运筹学课件 第三章运输问题

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三、初始基本可行解的确定
1、最低费用法 最低费用法是就近供应，即对单位运价最小的变 量分配运输量。
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2、运费差额法
初看起来，最小元素法十分合理。但是，有时 按某一最小单位运价优先安排物品调运时，却可能 导致其他的地方多花几倍的费用，从而使整个运输 费用增加。 对每一个供应地或销售地，均可由它到各销售 地或到各供应地的单位运价中找出最小单位运价和 次小单位运价，并称这两个单位运价之差为该供应 地或销售地的罚数。若罚数的值不大，当不能按最 小单位运价安排运输时造成的运费损失不大，
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3 3
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最小运输费用为150
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2、
产地 销地
B1 10 20 30 25
B2 15 40 35 115
B3 20 15 40 60
B4 20 30 55 30
B5 40 30 25 70
产量 50 100 150
A1 A2 A3 销量
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产地 销地
1 5 2 3 9
2 1 4 6 10
3 8 1 7 11
产量 12 14 4
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运用最小元素法，得到上例的初始基本可行解如 下：
A1 A2 A3
B1 2 3 4
B2 10
B3 11
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运用运费差额法，得到上例的初始基本可行解
如下：
A1 A2 A3
B1 2 3 4
B2 10
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2、当迭代到运输问题的最优解时，如果有 某非基变量的检验数等于零，则说明该运输问题 有多重（无穷多）最优解。 3、当运输问题某部分产地的产量和，与某 一部分销地的销量和相等时，在迭代过程中有可 能在某个格填入一个运量时需同时划去运输表的 一行和一列，这时就出现了退化。在运输问题中， 退化解是时常发生的。为了使表上作业法的迭代 工作进行下去，退化时应在同时划去的一行或一 列中的某个格中填入数字0，表示这个格中的变 量是取值为0的基变量，使迭代过程中基可行解 的分量恰好为m+n-1个。
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反之，如果罚数的值很大，则不按最小运价组织 运输就会造成很大损失。故应尽量按最小单位运 价安排运输。运费差额法就是基于这种考虑提出 来的。


运费差额法的计算方法和步骤：
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例、
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四、最优解的判别 运用运费差额法，得到上例的初始基本可行 解如下：
其运价：c=0，i=1,2, …，m，
销量： ai b j
i 1 j 1 m n
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a b
i 1 i j 1
m
n
j
； 增加产地A
其运价：c=0,j=1,2, …,n,
产量： b j ai
j 1 i 1 n m
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首先选取某检验数为负数的空格为调入格， 即以它对应的非基变量为入基变量。从调入格出 发找一条闭回路 ，闭回路的确定方法为:以调入 格为起点，用水平或垂直线向前划，遇到适当数 字格则转 90。后继续前进，直到回到起始空格 为止。
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2、解的改进 解改进的具体步骤为： （1）以 为换入变量，找出它在运输表 中的闭回路； （2）以空格 为第一个奇数顶点，沿 闭回路的顺（或逆）时针方向前进，对闭回路上 的顶点依次编号； （3）在闭回路上的所有偶数顶点中，找出 运输量最小 的顶点（格子），以该格中 的变量为换出变量；
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（4）以 为调整量，将该闭回路上所 有奇数顶点处的运输量都增加这一数值，所有偶 数顶点处的运输量都减去这一数值，从而得出一 新的运输方案，该运输方案的总运费比原运输方 案减少，改变量等于 然后，再对得到的新解进行最优性检验，如 不是最优解，就重复以上步骤继续进行调整，一 直到得出最优解为止。
Min f = cij xij
m n
s.t.
