多元函数微积分学

第六章 多元函数微积分学§6.1空间解析几何习题 6-11.在空间直角坐标系中，指出下列各点所在的卦限:(2,2,3);(6,2,4);(1,5,3);(3,2,4);A B C D ------ (4,3,2);(2,3,1);(3,3,5);(1,2,3).E F G H ------2.写出坐标面上和坐标轴上的点的坐标的特征，并指出下列各点的位置:(2,0,3);(0,2,4);(0,0,3);(0,2,0);A B C D ---3.求点(,,)M a b c 关于(1)各坐标面;(2)各坐标轴;(3)坐标原点的对称点的坐标.4.求以点(1,3,2)O -为球心，且通过坐标原点的球面方程.5.求与原点和0(2,3,4)M 的距离之比为1:2的点的全体所构成的曲面的方程，它表示怎样的曲面？6. 指出下列方程组所表示的曲面222(1)4x y z ++=；7.指出下列方程组所表示的曲线:22225(1)3x y z x ⎧++=⎨=⎩； 22(2)20x y z +-=； 22(3)0x y -=； 22(4)0x y +=；22(5)1916x y +=；22(6)125yx -=；(7)0y -=；2(8)430y y -+=；2(9)4x y =； 222(10)0z x y --=.§6.2 多元函数的基本概念习题 6-21.设22,y f x y x y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求(,)f x y .2.已知函数(,,)w u v f u v w u w +=+，试求(,,)f x y x y xy -+.3.求下列各函数的定义域:2(1)ln(21)z y x =-+; (2)z =22(3)z =;(4)z =; (5)ln()z y x =-;(6)u =4.求下列各极限:10(1)y x y →→(,)(0,0)(2)lim x y →; 22()(3)lim ()x y x y x y e -+→+∞→+∞+; 222200(4)lim x y x y x y →→+; 00(5)x y →→;222222001cos()(6)lim ()x y x y x y x y e →→-++. 5.证明下列极限不存在:2222(,)(0,0)2(1)lim 32x y x y x y →-+; 100(2)lim(1)x yx y xy +→→+; (,)(0,0)(3)lim x y →6.研究下列函数的连续性:222(1)(,)2y x f x y y x+=-; 22(2)(,)ln()f x y xy x y =+.7.设22122,0,(,)10,0,x x ye x y f x y y e x y ⎧⎪≠⎪=⎨+⎪⎪=⎩任意任意，讨论(,)f x y 在(0,0)处的连续性. §6.3 偏 导 数习题6-31.求下列函数的偏导数:3223(1)3z x y x y xy =+-; 22(2)x y z xy+=; (3)z =sin (4)y z x =; (5)(1)y z xy =+; (6)(cos sin )x z e y x y =+; 2(7)sin()cos ()z xy xy =+; (8)ln tanx z y=; 222(9)sin()u x y z =++; (10)zx u y ⎛⎫= ⎪⎝⎭.2.设11x y z e⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=，证明222z z xy z x y∂∂+=∂∂. 3.设(,)(f x y x y =+-(,1)x f x . 4.设2((,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y x y f x y x y ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩，求(0,0)x f '，(0,0)y f '. 5.曲线2244x y z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩在点(2,4,5)处的切线与x 轴正向所成的倾角是多少？6.求下列函数的22z x∂∂，22zy ∂∂和2z x y ∂∂∂: (1)ln()z x x y =+; 2(2)xy z x ye =; (3)x z y =.7.设222(,,)f x y z xy yz zx =++，求(0,0,1)xx f ，(1,0,2)xz f ，(0,1,0)yz f -及(2,0,1)zzx f .8.设2()3y z xy x ϕ=+，其中函数()u ϕ可导，证明22z zx y xy x y ∂∂+=∂∂. 9.设ln()z x xy =，求32z x y ∂∂∂及32zx y∂∂∂. §6.4 全微分及其应用习题6-41.求下列函数的全微分:2(1)3xz x yy=+; (2)sin(cos )z x y =; (3)z =(4)yzu x =.2.求函数22ln(2)z x y =++在2,1x y ==时的全微分.3.设(,,)f x y z =d (1,1,1)f . 4.