湖南长郡中学2018届高三数学上学期第五次月考试卷文科附答案
湖南省长沙市长郡中学2020届高三上学期第5次月考数学(文)试题Word版含答案
品为三级品．现用两种新配方（分别称为
A 配方和 B 配方）做实验，各生产了 100 件这种
产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
A 配方的频数分布表
B 配方的频数分布表
(1)从 A 配方生产的产品中按等级分层抽样抽取 求恰好取到 l 件二级品的频率；
5 件产品，再从这 5 件产品中任取 3 件，
16．几位大学生响应国家的创业号召，开发出一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣， 他们推出了 “解数学题获取软件激活码” 的活动． 这款软件的激活码为下面数学问题的答案： 已知数列 1， 1， 2， 1，2， 4，1， 2，4，8， 1，2， 4，8.16，…，其中第一项是 20，接下来 的两项是 20，21，再接下来的三项是 20，21，22，依此类推，求满足如下条件的最小整数 N：
4．记 Sn 为等差数列 {a n} 的前 n 项和，若 a1+a5=24 ， S6=48，则 {a n} 的公差为
A ． 1 B． 2 C． 4 D． 8
5．两数 f(x) 在（ -∞， +∞）单调递减，且为奇函数，若 的 x 的取值范围是
f(1)=-1 ，则满足一 1≤ _f(x-2 ）≤ 1
A.[-2,2]
N>100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂，那么该款软件的激活码是 ____．
三、解答题：本大题共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步考生都必须作答，第
22、 23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分．
17.（本小题满分 12 分） △ ABC 的内角 A ， B， C 的对边分别为 a， b，c，已知 2cosC(acosB+bcosA)=c. (l) 求角 C 的值；
2018届高三第一次月考数学(文)
湖南省长郡中学2018届高三年级第一次月考数学试卷（文科）时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．a 、b 为实数，集合x x f a N ab M →==:},0,{},1,{表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a + b （ ）A ．1B ．0C ．－1D ．±12．设f (x )是定义在R 上的单调递减的奇函数，若0,0,0133221>+>+>+x x x x x x ，则（ ） A ．0)()()(321>++x f x f x f B ．0)()()(321<++x f x f x fC ．0)()()(321=++x f x f x fD ．)()()(321x f x f x f >+3．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，称这些函数为一同族函数。
那么，函数的解析式为2x y =，值域为{4，9}的同族函数共有 （ ）A ．7个B ．8个C ．9个D ．10个4．已知命题P ：不等式}10|{0]1)1(lg[<<>+-x x x x 的解集为；命题Q ：在三角形ABC中)42(cos )42(cos 22ππ+<+<<B A B A 是成立的必要而非充分条件，则 （ ）A ．P 真Q 假B ．P 且Q 为真C ．P 或Q 为假D ．P 假Q 真5．设x 、y 都是整数，且满足22),(22y x y x xy ++=+则的最大可能值为 （ ）A ．32B ．25C ．18D ．166．函数}0))((|{,0sin 40)(2=⎩⎨⎧≤<≤=x f f x x x x x x f 则集合π中元素的个数有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个7．将函数)1,4()4sin()(ππω=+=x x f 的图象按平移之后得到函数g (x )的图象，若1)45(221)43(-+=ππg g 则的值为 （ ）A ．2222-或 B ．426- C ．－426+D ．426-或－426+ 8．在数列{a n }中，如果存在非零常数T ，使得a m +1 = a m 对任意正整数m 均成立，那么就称{a n }为周期数列，其中T 叫做数列{a n }的周期。
长郡中学2018届高三文科第三次月考文科试卷
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数学---湖南省长沙市长郡中学2018届高三(上)开学试卷(文)(解析版)
湖南省长沙市长郡中学2018届高三（上）开学数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={x∈R|x2﹣6x﹣7＜0}，集合B={﹣2，1，0，1，2}，则A∩B=（）A．{2} B．{1，2} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2} 2．（5分）复数1﹣等于（）A．﹣i B．+i C．+i D．﹣i3．（5分）长郡中学高三学生小明利用暑假期间进行体育锻炼．一次他骑ofo共享单车时，骑的同一辆车第二次开锁（密码为四位数字）时忘记了密码的中间两位，只记得第二位数字是偶数，第三位数字非零且是3的倍数，则小明该输入一次密码能够成功开锁的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）直线l与圆x2+y2+2x﹣4y+1=0相交于A，B两点，若弦AB恰好被点（0，1）平分，则直线l的方程为（）A．2x+3y﹣3=0 B．x﹣y﹣1=0 C．x+y﹣1=0 D．x﹣y+1=0 5．（5分）函数f（x）=sin2x的图象与函数的图象关于直线x=m对称，则m的值不可能是（）A．B．C．D．6．（5分）已知，，则的值为（）A．B．C．D．7．（5分）若，，，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞cC．a＞c＞b D．b＞c＞a8．（5分）如图所示，边长为1的正方形网格中粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积为（）A．B．C．8 D．129．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的i=（）A．3 B．4 C．5 D．610．（5分）函数的图象可能为（）A．B．C．D．11．（5分）定义：F：（x，y）=x+y2，若∃x∈[0，1]，满足不等于F（x+k，2x）+F（2x，x+k）≥6，则实数k的取值范围为（）A．k≤﹣3或k≥2 B．k≤﹣2或k≥﹣1C．k≤﹣2或k≥2 D．k≤﹣3或k≥﹣112．（5分）已知函数f（x）=ln x+2x，过点（2，5）可作曲线y=f（x）切线的条数为（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（每题5分，满分20分）13．（5分）已知x，y满足则的最大值是．14．（5分）已知点P是抛物线y2=4x上的点，且点P到原点的距离为，则点P到该抛物线焦点的距离为．15．（5分）数列{a n}满足：，则a1+a2+…+a30=．16．（5分）已知边长为4的正方形ABCD中，AC与BD交于点E，且F、G分别是线段EC 和线段EB的中点，则（+）•=．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且S n+1=3S n+1，n∈N*，c n=log3a2n．（Ⅰ）求数列{c n}的通项公式；（Ⅱ），记数列{b n}的前n项和为T n，求证：．18．（12分）如图，已知多面体ABCDEF中，△ABD、△ADE均为正三角形，平面ADE⊥平面ABCD，AB∥CD∥EF，AD：EF：CD=2：3：4．（Ⅰ）求证：BD⊥平面BFC；（Ⅱ）若AD=2，求该多面体的体积．19．（12分）近年来，随着“雾霾”天出现的越来越频繁，很多人为了自己的健康，外出时选择戴口罩，长郡中学高三兴趣研究小组利用暑假空闲期间做了一项对人们雾霾天外出时是否戴口罩的调查，共调查了120人，其中女性70人，男性50人，并根据统计数据画出等高条形图如图所示：（Ⅰ）利用图形判断性别与雾霾天外出戴口罩是否有关系；（Ⅱ）根据统计数据建立一个2×2列联表；（Ⅲ）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩有关系．附：20．（12分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：（a＞b＞0），A，B，C，D是椭圆上的四个动点，且AB∥CD，，线段AC与BD交于椭圆E内一点P（m，n）．当点P的坐标为（0，0），且A，B分别为椭圆E的上顶点和右顶点重合时，四边形ABCD的面积为4．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）证明：当点A，B，C，D在椭圆上运动时，（n≠0）是定值．21．（12分）已知函数（a≠0）．（Ⅰ）若f（x）在点x=e处的切线与x轴平行，且f（x）在区间（0，+∞）上存在最大值，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=b=1时，求不等式xf（x）﹣m≤0恒成立时m的最小整数值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，曲线C1：ρ=2cosθ，曲线C2：ρ=（ρ•cosθ+4）•cosθ．