高中数学第一章三角函数123三角函数的诱导公式2课时训练含解析苏教版必修40630130

1．2.3 三角函数的诱导公式(二)
课时目标
1．借助单位圆及三角函数定义理解公式五、公式六的推导过程.2.运用公式五、公式六进行有关计算与证明．
1．诱导公式五～六
(1)公式五：sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－α＝________； cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－α＝________. 以－α替代公式五中的α，可得公式六．
(2)公式六：sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋α＝________； cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋α＝________. 2．诱导公式五～六的记忆π2－α，π
2
＋α的三角函数值，等于α的________三角函
数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的________，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．
一、填空题
1．已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为______．
2．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，则cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋7π12＝________. 3．若sin(3π＋α)＝－12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫72π－α＝________. 4．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋α的值等于________． 5．若sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为________．
6．代数式sin 2(A ＋15°)＋sin 2
(A －45°)的化简结果是________．
7．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝32
，且|φ|＜π2，则tan φ＝______.
8．已知cos(75°＋α)＝1
3
，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是________．
9．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 288°＋sin 2
89°＝________. 10．已知tan(3π＋α)＝2，则
sin α－3π ＋cos π－α ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－2cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋α－sin －α ＋cos π＋α
＝________.
二、解答题
11．求证：tan 2π－α sin －2π－α cos 6π－α
sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝－tan α.
12．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－α²cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π2－α＝60
169
，且π4<α<π2，求sin α与cos α的
值．
能力提升
13．化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －14π－α＋cos ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫4k ＋14π－α (k ∈Z )．
14．是否存在角α，β，α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式⎩⎪⎨
⎪⎧
sin 3π－α ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β3cos －α ＝－2cos π＋β
同时成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．
1．2.3 三角函数的诱导公式(二)
知识梳理
1．(1)cos α sin α (2)cos α －sin α 2．异名 符号 作业设计
1．－12
解析 f (cos 10°)＝f (sin 80°)＝cos 240°
＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－1
2
.
2．－13
解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π12 ＝－sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－13.
3．－12
解析 ∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－12，∴sin α＝1
2
.
∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝－cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－α ＝－sin α＝－1
2
.
4．－13
解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4
＋α
＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13. 5．－3m 2
解析 ∵sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋α ＝－sin α－sin α＝－m ，
∴sin α＝m 2.cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α) ＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－3
2
m .
6．1
解析 原式＝sin 2(A ＋45°)＋sin 2
(45°－A )
＝sin 2(A ＋45°)＋cos 2
(A ＋45°)＝1. 7．－ 3
解析 由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－sin φ＝32， 得sin φ＝－
3
2
， 又∵|φ|<π2，∴φ＝－π
3，∴tan φ＝－ 3.
8．－23
解析 sin(α－15°)＋cos(105°－α)
＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)] ＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α) ＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)
＝－2cos(75°＋α)＝－2
3
.
9.892
解析 原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 2
46°)
＋sin 2
45°＝44＋12＝892
.
10．2
解析 原式＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝2
2－1
＝2.
11．证明 左边
＝tan －α ²sin －α ²cos －α sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α²cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α
＝ －tan α ² －sin α ²cos αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α
＝sin 2α
－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α
＝sin 2α－cos α²sin α＝－sin α
cos α＝－tan α＝右边． ∴原等式成立．
12．解 sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2－α＝－cos α， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π2－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2＋α＝－sin α. ∴sin α²cos α＝60169，即2sin α²cos α＝120
169
.①
又∵sin 2α＋cos 2
α＝1，②
①＋②得(sin α＋cos α)2
＝289169，
②－①得(sin α－cos α)2
＝49169
，
又∵α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4，π2，∴sin α>cos α>0， 即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，
∴sin α＋cos α＝17
13，③
sin α－cos α＝7
13，④
③＋④得sin α＝1213，③－④得cos α＝5
13.
13．解 原式＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤k π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α. 当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1 (n ∈Z )，则
原式＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2n ＋1 π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2n ＋1 π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4
＋α
＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋α＝0； 当k 为偶数时，设k ＝2n (n ∈Z )，则
原式＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－α ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4
＋α
＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋α＝0. 综上所述，原式＝0.
14．解 由条件，得⎩⎨
⎧
sin α＝2sin β， ①
3cos α＝2cos β. ②
①2
＋②2
，得sin 2
α＋3cos 2
α＝2，③
又因为sin 2α＋cos 2
α＝1，④
由③④得sin 2
α＝12，即sin α＝±22
，
因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以α＝π4或α＝－π4. 当α＝π4时，代入②得cos β＝3
2，又β∈(0，π)，
所以β＝π
6，代入①可知符合．
当α＝－π4时，代入②得cos β＝3
2，又β∈(0，π)，
所以β＝π
6
，代入①可知不符合．
综上所述，存在α＝π4，β＝π
6
满足条件．。