运筹学中的运输问题
运筹学运输问题相关知识点
运筹学运输问题相关知识点运筹学，旨在通过数学模型和优化方法来解决各种决策问题，其中运输问题是运筹学中的一个重要分支。
运输问题旨在帮助我们确定如何在不同地点之间运输物品以达到最佳效益。
首先，运输问题基于以下几个基本假设：一是物流成本在运输过程中是线性的，二是物品在不同地点之间的运输是无差异的，三是供应和需求之间是平衡的。
在解决运输问题时，需要考虑以下几个关键要素：1.运输网络：此步骤涉及识别和描述供应地点、运输路径和需求地点。
通常使用图形表示来可视化运输网络，以便更好地理解和分析问题。
2.供应量和需求量：确定每个供应地点可提供的物品数量和每个需求地点所需的物品数量。
供应量和需求量之间必须达到平衡。
3.运输成本：每个运输路径的费用是决策的重要因素。
这可以涉及运输距离、运输方式、燃料成本等因素。
通常通过构建费用矩阵来表示各个路径的费用。
4.运输方案：确定如何分配物品以满足需求，并选择最佳的运输路径。
这通常通过使用线性规划模型来实现，以最小化总运输成本为目标。
解决运输问题的常见方法包括：1.西北角规则：该方法从供应和需求具有最大值的角度着手，逐步分配物品，直到达到平衡。
这种方法简单易行，但不一定能够找到全局最优解。
2.最小成本法：该方法根据运输路径的成本递增顺序，逐一分配物品，直到平衡为止。
这种方法能够找到最优解，但可能需要更多的计算量。
3.转运法：该方法通过寻找“供应地点里程+需求地点里程最小”的路径来决策，直至达到平衡。
这种方法在有多个供应地点和多个需求地点时非常实用。
除了基本的运输问题之外，还有其他一些相关的运筹学问题，如多品种运输问题、多目标运输问题和带有时间窗口的运输问题等。
这些问题在实际应用中都有广泛的应用，并且可以通过相应的数学模型和优化方法来解决。
综上所述，运筹学中的运输问题是一个重要的决策问题。
它涉及到寻找最佳的物品配送方案，以最小化总运输成本。
通过合适的数学模型和算法，我们可以有效地解决这类问题，为实际的物流管理提供有力的支持。
运筹学 运输问题
运筹学运输问题
运筹学是一门研究如何最优地规划和管理资源以实现预定目标的学科。
在运筹学中，运输问题是其中一个重要的应用领域。
运输问题主要关注如何有效地分配有限的资源到不同的需求点，以最小化总体运输成本或最大化资源利用效率。
这些资源可以是货物、人员或其他物资。
运输问题通常涉及到多个供应地点和多个需求地点之间的物流调度。
运输问题的目标是找到一种最佳的调度方案，使得满足所有需求的同时，总运输成本达到最小。
为了解决运输问题，可以采用线性规划、网络流和启发式算法等方法。
在运输问题中，需要确定以下要素：
1. 供应地点：确定从哪些地点提供资源，例如仓库或生产基地。
2. 需求地点：确定资源需要分配到哪些地点，例如客户或销售点。
3. 运输量：确定每个供应地点与需求地点之间的运输量。
4. 运输成本：确定不同供应地点与需求地点之间运输的成本，可以
包括距离、时间、燃料消耗等因素。
通过数学建模和优化技术，可以对这些要素进行量化和分析，以求得最佳的资源分配方案。
这样可以降低运输成本、提高物流效率，并且满足不同地点的需求。
总而言之，运输问题是运筹学中的一个重要领域，涉及到如何有效地规划和管理资源的物流调度。
通过数学建模和优化方法，可以找到最优的资源分配方案，从而实现成本最小化和效率最大化。
运筹学第3章：运输问题-数学模型及其解法
整数规划模型
01
整数规划模型是线性规划模型 的扩展，它要求所有变量都是 整数。
02
整数规划模型适用于解决离散 变量问题，例如车辆路径问题 、排班问题等。
03
在运输问题中，整数规划模型 可以用于解决车辆调度、装载 等问题，以确保运输过程中的 成本和时间效益达到最优。
混合整数规划模型
混合整数规划模型是整数规划和线性规划的结合，它同时包含整数变量和 连续变量。
运筹学第3章：运输问题-数学模 型及其解法
目录