以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy，曲线C的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求C1，C2的直角坐标方程；（Ⅱ）C与C1，C2交于不同四点，这四点在C上的排列顺次为H，I，J，K，求||HI|﹣|JK||的值．【参考答案】一、选择题1．D【解析】根据题意，x2﹣6x﹣7＜0⇒﹣1＜x＜7，即A={x∈R|x2﹣6x﹣7＜0}={x|﹣1＜x＜7}，又由B={﹣2，1，0，1，2}，则A∩B={1，0，1，2}；故选：D．2．A【解析】1﹣=1﹣=1﹣=．故选：A．3．A【解析】∵密码为四位数字，忘记了密码的中间两位，只记得第二位数字是偶数，第三位数字非零且是3的倍数，∴基本事件总数n=5×3=15，∴小明该输入一次密码能够成功开锁的概率是p=．故选：A．4．D【解答】当直线l斜率不存在时，x=0带入圆方程，此时AB的中点不在F点，∴直线l的斜率存在，设直线方程为y=kx+1，带入圆的方程得，（k2+1）x2+（2﹣2k）x﹣2=0，∵弦AB的中点F坐标为（0，1），x1+x2=∴k=1，∴直线l的方程为y=x+1，即x﹣y+1=0．故选：D．5．B【解析】由题意，令f（x）=g（x）即sin2x=cos（2x﹣），可得：cos（﹣2x）=cos（2x﹣），即﹣2x+2kπ=2x﹣．∴x=kπ，k∈Z．当k=﹣1时，可得x=，当k=0时，可得x=当k=1时，可得x=，∴m的值不可能．故选：B．6．D【解析】∵已知，，∴为锐角，cos（﹣θ）==，∴sin（﹣2θ）=2sin（﹣θ）cos（﹣θ）==cos2θ，cos（﹣2θ）=2﹣1==sin2θ，则=sin2θcos+cos2θsin=+=，故选：D．7．A【解析】∵＞（）0=1，=＞=＞20=1，＜=1．a，b，c的大小关系为a＞b＞c．故选：A．8．B【解析】由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥P﹣ABCD，四个侧面三角形P AB、P AD、PBC、PCD全等，底面四边形ABCD为菱形，侧面积S=4×，底面积S=2×．∴该几何体的表面积为．故选：B．9．C【解析】第一次执行循环体后：S==，i=2，不满足退出循环的条件，第二次执行循环体后：S=+=，i=3，不满足退出循环的条件，第三次执行循环体后：S=++=1，i=4，不满足退出循环的条件，第一次执行循环体后：S=+++=，i=5，满足退出循环的条件，故输出的i值为5，故选：C10．A【解析】f（﹣x）===﹣f（x），∴f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除D，∵﹣1≤sin x≤1，∴当x＞1时，f（x）＜0，排除B，当x→+∞时，sin x﹣x→﹣∞，∴f（x）→0，且f（x）＜0，排除C，故选：A．11．C【解析】由题意，∃x∈[0，1]，满足不等于F（x+k，2x）+F（2x，x+k）≥6，∴x+k+（2x）2+2x+（x+k）2≥6，即5x2+x（3+2k）+k2+k﹣6≥0令g（x）=5x2+x（3+2k）+k2+k﹣6，∵∃x∈[0，1]，根据根的分布，函数g（x）≥0有解即可．可得：g（0）≥0．解得：k≤﹣3或k≥2，或g（1）≥0．可得k2+3k+2≥0，解得：k≤﹣2或k≥﹣1．综上可得：k≤﹣2或k≥﹣1．故选：C．12．C【解析】设切点为P（x0，ln x0+2x0），f（x）=ln x+2x的导数为f′（x）=+2，则f′（x0）=+2，则切线方程y﹣ln x0﹣2x0=（+2）（x﹣x0），代入（2，5）得，5﹣ln x0﹣2x0=（+2）（2﹣x0），即有2﹣ln x0=，方程的一个根x0=1，令y=2﹣ln x0﹣，函数在x＞2时是减函数，f（e）=1﹣＞0，f（e2）=﹣＜0，函数存在另一个零点，所以切线有两条．故选：C．二、填空题13．2【解析】x，y满足，对应的平面区域如下图示：由于=1+2×，其中表示平面上一定点（4，1）与可行域内任一点连线斜率，由图易得当该点为B（﹣3，﹣）时，的最大值是：=，则的最大值是1+2×=2．故答案为：2．14．3【解析】抛物线y2=4x的焦点坐标（1，0），点P是抛物线y2=4x上的点，且点P到原点的距离为，设P（x，y），可得，解得x=2，y=±2，点P到该抛物线焦点的距离为：=3．故答案为：315．﹣840【解析】当n=1时，a1cos=1，可得a1=﹣2，当n=2时，a1cos+a2cos=4，可得a2=﹣6，当n=3时，a1cos+a2cos+a3cos=9，可得a3=5，则a1+a2+...+a30=（﹣2﹣6+5）+（﹣14﹣18+11）+...+（﹣110﹣114+59）=（﹣2﹣14﹣...﹣110）+（﹣6﹣18﹣...﹣114）+（5+11+ (59)=﹣20+×10×9×（﹣12）﹣60+×10×9×（﹣12）+50+×10×9×6 =﹣560﹣600+320=﹣840．故答案为：﹣840．16．﹣16【解析】以AB为所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴，则A（0，0），B（4，0），C（4，4），D（0，4），E（2，2）∴F（3，3），G（3，1）∴=（﹣3，1），=（﹣2，﹣2），=（3，1），∴+=（﹣3，1）+（﹣2，﹣2）=（﹣5，﹣1），∴（+）•=（﹣5，﹣1）•（3，1）=﹣16故答案为：﹣16三、解答题17．（Ⅰ）解：当n≥2时，a n+1=S n+1﹣S n=2S n+1，a n=2S n﹣1+1，两式相减得：a n+1﹣a n=2（S n﹣S n﹣1）=2a n，∴．∵a1=1，∴a2=2S1+1=2a1+1=3，即．∴数列{a n}是以1为首项，3为公比的等比数列，从而，则c n=log3a2n=log332n﹣1=2n﹣1；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）有：=，∴==，由于T n随着n的增大而增大，∴T n最小值为．∴，∴．18．解：（Ⅰ）因为AB∥CD，所以∠ADC=120°，△ABD为正三角形，所以∠BDC=60°．设AD=a，因为AD：CD=2：4=1：2，所以CD=2a，在△BDC中，由余弦定理，得，所以BD2+BC2=CD2，所以BD⊥BC．取AD的中点O，连接EO，因为△ADE为正三角形，所以EO⊥AD，因为平面ADE⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD．取BC的中点G，连接FG，OG，则，且EF∥OG，所以四边形OEFG为平行四边形，所以FG∥EO，所以FG⊥平面ABCD，所以FG⊥BD．因为FG∩BC=G，所以BD⊥平面BFC．（Ⅱ）过G作直线MN∥AD，延长AB与MN交于点M，MN与CD交于点N，连接FM，FN．因为G为BC的中点，所以MG=OA且MG∥OA，所以四边形AOGM为平行四边形，所以AM=OG．同理DN=OG，所以AM=OG=DN=EF=3．又AB∥CD，所以AM∥DN，所以AM∥DN∥EF，所以多面体MNF﹣ADE为三棱柱．过M作MH⊥AD于H点，因为平面ADE⊥平面ABCD，所以MH⊥平面ADE，所以线段MH的长即三棱柱MNF﹣ADE的高，在△AMH中，，所以三棱柱MNF﹣ADE的体积为．因为三棱锥F﹣BMG与F﹣CNG的体积相等，所以所求多面体的体积为．19．解：（Ⅰ）在等高条形图中，两个深颜色条的高分别表示女性和男性中雾霾天外出戴口罩的频率，比较图中两个深颜色条的高可以发现，女性中雾霾天外出戴口罩的频率明显高于男性中雾霾天外出戴口罩的频率，因此可以认为性别与雾霾天外出戴口罩有关系；（Ⅱ）2×2列联表如下：（Ⅲ）由（Ⅱ）中数据，计算得：，所以，在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩有关系．20．解：（Ⅰ）由题可知：，解得a=2，b=1，所以椭圆E的标准方程．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），将点A，B的坐标代入椭圆方程得：，．两式相减得：（x1+x2）（x1﹣x2）=﹣4（y1+y2）（y1﹣y2），∵，∴（x1+x2）﹣2（y1+y2）=0，①将点C，D的坐标代入椭圆方程，同理可得：（x3+x4）﹣2（y3+y4）=0，∵AB∥CD，∴由AP=λPC（λ＞0），得（m﹣x1，n﹣y1）=λ（x3﹣m，y3﹣n），即，即x1=m（λ+1）﹣λx3，y1=n（λ+1）﹣λy3，②由BP=λPD，同理可得：x2=m（λ+1）﹣λx4，y2=n（λ+1）﹣λy4，③由①②③得：2m（λ+1）﹣λ（x3+x4）﹣2[2n（λ+1）﹣λ（y3+y4）]=0，整理得：2m（λ+1）﹣4n（λ+1）﹣λ[（x3+x4）﹣2（y3+y4）]=0，即2m（λ+1）﹣4n（λ+1）=0，∵λ+1≠0，n≠0，∴，所以是定值．21．解：（Ⅰ）=．∵f（x）在点x=e处的切线与x轴平行，∴f'（e）=0，∴b=0．因此，当a＞0时，在区间（0，e）上为正，在区间（e，+∞）上为负，因此f（x）在区间（0，e）上为增函数，在区间（e，+∞）上为减函数，即函数f（x）在x=e处取得唯一的极大值，即为最大值；当a＜0时，f（x）在（0，e）上为减函数，在（e，+∞）为增函数，即函数f（x）有最小值，无最大值．因此实数a的取值范围是（0，+∞）．（Ⅱ）当a=b=1时，设g（x）=xf（x）=ln x﹣e x，在区间（0，+∞）上为减函数，又g'（1）=1﹣e＜0，，因此存在唯一实数，使，由此得到，x0=﹣ln x0；此时g（x）在区间（0，x0）上为增函数，在区间（x0，+∞）上为减函数，由单调性知=，又，故，因此xf（x）﹣m≤0恒成立时m≥﹣2，即m的最小整数值为﹣2．22．解：（Ⅰ）∵曲线C1：ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∵ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴曲线C1的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1．∵曲线C2：ρ=（ρ•cosθ+4）•cosθ．∴ρ2sin2θ=4ρcosθ，∴曲线C2的直角坐标方程为y2=4x．（Ⅱ）不妨设四点在C上的排列顺次至上而下为H，I，J，K，它们对应的参数分别为t1，t2，t3，t4，如图，连结C1，J，则△C1IJ为正三角形，∴|IJ|=1，||HI|﹣|JK||=||HI|﹣|IK|+|IJ||=||t1|﹣|t4|+1|=|﹣（t1+t4）+1|，把曲线C的参数方程为（t为参数）代入y2=4x，得：，即3t2+8t﹣32=0，故，∴||HI|﹣|JK||=．。
