方向导数和梯度(课堂PPT)
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77lei3方向导数与梯度-PPT精品文档19页
l
P
证明: 由函数 f(x,y,z)在点 P 可微 , 得
P(x,y,z)
f f x f y f z o () x y z
o()
故
f lim f
l 0
18.09.2019
3
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对于二元函数 f(x,y), 在点 P(x,y)处沿方 l(方 向 向角
16
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2. 函数
在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A
指向 B( 3, －2 , 2) 方向的方向导数是
提示:
则
. (96考研)
18.09.2019
17
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3. 函数
在点 (92考研)
解:
则 注意 x , y , z 具有轮换对称性
处的梯度
18.09.2019
18
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第七章
第七节 方向导数与梯度
(Directional Derivative and Grads)
一、方向导数 二、梯度 三、小结与思考练习
18.09.2019
1
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一、方向导数
定义 若函数 f(x,y,z)在点 P(x, y,z) 处
沿方向 l (方向角为
) 存在下列极限:
l
P
lim f
（1） grad( f (P) g(P)) gradf (P) gradf (P) ；
（2） grad(Cf (P)) Cgradf (P) ， C 为常数；
方向导数与梯度.26页PPT
方向导数与梯度.
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
2.1方向导数与梯度ppt课件
证明:i). fx(0,0,0)
条件 , 但不必要 .
limf( x,0,0)f(0,0,0)
x 0
x
lim x , x0 x
fx(0 ,0 ,0 )不 存 在 ;同 理 , fy ( 0 ,0 ,0 ) ,fz ( 0 ,0 ,0 ) 不 存 在 .
:
i i ) .记 l 的 方 向 数 为 l 0 l x , l y , l z, 则
l
对 二 元 函 数 f(x,y),
•P
y
定义 定理1
fl(P0)li m 0 f(P)f(P0)
••
P 0 x
o
fx (P 0 )c o s fy (P 0 )c o s
x
其 中 和 是 l的 方 向 角 . :
例 1. 设 f(x,y,z)xy2z3, 求 f在 点 P0(1,1,1)处 沿 l方 向 的 方 向 导 数 . 其 中 i).l为 方 向 (2, 2,1);
i i i ) . g r a d u v u g r a d v v g r a d u ,
iv ). g ra du vug ra d v u 2 vg ra d u,
v ) . g r a d fu f( u ) g r a d u .
:
证明:iv). u v xuvxu 2uxv, u v yuvyu 2uyv
l
0
0
存在 , 则称此极限值为函数 f 在点P0沿l 方向的方向导数。
P P0
o
y
记为 f l
或 fl (P0 )、 fl (x0, y0, z0 ).
P0
:
x
在方向导数定义式 f lim f (P) f (P0) 中，
高等数学 -方向导数与梯度29页PPT
高等数学 ห้องสมุดไป่ตู้方向导数与梯度
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
方向导数和梯度-PPT文档资料
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二、梯度的概念
定义 2 若 f ( x , y , z ) 在点 P ( x , y , z ) 0 0 0 0
存在偏导数 ， 则称向量 ( f ( P ), f ( P ), f ( P ) x 0 y 0 z 0
为函数 f在点 P 的梯度 ， 记为 0
grad f ( f ( P ), f ( P ), f ( P )) x 0 y 0 z 0
x
0
y
P0
y
x
x
y
P
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l
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2 u x yz 在点 P0 (1, 1, 1) 沿方向 例1. 求函数
l : (2, -1, 3 ) 的方向导数 .
解: 向量 l 的方向余弦为
2 co s , 2 2 2 14 2 ( 1 ) 3 2
o ( ) f ( P ) cos fy( P ) co s fz(P cos x 0 0 0)
令 ρ→0 取极限，得
f ( P ) f ( P ) cos f ( P ) cos f ( P ) co l 0 x 0 y 0 z 0
z
z
l
y
P0 x y
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f在 数 P 点 ( x ,y , z ) 处可 , 微 定理17.6: 若 函 0 0 0 0
则函数在该点沿任意方向cos , cos , cos 为方向 l 的方向余弦 .