• 引言 • 运输问题的数学模型 • 运输问题的解法 • 运输问题的应用案例 • 结论
01 引言
运输问题的定义与重要性
定义
运输问题是一种线性规划问题，主要 解决如何将一定数量的资源（如货物 、人员等）从起始地点运送到目标地 点，以最小化总运输成本。
总结词
资源分配优化是运输问题在资源管理 领域的应用，主要解决如何将有限的 资源合理地分配到各个部门或项目， 以最大化整体效益。
详细描述
资源分配优化需要考虑资源的数量、 质量、成本等多个因素，通过建立运 输问题的数学模型，可以找到最优的 资源分配方案，提高资源利用效率， 最大化整体效益。
05 结论
运输问题的发展趋势与挑战
生产计划优化
总结词
生产计划优化是运输问题在生产领域的应用，主要解决如何合理安排生产计划， 满足市场需求的同时降低生产成本。
详细描述
生产计划优化需要考虑原材料的采购、产品的生产、成品的销售等多个环节，通 过建立运输问题的数学模型，可以找到最优的生产计划和调度方案，提高生产效 率，降低生产成本。
资源分配优化
发展趋势
随着物流行业的快速发展，运输问题变得越来越复杂，需要更高级的数学模型和算法来 解决。同时，随着大数据和人工智能技术的应用，运输问题的解决方案将更加智能化和
广工管理运筹学第三章运输问题
闭合回路法的优点是能够找到全局最 优解，适用于大型复杂运输问题。但 该方法的计算复杂度较高，需要较长 的计算时间。
商位法
01
商位法是一种基于商位划分的优化算法，用于解决运输问题。该方法通过将供 应点和需求点划分为不同的商位，并最小化总运输成本。
02
商位法的计算步骤包括：根据地理位置和货物需求量，将供应点和需求点划分 为不同的商位；根据商位的地理位置和货物需求量，计算总运输成本；通过比 较不同商位的总运输成本，确定最优的配送路线。
80%
线性规划法
通过建立线性规划模型，利用数 学软件求解最优解，得到最小化 总成本的运输方案。
100%
启发式算法
采用启发式规则逐步逼近最优解 ，常用的算法包括节约算法、扫 描算法等。
80%
遗传算法
基于生物进化原理的优化算法， 通过模拟自然选择和遗传机制来 寻找最优解。
02
运输问题的数学模型
变量与参数
约束条件
供需平衡
每个供应点的供应量等于对应 需求点的需求量，这是运输问 题的基本约束条件。
非负约束
运输量不能为负数，即每个供 应点对每个需求点的运输量都 应大于等于零。
其他约束条件
根据实际情况，可能还有其他 约束条件，如运输能力的限制 、运输路线的限制等。
03
运输问题的求解算法
表上作业法
总结词
直到达到最优解。这两种方法都可以通过构建线性规划模型来求解最优解。
04
运输问题的优化策略
节约法
节约法是一种基于节约里程的优化算法，用于解决 运输问题。该方法通过比较不同配送路线的距离和 货物需求量，以最小化总运输距离为目标，确定最 优的配送路线。
节约法的计算步骤包括：计算各供应点到需求点的 距离，找出最短路径；根据最短路径和货物需求量 ，计算节约里程；按照节约里程排序，确定最优配 送路线。
运筹学运输问题-图文
销地 B1
B2
...
Bn
产量
产地
A1
X11 X12
...
X1n
a1
A2
X21 X22
...
X2n
a2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Am
Xm1 Xm2
...
Xmn
am
销量
b1
b2
...
bn
则运输问题的数学模型如下：
产销平衡表
销地 B1
B2
...
Bn
产量
产地
A1
a1
A2
a2
.
.
.
.
.
.
Am
am
销量
b1
b2
...
bn
单位运价表
销地
B1
B2
...
Bn
产地
A1
c11
c12
...
c1n
A2
c21
c22
...
c2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Am
cm1
cm2
...
