运筹学茹少峰课件1 共46页
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线性规划通常解决下列两类问题：
（1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用 最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时间等） 去完成确定的任务或目标 （2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最 好的经济效益（如产品量最多 、利润最大.）
线性规划问题的数学模型
例1.1 如图所示，如何截取x使铁皮所围成的容积最 大？
(2)
x j 0, j 1,2,, n (3)
求解线性规划问题，就是从满足约束条件(2)、(3)的方程组 中找出一个解，使目标函数(1)达到最大值。
线性规划问题的数学模型
Page 27
可行解：满足约束条件②、③的解为可行解。所有可行解 的集合为可行域。
最优解：使目标函数达到最大值的可行解。
绪论
本章主要内容： （1）运筹学简述 （2）运筹学的主要内容 （3）本课程的教材及参考书 （4）本课程的特点和要求 （5）本课程授课方式与考核 （6）运筹学在工商管理中的应用
运筹学简述
Page 2
运筹学（Operations Research） 系统工程的最重要的理论基础之一，在美国有人把运筹
学称之为管理科学(Management Science)。运筹学所研究的 问题，可简单地归结为一句话： “依照给定条件和目标，从众多方案中选择最佳方案” 故有人称之为最优化技术。
Page 3
运筹学的主要内容
Page 4
数学规划（线性规划、整数规划、目标规划、动态 规划等） 图论 存储论 排队论 对策论 排序与统筹方法 决策分析
本课程的教材及参考书
Page 5
❖选用教材 ➢ 《运筹学基础及应用》胡运权主编 哈工大出版社
❖参考教材 ➢ 《运筹学教程》胡运权主编 （第2版）清华出版社 ➢ 《管理运筹学》韩伯棠主编 （第2版）高等教育出版社 ➢ 《运筹学》(修订版) 钱颂迪主编 清华出版社
（1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用 最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时间等） 去完成确定的任务或目标 （2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最 好的经济效益（如产品量最多 、利润最大.）
线性规划问题的数学模型
例1.1 如图所示，如何截取x使铁皮所围成的容积最 大？
(2)
x j 0, j 1,2,, n (3)
求解线性规划问题，就是从满足约束条件(2)、(3)的方程组 中找出一个解，使目标函数(1)达到最大值。
线性规划问题的数学模型
Page 27
可行解：满足约束条件②、③的解为可行解。所有可行解 的集合为可行域。
最优解：使目标函数达到最大值的可行解。
绪论
本章主要内容： （1）运筹学简述 （2）运筹学的主要内容 （3）本课程的教材及参考书 （4）本课程的特点和要求 （5）本课程授课方式与考核 （6）运筹学在工商管理中的应用
运筹学简述
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运筹学（Operations Research） 系统工程的最重要的理论基础之一，在美国有人把运筹
学称之为管理科学(Management Science)。运筹学所研究的 问题，可简单地归结为一句话： “依照给定条件和目标，从众多方案中选择最佳方案” 故有人称之为最优化技术。
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运筹学的主要内容
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数学规划（线性规划、整数规划、目标规划、动态 规划等） 图论 存储论 排队论 对策论 排序与统筹方法 决策分析
本课程的教材及参考书
Page 5
❖选用教材 ➢ 《运筹学基础及应用》胡运权主编 哈工大出版社
❖参考教材 ➢ 《运筹学教程》胡运权主编 （第2版）清华出版社 ➢ 《管理运筹学》韩伯棠主编 （第2版）高等教育出版社 ➢ 《运筹学》(修订版) 钱颂迪主编 清华出版社
