一元函数积分的基本概念及解析方法
高等数学上册第3章
三.一元函数积分学3-1.不定积分与定积分的概念与性质一．原函数与不定积分1-1.定义为任意常数数的任意一个确定的原函是其中记作的不定积分称为的原函数的一般表达式上的原函数在区间为则称设C x f x F Cx F dx x f x f C x F x f b a x f x F b a x x f x F ,)()(,)()(,)()()(),()()(),(),()('⎰+=+∈=1-2.性质⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=±=±+=+===的常数是不为则有以下性质在所讨论的区间上连续与以下均设被积函数0,)()(.4)()())()((.3)()(;)()('.2)()();()')('.(1,)()(k dx x f k dx x kf dxx g dx x f dx x g x f Cx f x df C x f dx x f dxx f dx x f d x f dx x f x g x f 二.定积分1.原始定义本部分详见教材2.几何意义梯形面积的负值其几何意义是表示曲边时当梯形的面积其几何意义是表示曲边时当上的连续函数对于在区间,0)(,0)()(],[≤≥x f x f x f b a3.性质))(()(),,(],[)(.8)()()()(],,[)()(,],[)(.7)()(),()(.6)()()(.5,)()(.4)()())()((.30)(.2)()(.1,)(),(,111a b f dx x f b a b a x f dx x g dx x f x g x f b a x x g x f b a x f dx x g dx x f ba x g x f dx x f dx x f dx x f k dx x f k dx x kf dx x g dx x f dx x g x f dx x f dx x f dx x f x g x f ba b a ba b a ba b a bc c a b a ba ba b a b a aa b a ab -=∈<<∈≤≤≤≤+==±=±=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ξξ使下面的等式成立则至少存在一点上连续在区间设积分中值定理加强版：则使且至少存在一点上连续在区间积分中值定理：若则比较定理：若为常数则有以下性质在讨论的区间上可积均设以下除特别声明外4.存在定理4-1.定积分存在定理⎰⎰ba ba dx x fb a x f x f b a x f 存在则且只有有限个间断点上有界在区间设存在则上连续在区间设)(,,],[)(.2)(,],[)(.14-2.原函数存在定理上必存在原函数则在区间上连续在设],[,],[)(b a b a x f5.变限积分称为变上限定积分为自变量的函数定义了一个以有以下关系上可积在区间对上可积在区间设,],[,)()(,],[)(],,[,],[)(x b a x dt t f x x a x f b a x b a x f xa ⎰∈=Φ∈类似的，可以定义变下限定积分，这里不再赘述求导法则详见第二章知识点6.牛顿——莱布尼兹定理)()(|)()(,)()(,],[)(a F b F x F dx x f x f x F b a x f b a b a -==⎰则有的一个原函数是上连续在区间设3-2.不定积分与定积分的计算一.基本积分公式详见教材二.不定积分的基本积分方法1.第I 类换元法(凑微分法)⎰⎰+==Cx F x d x f dx x x f ))(())(())(()('))((ϕϕϕϕϕ2.第II 类换元法(换元积分法)的函数代回成的反函数积分之后再以其中右边表示对则有换元公式且具有连续导数连续设x x t t x t dt t t f dx x f t t t x x f x t )()())('))((()(,0)(')(')(,)()(ψψϕϕϕϕϕψ===≠==⎰⎰3.分部积分法 ⎰⎰⎰⎰-=-=dxvu uv dx uv vdu uv udv v u x v x u ''),,()(),(或则有分部积分公式函数以下简称均有连续导数设注:口诀“反对幂指三”先说到哪个类型的函数，哪个类型的函数就要留下来，剩下的函数去凑微分三.