求函数yz x=在2,1,0.1,0.2x y x y ==∆=∆=-时的全增量z ∆和全微分d z . 5.求下列函数在各点的线性化.22(1)(,)1,(1,1)f x y x y =++; (2)(,)cos ,(0,2)x f x y e y π=.6.的近似值.7. 计算 2.98(1.007)的近似值.8.已知边长为6x =m 与8y =m 的矩形，如果x 边增加2cm ，而y 边减少5cm ，问这个矩形的对角线的近似值怎样变化？9.用某种材料做一个开口长方体容器，其外形长5m ，宽4m ,高3m ，厚20cm ，求所需材料的近似值与精确值.10.由欧姆定律，电流I ，电压V 及电阻R 有关系VR I=.若测得110V V =，测量的最大绝对误差为2V ，测得20A I =，测量的最大绝对误差为0.5A .问由此计算所得到的的最大绝对误差和最大相对误差是多少？§6.5 复合函数微分法习题6-51.设y z x =，而tx e =，21t y e =-，求d d z t. 2.设2x y z e -=，而sin x t =，3y t =，求d d zt.3.设2ln z u v =，而x u y =，32v x y =-，求z x∂∂，z y ∂∂. 4.设22()xy z x y =+，求z x ∂∂，z y∂∂. 5.设arctan()z xy =，x y e =，求d d z t. 6.求下列函数的一阶偏导数（其中f 具有一阶连续偏导数）:22(1)(,)u f x y xy =-; (2),x y u f y z ⎛⎫= ⎪⎝⎭; (3)(,,)u f x xy xyz =.7.设22()y z f x y =-，其中f 为可导函数，验证211z z zx x y y y∂∂+=∂∂. 8.设函数222(,)u f x y z x y z =++++，其中f 具有二阶连续偏导数，求222222u u uu x y z∂∂∂∆=++∂∂∂.9.设(2,sin )z f x y y x =-，其中f 具有二阶连续偏导数，求2zx y ∂∂∂. 10.求下列函数的22zx∂∂，2z x y ∂∂∂，22z y ∂∂（其中f 具有二阶连续偏导数）. (1)(,)u f xy y =; 2(2),y u f x y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.11.设(,)z f x y =二次可微，且cos u x e v =，sin u y e v =，试证:222222222u z z z z e x y u v -⎛⎫∂∂∂∂+=+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭. 12.设()()u x x y y x y ϕφ=+++，其中函数,ϕφ具有二阶连续导数，验证:2222220u u ux x y y ∂∂∂-+=∂∂∂∂. §6.6 隐函数微分法习题7-61.已知arctany x =，求d d y x. 2.设20x y z ++-=,求z x ∂∂，zy∂∂. 3.设函数(,)z x y 由方程,0z z F x y y x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭所确定，证明z zxy z xy x y∂∂+=-∂∂. 4.设222z x y z yf y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，其中f 可导，求z x ∂∂，zy ∂∂.5.设(,)u v Φ具有连续偏导数，证明由方程(,)0cx az cy bz Φ--=所确定的隐函数(,)z f x y =满足z zab c x y∂∂+=∂∂. 6.设320z xz y -+=，求22z x∂∂，22zy ∂∂.7.设5431z xz yz -+=，求2(0,0)zx y∂∂∂.8.设22201x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，求d d x z ，d d yz . 9.设22300x y z z x y z z ⎧+++=⎨+++=⎩，求d d z x ，d d y x . 10.设sin cos u ux e u v y e u v⎧=-⎨=-⎩，求u x ∂∂，v x ∂∂，u y ∂∂，v y ∂∂. 11.设x yexy +=，证明:222223d [(1)(1)]d (1)y y x y x x y -+-=--.§6.7 多元函数的极值及其求法习题6-71.求函数33(,)3f x y x y xy =+-的极值.2.求函数22222(,)()2()f x y x y x y =+--的极值.3.求函数22(,)(2)x f x y e x y y =++的极值.4.求函数(,)sin cos cos(),0,2f x y x y x y x y π=++-≤≤的极值.5.求由方程222224100x y z x y z ++-+--=确定的函数(,)z f x y =的极值.6.欲围一个面积为602m 的矩形场地，正面所用材料每米造价10元，其余三面每米造价5元，求场地的长、宽各为多少米时，所用材料费最少？