方向导数与梯度的关系
方向导数与梯度公式关系
方向导数与梯度公式关系方向导数和梯度是微积分中两个常用的概念,它们之间的关系可以用以下公式表示:方向导数 = 梯度 / 权重其中,梯度是指目标函数对变量的导数,权重是指变量的系数。
具体来说,假设我们有一个线性回归模型$$y = x"beta + epsilon$$其中$y$是输出变量,$x$是输入变量,$beta$是模型的参数,$epsilon$是噪声。
那么,$beta$的梯度可以表示为:$$frac{partial}{partial beta}left(frac{y}{x"beta}ight) = frac{partial y}{partial beta}x" - frac{partial x"}{partial beta}frac{y}{x"beta} = frac{y"beta - x"betay}{x"beta}$$其中,$frac{partial y}{partial beta}$表示$beta$对$y$的导数,$frac{partial x"}{partial beta}$表示$x"beta$对$x$的导数。
现在,如果我们想要计算$beta$的方向导数,可以使用上述公式:$$frac{partial}{partial beta}left(frac{y}{x"beta}ight) = frac{y"beta - x"beta y}{x"beta} = frac{y"}{x"}beta - frac{x"}{x"}beta = frac{y-x"beta"}{x"}$$其中,$beta" = x"(beta)$。
因此,$beta$的方向导数可以通过计算它与其他变量的差来得到。
第六节 方向导数与梯度
f x ( x, y) , f y ( x, y) 是 沿 x 轴正向 及 y 轴正向的变化率 .
讨论函数 z f ( x , y ) 在一点 P0 沿任意方
向的变化率问题就是方向导数问题．
设函数 z f ( x , y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 的某一邻域U ( P ) 内有定义． 设 e cos i cos j 为一单位
1 3
f l
( 0,0 )
f ( ta , tb) f (0,0) ( t 2ab) lim lim . t 0 t 0 t t
此例同时也说明函数在一点连续也未必能推 出函数在该点处沿各方向的方向导数都存在.
(2) 函数在一点处沿各方向的方向导数都存在，
也未必在该点处连续.
z f ( x t cos , y t cos ) f ( x , y ), 考虑
当 P 沿着 l 趋于P0 时，
z
t
,
f ( x t cos , y t cos ) f ( x , y ) 是否存在？ lim t 0 t
1、方向导数的定义
定义 设函数 z f ( x , y ) 在点P ( x0 , y0 )的某个邻 域内有定义 , l 是一非零向量 , el (cos , cos ) 是与 l 同方向的单位向量 , 如果极限 f ( x0 t cos , y0 t cos ) f ( x0 , y0 ) lim t 0 t 存在 , 则称这极限为函数 z f ( x , y ) 在点 P 沿 f 方向 l 的方向导数 , 记为 ,即 l ( x0，y0 )
有何意义?
二阶方向导数几何意义：
2 f 的近旁 的 0 ，则说明在 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) l l 2 切线斜率沿 el 方向单调增加，曲线为下凸；
梯度及其与方向导数的关系
u y
2
2
2
1 r
3
3y r
2
5
,
2
u z
2
2
1 r
3
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例3.
处矢径 r 的模 , 试证
x x y z
2 2 2
证:
f (r ) y
grad f (r )
f (r )
f ( r )
f (r ) x
f ( r )
x r
y r
,
f (r ) y
f (r ) z
j
f ( r )
2 2
(x y )
2 2 2 2
2
y x
2 2
2 2
(x y )
2
z y
2
x y y 2y (x y )
2 2 2
x y
2 2
2 2
(x y )
2
2 2
z x
2
z
2
y
2
y x
2 2
(x y )
2
x y
2 2
2 2
(x y )
2
1 5
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u (1,1) u ( 1,1) , el l
(6 3)
3 5
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7/22
(1) 方向导数取最大值的方向即梯度方向，其单位向 量为
1 2 (1,1)
，方向导数的最大值为
1 2
u ( 1,1) 3 2.