运筹学(一)ppt课件
2x3 4 3x3 6
x1 0, x2 0, x3取值无约束
解： z令 z,x1 x1,x3x3 x3 ,其x中 3 ， x3 0， 同时引入 x4和 松剩 弛余 变 x5,标 变 量准 量形式
m z x 1 a 2 x 2 x 3 x 3 3 x 3 0 x 4 0 x 5
案、措施，是问题中要确定的未知量。
2.目标函数:指问题要达到的目的要求，表示为 决策变量的函数。
3.约束条件:指决策变量取值时受到的各种可用 资源的限制，表示为含决策变量的等式或不等 式。
最新版的一般表示形式：
m ax (mm in ) 或 f ( xm ) a cz 1 x 1 c 1 cx x 21 i x 2 c 2 n x 2 ( cn x ) n c n x n
( 4 )无可行解。
目标函数为max z=3x1+x2，约束条件为
x 1 x 2 2 ; 最x 新1 版整 理ppt 2 x 2 6
库存管理。存储论应用于多种物资库存量的管理，确定某些设备的合 理的能力或容量以及适当的库存方式和库存量
运输问题。用运筹学中运输问题的方法，可以确定最小成本的运输线 路、物资的调拨、运输工具的调度以及建厂地址的选择。
人事管理。可以用运筹学方法对人员的需求和获得情况进行预测；确 定合适需要的人员编制；用指派问题对人员合理分配；用层次分析法 等方法来确定一个人才评价体系等。
数为0；
（4）第i 个约束为 型，在不等式左边减去一 个非负的变量，称为剩余变量；同时令该变量在目
标函数中的系数为0；
（5）若 ，x令0 xx
（6）若 无x约束，令 x，x其中x，
x,x0
例3：将下述线性规划模型化为标准形式：
《运筹学》课件
cj→
CB
XB
31
x1
0
x4
0
x5
-z
b
30 280 120 -930
31 22 0 0 0
ห้องสมุดไป่ตู้
x1
x2
x3
x4
x5
1 1/3 1/6 0 0
约束条件：≥,=,≤
∑aijxj ≤(=, ≥) bi (i=1,2, …n)
变量符号：≥0,unr,≤0 xj ≥0
(j=1,2, …n)
线性规划的标准形式 目标函数：max 约束条件 ：= 变量符号 ：≥0
max z=∑cjxj ∑aijxj = bi (i=1,2, …n) xj ≥0 (j=1,2, …n)
x2
50
当z的值增加时，目
标函数与约束条件：
40
4x1+3x2 120
30
重合，Q1与Q2之间都
是最优解。
20
Q2（15，20）
可行域
10
Q1（25，0）
10
20
30
40
x1
解的讨论：
无界解：
例：max z=x1+x2 s.t. -2x1+x2 40 x1-x2 20 x1,x2 0
取目标函数最大正系数对应的非基变量为入基变量；取最小比值所对应 方程的基变量为出基变量。本例中，取 x1为入基变量， x3为出基变量。
x1+ 1/3x2 +1/6x3 26/3x2 -2/3x3 +x4 4x2 -1/2x3 +x5
= 30 =280 =120
令 非 基 变 量 x2=x3=0,z(1)=930, 相 应 的 基 可 行 解 为 x(1)=(30,0,0,280,120)T
运筹学ppt课件
– 无穷多个最优解。若将例1中的目标函数变为 max z=50x1+50x2，则线段BC上的所有点都代表 了最优解；
– 无界解。即可行域的范围延伸到无穷远，目标 函数值可以无穷大或无穷小。一般来说，这说 明模型有错，忽略了一些必要的约束条件；
– 无可行解。若在例1的数学模型中再增加一个约 束条件4x1+3x2≥1200，则可行域为空域，不存在 满足约束条件的解，当然也就不存在最优解了。
• 交叉学科 --涉及经济、管理、数学、工程和系统等 多学科
• 开放性 --不断产生新的问题和学科分支
• 多分支 --问题的复杂和多样性
2
运筹学的主要内容
线性规划
数 非线性规划
学
整数规划
规
动态规划
划
多目标规划
学
双层规划
最优计数问题
科
组 合
网络优化
内
优 排序问题 化 统筹图
容
对策论
随 排队论
机 优 化
13
组织 宝洁公司 法国国家铁路
应用
Interface 每年节支 期刊号 （美元）
重新设计北美生产和分销系统以 1-2/1997 2亿 降低成本并加快了市场进入速 度
制定最优铁路时刻表并调整铁路 1-2/1998 1500万更多
日运营量
年收入
Delta航空公司 IBM
进行上千个国内航线的飞机优化 配置来最大化利润
