高三数学月考文科数学试题及答案
2024-2025学年江西省南昌市十中高三上学期第一次月考数学试题及答案
南昌十中2024- 2025学年上学期第一次月考高三数学试题一、单选题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.1. 已知集合4,1P x y y x ⎧⎫==∈⎨⎬+⎩⎭N ， {}14Q x x =-≤≤，则P Q = （ ）A. {}1,2,4 B. {}0,1,3 C. {}03x x ≤≤ D. {}14x x -≤≤2. 若复数z 满足(1i)i z a +=-(其中i 是虚数单位，R a ∈)，则“||1z =”是“1a =”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 若向量()()1,2,1,2a b m =-=+，且()a b a +⊥ ，则m =（ ）A. −8 B. 8 C. −2 D. 24. 某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不受影响.若该同学在笔试中结果为优秀的概率为34，在实验操作中结果为优秀的概率为23，则该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为（ ）A.712B.12C.512D.135. 函数()y f x =的图象如图①所示，则如图②所示的函数图象所对应的函数解析式可能为（ ）A. 112y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B. 112y f x ⎛⎫=--⎪⎝⎭C. ()42y f x =-D. ()42y f x =--6. 冰箱空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧量Q 呈指数函数型变化．当氟化物排放量维持在某种水平时，臭氧量满足关系式0.00250etQ Q -=⋅，其中0Q是臭氧的初始量，e 是自然对数的底数，t 是时间，以年为单位．若按照关系式0.00250e tQ Q -=⋅推算，经过0t 年臭氧量还保留初始量的四分之一，则0t 的值约为（ln 20.693≈）（ ）A. 584年B. 574年C. 564年D. 554年7. 已知数列{a n }满足24a =，对m ∀，*n ∈N ，都有m n m n a a a +=⋅，n T 为数列{a n }的前n 项乘积，若54T T <，则101T =（ ）A. 51512- B. 50502 C. 1012- D. 515128. 已知函数()22e 1xf x =-+，若不等式()12ln 2f ax f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭对()0,x ∀∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. (20,e ⎤⎦ B. (2,e ⎤-∞⎦C. 20,e⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、多选题：9. 已知变量x ，y 之间的线性回归方程为 0.710.3y x =-+，且变量x ，y 之间的一组相关数据如表所示，则下列说法正确的是（ ）A. 变量x ，y 之间呈现负相关关系B. 4m =C. 可以预测，当11x =时，y 约为2.6D. 由表格数据知，该回归直线必过点()9,410. 记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin 5sin ,1a B c A A bc b c +==++，ABC V 的面积为，则ABC V 的周长可能为（ ）A. 8B. 5+C. 9D. 5+11. 在圆锥PO 中，PO 为高，AB ，母线长为2，点C 为PA 的中点，圆锥底面上点M 在以AO 为直径的圆上（不含A O ､两点），点H 在PM 上，且PA OH ⊥，当点M 运动时，则（ ）A. 三棱锥M PAO -的外接球体积为定值B. 直线CH 与直线PA 不可能垂直C. 直线OA 与平面PAM 所成的角可能为60oD. 2AH HO +<三、填空题：12. 已知随机变量()2~2,3N ξ，若()()321P a P a ξξ<-=>+，则实数a 的值为________．13. 圆22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为______．14. 对于任意的,x y ∈R ，函数()f x 满足()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，函数()g x 满足()()()g x y g x g y +=.若()21f =-，()38g =，则()()2024g f =______.四、解答题：15. 在ABC V 中，角A ，B ，C a ，b ，c .已知sin cos 0b A a B -=.（1）求角B 的大小；（2）若c =，求tan A 的值.16. 某工厂生产一种零件，该零件的质量分为三种等级：一等品、二等品和次品.根据历史数据，该工厂生产一等品、二等品和次品的概率分别为0.7，0.2和0.1.现对一批刚生产出来的零件进行质量检测，检测方式分为两种：自动检测和人工抽检，自动检测能将一等品全部正确识别，但有5%的概率将二等品误判为次品，有15%的概率将二等品误判为一等品，也有10%的概率将次品误判为二等品.（1）求在自动检测下，一个被判断为次品的零件实际上就是次品的概率（2）假设零件先经过自动检测，若判断为一等品，则进行人工抽检；若判断为二等品或次品，则直接淘汰.求人工抽检一个零件，该零件恰好是一等品概率.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，122,P AD D PC CB BA AD CB =====∥，90CPD ABC ∠∠==︒，平面PCD ⊥平面,ABCD E 为PD中点．的（1）求证：PD ⊥平面PCA ；（2）点Q 在棱PA 上，CQ 与平面PDC，求平面PCD 与平面CDQ 夹角的余弦值．18. 已知点P 为圆 ():2²²4C x y -+=上任意一点， ()2,0,A -线段PA 垂直平分线交直线PC 于点M ，设点M 的轨迹为曲线H .（1）求曲线H 的方程;（2）若过点M 的直线l 与曲线H 的两条渐近线交于S ，T 两点，且M 为线段ST 的中点.(i)证明：直线l 与曲线H 有且仅有一个交点；(ii).19. 给出以下三个材料：①若函数()f x 可导，我们通常把导函数()f x '导数叫做()f x 的二阶导数，记作()f x ''.类似的，函数()f x 的二阶导数的导数叫做函数()f x 的三阶导数，记作()f x '''，函数()f x 的三阶导数的导数叫做函数()f x 的四阶导数……，一般地，函数()f x 的1n -阶导数的导数叫做函数()f x 的n 阶导数，记作()()()'1n n fx f x -⎡⎤=⎣⎦，4n ≥；②若*N n ∈，定义!(1)(2)321n n n n =⨯-⨯-⨯⨯⨯⨯ ；③若函数()f x 在包含0x 的某个开区间(,)a b 上具有任意阶的导数，那么对于任意(),x a b ∈有()()()()()()()()20000000()1!2!!n nf x f x f xg x f x x x x x x x n =+-+-++-+''' ，我们将()g x 称为函数()f x 在点0x x =处的泰勒展开式.例如1()e xf x =在点0x =处的泰勒展开式为2111()12!n g x x x x n =+++++ 根据以上三段材料，完成下面题目：的的的（1）求出()cos f x x =在点0x =处的泰勒展开式()g x ；（2）用()cos f x x =在点0x =处泰勒展开式前三项计算cos 0.3的值，精确到小数点后4位；（3）现已知sin 111111ππ2π2πππx x x x x x x x n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，试求211n n ∞=∑的值.的南昌十中2024- 2025学年上学期第一次月考高三数学试题一、单选题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.1. 已知集合4,1P x y y x ⎧⎫==∈⎨⎬+⎩⎭N ， {}14Q x x =-≤≤，则P Q = （ ）A. {}1,2,4 B. {}0,1,3 C. {}03x x ≤≤ D. {}14x x -≤≤【答案】B 【解析】【分析】根据集合P ，知11x +=或2或4，从而得{}0,1,3P =，再结合集合的交集运算性质运算即可.【详解】由4,1P x y y x ⎧⎫==∈⎨⎬+⎩⎭N ，得11x +=或2或4，故{}0,1,3P =.因为{}14Q x x =-≤≤，所以P Q = {}0,1,3.故选：B.2. 若复数z 满足(1i)i z a +=-(其中i 是虚数单位，R a ∈)，则“||1z =”是“1a =”的（ ）A 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由复数的运算结合模长公式求出a ，再由充分必要条件定义判断.【详解】由(1i)i z a +=-得，i (i)(1i)11i,||11i (1i)(1i)22a a a a z z ----+===-=++-2211122a a -+⎛⎫⎛⎫∴+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1a =或1a =-.故“||1z =”是“1a =”的必要不充分条件.故选：B3. 若向量()()1,2,1,2a b m =-=+，且()a b a +⊥ ，则m =（ ）A. −8B. 8C. −2D. 2【答案】B.【解析】【分析】运用向量的坐标运算，结合垂直的坐标结论计算即可.【详解】由题意得(),4a b m +=.因为()a b a +⊥ ，所以()80a b a m +⋅=-+=，即8m =.故选：B.4. 某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不受影响.若该同学在笔试中结果为优秀的概率为34，在实验操作中结果为优秀的概率为23，则该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为（ ）A.712B.12C.512D.13【答案】C 【解析】【分析】根据独立事件的概率公式与互斥事件的概率加法公式可求概率.【详解】根据题意可得该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为：12315434312⨯+⨯=．故选：C .5. 函数()y f x =的图象如图①所示，则如图②所示的函数图象所对应的函数解析式可能为（ ）A. 112y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B. 112y f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭C. ()42y f x =-D. ()42y f x =--【答案】A 【解析】【分析】根据给定的函数图象，由(1)0f =推理排除CD ；由①中函数当1x >时，()0f x >分析判断得解.【详解】由图①知，(1)0f =，且当1x >时，()0f x >，由②知，图象过点(0,0)，且当0x <时，0y >，对于C ，当0x =时，(4)0y f =>，C 不可能；对于D ，当0x =时，(4)0y f =-<，D 不可能；对于A ，当0x =时，(1)0y f ==，而当0x <时，1112x ->，则1(1)02f x ->，A 可能；对于B ，当0x =时，(1)0y f =-=，而当0x <时，1112x ->，则1(1)02f x --<，B 不可能.故选：A6. 冰箱空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧量Q 呈指数函数型变化．当氟化物排放量维持在某种水平时，臭氧量满足关系式0.00250etQ Q -=⋅，其中0Q 是臭氧的初始量，e 是自然对数的底数，t 是时间，以年为单位．若按照关系式0.00250e tQ Q -=⋅推算，经过0t 年臭氧量还保留初始量的四分之一，则0t 的值约为（ln 20.693≈）（ ）A. 584年 B. 574年 C. 564年 D. 554年【答案】D 【解析】【分析】根据题意列出方程，指对数互化求解即可．【详解】由题意知，00.0025001e 4t Q Q Q -=⋅=，则00.00251e4t -=，解得()01400ln 4002ln 25544t =-=--≈年.故选：D ．7. 已知数列{a n }满足24a =，对m ∀，*n ∈N ，都有m n m n a a a +=⋅，n T 为数列{a n }的前n 项乘积，若54T T <，则101T =（ ）A. 51512- B. 50502 C. 1012- D. 51512【答案】A 【解析】【分析】依题意，先令1m =，可得11n na a a +=，再令1m n ==，结合54T T <，可得12a =-，进而判断出数列{a n }是以首项为12a =-，公比为2q =-等比数列，最后结合等比数列的通项公式即可求值.【详解】因为对m ∀，*n ∈N ，都有m n m n a a a +=⋅，的所以令1m =，有11n n a a a +=⋅，则有11n na a a +=，令1m n ==，有22111a a a a ==⋅，又因为24a =，所以12a =±，因为()()()6351234512212222114T a a a a a a a a a a a a a a a =⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅，()()424123412212214T a a a a a a a a a a a =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅，且54T T <，所以63421144a a ⋅<⋅，即1214a <，所以12a =-，则112n na a a +==-，所以数列{a n }是以首项为12a =-，公比为2q =-的等比数列，所以()()()210010112310010112310111111T a a a a a a q a qa q aq +++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅()()()110010010151512222+⨯=-⨯-=-，故选：A.8. 已知函数()22e 1xf x =-+，若不等式()12ln 2f ax f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭对()0,x ∀∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. (20,e ⎤⎦ B. (2,e ⎤-∞⎦C. 20,e⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】根据函数的性质()()2f x f x =--，原不等式可转化为()()2ln f ax f x ≥，利用函数单调性去掉“f ”，分离参数求最值即可.【详解】因为()()e 22e e 2222241111e exx x x xf x f x -+-=-+-=--=++++.则()()2f x f x =--．所以()()()22ln 2ln f ax f x f x ≥--=，易知()22e 1x f x =-+在R 上单调递增，所以有2ln ax x ≥，对()0,x ∀∈+∞恒成立，即ln 2a xx≥，设()ln xh x x=， 则()21ln xh x x-'=，则当()0,e x ∈时，()'0h x >，()h x 单调递增，当()e,x ∈+∞时，()'0h x <，()h x 单调递减，则()()1h x h e e≤=，所以有2e a ≥，即2,e a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭．故选：D二、多选题：9. 已知变量x ，y 之间的线性回归方程为 0.710.3y x =-+，且变量x ，y 之间的一组相关数据如表所示，则下列说法正确的是（ ）A. 变量x ，y 之间呈现负相关关系B. 4m =C. 可以预测，当11x =时，y 约为2.6 D. 由表格数据知，该回归直线必过点()9,4【答案】ACD 【解析】【分析】根据回归直线斜率知A 正确；利用回归直线必过样本中心点可构造方程求得m ，可知B 错误，D 正确；将11x =代入回归直线知C 正确.【详解】对于A ，由 0.710.3y x =-+，得0.7b=- ，故,x y 呈负相关关系，故A 正确；对于B ，68101294x +++==，6321144m m y ++++==，110.7910.34m +∴=-⨯+，解得5m =，故B 错误；对于C ，当11x =时，0.71110.3 2.6y =-⨯+=，故C 正确；对于D ，由5m =得4y =，回归直线必过点()x y ，即必过点()9,4，故D 正确.故选：ACD10. 记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin 5sin ,1a B c A A bc b c +==++，ABC V 的面积为，则ABC V 的周长可能为（ ）A. 8B. 5+C. 9D. 5+【答案】AB 【解析】【分析】由正弦定理得5b c +=，由三角形面积公式得sin A =，进而得出1cos 3A =±，再根据余弦定理求得3a =，即可求解．【详解】由正弦定理得5ab ac a +=，得5b c +=，则16bc b c =++=，由1sin 2ABC S bc A ==，得sin A =，所以1cos 3A ==±，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得22()22cos 9a b c bc bc A =+--=或17，所以3a =，所以ABC V 的周长为8或5+故选：AB ．11. 在圆锥PO 中，PO 为高，AB，母线长为2，点C 为PA 的中点，圆锥底面上点M 在以AO 为直径的圆上（不含A O ､两点），点H 在PM 上，且PA OH ⊥，当点M 运动时，则（ ）A. 三棱锥M PAO -的外接球体积为定值B. 直线CH 与直线PA 不可能垂直.C. 直线OA 与平面PAM 所成的角可能为60o D 2AH HO +<【答案】AD 【解析】【分析】由条件结合线面垂直判定定理证明AM ⊥平面POM ，由此证明AM PM ⊥，再证明点C 为三棱锥M PAO -的外接球球心，判断A ，证明PA ⊥平面OHC ，由此证明PA CH ⊥，判断B ；证明OH ⊥平面PAM ，由此可得OAH ∠为直线OA 与平面PAM 所成的角，解三角形求其正弦，判断C ，证明OH AH ⊥，解三角形求AH HO +，结合基本不等式求其范围，判断D.【详解】连接,,,,,OM AM AH OC CM CH ，对于A ，易知⊥PO 平面AMB ，AM ⊂平面AMB ，所以AM PO ⊥，因为点M 在以AO 为直径的圆上（不含A 、O ），所以AM OM ⊥，OM PO O = ，OM ⊂平面POM ，PO ⊂平面POM ，所以AM ⊥平面POM ，又PM ⊂平面POM ，所以AM PM ⊥，又PO AO ⊥，C 为PA 的中点，2PA =，所以1CO CA CP CM ====，所以点C 为三棱锥M PAO -的外接球的球心，所以三棱锥M PAO -的外接球的半径为r =1，所以三棱锥M PAO -的外接球体积为定值，A 正确；由已知，PO AO ⊥，2PA =，AO =，所以PO AO ===，所以POA 为等腰直角三角形，连接OC ，又C 为PA 的中点，故PA OC ⊥，又PA OH ⊥，OH OC O ⋂=，OH ⊂平面OHC ，OC ⊂平面OHC ，则PA ⊥平面OHC ，又CH ⊂平面OHC ，所以PA CH ⊥，故B 错误；因为AM ⊥平面POM ，又OH ⊂平面POM ，所以AM OH ⊥，又PA OH ⊥，PA AM A = ，AM ⊂平面PAM ，PA ⊂平面PAM ，则OH ⊥平面PAM ，所以OA 在平面PAM 上的射影为AH ，所以OAH ∠为直线OA 与平面PAM 所成的角，设OMx =，则PM =OH PM OM PO ⋅=⋅，.所以OH =所以sin OH OAH OA ∠==，令60OAH ∠==，解得x =，即OM =OM OA <矛盾，C 错误；对于D 中，因为OH ⊥平面PAM ，AH ⊂平面PAM ，所以OH AH ⊥，又OH =，OA =所以AH ==，所以AH HO +==，0x <由基本不等式可得2222x +<x +<，所以2AH HO +<，D 正确. 故选：AD【点睛】关键点点睛：解决多面体的外接球问题的关键在于由条件确定其外接球的球心的位置，由此确定外接球的半径.