湖南省长沙市长郡中学高三数学第五次月考试卷文科 人教版
湖南省长沙市长郡中学高三数学第五次月考试卷文科 人教版第一卷 （选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知,,a b c R ∈,在下列各小题中，M 是N 的充分不必要条件的是（ ）A ．M ：a b <，N ：22a b <B ．M ：0ab >，N ：a b a b +=+C ．M ：bc ac =, N ：a b =D ．M ：a c b c +>+, N ：a b > 2．若点P (3，4)、Q (a ，b )关于直线01=--y x 对称，则( ) A ．a = 1，b =2- B ．a = 2，b = 1-C ．a = 4，b = 3D ．a = 5，b = 23、已知数列11110、21110、31110、……、1110n 、……，它的前n 项积大于510，则正整数n 的最小值为（A ）8； （B ）10； （C ）11； （D ）12。
4、函数1)42(sin )42(cos )(22-++-=ππx x x f 是( )A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数5、下列函数中同时具有性质：①图象过点)1,0(，②在区间),0(+∞上是减函数，③是偶函数，这样的函数是（ ）A 、3)(x x f =B 、)3(log )(3+=x x fC 、x x f )31()(= D 、xx f 3)(=6、若向量a =(cos ，sin )，b = (cos β，sin β)，且a 与b 不相等，则一定有( )A 、(a +b )⊥(a -b )B 、a 与b 的夹角等于-βC 、a ∥bD 、a ⊥b7、一个机器人每一秒钟前进一步或后退一步，程序设计师设计的程序是让机器人以先前进3步，然后再后退2步的规律移动，如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向在数轴上移动(1步的距离为1个单位长度).令P(n)表示第n 秒时机器人所在位置的坐标，且记P(0)=0,则下列结论中错误的是（ ）A.P(3)=3B.P(5)=1C. P (2007)>P(2006)D.P(2003)<P(2006) 8、定义R 在上的奇函数),0()(+∞在x f 上是增函数，且,0)1(=f 则满足0)()2(<-x f x 的 x 的取值范围是( )（ ）A ．（－1，0）∪（1，2）B ．（－1，0）∪（1，+∞）C ．（－∞，－1）∪（1，2）D ．（－1，0）∪（0，1）9、如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，P 是侧面11BB C C 内一动点，若 P 到平面AC 的距离是P 到直线11C D 的距离的12， 则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）A. 直线B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线10、离心率为黄金比215-的椭圆称为“优美椭圆”. 设1by a x 2222=+)0b a (>>是优美椭圆, F 、A 分别是它的左焦点和右顶点, B 是它的短轴的一个端点, 则ABF ∠等于( )A. 60°B. 75°C. 90°D. 120°第二卷 （非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
湖南师大附中2018届高三数学上学期月考试卷五文科有解析
湖南师大附中2018届高三数学上学期月考试卷（五）文科有解析湖南省湖南师大附中2018届高三上学期月考试卷（五）数学试题（文科）1.设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由图象知，阴影部分可表示为，故选B.点睛：集合是高考中必考的知识点，一般考查集合的表示、集合的运算比较多．对于集合的表示，特别是描述法的理解，一定要注意集合中元素是什么，然后看清其满足的性质，将其化简；考查集合的运算，多考查交并补运算，注意利用数轴来运算，要特别注意端点的取值是否在集合中，避免出错．2.已知向量，，若，则的坐标可以是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】因为，所以当时，，故选D.3.已知直线与平面满足，，，，则下列判断一定正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】∵α∩β=m，∴m⊂α，又∵n⊥α，∴n⊥m．∵n⊥α，n⊂γ，∴α⊥γ，故选：D．4.下面为一个求20个数的平均数的程序，在横线上应填充的语句为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】因为要进行20次求和运算，所以应该填，故选D.5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】由题意，几何体为四棱锥，其中底面是上底为2，下底为4，高为2的直角梯形，棱锥的高为2，所以体积为；本题选择B选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．6.在矩形中，，，若向该矩形内随机投一点，那么使得与的面积都不小于2的概率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】，由题意知本题是一个几何概型的概率，以AB为底边，要使面积不小于2，由于，其表示的区域为图中阴影部分,它的面积是，∴使得△ABP与△ADP的面积都不小于2的概率为：. 故选D.7.已知，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】∵，∴，∴.本题选择A选项.8.已知函数对任意自变量都有，且函数在上单调．若数列是公差不为0的等差数列，且，则的前2017项之和为（）A.0B.2017C.2016D.4034【答案】B【解析】因为函数对任意自变量都有，所以函数的对称轴为，因为，所以，由等差数列前n项和公式，故选B.9.已知的面积为1，内切圆半径也为1，若的三边长分别为，则的最小值为（）A.2B.C.4D.【答案】D【解析】因为的面积为1，内切圆半径也为1，所以，当且仅当即时，等号成立，故选D.10.设、是双曲线的两个焦点，是上一点，若，且最小内角的大小为，则双曲线的渐近线方程是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】不妨设P为右支上一点，则，又，解得又，由于最小，即有,由余弦定理得，,则有即，，则双曲线的渐近线方程，故选A.11.定义在上的奇函数满足，且当时，不等式恒成立，则函数的零点的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】定义在的奇函数满足：，且，又时，，即，∴，函数在时是增函数，又，∴是偶函数；∴时，是减函数，结合函数的定义域为，且，可得函数与的大致图象如图所示，∴由图象知，函数的零点的个数为3个，故选C.点睛：本题考查了函数的单调性与导数之间的应用问题，也考查了函数零点个数的判断问题，是中档题目；由题意可得到函数在时是增函数，再由函数是定义在R上的奇函数得到为偶函数，结合，作出两个函数与的大致图象，即可得出答案.12.狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，若，则称为狄利克雷函数．对于狄利克雷函数，给出下面4个命题：①对任意，都有；②对任意，都有；③对任意，都有，；④对任意，都有．其中所有真命题的序号是（）A.①④B.②③C.①②③D.①③④【答案】D【解析】①当x∈Q，则f（x）=1，f（1）=1，则[f（x）]=1，当x为无理数时，则f（x）=0，f（0）=1，则[f（x）]=1，即对任意x∈R，都有f[f（x）]=1，故①正确，②当x∈Q，则-x∈Q，则f（-x）=1，f（x）=1，此时f（-x）=f（x），当x为无理数时，则-x是无理数，则f（-x）=0，f（x）=0，此时f（-x）=f（x），即恒有f（-x）=f（x），即函数f（x）是偶函数，故②错误，③当是无理数时，是无理数，所以，当是有理数时，是有理数，所以，故③正确，④∵f（x）≥0恒成立，∴对任意a，b∈（-∞，0），都有，故④正确，故正确的命题是①③④，故选D.13.