方向导数和梯度ppt课件.ppt
z cos 2cos 2 .
l
2
例 2 求函数 f ( x, y) x2 xy y2 在点（1，1）
沿与 x轴夹角为 的射线 l 的方向导数.并问在怎
样的方向上此方向导 数有 （1）最大值； （2）最小值； （3）等于零？
解 由方向导数的计算公式知
f l
(1,1)
fx(1,1)cos
l
y
l
• P
沿什么方向是上坡且坡度最陡？
沿什么方向是下坡且坡度最小？
••
P( x0 , y0 )
o
x
讨论函数 z f ( x, y)在一点P沿某一方向
的变化率问题．
设函数 z f (x, y) 在点
y
l
P(x, y)的某一邻域U(P)
• P
y
内有定义，自点P 引射线 l．
••
设 x 轴与射线l 的夹角
u x2 y2 z2
ngrad2uxi22xiyj22yzjk2z2kx, ,2 y,2z
例如： 函数
u x2 y2 z2
gradu 如图所示.
gradu {2 x,2 y,2z} 梯度方向为向径方向
等 量 面 为 ： x2 y2 z2 c1 , x2 y2 z2 c2, x2 y2 z2 c3, x2 y2 z2 c4 ,
^
此式表明，当方向l和G方向一致时，即cos(G, l ) 1时，
方向导数u 取最大值，其值为: l
u G . l
由此得出，向量G就是函数 f 变化率最大的
方 向 ， 即 方 向 导 数 取 最大 值 的 方 向G，的 模
G 正好就是最大的方向导数值.
定义 设函数 u f ( x, y, z) 在区域 D 内具有一
第七节 方向导数与梯度课件
到点 Q ( 2 , 1 ) 的方向的方向导数. 解
r 即为 PQ { 1 , 1 } , 这里方向 l r 故 x 轴到方向 l 的转角 . 4 z e 2 y (1, 0 ) 1; z 2 xe 2 y (1, 0 ) 2, x (1, 0 ) y ( 1 , 0 )
设 x 轴正向到射线
l 的转角
P U ( p ). o
为 , 并设 P ( x + x , y + y )
P
x
y
为 l 上的另一点且
（如图）
x
扬州环境资源职业技术学院基础部
| PP | ( x )2 + ( y )2 ,
且 z f ( x + x , y + y ) f ( x , y ),
扬州环境资源职业技术学院基础部
梯度的概念可以推广到三元函数 三元函数 u f ( x , y , z ) 在空间区域 G 内具有 P ( x, y,z) G ， 一阶连续偏导数，则对于每一点 都可定义一个向量(梯度)
f r f r f r gradf ( x , y , z ) i + j + k. x y z
因为
f 2x 2 , 2 2 x (x + y )
1 2x 2y gradu 2 2 i 2 j 2 2 2 2 2 x +y (x + y ) (x + y )
扬州环境资源职业技术学院基础部
小结
1、方向导数的概念
（注意方向导数与一般所说偏导数的区别） 2、梯度的概念 （注意梯度是一个向量） 3、方向导数与梯度的关系 梯度的方向就是函数 f ( x , y ) 在这点增长最快的方向.