三、填空题：12. 已知随机变量()2~2,3N ξ，若()()321P a P a ξξ<-=>+，则实数a 的值为________．【答案】2【解析】【分析】根据正态分布的对称性求解.【详解】由题意得，32122a a -++=⨯，解得2a =．故答案为：213. 圆22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为______．【答案】45##0.8【解析】【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A 及AF 的方程，从而可求原点到直线AF 的距离.【详解】圆22(1)25-+=x y 的圆心为()10F ,，故12p=即2p =，由()2221254x y y x⎧-+=⎪⎨=⎪⎩可得22240x x +-=，故4x =或6x =-（舍），故()4,4A ±，故直线()4:13AF y x =±-即4340x y --=或4340x y +-=，故原点到直线AF 的距离为4455d ==，故答案为：4514. 对于任意的,x y ∈R ，函数()f x 满足()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，函数()g x 满足()()()g x y g x g y +=.若()21f -，()38g =，则()()2024g f =______.【答案】2【解析】【分析】利用赋值法先判定()f x 的周期性，化()()()()20240g f g f =，再利用赋值法计算即可.【详解】令0y =，得()()()220f x f f x =，则()01f =或()0f x =（与()21f =-矛盾舍去）.令1x y ==，得()()()220210f f f +==⎡⎤⎣⎦，则()10f =，则()()110f x f x ++-=，则()()4f x f x +=，则()()202401f f ==.又因为()()()g x y g x g y +=，所以()()()()332118g g g g ⎡⎤===⎣⎦，则()12g =，从而()()()202412g f g ==.故答案为：2【点睛】思路点睛：抽象函数的性质问题通常用赋值法，通过巧妙赋值先判定()f x 的周期性，再利用赋值法计算函数值即可.四、解答题：15. 在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin cos 0b A a B -=.（1）求角B 的大小；（2）若c =，求tan A 的值.【答案】（1）π4B = （2）13【解析】【分析】（1）根据正弦定理，将边化为角，再根据三角函数公式，即可求解；（2）方法一：首先根据正弦定理将边化为角，再根据（1）的结果，转化为关于角A 的三角函数关系式，即可求解；方法二：将边的关系代入余弦定理，得到b =，再代入余弦定理求cos A ，即可求解.【小问1详解】由sin cos 0b A a B -=及正弦定理得，sin sin sin cos 0B A A B -=.因为()0,πA ∈，所以sin 0A ≠，则sin cos 0B B -=，即tan 1B =.因为B ∈(0,π)，所以π4B =.【小问2详解】方法一：由c =和正弦定理，得sin C A =，即3πsin 4A A ⎛⎫-=⎪⎝⎭.A A A+=A A =，则得1tan 3A =.方法二：根据余弦定理得22222222cos 85b a c ac B a a a =+-=+-=，则b =.222cos 02b c a A bc +-===>，则角A 是锐角，故sin A ==，则sin 1tan cos 3A A A ==.16. 某工厂生产一种零件，该零件的质量分为三种等级：一等品、二等品和次品.根据历史数据，该工厂生产一等品、二等品和次品的概率分别为0.7，0.2和0.1.现对一批刚生产出来的零件进行质量检测，检测方式分为两种：自动检测和人工抽检，自动检测能将一等品全部正确识别，但有5%的概率将二等品误判为次品，有15%的概率将二等品误判为一等品，也有10%的概率将次品误判为二等品.（1）求在自动检测下，一个被判断为次品的零件实际上就是次品的概率（2）假设零件先经过自动检测，若判断为一等品，则进行人工抽检；若判断为二等品或次品，则直接淘汰.求人工抽检一个零件，该零件恰好是一等品的概率.【答案】（1）910（2）7073【解析】【分析】（1）先由互斥事件和的概率与条件概率计算()P B ，再由条件概率计算()P A B 即可；（2）根据条件概率公式求解即可.【小问1详解】设事件A 表示“零件是次品”，B 表示“自动检测判断零件为次品”，事件12,A A 分别表示零件是一等品、二等品，则()()()()()()()2211P B P A P B A P A P B A P A P B A =++0.10.90.20.050.700.1=⨯+⨯+⨯=，则()()()0.10.90.1P AB P A B P B ⨯==所以在自动检测下，一个被判断为次品的零件实际上就是次品的概率为910.【小问2详解】设事件C 表示“零件需要进行人工抽检”，D 表示“人工抽检的零件为一等品”()0.70.20.150.73P C =+⨯=，()0.7P CD =，所以人工抽检一个零件，该零件恰好是一等品的概率为()()()0.7700.7373P CD P D C P C ===.17. 如图，在四棱锥P ABCD -中，122,P AD D PC CB BA AD CB =====∥，90CPD ABC ∠∠==︒，平面PCD ⊥平面,ABCD E 为PD 中点．（1）求证：PD ⊥平面PCA ；（2）点Q 在棱PA 上，CQ 与平面PDC ，求平面PCD 与平面CDQ 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）应用面面垂直性质定理证明线面垂直；（2）先应用空间向量法计算线面角得出参数，再计算二面角即可.【小问1详解】由题意：2,90,BC AB ABC AC ==∠=︒∴==，同理CD =，又2224,,AD CD AC AD CD AC =∴+=∴⊥．而CD ==，即PC PD⊥又平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面,ABCD CD AC =⊂平面ABCD ，AC ∴⊥平面,PCD PD ⊂平面,PCD PD AC ∴⊥，又PC PD ⊥，且PC ⊂面,PCA AC ⊂面,,PCA PC AC C PD =∴⊥ 平面PCA ．【小问2详解】以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()0,0,0,,,C A D P，()(,,CD CP PA ∴===，设(01)PQ PA λλ=<<，有)))11CQ CP PA λλλ=+=-- ，取面PCD 的一个法向量()0,1,0m =，则1cos ,2CQ m λ===，故CQ = ．令(),,n x y z = 是平面CDQ 的一个法向量，则0n CD n CQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x z ⎧==令1y =，有()0,1,2n =-，则cos ,n m n m n m ⋅==，故平面PCD 与平面CDQ 18. 已知点P 为圆 ():2²²4C x y -+=上任意一点， ()2,0,A -线段PA 的垂直平分线交直线PC 于点M ，设点M 的轨迹为曲线H .（1）求曲线H 的方程;（2）若过点M 的直线l 与曲线H S ，T 两点，且M 为线段ST 的中点.(i)证明：直线l 与曲线H 有且仅有一个交点；(ii)求 21OS OT+的取值范围.【答案】（1）2213y x -=（2）( i )证明见解析，( ii) )+∞【解析】【分析】(1) 由双曲线的定义进行求解；(2) ( i ) 设001122(,),(,),(,)Mx y S x y T x y ，求出03ST x k y =，由直线l 与曲线H 方程进行求解；（ii）由12220034443OS OT x x x y ⋅===⨯=-，则2124OS OS OT OS +=+利用基本不等式求解．【小问1详解】M 为PA 的垂直平分线上一点, 则MP MA = ，则24MA MC MP MC AC -=-=<=∴点M 的轨迹为以,A C 为焦点的双曲线, 且22,2a c ==，故点M 的轨迹方程为22: 1.3y H x -=【小问2详解】( i ) 设001122(,),(,),(,)Mx y S x y T x y，双曲线的渐近线方程为：y =，如图所示：则11y =①，22y =②，①+②得，)1212y y x x +=- ， ①-②得，)1212y y x x -=+ ，=，得()121212123x x y y x x y y -+=+-由题可知MS MT =，则1201202,2x x x y y y +=+=，得()1200123x x y x y y -=-，即003ST x k y =，∴直线ST 的方程为()00003x y y x x y -=-，即22000033x x y y x y -=-，又∵点M 在曲线H 上，则220033x y =- ，得0033x x y y-=，将方程联立22001333y x x x y y ⎧-=⎪⎨⎪-=⎩，得()222200003630y x x x x y -+--=，得22003630x x x x -+-=，由()()()2200Δ64330x x =-⨯-⨯-=，可知方程有且仅有一个解，得直线l 与曲线H 有且仅有一个交点. （ii ）由（i）联立0033y x x y y ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，可得1x =，同理可得，2x =，则12220034443OS OT x x x y ⋅===⨯=-，故2124OS OS OT OS +=+≥当且仅当24OS OS =，即OS =. 故21OS OT+的取值范围为)+∞．【点睛】关键点点睛：第二问中的第2小问中，先要计算4OS OT ⋅=，再由基本不等式求解范围．19. 给出以下三个材料：①若函数()f x 可导，我们通常把导函数()f x '的导数叫做()f x 的二阶导数，记作()f x ''.类似的，函数()f x 的二阶导数的导数叫做函数()f x 的三阶导数，记作()f x '''，函数()f x 的三阶导数的导数叫做函数()f x 的四阶导数……，一般地，函数()f x 的1n -阶导数的导数叫做函数()f x 的n 阶导数，记作()()()'1n n f x f x -⎡⎤=⎣⎦，4n ≥；②若*N n ∈，定义!(1)(2)321n n n n =⨯-⨯-⨯⨯⨯⨯ ；③若函数()f x 在包含0x 的某个开区间(,)a b 上具有任意阶的导数，那么对于任意(),x a b ∈有()()()()()()()()20000000()1!2!!n nf x f x f xg x f x x x x x x x n =+-+-++-+''' ，我们将()g x 称为函数()f x 在点0x x =处的泰勒展开式.例如1()e x f x =在点0x =处的泰勒展开式为2111()12!n g x x x x n =+++++ 根据以上三段材料，完成下面的题目：（1）求出()cos f x x =在点0x =处的泰勒展开式()g x ；（2）用()cos f x x =在点0x =处的泰勒展开式前三项计算cos 0.3的值，精确到小数点后4位；（3）现已知sin 111111ππ2π2πππx x x x x x x x n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，试求211n n∞=∑值.【答案】（1）2462(1)cos 162!4!(2)!!n nn x x x x x -=-+-+++（2）0.9553（3）2π6【解析】【分析】（1）利用n 阶泰勒展开式的定义，可求()g x ，（2）由（1）可求cos 0.3；（3）由（1）可得3521(1)sin 511!3!(2)!!n n x x x x n x ---=-+-+-++ ，进而可得24sin 15!3!x x x x =-++++ ，结合已知可得结论.【小问1详解】()cos f x x =，()sin f x x '=-，()''cos f x x =-，L ，所以(0)cos01f ==，(0)sin 00f '=-=，()''cos 01f x =-=-，L ，由()()()2201(1)cos 10001!2!!n nx x x x n --=+-+-++-+ 所以2462(1)cos 162!4!(2)!!n nn x x x x x -=-+-+++【小问2详解】由（1）可得2462240.30.30.3(1)0.30.30.3c !12!o (s 0.316!4!2)4!2!n n n -⨯=-+-+++≈-+ 10.0450.00033750.9553=-+=的【小问3详解】因为sin 111111ππ2π2πππx x x x x x x x n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222222111π4ππx x x n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭①，对2462(1)cos 162!4!(2)!!n nn x x x x x -=-+-+++ ，两边求导可得：3521(1)sin 511!3!(2)!!n n x x x x n x ---=-+-+-++ ，所以35121(1)sin 5!1!3!(21)!n n x x x x x n ---=-++-++ ，所以24122sin (1)15!3!(21)!n n n x x x x x ----=-++++ ②，比较①②中2x 的系数，可得：22222)11111(3!π1231n-=-++++ ，所以2222221111π361112n nn ∞==++++=∑ .【点睛】关键点睛：本题考查了导数中的新定义问题，关键是审题时明确n 阶泰勒展开式的具体定义；第三问关键在于用n 阶泰勒展开式表示sin x x .。
2024学年江苏省南通市启东市启东中学高三4月考数学试题文试题
2024学年江苏省南通市启东市启东中学高三4月考数学试题文试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有A ．72种B ．36种C ．24种D ．18种2．已知点()2,0A 、()0,2B -．若点P 在函数y x =的图象上，则使得PAB △的面积为2的点P 的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．已知集合{}{}2340,13A x x x B x x =-->=-≤≤，则R ()A B =( )A ．()1,3-B ．[]1,3-C ．[]1,4-D ．()1,4- 4．设集合{|3}{|02}A x x B x x x =<=，或，则A B ⋂=（ ）A ．()0-∞，B ．()23，C ．()()023-∞⋃，， D ．()3-∞， 5．已知直线22+=mx ny ()0,0m n >>过圆()()22125x y -+-=的圆心，则11m n+的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．已知函数()2tan()(0)f x x ωω=>的图象与直线2y =的相邻交点间的距离为π，若定义{},max ,,a a b a b b a b ⎧=⎨<⎩，则函数()max{()h x f x =，()cos }f x x 在区间3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内的图象是( ) A ． B ．C ．D ．7．已知i 是虚数单位，则复数24(1)i =-（ ） A ．2i B ．2i - C ．2 D ．2- 8．在ABC 中，角、、A B C 的对边分别为,,a b c ，若tan 2sin()a B b B C =+．则角B 的大小为( )A ．π3B ．π6C ．π2 D ．π49．若i 为虚数单位，则复数22sin cos 33z i ππ=-+的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限10．若函数()ln f x x =满足()()f a f b =，且0a b <<，则2244 42a b a b+-+的最小值是（ ） A ．0 B ．1 C ．32 D ．2211．某公园新购进3盆锦紫苏、2盆虞美人、1盆郁金香，6盆盆栽，现将这6盆盆栽摆成一排，要求郁金香不在两边，任两盆锦紫苏不相邻的摆法共（ ）种A ．96B ．120C ．48D ．7212．中国的国旗和国徽上都有五角星，正五角星与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A 、B 、C 、D 、E 为顶点的多边形为正五边形，且512PT AP -=，则512AT ES --=（ ）A 51+B 51+C 51RD - D 51RC - 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
四川省泸州市泸县部分高中2022-2023学年高三上学期12月第三次月考数学(文科)试题(解析版)
泸县2020级高三（上）第三次学月考试数 学（文史类）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3． 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 考试结束后，请将答题卡交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合22{|log (6)},{|15}A x y x x B x x ==+-=<≤，则A B =A ．(,3)(2,)-∞-+∞B ．[1,5]C ．(2,5]D ．(1,5]2．若2i1ix -+是纯虚数，则|i |x += A ．22B ．22-C ．5D ．5-3．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是A ．各月的平均最低气温都在0℃以上B ．七月的平均温差比一月的平均温差大C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同D ．平均最高气温高于20℃的月份有5个4．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是 A ．22=14y x -B ．22=14x y -C ．22=14y x -D ．22=14x y -5．函数2||2x y x e =-在[]–2,2的图象大致为A ．B ．C ．D ．6．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，834S a =，72a =-，则9a =A ．-6B ．-4C ．-2D ．27．若连续抛掷两次质地均匀的骰子，得到的点数分别为m ，n ，则满足2225+<m n 的概率是A ．12 B ．1336 C ．49 D ．5128．已知1sin 22α=，π0,4⎛⎫∈ ⎪⎝⎭α，则sin cos αα-=（ ）A B ． C ．12 D ．12-9．设函数()y f x =，x R ∈，“()y f x =是偶函数”是“()y f x =的图象关于原点对称”A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 10．某种绿茶泡茶的最佳水温为85℃，饮茶的最佳温度为60℃．在标准大气压下，水沸腾的温度为100℃．把水煮沸后，在其冷却的过程中，只需要在最佳温度对应的时间泡茶、饮茶，就能喝到一杯好茶．根据牛顿冷却定律，一个物体温度的变化速度与这一物体的温度和所在介质温度的差值成比例，物体温度()f t 与时间t 的函数关系式为()()()00001tf t C T C a a =+-<<，其中0C 为介质温度，0T 为物体初始温度．为了估计函数中参数a 的值，某试验小组在介质温度024.3C =℃和标准大气压下，收集了一组数据，同时求出对应a0，则泡茶和饮茶的最佳时间分别是（ ）（结果精确到个位数）参考数据：lg0.8020.095≈-，lg0.4720.326≈-，lg91.7 1.962≈．A ．3min ，9min B ．3min ，8min C ．2min ，8min D ．2min ，9min11．ABC 中已知tan tan tan tan tan tan A B C A B C ⋅⋅=++且34A B π+=，则(1tan )(1tan )A B --=A ．-2B ．2C ．-1D ．1 12．已知44354,log 5,log 43x y z ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则x ､y ､z 的大小关系为（ ）A ．y x z >>B ．x y z >>C ．z x y >>D ．