负。当某一个右端项系数为负时，如 bi<0，则把该 等式约束两端同时乘以-1，得到：-ai1 x1-ai2 x2… -ain xn = -bi。
30
例：将以下线性规划问题转化为标准形式
则该极小化问题与下面的极大化问题有相同的最优解，
– 无界解。即可行域的范围延伸到无穷远，目标 函数值可以无穷大或无穷小。一般来说，这说 明模型有错，忽略了一些必要的约束条件；
– 无可行解。若在例1的数学模型中再增加一个约 束条件4x1+3x2≥1200，则可行域为空域，不存在 满足约束条件的解，当然也就不存在最优解了。
• 交叉学科 --涉及经济、管理、数学、工程和系统等 多学科
• 开放性 --不断产生新的问题和学科分支
• 多分支 --问题的复杂和多样性
2
运筹学的主要内容
线性规划
数 非线性规划
学
整数规划
规
动态规划
划
多目标规划
学
双层规划
最优计数问题
科
组 合
网络优化
内
优 排序问题 化 统筹图
容
对策论
随 排队论
机 优 化
13
组织 宝洁公司 法国国家铁路
应用
Interface 每年节支 期刊号 （美元）
重新设计北美生产和分销系统以 1-2/1997 2亿 降低成本并加快了市场进入速 度
制定最优铁路时刻表并调整铁路 1-2/1998 1500万更多
日运营量
年收入
Delta航空公司 IBM
进行上千个国内航线的飞机优化 配置来最大化利润
负。当某一个右端项系数为负时，如 bi<0，则把该 等式约束两端同时乘以-1，得到：-ai1 x1-ai2 x2… -ain xn = -bi。
30
例：将以下线性规划问题转化为标准形式
则该极小化问题与下面的极大化问题有相同的最优解，
运筹学课件PPT课件
整数规划的解法
总结词
整数规划的解法可以分为精确解法和近似解法两大类。
详细描述
整数规划的解法可以分为两大类，一类是精确解法，另一类是近似解法。精确解法包括割平面法、分支定界法等， 这些方法可以找到整数规划的精确最优解。而近似解法包括启发式算法、元启发式算法等，这些方法可以找到整 数规划的近似最优解，但不一定能保证找到最优解。
模拟退火算法采用Metropolis准则来 判断是否接受一个较差解，即如果新 解的能量比当前解的能量低，或者新 解的能量虽然较高但接受的概率足够 小，则接受新解。
模拟退火算法的应用
01
模拟退火算法在旅行商问题中得到了广泛应用。通过模拟退火算 法，可以求解旅行商问题的最优解，即在给定一组城市和每对城 市之间的距离后，求解访问每个城市恰好一次并返回出发城市的 最短路径。
动态规划的解法
确定问题的阶段和状态
首先需要确定问题的阶段和状态，以便将问 题分解为子问题。
建立状态转移方程
根据问题的特性，建立状态转移方程，描述 状态之间的转移关系。
求解子问题
求解每个子问题，并存储其解以供将来使用。
递推求解
从最后一个阶段开始，通过递推方式向前求 解每个阶段的最优解。
动态规划的应用
线性规划的解法
单纯形法
01
单纯形法是求解线性规划问题的经典方法，通过迭代过程逐步
找到最优解。
对偶理论
02
对偶理论是线性规划的一个重要概念，它通过引入对偶问题来
简化求解过程。
分解算法
03
分解算法是将大规模线性规划问题分解为若干个小问题，分别
求解后再综合得到最优解。
线性规划的应用
生产计划
线性规划可以用于生产计划问题， 通过优化资源配置和生产流程， 提高生产效率和利润。
运筹课件PPT课件
它涉及到的问题包括最短路径、 最小生成树、最大流等。
图论与网络优化在计算机科学、 交通运输、通信网络等领域有 广泛应用，如路由算法、网络 设计等。
03 运筹学在现实生活中的应 用
生产与库存管理
01
02
03
生产计划
运筹学通过数学模型和算 法，帮助企业制定生产计 划，优化资源配置，提高 生产效率。
库存控制
Excel Solver的特点
Excel Solver易于使用
它提供了一个直观的用户界面，用户可以通过简单的拖放操作来定义问题。
Excel Solver具有广泛的适用性
它可以处理各种类型的优化问题，包括线性规划、整数规划、目标规划、非线性规划等。
Excel Solver具有高效性
它使用了多种优化算法，可以快速求解大规模问题。
它使用了高效的算法和优化的数据结构，可以快速地处理大规模数据和计算任务。
05 案例分析与实践
生产计划优化案例
总结词
生产计划是企业管理中的重要环节，通过优化生产计划可以提高企业的生产效率 和资源利用率。
详细描述
生产计划优化案例主要涉及如何根据市场需求、产品特性、生产能力等因素制定 合理的生产计划，以实现生产效益的最大化。具体包括对生产计划的制定、执行 、调整等环节进行优化，提高生产计划的准确性和灵活性。