《方向导数与梯度》课件
方向导数在优化中的应用
总结词
方向导数是优化算法中常用的工具，它可以用于求解无约束和约束优化问题，以及用于 梯度下降法和牛顿法的实现。
详细描述
方向导数是优化算法中常用的工具，它可以用于求解无约束和约束优化问题。在无约束 优化问题中，方向导数可以用于梯度下降法和牛顿法的实现，通过不断沿着负梯度方向 搜索，找到函数的极小值点。在约束优化问题中，方向导数可以用于确定搜索方向和步
长，以避免进入不可行区域或避免目标函数的增加。
02
梯度
定义与性质
01
基本概念
02 梯度是标量场中某一点的方向导数最大的。
04
梯度的大小表示函数在该点的斜率，方向 表示函数在该点的增长方向。
计算方法
计算步骤
计算函数在这一点沿各个 方向的变化量。
确定函数在某一点的值。
计算方法
总结词
计算方向导数需要用到偏导数和方向余弦，常用的计算方法有解析法、数值法和图解法。
详细描述
计算方向导数需要用到函数的偏导数和方向余弦。首先求出函数的偏导数，然后根据方向余弦计算出方向导数。 常用的计算方法有解析法、数值法和图解法。解析法适用于数学函数，数值法适用于复杂函数，图解法适用于直 观理解。
05
实际应用案例
在机器学习中的应用
机器学习算法优化
方向导数和梯度在机器学习中用于优化算法，例如梯度下降法。通过计算梯度，可以找到函数值下降最 快的方向，从而更新模型的参数，使模型在训练数据上的表现更好。
方向导数和梯度的计算对于深度学习尤为重要，因为深度学习模型通常具有大量的参数，需要使用梯度 下降等优化算法进行训练。
在机器学习中的应用
01
特征选择与降维
02
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向导数值都等于1：
想方不一向 一想zl 导定，(0,0)数存该 lxyi存在例m00 在。给x2x时你2 y，什2y2偏么0 导启1 数示15
三、 梯度
一个问题：
可微函数 u f (X ) f (x, y, z) 在给定点 X 0 沿什么方向增加得最快？
该问题仅在 u , u , u 不同时为零才有意义。
19
在几何上 z f ( x, y) 表示一个曲面
曲面被平面 z c 所截得
z z
f c
(
x,
y) ,
所得曲线在xoy面上投影如图
y f ( x, y) c2 grad f ( x, y)
P 梯度为等高线上的法向量
c2 c1
f ( x, y) c 等高线
f ( x, y) c1
o
处可微，则函 数 f (X ) 在点 (x0, y0, z0 ) 处 沿任一方向 l 0 (cos , cos , cos ) 的方 向导数存在，且
u u cos u cos u cos
l x
y
z
其中, 各导数均为在点(x0, y0, z0 ) 处的值.
11
运用向量的数量积，可将方向 导数计算公式表示为：
u u cos u cos u cos
l x
y
z
gradu e
其中，gradu
u x
,
u y
,
u z
称为梯度
e (cos, cos, cos )
12
在 R2 中 可统一表示为
u u cos u cos
l x
y
u gradu e u u
u
x1 x2
xn
e (cos1 , cos2 ,, cosn )
u l
u x1
cos1
u xn
cos n
(n2)
13
例 沿设方uul 向 xluyxzco,is求 函2 j数uyc在2oks点的P方(1u向z, 2c导o, s数2)。
解
u x
P
yx P
4 ;
u y
P
xz P
2 ;
u z
P
xy P
lim f ( X ) f ( X 0 ) X X0 || X X 0 ||
存在，则称该极限值为函数 f (X ) 在点 X 0 处沿 l 方向的方向导数。记为
5
z l
X X0
lim
X X0
f (X) f (X0) || X X 0 ||
或
fl( X 0 )
6
利用直线方程可将方向导数的定义
1
y
l
p(x x, y y)
y
p(x, y) x
x 0
方向导数图示
讨论函数 z f ( x, y)在一点P沿某一方向
的变化率问题．
2
| BC |
tan | AC |
f (x x) B
ff((xx))
lliimm ||xxx||000
fff(((xxxxxx)))fff(((xxx))) || (x xxx) x ||
X 0 , 则称向量
f
(
X
0
)
i
f ( X 0 )
j
f
(
X
0
)
k
x
y
z
为函数 f (X ) 在点 X 0 处的梯度，记为
grad f ( X 0 ) 或 f ( X 0 ) 。
18
梯度的方向与取得最大方向导数 导方向一致，而它的模就是函数在 该点的方向导数的最大值。
以上结论可以推广到二元和三元以 上的函数中。
看看三维空间的情形
X 0 (x0 , y0 , z0 )
X (x, y, z)
cos x x0
cos
||
X y
Xy00
||
|| X X 0 ||
cos z z0
|| X X 0 ||
f
(X)
f
(X0)
u x
x
u y
y
u z
z
o(||
X
X0
||)
10
定理(方向导数导计算公式)
若函数 u f (x , y , z) 在点 (x0, y0, z0 )
2.
cos 1 , cos 2 ,
3
3
cos 2 .