x z y >>二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．假定生男孩和生女孩是等可能的，某家庭有两个小孩，如果已经知道这个家庭有女孩，则这个两个小孩都是女孩的概率是__________.14．某学生在研究函数()3f x x x =-时，发现该函数的两条性质：①是奇函数；②单调性是先增后减再增.该学生继续深入研究后发现将该函数乘以一个函数()g x 后得到一个新函数()()()h x g x f x =，此时()h x 除具备上述两条性质之外，还具备另一条性质：③()00h '=.写出一个符合条件的函数解析式()g x =__________.15．陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成，以前的制作材料多为木头，现在多为塑料或铁，玩耍时可用绳子缠绕用力抽绳，使其直立旋转；或利用发条的弹力使其旋转，图中画出的是某陀螺模型的三视图，已知网格纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为______.16．已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则满足()()π5π0312f x f f x f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦的最小正整数x 的值为_______． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必做题：共60分．17．（12分）2022年6月17日，我国第三艘航空母舰“中国人民解放军海军福建舰”下水试航，这是我国完全自主设计建造的首艘弹射型航空母舰，采用平直通长飞行甲板，配置电磁弹射和阻拦装置，满载排水量8万余吨．“福建舰”的建成，下水及试航，是新时代中国强军建设的重要成果．某校为纪念“福建舰”下水试航，增强学生的国防意识，组织了一次国防知识竞赛，共有100名学生参赛，成绩均在区间[]50,100上，现将成绩制成如图所示频率分布直方图（每组均包括左端点，最后一组包括右端点）．(1)学校计划对成绩不低于平均分的参赛学生进行奖励，若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，试求受奖励的分数线的估计值；(2)对这100名参赛学生的成绩按参赛者的性别统计，成绩不低于80分的为“良好”，低于80分的为“不良好”得到如下未填写完整的列联表． （ⅰ）将列联表填写完整；（ⅱ）是否有95%以上的把握认为参赛学生的成绩是否良好与性别有关？ 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．18．（12分）如图，正方形ABCD 和直角梯形BEFC 所在平面互相垂直，,BE BC BE CF ⊥∥，且2,3AB BE CF ===.(1)证明：AE 平面DCF ；良好 不良好 合计 男 48 女 16 合计()2P K k ≥0.050 0.010 0.001k3.841 6.635 10.828(2)求四面体F ACE -的体积.19.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的*n ∈N 有23n n S a n =+-.(1)证明：数列{}1n a -为等比数列； (2)求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和n T .20．（12分）已知椭圆C ：()2222 1x y a b c a b +=>>()2,1P ． (1)求C 的方程；(2)若A ，B 是C 上两点，直线AB 与曲线222x y +=相切，求AB 的取值范围． 21．（12分）已知函数()()ln 1f x x a x x =--- (1)若0a =，求()f x 的极小值 (2)讨论函数()f x '的单调性；(3)当2a =时，证明：()f x 有且只有2个零点.（二）选做题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，点A 是曲线1C ：22(2)4x y -+=上的动点，满足2OB OA =的点B 的轨迹是2C . （1）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩(t 为参数)，点P 的直角坐标是()1,0-，若直线l 与曲线2C 交于M ，N 两点，当线段PM ，MN ，PN 成等比数列时，求cos α的值.23．（10分）选修4-5：不等式选讲已知a ，b ，R c ∈，且2223a b c ++=. (1)求证：3a b c ++≤；(2)若不等式()2121x x a b c -++≥++对一切实数a ，b ，c 恒成立，求x 的取值范围.2023届四川省泸县高三上学期第三学月考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合22{|log (6)},{|15}A x y x x B x x ==+-=<≤，则A B =（ ）A ．(,3)(2,)-∞-+∞B ．[1,5]C ．(2,5]D ．(1,5]【答案】C【分析】利用对数函数的定义域化简集合A ，再根据集合交集的定义求解即可. 【详解】由对数函数的定义域可得2603x x x +->⇒<-或2x >， 所以{|3A x x =<-或2}x >， 所以{|25}A B x x ⋂=<≤， 故选：C. 2．若2i1ix -+是纯虚数，则|i |x +=（ ） A ．22 B ．22-C ．5D ．5-【答案】C【分析】根据复数的除法运算，复数的概念，可得复数，即可求解复数的模.【详解】解：2i(2i)(1i)22i 1i (1i)(1i)22x x xx ----+==-++-，因为2i1ix -+是纯虚数，所以2x =，则22i 2i 215x +=+=+=.故选：C ．3．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是A ．各月的平均最低气温都在0℃以上B ．七月的平均温差比一月的平均温差大C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同D ．平均最高气温高于20℃的月份有5个 【答案】D【详解】试题分析：由图可知各月的平均最低气温都在0℃以上，A 正确；由图可知在七月的平均温差大于7.5C ︒，而一月的平均温差小于7.5C ︒，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在10C ︒，基本相同，C 正确；由图可知平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，所以不正确．故选D ． 【解析】统计图【易错警示】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B ．4．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是 A ．22=14y x -B ．22=14x y -C ．22=14y x -D ．22=14x y -【答案】C【详解】试题分析：焦点在y 轴上的是C 和D ，渐近线方程为ay x b=±，故选C ． 【解析】1．双曲线的标准方程；2．双曲线的简单几何性质．5．函数2||2x y x e =-在[]–2,2的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】试题分析：函数2||()2x f x x e =-|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于y 轴对称， 因为22(2)8e ,08e 1f =-<-<， 所以排除,A B 选项；当[]0,2x ∈时，4x y x e '=-有一零点，设为0x ，当0(0,)x x ∈时，()f x 为减函数， 当0(,2)x x ∈时，()f x 为增函数． 故选：D.6．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，834S a =，72a =-，则9a = A ．-6 B ．-4 C ．-2 D ．2【答案】A【详解】由已知得()11187842,{26 2.a d a d a d ⨯+=++=- 解得110,{2.a d ==-91810826a a d ∴=+=-⨯=-． 故选A ．【解析】等差数列的通项公式和前n 项和公式．7．若连续抛掷两次质地均匀的骰子，得到的点数分别为m ，n ，则满足2225+<m n 的概率是（ ） A ．12 B ．1336 C ．49D ．512【答案】B【分析】利用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得.【详解】解：设连续投掷两次骰子，得到的点数依次为m 、n ，两次抛掷得到的结果可以用(,)m n 表示， 则结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)， (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)， (6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共有36种．其中满足2225+<m n 有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，共13种，所以满足2225+<m n 的概率1336P =． 故选：B8．已知1sin 22α=，π0,4⎛⎫∈ ⎪⎝⎭α，则sin cos αα-=（ ）A ．2B ．2-C ．12D ．12-【答案】B【分析】根据正弦的二倍角公式即可求解. 【详解】1sin22=α11sin212sin co 2s ∴-=-=ααα，即221sin 2sin cos cos 2-+=αααα， ()21sin cos 2∴-=αα， π0,4⎛⎫∈ ⎪⎝⎭α，sin cos ∴<αα，即sin cos 0-<αα，则sin cos -=αα 故选：B9．设函数()y f x =，x R ∈，“()y f x =是偶函数”是“()y f x =的图象关于原点对称” A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】“y ＝f （x ）的图象关于原点对称”，x ∈R ，可得y ＝|f （x ）|是偶函数．反之不成立，例如f （x ）＝x 2．【详解】“y ＝f （x ）的图象关于原点对称”，x ∈R ，可得y ＝|f （x ）|是偶函数． 反之不成立，例如f （x ）＝x 2，满足y ＝|f （x ）|是偶函数，x ∈R ．因此，“y ＝|f （x ）|是偶函数”是“y ＝f （x ）的图象关于原点对称”的必要不充分条件． 故选B ．【点睛】本题考查了函数的奇偶性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 10．某种绿茶泡茶的最佳水温为85℃，饮茶的最佳温度为60℃．在标准大气压下，水沸腾的温度为100℃．把水煮沸后，在其冷却的过程中，只需要在最佳温度对应的时间泡茶、饮茶，就能喝到一杯好茶．根据牛顿冷却定律，一个物体温度的变化速度与这一物体的温度和所在介质温度的差值成比例，物体温度()f t 与时间t 的函数关系式为()()()00001tf t C T C a a =+-<<，其中0C 为介质温度，0T 为物体初始温度．为了估计函数中参数a 的值，某试验小组在介质温度024.3C =℃和标准大气压下，收集了一组数据，同时求出对应参数a 的值，如下表，现取其平均值作为参数a 的估计值，假设在该试验条件下，水沸腾的时刻为0，则泡茶和饮茶的最佳时间分别是（ ）（结果精确到个位数）参考数据：lg0.8020.095≈-，lg0.4720.326≈-，lg91.7 1.962≈．A ．3min ，9min B ．3min ，8min C ．2min ，8min D ．2min ，9min【答案】A【分析】根据给定条件，求出参数a 的估计值，再利用给定模型分别求出泡茶和饮茶的最佳时间作答. 【详解】依题意，0.90450.91220.91830.92270.9271(53)0.917a ++++==，而024.3C =，0100T =，则()24.3(10024.3)0.24.9170.917375.7t t f t =+⨯=+-⨯，当85t =时，24.375.70.98517t +⨯=，有8524.30.80275.70.917t-=≈，lg 0.8020.0953lg 0.917 1.9622t -==≈-， 当60t =时，24.375.70.96017t +⨯=，有6024.30.47275.70.917t-=≈，lg 0.4720.3269lg 0.917 1.9622t -==≈-， 所以泡茶和饮茶的最佳时间分别是3min ，9min. 故选：A11．ABC 中已知tan tan tan tan tan tan A B C A B C ⋅⋅=++且34A B π+=，则(1tan )(1tan )A B --=（ ） A ．-2 B ．2C ．-1D ．1【答案】B【分析】根据tan 1C =进行化简整理即可求得(1tan )(1tan )A B --的值. 【详解】由题意得4C π=，则有tan tan tan tan 1A B A B ⋅=++ ,整理得：()()tan 1tan 12A B --=，()()1tan 1tan 2A B --= 故选：B12．已知44354,log 5,log 43x y z ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则x ､y ､z 的大小关系为（ ） A ．y x z >> B ．x y z >> C ．z x y >> D ．x z y >>【答案】D【分析】作商，由对数的性质、运算及基本不等式可比较出z y >，再由4334log 33=，可比较出43与z 的大小即可得出,x z 的大小关系. 【详解】43log 51,log 41y z =>=>，(()2222444444443log 5log 5log 3log 15log 5log 3log log 41log 422y z +⎛⎫⎛⎫∴==⋅≤==<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即z y >，4334log 33=，而344333381464⎛⎫==>= ⎪⎝⎭， 43334log 3log 43∴=>，又514444333⎛⎫⎛⎫=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， x z ∴>，综上，x z y >>， 故选：D二、填空题13．假定生男孩和生女孩是等可能的，某家庭有两个小孩，如果已经知道这个家庭有女孩，则这个两个小孩都是女孩的概率是__________. 【答案】13【分析】首先列出样本空间，再判断题目为条件概率，然后根据条件概率的公式求解概率即可.【详解】观察两个小孩的性别，用b 表示男孩，g 表示女孩，则样本空间{},,,bb bg gb gg Ω= ，且所有样本点是等可能的.用A 表示事件“选择的家庭中有女孩”，B 表示事件“选择的家庭中两个小孩都是女孩”，则{},,A bg gb gg =,{}B gg =.“在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩”的概率就是“在事件A 发生的条件下，事件B 发生”的概率，记为()|P B A .此时A 成为样本空间，事件B 就是积事件AB .根据古典概型知识可知，()()()1|3n A P A B n A B ==. 故答案为：1314．某学生在研究函数()3f x x x =-时，发现该函数的两条性质：①是奇函数；②单调性是先增后减再增.该学生继续深入研究后发现将该函数乘以一个函数()g x 后得到一个新函数()()()h x g x f x =，此时()h x 除具备上述两条性质之外，还具备另一条性质：③()00h '=.写出一个符合条件的函数解析式()g x =__________.【答案】2x （答案不唯一）【分析】由题意可知()g x 为常函数或为偶函数，然后分别令()1g x =或2()g x x =进行验证即可【详解】因为()3f x x x =-为奇函数，()()()h x g x f x =为奇函数，所以()g x 为常函数或为偶函数，当()1g x =时，()3h x x x =-，则'2()31h x x =-，此时'(0)10h =-≠，所以 ()1g x =不合题意，当2()g x x =时，53()h x x x =-，因为5353()()()()()h x x x x x h x -=---=--=-，所以()h x 为奇函数，'42()53h x x x =-，由'()0h x >，得155x <-或155x >，由'()0h x <，得151555x -<<，所以()h x 的增区间为15,5⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭和15,5⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，减区间为1515,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()h x 为先增后减再增， 因为()00h '=，所以2()g x x =满足题意，故答案为：2x （答案不唯一）15．陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成，以前的制作材料多为木头，现在多为塑料或铁，玩耍时可用绳子缠绕用力抽绳，使其直立旋转；或利用发条的弹力使其旋转，图中画出的是某陀螺模型的三视图，已知网格纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为______.【答案】32333π+ 【分析】根据三视图可知该陀螺模型的直观图，然后根据几何体的体积公式，简单计算，可得结果. 【详解】依题意，该陀螺模型由一个四棱锥、一个圆柱以及一个圆锥拼接而成，如图故所求几何体的体积2211442333233ππ=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯V 即32333π=+V . 故答案为：32333π+ 【点睛】本题考查三视图的还原以及几何体的体积，考验空间想象能力以及对常见几何体的熟悉程度，属基础题题.16．已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则满足()()π5π0312f x f f x f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦的最小正整数x 的值为_______．【答案】1【分析】先根据图像求得()π2sin(26f x x =+），再解()()π5π0312f x f f x f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦求得最小正整数x ． 【详解】解：由题意得函数f （x ）的最小正周期2ππ2π2π36T ω⎛⎫=⨯-== ⎪⎝⎭，解得2ω=，所以()()2sin 2f x x =+． 又π26f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以π2sin 226φ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭， 即πsin 13φ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以ππ2πZ 32k k φ+=+∈，， 解得π2πZ 6k k φ=+∈，． 由π||2φ<，得π6φ=， 所以()π2sin(26f x x =+）， 所以π5π5π2sin 103612f f ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，． 由()π3f x f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()5π012f x f ⎡⎤⎛⎫-> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 可得()()10f x f x ⎡⎤->⎣⎦，则()0f x <或()1f x >， 即πsin 206x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭或1sin 262x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭． ① 由sin 206x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭， 可得()π2ππ22πZ 6n x n n -<+<∈， 解得()7ππππZ 1212n x n n -<<-∈， 此时正整数x 的最小值为2；② 由1sin 262x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭， 可得()ππ5π222πZ 666k x k k π+<+<+∈， 解得()πππZ 3k x k k <<+∈， 此时正整数x 的最小值为1．