运筹学的重要性
01
提高效率
降低成本
02
03
增强决策科学性
运筹学能够通过优化资源配置和 流程，提高系统的效率和生产力。
通过合理的资源配置和计划安排， 运筹学可以帮助企业降低成本和 资源消耗。
运筹学提供的数据分析和模型预 测等方法，有助于增强决策的科 学性和准确性。
《管理运筹学》课件 第1章《绪论》
对于运筹学目前尚没有一个统一的确切的定义。
性质： 1、英国运筹学学会的定义是： 2、美国运筹学学会的定义是： 3、德国的科学辞典上定义为： 4、我国运筹学研究工作者认为：
（数学百科全书）
特点：系统性、强调定量性、交叉性、应用性与 实践性。
1、系统性。运筹学研究问题是从系统的观点出发，研究 全局性的问题，研究综合优化的规律。是系统工程的主要 依据。 2、强调定量性。引进数学研究方法。运筹学是一门以数 学为主要工具，寻求各种最优方案的学科。 3、跨学科性。由有关的各种专家组成的小组综合应用多 种学科的知识来解决实际问题是运筹学饮用的成败及应用 的广泛程度的关键。
4、重视实际应用。在运筹学术界，有许多人强调运筹学 的实用性和对研究结果的“执行”。把“执行”看成运筹 学工作中的重要组成部分。
5、理论和应用的发展相互促进为。运筹学的各个分支， 都是实际问题的需要或以一定的实际问题背景逐渐发展起 来的。初期一些老的学科方面的专家对运筹学做出了贡献。 随后新的人才逐渐涌现，新的理论逐渐出现。
问题与练习 1. 什么是运筹学？特点有哪些？ 2. 决策有几个步骤，请列出。 3. 定性决策和定量决策的异同之处。 4. 建立模型练习 5. 熟悉Microsoft Excel
谢 谢
四、解决问题与制定决策（
Problem solving & Decision making）
解决问题一般包括以下7步 1、明确问题、定义问题 2、确定备选方案 3、制定准则 4、评价备选方案 5、选择一种备选方案 6、实施 7、分析结果、检验是否达到预期效果。
制定决策是由解决问题的前5步构成
例如：设你失业在家，希望找到一个工作，经过努力， 有三家公司答应录用你。单准则决策、多准则决策。
性质： 1、英国运筹学学会的定义是： 2、美国运筹学学会的定义是： 3、德国的科学辞典上定义为： 4、我国运筹学研究工作者认为：
（数学百科全书）
特点：系统性、强调定量性、交叉性、应用性与 实践性。
1、系统性。运筹学研究问题是从系统的观点出发，研究 全局性的问题，研究综合优化的规律。是系统工程的主要 依据。 2、强调定量性。引进数学研究方法。运筹学是一门以数 学为主要工具，寻求各种最优方案的学科。 3、跨学科性。由有关的各种专家组成的小组综合应用多 种学科的知识来解决实际问题是运筹学饮用的成败及应用 的广泛程度的关键。
4、重视实际应用。在运筹学术界，有许多人强调运筹学 的实用性和对研究结果的“执行”。把“执行”看成运筹 学工作中的重要组成部分。
5、理论和应用的发展相互促进为。运筹学的各个分支， 都是实际问题的需要或以一定的实际问题背景逐渐发展起 来的。初期一些老的学科方面的专家对运筹学做出了贡献。 随后新的人才逐渐涌现，新的理论逐渐出现。
问题与练习 1. 什么是运筹学？特点有哪些？ 2. 决策有几个步骤，请列出。 3. 定性决策和定量决策的异同之处。 4. 建立模型练习 5. 熟悉Microsoft Excel
谢 谢
四、解决问题与制定决策（
Problem solving & Decision making）
解决问题一般包括以下7步 1、明确问题、定义问题 2、确定备选方案 3、制定准则 4、评价备选方案 5、选择一种备选方案 6、实施 7、分析结果、检验是否达到预期效果。
制定决策是由解决问题的前5步构成
例如：设你失业在家，希望找到一个工作，经过努力， 有三家公司答应录用你。单准则决策、多准则决策。
运筹学教学课件(全)
实用举例
某公司通过市场调研，决定生产高中档新型拉杆箱。 某分销商决定买进该公司3个月内的全部产品。拉杆箱生 产需经过原材料剪裁、缝合、定型、检验和包装4过程。
通过分析生产过程，得出：生产中档拉杆箱需要用 7/10小时剪裁、5/10小时缝合、1小时定型、1/10小时检 验包装；生产高档拉杆箱则需用1小时剪裁、5/6小时缝合、 2/3小时定型、1/4小时检验包装。由于公司生产能力有限， 3月内各部的最大生产时间为剪裁部630小时、缝合部600 小时、定型部708小时、检验包装部135小时。
D {x | Ax b, x (x1,, xi ,, xn ) 0}