设是虚数单位，则复数的共轭复数的虚部为__________．【答案】【解析】，，其虚部为，故填.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数，共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化，转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分．14.过点作圆的两条切线，切点分别为，则所在直线的方程为__________．【答案】【解析】由圆的方程可知其圆心，半径1，以为直径的圆的方程为：，将两圆的方程作差，得公共弦AB的方程为，即.15.在矩形中，，，为的中点，若为该矩形内（含边界）任意一点，则的最大值为__________．【答案】【解析】如图所示：设与的夹角为，则，由投影的定义知，只有点F取点C 时，取得最大值.,故选.16.已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】试题分析：的导数的导数为设与曲线相切的切点为相切的切点为则有公共切线斜率为又即有即为即有则有即为令则，当时，递减，当时，递增．即有处取得极大值，也为最大值，且为由恰好存在两条公切线，即有两解，可得的范围是故答案为考点：导数的应用17.在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司为推广线下分店，计划在市的区开设分店．为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格．记表示在各区开设分店的个数，表示这个分店的年收入之和．（个）23456（百万元）2.5344.56（Ⅰ）该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；（Ⅱ）假设该公司在区获得的总年利润（单位：百万元）与之间的关系为，请结合（Ⅰ）中的线性回归方程，估算该公司应在区开设多少个分店，才能使区平均每个分店的年利润最大？参考公式：，，．【答案】（1）；（2）公司应在区开设4个分店，才能使区平均每个分店的年利润最大．.试题解析：（1）∵，，，∴．∴关于的线性回归方程．（2），区平均每个分店的年利润，∴时，取得最大值，故该公司应在区开设4个分店，才能使区平均每个分店的年利润最大．18.如图，在四棱锥中，平面平面，且，．四边形满足，，．为侧棱的中点，为侧棱上的任意一点．（Ⅰ）若为的中点，求证：平面平面；（Ⅱ）是否存在点，使得直线与平面垂直？若存在，写出证明过程并求出线段的长；若不存在，请说明理由．【答案】(Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）上存在点，使得直线与平面垂直，此时线段的长为．【解析】试题分析：（1）由面面垂直的性质定理可得平面,从而得，再结合，可得平面，又利用三角形中位线定理可得，进而可得结果；（2）过点作,垂足为，先证明平面,结合平面,得，从而可得平面，利用三角形面积相等即可得线段的长.试题解析：（1）∵分别为侧棱的中点，∴.∵,∴.∵面平面,且,面平面,∴平面,结合平面,得.又∵,,∴平面,可得平面.∴结合平面，得平面平面.（2）存在点，使得直线与平面垂直.平面中，过点作,垂足为∵由己知,,,.∴根据平面几何知识，可得.又∵由（1）平面,得,且,∴平面,结合平面,得.又∵,∴平面.在中，,，,∴，.∴上存在点，使得直线与平面垂直，此时线段长为. 19.函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）在中，角、、所对的边分别为、、，，是的中点，且，，求的最短边的边长．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）根据图象分别写出振幅，周期，求出A和，再利用图象过点，即可求出；（2）根据条件利用余弦定理和正弦定理，分别求出三边的长，即可找到最短边长.试题解析：（1）由图知，解得，∵，∴，，即，，由于，因此∴，∴，即函数的解析式为．（2）由正弦定理可知：，则，，，，则，∴，由，可得∵，，∴．∵，∴，∴解得：，．又，∴，∴的最短边的边长为．点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小.20.已知为坐标原点，抛物线上在第一象限内的点到焦点的距离为，曲线在点处的切线交轴于点，直线经过点且垂直于轴．（Ⅰ）求点的坐标；（Ⅱ）设不经过点和的动直线交曲线于点和，交于点，若直线，，的斜率依次成等差数列，试问：是否过定点？请说明理由．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）恒过定点．【解析】试题分析：（1）抛物线上在第一象限内的点到焦点的距离为，可求出n，得到抛物线方程，求导得斜率，写出切线方程；（2）设，联立抛物线方程，消元得，根据根与系数的关系，，写出，，的斜率，根据成等差数列求不，即可证明直线过定点.试题解析：（Ⅰ）由抛物线上的点到焦点的距离为，得，所以，则抛物线方程为，故曲线在点处的切线斜率，切线方程为，令得，所以点．（Ⅱ）由题意知，因为与相交，所以．设，令，得，故，设，，由消去得，则，，直线的斜率为，同理直线的斜率为，直线的斜率为．因为直线，，的斜率依次成等差数列，所以，即，即整理得：，因为不经过点，所以，所以．故，即恒过定点．21.已知函数．（Ⅰ）若，求函数的单调递减区间；（Ⅱ）证明当时，；（Ⅲ）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）整数的最小值为2．【解析】试题分析：（1）求出导数，解即可求出单减区间；（2）由（Ⅰ）得：在递减，∴，故，时，，分别令，累加即可得证；（3）由恒成立得在上恒成立，问题等价于在上恒成立，只需利用导数求的最大值即可.试题解析：（Ⅰ）因为，所以此时，，由，得，又，所以，所以的单调减区间为．（Ⅱ）令，由（Ⅰ）得：在递减，∴，故，时，，分别令，故，∴时，．（Ⅲ）由恒成立得在上恒成立，问题等价于在上恒成立．令，只要．因为，令，得．设，在上单调递减，不妨设的根为．当时，；当时，，所以在上是增函数；在上是减函数．所以．因为，，所以，此时，即．所以整数的最小值为2．点睛：处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.22.选修4-4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系中，已知曲线，（为参数），曲线．（Ⅰ）求曲线和直线的普通方程；（Ⅱ）在曲线上求一点，使点到直线的距离为，求出点的坐标．【答案】（Ⅰ）的普通方程；的普通方程为；（Ⅱ）或．【解析】试题分析：（1）参数方程消元即可得普通方程，极坐标利用转化公式即可化为普通方程；（2））设点，利用点到直线的距离公式即可求出.试题解析：（Ⅰ）的普通方程；的普通方程为．（Ⅱ）设点，则点到曲线的距离为，当时，，即，此时，或，所以点的坐标为或．23.选修4-5：不等式选讲已知不等式的解集为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，，求证：．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析．【解析】试题分析：（1）分区间讨论，去掉绝对值即可求出不等式的解集，从而求得m,n；（2）由（Ⅰ）知，，，利用即可证明.试题解析：（Ⅰ）由，得或或，解得，∴，．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，∴，当且仅当即，时取等号，∴，即．点睛：均值不等式的灵活运用问题一般较难，解决此类问题，需要观察条件和结论，结合二者构造新的式子，对待求式子进行变形，方能形成使用均值不等式的条件，本题注意到，所以把条件构造为，从而解决问题.。
2018届湖南省长郡中学高三第五次月考数学(文)试卷及解析
第1页（共6页） 第2页（共6页）长郡中学2018届高三第五次月考数学（文）试题注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．已知R 为实数集，集合2{|230}A x x x =-++≤，则R C A =（ ） A ． ()1,3- B ． []1,3- C ． ()3,1- D ． []3,1- 2．若122018,,,x x x 的平均数为3，标准差为4，且()32i i y x =--， 122018,,,i x x x =，则新数据122018,,,y y y 的平均数和标准差分别为（ ）A ． -9 12B ． -9 36C ． 3 36D ． -3 123．已知直角梯形ABCD 中， //AB CD ， AB AD ⊥， 4AB =， 6CD =， 5AD =，点E 在梯形内，那么AEB ∠为钝角的概率为（ ）A ．225π B ． 425π C ． 12 D ． 144．已知复数1a iz i-=-（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a =（ ）A ． 1B ． -1C ． 2D ． -25．已知圆()()22212x y r -+-=上有且只有两个点到直线43350x y +-=的距离等于1，则半径r 的范围是（ ）A ． ()4,6B ． (]4,6C ． [)4,6D ． []4,66．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）A ． 2＋B ． 4＋C ． 2＋2D ． 57．变量,x y 满足约束条件22{24 41x y x y x y +≥+≤-≥-，则目标函数332x y z +-=的取值范围是（ ）A ． 