最优化方法方向导数与梯度例题
最优化方法方向导数与梯度例题一、引言在数学和计算机领域中，最优化方法是一种常用的数学工具，用于解决优化问题。
在这个过程中，方向导数和梯度是非常重要的概念，它们帮助我们找到函数的最大值或最小值。
本文将深入探讨最优化方法中的方向导数和梯度，并通过例题来帮助读者更好地理解这些概念。
二、方向导数与梯度的定义1. 方向导数方向导数是一个向量的数量函数，表示函数在某一点沿着某一方向的变化率。
在数学上，对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，在点P0(x10, x20, ..., xn0)处沿着向量v=(v1, v2, ..., vn)的方向导数定义如下：∇f(P0)•v = lim(h→0) [f(P0+hv) - f(P0)] / h其中∇f(P0)表示函数f在点P0处的梯度，v表示方向向量。
2. 梯度梯度是一个向量，表示函数在某一点的变化率最大的方向。
对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，函数在点P0(x10, x20, ..., xn0)处的梯度定义如下：∇f(P0) = (∂f/∂x1, ∂f/∂x2, ..., ∂f/∂xn)其中∂f/∂xi表示对第i个自变量求偏导数。
三、方向导数与梯度的关系方向导数与梯度之间有着密切的关系。
事实上，当方向向量为梯度的时候，方向导数达到最大值。
这意味着，函数在梯度的方向上的变化率最大。
这也是最优化方法中常用的一种策略，即沿着梯度的方向不断调整自变量，以寻找函数的最大值或最小值。
四、例题分析为了更好地理解方向导数与梯度的概念，我们将通过一个具体的例题来说明。
例题：求函数f(x, y) = x^2 + y^2在点(1, 2)处沿着方向向量(3, 4)的方向导数和梯度。
解析：我们求函数在点(1, 2)处的梯度。
计算过程如下：∇f(1, 2) = (∂f/∂x, ∂f/∂y) = (2x, 2y)|_(1, 2) = (2, 4)我们求函数在点(1, 2)处沿着方向向量(3, 4)的方向导数。
2.5 方向导数与梯度
z 同理： y
故两个偏导数均不存在.
沿任意方向l { x, y}的方向导数,
z l
( 0,0 )
lim
f ( x , y ) f (0,0)
0
( x ) 2 ( y ) 2 lim 1 2 2 0 ( x ) ( y )
显然f x , f y是f ( x , y )沿x , y轴的方向导数 沿x , y轴正向时为f x , f y ;负向时为 f x , f y .
f 2. 的存在定理 l 若z f ( x , y)在P ( x , y)可微,
则函数在该点沿任一方向 l 的方向导数存在，且 f f x cos f y cos , l 其中cos , cos 为方向l 的方向余弦. y Proof. z f ( x, y)可微, P y1 z f x x f y y o( ), P x z x y o( ) fx fy , o
u cos cos l (1,1)
此时
2
u 从而 2 cos( ) l (1,1) 4
u 显然当 时, 4 l (max)
2,
u 当 时, 0, 4 2 l
而gradu i j ,
即
r cos cos sin sin cos( ) l r r 且当 时, 1;当 时, 0. l 2 l
二. 梯度
定义 设函数 z f ( x , y ) 在平面区域 D 内具有 一阶连续偏导数，则对于每一点 P ( x , y ) D ，
关于多元函数的梯度与方向导数
关于多元函数的梯度与方向导数多元函数的梯度与方向导数是微积分中非常重要的概念。
在这篇文章中，我们将详细介绍这两个概念的含义和应用。
多元函数的梯度是指一个函数在空间中的变化方向。
在二元函数中，梯度是一个二维向量，包含两个分量，即在x方向上的变化率和在y方向上的变化率。
在三元函数中，梯度是一个三维向量，包含三个分量，即在x、y、z三个方向上的变化率。
一般地，对于一个n元函数，其梯度是一个n维向量。
了解梯度对于研究函数的极值和最优化问题非常重要。
通过求出梯度，我们可以判断函数在某一点是否有极值，并可以求出函数最快增长的方向。