3
u l
P
(4) 1 (2) 2 2 2 4
3
3 33
14
例 由点 P(x, y) 到坐标原点的距离定
义函的数函可数 z微 是x2方 y向2 导在坐数标存原在点处 的的两充个分偏导条数件均不，存而在不，但是它必在要该点 沿条任件何。方向的方向导数均存在，且方
x
20
梯度的概念可以推广到三元函数
三元函数u f ( x, y, z)在空间区域 G 内具有一阶 连续偏导数，则对于每一点 P( x, y, z) G，都可 定义一个向量(梯度)
比较方向导数与偏导数的概念
在方向导数中，分母 || X X 0 || 0；
在偏导数中，分母 x 、y 可正、可负。
方向导想数一与偏想导，数是为两什个不么同？的概念
即使 l 的方向与 x 轴 , y 轴的正方向一致时， 方向导数与偏导数的概念也是不同的。
8
怎么计算方向导数？
9
X
l0 l
X0
x 0 A
x
C f (x)
x x
3
R3中
z
z f (X)
. l0
.l P
P0
O lim f (P) f (P0 )y
x
PP0 || PP0 ||
f
(x)
沿
l
0
方向的方向导数
4
二、方向导数的定义 设函数 u f (X ) 在 U( X 0 )内有定义。
若点X U( X 0 )沿射线 l 趋于 X 0 时,极限
一 问题的提出
例子：一块长方形的金属板，四个顶点的坐 标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点 处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上 任意一点处的温度与该点到原点的距离成反 比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿 什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？
问题的答案：应沿由热变冷变化最骤烈的方 向（即梯度方向）爬行．
表示为:
u lim f ( X 0 te) f ( X 0 )
l t0
t
射线 l 的方程为
x x0
coms
y y0
cons
z z0
cops
t
则 x x0 t cos y y0 t cos z z0 t cos
故 X X0 te
e (cos , cos ,cos )
7
x y z
16
由由前此面的可推得导，出有什么结论？
u gradu e
l || grad方u |向||| e导|| co数s(g等rad于u ,梯e)度 在|| g此rad方u |向|co上s(gr的ad投u , 影e)
prje grad u
现在正式给出 grad u 的定义
17
定义 设 R3 , u f ( X ) C1() ,
想方不一向 一想zl 导定，(0,0)数存该 lxyi存在例m00 在。给x2x时你2 y，什2y2偏么0 导启1 数示15
三、 梯度
一个问题：
可微函数 u f (X ) f (x, y, z) 在给定点 X 0 沿什么方向增加得最快？
该问题仅在 u , u , u 不同时为零才有意义。
19
在几何上 z f ( x, y) 表示一个曲面
曲面被平面 z c 所截得
z z
f c
(
x,
y) ,
所得曲线在xoy面上投影如图
y f ( x, y) c2 grad f ( x, y)
P 梯度为等高线上的法向量
c2 c1
f ( x, y) c 等高线
f ( x, y) c1
o
处可微，则函 数 f (X ) 在点 (x0, y0, z0 ) 处 沿任一方向 l 0 (cos , cos , cos ) 的方 向导数存在，且
u u cos u cos u cos
l x
y
z
其中, 各导数均为在点(x0, y0, z0 ) 处的值.
