一元函数微积分基本练习题及答案
一元函数微分学模拟试卷2(题后含答案及解析)
一元函数微分学模拟试卷2(题后含答案及解析)全部题型 2. 数学(选择题) 3. 数学(填空题) 4. 数学(解答题) 数学部分单项选择题1．设函数f(x)＝x.tanx.esinx，则f(x)是( )．A．偶函数B．无界函数C．周期函数D．单调函数正确答案：B 涉及知识点：一元函数微分学2．设A，B皆为n阶矩阵，则下列结论正确的是( )．A．AB＝0的充分必要条件是A＝0或B＝0B．AB≠0的充分必要条件是A≠0或B≠0C．AB＝0且r(A)＝n，则B＝0D．若AB≠0，则｜A｜≠0或｜B｜≠0正确答案：C 涉及知识点：一元函数微分学3．设cosx-1=xsina(x),其中｜a(x)｜＜π/2,则当x→0时，a(x)是A．比x高阶的无穷小B．比x低阶的无穷小C．比x同阶但不等价的无穷小D．与x等价的无穷小正确答案：C 涉及知识点：一元函数微分学4．设A，B，C均为n阶矩阵，若AB=C，且曰可逆，则A．矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价B．矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价C．矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价D．矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价正确答案：B 涉及知识点：一元函数微分学5．函数f(x)在点x＝a处可导，则函数｜f(x)｜在点x＝a处不可导的充分条件是( )．A．f(a)＝0且fˊ(a)＝0B．f(a)＝0且fˊ(a)≠0C．f(a)＞0且fˊ(a)＞0D．f(a)＜0且fˊ(a)＜0正确答案：B 涉及知识点：一元函数微分学6．设A，B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则( )．A．λE-A＝λE-BB．A与B有相同的特征值和特征向量C．A与B都相似于一个对角矩阵D．对任意常数t，tE-A与tE-B相似正确答案：D 涉及知识点：一元函数微分学7．向量组α1，α2，…,αm线性无关的充分必要条件是( )．A．向量组α1，α2，…,αm，β线性无关B．存在一组不全为零的常数k1，k2，…，km，使得k1α1＋k2α2＋…＋kmαm≠0C．向量组α1，α2，…,αm的维数大于其个数D．向量组α1，α2，…,αm的任意一个部分向量组线性无关正确答案：D 涉及知识点：一元函数微分学8．设A是n阶矩阵，且A的行列式｜A｜＝0，则A( )．A．必有一列元素全为0B．必有两列元素对应成比例C．任一列向量是其余列向量的线性组合D．必有一列向量是其余列向量的线性组合正确答案：D 涉及知识点：一元函数微分学9．设n阶方程A＝(α1，α2，…,αn)，B＝(β1，β2，…，βn)，AB＝(γ1，γ2，…γn)，记向量组(I)：1，α2，…,αn，(Ⅱ)：β1，β2，…，βn，(Ⅲ)：γ1，γ2，…γn，如果向量组(Ⅲ)线性相关，则( )．A．向量组(I)与(Ⅱ)都线性相关B．向量组(I)线性相关C．向量组(Ⅱ)线性相关D．向量组(I)与(Ⅱ)中至少有一个线性相关正确答案：D 涉及知识点：一元函数微分学10．设函数f(x)在(-∞，+∞)内有定义，x0≠0是函数f(x)的极大值点，则( )．A．x0必是函数f(x)的驻点B．﹣x0必是函数﹣f(﹣x)的最小值点C．对一切x0都有f(x)≤f(x0)D．﹣x0必是函数﹣f(﹣x)的极小值点正确答案：D 涉及知识点：一元函数微分学11．函数y＝C1ex＋C2e﹣2x＋xex满足的一个微分方程是( )．A．y〞-yˊ-2y＝3xexB．y〞-yˊ-2y＝3exC．y〞＋yˊ-2y＝3exD．y〞＋yˊ-2y＝3xex正确答案：C 涉及知识点：一元函数微分学12．设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax＝0仅有零解的充分条件是( )．A．A的列向量线性相关B．A的行向量线性相关C．A的行向量线性无关D．A的列向量线性无关正确答案：D 涉及知识点：一元函数微分学13．设A为n阶实矩阵，AT为A的转置矩阵，则对于线性方程组(I)AX＝0和(Ⅱ)ATAx＝0必有( )．A．(Ⅱ)的解是(I)的解，(I)的解也是(Ⅱ)的解B．(I)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(I)的解C．(I)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(I)的解D．(Ⅱ)的解是(I)的解，但(I)的解不是(Ⅱ)的解正确答案：A 涉及知识点：一元函数微分学14．设λ=2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵(1/3 A2 )-1 有一个特征值等于A．4/3B．3/4C．1/2D．1/4正确答案：B 涉及知识点：一元函数微分学15．设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵．已知n维列向量α是A 的属于特征值A的特征向量，则矩阵(P-1 AP)T 属于特征值A的特征向量是A．P-1α．B．PT α．C．Pα．D．(P-1 )Tα．正确答案：B 涉及知识点：一元函数微分学填空题16．微分方程xy’+y=0满足初始条件y(1)=2的特解为__________.正确答案：2/x 涉及知识点：一元函数微分学17．微分方程xy’+y=0满足条件y(1)=1的解是y=________.正确答案：1/x 涉及知识点：一元函数微分学18．微分方程y”-2y’+2y=ex的通解为________.正确答案：ex(C1cosx+C2sinx+1) 涉及知识点：一元函数微分学19．若x→0时，(1-ax2)1/4-1与xsinx的等价无穷小，则a＝________．正确答案：-4 涉及知识点：一元函数微分学20．已知fˊ(lnx)＝1＋x，则f(x)＝_________．正确答案：x+ex+C 涉及知识点：一元函数微分学21．若四阶矩阵A与B为相似矩阵，A的特征值为1／2、1／3、1／4、1／5，则行列式｜B-1-E｜＝_______．正确答案：24 涉及知识点：一元函数微分学22．设A，B为3阶矩阵，且｜A ｜=3，｜B ｜=2，｜A-1+B｜=2，则｜A+B-1 ｜=_____________.正确答案：3 涉及知识点：一元函数微分学23．设A为3阶矩阵，｜A｜=3，A*为A的伴随矩阵．若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则｜BA*｜=__________．正确答案：-27 涉及知识点：一元函数微分学24．若a1，a2，a3，β1，β2都是4维列向量，且4阶行列式｜a1，a2，a3，β1｜=m，｜a1，a2，β2，a3｜=n，则4阶行列式｜a1，a2，a3，β1+β2｜=正确答案：n-m 涉及知识点：一元函数微分学25．设A，B均为n阶矩阵，｜A ｜=2，｜B｜=-3，则｜2A*B-1｜=_______．正确答案：-22n-1/3 涉及知识点：一元函数微分学26．若4阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为1/2,1/3,1/4,1/5，则行列式｜B-1-E ｜=_________.正确答案：24 涉及知识点：一元函数微分学解答题27．求微分方程y”-2y’-e2x=0满足条件y(0)=1，y’(0)=1的解．正确答案：齐次方程y”-2y’=0的特征方程为λ2-2λ=0．由此求得特征根λ1=0，λ2=2.对应齐次方程的通解为y=C1+C2e2x．设非齐次方程的特解为y”=Axe2x，则(y*)’=(A+2Ax)e2x，(y*)”=4A(1+x)e2x代入原方程，可得A=1/2，从涉及知识点：一元函数微分学28．求：微分方程y〞＋y＝-2x的通解．正确答案：方程y〞＋y＝-2x对应的齐次方程的特征方程为λ2＋1＝0，特征根为λ1，2＝±i，故对应的齐次方程通解为C1cosx＋C2sinx．因为a＝0不是特征根，因此原方程的特解可设为y*＝Ax＋B，代入原方程得A＝-2，B＝0．所以原方程的通解为y＝C1cosx＋C22sinx-2x．涉及知识点：一元函数微分学。
高等数学：一元函数微分学习题含答案
