运筹学(胡运权版)第三章运输问题课后习题答案
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清华大学运筹学教程胡运权主编课后习题答案
8 10
x1 , x2 0
目标函数最优值（下界）为：6.4
17
第18页/共66页
l.7 分别用单纯形法中的大M法和两阶 段法求解下列线性规划问题，并指出属哪—
类解。
max Z 3x1 x2 2x3
x1 x2 x3 6
(1)
st
2x1 2x2
x3 x3
0
2
x j 0（, j 1,,3）
所以最优解为X*=(1,3/2,0,0)T
第11页/共66页
0点
A1点 A2点
max Z 2x1 x2 3x1 5x2 15
(2) st.6x1 2x2 24 x1, x2 0
11
第12页/共66页
第13页/共66页
第14页/共66页
d
x
2
，
l.5 讨论c
,
上题(1)中，若目标函数变为max Z = d的值如何变化，使该问题可行域的每个
8
第9页/共66页
1.4 分别用图解法和单纯形法求解下述 线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各 基可行解对应图解法中可行域的哪一顶点。
max Z 10x1 5x2
(1)
st.35xx11
4 x2 2 x2
9 8
x1, x2 0
9
第10页/共66页
cj
10
5 00
CB
xB
b
x1
x2
max Z x1 x2
(3)
st
6 .
x1 10x2 5 x1
120 10
5 x2 8
唯 一 最 优 解 ，x1 10, x2 6
Z 16
max Z 5x1 6x2 2x1 x2 2
运筹学胡运权第三版第三章运输问题
产销平衡运输问题的数学模型可表示如下：
§1运 输 问 题 及 其 数 学 模 型
二、运输问题数学模型的特点： 运输问题一定有最优解；基变量的个数=m+n-1 运输问题约束条件的系数矩阵：
x1m
x2m
xm1
xmm
x11
x12
…
x21
x22
…
xm2
…
…
m行
n行
§1运 输 问 题 及 其 数 学 模 型
解 的 最 优 性 检 验
运输问题及其数学模型
用表上作业法求解运输问题
运输问题的进一步讨论
应用问题举例
本章内容
3运输问题进一步讨论
01.
产销不平衡的运输问题 有转运的运输问题
02.
1.当产大于销时，即 产销不平衡问题 平衡后的数学模型为： 加入假想销地（假想仓库），销量为 ，由于实际并不运 送，它们的运费为 = 0；
解 的 最 优 性 检 验
解 的 最 优 性 检 验
销地产地
B1
B2
B3
B4
产量
ui
A1
16
u1(1)
A2
10
u2(0)
A3
22
u3(-4)
销量
8
14
12
14
48
vj
v1(2)
v2(9)
v3(3)
v4(10)
4
2
8
12
5
4
10
11
3
9
6
11
表3-9
1.增加一位势列和位势行并计算位势
其中
8
10
2
6
8
产量
A1
§1运 输 问 题 及 其 数 学 模 型
二、运输问题数学模型的特点： 运输问题一定有最优解；基变量的个数=m+n-1 运输问题约束条件的系数矩阵：
x1m
x2m
xm1
xmm
x11
x12
…
x21
x22
…
xm2
…
…
m行
n行
§1运 输 问 题 及 其 数 学 模 型
解 的 最 优 性 检 验
运输问题及其数学模型
用表上作业法求解运输问题
运输问题的进一步讨论
应用问题举例
本章内容
3运输问题进一步讨论
01.
产销不平衡的运输问题 有转运的运输问题
02.
