高等数学-第9章---(方向导数与梯度)
合集下载
9-9 方向导数与梯度
函数
f
(
x,
y,
z)在P0沿方向l的方向导数,记作¶¶
f l
. ( x0 , y0 , z0 )
l注 (1) 二元函数 f ( x, y)在P0( x0 , y0 )沿方向l(方向角为a , b )
的方向导数为
¶f
= lim f (x0 + t cosa, y0 + t cos b ) - f (x0, y0 )
函数变化0率为零
l注 梯度是一个向量 方向: 方向导数最大值的方向
q =0
q =p p
| grad f (x0, y0 ) | cosq
q=
2
梯度的投影
- grad f (x0, y0 )
¶f
q ¶l ( x0 , y0 )
grad f ( x0, y0 )
大小: 方向导数的最大值
z Ø几何意义
曲线L z = f ( x, y)在xOy面上的投影 z=c
为函数 f ( x, y)在点P0( x0, y0 )的梯度, 记作
grad f ( x0, y0 ), 或Ñf ( x0, y0 ). 即: grad f ( x0, y0 ) = Ñf ( x0, y0 ) = fx ( x0, y0 )i + f y ( x0, y0 ) j, 其中 Ñ = ¶ i + ¶ j 称为(二维的)向量微分算子或Nabla算子
u例8 求曲面 x2 + y2 + z = 9在点P0(1,2,4)的切平面和法线方程.
二、梯度
（一）概念 （二）计算 （三）物理意义
二、梯度
（一）概念 （二）计算 （三）物理意义
场: 物理量在空间的分布
《高等数学》电子课件(同济第六版)07第九章 第7节 方向导数与梯度
cos
cos
f f ( x x , y y ) f ( x , y ) lim l 0 f f cos cos . x y
o
y
P
l
P
y
x
11
x
例 1 求函数z xe 2 y 在点P (1,0) 处沿从点
解
1 1 1 cos , cos 2 2 2 2 2 2 1 (1) 1 (1) z 2y e 2 y (1, 0 ) 1; z 2 xe 2, ( 1, 0 ) x (1, 0 ) y
Fx P 4 x P 4, Fy P 6 y P 6, Fz P 2z P 2, 故 n Fx , Fy , Fz 4, 6, 2,
n 42 62 22 2 14,
方向余弦为
20
2 3 1 cos , cos , cos . 14 14 14
证明
由于函数可微，则增量可表示为
两边同除以 , 得到
f f f ( x x , y y ) f ( x , y ) x y o( ) x y
10
f ( x x , y y ) f ( x , y )
故有方向导数
f x f y o( ) x y
思 考: 若f ( x , y )在 点P ( x , y )沿x轴 正 向 e1 {1,0}的 方 向 f 导数存在 , 是否存在 ? x 2 2 不 一 定 如 z x y 在(0,0)点处沿e1 {1,0}
2 2 ( x ) ( y ) z 方向导数 lim 1, l 0
cos
f f ( x x , y y ) f ( x , y ) lim l 0 f f cos cos . x y
o
y
P
l
P
y
x
11
x
例 1 求函数z xe 2 y 在点P (1,0) 处沿从点
解
1 1 1 cos , cos 2 2 2 2 2 2 1 (1) 1 (1) z 2y e 2 y (1, 0 ) 1; z 2 xe 2, ( 1, 0 ) x (1, 0 ) y
Fx P 4 x P 4, Fy P 6 y P 6, Fz P 2z P 2, 故 n Fx , Fy , Fz 4, 6, 2,
n 42 62 22 2 14,
方向余弦为
20
2 3 1 cos , cos , cos . 14 14 14
证明
由于函数可微，则增量可表示为
两边同除以 , 得到
f f f ( x x , y y ) f ( x , y ) x y o( ) x y
10
f ( x x , y y ) f ( x , y )
故有方向导数
f x f y o( ) x y
思 考: 若f ( x , y )在 点P ( x , y )沿x轴 正 向 e1 {1,0}的 方 向 f 导数存在 , 是否存在 ? x 2 2 不 一 定 如 z x y 在(0,0)点处沿e1 {1,0}
2 2 ( x ) ( y ) z 方向导数 lim 1, l 0
高等数学(下册)第9章第5节方向导数与梯度
x P0
y P0
z P0
f cos f cos f cos o() .