第二章一元函数微分学一、选择题1．设)(x f y =可导，则)()2(x f h x f -+等于（）.A．)()(h o h x f +'B．)()(h o h x f +'C．)()(h o h x f +'-D．)()(2h o h x f +'2．设)(x f 在0x 处可导，且4)()2(lim000=--→xx f x x f x ，则)(0x f '等于（）.A．0B．1-C．1D．2-3．设)(x f 在0x 处可导，则下列命题中不正确的是（）.A．00)()(limx x x f x f x x --→存在B．00)()(limx x x f x f x x --→不存在C．00)()(lim 0x x x f x f x x --+→存在D．00)()(lim 0x x x f x f x x ---→存在4．已知)(x f y =在0=x 处可导且0)0(=f ，则当0≠t 时，有=→xtx f x )(lim 0（）.A.)(t f B.)0(f 'C．)0(f t 'D．不存在5．函数)(x f 在0x x =处连续，是)(x f 在0x 处可导的（）.A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件6．函数x x f =)(在0=x 处（）.A．连续但不可导B．连续且可导C．极限存在但不连续D．不连续也不可导7．设0)0(=f ，且x x f x )(lim→存在，则xx f x )(lim 0→等于（）.A．)(x f 'B．)0(f 'C．)0(f D．)0(21f '8．设21)1(+=+x x f ，则)(x f '等于（）.A．2)1(1--x B．2)1(1+-x C．11+x D．11--x9．设x x f sin )(=，则0=x 处（）.A．1)0(,1)0(='='-+f f B．1)0(,1)0(-='='-+f f C．1)0(,1)0(-='-='-+f f D．1)0(,1)0(='-='-+f f 10．函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=1132)(23x xx xx f 在1=x 处（）.A．左右导数均存在B．左导数存在，右导数不存在C．左导数不存在，右导数存在D．左右导数均不存在11．设周期函数)(x f 在()+∞∞-,内可导，周期为2，又12)1()1(lim-=--→xx f f x ，则曲线)(x f y =在点())3(,3f 处的切线斜率为（）.A．21B．1C．2-D．212．设函数⎩⎨⎧≤<--+≤=10,110,sin )(x x x x x x f ，则)(x f 在0=x 处满足（）.A．0)0(='f B．1)0(='f C．3)0(='f D．)0(f '不存在13．已知⎩⎨⎧≤+>-=221)(2x b ax x x x ϕ，且)2(ϕ'存在，则常数b a ,的值为（）.A．1,2==b a B．5,1=-=b a C．5,4-==b a D．3,3-==b a 14．函数)(x f 在),(+∞-∞上处处可导，且有1)0(='f ，此外，对任何的实数x ，y 恒有xy y f x f y x f 2)()()(++=+，那么=')(x f （）.A．xe B．xC．12+x D．1+x 15．设xe x g x xf =+=)(),1ln()(2，则[]='))((x g f （）.A．x xe e 2212+B．x xe e 221+C．xxe e 2212-D．xxe e 221-16．设2)(-=x xf ，则)2(f '满足（）.A．值为2-B．值为2C．值为1D．不存在17．设)(x f y =的导数2)0(='f ，则=-→xx f f x 2)()0(lim 0（）.A．1B．2-C．1-D．218．设⎩⎨⎧<+≥+=0,,1sin )(x b x x x a x f ，要使)0(f '存在，则b a ,的值分别是（）.A．1,1==b a B．0,1==b a C．0,0==b a D．1,1-=-=b a 19．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1arctan )(x x xx x f ，则)(x f 在0=x 处的性质是（）.A．连续且可导B．连续但不可导C．既不连续也不可导D．可导但不连续20．设2arcsin cosxy =，则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'23y （）.A．21-B．21C．23-D．2321．函数xe y sin =，则y ''等于（）.A．xesin B．)sin (sin x ex-C．[]2sin cos x e xD．]sin )[(cos 2sin x x ex-22．函数x x x f )2()(+=的导数为（）.A．1)2(-+x x x B．1)2(-+x x C．)2ln()2(++x x x D．⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++)2ln(2)2(x x xx x23．已知x x y ln =，则)12(y 等于（）.A．111x -B．111x C．11!10x D．11!10x -24．设xxe e y --=，则)2016(y等于（）.A．xxee -+B．xxee --C．xxee ---D．xx ee -+-25．已知函数)(x f 具有任何阶导数，且[]2)()(x f x f ='，则当n 为大于2的正整数时，)(x f 的n 阶导数)()(x f n 是（）.A．[]1)(!+n x f n B．[]1)(+n x f n C．[]nx f 2)(D．[]nx f n 2)(!26．由方程1sin =-y xy 所确定的隐函数()x f y =的导数=xyd d （）.A．yy x -cos B．xy y -cos C．yx y cos -D．yx x -cos 27．由方程x y x e y=++)ln(所确定的隐函数)(x f y =的导数=xy d d （）.A．()11++--y x e y x y B．()11-++-y x e y x y C．()11++-+y x e y x y D．()11-+-+y x e y x y 28．设)(x y y =由方程)cos(sin y x x y -=所确定，则=')0(y （）.A．12+πB．12+-πC．12-πD．12--π29．设由方程组⎩⎨⎧=++-=0112y te t x y 确定了y 是x 的函数，则==0d d t x y（）.A．21e B．e21-C．e1-D．e2-30．曲线22x e y x+=上横坐标0=x 处的切线方程是（）.A．012=-+-y x B．012=-+y x C．012=+-y x D．012=-+y x 31．曲线222)2ln(x x y +-=上对应于1=x 处的法线方程是（）.A．)1(22-=-x y B．)1(212--=-x y C．)1(22-=+x y D．)1(212--=+x y 32．曲线01cos 22=--y e x上点)3,0(π处的切线方程是（）.A．332π+=x y B．332π+-=x y C．332π--=x y D．xy 32-=33．曲线⎩⎨⎧==ty t x 2cos sin 在4π=t 处的切线方程是（）.A．)222222-=-x y B．)2222-=x y C．)22(22--=x y D．y 22=34．设1212+=x y ，则当01.0,1=∆=x x 时，y d 与y ∆分别为（）.A．2,01.0d =∆=y y B．01.0,201.12d =∆-=y y C．21)01.1(21,01.0d 2-=∆=y y D．1,01.0d =∆=y y 35．若函数)(x f y =有21)(0='x f ，则当0→∆x 时，该函数在0x x =处的微分y d 是x∆的（）.A．等价无穷小B．同阶但不等价的无穷小C．低阶无穷小D．高阶无穷大36．xx y 1=在e x =处取得（）.A．极大值B．最大值C．极小值D．最小值37．下列函数在[]e ,1满足拉格朗日中值定理的是（）.A．xx sin ln ln +B．xln 1C．)2ln(+x D．)2ln(2x -38．设函数)(x f 在[]b a ,上连续，则下列命题正确的是（）.A．)(x f 在[]b a ,上一定有最大值和最小值B．)(x f 必在区间内部取得最小值C．)(x f 必在区间端点处取得最大值D．若)(x f 在[]b a ,内有极值，则此值必为最值39．设1)()()(lim2-=--→a x a f x f ax ，则在a x =处)(x f （）.A．可导且1)(-='a f B．)(a f 是)(x f 的极小值C．不可导D．)(a f 是)(x f 的极大值40．设函数c bx ax x x f +++=23)(，且0)0()0(='=f f ，则下列结论不正确的是（）.A．0==c b B．当0>a 时，)0(f 为极小值C．当0<a 时，)0(f 为极大值D．当0≠a 时，())0(,0f 为拐点41．函数2332)(x x x f -=在区间[]4,1-上的最小值是（）.A．0B．1-C．80D．5-42．若当0→x 时，)1(2++-bx ax e x是比2x 高阶的无穷小，则（）.A．1,1==b a B．1,21==b a C．1,21=-=b a D．1,1-=-=b a 43．（数二）已知某产品的需求函数为510QP -=，则当30=Q 时的边际收益为（）.A．2-B．3-C．2D．344．（数二）若总成本函数是二次函数c bQ aQ Q C C ++==2)(，其中0,0,0≥≥>c b a ，当产量=Q （）时，平均成本最低？A．a cB．ca C．ac D．ca 二、填空题45．设)(x f 在0x 处可导，且A x f =')(0，则hx f h x f h )()2(lim000-+→用A 的代数式表示为_______．46．设2)3(='f ，则=-+→h f h f h 2)3()3(lim_______．47．设xe xf 1)(=，则=--→h f h f h )2()2(lim_______．48．设2)(x x f =，则=--→2)2()(lim2x f x f x _______．49．))...(2)(1()(n x x x x x f +++=，则=')0(f _______．