综上所述，满足条件的正整数x 的最小值为1．故答案为：1．三、解答题17．2022年6月17日，我国第三艘航空母舰“中国人民解放军海军福建舰”下水试航，这是我国完全自主设计建造的首艘弹射型航空母舰，采用平直通长飞行甲板，配置电磁弹射和阻拦装置，满载排水量8万余吨．“福建舰”的建成，下水及试航，是新时代中国强军建设的重要成果．某校为纪念“福建舰”下水试航，增强学生的国防意识，组织了一次国防知识竞赛，共有100名学生参赛，成绩均在区间[]50,100上，现将成绩制成如图所示频率分布直方图（每组均包括左端点，最后一组包括右端点）．(1)学校计划对成绩不低于平均分的参赛学生进行奖励，若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，试求受奖励的分数线的估计值；(2)对这100名参赛学生的成绩按参赛者的性别统计，成绩不低于80分的为“良好”，低于80分的为“不良好”得到如下未填写完整的列联表．良好不良好合计男48女16合计（ⅰ）将列联表填写完整；（ⅱ）是否有95%以上的把握认为参赛学生的成绩是否良好与性别有关？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++．()2P K k≥0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828【答案】(1)73.8(2)（ⅰ）表格见解析；（ⅱ）没有，理由见解析.【分析】（1）利用频率之和为1列出方程，求出0.018a =，进而利用中间值求出平均值，得到受奖励的分数线的估计值为73.8；（2）完善列联表，计算出卡方，与3.841比较得到结论.【详解】（1）由频率分布直方图可知：()100.0060.0080.0260.0421a ++++=，解得0.018a =．所以平均分的估计值为0.08550.26650.42750.18850.069573.8⨯+⨯+⨯⨯+⨯=＋，故受奖励的分数线的估计值为73.8．（2）（ⅰ）列联表如下表所示．良好 不良好 合计 男8 40 48 女16 36 52 合计24 76 100（ⅱ）由列联表得()2210083616406050 2.72 3.841247648522223K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯， 所以没有95%以上的把握认为参赛学生的成绩是否良好与性别有关．18．如图，正方形ABCD 和直角梯形BEFC 所在平面互相垂直，,BE BC BE CF ⊥∥，且2,3AB BE CF ===.(1)证明：AE 平面DCF ；(2)求四面体F ACE -的体积.【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）方法一：由线面平行的判定理可得AB平面DCF ，BE 平面DCF ，再由面面平行的判定可得平面ABE 平面DCF ，然后由面面平行的性质要得结论，方法二：在CF 取点G 使得2CG BE ==，连结EG DG ､，则可得四边形BEGC 是平行四边形，再结合已知条件可得四边形ADGE 是平行四边形，则AE DG ∥，由线面平行的判定可得结论；（2）由13F ACE A CEF CEF V V S h --==⨯求解，根据已知条件求出CEF S △和h ，从而可求出其体积.【详解】（1）证明：方法一：由正方形ABCD 的性质得：AB ∥CD .又AB ⊄平面,DCF CD ⊂平面DCF ， AB ∴平面DCF .,BE CF BE ⊄∥平面,DCF CF ⊂平面DCF ，BE ∴平面DCF .,,AB BE B AB BE ⋂=⊂平面ABE ，∴平面ABE 平面DCF ，AE ⊂平面ABE ，AE ∴平面DCF ，方法二：在CF 取点G 使得2CG BE ==，连结EG DG ､，如图BE CF ∥，∴四边形BEGC 是平行四边形，故EG BC ∥，且EG BC =，又,AD BC AD BC =∥，,AD EG AD EG ∴=∥，∴四边形ADGE 是平行四边形，AE DG ∴∥.又AE ⊄平面,DCF DG ⊂平面DCF ，AE ∴平面DCF ，（2）由体积的性质知：13F ACE A CEF CEF V V S h --==⨯，平面BCFE ⊥平面ABCD ，平面BCFE ⋂平面ABCD BC =，,AB BC AB ⊥⊂平面ABCD ，AB ∴⊥平面BCFE .又2AB =，故点A 到平面CEF 的距离为2，即三棱锥A CEF -底面CEF 上的高2h =，由题意，知,BE BC BE CF ⊥∥且3,2CF BC ==， 132CEF SCF BC ∴=⨯=， 1132 2.33F ACE A CEF CEF V V S h --∴==⨯=⨯⨯=19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的*n ∈N 有23n n S a n =+-.(1)证明：数列{}1n a -为等比数列；(2)求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】(1)证明见解析(2)2122+=-n n n T【分析】（1）令1n =可求得1a 的值，令2n ≥，由23n n S a n =+-可得1124n n S a n --=+-，两式作差可得出()1121n n a a --=-，结合等比数列的定义可证得结论成立；（2）求得111122n n n a a +=+-，利用分组求和法可求得n T . 【详解】（1）证明：当1n =时，1122a a =-，则12a =；.当2n ≥时，由23n n S a n =+-可得1124n n S a n --=+-.两式相减得1221n n n a a a -=-+，即121n n a a -=-，()1121n n a a -∴-=-.因为1110a -=≠，则212a -=，，以此类推可知，对任意的N n *∈，10n a -≠，所以，数列{}1n a -构成首项为1，公比为2的等比数列.（2）解：由（1）112n n a --=，故121n n a -=+，则1121111222n n n n n a a -++==+-. 所以，22111111111111222222222222n n n T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⋯++=++⋯++++⋯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1112121222212n n n n -+=+⋅=--. 20．已知椭圆C ：()2222 1x y a b c a b +=>>的离心率为2，且过点()2,1P ． (1)求C 的方程；(2)若A ，B 是C 上两点，直线AB 与曲线222x y +=相切，求AB 的取值范围．【答案】(1)22163x y +=(2)⎡⎤⎣⎦【分析】（1）根据已知条件求得,,a b c ，由此求得椭圆C 的方程.（2）对直线AB 的斜率分成不存在，0k =，0k ≠三种情况进行分类讨论，结合弦长公式、基本不等式求得AB 的取值范围.【详解】（1）依题意22222411c aa b c ab a bc ⎧=⎪⎪⎪+=⇒===⎨⎪=+⎪⎪⎩所以椭圆C 的方程为22163x y +=. （2）圆222x y +=的圆心为()0,0，半径r =当直线AB 的斜率不存在时，直线AB的方程为xx =22163x y x y ⎧=⎪⇒=⎨+=⎪⎩22163x y x y ⎧=⎪⇒=⎨+=⎪⎩所以AB =当直线AB 的斜率为0时，直线AB的方程为yy =22163y x x y ⎧=⎪⇒=⎨+=⎪⎩22163y x x y ⎧=⎪⇒=⎨+=⎪⎩所以AB =当直线AB 的斜率0k ≠时，设直线AB 的方程为,0y kx b kx y b =+-+=，由于直线AB 和圆222x y +=()2221b k =+.22163y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并化简得()222124260k x kbx b +++-=， ()()222222164122648248k b k b k b ∆=-+-=+-()22248248213280k k k =+-⨯+=+>.设()()1122,,,A x y B x y 则2121222426,1212kb b x x x x k k --+=⋅=++，所以AB ====>另一方面，由于2214448k k ++≥=，当且仅当222114,2k k k ==时等号成立.所以3=，即3AB ≤.综上所述，AB 的取值范围是⎡⎤⎣⎦.21．已知函数()()ln 1f x x a x x =---(1)若0a =，求()f x 的极小值(2)讨论函数()f x '的单调性；(3)当2a =时，证明：()f x 有且只有2个零点.【答案】(1)2-(2)答案见解析(3)证明见解析【分析】（1）利用导数求得()f x 的极小值.（2）先求得()f x '，然后通过构造函数法，结合导数以及对a 进行分类讨论，从而求得函数()f x '的单调区间.（3）结合（2）的结论以及零点存在性定理证得结论成立.【详解】（1）当0a =时，()ln 1f x x x x =--，()f x 的定义域为()0,∞+，()ln 11ln f x x x '=+-=，所以在区间()()()0,1,0,f x f x '<递减；在区间()()()1,,0,f x f x '+∞>递增.所以当1x =时，()f x 取得极小值12f .（2）()()ln 1f x x a x x =---的定义域为()0,∞+，()ln 1ln x a a f x x x x x-'=+-=-. 令()()()221ln 0,a a x a h x x x h x x x x x +'=->=+=， 当0a ≥时，()0h x '>恒成立，所以()h x 即()f x '在()0,∞+上递增.当a<0时，在区间()()()0,,0,a h x h x '-<即()f x '递减；在区间()()(),,0,a h x h x '-+∞>即()f x '递增.（3）当2a =时，()()2ln 1f x x x x =---，()2ln f x x x'=-， 由（2）知，()f x '在()0,∞+上递增，()()22ln 210,3ln 303f f ''=-<=->， 所以存在()02,3x ∈使得()00f x '=，即002ln x x =. 在区间()()()00,,0,x f x f x '<递减；在区间()()()0,,0,x f x f x '+∞>递增.所以当0x x =时，()f x 取得极小值也即是最小值为()()()000000000242ln 1211f x x x x x x x x x ⎛⎫=---=-⨯--=-+ ⎪⎝⎭，由于0044x x +>=，所以()00f x <.11111122ln 12110e e e e e ee f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅--=----=-+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()2222222e e 2ln e e 12e 4e 1e 50f =-⋅--=---=->，根据零点存在性定理可知()f x 在区间()00,x 和()0,x +∞各有1个零点，所以()f x 有2个零点.【点睛】本题第一问是简单的利用导数求函数的极值，第二问和第三问是连贯的两问，合起来可以理解为利用多次求导来研究函数的零点.即当一次求导无法求得函数的零点时，可考虑利用多次求导来解决. 22．在直角坐标系xOy 中，点A 是曲线1C ：22(2)4x y -+=上的动点，满足2OB OA =的点B 的轨迹是2C . （1）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩(t 为参数)，点P 的直角坐标是()1,0-，若直线l 与曲线2C 交于M ，N 两点，当线段PM ，MN ，PN 成等比数列时，求cos α的值.【答案】（1）1C ： 4cos ρθ=，2C ：2cos ρθ=；（2）cos α=【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用（1）的结论，利用一元二次方程根和系数关系式的应用和等比数列的等比中项的应用求出结果．【详解】解：（1）点A 是曲线1C ：()2224x y -+=上的动点， 根据222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，转换为极坐标方程为 4cos ρθ=，由于点B 满足2OB OA =的点B 的轨迹是2C .所以()2,A ρθ，则2C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（2）直线l 的参数方程是1tcos sin x y t αα=-+⎧⎨=⎩(t 为参数)，点P 的直角坐标是()1,0-， 若直线l 与曲线2C 交于M ，N 两点，2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，转换为直角坐标方程为22(1)1x y -+=，即222x y x +=，得到()()()221cos sin 21cos t t t ααα=-++-+，化简得：24cos 30t t α-+=，所以124cos t t α+=，123t t =， 当线段PM ，MN ，PN 成等比数列时，则2MN PM PN =，整理得：()21212t t t t -=，故()212125t t t t +=，整理得cos α=23．已知a ，b ，R c ∈，且2223a b c ++=.(1)求证：3a b c ++≤；(2)若不等式()2121x x a b c -++≥++对一切实数a ，b ，c 恒成立，求x 的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)(][),33,∞∞--⋃+.【分析】（1）对2()a b c ++应用基本不等式可证； （2）由（1）只要解不等式1219x x -++≥，根据绝对值的定义分类讨论求解．【详解】（1）2222()222a b c a b c ab bc ca ++=+++++()222329a b c ≤+++=， 所以3a b c ++≤，当且仅当a b c ==时等号成立（2）由（1）可知()2121x x a b c -++≥++对一切实数a ，b ，c 恒成立， 等价于1219x x -++≥， 令3,11()1212,1223,2x x g x x x x x x x ⎧⎪≥⎪⎪=-++=+-<<⎨⎪⎪-≤-⎪⎩， 当1x ≥时，393x x ≥⇒≥， 当112x -<<时，297x x +≥⇒≥，舍去， 当12x ≤-时，393x x -≥⇒≤-，即3x ≥或3x ≤-. 综上所述，x 取值范围为(][),33,∞∞--⋃+.。
黑龙江省鹤岗市第一中学2021-2022学年高三上学期第四次月考数学(文科)试卷(含答案)
鹤岗一中高三第四次月考数学文科试题一、单选题：（共12小题，每题5分，共60分）1．集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知复数，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．“”是“的最小正周期为”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．5．设偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集是（ ）A ．B ．C ．D ．6．等比数列的各项均为正数，且，则（ ）A ．2B ．3C ．10D ．57．已知l ，m 是空间中两条不同的直线，是空间中两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）A ．若，则 B ．若，则C ．若，则D ．若，则8．如图所示，在中，，AD 为BC 边上的高，M 为AD 的中点，若，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．{}2280,{lg 1}A xx x B x x =--≤=<∣∣A B = [2,4][2,10)(0,4][2,4)1i z =+(1)z z +=3i +3i -13i -13i+2ω=π2tan 3y x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π222log π,πa b c -===b c a <<b a c <<c a b <<a c b<<()f x [0,)+∞(3)0f =()()02f x f x +-<(,3)-∞-(3,0)(0,3)- (3,3)-(3,)+∞{}n a 564718a a a a +=313239310log log log log a a a a ++++= ,αβ,,l m l m αβ⊥⊂∥αβ⊥,l αβα∥∥l β∥,,l m l ααβ⊥⊥∥m β∥,l αβα⊥∥l β⊥ABC △2,3,60AB BC ABC ==∠=︒AM AB BC λμ=+λμ+5312-12239．在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，则的值为（ ）ABC ．D ．10．己知，且，若恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．或B ．或C ．D ．11．已知分别是双曲线的左、右焦点，动点P 在双曲线的左支上，点Q 为圆上一动点，则的最小值为（ ）A ．6B ．7C． D ．512．已知函数，若对任意，都有，则实数a 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：（共4小题，每题5分，共20分）13．甲，乙，丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我没去过A 城市；乙说：我去过的城市比甲多，但没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断甲去过的城市为________．14．若实数x ，y 满足约束条件，则的最大值为________．15．若圆锥的侧面展开图是半径为2，圆心角为的扇形，则这个圆锥的全面积是________．16．已知为双曲线的左、右焦点，双曲线的离心率为2，点P 在双曲线C的右支上，且的中点N 在圆上，其中c 为双曲线的半焦距，则________．三、解答题（共70分，17-21题每题12分）17．已知数列的前n 项和为．（1）求数列的通项；ABC △22sin 2sin(),2C A C a b bc =+-=cos B 1314-0,0x y >>211x y+=222x y m m +>+2m ≤-4m ≥4m ≤-2m ≥24m -<<42m -<<12,F F 22:14x C y -=22:(2)1G x y ++=2||PQ PF +32()ln f x x x x x =+-(0,)x ∈+∞()e xf x a -≥(,2]-∞-(,1]-∞-1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦(,0]-∞1020x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩2z x y =+90︒12,F F 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>1PF 222:O x y c +=12sin F PF ∠={}n a 11,2,2n n n S S S a +==-{}n a n a（2）若，数列的前n 项和为，求证：．18．在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知．（1）求角A ；（2）若，求a 的最小值．19．如图所示的四棱锥中，底面ABCD 为正方形，平面平面ABCD ，O ，M ，E 分别是AD ，PC ，BC 的中点，．（1）求证：平面POE ；（2）求三棱锥的体积．20．己知椭圆C 与双曲线有公共焦点，且右顶点为．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线与椭圆C 交于不同的A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），若以AB 为直径的圆经过点N ，求证：直线过定点，并求出定点．21．