是凸集（凸多面体）。
引理2.1：线性规划的可行解 x (x1 ,, xn )T 为基本可行解的 充分必要条件是x的正分量所对应的系数列向量是线性无关的， 即每个正分量都是一个基变量。
定理2.2：线性规划问题的基本可行解x对应于可行域的顶点
通过分析生产过程，得出：生产中档拉杆箱需要用
7/10小时可剪裁以、通5/1过0小线时性缝合规、划1小求时定解型！、1/10小时
检验包装；生产高档拉杆箱则需用1小时剪裁、5/6小时 缝合、2/3小时定型、1/4小时检验包装。由于公司生产 能力有限，3月内各部的最大生产时间为剪裁部630小时、 缝合部600小时、定型部708小时、检验包装部135小时。
x2
L1：x1=6 L3：2x1+3x2=18
B 可行域
L2：x2=4 最优解
x1
4x1+3x2
解的特殊情况——解的特殊情况——无界解
线性规划的基本性质
若线性规划有最 优解，则最优解必在可 行域的顶点上达到。
X
可行域内部的点 • 可行解? 是 • 最优解? 不
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则可将上述线性规划问题化成如下的标准型:
MinZ x1 2x2 3x4 3x5 0x6 0x7
x1 x2 x4 x5 x6 7 x1 x2 x4 x5 x7 2 3x1 x2 2x4 2x5 5 x1, x2,, x7 0
是待决策的变量。
c 1 x 1 c n x n 称 为 目 标 函 数 (O b jectiv e fu n ctio n ), c j 称 为 价 值 系 数 (C o st C o efficien t),向 量 C (c1 , c 2 , c n ) 称 为 价 值
向 量 。 由 系 数 a ij 组 成 的 矩 阵 ，
五、 LP问题的几何意义（单纯 形表的数学原理）
若线性规划问题存在可行域，则其可行域D是凸集 线性规划问题的可行解为基可行解的充要条件是的正
分量所对应的系数列向量线性无关。 X是基本可行解的充分必要条件是X是可行域D的顶点 一个标准的LP问题，若有可行解，则至少有一个基本
可行解 一个标准的LP问题，若有有限的最优值，则一定存在
R（i或g
h
t
-
ha
n，d-
s）i d
e
b
i
，
i
vecto r
1,2,
）
,m 和
，
xj1,xj2, 称xjk为约0束条件(Subject to)。 xjl 0,l称1, 为,变k量的非负约束条件。其余的变量 可取正值、负值、或零值，称这样的变量为符号 无限制变量或自由变量。 线性规划模型的特征是：一组决策变量 ，一组约 束条件。一个目标函数。目标函数和约束条件都 是线性的。
b 显然， X 0 。 此 X D 。证完
说 明 X 满 足 LP 问 题 的 约 束 条 件 ， 因
线性规划问题的可行解X为基可行解的充要条件是 X的正分量所对应的系数列向量线性无关。
证 明 ：（ 1 ） 必 要 性 ， 由 基 可 行 解 的 定 义 知 。
（ 2 ） 充 分 性 ， 若 向 量 P1 , P2 , , Pk 线 性 独 立 ， 则
一般情况下 m < n , m , n 为正整数,
分别表示约束条件的个数和决策变量的个数,
由前面一般形式可知,线性规划问题可能有各种 不同的形式。目标函数有实现最大化也有实现 最小化的;约束条件可以是“ ”形式、“” 形式不等式,有的是等式
决策变量有时有非负限制有时没有。这 种多样性给讨论问题代来了不便。为了便 于今后讨论，我们就要规定线性规划问题 的标准型
a 11 a 1 n A
a m 1 a mn
称 为 约 束 矩 阵 (C o n strain ts m atrix )，列 向 量 b (b1 , , b m ) T 称 为 右
端向量
a i1 x 1 a i2 x 2
（
a in x n
如何得到第一个基本可行解？
为了得到初始基本可行解，要首先找到初始基本可 行基，设B为约束矩阵的一个m阶子式，如果B非 奇异，则矩阵B是一个基，
进一步，若 B1b，那0么B是初始基本可行基。
B
0
1
b
就是初始基本可行解。找初始基本可行基的
方法如下
1．观察法与试验法。2.大M法。3.两阶段法
x B B 1 b B 1 Nx N 令 xN 0 ， 就 得 到 约 束 方 程 组 的 一 种 特 殊 形 式 的 解
x
B
1b 0
，
称
这
一解为相应于
B
的基
本解。
当 B 1b 0 时 ， 称 基 本 解 为 基 本 可 行 解 。 这 是 对