7.将周长为2p 的矩形绕它的一边旋转构成一个圆柱体，问矩形的边长各为多少时，才能使圆柱体的体积最大？8.抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求原点到此椭圆的最长与最短距离.9.某工厂生产两种产品A 与B ，出售单价分别为10元与9元，生产x 单位的产品A与生产y 单位的产品B 的总费用是22400230.01(33)x y x xy y +++++（元）.求取得最大利润时两种产品的产量.10.为了测定刀具的磨损速度，按每隔一小时测量一次刀具厚变的方式，得如下表所示的实测数据试根据这组实测数据，建立变量y 和t 之间的经验公式()y f t =.§6.8 二重积分的概念与性质习题6-81.设1221(),D I x y d σ=+⎰⎰其中}{1(,)11,22,D x y x y =-≤≤-≤≤又2222(),D I x y d σ=+⎰⎰}{1(,)01,02D x y x y =≤≤≤≤；试用二重积分几何意义说明1I 与2I 的关系．2.利用二重积分定义证明：(1) Dd σσ=⎰⎰（σ为区域D 的面积）； (2)(,)(,)DDkf x y d k f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰（其中k 为常数）； (3)12(,)(,)(,)DD D f x y d f x y d f x y d σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰（12D D D =⋃，12,D D为两个无公共内点的闭区域）．3.根据二重积分性质比较下列积分大小： (1) 2()Dx y d σ+⎰⎰与3()Dx y d σ+⎰⎰，其中积分区域是由x 轴，y 轴与直线1x y +=所围成； (2)2()D x y d σ+⎰⎰与3()Dx y d σ+⎰⎰，其中积分区域是由圆周22(2)(1)2x y -+-=所围成； (3)()Dln x y d σ+⎰⎰和3()Dln x y d σ+⎰⎰，其中}{(,)D x y x y e =+≥. 4.利用二重积分的性质估计下列积分的值：(1)()DI xy x y d σ=+⎰⎰，其中}{(,)01,01D x y x y =≤≤≤≤；(2)22sin sin DI x yd σ=⎰⎰，其中}{(,)0,0D x y x y ππ=≤≤≤≤； (3)(1)DI x y d σ=++⎰⎰，其中}{(,)01,02D x y x y =≤≤≤≤；(4)22(49)DI xy d σ=++⎰⎰,其中}{22(,)4D x y x y =+≤.§6.9 二重积分的计算(一)习题6-91.计算下列二重积分：(1) 22()Dx y d σ+⎰⎰，其中:1,1D x y ≤≤；(2)(32)D x y d σ+⎰⎰,其中区域D 由坐标轴以及2x y +=围成；(3) 323(3)Dx x y y d σ++⎰⎰,其中D ：01,01x y ≤≤≤≤；(4) cos()Dx x y d σ+⎰⎰其中D 是顶点分别为(0,0)，(,0)π和(,)ππ的三角区域.2.画出积分区域并计算二重积分：(1)Dσ⎰⎰，其中D是由2,y x y ==(2) 2Dxy d σ⎰⎰,其中D 是圆周224x y +=及y 轴所围成的右半闭区域；(3) 22()Dx y d σ-⎰⎰，其中D ：0sin ,02y x x π≤≤≤≤(4) x y De d σ+⎰⎰,其中D :1x y +≤;(5) 22()Dx y x d σ+-⎰⎰,其中D 是由2,y y x ==及2y x =所围成的闭区域；(6) sin Dx d x σ⎰⎰，其中D 由,,22xy x y x ===所围成； (7) 1Dxd y σ+⎰⎰,其中D 由21,2,0y x y x x =+==围成； (8) 22Dx d yσ⎰⎰,其中D 由22,1,2xy y x x ==+=围成；(9) 226Dx y dxdy ⎰⎰， 其中D 由2,,2y x y x y x ==-=-围成的在x 轴上方的区域.3.改变下列二次积分的次序：(1) 1(,)ydy f x y dx ⎰⎰；(2) 2220(,)yydy f x y dx ⎰⎰；(3)1(,)dy f x y dx ⎰；(4) 212(,)xdx f x y dy -⎰；(5) ln 1(,)exdx f x y dy ⎰⎰；(6)sin 0sin2(,)xx dx f x y dy π-⎰⎰；(7)12201()()xxdx f x dy dx f x dy -+⎰⎰⎰⎰.4.证明：211(,)()()yx dy f x y dx e e f x dx =-⎰⎰.5.如果二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰的被积函数(,)f x y 是两个函数1()f x 及2()f y 的乘积，即12(,)()()f x y f x f y =⋅，积分区域{}(,),D x y a x b c y d =≤≤≤≤，证明此二重积分恰为两个单积分的乘积：1212()()()()b da c Df x f y dxdy f x dx f y dy ⎡⎤⎡⎤⋅=⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰.6.