在最优化问题中，我们通常希望有一个函数值最小（或最大）的解。
通过求出梯度，我们可以找到函数值增长最快的方向，并在该方向上进行逼近搜索，从而找到函数的最小值（或最大值）。
梯度的计算非常简单，只需要对函数的各个分量分别求偏导数，再组成一个向量即可。
例如，对于一个二元函数f(x, y)，其梯度为(gx, gy)，其中gx表示f在x方向的变化率，gy表示f在y方向的变化率，计算公式如下：（1）gx = ∂f/∂x（2）gy = ∂f/∂y对于一个三元函数f(x, y, z)，其梯度为(gx, gy, gz)，计算公式如下：（1）gx = ∂f/∂x（2）gy = ∂f/∂y（3）gz = ∂f/∂z方向导数是指一个函数在某一点沿着某一个方向的变化率。
求解方向导数时，我们必须指定一个方向，方向可以用一个向量表示。
例如，对于一个二元函数f(x, y)，我们可以指定一个方向向量u = (a, b)，表示在x轴上移动a单位，在y轴上移动b单位。
函数在该方向上的变化率就是方向导数，计算公式如下：Duf(x, y) = ∂f/∂x * a + ∂f/∂y * b对于一个三元函数f(x, y, z)，我们可以指定一个方向向量u = (a, b, c)，表示在x轴上移动a单位，在y轴上移动b单位，在z轴上移动c单位。
方向导数与梯度
三、物理意义
数性函数) 数量场 (数性函数 数性函数 函数 场 温度场, 如: 温度场 电位场等 向量场(矢性函数 矢性函数) 向量场 矢性函数 如: 力场 速度场等 力场,速度场等 可微函数 f (P) (势) 梯度场 grad f (P) (向量场 向量场) 向量场 (物理量的分布 物理量的分布) 物理量的分布
∂f ∂f ∂f , , = ∂ x ∂ y ∂z
同样可定义二元函数 在点P( x, y)处的梯度
说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影. 说明 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影 方向导数为梯度在该方向上的投影 2. 梯度的几何意义
12
z = f ( x, y) 对函数 z = f ( x, y), 曲线 在 xoy 面上的投 z =C * 影L : f ( x, y) = C 称为函数 f 的等值线 .
二.梯度
, 方向导数取最大值： 当l 0 与G方向一致时 方向导数取最大值： ∂f )= G m ( ax ∂l 方向： 方向：f 变化率最大的方向 这说明 G : 模 : f 的最大变化率之值
11
1. 定义 向量 G 称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度 (gradient), 处的梯度 记作 grad f , 即
grad f (r) = f ′(r)r 0
gradu = (
q 4π ε r
)′
r =−
0
q 4π ε r
r 0 = −E 2
这说明场强: 垂直于等位面, 这说明场强 垂直于等位面 且指向电位减少的方向. 且指向电位减少的方向
19
2. 梯度 • 三元函数
在点
处的梯度为
∂f ∂f ∂f grad f = , , ∂x ∂ y ∂z • 二元函数 在点 处的梯度为 grad f = ( f x ( x, y) , f y ( x, y))
7.5_方向导数与梯度
2 2 ( x ) 0 0 | x | f xz lim , lim lim 但 x 0 x x x x 0 x x 0 不存在. 即z在(0, 0)点的偏导数不存在.
π 特别地, 当 l为正x轴时, 0, , 上式化为 2 f z . 可微必可导 l P x P
因此, 函数 z = f (x, y)在点P (x, y)处沿x轴正方向 的方向导数就是函数 z = f (x, y)在该点处对x的偏
z f f cos cos l P x P y P
f x y
方向导数与梯度
沿梯度方向, 函数的增长最快!
grad z P
f f , x y P
结论 函数在某点的梯度是这样一个向量, 它的方向与取得最大方向导数的方向一致, 而它 的模为方向导数的最大值(最大的变化率).