应的基 B 称为可行基。由此可知；基的数目最多
(basic solution、basic feasible solution)
minZ CX s.t. AX b
X 0
秩（A）=m，则矩阵A中存在一个m阶满秩 子方阵B。称B矩阵为线性规划问题的一个基。
故 A 中 必 有 m 个 线 性 无 关 的 列 向 量 。 构 成 满 秩 方 阵 B ,把 A
中 其 余 各 列 组 成 的 子 阵 记 为 N ,再 把 x ( x 1 , x 2 , , x n ) t 分
量 也 相 应 的 分 为 两 部 分 ， 记 为 x B 和 x N ， 则 AX b
可 重 写 为 ； Bx B Nx N b ， 由 于 B 非 奇 异 ， 则
检验数为零，则 LP 问题有无穷多解。
当 检 验 数中 某 一个 分 量 k 0 同 时 有 当检验数中某一个分量 k 0 同时
B 1 Pk 0 ， 则 原 问 题 无 界 。
有 B 1 Pk 0 ， 则 原 问 题 无 界 。
为
C
m n
个
，基
解
的
数
目
最
多
也
为
C
m n
个
，一
般
基
本
可行解的数目要小于基解的数目。
解之间的关系
可行解：满足约束条件 AX b X 0
最优解：满足约束条件，同时使目标函数值最优。
基础解：满足 AXb且, 非零分量的数目不大于方 程的个数m。
基可行解：是基础解又是可行解。
基最优解：满足约束条件，且无非零分量，或非 零分量对应的列向量现性无关，同时使目标函数值 最优。
由以上定理可知，最优解一定在某一 基本可行解处达到。因此单纯形法的 基本思想是：先找一个基本可行解， 然后判断它是否为最优解，如不是， 就找一个更好的基本可行解，再进行 判断，如此迭代进行，直到找到最优 解或者判断该问题无界。
1．单纯形表
为了计算的方便，我们可以将单纯形法的全部计 算过程在一个类似增广矩阵的数表上进行，这种 表格称单纯形表，不同的教材设计表格稍有不同， 这里设计如下：
如何判断基本可行解是最优解？
对线性规划问题的求解结果可能出现唯 一最优解、无穷多最优解、无界解和无 可行解四种情况，
标准型
检验向量 判别结果
MaxZ CX AX b X 0, b 0
MinZ C X AX b X 0, b 0
C B B 1 A C 0 时，则 B 为最优基，基本可行解
二、线性规划问题的标准行式是什么？ 如何将一个LP问题的一般形式转换为
标准形式？
(1)、这里规定的标准形式为：
MinZc1x1 c2x2 cnxn a11x1 a12x2 a1nxn b1 a2 1x1 a22x2 a2nxn b2 am1x1 am2x2 amnxn bm x1,x2 ,,xn 0
量 组 ， 其 对 应 的 解 恰 为X ， 所 以 根 据 定 义 它 是 基
可行解。
X是基本可行解的充分必要条件是 X是可行域D的顶点
证明：充分性。设X 是 D 的顶点，则X 满足约
束条件，X 是一可行解，仍设X 的前k 个
分量取正值。即
X (x1 , x2, , xk ,0, ,0) 。则其正分量
对应的系数列向量 P1 , P2 , , Pk 一定线性无
关。从而，由定理 2 知X 为基本可行解。
这 一 部 分 是 线 性 规 划 部 分 的 基 本 定 理 ，也 是 单 纯 形 法 求 解 LP 问 题 的 数 学 原 理 。 通 过 这 一 部 分 的 学 习 ， 一 定 要 清 楚 线性规划问题的可行解、基可行解、最优解的几何意义。 即 线 性 规 划 问 题 的 所 有 可 行 解 构 成 的 集 合 是 凸 集 ，也 可 能 为 无 界 域 ，他 们 有 有 限 个 顶 点 ，线 性 规 划 问 题 的 每 个 基 可 行解对应可行域的一个顶点；若线性规划问题有最优解，
例4: 试将如下线性规划问题化成标准型
Min Z x1 2 x2 3x3
x1 x2 x3 7
x1
x2
x3
2
3x1 x 2 2 x3 5
x1 , x 2 0 , x3 无限制
(1) (2) (3)
解：令 x3 = x4 - x5 , x4 , x5 0 , (1)式左端加上 非负松弛变量 x6 , (2)式左端减去非负剩余变量 x7 ,
三、什么是可行解、可行域， 可行域的几何结构？
满足所有约束条件的决策变量，称为可 行解或可行点(feasible point)。
使目标函数值最大的可行解称为最优解
所 有 可 行 点 组 成 的 集 合 称 为 可 行 域 （feasible region），记为D.