1.当产大于销时，即 产销不平衡问题 平衡后的数学模型为： 加入假想销地（假想仓库），销量为 ，由于实际并不运 送，它们的运费为 = 0；
解 的 最 优 性 检 验
解 的 最 优 性 检 验
销地产地
B1
B2
B3
B4
产量
ui
A1
16
u1(1)
A2
10
u2(0)
A3
22
u3(-4)
销量
8
14
12
14
48
vj
v1(2)
v2(9)
v3(3)
v4(10)
4
2
8
12
5
4
10
11
3
9
6
11
表3-9
1.增加一位势列和位势行并计算位势
其中
8
10
2
6
8
产量
A1
胡运权《运筹学教程》(第5版)配套题库-考研真题精选及课后习题(第一~三章)【圣才出品】
2．μ是关于可行流 f 的一条增广链，则在μ上有：对一切（i，j）∈μ－，有 fij＞0。（ ） [暨南大学 2019 研]
【答案】√ 【解析】由增广链定义可知，当边（i，j）属于μ的反向边集时，该条边的流量大于 0。
3．事件 j 的最早时间 TE（j）是指以事件 j 为开工事件的工序最迟必须开工时间。（ ） [暨南大学 2019 研]
零元素的最少直线数目的集合。结果如下：
4 / 113
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（4）在未被覆盖的元素中找最小元素，未被覆盖的行分别减去该最小元素，在出现负
数的列上整列加上最小元素，得到新矩阵 C′：
0 2 6 1 0 0 4
表 1-1-1
解：（1）先对各行减去本行的最小元素，再对各列减去本列最小元素，得到矩阵 C 如
下：
0 2 6 9
C 1 4 4 0 1 0 0 3 2 3 6 0
（2）确定独立零元素，对 C 加圈，得到
◎ 2 6 9
C
1
1
4 ◎
4
◎ 3
2
3
6
（3）由于只有 3 个独立零元素，少于系数矩阵阶数 n＝4，故需要确定能够覆盖所有
A．没有无穷多最优解 B．没有最优解 C．有无界解 D．有最优解 【答案】B 【解析】有最优解的前提是有可行解，该题无可行解，则也无最优解。
2．如果某种资源的影子价格大于其市场价格，则说明（ ）。[暨南大学 2019 研] A．该资源稀缺 B．该资源过剩 C．企业应尽快处理该资源 D．企业应充分利用该资源，开辟新的生产途径 【答案】A 【解析】当资源的影子价格不为 0 时，表明该种资源在生产中已耗费完毕；且若影子 价格大于其市场价格，说明企业应买进该种资源，该种资源稀缺。
运筹学基础及应用第五版 胡运权第三章
例3
设有三个化肥厂供应四个地区的农用化肥，假
定等量的化肥在这些地区使用效果相同，已知各化肥厂 年产量，各地区年需要量及从各化肥厂到各地区单位化 肥的运价表如下，试决定使总的运费最节省的化肥调拨 方案。
解：这是一个产销不平衡的运输问题，总产量为
160万t，四个地区最低需求为110万t ，最高需求为无限。 当其它地区都是满足最低需求时，第Ⅳ地区每年最多能 分配到60万t ，这样最高需求就是210万t，大于产量。 为建立产销平衡表，在表中增加一假想化肥厂D ， 其年产量为50万t 。并把各地区的最低需求和额外需求 区分开来，建立产销平衡表。
例1
现在把问题概括一下，在线性规划中我们研究这样 一类运输问题：有某种物资需要调运，这种物资的计量
单位可以是重量、包装单位或其他。已知有m个地点可以
供应该种物资（以后通称产地，用 i 1,, m 表示），有 n个地点需要该种物资（以后通称销地，用 j 1,, n 表示），又知这m个产地的可供量（以后通称产量）为 （可通写为 a i ），n个销地的需要量（以后 a1 , a2 ,, am
第三章 运输问题
§1．运输问题的典例和数学模型
§ 2．表上作业法
§ 3．产销不平衡的运输问题及其应用
§1．运输问题的典例和数学模型
某食品公司经销主要产品之一是糖果，它下面 设有三个加工厂，每天的糖果生产量分别为： A1 7t ， A3 9t。该公司把这些糖果分别运往四个地区 A2 4t ， 的门市部销售，各地区每天的销售量： B1 3t ， B2 6t， B4 6t 。已知从每个加工厂到各销售门市部每 B3 5t， 吨糖果的运价如下表： 单位：元/t
产 销 平 衡 表
当一个产地的产量不能运往某一个销地的时候，认为 运价为M(表示任意大正数)。额外需求部分的销量，由于 是否满足都可以，所以假想厂运往这些销地的运价定为 0。
运筹学胡运权第五版课件(第3章)分析
B3
B4
ai
11 ④
3 ③
10 7
1
9
2
③
①
7
4
⑥
10 ③
84 59
3
6
5
6 20
24 (8 3) (2 10) 1
表示新方案的费用要减少1元
综上，得到检验数表如下： B1 B2 B3 B4
A1 1 2 0 0 A2 0 1 0 －1 A3 10 0 12 0 注意：有数字格（基变量）的检验数为0。
则总费用为：
34
min z = cijxij i=1 j=1
x11+x12+x13+x14=7
产
x21+x22+x23+x24=4
量 限
制
x31+x32+x33+x34=9
x11+x21+x31=3
s.t.