已知函数． （1）若，求证：函数在上单调递增；（2）若关于x 的不等式在上恒成立，求整数m 的最小值．（选考题，10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，按所做题的第一题记分．）22．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知圆和圆的极坐标方程分别是和．（1）求圆和圆的公共弦所在直线的直角坐标方程；（2）若射线与圆的交点为O ，P 与圆的交点为O ，Q ，求的值．2log n n b a ={}n b n T 12311112nT T T T ++++< ABC △1cos 2b a Cc =+3AB AC ⋅=P ABCD -PAD ⊥,2PA PD PO AD ===BC ⊥M PAD -2212y x -=(2,0)N :l y kx m =+()(2)e ln ,1xf x x x ax a =-+-≥1a =()f x (1,)+∞()f x m ≤1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1C 2C 4cos ρθ=2sin ρθ=1C 2C π:6OM θ=1C 2C ||||OP OQ ⋅23．设（1）解不等式；（2）对任意的非零实数x ，有恒成立，求实数m 的取值范围．()|2||2|f x x x =-++()6f x ≥2()2f x m m ≥-+高三文数答案一、选择题：1．C 2．D 3．A 4．A 5．C 6．C 7．A 8．D 9．A 10．D 11．A 12．B 【详解】由题，可得在上恒成立；设，由于，所以在上是增函数，则有当时，；令，则有，所以函数；由于，当时，在上是减函数；当时，在上是增函数：所以当时，，则有；故．故选：B ．二、填空题：13．B14．515．16三、解答题：17．（1）解：因为，所以当时，，则，所以，所以数列是以2为首项、公比为2的等比数列，所以．（2）证明：由（1）知，所以，e (ln 1)xa x x x ≤+-(0,)x ∈+∞()e (0)xg x x x =>()(1)e 0xg x x '=+>()g x (0,)x ∈+∞(0,)x ∈+∞()0g x >e (0)xt x x =>0,ln ln t t x x >=+e (ln 1)(ln 1)(0)xy x x x t t t =+-=->1ln 1ln y t t t t'=-+⋅=01t <<0,(ln 1)y y t t '<=-(0,1)t ∈1t >0,(ln 1)y y t t '>=-(1,)t ∈+∞1t =min 1y =-1a ≤-(,1]a ∈-∞-5π4112,2n n S S a +==-2n ≥12n n S a -=-1n n n a a a +=-12n n a a +={}n a 1222n n n a -=⨯=22,log nn n n a b a n ===(1)111,221n n n n T T n n +⎛⎫==- ⎪+⎝⎭所以，．18．（1）中，，由正弦定理知，，，，，又；（2）由（1）及得，所以，当且仅当时取等号，所以a．19．（1）在中，，O 为AD 的中点，则，又平面平面ABCD ，平面平面平面PAD ，于是得平面ABCD ，而平面ABCD ，则，又底面ABCD 是正方形，O ，E 分别是AD ，BC 的中点，即，因，PO ，平面POE ，所以平而POE ．（2）因M 为PC 的中点，则点M 到平面PAD 的距离是点C 到平面PAD 的距离的，如图，因此，，所以三棱锥的体积为．12111nT T T +++ 111111*********n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 12121n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭ABC △cos 2c b a C -=1sin sin cos sin 2B AC C -=π,sin sin[π()]sin cos cos sin A B C B A C A C A C ++=∴=-+=+ 11sin cos cos sin sin cos sin ,cos sin sin 22A C A C A C C A C C ∴+-=∴=1cos 2A ∴=π0π,3A A <<∴= 3AB AC ⋅=6bc =222222cos 6a b c bc A b c bc bc =+-=+-≥=b c =PAD △PA PD =PO AD ⊥PAD ⊥PAD ,ABCD AD PO =⊂PO ⊥BC ⊂PO BC ⊥BC OE ⊥PO OE O = OE ⊂BC ⊥12111111112222222322323M PAD C PAD P ACD V V V PO AD CD ---===⨯⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯=M PAD -2320．（1）双曲线，所以椭圆的焦点坐标为：，椭圆的右顶点为，设椭圆的标准方程为：，所以，因此椭圆的标准方程为：；（2）直线l 方程与椭圆方程联立，得，设，于是有：，，因为以AB 为直径的圆经过点N ，所以，即，化简得：，而，所以有：，化简得：或，显然满足，当时，，此时直线l 过椭圆的右顶点不符合题意；当时，，此时直线l 恒过点，2212y x -==(2,0)N 22221(0)x y a b a b+=>>2222,431a c b a c ==⇒=-=-=2214x y +=()2222211484404x y k x kmx m y kx m ⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩()()1122,,,A x y B x y ()()22222(8)41444041km kmm k ∆=-+->⇒<+2121222844,1414km m x x x x k k -+=-=++()()()()1122121202,2,0220NA NB NA NB x y x y x x y y ⊥⇒⋅=⇒--=⇒--+=()()()121212420x x x x kx m kx m -+++++=()()2212121(2)40k x x km x x m ++-+++=2121222844,1414km m x x x x k k -+=-=++()222224481(2)401414m km k km m k k-+⋅--⋅++=++226516120(56)(2)05m km k m k m k m k ++=⇒++=⇒=-2m k =-2241m k <+2m k =-2(2)y kx m y kx k y k x =+⇒=-⇒=-65m k =-6655y kx m y kx k y k x ⎛⎫=+⇒=-⇒=- ⎪⎝⎭6,05⎛⎫ ⎪⎝⎭综上所述：直线过定点，定点为．21．（1）依题意，，则，故当时，，故函数在上单调递增．（2）依题意，，对任意的恒成立，，只需对任意的恒成立即可．构造函数，由（1）可知，，，且上单调递增．，一定存在唯一的，使得，即，的单调递增区间为，单调递减区间为，，，所以故整数m 的最小值为．22．解：（1）圆即，则，圆即，则，6,05⎛⎫ ⎪⎝⎭()(2)ln xf x x e x x =-+-111()(1)1(1)(1)x x x x f x x e x e x e x x x -⎛⎫'=-+-=--=-- ⎪⎝⎭1x >()0f x '>()f x (1,)+∞(2)ln ,1xm x e x ax a ≥-+-≥1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1,0,(2)ln (2)ln x x a x x e x ax x e x x ≥>∴-+-≤-+- (2)ln xm x e x x ≥-+-1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()(2)ln xg x x e x x =-+-1()(1)x g x x e x ⎛⎫'=--⎪⎝⎭1,1,103x x ⎛⎫∈∴-< ⎪⎝⎭1()x t x e x =-120,(1)102t t e ⎛⎫=<=-> ⎪⎝⎭∴01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00t x =00001,ln x e x x x ==-()g x ∴01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭()0,1x ()()0max 0000001()2ln 12x g x g x x e x x x x ⎛⎫∴==-+-=-+ ⎪⎝⎭000115,1,222x x x ⎛⎫∈<+< ⎪⎝⎭()043g x -<<-3-1:4cos C ρθ=24cos ρρθ=2240x y x +-=2:2sin C ρθ=22sin ρρθ=2220x y y +-=两式相减得到两圆公共弦所在直线的直角坐标方程为：．（2）将代入圆和圆的极坐标方程得：，所以23．解：（1）令当时当时当时综上所述或（2恒成立等价于（当且仅当时取等）恒成立20x y -=π6θ=1C 2C ππ,1,66P Q ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭||||1OP OQ ⋅==()|2||2|f x x x =-++ ()6()|2||2|6f x f x x x ∴≥⇒=-++≥202,202x x x x -=⇒=+=⇒=-2x ≤-|2||2|6(2)(2)63x x x x x -++≥⇒---+≥⇒≤-3x ∴≤-2x ≥|2||2|6(2)(2)63x x x x x -++≥⇒-++≥⇒≥3x ∴≥22x -<<|2||2|6(2)(2)646x x x x -++≥⇒--++≥⇒≥x φ∴∈3x ≤-3x ≥2()2f x m m ≥-+2min ()2f x m m ≥-+()|2||2||(2)(2)|4f x x x x x =-++≥--+= (2)(2)0x x -⋅+≤222min ()24220f x m m m m m m ∴≥-+⇒≥-+⇒--≤12m ∴-≤≤。
四川省成都市成华区某校2023-2024学年高三上学期10月月考文科数学试题含解析
2023-2024学年度（上）阶段性考试（一）高2021级数学（文科）（答案在最后）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2340A x x x =∈--≤Z ∣，{2,}B x x n n ==∈Z ∣，则A B = （）A.{0,2,4}B.{}113-,,C.{4,2,0}-- D.{3,1,1}--【答案】A 【解析】【分析】根据一元二次不等式的求解方法，结合集合的交集，可得答案.【详解】由不等式2340x x --≤，分解因式可得()()410x x -+£，解得14x -≤≤，则{}1,0,1,2,3,4A =-，所以{}0,2,4A B = .故选：A.2.已知i 3i z =-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】由已知等式求出复数z ，得到复数z ，由复数的几何意义得z 在复平面内对应的点所在象限.【详解】由i 3i z =-，得3i13i iz -==--，则13i z =-+，在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B3.抛物线24x y =的准线方程是（）A.116x =-B.18x =-C.116y =-D.12y =-【答案】A 【解析】【分析】先化为标准型，利用抛物线的准线方程可得答案.【详解】因为214y x =，所以124p =，所以准线方程为116x =-.故选：A.4.已知函数()42,0log ,0x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，则6))f f ((-=（）A.12B.2C.32D.3【答案】C 【解析】【分析】利用分段函数的定义代入求值即可.【详解】由题意可得：()()()()()43626868log82f f f f -=--=⇒-===.故选：C ．5.已知,x y 满足约束条件1010220x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩,则目标函数2z x y =+的最小值是（）A.1B.2C.11D.无最小值【答案】A 【解析】【分析】作出可行域,将目标函数变为122zy x =-+,通过平移直线12y x =-即可求出z 的最小值.【详解】根据题意,可行域如图所示:将直线12y x =-平移至刚好经过()1,0A 时,z 取的最小值:1201z =+⨯=.故选:A.6.下列函数中，既是π(0,)2上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是（）A.tan y x = B.cos 2y x= C.sin 2y x= D.in 1s 2y x =【答案】D 【解析】【分析】利用函数的奇偶性、在指定区间上的单调性逐项判断作答.【详解】显然函数tan y x =、sin 2y x =都是奇函数，AC 不是；当π(0,2x ∈时，2(0,π)x ∈，而函数cos y x =在(0,π)上单调递减，函数cos 2y x =在π(0,)2上单调递减，B 不是；函数1|sin |2y x =是周期为π的偶函数，当π(0,)2x ∈时，sin 0x >，为原函数，即1sin 2y x =在π(0,2上递增，D 是.故选：D7.定义在R 上的奇函数()f x 满足()1f x +是偶函数，当(]0,1x ∈时，()π2sin 2f x x =，则()2024f =（）A.2-B.1- C.0D.2【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由函数奇偶性的性质分析可得(2)()f x f x +=-，进而可得(4)(2)()f x f x f x +=-+=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，从而利用周期性即可求解.【详解】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()f x f x -=-，且(0)0f =，又函数(1)f x +是偶函数，则(1)(1)-+=+f x f x ，变形可得()(2)f x f x -=+，则有(2)()f x f x +=-，进而可得(4)(2)()f x f x f x +=-+=，所以函数()f x 是周期为4的周期函数，则(2024)(50640)(0)0f f f =⨯+==.故选：C.8.用半径为10cm ，圆心角为216 的扇形围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的体积为（）3cm A.128π B.128C.96πD.96【答案】C 【解析】【分析】根据题意确定圆锥的母线长，根据扇形的弧长求出圆锥的底面半径和高，根据圆锥体积公式即可求得答案.【详解】设圆锥的底面半径为R ，由题意可知圆锥母线长为10cm l =，由题意可得2162π102π,6360R R ⨯⨯=∴=，故圆锥的高为8h ==，故圆锥的体积为211ππ36896π33V R h ==⨯⨯=，故选：C9.下列说法正确的有（）①对于分类变量X 与Y ，它们的随机变量2K 的观测值k 越大，说明“X 与Y 有关系”的把握越大；②我校高一、高二、高三共有学生4800人，其中高三有1200人.为调查需要，用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为200的样本，那么应从高三年级抽取40人；③若数据1x 、2x 、L 、n x 的方差为5，则另一组数据11x +、21x +、L 、1n x +的方差为6；④把六进制数()6210转换成十进制数为：()012621006162678⨯⨯⨯=++=.A.①④B.①②C.③④D.①③【答案】A 【解析】【分析】利用独立性检验可判断①；利用分层抽样可判断②；利用方差公式可判断③；利用进位制之间的转化可判断④.【详解】对于①，对于分类变量X 与Y ，它们的随机变量2K 的观测值k 越大，说明“X 与Y 有关系”的把握越大，①对；对于②，由分层抽样可知，应从高三年级抽取的人数为1200200504800⨯=，②错；对于③，记12n x x x x n +++= ，则()()()2221215nx x x x x x n ⎡⎤-+-++-=⎢⎥⎣⎦ ，所以，数据11x +、21x +、L 、1n x +的平均数为()()()()12121111111n n x x x x x x x n n ++++++=++++=+⎡⎤⎣⎦ ，其方差为()()()222121111111n x x x x x x n ⎡⎤+--++--+++--⎢⎥⎣⎦ ()()()2221215n x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-=⎢⎥⎣⎦ ，③错；对于④，把六进制数()6210转换成十进制数为：()012621006162678⨯⨯⨯=++=，④对.故选：A.10.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若将函数()f x 的图象向右平移π6个单位，得到函数()g x 的图象，则（）A.π()sin 23g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭B.π()sin 26g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭C.()sin 2g x x = D.π()sin 26g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】利用函数图象可求出()f x 的解析式为π()sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据平移规则可得()sin 2g x x =.【详解】由图象可知，33π5ππ42ω612T ==-，解得ω2=；由振幅可知1A =；将5π,06⎛⎫⎪⎝⎭代入可得5π5πsin 2066f A ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又π2ϕ<，即可得ϕπ3=，因此π()sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，易知πππ()()sin 2sin 2663g x f x x x 骣骣÷琪ç=-=-+=÷çç÷çç桫桫，故选：C.11.人们用分贝()dB 来划分声音的等级，声音的等级()d x （单位：dB ）与声音强度x （单位：2W /m ）满足()139lg110xd x -=⨯.一般两人小声交谈时，声音的等级约为45dB ，在有50人的课堂上讲课时，老师声音的等级约为63dB ，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的（）A.1倍B.10倍C.100倍D.1000倍【答案】C 【解析】【分析】根据所给声音等级与声音强度的函数关系，求出声音等级即可比较得解.【详解】∵声音的等级式()d x （单位：dB ）与声音强度x （单位：2W /m ）满足()139lg 110xd x -=⨯，又∵老师的声音的等级约为63dB ，∴13639lg10x-=，解得610x -=，即老师的声音强度约为610-2W /m ，∵两人交谈时的声音等级大约为45dB ，13459lg10x-∴=，解得810x -=，即两人交谈时的声音强度约为810-2W /m ，∴老师上课时声音强度约为两人小声交谈时声音强度的681010010--=倍.故选：C12.函数()f x 的定义域为)(0,6，当02x <≤时，()11f x |x |=--+且()2(2)f x f x =+，若函数()()g x =f x +m 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围为（）A.11,)24(-- B.11,)42( C.2,1)(-- D.(12,)【答案】A 【解析】【分析】将()f x 在(0,2]上的图象每次向右平移2个单位，且纵坐标变为原来的一半，得到()f x 在)(0,6上的图象，根据()y f x =的图象与y m =-有四个不同的交点，得到m 的取值范围.【详解】先作出()f x 在(0,2]上的图象，根据()2(2)f x f x =+可知()f x 在(2,4]上的图象为()f x 在(0,2]上的图象向右平移2个单位且纵坐标变为原来的一半得到，同理得到)(4,6上的图象，如图：函数()()g x =f x +m 有四个不同的零点可看作()y f x =与y m =-有四个不同的交点，由图可知1142m <-<，故11(,)24m ∈--.故选：A ．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2610a a +=，则7S =______．