cmn
❖ 若总产量等于总销量（产销平衡），试确定总运费最省 的调运方案。
Table14 检验数表
销地
B1
B2
B3
B4
产地
A1
运筹学-3运输问题
产大于销 销大于供
当产销平衡时，其模型如下：
当产大于销时，其模型是：
mn
min Z
cij xij
i1 j1
xij ai xij bj
xij
0
( ai bj)
当销大于产时，其模型是：
min Z
cij xij
xij ai xij bj
可行解的方法
Review
二、表上作业法的步骤
Step1.找出初始基本可行解（在m*n产销平衡 表上寻找初始调运方案，一般m+n-1个数字 格），用最小元素法、西北角法、伏格尔法；
Step2.求出各非基变量的检验数，判别是否达 到最优解。如果是停止计算，否则转入下一步， 用闭回路或位势法计算；
Step3.改进当前的基本可行解（确定换入、 换出变量），用闭合回路法调整； Step4.重复2. 3，直到找到最优解为止。
（3）运输问题的解
定义1. 闭回路
x x x x x x 闭回路是能折成 i1 j1, i1 j2 , i2 j2 , i2 j3 ,..., isjs , isj1
形式的变量组集合。其中 i1 , i2 , …， is 互不相同，j1 , j2 , …， js 互不相 同。每个变量称为闭回路的顶点，连接闭回路相邻两顶点的直线段叫做闭
统计学院
运筹学－第三章 运输问题
张红历
本章内容
1.运输问题及其数学模型 2.表上作业法 3.运输问题的进一步讨论
4.应用问题举例
第一节 运输问题及其数学模型
一、运输问题的提出
例：某运输问题的资料如下：
单位 销地 运价
产地
A1 A2 A3
销量
运筹学第三章 运输问题
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6
5 3
3 1
4
4
2
A3
销量 2
4 7
1 3
4
4 6
3
7 5
3
5
6
8
4 3 13
σ11=-3, σ12=-2,σ23=-4, σ31=-1,σ33=1, σ34=-1
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6
5 0
3 4
4
4
2
A3
销量 2
4 7
4
4 6
3
4 3
5
3
4
3
4 7
1
5
4 6
A3 销量 2
7
0
4
6
3
5
3
4
8
3 13
x11检验数为 6-4+8-6+4-4=4
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6 4 2 4
5
3
4
3
4 7
1
5
4 6
A3 销量 2
7
0
4
6
3
5
3
4
8
3 13
x12检验数为 5-4+8-6=3
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
2、位势法 当运输问题变量的格数较多时，用闭 回路法计算检验数比较麻烦，而位势法比 较简便。 对于运输问题 minf=CX AX=b X≥0 设B为其一个可行基，则xij的检验数为 σ ij=CBB-1Pij-Cij
运筹学运输问题笔记(一)
运筹学运输问题笔记(一)运筹学运输问题笔记一、运输问题的概述运输问题的定义运输问题是运筹学中的一种经典问题，也是线性规划中最简单的一种。
其定义是：在将若干种供给物品分别运往若干种需求地的过程中，在满足各个供求量限制和运输能力限制的基础上，使得总的运输成本最小。
运输问题的特点• 只涉及一种商品的运输；• 供给地和需求地的数量相等；• 供给地和需求地之间的运费相同。
运输问题的模型运输问题的模型可以用线性规划的形式表示：min Z =∑∑c ij nj=1m i=1x ijs.t. {∑x ij ni=1=b j (j =1,2,...,n )∑x ij m j=1=a i (i =1,2,...,m )x ij ≥0 (i =1,2,...,m;j =1,2,...,n )其中，c ij 代表从供给点i 到需求点j 的单位运费，a i 代表供给点的总供给量，b j 代表需求点的总需求量，x ij 代表从供给点i 到需求点j 的运输量。
二、运输问题的求解方法1. 列出初始可行解运输问题的求解可以先列出初始可行解，常用的方法有两种： • 西北角法（Northwest Corner Method ）• 最小元素法（Least Cost Method ）以上两种方法均可得到初始可行解，但最终得到的最优解可能不同。
2. 用改进的对角线法求解在得到初始可行解后，可以用改进的对角线法求解运输问题。
该方法的基本思想是：通过计算每个空运输路线上的机会成本，确定可能改进的单元格，然后通过交错路径法得到改进可行解，并最终求出最优解。
3. 用运输单纯形法求解对于规模较大或复杂的运输问题，可以用运输单纯形法求解。