x12+x22+x32=6
销 量
限
x13+x23+x33=5
制
x14+x24+x34=6 xij0,(i=1,2, 3；j=1,2,3,4)
最优性判别准则： 当所有ij 0时，运输问题达到最优解。
（1）若有负检验数，则该方案需要改进；
（2）若空格的检验数全为正数，则该问题有唯 一最优方案；
（3）若检验数全非负，且有空格的检验数为0， 则该问题有无穷多最优解。
4、改进方案的方法------闭回路法
在检验数表中，确定绝对值最大的负检验 数对应的空格，利用该空格的闭回路在满足供 需关系下调整各顶点的运量，得到费用更小的 调运方案。
5、运输问题解的情况
运筹学基础及应用第3章-运输问题(胡运权)
产地Ai（i=1,...,n）分配到销地Bj（j=1,...,n） 物资的和=产地Ai的产量ai 销地Bj（j=1,...,n）接收到产地Ai（i=1,...,n） 分配的物资和<销地Bj的产量bj
产量<销量
1.运输规划问题的典例和数学模型 特征：
1、平衡运输问题必有可行解，也必有最优解； 2、运输问题的基本可行解中应包括 m+n－1 个 基变量。
运筹学基础及应用
Operations Research
运 筹 帷 幄 之 中
第三章
运输问题
决 胜 千 里 之
Transportation Problem
外
目
1
运输规划问题的典例和数学模型 表上作业法 运输问题的应用
录
CONTENTS
2
3
1.运输规划问题的典例和数学模型
例3.1 某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1, B2, B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件 物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用最 小？
48
列差额
例3.4 某运输资料如下表所示：
销地 产地 A1 2 10
2.表上作业法
B2 B3
12 4
B1
4
B4
11
产量
行差额
16 3 9
0
A2
10
1
8 A3
5
11
6 22 2
14
销量 8 2 14 12 1
8
14 3 48
列差额
2.表上作业法
例3.4 某运输资料如下表所示：
销地 产地 A1 2 10 3 9 B1 4 B2 12 B3 4 B4 11 16 0 产量
产量<销量
1.运输规划问题的典例和数学模型 特征：
1、平衡运输问题必有可行解，也必有最优解； 2、运输问题的基本可行解中应包括 m+n－1 个 基变量。
运筹学基础及应用
Operations Research
运 筹 帷 幄 之 中
第三章
运输问题
决 胜 千 里 之
Transportation Problem
外
目
1
运输规划问题的典例和数学模型 表上作业法 运输问题的应用
录
CONTENTS
2
3
1.运输规划问题的典例和数学模型
例3.1 某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1, B2, B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件 物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用最 小？
48
列差额
例3.4 某运输资料如下表所示：
销地 产地 A1 2 10
2.表上作业法
B2 B3
12 4
B1
4
B4
11
产量
行差额
16 3 9
0
A2
10
1
8 A3
5
11
6 22 2
14
销量 8 2 14 12 1
8
14 3 48
列差额
2.表上作业法
例3.4 某运输资料如下表所示：
销地 产地 A1 2 10 3 9 B1 4 B2 12 B3 4 B4 11 16 0 产量
二三版兼用《运筹学教程》胡运权主编课后习题答案(第三章)
表3-37
城市
电站
1
2
3
Ⅰ
15
18
22
Ⅱ
21
25
16
第三章习题解答
习题3.12的解答
城市 城市
电站
1-1
城市 1-2
城市2
城市 3-1
城市 3-2
产量
Ⅰ
150 15
15 250 18
22
22 400
Ⅱ
140 21
第三章习题解答
表3-35
食品厂
面粉厂
