x , y , z
此梯度也是一个向量, 其方向与取得最大方 向导数的方向一致, 其模为方向导数的最大值.
22
2 2 2 u x 2 y 3 z 3 x处梯度为零?
2 2
grad f
P
方向：f 变化率最大的方向 G: 模： f的最大变化率之值
18
grad f
梯度的概念可以推广到三元函数
设三元函数 u f ( x , y , z ) 在点P处可微分,
则函数在该点的梯度为
f f f grad f ( x , y , z ) f i j k x y z
f f z f ( x, y) 为函数 定义9.6 G , x y 在点P ( x, y )处的梯度, 记作 gradf ( x , y ).
f f f f 即 gradf ( x , y ) x , y x i y j . 引用记号 , , 称为奈布拉算子, 或称为 x y