50．设432)4()3()2)(1()(----=x x x x x f ，则=')1(f _______．51．设1)(0-='x f ，则=--→)()2(lim000x f h x f hh _______．52．设215)()5(lim5-=--→x x f f x ，则=')5(f _______．53．设)(x f 在点0x 处可导，且41)()2(lim000=--→x f h x f h h ，则=')(0x f _______．54．已知)(x f 在0=x 处可导，且0,6)0(≠='h f ，则=--→xhx f hx f x 3)()(lim_______．55．若1)1(2-=-x x f ，则=')(x f _______．56．曲线xe x y +=在点()1,0处的切线方程是_______．57．已知x x y arctan )1(2+=，则=''y _______．58．已知)1ln(2x x y ++=，则=''y _______．59．设曲线方程为⎩⎨⎧+=++=tt y tt x cos sin 2，则='y _______．60．设)1sin(2+=x e y x，则=y d _______．61．求=--→xx e x x 630sin 1lim 3_______．62．设)7)(5)(1)(13()(----=x x x x x f ，则方程0)(='x f 有_______个实根．63．函数x y sin =在区间[]π,0满足罗尔定理的=ξ_______．64．函数x x y -=22在[]2,0上满足拉格朗日中值定理的=ξ_______．65．曲线x x x y 23123+-=的拐点为_______．66．曲线35)2(-=x y 的拐点为_______．67．（数一）曲线x x y -=12的垂直渐近线方程是．68．（数一）1)(22-=x x x f 有条渐近线．69．（数一）111)(-+=x e x f 有条渐近线．70．已知)4,2(是曲线c bx ax x y +++=23的拐点，且曲线在3=x 处有极值，=a ，=b ，=c .71．（数二）已知某产品的总成本函数C 与产量x 的函数关系为2000102.0)(2++=x x x C ，则当产量10=x 时，其边际成本是．72．（数二）已知某商品的收入函数为2312Q Q R -=，则当=Q 时边际收入为0．73．（数二）设某种产品的单位成本y 是产量x 的函数，xx y 164++=（元），若产品以每件1000元的价格销量，当产量=x 时总利润最大．74．（数二）生产某产品的边际成本函数为100143)(2+-='x x x C ，固定成本1000)0(=C ，求生产x 个产品的总成本函数.75．（数二）设边际收入函数为q q R 32)(+='，且0)0(=R ，则平均收入函数为__________.76．（数二）某公司在一个生产周期内制造x 台电冰箱的成本22.02008000)(xx x C -+=)4000(≤≤x 第251台电冰箱的实际制造成本为.三、计算题77．设)1ln(cos )(2x x f -=，求)(x f '．78．4312)(+-=xx x f ，求)(x f '．79．221cos 5ln x x y -+=，求y '及y d ．80．设x ey x3cos -=，求y '．81．设xy 1cosln =，求y '．82．设1133+-=x x y ，求y '．83．设2x xee y +=，求1.00 d =∆=x x y．84．设x x y +=，求y '．85．设)32(2+-=-x x ey x，求y '．86．设212arcsintty +=，求y '．87．设⎪⎭⎫⎝⎛+-=2323x x f y ，且2arcsin )(x x f ='，求d d =x x y ．88．设134)1(2++=+x x x f ，)()(xe f x g -=，求)(x g '．89．求b a ,的值，使⎩⎨⎧>+≤-=1,ln 1),1(sin )(x b x x x a x f ，在1=x 处可导．90．设⎪⎩⎪⎨⎧≥+<--=0,0,11)(x bx a x x xx f 处处可导，求a 和b 的值．91．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,1)(1x x e xx f x ，求)0(-'f ，)0(+'f ，同时讨论)0(f '是否存在．92．已知⎩⎨⎧≥<=0,0,sin )(x x x x x f ，求)(x f '．93．求函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠==0,00,1sin )(2x x xx x f y 的导数．94．设)(x ϕ在a 点的某领域内连续，)()()(x a x x f ϕ-=，求)(a f '．95．设)(x f ''连续，0)0(=f ，记⎪⎩⎪⎨⎧='≠=0),0(0,)()(x f x x x f x F ，证明)(x F '连续．96．设函数)(x f 处处可导，[]{})(x f f f y =，求x yd d ．97．设x x y ln 22+=，求y ''．98．设xx y +-=11，求)(n y ．99．设x x y ln =，求)(n y ．100．设)1ln(2x x y ++=，求y ''．101．[])(ln x f y =，求y ''102．)2(2x x f y +=，其中f 二阶可导，求y ''．103．设)(x f ''存在，)(x xe f y -=，求y ''．104．求由方程32y x e xy +=所确定的隐函数)(x f y =的微分y d ．105．求方程)sin(y x y +=确定的隐函数的二阶导数．106．已知222222b a y a x b =+，求y ''107．求由方程232-+=y x e xy 确定的隐函数)(x f y =在点)1,0(处的切线方程．108．设)(x y y =由方程e xy e y =+确定，求)0(y '．109．用对数求导法求函数xx x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1的导数．110．用对数求导法求函数54)1()3(2+-+=x x x y 的导数．111．设函数)(x f y =由参数方程⎩⎨⎧==t e y t e x t t cos sin 所确定，求3d d π=t x y ．112．设曲线)(x f y =由参数方程⎩⎨⎧==ty t x 2cos sin 所确定，求曲线在4π=t 处的切线方程．113．设函数)(x f y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-==ty t x 1 22，求22d d x y ．114．设函数)(x f y =由参数方程⎩⎨⎧-==t t t y t x cos sin cos 确定，22d d ,d d x yx y ．115．求方程⎩⎨⎧==ta y t a x 33sin cos 表示的函数的二阶导数．116．x xx x 20tan )1ln(lim -+→．117．x x x 2cot 2lim 2⎪⎭⎫⎛-→ππ．118.xx x cos 1120)1(lim -→-．119．求⎪⎭⎫⎝⎛--→111lim 0x x e x ．120．求()x x x ln 31102sin lim +→+．121．求x x x 2sin 231lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→．122.ax a x a x --→sin sin lim .123．xx x 5tan 3sin lim π→.124．22)2(sin ln lim x x x -→ππ.125．)0(lim ≠--→a a x a x nn mm a x .126．xx x 2tan ln 7tan ln lim 0+→.127．x xx 3tan tan lim 2π→.128．xarc x x cot 11ln lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→.129．x x x x cos sec )1ln(lim 20-+→.130．x x x 2cot lim 0→.131．2120lim x xe x →.132．⎪⎭⎫⎝⎛---→1112lim 21x x x .133．122231lim -∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+++x x x x a .134．x x x sin 0lim +→.135．x x x tan 01lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+→.136．求7186223---=x x x y 的单调区间．137．求3)3)(1(+-=x x y 的单调区间．138．求函数x x y -=在区间[]1,0上的最小值．139．求函数)1ln(21arctan 2x x y +-=的极值点和极值．140．求函数32)1(2--=x y 的极值点和极值．141．设x x a y 3sin 31sin +=在点3π=x 处取得极小值，求a 的值．142．求曲线)1ln(2+=x y 的拐点．143．