方向导数与梯度

设 x 轴正向到射线 l 的转角 为 , 并 设 P ′( x + x , y + y ) 为 l 上的另一点且 P ′ ∈ U ( P ).
o
z= f (x, y) 在一点 沿某一方向的 = 在一点P沿某一方向的
y
x
l P′
y
P
x
∵ | PP ′ |= ρ = ( x )2 + ( y )2 ,
第七节 方向导数与梯度
一,方向导数 二,梯度
一,问题的提出
一块长方形的金属板, 一块长方形的金属板,受热 产生如图温度分布场. 产生如图温度分布场 设一个小虫在板中逃生至某 问该虫应沿什么方向爬行, 处, 问该虫应沿什么方向爬行, 才能最快到达凉快的地点? 才能最快到达凉快的地点? 问题的实质: 问题的实质: 实质 应沿由热变冷变化最剧烈的 方向爬行. 方向爬行.
故
π = cos α + sin α = 2 sin(α + ), 4
π (1)当α = 时,方向导数达到最大值 2 ; 4
5π π (2)当 α = 时, 方向导数达到最小值 2 ; 4 3π 7π π π (3)当α = 和α = 时, 方向导数等于 0. 4 4
所求方向导数
z π π = cos( ) + 2 sin( ) = 4 4 l
2 . 2
例2 求函数
f ( x , y ) = x xy + y轴方向夹角为 α 的方向射线 l 沿与 轴方向夹角为 在点 的方向导数. 的方向导数 并问在怎样的方向上此方向导数有 (1)最大值 (2)最小值; (3)等于零? )最大值; )最小值; )等于零? 解
且 z = f ( x + x, y + y) f ( x, y),
考虑 z
y
x
l P′
ρ 当 P ′ 沿着 l 趋于P 时,
,
y
P
o
x
lim
ρ →0
f ( x + x , y + y ) f ( x , y )
ρ
是否存在? 是否存在?
定义 函数的增量 f ( x + x , y + y ) f ( x , y ) 与PP ′ 两点间的距离 ρ = ( x )2 + ( y )2 之比值, 当 P ′ 沿着 l 趋于 P 时, 如果此比的极限存在, 则称这极限为函数在点 P 沿方向 l 的方向导数.
需要计算场中各点沿不同方向的温度变化率, 需要计算场中各点沿不同方向的温度变化率, 方向导数问题 从而确定出温度下降的最快方向 梯度问题 引入两个概念:方向导数和 引入两个概念:方向导数和梯度
二,方向导数
讨论函数 变化率问题. 变化率问题.
设函数 z = f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 的某一邻域 U ( P ) 内有定义,自点 P 引射线 l. 内有定义,
2 2
偏 导 数 存 在 沿 任 意 方 向 的 方 向 导 数 存 在.
方向导数的存在及计算公式 定理 如果函数 z = f ( x , y ) 在点P ( x , y ) 可微分, 可微分, 那末函数在该点沿任意方向l的方向导数都存在, 那末函数在该点沿任意方向 的方向导数都存在, 的方向导数都存在 且有
f f f = cos + sin l x y
计算公式
轴到方向l的转角 的转角. 其中 为 x 轴到方向 的转角. 由于函数可微, 证明 由于函数可微,则增量可表示为 f f f ( x + x, y + y) f ( x, y) = x + y + o(ρ ) x y
f f f ( x + x, y + y) f ( x, y) = x + y + o( ρ ) x y 两边同除以 ρ , 得到
P
o x
y
l P′
记为
f ( x + x , y + y ) f ( x , y ) f . = lim ρ l ρ → 0
i = {1,0}的方向导数为
f ( x + x , y + y ) f ( x , y ) f . = lim ρ l ρ → 0 存在,则 若偏导 f x 存在 则 f ( x , y ) 在点 P 沿着 x 轴正向
若方向导数存在, 若方向导数存在,则偏 导数未必存在 .
例如,z = x + y 在O ( 0,0 ) 处沿l = i 方向的 z f 而偏导数 方向导数 = 1, (0 , 0 ) 不存在 . 0 ( 0,) x l f ( x , y ) f (0,0) z (0 原因: 原因:, 0 ) = lim ρ →0 l ρ 方向导数是单侧极限,而偏导数是双侧极限. 方向导数是单侧极限2,而偏导数是双侧极限 ( x ) + ( y ) 2 = lim =1 2 2 ρ → 0 ( x ) + ( y )
f l
由方向导数的计算公式知
= f x (1,1) cosα + f y (1,1) sin α
( 1 ,1 )
= ( 2 x y ) (1,1) cosα + ( 2 y x ) (1,1) sinα ,
f l
= f x (1,1) cosα + f y (1,1) sin α
( 1 ,1 )
0 f ( x + x , y + y ) f ( x , y ) f f = = fx = lim x x ρ l ρ → 0 x
此时 ρ = x = x
同理,沿y轴正向e 2 = {0,1}的方向导数分别为 f y . 同理 沿 轴正向
轴负向, 沿着 x 轴负向, y 轴负向的方向导数是 f x , f y .
f ( x + x, y + y) f ( x, y) f x f y o( ρ ) = + + ρ ρ x ρ y ρ
故有方向导数
sin f f ( x + x , y + y ) f ( x , y ) = lim ρ →0 l ρ ρ
cos
l
f f = cos + sin . x y
y
x
例1
求函数 z = xe 在点 P (1,0) 处沿从点 P (1,0)
2y
到点 Q( 2,1) 的方向的方向导数.
方向l 解 方向 即为 PQ = {1, 1}
π 轴到方向l 故x轴到方向 的转角 = 轴到方向 4 z 2y z 2y ∵ = e (1, 0 ) = 1; = 2 xe (1, 0 ) = 2, x ( 1 , 0 ) y ( 1 , 0 )