x P0
y P0
z P0
一、方向导数
所以
f lim f (P) f (P0 ) f cos f cos f cos .
l 0 P0
x P0
y P0
z P0
注 对于二元函数f (x, y)，由于 π ，所以相应于(1)式的结果是
二、梯度
例 9.30 求函数u x2 2 y2 3z2 3x 2 y在点(1,1, 2)处的梯度，并问在哪些点处梯度为零？
解 由梯度计算公式得
gradu(x, y, z) u i u j u k = (2x 3)i (4 y 2) j 6zk， x y z
故gradu(1,1,
cos 1 ，cos 1 .因为
2
2
z e2 y 1；z 2xe2 y 2，
x (1,0)
(1,0)
y
(1,0)
(1,0)
故所求方向导数为
z 1 l (1,0)
1 221 2Fra bibliotek2. 2
一、方向导数
例 9.28 设n是曲面2x2 3y2 z2 6在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量，求函数
2)
5i
2
j
12k.易知在点P0
(
3 2
,
1 2
,
0)处梯度为零.
高等数学（下册）
学海无涯，祝你成功！
u
1
(6x2
1
8y2)2
在此处沿方向n 的方向导数.
z
解 令F (x, y, z) 2x2 3y2 z2 6，因为
Fx P 4x P 4，Fy P 6 y P 6，Fz P 2z P 2，
高等数学-第9章---(方向导数与梯度)
u
1 (6 x 2
8
y
2
1
)2
在此处沿方向n
的方向
z
导数.
解 令 F( x, y, z) 2x2 3 y2 z2 6,
Fx
故
Pn 4Fx xP,
4, Fy ,
Fy Fz
P
6 y P 6,
4, 6, 2,
Fz P
2z P
2,
n
42 62 22 2 14,
方向余弦为
cos 2 , cos 3 ,
x cos , y cos , z cos ,
同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点 沿任意方向 L 的方向导数都存在，且有
f f cos f cos f cos .
l x
y
z
例 3 设n 是曲面2 x2 3 y2 z2 6 在点
P (1,1,1) 处的指向外侧的法向量，求函数
PP 两点间的距离 (x)2 (y)2 之比值，
当 P 沿着 l 趋于 P 时，如果此比的极限存在， 则称这极限为函数在点P 沿方向 l 的方向导数．
记为 f lim f ( x x, y y) f ( x, y) .
l 0
依定义，函数 f ( x, y)在点P
沿着x
轴正向e1 {1,0} 、
y 轴正向e2 {0,1}的方向导数分别为 f x , f y ；
沿着x 轴负向、y 轴负向的方向导数是 f x , f y .
方向导数的几何意义
f ( x0 , y0 ) lim f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 )
l
x0
f ( x0 , y0 ) lim f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 )
9.4 方向导数与梯度
∂(0 )
∂
∂
或 ฬ .
∂
0
与二元情况类似, 设方向 l 的方向角为α、 β、 γ, 则
(0+cos,0 +cos,0 +cos)−(0 ,0 ,0 )
.
f 'l (P0) = lim+
→0
当f(x, y, z)在点P0处可微时, 其方向导数的计算公式为
其最大变化率为设函数ufxyz在点p0x0y0z0的某一邻域内有定义又设l是从点p0出发的一条射线点pxyz是l上异于点p0的一点若以表示点p与点p0的距离lim????0?????????????????0????存在当点p沿着l趋于点p0时则称此极限为函数ufxyz在点p0处沿方向l的方向导数记作flp0不难将方向导数和梯度概念推广到三元函数
f 'l (P0) =grad f(P0)·l0.
⑤
它表示可微函数在点P0处沿方向 l 的方向导数等于该函数
在点P0处的梯度与方向l上的单位向量l0的数量积.