定积分的基本积分方法与不定积分类似，定积分的基本积分方法与不定积分的大体相同，但与不定积分的基本积分方法有区别注:定积分在换元时，积分上下限应该跟着换，直接将新的上下限写在积分号上即可四.几个有用的定积分公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧------===+∞-∞=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+--的正奇数为大于当为正偶数，当华里士公式则有为周期的连续函数内是以在区间设则有上是个连续的奇函数在区间设则有上是个连续的偶函数在区间设1,1.32 (2)3.1,2.21.....12.1cos sin .4)()(,),()(.30)(,],[)(.2)(2)(,],[)(.1202000n n n n n n n n n n xdx xdx dx x f dx x f T x f dx x f a a x f dx x f dx x f a a x f n n Ta a T a a a a a πππ3-3.广义积分及其计算一.广义积分1.无穷区间上的广义积分就说此广义积分发散存在只要等号右侧有一项不对于该式其中以及可定义类似的反之称此广义积分发散称此广义积分收敛若等号右端的极限存在上的广义积分在区间为称上连续在区间设,,)()()(,)()(,;,),[)()(lim )(,),[)(⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞-∞+∞+∞-∞-∞+∞-∞++∞→+=+∞=+∞c c b ba ab dxx f dx x f dx x f dx x f dx x f a x f dx x f dx x f a x f 2.无界函数的广义积分则称此广义积分发散有一个不存在若等号右端的积分只要对于上式则应分成为瑕点内部的点若在开区间则称此广义积分发散有一个不存在若等号右端的积分只要对于上式则应分成都是瑕点点若点类似的可定义的一个瑕点是若点的一个瑕点称为此时点上的广义积分在区间为称且上连续在区间设,,)()()(,),(,,),(,)()()(,,)(lim )(,)()(,),[)()(lim )(,)(lim ,),[)(000⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=∈+===∞=+--→→→ba c a bc ba x a bx b a b a a ba b bx dx x f dx x f dx x f c b a b a x dx x f dx x f dx x f b a dx x f dx x f x f a x f b b a x f dx x f dx x f x f b a x f ααββ二.对称区间上奇,偶函数的广义积分⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--∞+∞-∞+∞+∞+∞-+∞=∈±=±=-=∈±=±=-==aa aa aa a dx x f dx x f dx x f x f a c x f c x c x a a x f dx x f dx x f x f a c x f c x c x a a x f dxx f dx x f dx x f R x f dx x f dx x f R x f 00000)(2)(,)(,)(],0[,)(,],[)(.40)(,)(,)(],0[,)(,],[)(.3)(2)(,)(,,)(.20)(,)(,,)(.1则有结论收敛且是偶函数又设的瑕点为外均连续上除在区间设则有结论收敛且是奇函数又设的瑕点为外均连续上除在区间设则有结论收敛又设且为偶函数上连续在设则有结论收敛又设且为奇函数上连续在设注:一个重要的广义积分π=⎰+∞∞--dx e x 23-4.定积分的应用一.定积分在几何上的应用1.平面图形面积⎰⎰⎰=≤-<===-===≥==-===≥==βαθθπαββθαθθd r A r r dy y x y x A d y c y y x y x y x x y x x dx x y x y A b x a x x y x y x y y x y y dc ba )(21)20()(.3))()((,))()()(()(.2))()((,))()()(()(.12121212121212之间曲边扇形面积为与介于两射线极坐标曲线围成的平面图形面积为及与曲线围成的平面图形面积为及与曲线 2.