3,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ． 3,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ． []2,3-D ．⎡⎤⎣⎦ 8．cos y x x =+的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知定义在R 上的函数(f x ），其导函数为()f x '，若()()3f x f x '-<-， ()04f =，则不等式()3x f x e >+的解集是（ ）A ． (),1-∞B ． ()1,+∞C ． ()0,+∞D ． (),0-∞ 10．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号第3页（共6页） 第4页（共6页）A ．．． 0 D ． 1211．在中，角，，的对边分别为，，，且，则角的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．12．设点()0,1A ， ()2,1B -，点C 在双曲线22:14x M y -=上，则使ABC ∆的面积为3的点C 的个数为（ ）A ． 4B ． 3C ． 2D ． 113．博鳌亚洲论坛2015年会员大会于3月27日在海南博鳌举办，大会组织者对招募的100名服务志愿者培训后，组织一次APEC 知识竞赛，将所得成绩制成如右频率分布直方图（假定每个分数段内的成绩均匀分布），组织者计划对成绩前20名的参赛者进行奖励．（1）试确定受奖励的分数线；（2）从受奖励的20人中利用分层抽样抽取5人，再从抽取的5人中抽取2人在主会场服务，试求2人成绩都在90分以上的概率．二、填空题14．已知()1,2a =， ()415,6a b -=--，则a 与b 的夹角的余弦值为__________． 15．是长、宽、高分别为12，3，4的长方体外接球表面上一动点，则到长方体各个面所在平面的距离的最大值是__________．16．设函数()f x 的定义域为D ，如果x D ∀∈， y D ∃∈，使()()2f x f yC +=（C 为常数）成立，则称函数()f x 在D 上的均值为C ．给出下列四个函数：①2y x =；②2x y =；③ln y x =；④2sin 1y x =+．则其中满足在其定义域上均值为2的函数是__________．17．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ， 2F ，过1F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若72ABCBCFS S =，则椭圆的离心率为__________．18．在直角坐标系xOy 中，圆221:4C x y +=，圆()222:24C x y -+=．（Ⅰ）在以O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆12,C C 的极坐标方程，并求出圆12,C C 的交点坐标（用极坐标表示）；（Ⅱ）求出1C 与2C 的公共弦的参数方程．三、解答题19．已知函数()x f x a =的图象过点11,3⎛⎫⎪⎝⎭，且点()*21,n a n n N n ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭在函数()xf x a =的图象上．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令113n n n b a a +=-，若数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证： 2n S <．20．如图，已知ABCD 是直角梯形， 90ABC ∠=︒， //AD BC ， 4AD =，2AB BC ==， PA ⊥平面ABCD ．。
湖南省长沙市长郡中学2017-2018学年高三上学期第五次月考数学试卷(文科) Word版含解析
2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高三（上）第五次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合P={x |1＜x ≤2}，Q={x |x 2+x ﹣2≤0}，那么P ∩Q 等于（ ） A ．∅ B ．{1} C ．{x |﹣2≤x ≤2} D ．{x |1＜x ≤2} 2．设a ，b ∈R ，则“（a ﹣b ）a 2＜0”是“a ＜b ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．若函数f （x ）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，x ＞0时，f （x ）单调递增，P=f （﹣π），Q=f （e ），，则P ，Q ，R 的大小为（ ） A ．R ＞Q ＞P B ．Q ＞R ＞P C ．P ＞R ＞Q D ．P ＞Q ＞R4．在等腰△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=2，，，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．5．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=﹣100，且5S 7﹣7S 5=70，则S 101等于（ ） A ．100 B ．50 C ．0 D ．﹣506．已知三棱锥的三视图如图所示，则它的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．7．该试题已被管理员删除8．x 、y 满足约束条件，若z=y ﹣ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（ ）A ．或﹣1B ．2或C ．2或1D ．2或﹣19．在区间〔﹣1，1〕上随机取一个数x ，使sin 的值介于0到之间的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．10．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度11．已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（）A． +2 B． +1 C． +1 D． +112．设集合，，函数，若x0∈A，且，则x0的取值范围是（）A．（]B．（] C．D．（）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．若复数z=（a∈R），i是虚数单位）是纯虚数，则a=．14．三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在半径为5的球面上，底面ABC所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为．15．在△ABC中，AC=7，∠B=，△ABC的面积S=，则边AB的长为．16．已知平面上的点集A及点P，在集合A内任取一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到集合A的距离，记作d（P，A），如果A={（x，y）|x2+y2=1}，点P坐标为，那么d（P，A）=；如果点集A所表示的图象是半径为2的圆，那么点集D={P|d（P，A）≤1}所表示的图形的面积为．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知数列{a n}满足a2=5，且其前n项和S n=pn2﹣n．（Ⅰ）求p的值和数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}为等比数列，公比为p，且其前n项和T n满足T5＜S5，求b1的取值范围．个月的产量如表所示：（I ）若从这5组数据中抽出两组，求抽出的2组数据恰好是相邻的两个月数据的概率；（Ⅱ）请根据所给5组数据，求出 y 关于x 的线性回归方程=x +；并根据线性回归方程预测该工人第6个月生产的合格零件的件数．（附：回归方程=x +； =， =﹣）19．在直三棱柱ABC ﹣A ′B ′C ′中，底面ABC 是边长为2的正三角形，D ′是棱A ′C ′的中点，且AA ′=2．（Ⅰ）证明：BC ′∥平面AB ′D ′；（Ⅱ）棱CC ′上是否存在一点M ，使A ′M ⊥平面AB ′D ′，若存在，求出CM 的长；若不存在，说明理由．20．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）过点（1，），且离心率e=．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若直线l ：y=kx +m （k ≠0）与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过定点，求k 的取值范围．21．已知函数f （x ）=lnx ﹣mx （m ∈R ）． （1）若曲线y=f （x ）过点P （1，﹣1），求曲线y=f （x ）在点P 的切线方程； （2）若f （x ）≤0恒成立求m 的取值范围； （3）求函数f （x ）在区间[1，e ]上最大值．请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-1几何证明选讲]22．