若用θ表示方向l与梯度gradf(P0)之间的夹角, 则
f 'l (P0) =|grad f(P0)||l0|cosθ
=|grad f(P0)|cosθ.
解
因为
∂
ቤ =4,
∂
0
∂
ቤ =12,
∂
0
所以在点P0 (2, 3)处的梯度为
gradT(P0)=4i+12j,
这就是在点P0处温度增加最快的方向, 其最大变化率为
|gradT(P0)|=4 10.
不难将方向导数和梯度概念推广到三元函数.
设函数u=f(x, y, z)在点P0(x0, y0, z0)的某一邻域内有定义,
高等数学9-7 方向导数和梯度
在点 (0, 0) 可偏导， 且 fx(0, 0) fy(0, 0) 0, 但不可微，
故不能利用定理1中的公式计算出方向导数，即
f l
fx(0, 0)
2 2
f y(0, 0)
2 0. 2
(0,0)
（实际上 f 不存在）。 因此例2表明定理1 l
(0,0)
条件中的“可微”不可减弱为“可偏导”。
方向导数.
2021/1/5
定理2: 若函数 f (x, y, z) 在点 P(x, y, z) 处可微 ,
则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 ,且有
f f cos f cos f cos
l x
y
z
例4.求
在点 P(1,1,1)处沿方向 l {2, 1,3}
的方向导数 .
解: 由 l {2 , 1,3} 得cos 2 ,cos 1 ,cos 3 ,
y p
z p
p
所以最大值为 gradu 12 12 02 2 ． p
备用题 1. 函数
处的梯度
2 (1, 2, 2) 9
在点
(92考研)
解:
则
注意 x , y , z 具有轮换对称性
2 (1, 2, 2) 9
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2. 函数 u ln(x y2 z2 )在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A
指向 B( 3, －2 , 2) 方向的方向导数是
1 2
.(96考研)
提示:
则
{cos , cos , cos }
ln(x 1)
ln(1 y2 1)
1 2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
梯度与方向导数的关系
梯度与方向导数的关系梯度与方向导数是微分学中两个重要概念，它们在多元函数的求导和优化中有着密切的联系。
首先，我们先来介绍一下梯度的概念。
对于一个多元函数，梯度是一个向量，它的方向指向函数在某一点处取得最大增加的方向，其模长表示增加的速率。
梯度通常用符号∇表示，如果函数f(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)处可微分，则梯度定义为：∇f(x0,y0,z0) = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)其中的∂f/∂x表示函数f对变量x求导的偏导数。
可以看出，梯度是一个向量，其分量分别对应于各个变量的偏导数值。
而方向导数，顾名思义，就是函数沿着某一给定方向上的导数。
对于一个函数f(x,y,z)，在点P(x0,y0,z0)处的方向向量为u=(u1,u2,u3)，方向导数定义为：Duf(x0,y0,z0) = ∇f(x0,y0,z0)·u其中的·表示向量的点积运算。
可以看出，方向导数是梯度和方向向量的点积，它表示了函数f在给定方向上的变化速率。
那么梯度与方向导数之间有什么联系呢？根据上述定义可以得知，梯度是一个向量，其方向与方向导数的方向相同，且梯度的模长表示了方向导数的大小。
换句话说，梯度可以看作是方向导数的一个特例。
具体来说，若给定一个向量u，如果f(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)处可微分，则由方向导数的定义可知：Duf(x0,y0,z0) = ∇f(x0,y0,z0)·u =|∇f(x0,y0,z0)||u|cosθ其中的θ表示梯度向量∇f(x0,y0,z0)与方向向量u的夹角。
根据向量的点乘性质，可以得出：|∇f(x0,y0,z0)||u|cosθ = ∇f(x0,y0,z0)·u也就是说，梯度向量的模长和方向导数的大小是一样的。
当方向向量u与梯度向量的夹角为零时，即u与梯度的方向相同，方向导数取得最大值；当方向向量u与梯度向量的夹角为180°时，即u与梯度的方向相反，方向导数取得最小值。
高等教育出版社高等数学同济第六版下册第九章PPTD9_7方向导数与梯度
第七节 方向导数与梯度
一、方向导数 二、梯度
第九章
三、物理意义
目录
上页
下页
返回
结束
一、方向导数
定义: 若函数 f ( x, y, z ) 在点 P( x, y, z ) 处
l
沿方向 l (方向角为 , , ) 存在下列极限: f lim
0
P
P( x, y, z )
f ( x x, y y, z z ) f ( x, y, z ) 记作 f lim l 0
q e q e E r grad u 2 r 4 π r 4 π r
这说明场强: 垂直于等势面,
且指向电势减少的方向.