该方法是将单纯形法应用到运输问题上，可以快速、准确地求解最优解。
三、运输问题的应用运输问题在物流领域的应用在物流领域中，运输问题是非常重要的，可以通过求解运输问题来优化物流配送方案、降低物流成本、提高物流效率。
运输问题在生产计划中的应用运输问题还可以应用于生产计划中，可以通过求解运输问题来优化原材料到达厂区和半成品成品出厂的方案，提高生产效率，降低成本。
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把第i季度生产的柴油机数看作第i个生产厂商的产 量；把第j季度交货的柴油机数看作第j个销售点的销 量；生产成本加储存、维护等费用看作运费。将生产 与储存问题转化为运输问题，相关数据见表。
2 运输问题数学模型和电子表格模型
柴油机生产的相关数据
1 运输问题基本概念
例1 某公司有三个加工厂A1、A2、A3生产某产品，每日 的产量分别为：7吨、4吨、9吨；该公司把这些产品分别 运往四个销售点B1、B2、B3、B4，各销售点每日销量分 别为：3吨、6吨、5吨、6吨；从各工厂到各销售点的单 位产品运价如表1所示。问该公司应如何调运这些产品， 在满足各销售点的需要量的前提下，使总运费最少？
平衡运输问题的条件：
1. 明确出发地（产地）、目的地（销地）、供应量（产量）、需求 量（销量）和单位成本。
2. 需求假设：每一个出发地都有一个固定的供应量，所有的供应量 都必须配送到目的地。与之类似，每一个目的地都有一个固定的 需求量，整个需求量都必须由出发地满足。即“总供应＝总需 求”。
3. 成本假设：从任何一个出发地到任何一个目的地的货物配送成本 与所配送的数量成线性比例关系，因此成本就等于配送的单位成 本乘以所配送的数量（目标函数是线性的）。
月份
正常生产能力 （台）
加班生产能力 （台）
合同销量（台）
单台费用 （万元）
1月
60
10
104
15
2月
50
10
75
14
3月
90
20
115
13.5
4月
100
40
160
13
5月
100
40
103
13
6月
80
40
70
13.5
4 运输问题应用举例
例7 华中金刚石锯片厂有两条生产线，分别生产直 径900-1800mm大锯片基体20000片，直径350-800mm 中小锯片基体40000片。公司在全国有25个销售网 点，主要销售区域集中在福建、广东、广西、四川、 山东5个石材主产区。为完成总厂的要求，公司决 定一方面拿出10%的产量稳定与前期各个客户的联 系以保证将来的市场区域份额，另一方面，面临如 何将剩余的90%的产量合理分配给五个石材主产区 和其他省区，以获取最大的利润。各个销售区的最 低需求、销售固定费用、每片平均运费、每片从总 厂库房的购进价与当地的销售价差贡献等自然情况 见表。问应如何分配给各个销售区，才能使得总利 润为最大？
表1 各工厂到各销售点的单位产品运价（元/吨）
B1
B2
B3
B4 产量（吨）
A1
3
11
3
10 7
A2
1
9
2
84
A3
7
4
10 5 9
销量（吨） 3
6
5
6
对于例1，其数学模型如下： 首先，三个产地A1、A2、A3的总产量为7＋4＋9＝20；四个
销地B1、B2、B3、B4的总销量为3＋6＋5＋6＝20。由于总产 量等于总销量，故该问题是一个产销平衡的运输问题。 (1)决策变量
3 各种变形的运输问题建模
例4 某公司决定使用三个有生产余力的工厂进行四种新产品的生产。每 单位产品需要等量的工作，所以工厂的有效生产能力以每天生产的任意 种产品的数量来衡量（见表的最右列）。而每种产品每天有一定的需求 量（见表的最后一行）。每家工厂都可以制造这些产品，除了工厂2不 能生产产品3以外。然而，每种产品在不同工厂中的单位成本是有差异 的（如表所示）。
现在需要决定的是在哪个工厂生产哪种产品，可使总成本最小。
表 产品生产的有关数据
工厂1 工厂2 工厂3
需求量
单位成本（元）
产品1 41 40 37 20
产品2 产品3
27
28
29
－
30
27
30
30
产品4 24 23 21 40
生产能力
75 75 45
3 各种变形的运输问题建模
解：指定工厂生产产品 可以看作运输问题来求 解。本题中，工厂2不能 生产产品3，这样可以增 加约束条件 ；并且，总 供应x23＝0 （75+75+45=195）>总需 求（20+30+30+40=120）。 其数学模型如下：
由于运输量经常以卡车、集装箱等为单 位，如果卡车不能装满的话，就很不经 济了。整数解性质就避免了运输量（运 输方案）为小数的麻烦。
（3）销大于产（供不应求）运输问题
（以满足小的产量为准） i
j=
2 运输问题数学模型和电子表格模型