设函数)(x f y =由方程1222223=-+-x xy y y 所确定，求)(x f y =的极值．144．求曲线21x xy +=的凹凸区间及拐点．145．设函数x bx x a x f 3ln )(2-+=在1=x 和2=x 处取得极值，求b a ,的值．146．已知点)4,2(是曲线c bx ax x y +++=23的拐点，且曲线在3=x 处取得极值，求b a ,c 的值．147．求函数12+=x x y 的极值．148．求函数x e x x f -=2)(在]3,1[-上的最大值与最小值．149．设曲线方程为462++=x x y ，求曲线在)4,2(--处的切线方程．150．求等边双曲线x y 1=在点⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程．151．求曲线⎩⎨⎧==-t tey e x 22在0=t 处的切线方程和法线方程．152．求曲线0)ln(22=++yxe y x 在0=x 处的切线方程．153．确定c b a ,,的值，使c bx ax x y +++=23在点)1,1(-处为拐点，且在0=x 处有极大值为1，并求此函数的极小值．154.设函数)(x f 在[]a ,0上二阶可导，0>a 且0)(>''x f ，0)0(=f ，证明xx f x g )()(=在[]a ,0上单调增加．155．求函数26323-+-=x x x y 在区间[]1,1-上的最值．156．求函数322)1()2(+-=x x y 在区间[]2,2-上最大值和最小值．157．求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,23与曲线21x y =相切的直线方程．158．求曲线01322=+++y xy x 在点)1,2(-处的切线和法线方程．159．设甲船以km/h 6的速率向东行驶，乙船以8km/h 的速度向南行驶，在中午十二点整时，乙船位于甲船之北16km 处，问下午一点整时两船相离的速率为多少？160．已知曲线2x y =与3x y =的切线平行，求x 的取值．161．求椭圆12222=+by a x 在点),(11y x M 处的切线方程．162．设甲、乙两船同时从一码头出发，甲船以km/h 30的速度向北行驶，乙船以km/h 40的速度向东行驶，求两船间的距离增加的速度．163．已知曲线的参数方程⎩⎨⎧==-232t t e y e x ，证明0d d d d 21222=+x y x y e t .164．（数一）求曲线2)1(42--=xx y 的水平和垂直渐近线．165．设曲线cx bx ax y ++=23上点)2,1(处有水平切线，且原点为该曲线的拐点，求该曲线方程．166．设点)2,1(-是曲线123-+=bx ax y 上的一个拐点，求a 和b 的值．167．设函数3)(4-+=bx ax x f 在1-=x 点处取得极小值0，求a 和b 的值．168．设函数)(x f 满足)()(x f x f ='，且1)0(=f ，求证:x e x f =)(．169．求函数xe y x+=1的单调区间和极值．170．设)1ln(21arctan )(arctan 21222x x x x x y ++-+=，求y d ．171．求函数3223x x y -=在区间[]1,1-上的最大值与最小值．172．已知曲线2x y =与直线cx y =)10(<<c 所围成图形的面积为1S ，曲线2x y =与直线cx y =)10(<<c 及直线1=x 所围城图形的面积为2S ，求21)(S S c S +=的最小值.173．求内接于半径a的球的长方体体积的最大值.174．用32cm长的一根铁丝围成一个矩形小框，试问：当矩形的长和宽各为多少时，围成的矩形面积最大？175．用薄铁板做一体积为V的有盖圆柱形桶，问桶底直径与桶高应有怎样的比例，才能使所用材料最省.176．已知某船的耗油费用与其速度的立方成正比，若每小时行驶10海里的耗油费为25元，其余费用每小时100元，求最经济的速度．177．欲做一个容积为3m V 的无盖圆柱形储粮桶，底用铝制，侧壁用木板制，已知每平方米铝价是木板价的5倍，问怎样做才能使费用最少．178．窗子的上半部为半圆，下半部为矩形，如果窗子的周长L 固定，试问当圆的半径r 取何值时，能使窗子的面积最大．179．欲围一个面积为2m 150的矩形场地，所用材料的造价是正面是每平方米6元，其余三面是每平方米3元，问场地的长，宽各为多少米时，才能使所用材料费最少．180．设甲船位于乙船东75海里，以12海里每小时的速度向西行驶，而乙船则以6海里每小时的速度向北行驶，问经过多长时间，两船相距最近？181．用a 万元购料，建造一个宽于深相同的长方体水池，已知四周的单位面积材料费为底面积材料费的5.1倍，求水池长与宽（深）各是多少，才能使容积最大.（地面单位面积材料费为1万元）.182．在曲线26x y -=)0(>x 上确定一点，使该点处的切线与两坐标轴围城的平面图形的面积最小，并求最小值.183．已知函数x x x f 2)(3+=在区间[]1,0上满足拉格朗日定理，求相关的ξ值．184．（数二）设某工厂生产某种商品的固定成本为200（百元），每生产一个单位商品成本增加5（百元），且已知需求函数P Q 2100-=（其中P 为价格，Q 为产量）.这种商品在市场上市场上畅销的．（1）试分别列出该商品的总成本函数)(P C 和总收益函数)(P R 的表达式．（2）求出使该商品的总利润最大时的产量．185．（数二）某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，每多生产一吨该产品，成本增加5万元，该产品的边际收益函数为Q Q R 02.010)(-='，其中Q (单位：吨)为产量.试求：（1）该产品的边际成本函数；（2）该产品的总收入函数；（3）Q 为多少时，该厂总利润L 最大？最大利润是多少？186．（数二）某工厂生产某产品时，每日总成本为C 元，其中固定成本为50元，每多生产一单位产品，成本增加2元，该产品的需求函数为505Q p =-，求Q 为多少时，工厂日总利润L 最大？最大利润是多少？187．（数二）某商品的需求函数为275)(p p f Q -==，（1）求5=p 时的边际需求；（2）当p 为何值时，总收益最大？最大的总收益为多少？31第二章一元函数微分学1.D 。
微积分100道例题及解答
微积分100道例题及解答1.（一元函数的初等函数）设f(x)为偶函数，若关于x的方程f(x)=0有两个不等的实根，则f(x)的图像大致是（A．一条单调递增的直线B．一条单调递减的直线C．一条单调递增且无交点的曲线D．有两个明显的波谷）答：D.有两个明显的波谷。
由偶函数的性质可知，当f(x)=0时，f过此点的切线斜率为0，故f(x)的图像在此处呈极值，即形成波谷。
由题意可知，f(x)=0有两个不等的实根，故要求f(x)的图像有两个明显的波谷。
2.（曲面积）求满足条件$z=\frac{1}{4xy}$下面曲面$S$上圆$C:\left (x-2\right)^{2}+\left(y+1\right)^{2}=16$的积分，若$\iint_{C}z dS=mi n\quad$则$m+n$的值为（A．43B．40C．27D．22）答：A.43。
设$z=\frac{1}{4xy}$，曲面$S$上$C$的积分$\iint_{C}z d S=\iint_{D}\frac{1}{4xy}d A=\iint_{D}\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)d A$，设$F\left(x,y\right)=\frac{1}{4xy}$，则$\frac{\partial F}{\partial y}=\frac{-1}{4x}$，$\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{-1}{4y}$。
由拉格朗日法，有$m i n=\iint_{D}F=\iint_{D}\left(\frac{\partialF}{\partial y}+\frac{\partial F}{\partial x}\right)d A=-\iint_{D}\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)d A=-\frac{1}{4}\int _{-2}^{2}\int_{-1}^{5}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)d y d x=-\frac{1}{4}\left[\ln\left|x\right|\bigg|_{x=-2}^{2}+\ln\left|y\right |\bigg|_{y=-1}^{5}\right]=\frac{1}{4}\left(\ln8+\ln6\right)=\frac{1}{4}\left(\ln48\right)=3$，因此$m+n=43$。
一元函数微积分综合练习参考解答
§4、一元函数微积分综合练习【例1】已知数列}{n x 满足).,2,1(sin ,011Λ==<<+n x x x n n π(Ⅰ)证明n n x ∞→lim 存在，并求其极限值；(Ⅱ)求极限211)(lim n x nn n x x +∞→．〖解〗（Ⅰ）∵1|sin |||1≤=+n n x x ，),2,1(sin 1Λ=<=+n x x x n n n ，∴n x 单调有界，由单调有界准则可得：n x 收敛。