目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
1. 方向导数
• 三元函数
在点
沿方向 l (方向角
为 , , ) 的方向导数为 f f f f cos cos cos l x y z
当 l 与 G 方向一致时, 方向导数取最大值： f G max l
这说明 G : 方向：f 变化率最大的方向
模 : f 的最大变化率之值
目录 上页 下ห้องสมุดไป่ตู้ 返回 结束
1. 定义
f f f G , , x y z
向量 G 称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度 (gradient), 记作 grad f (P), 或 f (P), 即
目录 上页 下页 返回 结束
u ln(x y 2 z 2 ) 在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A 2. 函数
指向 B( 3, －2 , 2) 方向的方向导数是 提示: 其单位向量为
一、方向导数 二、梯度
第九章
三、物理意义
目录
上页
下页
返回
结束
一、方向导数
定义: 若函数 f ( x, y, z ) 在点 P( x, y, z ) 处
l
沿方向 l (方向角为 , , ) 存在下列极限: f lim
0
P
P( x, y, z )
f ( x x, y y, z z ) f ( x, y, z ) 记作 f lim l 0
q e q e E r grad u 2 r 4 π r 4 π r
这说明场强: 垂直于等势面,
且指向电势减少的方向.
目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
1. 方向导数
• 三元函数
在点
沿方向 l (方向角
为 , , ) 的方向导数为 f f f f cos cos cos l x y z
当 l 与 G 方向一致时, 方向导数取最大值： f G max l
这说明 G : 方向：f 变化率最大的方向
模 : f 的最大变化率之值
目录 上页 下ห้องสมุดไป่ตู้ 返回 结束
1. 定义
f f f G , , x y z
向量 G 称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度 (gradient), 记作 grad f (P), 或 f (P), 即
目录 上页 下页 返回 结束
u ln(x y 2 z 2 ) 在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A 2. 函数
指向 B( 3, －2 , 2) 方向的方向导数是 提示: 其单位向量为
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x (t)
参数式情况.
空间光滑曲线
:
y
(t)
z (t)
切向量 T ((t0 ), (t0 ), (t0 ))
切线方程 x x0 y y0 z z0
(t0 ) (t0 ) (t0 )
法平面方程
(t0 )( x x0 ) (t0 )( y y0 ) (t0 )(z z0 ) 0
| PP | (x)2 (y)2 ,
且 z f ( x x, y y) f ( x, y),
考虑 z ,
当 P 沿着 l 趋于 P
时，
lim f ( x x, y y) f ( x, y) 是否存在？
0
定义 函数的增量 f ( x x, y y) f ( x, y) 与
•5
2. 曲面的切平面与法线
1) 隐式情况：空间光滑曲面
曲面 在点
的法向量
n (Fx ( x0, y0, z0 ), Fy ( x0, y0, z0 ), Fz ( x0, y0, z0 ))
切平面方程
Fx ( x0, y0, z0 )( x x0 ) Fy ( x0, y0, z0 )( y y0 )
f ( x x, y y) f ( x, y) f x f y o( )
x y
故有方向导数
cos sin
f l
f ( x x, y y) f ( x, y)lim0f cos f sin .
x
y
例 1 求函数z xe2 y 在点P(1,0)处沿从点
P(1,0)到点Q(2,1)的方向的方向导数.
y 轴正向e2 {0,1}的方向导数分别为 f x , f y ；
沿着x 轴负向、y 轴负向的方向导数是 f x , f y .