xij = si xij = dj
i=1 j=1 m
i=1 n
j=1
i = 1,2,…,m j = 1,2,…,n
xij ≥ 0 (i = 1,2,…,m ; j = 1,2,…,n)
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二、运输问题的表上作业法
表上作业法是一种求解运输问题的特殊方法，其实质是单纯 形法。 运输问题都存在最优解。 计算过程（假设产销平衡）：
由于需大于供，经院研究决定一区供应量可减少0-300吨，二区必须满足需求量，三区供应量不少于 1500吨，试求总费用为最低的调运方案。
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山西盂县 河北临城 需要量
一区 1.80 1.60 3000
二区 1.70 1.50 1000
三区 1.55 1.75 2000
产量 4000 1500
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对初始基本可行解迭代寻优得到最优解为：
产地 销地
B1 35 25
B2 15 25
B3 20
B4 15
A1 A2 A3
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运用运费差额法，得到该问题的初始基本可 行解如下：
产地 销地
B1 10 25 25
B2 40
B3 20
B4 15
A1 A2 A3
B1 15 10 25
B2 35
B3 60
B4 30 30
B5
产量 50 100
A1 A2 A3 销量
80 115
60
70 70
150
无穷多最优解,最小运输成本为7225.
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六、产销不平衡问题的讨论 m n ai b j ；增加销地B
i 1 j 1
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产地 销地
A1 A2 A3 销量
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运用最小元素法，得到上例的初始基本可行解如 下：
产地 销地
B1 10 25 25
B2 40
B3 20
B4 15
A1 A2 A3
对初始基本可行解进行最优判断 <0
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五、解的改进 对运输问题的一个解来说，若最优性检验时 某非基变量 的检验数 为负，说明将这个非基变量变为基变量时运费会 更小。因而这个解不是最优解，还可以进一步改 进。改进的方法是在运输表中找出这个空格对应 的闭回路 ，在满足所有约束条件的前提下， 使 尽量增大并相应调整此闭回路上其它顶点 的运输量，以得到另一个更好的基可行解。 1、闭回路的确定方法
解： 产销平衡问题： 总产量 = 总销量 设 xij 为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下列运输量表：
A1 A2 销量 B1 x11 x21 150 B2 x12 x22 150 B3 x13 x23 200 产量 200 300
Min f = 6x11+ 4x12+ 6x13+ 6x21+ 5x22+ 5x23 s.t. x11+ x12 + x13 = 200 x21 + x22+ x23 = 300 x11 + x21 = 150 x12 + x22 = 150 x13 + x23 = 200 xij ≥ 0 ( i = 1、2；j = 1、2、3） 2013-11-30
B1 A1 A2 A3 8
B2
B3 12
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B4 4 2 8
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现用位势法求这个解各非基变量的检验数。 由于所有非基变量的检验数全非负，故这个解为 最优解。对这个解来说，因 若以 为 换入变量可再得一解，它与上面最优解的目标函 数值相等，故它也是一个最优解，即该运输问题 有无穷多最优解。 五、需要说明的几个问题 1、若运输问题的某一基可行解有几个非基 变量的检验数均为负。在继续进行迭代时，取它 们中的任一变量为换入变量均可使目标函数值得 到改善，但通常取 中最小者对应的变量 为换入变量。
第三章
运输问题
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一 运输问题及其数学模型
例、某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、B3，各产地的 产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所示， 问：应如何调运可使总运输费用最小？
A1 A2 销量 B1 6 6 150 B2 4 5 150 B3 6 5 200 产量 200 300
B3 11
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例：某企业有 3个生产同类产品的工厂 （产地），生产的产品由 4个销售点（销地）出 售，各工厂的生产量、各销售点的销售量（假定 单位均为吨）各工厂到各销售点的单位运价（元 /吨）示于下表中。要求研究产品如何调运才能 使总运费最小。
B1 3 7 2 60 B2 2 5 5 40 B3 7 2 4 20 B4 6 3 5 15 产量 50 60 25
这里 M 代表一个很大的正数，其作用是强迫相应的 x31、 x33、 x34取值为0。
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例、石家庄北方研究院有一、二、三三个区。每年分别 需要用煤3000、1000、2000吨，由河北临城、山西 盂县两处煤矿负责供应，价格、质量相同。供应能力 分别为1500、4000吨，运价为：