给定一个LP问题可行域D,下列三种情况 必居其一
这里我们假设 bi 0 ( i = 1,2,···,m),否则两
端同时乘以“-1”。
简记为： n min Z c j x j j 1
n
s.t.
aij x j bi i 1,2, m
j 1
x j 0, j 1,2,, n
用矩阵表示为：
minZ CX s.t. AX b
C B B 1 A C 0 时，则 B 为最优基，基本可行
B
1b 0
就
是
最
优
解
，
C
B
B
1
就
是
最
优
值。
当 0 又存在某个非基变量的检验数为
零，则 LP 问题有无穷多解。
解
B
1b 0
就
是
最
优
解
MinZ x1 2x2 3x4 3x5 0x6 0x7
x1 x2 x4 x5 x6 7 x1 x2 x4 x5 x7 2 3x1 x2 2x4 2x5 5 x1, x2,, x7 0
是待决策的变量。
c 1 x 1 c n x n 称 为 目 标 函 数 (O b jectiv e fu n ctio n ), c j 称 为 价 值 系 数 (C o st C o efficien t),向 量 C (c1 , c 2 , c n ) 称 为 价 值
向 量 。 由 系 数 a ij 组 成 的 矩 阵 ，
五、 LP问题的几何意义（单纯 形表的数学原理）
若线性规划问题存在可行域，则其可行域D是凸集 线性规划问题的可行解为基可行解的充要条件是的正
分量所对应的系数列向量线性无关。 X是基本可行解的充分必要条件是X是可行域D的顶点 一个标准的LP问题，若有可行解，则至少有一个基本
可行解 一个标准的LP问题，若有有限的最优值，则一定存在
R（i或g
h
t
-
ha
n，d-
s）i d
e
b
i
，
i
vecto r
1,2,
）
,m 和
，
xj1,xj2, 称xjk为约0束条件(Subject to)。 xjl 0,l称1, 为,变k量的非负约束条件。其余的变量 可取正值、负值、或零值，称这样的变量为符号 无限制变量或自由变量。 线性规划模型的特征是：一组决策变量 ，一组约 束条件。一个目标函数。目标函数和约束条件都 是线性的。
b 显然， X 0 。 此 X D 。证完
说 明 X 满 足 LP 问 题 的 约 束 条 件 ， 因
线性规划问题的可行解X为基可行解的充要条件是 X的正分量所对应的系数列向量线性无关。
证 明 ：（ 1 ） 必 要 性 ， 由 基 可 行 解 的 定 义 知 。
（ 2 ） 充 分 性 ， 若 向 量 P1 , P2 , , Pk 线 性 独 立 ， 则
一般情况下 m < n , m , n 为正整数,
分别表示约束条件的个数和决策变量的个数,
由前面一般形式可知,线性规划问题可能有各种 不同的形式。目标函数有实现最大化也有实现 最小化的;约束条件可以是“ ”形式、“” 形式不等式,有的是等式
决策变量有时有非负限制有时没有。这 种多样性给讨论问题代来了不便。为了便 于今后讨论，我们就要规定线性规划问题 的标准型
a 11 a 1 n A
a m 1 a mn
称 为 约 束 矩 阵 (C o n strain ts m atrix )，列 向 量 b (b1 , , b m ) T 称 为 右
端向量
a i1 x 1 a i2 x 2
（
a in x n
如何得到第一个基本可行解？
为了得到初始基本可行解，要首先找到初始基本可 行基，设B为约束矩阵的一个m阶子式，如果B非 奇异，则矩阵B是一个基，
进一步，若 B1b，那0么B是初始基本可行基。
B
0
1
b
就是初始基本可行解。找初始基本可行基的
方法如下
1．观察法与试验法。2.大M法。3.两阶段法
x B B 1 b B 1 Nx N 令 xN 0 ， 就 得 到 约 束 方 程 组 的 一 种 特 殊 形 式 的 解
x
B
1b 0
，
称
这
一解为相应于
B
的基
本解。
当 B 1b 0 时 ， 称 基 本 解 为 基 本 可 行 解 。 这 是 对
应的基 B 称为可行基。由此可知；基的数目最多
(basic solution、basic feasible solution)
minZ CX s.t. AX b
X 0
秩（A）=m，则矩阵A中存在一个m阶满秩 子方阵B。称B矩阵为线性规划问题的一个基。
故 A 中 必 有 m 个 线 性 无 关 的 列 向 量 。 构 成 满 秩 方 阵 B ,把 A
中 其 余 各 列 组 成 的 子 阵 记 为 N ,再 把 x ( x 1 , x 2 , , x n ) t 分
