运筹学教材编写组《运筹学》章节题库-运输问题(圣才出品)
运筹学教材编写组《运筹学》课后习题-运输问题(圣才出品)
计算所有非基变量的检验数，如表 4-18 所示：
表 4-18
由 24 = 0 可得 c24 =17 ，所以当 c24 变为 17 时，此问题有无穷多最优调运方案。以 (A2, B4 ) 为调入格，作一闭回路，取不同的调入量对其进行调整可得到其它两个最优调运方
如表 4-5 所示：
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表 4-5
第一步：用伏格尔法求得初始可行解如表 4-6 所示： 表 4-6
第二步：用位势法进行最优解的检验。在对应于表 4-6 的数字格处填入单位运价，并增
加一行一列，在行中填入 vj ，在列中填入 ui 。令 u1 = 0 ，按照 ui + vj = cij （ i,j B ）求出所 有的 ui 和 vj ，并依据 ij = cij − (ui + vj ) （ i,j N ）计算所有空格处的检验数，计算结果如表 4-7 所示：
表 4-2 中，有 10 个基格，而理论上只应有 m+n-l=9 个，所以表 4-2 给出的调运方案 不能作为表上作业法的初始解。
4.2 判断下列说法是否正确。 （1）在运输问题中，只要任意给出一组含（m+n+1）个非零的{xij}，且满足
，就可以作为一个初始基可行解； （2）表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法； （3）如果运输问题单位运价表的某一行（或某一列）元素分别加上一个常数 k，最优 调运方案将不发生变化； （4）运输问题单位运价表的全部元素乘上一个常数 k（k>0），最优调运方案将不发生
如表 4-8 所示： 表 4-8
第一步：用伏格尔法求得初始可行解如表 4-9 所示： 表 4-9
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运筹学教材编写组《运筹学》课后习题(第1章 线性规划与单纯形法——第3章 运输问题)【圣才出品】
②因为 P1 、 P3 线性无关，故有
2xx11
x3 8 6x3
3x2 3 2x2
4
x4 7 x4
令非基变量
x2
x4
0 ，解得
x1
45 13 , x3
14 13
，故
X (2)
45 13
,
0,
14 13
,
0
T
不是可
行解。
③因为 P1 、x2 3 2x2
x3 6x3
令非基变量
x2
x3
0 ，解得
x1
34 5 , x4
7 5
，故有基可行解
X
(3)
34 5
, 0, 0,
7
T
5
，
z3
117 5
。
④因为 P2 、 P3 线性无关，故有
32xx22
x3 8 6x3
2 3
x1 x1
4x4 7 x4
令非基变量
x1
x4
0 ，解得
4x1 x2 2x3 x4 2
s.t.
x1
x2
2x1
3x3 3x2
x4 x3
14 2x4
2
x1, x2 , x3 0, x4无约束
解：令 x4 x4 ' x4 ''，且 x4 ', x4 '' 0 ；在第一个约束条件两边同时乘以-1 后引入人工
变量 x5 ，在第二个约束条件右端加上松弛变量 x6 ；在第三个约束条件右端减去剩余变量 x7 ，
令非基变量
x1
x3
0 ，解得
X
(5)
0,
68 , 0, 29
运筹学教材编写组《运筹学》课后习题-运输问题(圣才出品)
第3章 运输问题3.1 判断表3-l 和表3-2中给出的调运方案能否作为用表上作业法求解时的初始解?为什么?表3-1 表3-2解：表3-l 中有5个基格，而要作为初始解，应有m+n-l=3+4-1=6个基格，所以表3-l 给出的调运方案不能作为表上作业法的初始解；表3-2中，有10个数基格，而理论上只应有m+n-l=9个，多出了一个，所以表3-2给出的调运方案不能作为表上作业法的初始解。
3.2 表3-3和表3-4中，分别给出两个运输问题的产销平衡表和单位运价表，试用伏格尔(Vogel)法直接给出近似最优解。
表3-3 表3-4解：（1）第一步：在表3-3中分别求各行和各列的最小运价和次小运价的差额，并分别填入该表的最右列和最下行，如表3-5所示。
表3-5第二步：从行差额或列差额中选出最大者，选择它所在行或列中的最小元素。
在表3-5中,第3列是最大差额所在列。
第3列中最小元素为1，可确定产地2的产品优先供应销地3的需要，得表3-6。
同时将运价表中的第3列数字划去，如表3-7所示。
表3-6 表3-7第三步：对表3-7中未划去的元素再分别计算出各行、各列的最小运价和次小运价的差额，并填入该表的最右列和最下行。