【答案】35【解析】【分析】根据等差数列的前n 项和公式，及等差数列的性质求解即可.【详解】解： 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2610a a +=，()()172677771035222a a a a S ++⨯∴====，故答案为：35.14.已知,02πθ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，4cos 5θ=，则tan 2θ=___________.【答案】247-【解析】【分析】本题首先可通过同角三角函数关系求出3tan 4θ=-，然后根据二倍角公式即可得出结果.【详解】因为,02πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，4cos 5θ=，所以3sin 5θ=-，3tan 4θ=-，则22322tan 244tan 21tan 7314θθθ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭===--⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故答案为：247-.15.如图，若坐标轴和双曲线与圆O 的交点将圆O 的周长八等分，且AB BO OC CD ===，则该双曲线的渐近线方程为______．【答案】y =【解析】【分析】根据圆的性质，结合代入法、双曲线渐近线方程进行求解即可.【详解】设双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b-=>>，设圆O 与双曲线在第一象限内的交点为E ，连接DE 、OE ，则22OE OD OC CD OC a ==+==，因为坐标轴和双曲线与圆O 的交点将圆O 的周长八等分，则1π2π84DOE ∠=⨯=，故点)E，将点E的坐标代入双曲线的方程可得))22221a b -=，所以ba=所以该双曲线的渐近线方程为y =．故答案为：y =16.设函数()π2sin cos 6f x x x ⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭，有下列结论：①()f x 的图象关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭中心对称；②()f x 的图象关于直线π6x =对称；③()f x 在π5π,612⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；④()f x 在ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上最小值为32-，其中所有正确的结论是______．【答案】②③【解析】【分析】整理化简()f x 解析式可得π1()sin(2)62f x x =+-，根据正弦函数的相关性质逐一进行判断即可．【详解】()212sin cos(2sin (cos sin )cos sin 622πf x x x x x x x x x =⋅+=⋅-=-111sin 2cos 2πsin(2)22262x x x =+-=+-，当5π12x =时，5πsin(2)012π6⨯+=，则()f x 的图象关于点5π1,122⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称，故①错误；当π6x =时，sin(2)1π6π6⨯+=，则()f x 的图象关于直线π6x =对称，故②正确；由ππ3π2π22π,Z 262k x k k +≤+≤+∈，得π2πππ,Z 63k x k k +≤≤+∈，当0k =即2π[,]6π3x ∈时，函数()f x 单调递减，则当π5π[,]612x ∈时，函数()f x 单调递减，故③正确；当ππ[,]66x ∈-时，πππ2[,]662x +∈-，可知函数()f x 在ππ[,]66-上单调递增，∴()f x 的最小值为π1sin 21π6π662f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故④错误．故答案为：②③．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.最近，纪录片《美国工厂》引起中美观众热议，大家都认识到，大力发展制造业，是国家强盛的基础，而产业工人的年龄老化成为阻碍美国制造业发展的障碍，中国应未雨绸缪.某工厂有35周岁以上(含35周岁)工人300名，35周岁以下工人200名，为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关.现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“35周岁以上(含35周岁)”和“35周岁以下”分为两组，在将两组工人的日平均生产件数分成5组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100)分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，附表：()2P K k >0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“35周岁以下组”工人的概率.（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成22⨯的列联表，并判断是否有95%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?生产能手非生产能手合计35岁以下35岁以上合计【答案】（1）710（2）列联表见解析，有把握.【解析】【分析】（1）分析可知，35周岁以上组工人有600.053⨯=(人)，记为123,,A A A ；35周岁以下组工人有400.052⨯=(人)，记为12,B B ，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）根据题中信息完善22⨯列联表，计算出2K 的观测值，结合独立性检验的基本思想可得出结论.【小问1详解】解：由已知得，样本中有35周岁以上组工人60名，35周岁以下组工人40名，所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，35周岁以上组工人有600.053⨯=(人)，记为123,,A A A ；35周岁以下组工人有400.052⨯=(人)，记为12,B B ，从中随机抽取2名工人，所有可能的结果共有10种:()()()()()()121323111221,,,,,,,,,,,,A A A A A A AB A B A B ()22,A B ，()31,A B ，()31,A B ，()12,B B ，至少有一名“35周岁以下组”工人的可能结果共有7种：()11,A B ，()12,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()31,A B ，()32,A B ，()12,B B ，故所求的概率:710P =.【小问2详解】解：由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“35周岁以上组”中的生产能手600.530⨯=(人)，“35周岁以下组”中的生产能手400.2510⨯=(人)，据此可得22⨯列联表如下:生产能手非生产能手合计35岁以下10304035岁以上303060合计4060100所以得:22100(10303030)256.25 3.841406040604K ⨯-⨯===>⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”.18.已知向量(()2cos ,2,sin2m x n x == ，函数()f x m n =⋅ ．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在ABC 中，a b c 、、分别是角、、A B C 的对边，且()3,1f C c ==，=ab ABC 的周长．【答案】（1）ππ[π,π](Z)36k k k -++∈；（2）3.【解析】【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示，二倍角公式、辅助角公式求出并化简()f x ，再利用正弦函数单调性求解作答.（2）由（1）求出C ，再利用余弦定理求解作答.【小问1详解】依题意，2π()2cos 1cos22sin(2)16f x m n x x x x x =⋅=+=++=++ ，由πππ2π22π,Z 262k x k k -+≤+≤+∈得：ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈，所以函数()f x 的单调递增区间是ππ[π,π](Z)36k k k -++∈.【小问2详解】由（1）知，π()2sin(2)136f C C =++=，即πsin(2)16C +=，而()0,πC ∈，则ππ13π2(,)666C +∈，于是ππ262C +=，解得π6C =，由余弦定理有2222cos c a b ab C =+-，即221()(2()(2a b ab a b =+-+=+-+，解得2+=+a b ，所以ABC 的周长为3+.19.如图，在四棱锥-P ABCD 中，平面PAB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，PAB 为等边三角形，且2PA =，PC CD ⊥，O 为AB 的中点．（1）若E 为线段PC 上动点，证明：AB OE ⊥；（2）求点B 与平面PCD 的距离．【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】【分析】（1）因E 为线段PC 上动点，明显要证明AB ⊥平面POC ，利用线面垂直判定定理，分别证明PC AB ⊥，OP AB ⊥即可；（2）利用等体积变换求距离即得.【小问1详解】连接OC ，OP ．∵PAB 为等边三角形，OP AB ∴⊥，1OA =，OP =，又 平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，OP ⊂平面PAB ，OP ∴⊥平面ABCD ，又OC ⊂Q 平面ABCD ，OP OC ∴⊥，PC DC ⊥ ，CD AB ∥，PC AB ∴⊥，又OP AB ⊥ ，OP ⊂平面POC ，PB ⊂平面POC ，OP PC P ⋂=，AB ∴⊥平面POC又OE ⊂ 平面POC ，AB OE ∴⊥【小问2详解】由（1）知AB ⊥平面POCOC ⊂Q 平面POC ，∴AB OC ⊥．由题意22BC AB PA OB ====，∴PO OC ==，PC =，∴BOC 中，π3CBO ∠=，∴BDC 中，2π3BCD ∠=，∴BDC 中，由余弦定理得BD =，设点B 到平面PCD 的距离为h ，则--B PCD P BCD V V =即1133PCD BCD S h S OP ⋅=⋅△△，11112π222sin 32323h ⨯⨯=⨯⨯⨯，得62h =，故点B 与平面PCD 的距离为6220.已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线l 与E 交于A ，B 两点，2ABF △的周长为8，且点3(1,)2-在E 上．（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线l 与圆O ：222x y a +=交于C ，D 两点，当CD ⎡∈⎢⎣⎦时，求2ABF △面积的取值范围．【答案】（1）22143x y +=（2）,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）由2ABF △的周长结合椭圆的定义得出48a =，再将3(1,)2-代入椭圆方程，即可求出b ，进而得出椭圆的方程；（2）设直线l 的方程为1x my =-，由点到之间距离公式及勾股定理得出[]20,2m ∈，设()11,A x y ，()22,B x y ，由直线l 方程与椭圆方程联立，得出12y y +和12y y ，代入2ABF S =[]211,3t m =+∈，()196h t t t=++，由()h t 的单调性得出值域，即可求出2ABF S 的范围．【小问1详解】因为2ABF △的周长为8，所以48a =，解得2a =，将点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的坐标代入椭圆方程22214x yb +=，得291414b+=，解得b =，所以椭圆E 的方程为22143x y +=．【小问2详解】由（1）知圆O 的方程为224x y +=，设直线l 的方程为1x my =-，则圆心O 到直线l 的距离d =，由3CD ⎡=⎢⎥⎣⎦，可得[]20,2m ∈．设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去x 得()2243690+--=mymy ，则122643m y y m +=+，122943y y m =-+，所以2121212ABF S F F y y =⨯⨯-= ，设[]211,3t m =+∈，则2ABF S == ，设()196h t t t=++，易知()196h t t t =++在1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，则()h t 在[]1,3上单调递增，因为()100163h t ≤≤，所以2,35ABF S ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．21.已知函数2()2ln (1)21f x x a x ax =-+-+，R a ∈．（1）当1a =时，求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若函数()f x 有两个零点12,x x ，求实数a 的取值范围；【答案】（1）410x y +-=（2）(1,0)-【解析】【分析】（1）求导，得到()14f '=-，利用导函数几何意义求出切线方程；（2）求定义域，求导，分1a ≤-，1a >-两种情况，结合函数单调性，得到要满足函数()f x 有2个零点，只需()2ln 101a a a ++<+，构造函数()()2ln 11xg x x x =+++，()1,x ∈-+∞，求导，得到其单调性，求出实数a 的取值范围.【小问1详解】当1a =时，2()2ln 221f x x x x =--+，()242f x x x'=--，()12424f '=--=-，()12213f =--+=-，所以函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为()341y x +=--，即410x y +-=；【小问2详解】函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()()()21112212a x x f x a x a x x-+-+⎡⎤⎣⎦'=-+-=，当1a ≤-时，()0f x ¢>恒成立，()f x 单调递增，所以()f x 不可能有2个零点；当1a >-时，当101x a <<+时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当11x a >+时，()0f x '<，()f x 单调递减，当0x →时，()f x →-∞，当x →+∞时，()f x →-∞，所以要满足函数()f x 有2个零点，只需101f a ⎛⎫>⎪+⎝⎭，即()21112ln 1210111a a a a a ⎛⎫-+-⋅+> ⎪+++⎝⎭，整理得()2ln 101aa a ++<+，设()()2ln 11xg x x x =+++，函数的定义域为()1,-+∞，()()221011g x x x '=+>++，所以()g x 在定义域上单调递增，且()00g =，则不等式()2ln 101aa a ++<+的解集为()1,0-，所以a 的取值范围为()1,0-；【点睛】导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要学生对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方22.数学中有许多美丽的曲线，如在平面直角坐标系xOy 中，曲线E ：)()220x y ay a +=>（如图），称这类曲线为心形曲线.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当2a =时，（1）求E 的极坐标方程；（2）已知P ，Q 为曲线E 上异于O 的两点，且0OP OQ ⋅=，求OPQ △的面积的最大值.【答案】（1）()21sin ρθ=-（2）3+【解析】【分析】（1）将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入曲线E ，化简可得答案；（2）不妨设()1,P ρθ，2,2Q πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，()121sin ρθ=-，()221cos ρθ=-，则OPQ △的面积()()12121cos 1sin 2S ρρθθ==--，令sin cos t θθ=+，可得2221S t t =-+-，再利用配方计算可得答案.【小问1详解】将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入曲线E ，得()22sin ρρρθ=-，即()21sin ρθ=-，所以，E 的极坐标方程为()21sin ρθ=-；【小问2详解】不妨设()1,P ρθ，2π,2Q ρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，即()121sin ρθ=-，()2π21sin 21cos 2ρθθ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则OPQ △的面积()()22121cos 1sin 2S ρρθθ==--()22sin cos 2sin cos θθθθ=-++由于()2sin cos 12sin cos θθθθ+=+，令πsin cos 4t θθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则t ⎡∈⎣，22sin cos 1t θθ=-，则()222221211S t t t t t =-+-=-+=-，故当t =()2max 13S =-=+，即OPQ △的面积的最大值为3+.。
高三数学月考试题(文科)及答案
月考试题数 学（文科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
共150分；考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题；共60分)一、选择题：（本大题12小题；每小题5分；共60分；在每小题给出的四个选项中；只有一项是符合题目要求的）。
1．设集合{}4,3,2,1=P ；{}R x x x Q ∈>=,2；全集R U =；则集合=)(Q C P U（ ）A ．{1,2} B. {3,4} C. {1} D. {2,1,0,1,2}--2．已知532sin=θ；则θcos 的值为（ ） A. 725- B. 725 C. 45 D. 45-3．双曲线1322=-y x 的渐进线方程为（ ） A.3y x =± B.3y x =± C.13y x =±D. 33y x =± 4．“p 或q 是假命题”是“非p 为真命题”的（ ）A. 充分而不必要条件B.必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 5．在等比数列{}n a 中；5a ；4a ；6a 成等差数列；则公比q 等于（ ） A. 1或2B. 1-或2- C. 1或2- D. 1-或26．函数)01(12≤≤--=x x y 的反函数是（ ） A.21(01)y x x =-≤≤ B. 21(01)y x x =--≤≤C. 21(21)y x x =---≤≤- D. 21(10)y x x =---≤≤7．室内有一根直尺；无论怎样放置；在地面上总有这样的直线；它与直尺所在的直线（ ） A. 异面 B. 相交 C. 垂直 D. 平行8．函数3()45f x x x =++的图象在1x =处的切线与圆2250x y +=的位置关系为（ ） A. 相切B. 相交但不过圆心C. 过圆心D. 相离9． 函数()sin cos f x x x =⋅图解沿x 轴向左平移4π个单位；再将各点横坐标压缩为原来的12,则所得函数是（ ）A. 周期为2π的奇函数B. 周期为2π的偶函数C. 周期为2π的奇函数 D. 周期为2π的偶函数 10．已知三条不同的直线,,,m n l 两个不同的平面,αβ。