设a x n n =∞→lim ，在n n x x sin 1=+两边同时取极限可得a a sin =，0=a ，故0lim =∞→n n x 。
（Ⅱ）}1lim exp{}lnlimexp{)(lim 2121112nnn n n n n n x nn n x x x x x x x x n −==+∞→+∞→+∞→}sin lim exp{}sin lim exp{}lim exp{30331t tt x x x x x x t x t n n n n n n n n n −=−=−=→=∞→+∞→6120}61exp{}31cos lim exp{−→=−=−=e t t t 。
■【例2】试确定常数c b a ,,，使得30sin lim0ln(1)x x b ax xc t dtt →−=≠+∫．〖解〗∵0)1ln(sin lim30≠=+−∫→c dtt t xax x b x ，且0)sin (lim 0=−→x ax x ，∴0)1ln(lim 30=+∫→xbx dt t t ，从而，0=b 。
原式)1ln()cos (lim)1ln(cos lim )1ln(sin lim 303030x x a x x x x a dt t t x ax x x rule L x b x +−=+−=+−=→→−→∫c x x a x x a x a x x ==−=−==→→21cos lim )cos (lim 12030，即21,0,1===c b a 。
一元微积分_函数、数列及其极限练习题(1)
习题课 1函数、数列及其极限1. 函数的简单性质 ● 增减性（单调性）● 设函数)(x f y =定义域为X ，若X x x ∈∀21,，当21x x <时有)()(21x f x f ≤，则称)(x f y =在X 上为增函数（非严格），而当21x x <时有)()(21x f x f <，则称)(x f y =在X 上为严格单调增函数。
类似可给出单凋减函数的定义。
● 奇偶性函数)(x f y =在对称的定义域内满足)()(x f x f =-，则称)(x f y =为偶函数； 函数)(x f y =在对称的定义域内满足)()(x f x f -=-时，则称)(x f y =为奇函数。
● 周期性：若存在一个正数T ，使函数)(x f y =在定义域内满足)()(x f T x f =+，则称)(x f y =为周期函数。
这里的正数T 对一个周期函数来说不是唯一的（事实上有无穷多），一般情况下，称其中最小正数称为周期。
● 有界性：设函数)(x f y =在X 上有定义，若存在一个正数M 使得对任意X x ∈有M x f ≤)(，则称函数)(x f y =在X 上有界。
连续函数的有界性，后面还将具体讨论。
例：任何函数都可以写成奇函数与偶函数的和。
解： [][])()(21)()(21)(x f x f x f x f x f --+-+=例1：已知2)1()(2x x f x f =-+, 求)(x f 表达式。
2. 数列1) ()n n n nn +--+∞→222322lim2) 221lim n nn +++∞→3) 321lim2-+∞→n n n4) 设11>=a a ，a 为常数，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n n a a a a 1121，),2,1( =n ，证明极限 n n a ∞→lim 存在，并求此极限。
5) 求极限 ()nn nn 1321lim +++∞→6) 求极限∑+∞→+nk n kn k12lim 。
高等数学一元微积分学课后练习题含答案
高等数学一元微积分学课后练习题含答案概述高等数学一元微积分是大学数学中的重要课程，掌握好微积分理论和应用，对于理解和学习后续相关数学课程都有非常重要的作用。
在学习一元微积分的过程中，做好练习题也是非常重要的一环。
因此，本文档提供了一些高等数学一元微积分学课后练习题和答案，供大家练习和参考，希望能够帮助大家更好地掌握这门课程。
练习题与答案题目 1已知点A(0,1)和点B(2,5)，则过点 A 且斜率为 3 的直线方程为？答案利用两点式，设所求直线方程为y=kx+1，则有：$$ k = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \\frac{5 - 1}{2 - 0} = 2 $$因为所求直线的斜率为 3，所以有k=3，代入上式得：y=3x+1所以答案为y=3x+1。
题目 2已知函数f(x)=x3−6x2+11x−6，求其零点。
答案为了求出函数f(x)的零点，我们需要通过解方程f(x)=0来得到。
对于一个三次函数，我们可以通过因式分解或利用根的判别式来求解。
首先，我们尝试对f(x)进行因式分解：f(x)=x3−6x2+11x−6=(x−1)(x−2)(x−3)因此，函数f(x)的零点为x=1,2,3。
题目 3求函数f(x)=x3−3x+2在[−1,2]上的最大值和最小值。
答案为了求出函数f(x)在[−1,2]上的最大值和最小值，我们需要使用微积分中的极值定理。
首先，求出函数f(x)的导数：f′(x)=3x2−3=3(x+1)(x−1)f′(x)在[−1,1]上是负数，在(1,2]上是正数，因此，f(x)在x=1处取得极大值，f(x)在x=−1和x=2处取得极小值。
当x=−1时，有f(−1)=(−1)3−3(−1)+2=6，即最小值为 6。
当x=1时，有f(1)=13−3(1)+2=0，即最大值为 0。
当x=2时，有f(2)=23−3(2)+2=4，即最小值为 4。
因此，函数f(x)在[−1,2]上的最大值为 0，最小值为 4。
一元函数微分学模拟试卷1(题后含答案及解析)
一元函数微分学模拟试卷1(题后含答案及解析) 题型有：1. 涉及知识点：一元函数微分学15．曲线sin(xy)+ln(y-x)=x在点（0,1）处的切线方程是_______.正确答案：y=x+1. 涉及知识点：一元函数微分学16．对数螺线P=eθ在点(ρ，θ)=(eπ/2，π/2)处的切线的直角坐标方程为___________.正确答案：x+y=eπ/2. 涉及知识点：一元函数微分学17．已知一个长方形的长2以2cm／s的速率增加，宽ω以3cm／s的速率增加．则当l=12cm，ω=5cm时，它的对角线增加的速率为____________.正确答案：3(cm/s) 涉及知识点：一元函数微分学18．曲线y=x2/(2x+1)的斜渐近线方程为___________.正确答案：y=1/2x-1/4 涉及知识点：一元函数微分学19．曲线y=1/x+ln(1+ex)渐近线的条数为___________.正确答案：3条. 涉及知识点：一元函数微分学20．曲线y=(x2+x)/(x2-1)渐近线的条数为_____________条.正确答案：2 涉及知识点：一元函数微分学解答题设函数y=y(x)在(-∞，+∞)内具有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．21．试将x=x(y)所满足的微分方程(d2x)/(dy2)+(y+sinx)(dx/dy)=0变换为y=y(x)满足的微分方程；正确答案：实质上是求反函数的一、二阶导数的问题．由反函数求导公式知dx/dy=1/y’,(d2x)/(dy2)=(dx/dy)’=(1/y’)y’=(1/y’)x’dx/dy=-y”/y’3=-y”(dx/dy)3代入原微分方程，便得常系数的二阶线性微分方程y”-y=sinx．(*) 涉及知识点：一元函数微分学22．求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y’(0)=3/2的解．正确答案：特征方程r2-1=0的两个根为r1.2=±1；由于非齐次项f(x)=sinx=eaxsinβx，α=0，β=1，α±β=±i不是特征根，则设(*)的特解y*=acosx+bsinx，代入(*)求得a=0，b=-1/2，故y*=-1/2sinx，于是(*)的通解为y(x)=C1ex+C2e-x-1/2si 涉及知识点：一元函数微分学23．求函数f(x)=x2ln(1+x)在x=0处的n阶导数f(n)(0)(n≥3)．正确答案：f(x)=x2[x-xn+1/2+…+(-1)xn-2/(n-2)+o(xn-1)]=x3-x4/2+…+(-1)n+1xn/(n-2)+o(xn) (n≥3)可得f(n)(0)/n!=(-1)n+11/(n-2).f(n)(0 涉及知识点：一元函数微分学设F(x)=F(x)g(x)，其中函数f(x)，g(x)在(-∞，+∞)内满足以下条件：f’(x)=g(x)，g’(x)=f(x)且f(0)=0，f(x)+g(x)=2ex．24．求F(x)所满足的一阶微分方程；正确答案：F’(x)=f’(x)g(x)+f(x)g’(x)=g2(x)+f2(x) =[f(x)+g(x)]2-2f(x)g(x)=(2ex)2-2F(x)，可知F(x)所满足的一阶微分方程为F’(x)+2F(x)=4e2x．涉及知识点：一元函数微分学25．求F(x)的表达式．正确答案：e2x同乘方程两边，可得[e2xF(x)]’=4e4x，积分即得e2xF(x)=e4x+C，于是方程的通解是F(x)=e2x+Ce-2x．将F(0)=f(0)g(0)=0代入上式，可确定常数C=-1．故所求函数的表达式为F(x)=e2x-e 2x. 涉及知识点：一元函数微分学。
一元函数微积分基本练习题及答案