平面曲线弧长θθθθθβαθθβαβαβαd r r s r r r r dx x y s t y b a x x y y dt t y t x s t y t x t t y y t x x b a ⎰⎰⎰+=∈=+=∈=+=∈⎩⎨⎧==)()(')0,)('),((],[),(.3)('1))('(],[),(.2)(')(')0,)('),('(],[,)()(.122222且不同时为连续其中的弧长为极坐标曲线连续其中的弧长为直角坐标且不同时为均连续其中的弧长为参数方程曲线3.旋转体体积dx x y x y x V y x y x y a b b x a x x y y x y y b a dx x y x y V x x y x y b x a x x y y x y y b aba ))()((2))()(,0(,),(),(.2,))()(()0)()((,),(),(.112121*********-=≥≥>====<-=≥≥====⎰⎰ππ转体体积为轴旋转一周所形成的旋围成的图形绕曲线转体体积为轴旋转一周所形成的旋围成的图形绕曲线4.旋转曲面面积b a dx x f y S x x f y b a b a <+==⎰,)('12)(],[2π转曲面面积为轴旋转一周所形成的旋绕的弧段上的曲线在区间5.在区间[a,b]上平行截面面积A(x)为已知的立体体积 ⎰<=ba b a dx x A V ,)(6.函数平均值⎰-=∈b adx x f a b f b a x f b a x )(1],[)(],,[上的平均值为在区间函数设二.定积分在物理上的应用10322,,24,,)(,,,,:,100,0,4,:302102002200+============⎰⎰⎰⎰⎰⎰t x dt t dx t v tdt dv dtdt a x dtx d dt dv a dt dx v x v t t a x tx v tx x x 解得得由题意可得到运动方程积分对速度解析式再次进行解得得由题意可得到速度解析式行一次积分解：对加速度解析式进即析式连续积分两次求得运动方程可由加速度解所以我们知道由高中物理知识分析写出质点的运动方程坐标为初速度时初始条件为已知轴运动设质点沿着引例。
一元函数积分学——不定积分与定积分的概念、性质及应用
解
原式＝∫
x2 − x
1 dx
−
2∫
1 dx
1− x2
=
∫
xdx
−
∫
dx x
−
2
arcsin
x
= 1 x2 − ln x − 2arcsin x + C
2
例4
求积分
∫
1
+
1 cos
2
x
dx.
解
原式＝
∫
1+
1 2 cos2
x
dx −1
=
1 2
∫
1 cos2
x
dx
= 1 tan x + C.
2
13
∫ 例5 求积分
如 cos x 的原函数的一般表达式为
sin x + C(C为任意常数)
1 在(0,+∞)的原函数的一般表达式为
x ln x + C(C为任意常数)
4
定义3.2（不定积分的定义）
若F(x) 是 f (x)在区间I内的一个原函数，则 f (x) 的原函数的一般表达式 F(x) + C (C为任意常数)
∫3
2
例2 求积分
( x2 −
)dx. 1− x2
1
1
解
原式＝ 3∫ x2 dx − 2∫
dx 1− x2
= − 3 − 2arcsin x + C x
9
2. 基本积分公式
实例
x µ+1 ′ = x µ
µ +1
∫ ⇒ xµdx = xµ+1 + C . µ+1 (µ ≠ −1)
一元函数的定积分与定积分的计算
一元函数的定积分与定积分的计算定积分是微积分中的重要概念，用于计算一元函数在给定区间上的面积、曲线长度、体积等问题。
本文将介绍一元函数的定积分以及常见的定积分计算方法。
一、一元函数的定积分在介绍定积分之前，我们先来回顾一下导数的概念。
对于一元函数f(x)，它的导数f'(x)表示函数在某一点处的瞬时变化率。
类似地，定积分可以看作是函数在一定区间上的累积变化量。
设函数f(x)在区间[a, b]上连续，把[a, b]分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx。
在每个小区间上选择一个点ξi，并计算出f(ξi)。
将Δx 逐渐趋近于0，ξi逐渐靠近区间[a, b]的端点，可以得到如下极限：∑f(ξi)Δx → ∫f(x)dx其中∑表示求和，Δx表示小区间的长度，ξi表示取点的位置，∫表示定积分，f(x)dx表示被积函数。