11
运用向量的数量积，可将方向 导数计算公式表示为：
u u cos u cos u cos
l x
y
z
gradu e
其中，gradu
u x
,
u y
,
u z
称为梯度
e (cos, cos, cos )
12
在 R2 中 可统一表示为
u u cos u cos
l x
y
u gradu e u u
u
x1 x2
xn
e (cos1 , cos2 ,, cosn )
u l
u x1
cos1
u xn
cos n
(n2)
13
例 沿设方uul 向 xluyxzco,is求 函2 j数uyc在2oks点的P方(1u向z, 2c导o, s数2)。
解
u x
P
yx P
4 ;
u y
P
xz P
2 ;
u z
P
xy P
lim f ( X ) f ( X 0 ) X X0 || X X 0 ||
存在，则称该极限值为函数 f (X ) 在点 X 0 处沿 l 方向的方向导数。记为
5
z l
X X0
lim
X X0
f (X) f (X0) || X X 0 ||
或
fl( X 0 )
6
利用直线方程可将方向导数的定义
1
y
l
p(x x, y y)
y
p(x, y) x
x 0
方向导数图示
讨论函数 z f ( x, y)在一点P沿某一方向
的变化率问题．
2
| BC |
tan | AC |
f (x x) B
ff((xx))
lliimm ||xxx||000
fff(((xxxxxx)))fff(((xxx))) || (x xxx) x ||
X 0 , 则称向量
f
(
X
0
)
i
f ( X 0 )
j
f
(
X
0
)
k
x
y
z
为函数 f (X ) 在点 X 0 处的梯度，记为
grad f ( X 0 ) 或 f ( X 0 ) 。
18
梯度的方向与取得最大方向导数 导方向一致，而它的模就是函数在 该点的方向导数的最大值。
以上结论可以推广到二元和三元以 上的函数中。
看看三维空间的情形
X 0 (x0 , y0 , z0 )
X (x, y, z)
cos x x0
cos
||
X y
Xy00
||
|| X X 0 ||
cos z z0
|| X X 0 ||
f
(X)
f
(X0)
u x
x
u y
y
u z
z
o(||
X
X0
||)
10
定理(方向导数导计算公式)
若函数 u f (x , y , z) 在点 (x0, y0, z0 )
2.
cos 1 , cos 2 ,
3
3
cos 2 .
3
u l
P
(4) 1 (2) 2 2 2 4
3
3 33
14
例 由点 P(x, y) 到坐标原点的距离定
义函的数函可数 z微 是x2方 y向2 导在坐数标存原在点处 的的两充个分偏导条数件均不，存而在不，但是它必在要该点 沿条任件何。方向的方向导数均存在，且方
x
20
梯度的概念可以推广到三元函数
三元函数u f ( x, y, z)在空间区域 G 内具有一阶 连续偏导数，则对于每一点 P( x, y, z) G，都可 定义一个向量(梯度)
比较方向导数与偏导数的概念
在方向导数中，分母 || X X 0 || 0；
在偏导数中，分母 x 、y 可正、可负。
方向导想数一与偏想导，数是为两什个不么同？的概念
即使 l 的方向与 x 轴 , y 轴的正方向一致时， 方向导数与偏导数的概念也是不同的。
8
怎么计算方向导数？
9
X
l0 l
X0
x 0 A
x
C f (x)
x x
3
R3中
z
z f (X)
. l0
.l P
P0
O lim f (P) f (P0 )y
x
PP0 || PP0 ||
f
(x)
沿
l
0
方向的方向导数
4
二、方向导数的定义 设函数 u f (X ) 在 U( X 0 )内有定义。
若点X U( X 0 )沿射线 l 趋于 X 0 时,极限
一 问题的提出
例子：一块长方形的金属板，四个顶点的坐 标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点 处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上 任意一点处的温度与该点到原点的距离成反 比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿 什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？
问题的答案：应沿由热变冷变化最骤烈的方 向（即梯度方向）爬行．
表示为:
u lim f ( X 0 te) f ( X 0 )
l t0
t
射线 l 的方程为
x x0
coms
y y0
cons
z z0
cops
t
则 x x0 t cos y y0 t cos z z0 t cos
故 X X0 te
e (cos , cos ,cos )
7
x y z
16
由由前此面的可推得导，出有什么结论？
u gradu e
l || grad方u |向||| e导|| co数s(g等rad于u ,梯e)度 在|| g此rad方u |向|co上s(gr的ad投u , 影e)
prje grad u
现在正式给出 grad u 的定义
17
定义 设 R3 , u f ( X ) C1() ,