一、极限题1、求.)(cos lim 21x x x → 2、6sin )1(lim22xdt e x tx ⎰-→求极限。
3、、)(arctan sin arctan lim 20x x xx x -→ 4、210sin lim x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛→ 5、⎰⎰+∞→xt xt x dte dt e 020222)(lim 6、)1ln(1lim -→+x e x x7、xx x e x cos 1120)1(lim -→+ 8、 xx x x xx ln 1lim 1+--→9、)1ln()2(sin )1)((tanlim2302x x e x x x +-→ 10、10lim()3x x x x x a b c →++ ， (,,0,1)a b c >≠ 11、)1)(12(lim 1--+∞→xx e x 12、)cot 1(lim 220x x x -→ 13、[])1(3sin 1lim 11x e x x ---→14、()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0021)(3x A x x x f x在0=x 点连续，则A =___________二、导数题1、.sin 2y x x y ''=，求设2、.),(0y x y y e e xy yx'==+-求确定了隐函数已知方程 3、.)5()(23的单调区间与极值求函数-=x x x f4、要造一圆柱形油罐，体积为V ，问底半径r 和高h 等于多少时，才能使表面积最小，这时底直径与高的比是多少？5、)()2)(1()(n x x x x f ---= .求)()(x fn6、yxy x = 求dy 7、⎰=x xdt t x F 1sin 12sin )( 求)(x F '8、设⎩⎨⎧≤+>+=0401)(x b ax x e x f x 求b a ,使)(x f 在0=x 点可导.9、设)(x f 可导且1)1()0(==f f .若)2(sin 2sin 2)2(x f x f y = 求0=x dy10、设xxxee e y 221ln arctan +-=, 求y '. 11、设yy x =, 求dy .12、设xn e n x x x x f -++++=)!!21()(2 ，n 为正整数，求)(x f 的极值. 13、设)(x f 在0=x 点连续，0)0(≠f ，又)(2x f 在0=x 点可导且)0(|])([02f x f x ='=，求)0(f '.14、设)(x f 在]1,0[上连续，)1,0(内可导，0)1()0(==f f ，1)21(=f . 证明：)1,0(∈∃ξ使1)(='ξf15、设函数0)(>x f 且二阶可导，)(ln x f y =，则=''y __________ 16、0)cos(sin =--y x x y ，则=dy __________ 17、xxy sin =，求y '18、求函数21x xy +=的极值19、()y x y +=sin ，求22dxyd20、()xx y cos sin =，求dxdy 21、求过原点且与曲线59++=x x y 相切的切线方程。
《一元函数微积分习题1-1到1-9》答案
《一元函数微积分》习题1—11．确定下列函数的定义域：（1）912-=x y ；解：要使函数有意义，则：092>-x 即 3>x 或3-<x .所以函数定义域：),3()3,(+∞⋃--∞.（2）x y a arcsin log =；解：要使函数有意义，则0arcsin >x ，即10≤<x .所以函数定义域：(0,1].（3）2111x x y --+=； 解：01012≠+≥-x x 且，即111-≠≤≤-x x 且.所以函数定义域：(-1,1].（4）)32(log 213-+-=x x y a ； 解：03202>-≠-x x 且，即232>≠x x 且.所以函数定义域：),2()2,23(+∞⋃. （5）)4(log 21arccos2x x y a -+-=； 解：0412112>-≤-≤-x x 且，则2231<<-≤≤-x x 且。
所以函数定义域：)2,1[- （6）xy πsin 1=. 解：0sin ≠x π,则Z k k x ∈≠,.(其中是Z 整数集),函数定义域：_Z 或}{Z k k x x ∈≠,. 2.求函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=000,1sin x x x y 的定义域和值域,并求⎪⎭⎫ ⎝⎛π2f 和)0(f . 解:定义域:),(+∞-∞.当0≠x 时,01≠x ,故11sin 1≤≤-x. 所以值域:[-1,1]. 12sin )2(==ππf ,0)0(=f .3.下列各题中,函数)(x f 和)(x g 是否相同,为什么?(1) 2)(,)(x x g x x f ==;解: 不同 因为||)(2x x x g ==,即)(x g 的值域是全体非负实数,而)(x f 的值域是全体实数.(2) 2sin21)(,cos )(2x x g x x f -==; 解: 相同 因为)(x f 和)(x g 的定义域均为实数R ,值域为[-1,1],且)(cos 2sin 21)(2x f x x x g ==-= (3)1)(,11)(2-=+-=x x g x x x f ; 解: 不同 因为)1(111)(2≠-=+-=x x x x x f .两函数的定义域不同. (4)0)(,)(x x g x x x f ==. 解: 相同 因为)0(1)(),0(1)(0≠==≠==x x x g x x x x f 定义域均为非零实数,在定义域内函数值恒等于1.4.设x x f sin )(=, 证明:)2cos(2sin 2)()(x x x x f x x f ∆+∆=-∆+. 证明: 由三角函数知:)2cos(2sin2sin )sin()()(x x x x x x x f x x f ∆+∆=-∆+=-∆+.5.设5)(2++=bx ax x f 且38)()1(+=-+x x f x f ,试确定a , b 的值.解: 因为 5)(2++=bx ax x f故)5()2(5)1()1()1(22+++++=++++=+b a x b a ax x b x a x f由题设3852)()1(+=++=-+x a ax x f x f所以有:82=a 且3=+b a得:1,4-==b a .6.下列函数哪些是偶函数? 哪些是奇函数?哪些既非奇函数又非偶函数?(1) )1(22x x y -=;解: 定义域:),(+∞-∞ )()1(])(1[)()(2222x f x x x x x f =-=---=-所以函数是偶函数.(2)323x x y -=;解: 定义域:),(+∞-∞ 32323)()(3)(x x x x x f +=---=-,)()(x f x f ≠-且)()(x f x f -≠-.所以函数既非奇函数又非偶函数. (3)2211x x y +-=; 解: 定义域:),(+∞-∞)(11)(1)(1)(2222x f xx x x x f =+-=-+--=- 所以函数是偶函数.(4))1)(1(+-=x x x y解: 定义域:),(+∞-∞x x x x x x f -=+-=3)1)(1()(,)()()()(33x f x x x x x f -=+-=---=-.所以函数是奇函数.(5)1cos sin +-=x x y ;解: 定义域:),(+∞-∞1cos sin 1)cos()sin()(+--=+---=-x x x x x f ,则)()(x f x f ≠-且)()(x f x f -≠- 所以函数既非奇函数又非偶函数. (6)2xx a a y -+=. 解: 定义域:),(+∞-∞)(2)(x f a a x f xx =+=-- 所以函数是偶函数.7.设)(x f 为定义在),(+∞-∞上的任意函数,证明:(1))()()(1x f x f x F -+=为偶函数; (2) )()()(2x f x f x F --=为奇函数.证明: 由题设)(x f 为定义在),(+∞-∞的函数, 则)(),(21x F x F 的定义域也为),(+∞-∞(1) )()()()()()()(111x F x f x f x F x f x f x F =+-=-⇒-+= ,. 故)(1x F 是偶函数.(2) )()()()()()()(222x F x f x f x F x f x f x F -=--=-⇒--= ,.故)(2x F 为奇函数.8. 证明: 定义在),(+∞-∞上的任意函数可以表示为一个奇函数与一个偶函数和. 证明: 设)(x f 是定义在),(+∞-∞上的任意函数.由7题知 )()()(1x f x f x F -+=为偶函数,)()()(2x f x f x F --=为奇函数.且 )(21)(21)(21x F x F x f +=. 故命题成立.9. 设)(x f 为定义在),(L L -上的奇函数,若)(x f 在),0(L 上单增, 证明: )(x f 在)0,(L -上也单增.证明: 由题设知对于任意),(L L x -∈有:)()(x f x f -=-不妨设任意的1x ,2x 满足021<<<-x x L , 则012>-<->x x L . )(x f 在),0(L 上单增, 则)()(21x f x f ->- ，)(x f 奇函数)()(),()(2211x f x f x f x f -=--=-∴ 即 )()(21x f x f ->-)()(21x f x f <所以)(x f 在)0,(L -上也单增.10. 