甘肃省兰州市第一中学高三月月考数学文试题含答案
兰州一中2020届高三9月月考试题数 学（文）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．.） 1.已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围为( ) A .(0，1] B .[1，＋∞) C .(0，1) D .(1，＋∞) 2.若复数z 满足()3443i z i -=+,则z 的虚部为( )A . 45i - B . 45-C . 45D . 45i 3.若||1a =r ，||2b =r ()a a b ⊥-r r r，则向量,a b r r 的夹角为( )A .45oB .60oC .120oD . 135o4.已知直线:10(R)l x ay a +-=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点()4,A a -作圆C 的一条切线,切点为B ,则AB =( ) A .2B .42C .6D .2105.如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，且BC 1⊥AC ，过C 1作C 1H ⊥底面ABC ，垂足为H ，则点H 在( )A .直线AC 上B .直线AB 上C .直线BC 上D .△ABC 内部6.已知三条直线2x －3y ＋1＝0，4x ＋3y ＋5＝0，mx －y －1＝0不能构成三角 形，则实数m 的取值集合为( )A .⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23 B .⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23，43 C .⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，－23 D .⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，237.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2 ,…, 960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9,抽到的32人中,编号落入区间[]1,450的人做问卷A ,编号落入区间[]451,750的人做问卷B ,其余的人做问卷C ,则抽到的人中,做问卷C 的人数为( )A .7B .9C .10D .158.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6),骰子朝上的面的点数分别为,x y ,则2log 1x y =的概率为( )A .16 B . 536 C . 112 D .129.若实数x ，y 满足条件4022000x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,则12x y -⎛⎫⎪⎝⎭ 的最大值为( )A .116B . 12C . 1D .210.已知等比数列{a n }的各项均为正数且公比大于1，前n 项积为T n ，且a 2a 4＝a 3，则使得T n >1的n 的最小值为( ) A .4B .5C .6D .711.函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2,对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( ) A .(－1，1) B .(－1，＋∞) C .(－∞，－1)D .(－∞，＋∞)12.已知椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()222222222:10,0x y C a b a b -=>>有相同的焦点12,F F ,若点P 是1C 与2C 在第一象限内的交点,且1222F F PF =,设1C 与2C 的离心率分别为12,e e ,则21e e -的取值范围是( )A . 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B . 1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C . 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D . 1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题（本大题共4 小题，每小题5分，共20分）13. 函数22()log (2)f x x x =--的单调递减区间是________.14.已知抛物线方程为y 2＝－4x ，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，在抛物线上有一动点A ，点A 到y 轴的距离为m ，到直线l 的距离为n ，则m ＋n 的最小值为________. 15.ABC ∆的内角,,ABC 的对边分别为,,a b c ，若a b c bc a b c -+=+-，则sin sin B C +的取值范围是 .16.已知实数e ,0()=lg(),0x x f x x x ⎧≥⎨-<⎩，若关于x 的方程()2()0f x f x t ++=有三个不同的实根，则t 的取值范围为____________．三、解答题(写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分，共70分)17.（12分）已知向量()()2cos ,1,cos 2,a x b x x =r r=函数().f x a b =⋅r r(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,求函数()f x 值域．18.（12分）在锐角ABC △中，,,a b c 为内角,,A B C 的对边，且满足(2)cos cos 0c a B b A --=． (1)求角B 的大小；(2)已知2c =，AC 边上的高BD =，求ABC △的面积S 的值．19.（11分）在平面直角坐标系xOy 中,直线l的参数方程为2,{2x t y =--= (t 为参数),直线l 与曲线()22:21C y x --=交于,A B 两点．(1)求AB 的长；(2)在以O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点P的极坐标为34π⎛⎫⎪⎝⎭,求点P 到线段AB 中点M 的距离．20.（11分）已知()()20f x ax ax a a =-+->． (1)当1a =时,求()f x x ≥的解集；(2)若不存在实数x ,使()3f x <成立,求a 的取值范围．21.（12分）设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x (常数a >0)． (1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值，求实数a 的取值范围．22.（12分）已知函数()(2)ln(1)()f x x x ax a R =++-∈． (1)若1a =,求曲线()y f x =在点()0,(0)f 处的切线方程； (2)若()0f x ≥在[)0,+∞上恒成立,求实数a 的取值范围．兰州一中2020届9月月考试题参考答案数学（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）二、填空题：（每小题5分，共20分） 13. (,1)-∞- 14.655－1 15. 16. (,2]-∞- 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(12分）已知向量()()2cos ,1,cos 2,a x b x x =r r=函数().f x a b =⋅r r(1)求函数()f x 的单调增区间;(2)当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,求函数()f x 值域.解：（1）()22cos 2f x a b x x =⋅=+r r2cos 212sin 216x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，由()222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈,得(),.36k x k k Z ππππ-≤≤+∈（2）由（1）知()f x 在0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴当6x π=时, ()max 3f x =;当0x =时, ()min 2f x =18.（12分）在锐角ABC △中，,,a b c 为内角,,A B C 的对边，且满足(2)cos cos 0c a B b A --=． （1）求角B 的大小．（2）已知2c =，AC 边上的高BD =，求ABC △的面积S 的值． 解（1）∵(2)cos cos 0c a B b A --=，由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos 0C A B B A --=， ∴2sin cos sin cos sin cos C B A B B A =+， 即2sin cos sin C B C =。
四川省内江市第六中学2022-2023学年高三上学期第二次月考《文科》数学(解析版)
内江六中2022—2023学年（上）高2023第二次月考文科数学试题第Ⅰ卷 选择题（满分60分）一、选择题（每题5分，共60分）1. 已知向量()1,2a =r ，()1,1b = ，若c a kb =+ ，且b c ⊥ ，则实数k =（ ）A. 32B. 53-C. 53D. 32-【答案】D 【解析】【分析】根据平面向量坐标的线性运算得c得坐标，在根据向量垂直的坐标关系，即可得实数k 的值.【详解】解：因为向量()1,2a =r ，()1,1b = ，所以()1,2c a kb k k =+=++ ，又b c ⊥，所以120b c k k ⋅=+++= ，解得32k =-.故选：D.2. 复数13i2iz -=+的虚部为（ ）A. 75-B. 7i 5-C. 73-D. 7i 3-【答案】A 【解析】【分析】利用复数的除法运算化简，即可得复数的虚部.【详解】解：复数13i (13i)(2i)17i 17i 2i (2i)(2i)555z -----====--++-故z 的虚部为75-.故选：A ．3. 若集合{1A =-，0，1}，2{|1B y y x ==-，}x A ∈，则A B = （ ）A. {0} B. {1}C. {0，1}D. {0，1}-【答案】D 【解析】【分析】把A 中元素代入B 中解析式求出y 的值，确定出B ，找出两集合的交集即可．【详解】解：把A 中=1x -，0，1代入B 中得：0y =，1，即{0B =，1}，则{0A B = ，1}-，故选：D ．4. 若变量x 、y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =+取最大值时的最优解是（ ）A. 5,03⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭C. 12,33⎛⎫⎪⎝⎭D. ()2,1-【答案】C 【解析】【分析】作出满足约束条件的可行域，平移直线20x y +=，即可得出结果.【详解】作出满足约束条件的可行域（如图中阴影部分所示）.2z x y =+可化为20x y z +-=，平移直线20x y +=，当其经过点C 时，目标函数2z x y =+取得最大值，联立21y x x y =⎧⎨+=⎩，解得13x =，23y =，故最优解是12,33⎛⎫⎪⎝⎭，故选：C.5. 若a ，b 均为实数，则“ln ln a b >”是“e e a b >”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据函数ln y x =与e x y =解不等式，即可判断.【详解】解：因为ln ln a b >，由函数ln y x =在()0,+∞上单调递增得：0a b >>又e e a b >，由于函数e x y =在R 上单调递增得：a b >由“0a b >>”是“a b >”的充分不必要条件可得“ln ln a b >”是“e e a b >”的充分不必要条件.故选：A.6. 如图是函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的图象的一部分，则函数()f x 的解析式为（ ）A. ()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B. ()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C. ()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. ()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】由图象可确定()f x 最小正周期T ，由此可得ω；根据712f A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭可求得ϕ；由()0f =可求得A ，由此可得()f x .【详解】由图象可知：()f x 最小正周期23471T πππ⎛⎫-=⎪⎝⎭=⨯，22T πω∴==；又77sin 126f A A ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()73262k k ππϕπ∴+=+∈Z ，解得：()23k k πϕπ=+∈Z ，又02πϕ<<，3πϕ∴=，()sin 23f x A x π⎛⎫∴=+⎪⎝⎭，()0sin 3f A A π=== ，2A ∴=，()2sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭.故选：B.7. 已知向量,a b 的夹角为4π，且1||4,(23)122a a b a b ⎛⎫=+⋅-= ⎪⎝⎭，则向量b 在向量a 方向上的投影是（ ）A.B. 3C. D. 1【答案】D 【解析】【分析】由题意，根据数量积的运算，化简等式，解得模长，结合投影的计算公式，可得答案.【详解】由()123122a b a b ⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⎭，22323122a a b a b b -⋅+⋅-= ，2213122a a b b +⋅-= ，21164cos 31224b b π+⨯⋅-=，230b -= ，(30b += ，解得b = b 在向量a 方向上的投影为cos 14b π= ，故选：D.8. 蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系．用均匀投点实现统计模拟和抽样，以获得问题的近似解，故又称统计模拟法或统计实验法，现设计一个实验计算圆周率的近似值，向两直角边长分别为6和8的直角三角形中均匀投点40个．落入其内切圆中的点有22个，则圆周率π≈（ ）A.6320B.3310C.7825D.9429【答案】B 【解析】【分析】根据几何概型的计算公式和题意即可求出结果.【详解】直角三角形内切圆的直径等于两直角边的和与斜边的差，即268104r =+-=，由几何概型得2222140682π⨯≈⨯⨯，从而3310π≈.故选：B.9. 双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert 于1898年提出蓄电池的容量C （单位：A·h ），放电时间t （单位：h ）与放电电流I （单位：A ）之间关系的经验公式n C I t =⋅，其中32log 2n =为Peukert 常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流10A I =时，放电时间57h t =，则当放电电流15A I =，放电时间为（ ）A. 28h B. 28.5hC. 29hD. 29.5h【答案】B 【解析】【分析】根据题意求出蓄电池的容量C ，再把15A I =代入，结合指数与对数的运算性质即可得解.【详解】解：根据题意可得5710n C =⋅，则当15A I =时，571015n n t ⋅=⋅，所以32231log 2log 222257575728.5h 333nt ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅=⋅= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即当放电电流15A I =，放电时间为28.5h.故选：B .10. 已知函数()32e ,0461,0x x f x x x x ⎧<=⎨-+≥⎩，则函数()()()2232g x f x f x =--⎡⎤⎣⎦的零点个数为（ ）．A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B 【解析】【分析】首先根据()()22320f x f x --=⎡⎤⎣⎦，得到()2f x =或1()2f x =-，然后利用导数分析0x ≥时函数的单调性，结合单调性画出函数的图象，通过图象即可观察出函数零点的个数.【详解】由()()()22320g x f x f x =--=⎡⎤⎣⎦，得()2f x =或1()2f x =-.当0x ≥时，2()121212(1)f x x x x x '=-=-，所以当(0,1)x ∈，()0,()'<f x f x 单调递减；当()1,x ∈+∞，()0,()'>f x f x 单调递增，所以1x =时，()f x 有极小值(1)4611f =-+=-.又0x <时，()x f x e =，画出函数()f x 的图象如图所示，由图可知：函数()()()2232g x f x f x =--⎡⎤⎣⎦的零点个数为3.故选：B .11. 已知()f x 是定义在R 上的函数满足(4)()f x f x -=-，且满足(31)f x -为奇函数，则下列说法一定正确的是（ ）A. 函数()f x 图象关于直线=2x 对称B. 函数()f x 的周期为2C. 函数()f x 关于点1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称 D. (2023)0f =【答案】D 【解析】【分析】对于A.令2x x =+代入(4)()f x f x -=-即可判断.对于C.可考虑图像平移或者将3x 换元进行判断.对于BD.通过AB对称轴和对称中心即可判断出函数周期，继而计算出(2023)f 【详解】因为函数()f x 关于直线2x =-对称，不能确定()f x 是否关于直线2x =对称，A 错误；因为(31)f x -为奇函数，所以(31)(31)f x f x -=---，所以(1)(1)f x f x -=---，所以()(2)f x f x =---，所以函数()f x 关于点(1,0)-中心对称，故C 错误;由()(4)f x f x =--与()(2)f x f x =---得(4)(2)f x f x --=---，即(4)(2)f x f x -=--，故(4)()f x f x -=，所以函数()f x 的周期为4，故B 错误；(2023)(50641)(1)0f f f =⨯-=-=，故D 正确．故选:D的的12. 已知关于x 的不等式(e )e ->x x x x m m 有且仅有两个正整数解（其中e 2.71828= 为自然对数的底数），则实数m 的取值范围是（ ）A. 43169(,]5e 4eB. 3294(,4e 3eC. 43169[,5e 4eD. 3294[,e 3e 4【答案】D 【解析】【分析】问题转化为2(1)e x x m x +<（0x >）有且仅有两个正整数解，讨论0m ≤、0m >并构造()(1)f x m x =+、2()ex x g x =，利用导数研究单调性，进而数形结合列出不等式组求参数范围.【详解】当0x >时，由2e e 0xxx mx m -->，可得2(1)ex x m x +<（0x >），显然当0m ≤时，不等式2(1)ex x m x +<在(0,)+∞恒成立，不合题意；当0m >时，令()(1)f x m x =+，则()f x 在(0,)+∞上单调递增，令2()ex x g x =，则(2)()e xx x g x '-=，故(0,2)上()0g x '>，(2,)+∞上()0g x '<，∴()g x 在(0,2)上递增，在(2,)+∞上递减，又(0)(0)0f m g =>=且x 趋向正无穷时()g x 趋向0，故()240,e g x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，综上，(),()f x g x 图象如下：由图知：要使()()f x g x <有两个正整数解，则()()()()()()11{2233f g f g f g <<≥，即2312e 43e 94e m m m ⎧<⎪⎪⎪<⎨⎪⎪≥⎪⎩，解得32944e 3e m ≤<．