重复第一、二步，直到给出初始解为止，初始解如表3-8所示。
表3-8（2）第一步：在表3-4中分别计算各行和各列的最小运价和次小运价的差额，并分别填入该表的最右列和最下行，如表3-9所示。
表3-9第二步：从行或列差额中选出最大者，选择它所在行或列中的最小元素。
在表3-9中第3列是最大差额所在列。
第3列中最小元素为3，可确定产地1的产品优先供应销地3的需要。
同时将运价表中的第1行数字划去，如表3-10所示。
表3-10第三步：对表3-10中未划去的元素再分别计算出各行、各列的最小运价和次小运价的差额，填入该表的最右列和最下行。
重复第一、二步，直到给出初始解为止，初始解见表3-10的单位运价中格子的右上方方格中的数据。
运筹学教材编写组《运筹学》章节题库-图与网络优化(圣才出品)
3．无向连通图 G 是欧拉图的充要条件是______。[深圳大学 2011 研] 【答案】G 中无奇点 【解析】连通多重图 G 有欧拉圈，当且仅当 G 中无奇点。一个图若有欧拉圈，则称为 欧拉图。
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4．网络中如果树的节点个数为 z，则边的个数为______。[中山大学 2007 研] 【答案】z-1 【解析】由树的性质可知，树的边数=数的节点数-1。
2．利用破圈法求赋权图的最小支撑树时，每次都是任取一个圈并去掉其中权最小的边， 直到该赋权图不再含圈时，便得到最小支撑树。（）[暨南大学 2011 研]
【答案】× 【解析】利用破圈法求最小支撑树时，每次任取一个圈，去掉圈中权最大的边。
3．任一图 G = (V , E) 都存在支撑子图和支撑树。（）[北京交通大学 2010 研]
G1。如果 G1 不含圈，那么 G1 是 G 的圈，如此重复，最终可以得到 G 的一个支撑子图 Gk，它不含圈，于是 Gk 就是 G 的一个
支撑树。
2．流 f 为可行流必须满足______条件和______条件。[深圳大学 2007 研] 【答案】容量限制；平衡 【解析】在运输网络的实际问题中可以看出，对于流有两个明显的要求：一是每个弧上 的流量不能超过该弧的最大通过能力（即弧的容量）；二是中间点的流量为零。因为对于每 个点，运出这点的产品总量与运进这点的产品总量之差，是这点的净输出量，简称为是这一 点的流量；由于中间点只起转运作用，所以中间点的流量必为零。易而发点的净流出量和收 点的净流入量必相等，也是这个方案的总输送量。
（2）若 vi 点为刚得到 P 标号的点，考虑这样的点 vi ， (vi ,vj) 属于 E，且 vi 为 T 标号。
(典型例题)《运筹学》运输问题
xj0，yij0，zij0，（i=1,┈,4；j=1,┈,5）
2008/11
--22--
--《Ⅵ 产量
新购 1 第一天 M 第二天 M 第三天 M
第四天 M
1 1 1 1 0 5200
0.2 0.1 0.1 0.1 0 1000
2008/11
--21--
建立模型：
--《运筹学》 运输问题--
设 xj—第j天使用新毛巾的数量；yij—第i天送第j天使用快洗 餐巾的数量；zij—第i天送第j天使用慢洗餐巾的数量；
Min z=∑xj+∑∑0.2yij+∑∑0.1zij
第一天：x1=1000
需 第二天：x2+y12=700
求 约
m1
xij b j (j 1,2,...,n)
i1
x 0 (i 1,...,m,m 1; j 1,...,n) ij
2008/11
--16--
--《运筹学》 运输问题--
销＞产问题单位运价表
产地销地 B1 B2 ┈
A1
C11 C12 ┈
A2
C21 C22 ┈
┊ ┆┊┈
Am Cm1 Cm2 ┈
2008/11
--8--
产销平衡表
--《运筹学》 运输问题--
单位运价表
B1 B2 B3 B4 产量
A1 (1) (2) 4 3 7 A2 3 (1) 1 (-1) 4 A3 (10) 6 (12) 3 9 销量 3 6 5 6
B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5
Ⅰ Ⅱ
示。又如果生产出来的柴
Ⅲ
运筹学-运输问题(转运)
销 地 销量
20 20
20 20 20 20
13
23 26
运筹学
100000
分销商3 分销商3
M M 10.7 + 10000 8.2 40000
50000
产量
60000 140000 60000 140000 400000 400000
0 +x 42
140000
6
运筹学
华东交通大学
• 方案调整 计算检验数
销 地 产地