下列各函数中哪些是周期函数? 对于周期函数,指出其周期:(1) )2cos(-=x y ;解:)2cos()22cos(-=+-x x π, 函数是周期函数且周期π2=T .(2) x y 4cos =;解: x x x 4cos )24cos()2(4cos =+=+ππ, 函数是周期函数且周期2π=T .(3) x y πsin 1+=;解: )2(sin 1)2sin(1sin 1++=++=+x x x ππππ,函数是周期函数且周期2=T .(4) x x y cos =;解: 非周期函数(5) x y 2sin =;解: )](2cos 1[21)]22cos(1[21)2cos 1(21sin 2ππ+-=+-=-=x x x x , 函数是周期函数且周期π=T .(6) x x y tan 3sin +=解: )32(3sin )23sin(3sin ππ+=+=x x x , )tan(tan π+=x x ,故原函数的周期为两函数x x tan ,3sin 的周期π32和π最小公倍数. 所以周期为π2=T .11. 下列各组函数中哪些不构成复合函数? 把能构成复合函数的写,成复合函数,并指出定义域.(1) 3x y =,t x sin =;解: 构成复合函数t y 3sin =, 定义域: ),(+∞-∞.(2) u a y =,2x u =;解: 构成复合函数2x a y =, 定义域: ),(+∞-∞.(3) u y a log =,232+=x u ;解: 构成复合函数)22(log 2+=x y a , 定义域: ),(+∞-∞. (4) u y =,2sin -=x u ;解: 不构成复合函数u y =要求0≥u , 但是2sin -=x u 的值域:]1,3[--. (5) u y =,3x u =;解: 构成复合函数3x y =, 定义域: ),0[+∞.(6) u y a log =, 22-=x u .解: 构成复合函数)2(log 2-=x y a , 定义域: ),2()2,(+∞⋃--∞.12. 下列函数是由哪些简单函数复合而成的? (1) 321)1(++=x y ;解: 3u y =,1)1(2++=x u .(2) 2)1(ln 3+=x y ;解: u y 3=, 2v u =, 1ln +=x v .(3) )13(sin 3+=x y ;解: 3u y =, v u sin =, 13+=x v . (4) 32cos log x y a =.解: 3u y =, v u a log =, 2w v =, x w cos =.13. 求下列函数的反函数:(1) x y sin 2=;]2,2[ππ-∈x 解: 原函数的定义域:]2,2[ππ-∈x , 值域:]2,2[-. 反解: 2arcsin y x =. 得反函数: 2arcsin x y =. (2) )2(log 1++=x y a ;解: 原函数的定义域: ),2(+∞-, 值域:),(+∞-∞. 反解: 21-=-y ax . 得反函数: 21-=-x a y反函数的定义域),(+∞-∞:, 值域: ),2(+∞-. (3) 122+=x xy . 解: 121112112122+-=+-+=+=x x x x x y 由于112>+x , 则11210<+<x . 原函数的定义域: ),(+∞-∞, 值域:.)1,0( 反解: yy x -=12, y y x -=1log 2.得反函数: xx y -=1log 2 反函数的定义域: )1,0(, 值域: ),(+∞-∞.14. 某批发商店按照下列价格表整盒在批发销售某种盒装饮料:当购货量小于或等于20盒时,每盒2.50元;当购货量小于或等于50盒时,其超过20盒的饮料每盒2.30元;当购货量小于或等于100盒时,其超过50盒的饮料每盒2.00元;当购货量大于100时,其超过100盒的饮料每盒1.80元;设x 是销售量, y 是总价, 试建立总价y 和销售量x 之间的函数关系式,并作出它的图形. 解: 由题知: 当200≤≤x 时, x y 5.2=;当5020≤<x 时, 43.2)20(3.2205.2+=-+⨯=x x y ;当10050≤<x 时, 192)50(2)2050(3.2205.2+=-+-⨯+⨯=x x y ;当100>x 时, 398.1)100(8.1219+=-+=x x y⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤<+≤<+≤≤=100398.110050192502043.22005.2x x x x x x x x y 图形(略)15. 设某商品的市场供应函数p p S Q 480)(+-==, 其中Q 为供应量, p 为市场价格. 商品的单位生产成本是1.5元, 试建立总利润L 与市场价格p 的函数关系式.解: 供应函数p p S Q 480)(+-==则总利润120864)480)(5.1()5.1(2+-=+--=-=p p p p Q p L .16. 用p 代表单价, 某商品的需求函数为p p D Q 500007)(-==, 当Q 超过1 000时成本函数为Q C 2500020+=, 试确定能达到损益平衡的价格 (提示: 当总收入=总成本时,便达到损益平衡).解: 当1000>Q 时 1000500007)(>-==p p D Q 则价格120<p .达到损益平衡, 则 C pQ =即: )500007(25000202500020)500007(p Q p p -+=+=-039001652=+-p p 得282.107165±=p 又因为价格120<p , 故59.28=p答: 当需求量超过1000时,达到损益平衡的价格是28.59.17. 在半径为r 的球内嵌入一个内接圆柱, 试将圆柱的体积V 表示为圆柱的高h 的函数, 并求此函数的定义域.解: 设圆柱的半径为R, 则满足4)2(22222h r h r R -=-= 圆柱的体积: 3222241)4(h h r h h r h R V ππππ-=-==. 定义域: )2,0(r18. 已知华氏温度F 与摄氏温度℃的线性关系, 在101325帕(一个标准大气压)下, 水的冰点温度不32F 或0℃, 水的沸点温度为212F 或100℃.(1) 写出华氏温度F 与摄氏温度℃的函数关系;(2) 画出该函数的图形;(3) 摄氏20℃相当于华氏几度?解: (1)由华氏温度F 与摄氏温度℃的线性关系, 设当摄氏温度为x ℃时, 华氏温度为y F , 则有关系式 b ax y += 其中a , b 为常数.由题知:⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧+=+⋅=328.1100212032b a b a b a 函数关系: 328.1+=x y (其中x 的度量单位是℃, y 的度量单位是F)(2) 函数图形(略)(3) 摄氏20℃时, y =1.8⨯20℃+32=68(F)习题1－21．（1）0；（2）1；（3）-1；（4）发散2．（1）证明：0>∀ε，要使ε<=-+n n 1111，即ε1>n 。
一元函数微积分基本练习试题包括答案.docx
一、极限题12 1、求 lim (cos x) x.x 03、、limx arctan xxsin x 2(arctan x)(x t 2dt ) 2e5、 xlimxe 2 t2dtx 2e x)117、 lim (1cos xx 0(tanx )( e x2 1)9、 lim3x2 x ) ln( 1 x 2 )(sin111、 lim (2x1)(ex1)x13、 lime x 1 1x)x1sin 3(13x 2(e t 21)dt2、 求极限 lim 0sin x6。
xsin x1 4、 limx 2xx 016、 lim xln( e x1)x8、 limxx xxln xx1110、 lim( axbxcx1) x， (a, b, c 0, 1)x312、 lim (1cot 2x)xx214、 f ( x)1 2 x xx0 点连续，则 A=___________A x 在 x二、导数题1、 设 yx 2 sin x ，求 y .2、 已知方程 xye x e y0确定了隐函数 yy( x), 求 y .3、 求函数 f (x) x 3 ( x 5) 2 的单调区间与极值 .4、要造一圆柱形油罐，体积为 V ，问底半径 r 和高 h 等于多少时，才能使表面积最小，这时底直径与高的比是多少？—5、 f ( x) (x 1)( x 2) (x n) .求 f ( n) ( x)6、 xxy y求 dy7、 F ( x)1x1sin t 2 dt 求 F ( x)sin x8、设 f ( x)e x 1 x 0求 a , b 使 f ( x) 在 x0 点可导 .4axb x 09、设f (x) 可导且 f (0)f (1)1 .若 yf (2sin2 x )2 f (sin 2 x)求dy x 010、设 yarctanex lne 2x, 求 y .1 e2 x11、设 xy y , 求 dy .12、设 f ( x)(1 xx 2x n )e xf (x) 的极值 . 2!n! ， n 为正整数，求13、设 f ( x) 在 x 0 点连续， f (0)0 ，又 f 2 ( x) 在 x0 点可导且 [ f 2 (x)] |x 0 f (0) ，求 f (0) .14、设 f (x) 在 [0,1] 上连续， (0,1)内可导， f (0) f (1) 0 ， f ( 1) 1. 证明：(0,1)2使 f ( ) 115、设函数 f ( x) 0 且二阶可导， yln f ( x) ，则 y __________16、 y sin x cos( xy) 0 ，则 dy__________17、 yx sin x ，求 y18、求函数 yx的极值x 2119、 ysin x yd 2 y，求dx 2 20、 ycos xdysin x，求dx21、求过原点且与曲线 x 9相切的切线方程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、极限题1、求.)(cos lim 210x x x → 2、6sin )1(lim22xdt e x tx ⎰-→求极限。