如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为B ，直线ADE ，CFD ，CGE 都是⊙O 的割线，已知AC=AB ．（1）求证：FG ∥AC ；（2）若CG=1，CD=4．求的值．[选修4-4坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x中正半轴为极轴建立坐标系，直线l的极坐标方程为，圆C的参数方程为为参数，r＞0）（1）求直线l的普通方程以及圆心C的坐标；（2）当r为何值时，圆C上的点到直线l的最大距离为3．[选修4-5不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣a|，a＜0．（Ⅰ）证明f（x）+f（﹣）≥2；（Ⅱ）若不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，求a的取值范围．2015-2016学年湖南省长沙市长郡中学高三（上）第五次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合P={x|1＜x≤2}，Q={x|x2+x﹣2≤0}，那么P∩Q等于（）A．∅B．{1}C．{x|﹣2≤x≤2}D．{x|1＜x≤2}【考点】交集及其运算．【分析】根据题意，Q为方程x2+x﹣6≤0的解集，由一元二次不等式的解法可得Q，由交集的运算可得答案．【解答】解：根据题意，结合一元二次不等式的解法可得，Q={x∈R|x2+x﹣2≤0}={x|﹣2≤x≤1}，而P={x|1＜x≤2}，又交集的意义，可得P∩Q=∅故选：A．2．设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件定义判断，结合不等式求解．【解答】解：∵a，b∈R，则（a﹣b）a2＜0，∴a＜b成立，由a＜b，则a﹣b＜0，“（a﹣b）a2≤0，所以根据充分必要条件的定义可的判断：a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是a＜b的充分不必要条件，故选：A3．若函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，x＞0时，f（x）单调递增，P=f（﹣π），Q=f（e），，则P，Q，R的大小为（）A．R＞Q＞P B．Q＞R＞P C．P＞R＞Q D．P＞Q＞R【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据题意，先利用函数的奇偶性可得P=f（﹣π）=f（π），进而利用函数当x＞0时，f（x）单调递增，且π＞e＞，分析可得f（π）＞f（e）＞f（），即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，P=f（﹣π）=f（π），又由当x＞0时，f（x）单调递增，且π＞e＞，则有f（π）＞f（e）＞f（）；即P＞R＞Q；故选：D．4．在等腰△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，，，则的值为（）A．B． C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】将所求利用三角形法则表示为AB，AC对应的向量表示，然后利用向量的乘法运算求值．【解答】解：由已知得到=（）（）=2，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，所以上式==；故选：A．5．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=﹣100，且5S7﹣7S5=70，则S101等于（）A．100 B．50 C．0 D．﹣50【考点】等差数列的性质．【分析】由题意可得公差d的方程，解得d值代入等差数列的求和公式计算可得．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，又a1=﹣100，∴5S7﹣7S5=5（﹣700+d）﹣7（﹣500+d）=70，解得d=2，∴S101=101×（﹣100）+×2=0，故选：C．6．已知三棱锥的三视图如图所示，则它的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是三棱锥，结合直观图判断几何体的结构特征及相关几何量的数据，把数据代入棱锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是三棱锥，如图：其中SO⊥平面ABC，O为BC的中点，BA⊥AC，BA=，AC=1，SO=1，∴几何体的体积V=×××1×1=．故选：A．7．该试题已被管理员删除8．x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（）A．或﹣1 B．2或C．2或1 D．2或﹣1【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线2x﹣y+2=0平行，此时a=2，若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线x+y﹣2=0，平行，此时a=﹣1，综上a=﹣1或a=2，故选：D9．在区间〔﹣1，1〕上随机取一个数x ，使sin 的值介于0到之间的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】几何概型．【分析】求出0≤sin≤的解集，根据几何概型的概率公式，即可求出对应的概率．【解答】解：当﹣1＜x ＜1，则﹣＜＜，由0≤sin ≤，∴0≤≤π，即0≤x ≤，则sin 的值介于0到之间的概率P==，故选：B ．10．函数f （x ）=Asin （ωx +φ）（其中A ＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g （x ）=sin2x 的图象，则只要将f （x ）的图象（ ）A ．向右平移个单位长度B ．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象可得A=1，==﹣，求得ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=π，求得φ=，故f（x）=sin（2x+）=sin2（x+）．故把f（x）的图象向右平移个单位长度，可得g（x）=sin2x的图象，故选：A．11．已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（）A． +2 B． +1 C． +1 D． +1【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线与双曲线的焦点坐标，将其代入双曲线方程求出A的坐标，将A代入抛物线方程求出双曲线的三参数a，b，c的关系，则双曲线的渐近线的斜率可求．【解答】解：抛物线的焦点坐标为（，0）；双曲线的焦点坐标为（c，0），∴p=2c，∵点A 是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，将x=c代入双曲线方程得到A（c，），将A的坐标代入抛物线方程得到=2pc，即4a4+4a2b2﹣b4=0．解得，∴，解得：．故选：D．12．设集合，，函数，若x 0∈A ，且，则x 0的取值范围是（ ）A ．（] B ．（] C ．D ．（）【考点】分段函数的应用．【分析】利用当x 0∈A 时，f [f （x 0）+1]∈[0，），列出不等式，解出x 0的取值范围．【解答】解：∵1≤x 0＜，∴f （x 0）+1=x 0 ﹣+1∈[，2]⊆B ，∴f [f （x 0）+1]=2（2﹣f （x 0）﹣1）=2[1﹣（x 0﹣）]=2（﹣x 0）．∵，∴0≤2（﹣x 0）＜，∴＜x 0≤．又∵1≤x 0＜，∴＜x 0＜．故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．若复数z=（a ∈R ），i 是虚数单位）是纯虚数，则a= 1 ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：∵复数z===是纯虚数，∴，解得a=1．故答案为：1． 14．三棱锥P ﹣ABC 的四个顶点都在半径为5的球面上，底面ABC 所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为 8 ．【考点】球内接多面体；棱锥的结构特征．【分析】根据已知求出球心到底面ABC 的距离d ，进而可得该三棱锥的高的最大值为R +d ．【解答】解：∵底面ABC 所在的小圆面积为16π， 故底面ABC 所在的小圆半径r=4，又由三棱锥P﹣ABC的外接球半径R=5，故球心到底面ABC的距离d==3，故该三棱锥的高的最大值为R+d=8，故答案为：8．15．在△ABC中，AC=7，∠B=，△ABC的面积S=，则边AB的长为3或5．【考点】三角形中的几何计算．【分析】由，∠B=，以及已知三角形的面积，利用三角形的面积公式求出AB•BC=15，再利用余弦定理即可求出AB2+BC2=34，联立解出AB即可．=，∠B=，【解答】解：∵S△ABC∴AB•BC•sinB=，即AB•BC•=，∴AB•BC=15，①由余弦定理知cosB=，即﹣=，∴AB2+BC2=34．②联立①②，解得：AB=3或AB=5．故答案为：3或5．16．已知平面上的点集A及点P，在集合A内任取一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到集合A的距离，记作d（P，A），如果A={（x，y）|x2+y2=1}，点P坐标为，那么d（P，A）=2；如果点集A所表示的图象是半径为2的圆，那么点集D={P|d（P，A）≤1}所表示的图形的面积为8π．