1
2
3
产量
Ⅰ
3 10
2 20
Ⅱ
4 11
8 30
Ⅲ
8 11
4 20
销量
15 25 20
第三章习题解答
习题3.10的解答
食品厂 面粉厂
Ⅰ Ⅱ Ⅲ 销量
1
3 15 4
8 15
2
10 5 11 20 11 25
3
20 2 8 4
20
4
0 10 0
0 10
产量
20 30 20
B3
B4 产量
A1 A2 A3 销量
3
7
6
45
2
4
3
22
4
3
8
56
3
3
2
2
第三章习题解答
习题3.9的解答
销地
产地
B1 B2 B3 B4 B5 产量A1源自33 7 6 24 0 5
A2
2 4 23 2 0 2
A3 销量
4 33 8 5 30 6 33223
第三章习题解答
3.10 某市有三个面粉厂，它们供给三个面食加工 厂所需的面粉。各面粉厂的产量、各面食加工厂加工 面粉的能力、各面食加工厂和各面粉厂之间的单位运 价，均表示于表3-35中。假定在第1，2和3面食加工厂 制作单位面粉食品的利润分别为12元、16元和11元， 试确定使总效益最大的面粉分配计划(假定面粉厂和面 食加工厂都属于同一个主管单位)。
城市
电站
1
2
3
Ⅰ
15
18
22
Ⅱ
21
25
16
第三章习题解答
习题3.12的解答
城市 城市
电站
1-1
城市 1-2
城市2
城市 3-1
城市 3-2
产量
Ⅰ
150 15
15 250 18
22
22 400
Ⅱ
140 21
第三章习题解答
表3-35
食品厂
面粉厂
1
2
3
产量
Ⅰ
3 10
2 20
Ⅱ
4 11
8 30
Ⅲ
8 11
4 20
销量
15 25 20
第三章习题解答
习题3.10的解答
食品厂 面粉厂
Ⅰ Ⅱ Ⅲ 销量
1
3 15 4
8 15
2
10 5 11 20 11 25
3
20 2 8 4
20
4
0 10 0
0 10
产量
20 30 20
B3
B4 产量
A1 A2 A3 销量
3
7
6
45
2
4
3
22
4
3
8
56
3
3
2
2
第三章习题解答
习题3.9的解答
销地
产地
B1 B2 B3 B4 B5 产量A1源自33 7 6 24 0 5
A2
2 4 23 2 0 2
A3 销量
4 33 8 5 30 6 33223
第三章习题解答
3.10 某市有三个面粉厂，它们供给三个面食加工 厂所需的面粉。各面粉厂的产量、各面食加工厂加工 面粉的能力、各面食加工厂和各面粉厂之间的单位运 价，均表示于表3-35中。假定在第1，2和3面食加工厂 制作单位面粉食品的利润分别为12元、16元和11元， 试确定使总效益最大的面粉分配计划(假定面粉厂和面 食加工厂都属于同一个主管单位)。
运筹学胡运权 部分课后习题答案
第一章P43-1.1（1）当取A （6/5,1/5）或B （3/2,0）时，z 取最小值3。
所以该问题有无穷多最优解，所有线段AB 上的点都是最优解。
P43-1.2(1)令''4'44x x x -=，z z -='''4'4321'55243max x x x x x z +-+-=,,,,,,232142222465''4'43216''4'43215''4'4321''4'4321≥=-+-++-=+-+-+=-+-+-x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xP43-1.4(1) 图解法：A(0,9/4)，Z 1=45/4；B(1,3/2)，Z 2=35/2；C(8/5,0)，Z 3=16。
单纯形法：10 5 0 0C b X b b x1x2x3x4θ0 x39 3 4 1 0 30 x48 5 2 0 1 8/5δ10 5 0 00 x321/5 0 14/5 1 -3/5 3/210 x18/5 1 2/5 0 1/5 4δ0 1 0 -25 x23/2 0 1 5/14 -3/1410 x1 1 1 0 -1/7 2/7δ0 0 -5/14 -25/14依次相当于：原点；C；B。
P44-1.7(1)2 -1 2 0 0 0 -M -M -MC b X b b x1x2x3x4x5x6x7x8x9θ无界解。
两阶段法：阶段二：P45-1.10证明：CX (0)>=CX*，C*X*>=C*X (0) CX (0)-CX*+C*X*-C*X (0)>=0，即(C*-C)(X*-X (0))>=0。