定积分∫f(x)dx的几何意义是曲线y=f(x)与x轴以及直线x=a、x=b所围成的区域的面积。
根据定积分的定义，我们可以将定积分分为两种情况：1. 当被积函数f(x)为非负函数时，定积分的值表示函数曲线与x轴及两条垂直直线x=a、x=b所围成的面积；2. 当被积函数f(x)为有正负之分的函数时，定积分的值表示函数曲线与x轴及两条垂直直线x=a、x=b所围成的有向面积，即正面积减去负面积。
二、定积分的计算方法计算定积分的方法多种多样，这里介绍几种常见的方法。
1. 几何法：根据定积分的几何意义，可以通过几何图形的面积公式计算定积分的值。
具体步骤是将被积函数对应的图形分割成几何形状简单的子图形，计算每个子图形的面积，然后将这些面积相加得到定积分的近似值。
2. 基本积分法：定积分的计算可以通过求导的逆操作——积分来实现。
根据函数的导数与原函数的关系，可以利用一些基本积分公式对被积函数进行积分。
常见的基本积分公式包括多项式函数、指数函数、三角函数等。
3. 牛顿-莱布尼茨公式：牛顿-莱布尼茨公式是定积分与不定积分之间的重要关系。
一元函数微积分的基本原理与方法
一元函数微积分的基本原理与方法微积分是数学中非常重要的一门学科，是数学中的一种基础理论，又是现代科学的一种重要工具。
一元函数微积分是微积分中最基本的部分之一，掌握一元函数微积分的基本原理与方法是学习微积分的第一步。
一、导数与微分导数是微积分的核心概念之一，是函数在一个点上的变化率或斜率。
在一元函数微积分中，导数有多种不同的定义方式，但它们都是等价的。
设 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义，当 $x$ 充分接近$x_0$ 时，$$f'(x_0)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$如果这个极限存在，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，并把它的导数记为 $f'(x_0)$。
导数的几何意义是曲线在 $x_0$ 点处的斜率。
对于一元函数 $y=f(x)$，如果在某一点 $x_0$ 处导数$f'(x_0)$ 存在，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导。
函数在 $x_0$ 处的导数 $f'(x_0)$ 也可以表示为$$\dfrac{dy}{dx}\bigg|_{x=x_0}$$它表示在点 $x_0$ 处函数 $y=f(x)$ 的每单位 $x$ 的变化量，也就是函数的瞬时变化率。
微分是导数的一种应用。
设 $y=f(x)$，$x$ 发生一个无限小的增量 $\Delta x$，相应地 $y$ 也发生了一个无限小的增量 $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$，则称 $dy=f'(x)dx$ 为 $y=f(x)$ 的微分。
它表示在 $x$ 处函数值的微小增量与 $x$ 的微小增量之比。
在微积分中，微分是一种将无限小的变化转换为实际的数值计算的技术方法。
二、函数的基本性质函数是微积分的基础，掌握函数的基本性质对学习微积分非常重要。
1. 连续性一个函数如果在某一点连续，则表明函数在该点的值可以通过函数在该点的极限来确定。
一元函数积分知识点完整版
（3）
（4）
其中 可令 ， ，则 ，再利用分部积分法得到递推公式求解。
问题15：
按照自己喜好填写 的值，再按照上面方法求积分。
十五．考察三角有理式的积分
讲解：所谓三角有理式是指以 与 为变量的有理函数，即为 。此时总可以采用万能代换 使被积函数有理化，即
问题16：
求下列不定积分：
十六．利用定积分的几何意义求定积分的值
讲解：需要掌握把某些和项数列和积项数列求极限的问题转化为求解定积分的方法。关键是确定被积函数、积分区间及区间的分点。
常见的情形有：
问题5：
求
三．考察基本积分表
讲解：需要掌握基本初等函数的积分公式。
四．考察分项积分方法
讲解：利用不定积分（定积分）线性性质把复杂函数分解成几个简单函数的和，再求积分。
问题6：
2.若
则其可化成 ，令
显然此时 （否则被积函数无意义），令 ，则 可化成 ，此时令 （ ）
问题10：
求下列不定积分：
十．常用变量替换二：幂函数替换（简单无理函数积分）
讲解：幂函数替换常用于被积函数中含有 ， 的根式。