【考点】集合的表示法．【分析】集合A={（x，y）|x2+y2=4}表示圆心为O，半径r为2的圆上所有点，且P在圆外，则有d（P，A）=|PO|﹣r，计算即可得到．对于D={P|d（P，A）≤1}，讨论P在圆上和圆外及圆内，得到P的轨迹，运用圆的面积公式计算即可得到．【解答】解：集合A={（x，y）|x2+y2=4}表示圆心为O，半径r为2的圆上所有点，点P的坐标为，由|PO|=4＞2，即有P在圆外，那么d（P，A）=|PO|﹣r=4﹣2=2，如果点集A所表示的图形是半径为2的圆，若点P在圆上满足集合D，P在圆外，则为介于圆心为O，半径分别为2，3的圆环，其面积为9π﹣4π=5π，P在圆内，则为介于圆心为O，半径分别为1，2的圆环，其面积为4π﹣π=3π，那么点集D={P|d（P，A）≤1}所表示的图形的面积为5π+3π=8π．故答案为：2，8π．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知数列{a n}满足a2=5，且其前n项和S n=pn2﹣n．（Ⅰ）求p的值和数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}为等比数列，公比为p，且其前n项和T n满足T5＜S5，求b1的取值范围．【考点】等比数列的性质；数列的求和．【分析】（Ⅰ）由题意，得S1=p﹣1，S2=4p﹣2，利用a2=5，S2=a1+a2，可得S2=4p﹣2=p﹣1+5，即可求p的值；再写一式，两式相减，即可求出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求出T n，利用T5＜S5，建立不等式，即可求b1的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意，得S1=p﹣1，S2=4p﹣2，因为a2=5，S2=a1+a2，所以S2=4p﹣2=p﹣1+5，解得p=2．…所以．，…当n≥2时，由a n=S n﹣S n﹣1得．…验证知n=1时，a1符合上式，所以a n=4n﹣3，n∈N*．…（Ⅱ）由（Ⅰ），得．…因为T5＜S5，所以，解得．…又因为b1≠0，所以b1的取值范围是．…个月的产量如表所示：（Ⅱ）请根据所给5组数据，求出y关于x的线性回归方程=x+；并根据线性回归方程预测该工人第6个月生产的合格零件的件数．（附：回归方程=x+；=，=﹣）【考点】线性回归方程．【分析】（Ⅰ）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从5组数据中选取2组数据共有C52种情况，满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有4种，根据古典概型的概率公式得到结果．（Ⅱ）根据所给的数据，求出x，y的平均数，根据求线性回归方程系数的方法，求出系数b，把b和x，y的平均数，代入求a的公式，做出a的值，写出线性回归方程．将x=6代入可得答案．【解答】解：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，设抽到相邻两个月的数据为事件A试验发生包含的事件是从5组数据中选取2组数据共有C52=10种情况，每种情况都是等可能出现的其中，满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有4种∴P（A）==；（Ⅱ）由数据求得=3，=72，x i y i=1200，=55，故===12，∴=﹣=36，∴y关于x的线性回归方程为=12x+36，当x=6，=108（件），即预测该工人第6个月生产的合格零件的件数为108件．19．在直三棱柱ABC﹣A′B′C′中，底面ABC是边长为2的正三角形，D′是棱A′C′的中点，且AA′=2．（Ⅰ）证明：BC′∥平面AB′D′；（Ⅱ）棱CC′上是否存在一点M，使A′M⊥平面AB′D′，若存在，求出CM的长；若不存在，说明理由．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连结A′B交AB′于点E，连结D′E，证明D′E∥BC′，利用在与平面平行的判定定理证明BC′∥平面AB′D′．（Ⅱ）作A′M⊥AD′，交CC′于M，通过证明△A′AD∽△C′A′M，求出CM的长，得到结果．【解答】解：（Ⅰ）连结A′B交AB′于点E，连结D′E，∵四边形A′ABB′为矩形，∴E为A′B的中点，又∵D′是棱A′C′的中点∴D′E∥BC′∵D′E⊂平面AB′D′BC′⊄平面AB′D′∴BC′∥平面AB′D′…（Ⅱ）作A′M⊥AD′，交CC′于M∵D′是棱A′C′的中点∴B′D′⊥A′C′∴B′D′⊥平面A′ACC′∴B′D′⊥A′M∴A′M⊥平面AB′D′此时△A′AD∽△C′A′M∴，即，∴即当时，A′M⊥平面AB′D′．…20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点（1，），且离心率e=．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点，求k的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由离心率得到a，c，b的关系，进一步把椭圆方程用含有c的代数式表示，再结合点（1，）在椭圆上求得c，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设出M，N的坐标，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于0得到m2＜4k2+3，再结合根与系数关系得到MN中点P的坐标为（﹣，），求出MN的垂直平分线l′方程，由P在l′上，得到4k2+8km+3=0．结合m2＜4k2+3求得k的取值范围【解答】解：（Ⅰ）由题意椭圆的离心率e=．∴=得a=2c，∴b2=a2﹣c2=3c2，∴椭圆方程为=1，又点（1，）在椭圆上∴=1，∴c2=1，∴椭圆的方程为+=1；（Ⅱ）设设M（x1，y1），N（x2，y2），由，消去y并整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．∵直线y=kx+m与椭圆有两个交点，∴△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，即m2＜4k2+3，又x1+x2=﹣，∴MN中点P的坐标为（﹣，），设MN的垂直平分线l'方程：∵p在l′上即4k2+5km+3=0，，将上式代入得，∴，即∴k的取值范围为．21．已知函数f（x）=lnx﹣mx（m∈R）．（1）若曲线y=f（x）过点P（1，﹣1），求曲线y=f（x）在点P的切线方程；（2）若f（x）≤0恒成立求m的取值范围；（3）求函数f（x）在区间[1，e]上最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）由f（x）过点P（1，﹣1）可得﹣1=ln1﹣m，从而解出m=1，进而求曲线y=f （x）在点P的切线方程；（2）原式可化为lnx﹣mx≤0恒成立，结合x＞0可化为恒成立，从而化为求的最大值，利用导数求最值；（3）由讨论，m的取值，以确定函数函数f（x）在区间[1，e]上的单调性，从而求函数在区间[1，e]上的最大值．【解答】解：（1）∵f（x）过点P（1，﹣1），∴﹣1=ln1﹣m，∴m=1，∴f（x）=lnx﹣x，，f'（1）=0，∴过点P（1，﹣1）的切线方程为y=﹣1．（2）∵f（x）≤0恒成立，即lnx﹣mx≤0恒成立，∴mx≥lnx，又∵f（x）定义域为（0，+∞），∴恒成立；设，∵，∴当x=e时，g'（e）=0当0＜x＜e时，g'（x）＞0，g（x）为单调增函数，当x＞e时，g'（x）＜0，g（x）为单调减函数，∴，∴当时，f（x）≤0恒成立．（3）∵，①当m ≤0时，f'（x ）＞0，∴f （x ）在（0，+∞）为单增函数，∵在x ∈[1，e ]上，f （x ）max =f （e ）=1﹣me ；②当，即时，当时，f'（x ）＞0，f （x ）为单增函数，当时，f'（x ）＜0，f （x ）为单减函数，∴x ∈[1，e ]上，；③当m ＞1时，即在为单减函数，∴x ∈[1，e ]上，f （x ）max =f （1）=﹣m ；④当，即时，f （x ）在为单增函数，∴x ∈[1，e ]时，f （x ）max =f （e ）=1﹣me ； 综上所述，当时，f （x ）max =f （e ）=1﹣me ，当时，当m ＞1时，f （x ）max =f （1）=﹣m ．请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-1几何证明选讲]22．如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为B ，直线ADE ，CFD ，CGE 都是⊙O 的割线，已知AC=AB ．（1）求证：FG ∥AC ；（2）若CG=1，CD=4．求的值．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．【分析】（1）由切割线定理得AB2=AD•AE，从而AD•AE=AC2，进而△ADC∽△ACE，由此能证明FG∥AC．（2）由题意可得：G，E，D，F四点共圆，从而△CGF∽△CDE，由此能求出．【解答】（1）证明：∵AB为切线，AC为割线，∴AB2=AD•AE，又∵AC=AB，∴AD•AE=AC2．∴，又∵∠EAC=∠DAC，∴△ADC∽△ACE，∴∠ADC=∠ACE，又∵∠ADC=∠EGF，∴∠EGF=∠ACE，∴FG∥AC．（2）解：由题意可得：G，E，D，F四点共圆，∴∠CGF=∠CDE，∠CFG=∠CED．