设(,)f x y 在D 上连续，其中D 是由直线,,()y x y a x b b a ===>围成的区域，证明：(,)(,)bxbbaaaydx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰.7.设()f x 在[]0,1上连续，并且10()f x dx A =⎰，求11()()xdx f x f y dy ⎰⎰.8.用二重积分表示由曲面220,1,1z x y z x y =++=+=所围成的立体体积. 9.计算由四个平面0,0,1x y x y ==+=所围成的柱面被平面0z =及抛物面226x y z +=-所截得的立体体积.10.求由曲面22222,62z x y z x y =+=--围成的立体体积.§6.10 二重积分的计算（二）习题 6-101.把(,)Df x y dxdy ⎰⎰化为极坐标形式的二次积分，其中积分区域D 为:(1)222(0)x y a a +≤>； (2)2222(0)a x y b a b ≤+≤<<；(3)222x y x +≤； (4)01,01y x x ≤≤-≤≤.2.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分：(1)11(,)dx f x y dy ⎰⎰； (2)20(,)xdx f x y dy ⎰；(3)11(,)xdx f x y dy -⎰； (4) 21(,)x dx f x y dy ⎰⎰.3.化下列积分为极坐标形式并计算积分值：(1)22200)adx x y dy +⎰； (2) 211222()xxdx x y dy -+⎰⎰；(3)220)ady x y dx +⎰.4. 计算下列二重积分：(1) 22x y Ded σ+⎰⎰,其中D 是由224x y +=所围成的闭区域；(2) 22ln(1)Dx y d σ++⎰⎰,其中D 是由圆周221x y +=及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域；(3) arctanDyd xσ⎰⎰,其中D 是由22224,1x y x y +=+=及直线0,y y x ==所围成的在第一象限内的闭区域；(4)Dσ，其中D 是由x a =,y x a =+,y a =,3y a =及x 轴围成；(5)22()x y x yx y dxdy +≤++⎰⎰.5.选用适当坐标计算下列各题：(1)22Dx d yσ⎰⎰,其中D 是由2,,1x y x xy ===所围成的闭区域； (2)Dσ,其中D 是由圆周221x y +=及坐标轴围成的在第一象限的闭区域；(3) 22()Dx y d σ+⎰⎰,其中D 是由直线,,3(0)y x y x a y a a ==+=>所围成的闭区域；(4)Dσ，其中D 是由圆环形闭区域：2222a x y b ≤+≤；(5) ()Dx y d σ+⎰⎰，其中D ：2220x y ax +-≤；(6) ()Dx y d σ+⎰⎰,其中D 是由22,4,12y x x y x y =+=+=所围成的区域.6.进行适当变量代换，化二重积分()Df xy dxdy ⎰⎰为单积分，其中D 为由曲线1,2,,4(0,0)xy xy y x y x x y ====>>所围成的闭区域.7.做适当变量代换证明等式：11()()Df x y dxdy f u du -+=⎰⎰⎰，其中闭区域D ：1x y +≤.总习题六1.求函数(0)z a =>的定义域. 2.求下列极限:21(1)lim 1x x yx y x +→∞→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭; 22(2)limx y x yx xy y →∞→∞+-+.3.试判断极限24200lim x y x yx y →→+是否存在. 4.讨论二元函数1()cos ,0(,)0,0x y x f x y xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩在点(0,0)处的连续性. 5.求下列函数的偏导数:20(1)d xyt z e t -=⎰; (2)arctan()z u x y =-.6.设r =2222222r r r x y z r∂∂∂++=∂∂∂.7.求函数u =的全微分.8.求(,,)y z x u x y z x y z =的全微分.9.设arctan22()yxz x y e-=+，求d z ，2zx y∂∂∂.10.设2222222,0(,)0,0x yx y f x y x yx y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩，求(,)x f x y 及(,)y f x y . 11.设222222),0(,)0,0x y x y f x y x y ++≠=⎪+=⎩，讨论(,)f x y 在点(0,0)处的可微性.12.