对于第一个可令 ，则 ；
对于第二个可令 ，则 ，再转化为有理函数积分。
如果被积函数中同时含有 ， ，… ，其中 ， ， 是分数，则令 ，其中 是 ， ， 分母的最小公倍数。
（2） （ ）
（3）
二十四．考察常用的定积分计算方法（复习类）
讲解：你需要复习知识点六到知识点二十（除了知识点九）。
问题25：
（1）
（2）
二十五．考察分段函数的积分（复习类）
讲解：你需要复习知识点八，知识点十一。
问题26：
设函数 在 内满足 ，且 ，求
一元函数微积分的基本概念与运算
一元函数微积分的基本概念与运算微积分是数学中十分重要的一个分支。
其中，一元函数微积分是微积分的基础，也是我们初次接触微积分时需要理解和掌握的概念和运算。
本文将为大家简单介绍一元函数微积分的基本概念与运算。
一、函数的基本概念在学习一元函数微积分之前，我们需要先了解函数的基本概念。
所谓函数，就是一种描述变化关系的数学规律。
从输入值到输出值，函数都有严格的对应关系。
而这个对应关系就是函数的核心。
函数可以用数学符号表示，常见的符号为 y=f(x)，其中 y 代表输出值，x 代表输入值，f 表示函数名称。
例如 y=x²就是一个函数的表达式，它的输出值是输入值的平方。
我们可以通过绘制函数图像的方式来更直观地理解函数的定义和特点。
以 y=x²为例，当输入值 x=0 时，输出值 y=0，对应的点为坐标系的原点；当 x 取正值时，输出值 y 会随着 x 的增加而增加，图像呈现右侧开口的 U 形曲线；当 x 取负值时，输出值 y 也会增加，但函数的图像则向下移动。
二、导数的概念及计算方法导数是微积分的重要概念之一。
它表示一个函数在某一点处的变化速率，也就是函数斜率的大小。
导数可以用公式表示为：f'(x)=lim(f(x+Δx)-f(x))/Δx (Δx->0)其中 f(x) 是函数在 x 点处的值，Δx 表示 x 增加的微小量，lim 表示取极限。
可以理解为，当Δx 足够小的时候，(f(x+Δx)-f(x))/Δx 的值就趋近于 x 点处的斜率，也就是导数。
导数有许多重要的应用，如求解函数的最值、曲线的凸凹性、速度加速度等。
因此掌握导数的计算方法是学习微积分的必要前提。
常见的导数计算方法有以下两种：1. 利用求导法则求导法则是一元函数微积分中常用的计算导数的方法。
它包括以下几条规则：（1）和差法则：(f+g)'=f'+g'，(f-g)'=f'-g'（2）积法则：(f.g)'=f.g'+g.f'（3）商法则：(f/g)'=[f'g-fg']/g²（4）反函数法则：f⁻¹(x)'=1/f'(f⁻¹(x))通过组合这些法则，我们可以对各种函数求导，例如对y=x³+2x-1 求导：y'=3x²+22. 利用几何意义导数还有一个重要的几何意义，即为函数图像在某一点处的切线斜率。
高等数学1：一元函数微积分学
高等数学1：一元函数微积分学
一元函数微积分学是一门具有普遍价值的数学课程，它是描述数学中一元函数的变化趋势以及求解相关问题的一种数学方法。
一元函数微积分学的基础是微积分学，它是由法国数学家库仑发明的一种数学方法，主要是研究函数的微小变化。
微积分学的结果就是一元函数微积分学，它是一种研究函数变化趋势的方法，可以描述函数在各个点的变化状态，也可以用来求解函数的极值和极限，从而获得函数的全局特征。
研究一元函数微积分学需要掌握一些基本概念，如函数极限、微分、导数、极值等，这些概念可以帮助我们更好地理解函数的变化趋势，有助于求解函数的极值、极限等问题。
在研究一元函数微积分学时，除了要掌握一些基本概念外，还要掌握一些解决问题的方法，如泰勒公式、换元法和求积分等。
这些方法可以帮助我们研究函数的变化趋势，从而更好地理解函数的特征。
总之，一元函数微积分学是一门十分重要的数学课程，它能够帮助我们更好地理解函数的变化趋势，有助于求解函数的极值和极限，从而获得函数的全局特征。
研究一元函数微积分学时，除了要掌握一些基本概念外，还要掌握一些解决问题的
方法，如泰勒公式、换元法和求积分等。
只有掌握了这些方法，才能更好地理解函数的特征，并能够解决函数相关的问题。
D第三章一元函数积分学
(1)1 dx arcxsC in arcxc C o； s 1x2
( 1)2 d x arc x tC a n ac rc o x tC ； 1 x 2
(1)3 sh xdxcx hC；
(1)4 cx h dxsx hC.
例 3 求不定积分
1
a
例 1 求 si n3x(2)dx.