∴△CGF∽△CDE，∴=．又∵CG=1，CD=4，∴=4．[选修4-4坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x中正半轴为极轴建立坐标系，直线l的极坐标方程为，圆C的参数方程为为参数，r＞0）（1）求直线l的普通方程以及圆心C的坐标；（2）当r为何值时，圆C上的点到直线l的最大距离为3．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用极坐标方程与直角坐标方程互化方法得到直线l的普通方程，利用圆的参数方程得当圆心C的坐标；（2）圆心（﹣，）到直线的距离d==，利用圆C上的点到直线l的最大距离为3，求r．【解答】解：（1）直线l的极坐标方程为，可得ρ（cosθ+sinθ）=1，∴x+y﹣1=0；由为参数，r＞0），可得圆心（﹣，），极坐标为（1，）；（2）圆心（﹣，）到直线的距离d==，∵圆C上的点到直线l的最大距离为3．∴+r=3，∴r=2﹣．[选修4-5不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣a|，a＜0．（Ⅰ）证明f（x）+f（﹣）≥2；（Ⅱ）若不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；其他不等式的解法．【分析】（Ⅰ）运用绝对值不等式的性质和基本不等式，即可得证；（Ⅱ）通过对x的范围的分类讨论去掉绝对值符号，转化为一次不等式，求得（f（x）+f（2x））min即可．【解答】（Ⅰ）证明：函数f（x）=|x﹣a|，a＜0，则f（x）+f（﹣）=|x﹣a|+|﹣﹣a|=|x﹣a|+|+a|≥|（x﹣a）+（+a）|=|x+|=|x|+≥2=2．（Ⅱ）解：f（x）+f（2x）=|x﹣a|+|2x﹣a|，a＜0．当x≤a时，f（x）=a﹣x+a﹣2x=2a﹣3x，则f（x）≥﹣a；当a＜x＜时，f（x）=x﹣a+a﹣2x=﹣x，则﹣＜f（x）＜﹣a；当x时，f（x）=x﹣a+2x﹣a=3x﹣2a，则f（x）≥﹣．则f（x）的值域为[﹣，+∞），不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，即为＞﹣，解得，a＞﹣1，由于a＜0，则a的取值范围是（﹣1，0）．2016年12月6日。
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湖南长郡中学2018届高三数学上学期第五次月考试卷（文科附答案）
炎德英才大联考长郡中学2018届高三月考试卷（五）
数学（文科）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．每题给出的四个选项中只有一项是符合要求的．）1．已知为实数集，集合，则（）
A．B．C．D．
2．若的平均数为3，标准差为4，且，，则新数据的平均数和标准差分别为（）
A．-912B．-936C．336D．-312
3．已知直角梯形中，，，，，，点在梯形内，那么为钝角的概率为（）
A．B．C．D．
4．已知复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数（）A．1B．-1C．2D．-2
5．已知圆上有且只有两个点到直线的距离等于1，则半径的范围是（）
A．B．C．D．
6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是
（）
A．B．C．D．5
7．变量满足约束条件，则目标函数的取值范围是（）A．B．C．D．
8．函数的大致图象是（）
A．B．C．D．
9．已知定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是（）
A．B．C．D．
10．执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A．B．C．0D．
11．在中，角的对边分别为，且，则角的最大值是（）A．B．C．D．
12．设点，，点在双曲线上，则使的面积为3的点的个
数为（）
A．4B．3C．2D．1
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）13．已知，，则与的夹角的余弦值为．
14．是长、宽、高分别为12，3，4的长方体外接球表面上一动点，则到长方体各个面所在平面的距离的最大值是．
15．设函数的定义域为，如果，，使（为常数）成立，则称函数在上的均值为．给出下列四个函数：①；②；③；
④．则其中满足在其定义域上均值为2的函数是．
16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过且与轴垂直的
直线交椭圆于、两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为．
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．已知函数的图象过点，且点在函数的图象上．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，若数列的前项和为，求证：．
18．如图，已知是直角梯形，，，，，平面．
（Ⅰ）上是否存在点使平面，若存在，指出的位置并证明，若不存在，请说明理由；（Ⅱ）证明：；
（Ⅲ）若，求点到平面的距离．
19．博鳌亚洲论坛2015年会员大会于3月27日在海南博鳌举办，大会组织者对招募的100名服务志愿者培训后，组织一次知识竞赛，将所得成绩制成如下频率分布直方
图（假定每个分数段内的成绩均匀分布），组织者计划对成绩前20名的参赛者进行奖励．
（Ⅰ）试求受奖励的分数线；
（Ⅱ）从受奖励的20人中利用分层抽样抽取5人，再从
抽取的5人中随机抽取2人在主会场服务，试求2人成绩都在90分以上（含90分）的概率．
20．已知为坐标原点，，是椭圆上的点，且，设动点满足．
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）若直线与曲线交于两点，求三角形面积的最大值．21．已知函数．
（Ⅰ）若为的极值点，求的值；
（Ⅱ）若在单调递增，求的取值范围．
（Ⅲ）当时，方程有实数根，求的最大值．
请考生在（22）～（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆，圆．
（Ⅰ）在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆的极坐标方程，并求出圆的交点坐标（用极坐标表示）；
（Ⅱ）求出与的公共弦的参数方程．
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数，
（Ⅰ）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；（Ⅱ）若关于的一次二次方程有实根，求实数的取值范围．
试卷答案
一、选择题
1-5:ADABA6-10:BDBDA11、12：AA
二、填空题
13．14．15．③16．
三、解答题
17．【解析】（Ⅰ）∵函数的图象过点，∴，．
又点在函数的图象上，
从而，
即．
（Ⅱ）证明：由，，得，
，
则，
两式相减得：，
∴，
∴，
∵，∴．
18．【解析】证明：当为中点时满足题意（Ⅰ）取的中点为，连结．
∵，，
∴，且，
∴四边形是平行四边形，即．
∵平面，
∴平面．
∵分别是的中点，∴，∵平面，
∴平面．
∵，
∴平面平面．
∵平面，
∴平面．
（Ⅱ）由已知易得，．∵，
∴，即．
又∵平面，平面，
∴．
∵，
∴平面
∵平面，
∴．
（Ⅲ）由已知得，所以．又，则，由得，
∵，
∴到平面的距离为．
19．【解析】（Ⅰ）由频率分布直方图知，竞赛成绩在分的人数为，竞赛成绩在的人数为，故受奖励分数线在之间，设受奖励分数线为，则，解得，故受奖励分数线为86．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，受奖励的20人中，分数在的人数为8，分数在的人数为12，利用分层抽样，可知分数在的抽取2人，分数在的抽取3人，设分数在的2人分别为，分数在的3人分别为，所有的可能情况有，，，，，，，，，，满足条件的情况有，，，所求的概率为．
20．【解析】（Ⅰ）设点，，，
则由，得，
即，，因为点在椭圆上，
所以，，
故
，
因为，
所以动点的轨迹的方程为．
（Ⅱ）将曲线与直线联立：，消得：，
∵直线与曲线交于两点，设，，
∴，又∵，得，
，，
∴，
∵点到直线的距离，
∴
，当时等号成立，满足（*）
∴三角形面积的最大值为．21．【解析】（Ⅰ），求导，，
由为的极值点，则，即，解得：，当时，，
从而为函数的极值点，成立，
∴的值为0；
（Ⅱ）在单调递增，则，
则在区间上恒成立，
①当时，在区间上恒成立，
∴在区间上单调递增，故符合题意；
②当时，由的定义域可知：，
若，则不满足条件在区间上恒成立，则，
则，对区间上恒成立，
令，其对称轴为，
由，则，
从而在区间上恒成立，
只需要即可，
由，解得：，
由，则，
综上所述，的取值范围为；
（Ⅲ）当时，方程，转化成，
即，令，
则在上有解，
令，，
求导，
当时，，故在上单调递增；
当时，，故在上单调递减；
在上的最大值为，
此时，，
当时，方程有实数根，则的最大值为0．22．【解析】（Ⅰ）由，，
得圆的极坐标方程为，
圆，即的极坐标方程为，
解，得：，，
故圆的交点坐标为，．
注：极坐标系下，点的表示不唯一．（Ⅱ）由，得圆的交点的直角坐标，，
故的公共弦的参数方程为，．23．【解析】（Ⅰ）因为，所以，即，
所以实数的取值范围为；（Ⅱ），
即，
所以不等式等价于
或或，
所以，或，或，
所以实数的取值范围是．。