2 梯度的模为 2 f f | grad z |P x y
2 2 z x y , 例2 某山体表面某段曲面方程为
一登山者位于点(1,2)处. 求山体表面在该点处沿方向 l (1,1)处海拔高度z值变化率, 该变化率说明什么.
z 2 因为 x (1, 2 )
z 解 z沿方向 l 的变化率即为方向导数 .
0 1 1 f l 的单位向量 l ,
11
方向导数与梯度
f f f cos cos l P0 x P0 y P0
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多元函数的基本概念(130)
10
例 3 设 wf(xyz,xy)， zf具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 ， 求 w和 2w. x xz
解 令 u x y z , vxy;z
记
f (u,v) f1 u ,
2 f (u,v) f12 uv ,
同理有 f 2 , f 1 1 , f 2 2 .
y 的偏导数，且z f (u,v)在对应点(u,v)具有连续 偏导数，则复合函数 z f [( x, y), ( x, y)] 在对应 点( x, y)的两个偏导数存在，且可用下列公式计算：
z zuzv, x ux vx
z z uz v. y uy vy
多元函数的基本概念(130)
5
链式法则如图示：
多元函数的基本概念(130)
25
则方程组 F ( x, y,u,v) 0， G( x, y,u,v) 0
在点 P0 的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且
具有连续偏导数的函数u u( x, y)，v v( x, y)，
它们满足条件u0 u( x0 , y0 ), v0 v( x0 , y0 ) 并有
点 P0 ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 的某一邻域内有对各个变量的连 续偏导数，F ( x0 , y0 , u0 ,v0 ) 0, G( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 ， 且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比式）
F J (F,G) u
(u,v) G u
F v 0, G v P0
实质：无论 z是自变量 u 、 v的函数或中间变量 u 、 v的函数，它的全微分形式是一样的, 即
多元函数的基本概念(130)
13
dz z dxzdy x y
uzu xvzxvdx uzuyvzvydy
uzuxdxuydy vzxvdxvydy
z du z dv.
u
v
多元函数的基本概念(130)
x fu xzfv ,
y
fu yzfv
把 y 看 成 x , z 的 函 数 对 z 求 偏 导 数 得
1
fu
(
y z
1)
fv(xy
xz
y), z
整理得
y 1 fu xyfv .
z
fu xzfv
多元函数的基本概念(130)
24
隐函数存在定理 3 设F ( x, y,u,v)、G( x, y,u,v)在
v1(F ,G )F u F y F u F v. y J(u ,y) G u G y G u G v
多元函数的基本概念(130)
27
例5 设 xu yv 0， yu xv 1，
求 u，u，v 和v . x y x y
解1 直接代入公式； 解2 运用公式推导的方法，
将所给方程的两边对 x求导并移项
x
x
zfuf, x ux x
两者的区别
v 0, w 1.
y
y
区
zf uf. y u y y
别 类 似
把 z f (u, x, y)
把复合函数 z f [( x, y), x, y] 中 中 的 u 及 y 看 作 不
的 y 看作不变而对 x的偏导数 变 而 对 x 的 偏 导 数
多元函数的基本概念(130)
w x
f uf v u x v x
f1
yzf2;
多元函数的基本概念(130)
11
2w xz
z ( f1 yzf2 )
f1 z
yf2
yzf2 z
;
f1 z
f1 uf1 v u z v z
f11xyf12;
f2 z
f2 uf2 v u z v z
f21xyf22;
于是
2w xz
f 1 1 x y f 1 2 y f 2 y z (f 2 1 x y f 2 2 )
第7章 多元函数微分法及其 应用
7.2.2 复合函数与隐函数的偏导数 7.2.3 方向导数与梯度
7.2.2 复合函数与隐函数的偏导数
复合函数的偏导数:
定理 如果函数 u (t) 及 v (t) 都在点t 可导，
函数z f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，
则复合函数 z f [(t), (t)] 在对应点t 可导，且
14
例4
已知 e xy 2z ez 0 ，求 z
和
z
.