设222222221()sin ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩，问在点(0,0)处， (1)偏导数是否存在？ (2)偏导数是否连续？(3)是否可微？说明理由.13.设2()1ax e y z u a -=+，sin y a x =，cos z x =，求d d yx.14.设()z xy xF u =+，而yu x=，()F u 为可导函数，证明z z x y z xy x y ∂∂+=+∂∂. 15.设(,,)z f u x y =，yu xe =，其中f 具有连续的二阶偏导数，求2zx y∂∂∂. 16.设()x yu x y x y+=≠-，求m n m n z x y +∂∂∂（m ，n 为自然数）.17.设(,)z z x y =为由方程xyz =z x ∂∂和z y∂∂. 18.设方程,0x y F z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭确定了函数(,)z z x y =，求z x ∂∂，z y ∂∂.19.设z 为由方程(,)0f x y y z ++=所确定的函数，求d z ，22zx ∂∂.20.设333z xyz a -=，求2zx y∂∂∂. 21.设222222320z x y x y z ⎧=+⎨++=⎩，求d d y x ，d d zx . 22.求函数3322(,)ln(1)1154x y f x y x y =+++--的极值.23.将正数a 分成三个正数,,x y z ，使m n p f x y z =最大，其中,,m n p 均为已知数.24.某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为1p 和2p ，销售量分别为1q 和2q ，需求函数分别为11240.2q p =-和22100.05q p =-，总成本函数为123540()C q q =++.试问:厂家如何确定商品在两个市场的售价，才能使获得的总利润最大？最大总利润为多少？25.某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种产品的广告.根据统计资料，销售收入R （万元）与电台广告费用1x （万元）及报纸广告费用2x （万元）之间的关系有如下的经验公式:221212121514328210R x x x x x x =++---.(1) 在广告费用不限的情况下，求最优广告策略; (2) 若广告费用为1.5万元，求相应的最优广告策略.26.计算二重积分：(1)(1)sin Dx yd σ+⎰⎰，其中D 是顶点分别为(0,0),(1,0),(1,2)和()0,1的梯形闭区域；(2)22()Dx y d σ-⎰⎰，其中{}(,)0sin ,0D x y y x x π=≤≤≤≤；(3),Dσ其中D 是圆周22x y Rx +=所围成的闭区域；(4)2(369)Dy x y d σ+-+⎰⎰,其中{}222(,)D x y x y R =+≤. 27.交换二次积分的次序：(1)()1440(,)y dy f x y dx -⎰⎰；(2)110(,)dx f x y dy ⎰；(3)123301(,)(,)yydy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰.28.证明：()()0()()()ay am a x m a x dy e f x dx a x e f x dx --=-⎰⎰⎰；29.把积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域{}(,)1,11D x y x y x =≤≤-≤≤.30.计算二重积分：(1)22D x d yσ⎰⎰，其中D 是由2xy =，21y x =+和2x =所围成的闭区域； (2)226Dx y d σ⎰⎰，其中D 是由y x =，y x =-和22y x =-所围成的在x 轴上方的闭区域；(3)3Dy d xσ⎰⎰，其中D：221,0x y y +≤≤≤(4)Dσ⎰⎰,其中D 是由圆心在点(,)a a ，半径为a 且与坐标轴相切的圆周的较短一段弧和坐标轴所围成的闭区域2222(5)(2sin 34).x y a I x x y dxdy +≤=+++⎰⎰31.交换二次积分的次序：(1)2sin(,)xdx f x y dy π⎰⎰； (2)20(,)(0)adx f x y dy a >⎰；. 32.证明： ()()0()()()ayam a x m a x dy ef x dx a x e f x dx --=-⎰⎰⎰.33.证明：221()()()()1b x b n n aaa dx x y f y dyb y f y dy n ---=--⎰⎰⎰. 34.证明：()201()()()2xvux f t dt du dv x t f t dt ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰.35. 计算 22[1()]DI x yf x y dxdy =++⎰⎰，其中D 由31,1,x y y x ===围成，f 是连续函数.。