量 也 相 应 的 分 为 两 部 分 ， 记 为 x B 和 x N ， 则 AX b
可 重 写 为 ； Bx B Nx N b ， 由 于 B 非 奇 异 ， 则
检验数为零，则 LP 问题有无穷多解。
当 检 验 数中 某 一个 分 量 k 0 同 时 有 当检验数中某一个分量 k 0 同时
B 1 Pk 0 ， 则 原 问 题 无 界 。
有 B 1 Pk 0 ， 则 原 问 题 无 界 。
为
C
m n
个
，基
解
的
数
目
最
多
也
为
C
m n
个
，一
般
基
本
可行解的数目要小于基解的数目。
解之间的关系
可行解：满足约束条件 AX b X 0
最优解：满足约束条件，同时使目标函数值最优。
基础解：满足 AXb且, 非零分量的数目不大于方 程的个数m。
基可行解：是基础解又是可行解。
基最优解：满足约束条件，且无非零分量，或非 零分量对应的列向量现性无关，同时使目标函数值 最优。
由以上定理可知，最优解一定在某一 基本可行解处达到。因此单纯形法的 基本思想是：先找一个基本可行解， 然后判断它是否为最优解，如不是， 就找一个更好的基本可行解，再进行 判断，如此迭代进行，直到找到最优 解或者判断该问题无界。
1．单纯形表
为了计算的方便，我们可以将单纯形法的全部计 算过程在一个类似增广矩阵的数表上进行，这种 表格称单纯形表，不同的教材设计表格稍有不同， 这里设计如下：
如何判断基本可行解是最优解？
对线性规划问题的求解结果可能出现唯 一最优解、无穷多最优解、无界解和无 可行解四种情况，
标准型
检验向量 判别结果
MaxZ CX AX b X 0, b 0
MinZ C X AX b X 0, b 0
C B B 1 A C 0 时，则 B 为最优基，基本可行解
二、线性规划问题的标准行式是什么？ 如何将一个LP问题的一般形式转换为
标准形式？
(1)、这里规定的标准形式为：
MinZc1x1 c2x2 cnxn a11x1 a12x2 a1nxn b1 a2 1x1 a22x2 a2nxn b2 am1x1 am2x2 amnxn bm x1,x2 ,,xn 0
量 组 ， 其 对 应 的 解 恰 为X ， 所 以 根 据 定 义 它 是 基
可行解。
X是基本可行解的充分必要条件是 X是可行域D的顶点
证明：充分性。设X 是 D 的顶点，则X 满足约
束条件，X 是一可行解，仍设X 的前k 个
分量取正值。即
X (x1 , x2, , xk ,0, ,0) 。则其正分量
对应的系数列向量 P1 , P2 , , Pk 一定线性无
关。从而，由定理 2 知X 为基本可行解。
这 一 部 分 是 线 性 规 划 部 分 的 基 本 定 理 ，也 是 单 纯 形 法 求 解 LP 问 题 的 数 学 原 理 。 通 过 这 一 部 分 的 学 习 ， 一 定 要 清 楚 线性规划问题的可行解、基可行解、最优解的几何意义。 即 线 性 规 划 问 题 的 所 有 可 行 解 构 成 的 集 合 是 凸 集 ，也 可 能 为 无 界 域 ，他 们 有 有 限 个 顶 点 ，线 性 规 划 问 题 的 每 个 基 可 行解对应可行域的一个顶点；若线性规划问题有最优解，
例4: 试将如下线性规划问题化成标准型
Min Z x1 2 x2 3x3
x1 x2 x3 7
x1
x2
x3
2
3x1 x 2 2 x3 5
x1 , x 2 0 , x3 无限制
(1) (2) (3)
解：令 x3 = x4 - x5 , x4 , x5 0 , (1)式左端加上 非负松弛变量 x6 , (2)式左端减去非负剩余变量 x7 ,
三、什么是可行解、可行域， 可行域的几何结构？
满足所有约束条件的决策变量，称为可 行解或可行点(feasible point)。
使目标函数值最大的可行解称为最优解
所 有 可 行 点 组 成 的 集 合 称 为 可 行 域 （feasible region），记为D.
给定一个LP问题可行域D,下列三种情况 必居其一
这里我们假设 bi 0 ( i = 1,2,···,m),否则两
端同时乘以“-1”。
简记为： n min Z c j x j j 1
n
s.t.
aij x j bi i 1,2, m
j 1
x j 0, j 1,2,, n
用矩阵表示为：
minZ CX s.t. AX b
C B B 1 A C 0 时，则 B 为最优基，基本可行
B
1b 0
就
是
最
优
解
，
C
B
B
1
就
是
最
优
值。
当 0 又存在某个非基变量的检验数为
零，则 LP 问题有无穷多解。
解
B
1b 0
就
是
最
优
解