P45-1.13设饲料i 使用x i （kg ），则543218.03.04.07.02.0m in x x x x x z ++++=s.t. 7001862354321≥++++x x x x x 305.022.05.054321≥++++x x x x x1008.022.05.054321≥++++x x x x x0,,,,54321≥x x x x x第二章P74-2.1(1)321532m ax y y y w ++=22321≤++y y y 243321≤++y y y 4334321=++y y y 无约束321,0,0y y y ≤≥P75-2.4(1),06353322232max 212121212121≥≥≤-≤+≤-≤++=y y y y y y y y y y y y w(2) (8/5,1/5)(3) 无穷多最优解。
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x11
x21
x12 x22
x13 x23
x14 x24
x31 x11
x32 x21
x33 x31
x34 8
x12
x22
x32
14
x13
x23
x33
12
x14 x24 x34 14
xij 0, i 1, 2,3;
16 10 22
j 1,2,3,4
10 0
8
②
A3
8
5
14
销量
8
14
①
④
此时得到一个初始调运方案（初始可行解）：
11
10 ③
6
22 0
8
14
14 0
48
⑤
⑥
x13 10, x14 6, x21 8, x23 2, x32 14, x34 8,
其余（非基）变量全等于零。此解满足所有约束条件，且基变量（非零变量）的个数为 6（等 于 m+n-1=3+4-1=6). 总运费为（目标函数值）
B3
B4 产量
产地
4 12 4 11
A1
16
2 10 3 9
A2
10
8 5 11 6
A3
22
销量 8 14 12 14 48 解：一、该运输问题的数学模型为：
34
min z
cij xij 4x11 12x12 4x13 11x14 2x21
i1 j1
10x22 3x23 9x24 8x31 5x32 11x33 6x34
14
产量
16
10
8
2
22 48
B4
产量
11 16
9
10
8
②
6 22
14
48
B4 11 9 6
14
产量
16 6 10
10
8
②
22 48
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产地
销地
A1 A2
A3 销量
B1 4
B2 12
2 8
8
8 ①
10
5 14
14 ④
B3
4 10
3 2
11
10 ③
B4 11 9 6
14
产量
16 6 10
1
②
14
12
14
48
1
3
产地
销地
A1 A2
A3
销量 列差额
B1
B2
B3
B4
产量
行差额
4 2 8
12
4
11
7
12
16 4
12
10
3
9 10 0
6
⑤
2
8
8
5
14
11
6
8
22 0
1
②
14
8
14
12
14
48
2
5
1
3
③
①
④
产地
销地
B1
B2
B3
B4
产量
行差额
4
12
4
11
7
A1
12
4
16 0
12
A2
2
10
3
9 10 0
产地
销地 A1
A2
A3
销量 列差额
B1
B2
B3
B4
产量
行差额
4
12
4
11
16
0
2
10
3
9
10
1
8
5
11
6
22
1
8
14
12
14
48
2
5
1
3
产地
销地 A1
A2
A3
销量 列差额
B1
B2
B3
B4
产量
行差额
4
12
4
11
16
0
2
10
3
9
10
1
8
5
14
8
14
2
5
①
11
6
22 8
1→2
14
12
14
48
1
3
产地
销地 A1
x11 x12 x13 x14 x21 x22 x23 x24 x31 x32 x33 x34
1 1 1 1
1111
1 1 1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 712
可以证明：约束矩阵的秩为 r (A) = 6. 从而基变量的个数为 6.