故选：D【点睛】关键点点睛：问题转化为2(1)ex x m x +<（0x >）有且仅有两个正整数解，根据不等式两边的单调性及正整数解个数列不等式组求范围.第Ⅱ卷非选择题（满分90分）二、填空题（每题5分，共20分）13. 1289log 24⎛⎫+= ⎪⎝⎭______ ．【答案】116##516【解析】【分析】利用指数幂与对数运算即可求解.【详解】112388893111log 2log 8log 84236⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭.故答案为：116.14. 曲线123x y x -=+在点()1,2--处的切线方程为________．（用一般式表示）【答案】530x y -+=【解析】【分析】利用导数的几何意义即得.【详解】由123x y x -=+，得22(23)2(1)5(23)(23)x x y x x +--'==++，所以切线的斜率为255(23)k ==-+，所以所求的切线方程为(2)5[(1)]y x --=--，即530x y -+=.故答案为：530x y -+=.15. 已知π4sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________.【答案】725##0.28【解析】分析】利用倍角余弦公式求得2π7cos(2)325α+=-，由诱导公式π2πsin(2cos(263αα+=-+，即可求值.【详解】22ππ167cos(212sin 12332525αα⎛⎫+=-+=-⨯=- ⎪⎝⎭，而πππ2π7sin(2cos(2)cos(2)662325ααα+=-++=-+=.故答案为：72516. 已知函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(ω>0)，若()f x 在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点，且在,424ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围是________.【答案】510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】由()f x 在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点，令3x k πωπ+=，Z k ∈，可得52338233ππωππω⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，令22232k x k ππππωπ-+≤+≤+，Z k ∈，可得f (x )在5,66ππωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，从而有5646240ππωππωω⎧-≤-⎪⎪⎪≥⎨⎪>⎪⎪⎩，联立求解即可得答案.【详解】解：由题意，令3x k πωπ+=，Z k ∈，得x ＝33k ππω-，Z k ∈，∴f (x )的第2个、第3个正零点分别为53πω，83πω，【∴52338233ππωππω⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，解得542ω≤<，令22232k x k ππππωπ-+≤+≤+，Z k ∈，∴52266k k x ππππωωωω-+≤≤+，Z k ∈，令k ＝0，f (x )在5,66ππωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴5,,42466ππππωω⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，∴5646240ππωππωω⎧-≤-⎪⎪⎪≥⎨⎪>⎪⎪⎩，解得1003ω<≤，综上，ω的取值范围是51023ω≤≤.故答案为：510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦.三、解答题（共70分）（一）必考题（共60分）17. 在锐角ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知sin sin ,2A Ca b A b +==.（1）求角B 的大小；（2）求2a c -的取值范围.【答案】（1）3π（2）()0,6【解析】【分析】（1）结合A C B π+=-，以及诱导公式、二倍角公式、正弦定理化简原式，即得解；（2）利用正弦定理，辅助角公式可化简26a c A π⎛⎫-=-⎪⎝⎭，结合A 的范围即得解【小问1详解】A CB π+=- ，sinsin 2B a b A π-∴=cos sin 2B a b A ∴=sin cos sin sin 2B A B A ∴=cos sin 2sin cos 222B B B B ∴==1sin 22B ∴=，又B 为锐角,263B B ππ∴==【小问2详解】由正弦定理4sin sin sin a b c A B C ====，214sin ,4sin 4sin 4sin 2sin 32a A c C A A A A A π⎫⎛⎫∴===-=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，128sin 2sin 6sin cos 2a c A A A A A A A ⎫∴-=--=-=-⎪⎪⎭6A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭由锐角ABC ，故20,0232A C A πππ<<<=-<故(),sin ,20,6626A A a c πππ⎛⎛⎫<<∴-∈∴-∈ ⎪ ⎝⎭⎝.18. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2512a a +=，424S S =．（1）求n a 及n S ；（2）若11n n n n a b S S ++=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）21n a n =-，2n S n =（2）()2111n T n =-+【解析】【分析】（1）设出等差数列的首项和公差，利用等差数列的通项公式、前n 项和公式得到关于首项和公差的方程组求出1a 和d ，进而求出n a 及n S ；（2）利用（1）求出n b ，再利用裂项抵消法进行求和.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则11125124344(2)2a d a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=+⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，所以()12121n a n n =+-=-，()21212n n n S n n -⨯=⨯+=．【小问2详解】由（1）得：+121n a n =+，21(1)n S n +=+，则()()122221211111n n n n a n b S S n n n n +++===-⋅++，所以123n nT b b b b =+++⋅⋅⋅+()22222222111111122331114n n =-+-+-+⋅⋅-+⋅+()2111n =-+..19. 已知()2ex x a f x -=.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若()1f x x ≤-对[)1,x ∞∈+恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）10x y --=（2）1a ≥【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义以及直线方程的点斜式即可求解.（2）分离参数a ，转化成不等式恒成立问题，利用导数求最值即可.【小问1详解】当1a =时，()21ex x f x -=，()01f =-，()22(1)ex x x f x --'=，(0)1k f '∴==，所以切线方程为：11(0)y x +=⨯-，即10x y --=.【小问2详解】()1f x x ≤-恒成立，即2(1)e x a x x ≥--在[)1,x ∞∈+上恒成立，设2()(1)e x g x x x =--，()(2e )x g x x '=-，令()0g x '=，得120,ln 2x x ==，在[)1,+∞上，()0g x '<，所以函数2()(1)e x g x x x =--在[)1,+∞上单调递减，所以max ()(1)1g x g ==，max ()a g x ∴≥，故有1a ≥.20. 2022年2月4日北京冬奥运会正式开幕，“冰墩墩”作为冬奥会的吉祥物之一，受到各国运动员的“追捧”，成为新晋“网红”，尤其在我国，广大网友纷纷倡导“一户一墩”，为了了解人们对“冰墩墩”需求量，某电商平台采用预售的方式，预售时间段为2022年2月5日至2022年2月20日，该电商平台统计了2月5日至2月9日的相关数据，这5天的第x 天到该电商平台参与预售的人数y （单位：万人）的数据如下表：日期2月5日2月6日2月7日2月8日2月9日第x 天12345人数y （单位：万人）4556646872（1）依据表中的统计数据，请判断该电商平台的第x 天与到该电商平台参与预售的人数y （单位：万人）是否具有较高的线性相关程度？（参考：若0.300.75r <<，则线性相关程度一般，若0.75r ≥，则线性相关程度较高，计算r 时精确度为0.01）（2）求参与预售人数y 与预售的第x 天的线性回归方程；用样本估计总体，请预测2022年2月20日该电商平台的预售人数（单位：万人）.参考数据：()()()55211460, 6.78i i i i i y y x x y y ==-=--=≈∑∑，附：相关系数()()()121ˆˆˆ,n i i i n i i x x y y r b ay bx x x ==--===--∑∑【答案】（1）具有较高的线性相关程度（2）ˆ 6.641.2yx =+，146.8万人【解析】【分析】（1）根据已知数据计算出相关系数r 可得；（2）由已知数据求出回归方程的系数得回归方程，然后在回归方程中令16x =代入计算可得估计值．【小问1详解】由表中数据可得1234545566468723,6155x y ++++++++====，所以()52110i i x x =-=∑又()()()55211460,66i i i i i y y x x y y ==-=--=∑∑所以0.970.75nx x y y r --==≈>所以该电商平台的第x 天与到该电商平台参与预售的人数y （单位：万人）具有较高的线性相关程度即可用线性回归模型拟合人数y 与天数x 之间的关系.【小问2详解】由表中数据可得()()()12166ˆ 6.610ni ii n i i x x y y b x x ==--===-∑∑则ˆˆ61 6.6341.2a y bx=-=-⨯=所以ˆ 6.641.2yx =+令16x =，可得ˆ 6.61641.2146.8y=⨯+=（万人）故预测2022年2月20日该电商平台预售人数146.8万人21. 已知()()2e 2ln x f x x a x x =-+（1）当e a =时，求()f x 的单调性；（2）讨论()f x 的零点个数．【答案】（1）()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增； （2）当0e ≤<a ，0个零点；当e a =或a<0，1个零点；e a >，2个零点【解析】【分析】（1）求出函数的导函数()()e 2e x f x x x x ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭，可得()10f '=，令()e e x g x x x =-，利用导数说明()g x 的单调性，即可求出()f x 的单调区间；（2）依题意可得()()2ln e 2ln 0x x f x a x x +=-+=，令2ln t x x =+，则问题转化为e t at =，R t ∈，利用零点存在定理结合单调性可判断方程的解的个数.【小问1详解】解：因为e a =，0x >，()()2e e 2ln x f x x x x =-+所以()()()()()2e 22e 2e e 12e 2e x x x x f x x x x x x x x x x +⎛⎫⎛⎫'=+-+=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()10f '=令()e e xg x x x =-，()()2e 1e 0x g x x x '=++>，所以()g x 在()0,+∞单增，且()10g =，当()0,1∈x 时()e e 0x g x x x =-<，当()1,x ∈+∞时()e e 0x g x x x =->，所以当()0,1∈x 时()0f x ¢<，当()1,x ∈+∞时()0f x ¢>，所以()f x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增【小问2详解】解：因为()()()2ln 2ln e e 2ln e 2ln 0x x x x f x a x x a x x +=⋅-+=-+=令2ln t x x =+，易知2ln t x x =+在()0,+∞上单调递增，且R t ∈，故()f x 零点转化为()()2ln e 2ln e 0x x t f x a x x at +=-+=-=即e t at =，R t ∈，的设()e t g t at =-，则()e tg t a '=-，当0a =时，()e tg t =无零点；当a<0时，()e 0t g t a '=->，故()g t 为R 上的增函数，而()010g =>，11e 10a g a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故()g t 在R 上有且只有一个零点；当0a >时，若(),ln t a ∈-∞，则()0g t '<；()ln ,t a ∈+∞，则()0g t '>；故()()()min ln 1ln g t g a a a ==-，若e a =，则()min 0g t =，故()g t 在R 上有且只有一个零点；若0e a <<，则()min 0g t >，故()g t 在R 上无零点；若e a >，则()min 0g t <，此时ln 1a >，而()010g =>，()()22ln 2ln 2ln g a a a a a a a =-=-，设()2ln h a a a =-，e a >，则()20a h a a-'=>，故()h a 在()e,+∞上为增函数，故()()e e 20h a h >=->即()2ln 0g a >，故此时()g t 在R 上有且只有两个不同的零点；综上：当0e ≤<a 时，0个零点；当e a =或a<0时，1个零点；e a >时，2个零点；【点睛】思路点睛：导数背景下的零点问题，注意利用零点存在定理结合函数单调性来讨论.（二）选考题（10分）请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22. 已知曲线1C 的参数方程为e e e e t tt t x y --⎧=+⎨=-⎩（t 为参数），以直角坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线2C 的极坐标方程4cos ρθ=.（1）求1C 的极坐标方程；（2）若曲线π(0)6θρ=>与曲线1C 、曲线2C 分别交于两点A ，B ，点(40)P ， ，求△PAB 的面积.【答案】（1）24ππ(cos 244ρθθ=-<<（2）【解析】【分析】（1）将1C 的参数方程化为普通方程，再根据极坐标与直角坐标的转化公式即可得答案;（2）联立方程，分别求得点A ，B 的极坐标，根据三角形面积公式即可求得答案.【小问1详解】由e e e et tt t x y --⎧=+⎨=-⎩消去参数t ，得224x y -=,因为e e 2t t -+≥，所以曲线1C 的直角坐标方程为224(2)x y x -=≥，因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，所以曲线1C 的极坐标方程为24ππ()cos 244ρθθ=-<< ；【小问2详解】由2π64cos2θρθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得:A ρ=所以曲线π(0)6θρ=>与曲线1C 交于点A π)6，由π64cos θρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩,得:B ρ=， 所以曲线π(0)6θρ=>与曲线2C :4cos ρθ=交于点B π6，则PAB S =△PA PBS S -△O △O 1π4()sin 26B A ρρ=⨯⨯-=选修4-5：不等式选讲23. 己知函数()221f x x a x a =+++-．（1）当0a =时，求不等式()2f x ≥的解集；（2）若对于任意x ∈R ，都有()2f x ≥，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()1,1,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭（2）32a ≤-或1a ≥．【解析】【分析】（1）分0x ≥，102x -≤<，12x <-三种情况打开绝对值，求解即可；（2）打开绝对值，将函数()f x 写成分段函数，结合单调性求解即可【小问1详解】()21f x x x=++当0x ≥时，()312f x x =+≥，解得13x ≥，当102x -≤<时，()12f x x =+≥，解得x ∈∅，当12x <-时，()312f x x =--≥，解得1x ≤-，所以不等式()2f x >的解集为()1,1,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭．【小问2详解】因为222172()12148(0222a a a a a +++++--==>，故212a a +>-所以()2222231,11,2131,2x a a x a a f x x a a x a a x a a x ⎧⎪++-≥⎪+⎪=+++-≤<⎨⎪+⎪---+<-⎪⎩所以函数()f x 在1,2a +⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上递减，在1,2a +⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上递增，所以函数()f x 在R 上的最小值为21122a a f a ++⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭．所以2122a a ++≥，即223(23)(1)0a a a a +-=+-≥解得32a ≤-或1a ≥。
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高三数学月考文科数学试题及答案
本试卷共4页，24小题，满分150分．考试用时120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级和学号填写在答题卷上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．作答选做题时，请先填选做题题号，再作答．漏填的，答案无效．
5．考生必须保持答题卡、答题卷的整洁．考试结束后，将试卷与答题卷一并交回．参考公式：半径为R的球的表面积公式：S球4R
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
21、已知集合A{0,b},B{xZ3x0},若AB,则b等于（）2
A．1 B．2 C．3 D．1或2
2、已知i
为虚数单位，且|1ai|a的值为（）
A．1 B．2 C．1或-1 D．2或-2
y2
x21的渐近线方程为（）3、双曲线3
x C．y2x D
．yx A
．y B
．y4、函数f(x)sin(x
A．x4)的图像的一条对称轴方程是（）
4242
1,x01,x为有理数5、设f(x)0,x0，g(x)，若f(g(a))0，则（）
0,x为无理数1,x0
A．a为无理数B．a为有理数C．a0 D．a1
6、设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)是奇函数D．|g(x)|是奇函数
7、已知点D为等腰直角三角形ABC斜边AB的中点，则下列等式中恒成立的是( ) ．B．x C．x D．x CACBA．B．C．D．ACACABBCBCBA(CACB)(CACB)0 CD|CA||CB|。