例2 某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供 10，15，25，20台同一规格的柴油机。已知该厂各 季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如表所示。 如果生产出来的柴油机当季不交货的，每台每积压 一个季度需储存、维护等费用1500元。要求在完成 合同的情况下，做出使该厂全年生产（包括储存、 维护）费用最小的决策。
运输问题和指派问题 The Transportation and Assignment Problems
本章内容要点
运输问题的基本概念及其各 种变形的建模与应用 指派问题的基本概念及其各 种变形的建模与应用
本章节内容
1 运输问题基本概念 2 运输问题数学模型和电子表格模型 3 各种变形的运输问题建模 4 运输问题应用举例 5 指派问题 6 各种变形的指派问题建模
设xij为工厂i生产产品 j的数量
3 各种变形的运输问题建模
例4的电子表格模型
产品4分在2个工厂生产
3 各种变形的运输问题建模
例5 某公司在3个工厂中专门生产一种产品。在未来的4个月中，有四个
处于国内不同区域的潜在顾客（批发商）很可能大量订购。顾客1是公司 最好的顾客，所以他的全部订购量都应该满足；顾客2和顾客3也是公司 很重要的顾客，所以营销经理认为作为最低限度至少要满足他们订单的 1/3；对于顾客4，销售经理认为并不需要进行特殊考虑。由于运输成本 上的差异，销售一个产品得到的净利润也不同，很大程度上取决于哪个 工厂供应哪个顾客（见表）。问应向每一个顾客供应多少货物，以使公 司总利润最大？
（3）约束条件 ①满足产地产量
（3个产地的产 品都要全部配 送出去） ②满足销地销量 （4个销地的产 品都要全部得 到满足） ③非负
2 运输问题数学模型和电子表格模型
运输问题是一种特殊的线性规划问题，一般采用“表上作业 法”求解运输问题，但Excel的“规划求解”工具还是采用 “单纯形法”来求解。
2 运输问题数学模型和电子表格模型
例2的电子表格模型
2 运输问题数学模型和电子表格模型
例3 某公司从两个产地A1、A2将物品运往三 个销地 B1、B2、B3，各产地的产量、各销地 的销量和各产地运往各销地每件物品的运费 如表所示。问应如何调运，可使得总运输费 最小？
例3 运输费用表
B1 B2 B3 产量
3 各种变形的运输问题建模
现实生活中符合产销平衡运输问题每一个条件的情况很少。一 个特征近似但其中的一个或者几个特征却并不符合产销平衡运 输问题条件的运输问题却经常出现。 下面是要讨论的一些特征： （1）总供应大于总需求。每一个供应量（产量）代表了从其出 发地中配送出去的最大数量（而不是一个固定的数值,≤）。 （2）总供应小于总需求。每一个需求量（销量）代表了在其目 的地中所接收到的最大数量（而不是一个固定的数值,≤）。 （3）一个目的地同时存在着最小需求和最大需求，于是所有在 这两个数值之间的数量都是可以接收的（≥,≤）。 （4）在配送中不能使用特定的出发地—目的地组合（xij=0）。 （5）目标是使与配送数量有关的总利润最大而不是使总成本最 小。（Min－> Max）
1
3
4
1
10.8 10.95 11.10 11.25
2
11.10 11.25 11.40
3
11.00 11.15
4
11.30
需求量 10 15
25
20
生产能力
25 35 30 10
由表可知，总产量（生产能力）为 25+35+30+10=100，总销量（需求量）为 10+15+25+20=70，因此是产大于销的运输问题
例1的电子表格模型
2 运输问题数学模型和电子表格模型
（1）产销平衡运输问题的数学模型 具有m个产地Ai（i＝1,2,,m）和n个销地 Bj（j＝1,2,,n）的运输问题的数学模型为
2 运输问题数学模型和电子表格模型
需要注意的是：运输问题有这样一个性 质（整数解性质），只要它的供应量和 需求量都是整数，任何有可行解的运输 问题必然有所有决策变量都是整数的最 优解。因此，没有必要加上所有变量都 是整数的约束条件。
各季度的生产能力及生产每台柴油机的成本
季度 生 产 能 力 （ 台 ） 单位成本（万元）
1 25
10.8
2 35
11.1
3 30
11.0
4 10
11.3
2 运输问题数学模型和电子表格模型
解：这是一个生产与储存（库存）问题，可以转化为 运输问题来做。
由于每个季度生产出来的柴油机不一定当季交货， 所以设xij为第i季度生产的第j季度交货的柴油机数。 则第i季度生产的第j季度交货的每台柴油机的实际成 本cij为：
随着经济的不断发展，现代物流业蓬勃发展， 如何充分利用时间、信息、仓储、配送和联 运体系创造更多的价值，向运筹学提出了更 高的挑战。
要求科学地组织货源、运输和配送使得运输 问题变得日益复杂，但是其基本思想仍然是 实现现有资源的最优化配置。
1 运输问题基本概念