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二、给出运输问题的初始可行解（初始调运方案） 1. 最小元素法 思想：优先满足运价（或运距）最小的供销业务。
6
⑤
8
2
8
A3
8
5
14
11
6
8
22 0
1
②
14
销量
8
14
12
14 0
48
列差额
2
5
1
3
③
①
④
⑥
此时得到一个初始调运方案（初始可行解）：x13 = 12, x14 = 4, x21 = 8, x24 = 2, x32 = 14, x34 = 8
其余（非基）变量全等于零。此解满足所有约束条件，且基变量（非零变量）的个数为 6（等 于 m+n-1=3+4-1=6)。
A2 A3
销量 列差额
B1
B2
4
12
2
10
8
5
14
8
14
2
5
①
B3
B4
产量
行差额
4
11
16
0
3
9
10
1
11
6
8
22 0
1
②
14
12
14
48
1
3
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产地
销地 A1
A2 A3
销量 列差额
B1
B2
4
12
2
10
8
8
5
14
8
14
2
5
③
①
B3
B4
产量
行差额
4
11
16
0
3
9 10 2
1
8
11
6
8
22 0
2
10
8
8 14 5
8
14
B3 4
10 3
2 11
12
B4 6 11
9 6 8 14
产量 16 10 22 48
σ12 = C12 + C34 - (C14 + C32) = 12 + 6 –( 11 + 5 ) =2
总运费为（目标函数值）：
34
Z cij xij 124 41182 29 14586 244 i1 j1
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三、解的最优性检验 ⒈ 闭回路法（以下的闭回路都是顺时针方向）
看非基变量的检验数是否满足：ij 0.
（1）首先对用最小元素法所确定的初始基本可行解进行检验。参见前面的计算结果，可知 非基变量分别为：x11，x12，x22，x24，x31，x33。
34
Z
cij xij
i1 j1
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104 61182 2314586 246
2. 伏格尔（Vogel)法 伏格尔法的基本思想：运输表中各行各列的最小运价与次小运价之差值（罚数）应尽可能地 小。或者说：优先供应罚数最大行（或列）中最小运费的方格，以避免将运量分配到该行（或 该列）次小运距的方格中。
产地
销地 A1
A2
A3 销量
B1 X11 4
B2 12
B3 10 4
82
10
8
5
14
8
14
3 2
11 12
B4 11
6 9
6 8
14
产量 16 10 22 48
σ11 = C11 + C23 - (C13 + C21) = 4 + 3 –( 4 + 2 ) =1
产地
销地 A1
A2
A3 销量
B1 4
B2 X12 12
产地
销地 A1
A2
A3 销量
B1 4
2 8
8
8 ①
B2 12 10 5
14
B3 4 3 11
12
产地
销地
A1 A2
A3 销量
B1 4
2 8
8
8 ①
B2 12
B3 4
10
3
2
5
11
14
10
产地
销地
A1 A2
A3 销量
B1 4
2 8
8
8 ①
B2 12 10 5
B3
4 10
3 2
11
14
10
③
B4 11 9 6
10
8
②
22 8 14
48
产地
销地
A1 A2
A3
销量
B1 4
B2 12
2 8
8
8 ①
10
5 14