方向导数的几何意义
f ( x0 , y0 ) lim f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 )
l
x0
f ( x0 , y0 ) lim f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 )
法线方程
Fz ( x0, y0, z0 )(z z0 ) 0
x x0
y y0
z z0
Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0, z0 )
•6
2) 显式情况：空间光滑曲面
法向量
n ( fx , f y ,1)
法线的方向余弦
l x
y
其中 为x 轴到方向 L 的转角．
证明 由于函数可微，则增量可表示为
f (x x, y y) f (x, y) f x f y o( )
x y
两边同除以 , 得到
f ( x x, y y) f ( x, y) f x f y o( )
x y
cos sin
解
这里方向l 即为PQ {1,1},
故x 轴到方向l 的转角
.
z e2 y 1;
x (1,0)
(1,0)
所求方向导数
4
z 2 xe2 y 2,
y (1,0)
(1,0)
z l
cos( ) 2sin( )
4
4
2. 2
解 由方向导数的计算公式知
f l
(1,1)
f x (1,1)cos
f y (1,1)sin
(2x y) cos (2 y x) sin ,
(1,1)
(1,1)
cos sin 2 sin( ),
4
故 （1）当 时，方向导数达到最大值 2 ;
向的变化率问题.
一、方向导数的定义
讨论函数 z f ( x, y) 在一点P沿某一 方向的变化率问题．
设函数 z f (x, y) 在点 P(x, y)的某一邻域U(P) 内有定义，自点P 引射线 l．
设 x 轴正向到射线l 的转角
为 ,并设 P( x x, y y)
为 l 上的另一点且 P U( p).
PP 两点间的距离 (x)2 (y)2 之比值，
当 P 沿着 l 趋于 P 时，如果此比的极限存在， 则称这极限为函数在点P 沿方向 l 的方向导数．
记为 f lim f ( x x, y y) f ( x, y) .
l 0
依定义，函数 f ( x, y)在点P
沿着x
轴正向e1 {1,0} 、
高等数学
课程相关
• 教材及相关辅导用书
▫ 《高等数学》第一版，肖筱南主编,林建华等编著, 北京大学出版社2010.8.
▫ 《高等数学精品课程下册》第一版，林建华等编著, 厦门大学出版社,2006.7. 《高等数学》第七版,同济大学数学教研室主编，高 等教育出版社,2014.7. 《高等数学学习辅导与习题选解》（同济第七版上 下合订本）同济大学应用数学系编 高等教育出版 社,2014.8.
• 第九章 多元函数微分学
▫ 9.1 多元函数的基本概念 ▫ 9.2 偏导数 ▫ 9.3 全微分 ▫ 9.4 多元复合函数的求导法则 ▫ 9.5 隐函数的求导公式 ▫ 9.6 多元函数微分学的几何应用 ▫ 9.7 方向导数与梯度 ▫ 9.8 多元函数的极值 ▫ 9.9 综合例题
•4
内容回顾
1. 空间曲线的切线与法平面
第七节 方向导数与梯度 第九章
一、方向导数 二、梯度 三、数量场和向量场
第七节 方向导数与梯度
一.方向导数
偏导数反映的是函数沿坐标轴方 y
L
向的变化率,但许多物理现象告诉我
β
el
P(x,y)
α
们,除了考虑函数沿坐标轴方向的变
P0(x0,y0)
x
化率外,还应该考虑其它方向的变化
率.现在我们研究函数沿任一指定方
cos
fx
, cos
1
f
2 x
f y2
cos
切平面方程
1
1
f
2 x
f y2
fy
,
1 fx2 fy2
z z0 f x ( x0, y0 )( x x0 ) f y ( x0, y0 )( y y0 )
法线方程 x x0 y y0 z z0 f x ( x0, y0 ) f y ( x0, y0 ) 1
l
x0
上式极限存在就意味
曲线C在点 P0 有唯一的切线
l 它关于 方向的斜率
就是方向导数
f l ( x0 , y0 )
P0 T
C
P
M0 M
l
L
定理 如果函数z f ( x, y)在点P( x, y)是可微分
的，那末函数在该点沿任意方向 L 的方向导数都
存在，且有 f f cos f sin ，