工厂A 工厂A 工厂B 工厂B 仓库1 仓库1 仓库2 仓库2 销地
仓库1 仓库1
4 60000 8 0 0 M 0 9 6
仓库2 仓库2
分销商1 分销商1
M M
分销商2 分销商2
M M
分销商3 分销商3
M M
产量
ui
0 -0.5 -4 - 6.5
2.5
140000
M-13.7 M-13.2
M-13.7 M-13.2 -1
M-14.7 M-14.2
60000
4.5
140000
3.5
6 M 0 0
140000
9.7 M-1.5 50000 8.2
50000
8.7 10000 7.2 90000 0 100000
100000
10.7 10000 1 8.2 40000 50000
50000
-4
- 5.5
vj
4
5.5
13.7
12.7
13.7
9
运筹学
华东交通大学
0 60000 工厂A 工厂 生产成本： 生产成本：4 生产能力： 生产能力： 60000
运筹学3运输问题2
例题3：求解（Vogel法）
运价 地区 煤矿 甲1 A 16 B 14 C 19 30 D M 30 需求量
1
产量
甲2 16 14 0 1920 0 20 乙 1350 1320 20 M 70 20 丙 22 19 23 0 30 30 丁1 17 1510 M M 10 丁2 17 15 30 M 020 50 30 50 60 20 50 50 20 210 210
hw
21
例5 问题分析（续1）
（2）各港口之间调度所需船只数
A 1 F
调度中心
B 2
港口 到达 开出 余缺
C
1
E
3
D
若无空驶，则91条船刚好够 用，但虚线箭头都是空驶
hw
A B C D E F
0 1 2 3 0 1
1 2 0 1 3 0
-1 -1 2 2 -3 1
22
例5 问题分析（续2）
有的可在一个港口卸货后马上装运（如一条 船从E到D后再起程赴B）。若港口没有空船， 则要从其它港口调度而来。将船由多余船只 的港口调往需用船只的港口为空船行驶。 由上表可知：C、D、F港口有多余船只可供 调出，而A、B、E港口则需要调入空船。 问题的核心是：如何使空驶船的数量为最少？ 亦即如何按照最近原则调度船只。
某航运公司承担六个城市A、B、C、D、E、F 之间的四条航线，已知各航线的起点、终点及 每天所需的航班数如下表。又知各城市之间的 航行天数，假定船只型号相同，装卸货时间各 一天，问该公司至少要配备多少条船才能满足 需要？ 航线 起点 终点 每天航班数 1 E D 3 2 B C 2 3 A F 1 4 D B 1
hw
11
二、转运问题
运筹学教材编写组《运筹学》章节题库-运输问题(圣才出品)
需进行进一步调整。
利用闭回路法进行解的改进。
在初始方案表中以（丙，A）出发作一闭回路，利用闭回路进行调整，得到的结果如表
3-4 所示：
表 3-4
A
B
C
D
供应量
甲
7
6
483Leabharlann M145 / 41
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乙
10 5
6
6
8
M
16
丙
0
3
四、简答题 1．用表上作业法解运输问题时，在什么情况下会出现退化解?当出现退化解时如何处理? 答：当运输问题某部分产地的产量和，与某一部分销地的销量和相等时，在迭代过程中 间有可能在某个格填入一个运量时需同时划去运输表的一行和一列，这时就出现了退化。 当出现退化时，为了使表上作业法的迭代工作能顺利进行下去，退化时应在同时划去的 一行或一列中的某个格中填入数字 0，表示这个格中的变量是取值为 0 的基变量，使迭代过 程中基变量个数恰好为（m+n-1）个。
采用最小元素法得初始调运方案如表 3-2 所示：（因为基格个数=7-1=6 个，故在一空
格中填入 0）
表 3-2
A
B
C
D
供应量
甲
7
6
48
3
M
14
乙
10 5
6
6
8
M
16
丙
3
50
8 15 7
15
4 / 41
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需求量
10
12
2．一个运输问题，如果其单位运价表的某一行元素分别加上一个常数，最优调运方案 是否发生变化，试说明理由(用表或直接用公式)；[武汉大学 2007 研]
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第4章运输问题
一、判断题
1．运输问题是一种特殊的线性规划模型，因而其求解结果也可能出现四种情况之一：有惟一最优解，有无穷多最优解，无界解，无可行解。
（）[北京交通大学2010研]【答案】×