解 对照基本积分表，上式与si表 x ndx相 中， 似
如果把 dx 写成了 d(3x + 2)， 那么就可用定理 1 及
sin xdxcox sC, 为此将 dx 写成 dx1d(3x2), 3
代入式中， 那么
sin3(x2)dx 1 sin3x(2)d(x32). 3
令 3x + 2 = u 则
1
3
sinudu 1cosuC1co3sx(2)C.
six n dxcox sC;
(3)因(为 arc x)ta 1 1 n x2或(arccox)t11x2,
所以得
d xarc x tC a n ar cc o x tC ; 1x2
(4)因(为 ex)ex, 所以得
exdxexC.
例2
求不定积分
1 x
dx.
解 被积函 1的 数定义x域 0.为 x
当 x > 0 时，因为(lnx)1, 所以 x
1dxlnxC; x
当 x < 0 时，因l为 n x ()1(1)1,
x x
所以
1dxln( x)C. x
合并以上两种情况，当 x 0 时，得
1dxln| x|C. x
(1)积分曲线族中任意一条曲线， 可由其中某一 条(例如，曲线 y = F(x) ) 沿 y 轴平行移动|C|单位而 得到. 当 C > 0 时，向上移动；当 C < 0 时，向下移动；
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一元函数积分的基本概念及解析方法
积分是微积分学中的重要概念之一，它广泛应用于各个领域中的计算和解决问题。
而其中一元函数积分是最基础也是最常见的类型之一。
在本篇回答中，我们将介绍一元函数积分的基本概念和解析方法。
一、一元函数积分的基本概念
1. 定义：一元函数的积分是对给定函数在某一区间上进行求和的一种运算。
通
常用∫f(x)dx表示，其中∫是积分符号，f(x)是被积函数，dx表示自变量。
2. 不定积分与定积分：一元函数积分可以分为不定积分和定积分两种形式。
- 不定积分：表示对被积函数进行积分得到的一类函数。
不定积分的结果常
常带有一个不确定的常数C，称为积分常数。
不定积分通常表示为F(x) + C的形式。
- 定积分：表示对被积函数在某一区间上进行积分得到的一个具体的数值。
定积分的结果是一个确定的数值。
3. 基本性质：一元函数积分具有以下基本性质：
- 线性性质：若f(x)和g(x)是连续函数，a和b是常数，则有∫(af(x)+bg(x))dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx。
- 区间可加性：若f(x)在区间[a, b]上连续，则有∫[a, b]f(x)dx = ∫[a, c]f(x)dx + ∫[c, b]f(x)dx。
- 基本运算法则：常见函数的不定积分有一些基本的运算法则，如幂函数积分、三角函数积分等，可以通过表格或特定的公式进行求解。
二、一元函数积分的解析方法
1. 基本积分公式：一些基本的不定积分可以通过积分表格中的基本积分公式进
行求解。
例如：
- ∫x^ndx = x^(n+1)/(n+1) + C，其中n≠-1。
- ∫1/xdx = ln|x| + C。
2. 埃尔米特法则：该方法适用于只有有限个特殊点的函数。
根据积分的线性性
质和区间可加性，将被积函数划分为若干个小区间，然后对每个小区间使用基本积分公式求解。
3. 分部积分法：对于两个函数相乘，可以通过分部积分法求解。
该方法得到的
结果通常需要通过多次应用分部积分法得到。
4. 代换法：也被称为换元积分法，通过对积分变量进行适当的代换，将原有的
积分转化为一个更容易求解的形式。
常见的代换变量有三角函数的角度替换、指数函数替换等。
5. 部分分式分解法：适用于有理函数的分解。
将有理函数进行部分分式分解后，可以将原问题转化为常见的基本积分公式。
6. 曲线下面积法：定积分可以表示函数f(x)在区间[a, b]上的曲线下面积，可以
通过几何图形的面积计算公式求解。
总之，一元函数积分是微积分学的重要内容之一。
通过学习一元函数积分的基
本概念和解析方法，我们可以更好地理解函数的积分运算和应用，并能够应用积分解决实际问题。
掌握这些基本概念和方法后，进一步学习多元函数积分和应用积分的各种技巧将变得更加容易。