x y
解 Q d (e x y 2 z e z) 0 ,
e x y d ( x y ) 2 d z e z d z 0 ,
(e z 2 )d z e x y(x d y y d x )
yexy
xexy
dz(ez2)dx(ez
dy 2)
u
x
z
v
y
z z u z v , x u x v x z z u z v . y u y v y
多元函数的基本概念(130)
6
类似地，设 u (x, y) 、v ( x, y)、w w( x, y) 都在点( x, y)具有对 x和 y 的偏导数，则复合函数
z f [( x, y), ( x, y), w( x, y)]
8
例 1 设 z eu sin v ，而u xy，v x y， 求 z 和z . x y
解 z z u z v x u x v x
eusinvyeuco sv1eu(ysinvcosv),
z y
z u
u y
z v
v y
e u s in v x e u c o sv 1eu(xsinvcosv).
xv x2
yy2u,
v y
xx2uyy2v.
多元函数的基本概念(130)
9
例 2 设 z uv sin t ，而 u et ，v cos t ，
dz 求全导数 dt .
解
dz z du z dv z
dt udt v dt t
vetu sin tco st
e tc o st e ts in t c o st
et(co stsint)co st.
把 z 看 成 x , y 的 函 数 对 x 求 偏 导 数 得
z x
fu (1
z ) x
fv(yzxyxz),
整理得
z fu yzfv , x 1 fu xyfv
多元函数的基本概念(130)
23
把 x看成 z, y的函数对 y 求偏导数得
0
fu
(
x y
1)
fv
(xz
yz
x), y
整理得
则
Fx(x,
y)
x x2
y y2
,
Fy(x,
y)
yx x2 y2
,
dy dx
F
x
F
y
x y. y x
多元函数的基本概念(130)
19
隐函数存在定理 2 设函数F ( x, y, z)在 P0( x0 , y0 , z0 )
点的某一邻域内具有连续偏导数，且 F ( x0, y0, z0 ) 0， Fz( x0 , y0 , z0 ) 0 ，则方程F ( x, y, z) 0在点 P0 的某一 邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导
在对应点( x, y)的两个偏导数存在，且有计算公式：
zzuzvzw, x ux vx wx
z
zzuzvzw. y uy vy wy
ux v wy
多元函数的基本概念(130)
7
特殊地 zf(u ,x ,y) 其中 u(x,y) 即 zf[(x ,y),x ,y], 令 vx, wy,
v 1, w 0,
则 பைடு நூலகம்x 2x,
Fz2z4,
z Fx x , x Fz 2z
2z x 2
(2 z) x z
x (2 z)2
(2z) x x
2z (2 z)2
(2z)2 x2 (2z)3
.
多元函数的基本概念(130)
21
例 4 设z f ( x y z, xyz)，求 z ，x ，y . x y z
思路 (1) 代入公式求解；
u1(F ,G )F x F v F u F v , x J(x,v) G x G v G u G v
多元函数的基本概念(130)
26
v1(F ,G )F u F x F u F v , x J(u ,x) G u G x G u G v u1(F ,G )F y F v F u F v, y J(y,v) G y G v G u G v
（2） 把z看成 x, y的函数对 x求偏导数得 z ， x
把 x看成z, y的函数对 y 求偏导数得 x ， y
把 y 看成 x, z的函数对z求偏导数得 y . z
多元函数的基本概念(130)
22
解 令 u x y z ,vxy, z则
z f ( u ,v ) f ( x + y z ,x y z ) .
某一邻域内唯一确定一个单值连续且具有连续导数
的函数 y f ( x)，它满足条件 y0 f ( x0 )，并有
dy Fx(x, y) . dx Fy(x, y)
多元函数的基本概念(130)
隐函数的求导公式
16
例１ 验证方程 x2 y2 1 0在点(0,1)的某邻域
内能唯一确定一个单值可导、且 x 0时 y 1的隐
其导数可用下列公式计算： dz z duz dv. dt udt vdt
多元函数的基本概念(130)
2
证 设t获得增t量 ，则
u (t t) (t), v ( t t)( t);