【解析】运输问题是一种特殊的线性规划模型，它总存在可行解，或存在惟一最优解，或有无穷最优解。
2．运输问题按照最小元素法给出的初始基可行解，从每一空格出发可以找出且仅能找出惟一的闭合回路。
（）[南京航空航天大学2011研]
【答案】√
【解析】从每一空格出发一定存在和可以找到惟一的闭回路。
因（m+n-1）个数字格（基变量）对应的系数向量是一个基。
任一空格（非基变量）对应的系数向量是这个基的线性组合。
而这些向量构成了闭回路。
二、选择题
1．在产销平衡运输问题中，设产地有m个，销地有n个。
如果用最小元素法求最优解，那么基变量的个数为（）。
[暨南大学2011研]
A．不能大于（m+n-1）
B．不能小于（m+n-1）
C．等于（m+n-1）
D．不确定
【答案】A
【解析】在运输问题中，其自变量的个数是m×n，约束方程有m+n个，但是对于产销平衡问题，有以下关系式存在：。
故，模型最多只有m+n-1个独立方程，由此得运输问题最多有m+n-1个基变量。
当出现退化解时，基变量小于m+n-1个。
2．运输问题中，m+n-1个变量构成基本可解的充要条件是它不含（）。
[深圳大学2006研]
A．松弛变量
B．多余变量
C．闭回路
D．圈
【答案】C
【解析】位于闭回路上的一组变量，它们对应的运输问题约束条件的系数列向量线性相关，因而在运输问题基可行解的迭代过程中，不允许出现全部顶点由填有数字的格构成的闭回路。
也就是说，在确定运输问题的基可行解时，除要求基变量的个数为（m+n-1）外，还要求运输表中填有数字的格不构成闭回路。
三、填空题
1．运输问题任一基可行解非零分量的个数的条件是:______。
111111
()()
n m n n m m
j ij ij i
j i j j i i
b x x a
======
===
∑∑∑∑∑∑
【答案】小于等于行数+列数-1
【解析】任意运输问题的基可行解可变量个数为：行数+列数-1。
然而基变量也可能等于0，所以运输问题任一基可行解非零分量的个数小于等于行数+列数-1。
2．如果运输问题单位运价表的某一行（或某一列）元素分别加上一个常数k，最优调运方案是否会发生变化：______。
[武汉大学2006研]
【答案】不发生变化
【解析】如果运输问题单位运价表的某一行（或某一列）元素分别加上一个常数k，最优调运方案中各变量的检验数均不发生变化，所以最优调运方案不发生变化。
四、简答题
1．用表上作业法解运输问题时，在什么情况下会出现退化解？当出现退化解时如何处理？
答：当运输问题某部分产地的产量和，与某一部分销地的销量和相等时，在迭代过程中间有可能在某个格填入一个运量时需同时划去运输表的一行和一列，这时就出现了退化。
当出现退化时，为了使表上作业法的迭代工作能顺利进行下去，退化时应在同时划去的一行或一列中的某个格中填入数字0，表示这个格中的变量是取值为0的基变量，使迭代过程中基变量个数恰好为（m+n-1）个。
2．一个运输问题，如果其单位运价表的某一行元素分别加上一个常数，最优调运方案是否发生变化，试说明理由（用表或直接用公式）；[武汉大学2007研]
答：最优方案不会发生变化。
因为在计算任意空格的检验数时，若其通过变化行的一个
基格，则其必经过两个基格，则，∴最优方案不发生变化。
五、计算题
1．甲、乙、丙三个铁矿石开采基地向A、B、C、D四个工厂供应原料，各供应地的供应量（万吨），各需求地需求量（万吨）和相互之间的运价（百万元/万吨）如表4-1所示。
由于外在的原因，工厂D的原料只能由铁矿石开采基地丙来供应。
请求解满足这一要求的最优调运方案，要求采用最小元素法建立初始调运方案，采用位势法进行方案检验。
[北京交通大学2011研]
表4-1
解：该问题属于运输平衡问题。
因为工厂D的原料只能由铁矿石开采基地丙来供应，所以这里规定甲、乙和D之间的运价为M，M
表示足够大的正数。
采用最小元素法得初始调运方案如表4-2所示：（因为基格个数=7-1=6个，故在一空格中填入0）
表4-2
σσαασ
'=−∆+∆=
丙
用位势法检验得各空格的检验数（括号内）如表4-3所示：
表4-3
在初始方案中，存在两个非基变量的检验数小于0，所以该方案不是此问题的最优方案，需进行进一步调整。
利用闭回路法进行解的改进。
在初始方案表中以（丙，A）出发作一闭回路，利用闭回路进行调整，得到的结果如表4-4所示：
表4-4
用位势法再对上述改进解进行检验，计算出各空格的检验数如表4-5所示：
表4-5
从上述计算可得，所有非基变量的检验数均大于0，所以该改进方案就是最优方案。
2．某运输问题的一个运输方案如表4-6所示。
格子右上角的黑体数字为相应供需方之间的运价，右下角的斜体数字为相应的运输量。
表4-6。