3、、)(arctan sin arctan lim 20x x xx x -→ 4、210sin lim x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛→ 5、⎰⎰+∞→xt xt x dte dt e 020222)(lim 6、)1ln(1lim -→+x e x x7、xx x e x cos 1120)1(lim -→+ 8、 xx x x xx ln 1lim 1+--→9、)1ln()2(sin )1)((tanlim2302x x e x x x +-→ 10、10lim()3x x x x x a b c →++ ， (,,0,1)a b c >≠ 11、)1)(12(lim 1--+∞→xx e x 12、)cot 1(lim 220x x x -→ 13、[])1(3sin 1lim 11x e x x ---→14、()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0021)(3x A x x x f x在0=x 点连续，则A =___________二、导数题1、.sin 2y x x y ''=，求设2、.),(0y x y y e e xy yx'==+-求确定了隐函数已知方程3、.)5()(23的单调区间与极值求函数-=x x x f4、要造一圆柱形油罐，体积为V ，问底半径r 和高h 等于多少时，才能使表面积最小，这时底直径与高的比是多少？5、)()2)(1()(n x x x x f ---= .求)()(x fn6、yxy x = 求dy 7、⎰=x xdt t x F 1sin 12sin )( 求)(x F '8、设⎩⎨⎧≤+>+=0401)(x b ax x e x f x 求b a ,使)(x f 在0=x 点可导.9、设)(x f 可导且1)1()0(==f f .若)2(sin 2sin 2)2(x f x f y = 求0=x dy10、设xxxee e y 221ln arctan +-=, 求y '. 11、设yy x =, 求dy .12、设xn e n x x x x f -++++=)!!21()(2 ，n 为正整数，求)(x f 的极值. 13、设)(x f 在0=x 点连续，0)0(≠f ，又)(2x f 在0=x 点可导且)0(|])([02f x f x ='=，求)0(f '.14、设)(x f 在]1,0[上连续，)1,0(可导，0)1()0(==f f ，1)21(=f . 证明：)1,0(∈∃ξ使1)(='ξf15、设函数0)(>x f 且二阶可导，)(ln x f y =，则=''y __________ 16、0)cos(sin =--y x x y ，则=dy __________ 17、xxy sin =，求y '18、求函数21x xy +=的极值19、()y x y +=sin ，求22dxyd20、()xx y cos sin =，求dxdy 21、求过原点且与曲线59++=x x y 相切的切线方程。
22、x x y ln )(ln =，求y '23、设⎩⎨⎧≤>+=1,1,)(2x x x b ax x f 试求b a ,使)(x f 在1=x 点连续、可导.24、设f 可导，)(sin )(sin x x f e f e y =，求dxdy25、设)cos(22y x e xy y+=+ ， 求dy 26、设21arccos x y -=，则='y27、设)2)(1()(--=x x x x f …)100(-x ，则=')0(f 28、设)(x f 二阶可导，.0)0(,0)(=>''f x f 证明：xx f )(在()0,∞-和()+∞,0上都单增. 29、设⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+=0201)(x bx x xa x f 在0=x 点可导， 求b a , .30、设xa x a x a aa x y ++= ， 求 y ' .31、设函数)(x y y =由方程0)cos(=-+xy eyx 确定，则 ==0x dy32、设)1ln()(x x f += ，则 =)0()10(f33、设u u f 是)(的已知可导函数，求函数)()(x f xb a f y =的导数，其中a 与b 均为不等于1的正数。
34、求满足关系式⎰⎰-+=x xdt t x tf x dt t f 0)()(的可微函数)(x f35、设0)(>x f 在),0(∞可导且1)(lim =+∞→x f x .若x hh e x f hx x f 110))()((lim =+→，求)(x f . 36、设)sin arcsin(x a y = ，求y '及y ''37、设⎰=xxdt t f x F 101)()(, 其中)(t f 连续，求)(x F '38、2sinxy =，则 y ’ =___________ 39、设⎰-=-xx x dt x t f 02)23sin()( ，其中f 连续，求)(x f40、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0,sin 1)(2x x x x x f 求)2(πf ' ， )0(f '41、计算⎰+4241x x tdtdx d三、积分题1、求arccos xdx ⎰. 2、⎰++.412dx x x 求 3、求⎰4、⎰-+x x x ee dx e 5、⎰-+1021xx dx6、⎰+)1(x x dx7、⎰+dx x )1ln(8、求心形线)cos 1(θ+=a r在第二象限所围成的面积.9、证明曲线)0(323232>=+a a y x 上任一点的切线介于两坐标轴间的一段长度为常数。
10、求333+-=x x y 的极值，并求出该曲线介于极值点间的曲边梯形面积。
11、计算⎰-+=2221cos ππdx e x e I x x 12、dx e e x x⎰-1213、计算dx xx ⎰+)1ln( 14、⎰-922x xdx15、已知1)0(=f ，3)2(=f ，5)2(='f ，计算dx x f x I ⎰''=1)2( 16、求x y sin =)0(π≤≤x 与x 轴所围图形绕1=y 的旋转体积。
17、⎰xdx x arctan 18、dx xx ⎰-229 19、⎰+)1(x x dx 20、⎰--223cos cos ππdx x x21、⎰-dx x x 2)1(ln 22、⎰-+221)1(x x xdx23、2sin 12dx x ⎰-π24、求圆 16)5(22=-+y x 绕x 轴旋转所成环体的体积V 25、⎰=+dx x x x)1(arctan 26、求 ⎰dx x x2sin sin ln27、求x y sin =与x y 2sin =在[]π,0上所围图形的面积28、若x 2sec 是)(x f 的一个原函数，则=⎰dx x f x )(29、dx x ⎰--22228 30、⎰+dx xx )ln 1ln (ln 31、在曲线xe y -= )0(≥x 上找一点，使过该点的切线与两坐标轴所夹平面图形的面积最大，并求出该面积值。
四、证明题1、.1xe e x x>>时，证明不等式：当2、证明xxx f )11()(+=在),0(∞+ 严格单增3、. )( )1( ]1,0[ ,...,3,2),1()0(]1,0[)(n n n ξξξf nf n n n f f x f =+-∈==使得，存在试证，对于上连续，且在设函数4、的值。
试求的高阶无穷小量，是时，其中当处的增量为在任一点设函数 )1( .y(0) x 0x ,x1xy y )( 2y x x y y παα=∆→∆++∆⋅=∆= 5、设0)0(=f ，0)(<''x f ，证明：0,21>∀x x ，都有)()()(2121x f x f x x f +<+。
6、设()()()()()4321----=x x x x x f ，则方程()0'=x f 有几个不同的实根？ 并证明之。
7、设)(t f 为连续的奇函数，试问⎰=xdt t f x g 0)()( 的奇偶性如何，并证明你的结论.8、试证：当0>x 时，2arctan 1π->x x （9分） 9、证明不等式x x xx<+<+)1ln(1 ， 0>x （本题10分） 10、设函数[]1,0)(在x f 连续，在)1,0(可导，且满足)21()(5154f dx x f =⎰求证：存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,21ξ使0)(='ξf 。