运筹学课后习题答案
(完整版)运筹学》习题答案运筹学答案
《运筹学》习题答案一、单选题1.用动态规划求解工程线路问题时，什么样的网络问题可以转化为定步数问题求解（）BA.任意网络B.无回路有向网络C.混合网络D.容量网络2.通过什么方法或者技巧可以把工程线路问题转化为动态规划问题？（）BA.非线性问题的线性化技巧B.静态问题的动态处理C.引入虚拟产地或者销地D.引入人工变量3.静态问题的动态处理最常用的方法是？BA.非线性问题的线性化技巧B.人为的引入时段C.引入虚拟产地或者销地D.网络建模4.串联系统可靠性问题动态规划模型的特点是（）DA.状态变量的选取B.决策变量的选取C.有虚拟产地或者销地D.目标函数取乘积形式5.在网络计划技术中，进行时间与成本优化时，一般地说，随着施工周期的缩短，直接费用是( )。
CA.降低的B.不增不减的C.增加的D.难以估计的6.最小枝权树算法是从已接接点出发，把( )的接点连接上CA.最远B.较远C.最近D.较近7.在箭线式网络固中，( )的说法是错误的。
DA.结点不占用时间也不消耗资源B.结点表示前接活动的完成和后续活动的开始C.箭线代表活动D.结点的最早出现时间和最迟出现时间是同一个时间8.如图所示，在锅炉房与各车间之间铺设暖气管最小的管道总长度是( )。
CA.1200B.1400C.1300D.17009.在求最短路线问题中，已知起点到A，B，C三相邻结点的距离分别为15km，20km,25km，则（）。
DA.最短路线—定通过A点B.最短路线一定通过B点C.最短路线一定通过C点D.不能判断最短路线通过哪一点10.在一棵树中，如果在某两点间加上条边，则图一定( )AA.存在一个圈B.存在两个圈C.存在三个圈D.不含圈11.网络图关键线路的长度( )工程完工期。
CA.大于B.小于C.等于D.不一定等于12.在计算最大流量时，我们选中的每一条路线( )。
CA.一定是一条最短的路线B.一定不是一条最短的路线C.是使某一条支线流量饱和的路线D.是任一条支路流量都不饱和的路线13.从甲市到乙市之间有—公路网络，为了尽快从甲市驱车赶到乙市，应借用（）CA.树的逐步生成法B.求最小技校树法C.求最短路线法D.求最大流量法14.为了在各住宅之间安装一个供水管道．若要求用材料最省，则应使用( )。
运筹学部分课后习题解答
运筹学部分课后习题解答P47 1.1 用图解法求解线性规划问题a）12121212min z=23466 ..424,0x xx xs t x xx x++≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩解：由图1可知，该问题的可行域为凸集MABCN，且可知线段BA上的点都为最优解，即该问题有无穷多最优解，这时的最优值为min 3z=23032⨯+⨯= P47 1.3 用图解法和单纯形法求解线性规划问题a）12121212max z=10x5x349 ..528,0x xs t x xx x++≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩解：由图1可知，该问题的可行域为凸集OABCO，且可知B点为最优值点，即112122134935282xx xx x x=⎧+=⎧⎪⇒⎨⎨+==⎩⎪⎩，即最优解为*31,2Tx⎛⎫= ⎪⎝⎭这时的最优值为max335z=101522⨯+⨯=单纯形法： 原问题化成标准型为121231241234max z=10x 5x 349..528,,,0x x x s t x x x x x x x +++=⎧⎪++=⎨⎪≥⎩ j c →10 5B CB Xb 1x2x3x4x0 3x 9 3 4 1 0 04x8[5] 2 0 1 j j C Z -105 0 0 0 3x 21/5 0 [14/5] 1 -3/5 101x8/51 2/5 0 1/5 j j C Z -1 0 -2 5 2x 3/2 0 1 5/14 -3/14 101x11 0 -1/72/7j j C Z --5/14 -25/14所以有*max 33351,,1015222Tx z ⎛⎫==⨯+⨯= ⎪⎝⎭P78 2.4 已知线性规划问题：1234124122341231234max24382669,,,0z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++≤⎧⎪+≤⎪⎪++≤⎨⎪++≤⎪≥⎪⎩求: (1) 写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为)0,4,2,2(*=X ，试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。
运筹学（第五版）习题答案
运筹学习题答案第一章（39页）1.1用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
（1）max 12z x x =+51x +102x £50 1x +2x ³1 2x £4 1x ，2x ³0 （2）min z=1x +1.52x 1x +32x ³3 1x +2x ³2 1x ，2x ³0 （3）max z=21x +22x 1x -2x ³-1 -0.51x +2x £2 1x ，2x ³0 （4）max z=1x +2x 1x -2x ³0 31x -2x £-3 1x ，2x ³0 解：（1）（图略）有唯一可行解，max z=14 （2）（图略）有唯一可行解，min z=9/4 （3）（图略）无界解（4）（图略）无可行解1.2将下列线性规划问题变换成标准型，并列出初始单纯形表。
（1）min z=-31x +42x -23x +54x 41x -2x +23x -4x =-2 1x +2x +33x -4x £14 -21x +32x -3x +24x ³2 1x ，2x ，3x ³0，4x 无约束无约束（2）max kk z s p =11nmk ik ik i k z a x ===åå11(1,...,)mikk xi n =-=-=åik x ³0 (i=1(i=1……n; k=1,…,m) （1）解：设z=-z ¢,4x =5x -6x , 5x ,6x ³0 标准型：标准型：Max z ¢=31x -42x +23x -5(5x -6x )+07x +08x -M 9x -M 10x s. t . -41x +2x -23x +5x -6x +10x =2 1x +2x +33x -5x +6x +7x =14 -21x +32x -3x +25x -26x -8x +9x =2 1x ,2x ,3x ,5x ,6x ,7x ,8x ,9x ,10x ³0 初始单纯形表: j c ® 3 -4 2 -5 5 0 0 -M -M i qB C B Xb 1x 2x 3x 5x6x7x 8x9x10x-M 10x 2 -4 1 -2 1 -1 0 0 0 1 2 0 7x14 1 1 3 -1 1 1 0 0 0 14 -M 9x2 -2 [3] -1 2 -2 0 -1 1 0 2/3 -z ¢4M 3-6M 4M-4 2-3M 3M-5 5-3M 0 -M 0 0 (2)解：加入人工变量1x ，2x ，3x ，…n x ，得：，得： Max s=(1/kp )1n i=å1m k =åik a ik x -M 1x -M 2x -…..-M n xs.t. 11mi ik k x x =+=å(i=1,2,3(i=1,2,3……,n) ik x ³0, i x ³0, (i=1,2,3(i=1,2,3……n; k=1,2….,m) M 是任意正整数是任意正整数 初始单纯形表：初始单纯形表： jc-M -M … -M 11k a p 12k a p… 1mk ap (1)n k a p 2n k a p …mnkapi qB C BXb 1x2x … n x11x12x … 1mx … 1n x2n x… nmx -M 1x1 1 0 … 0 1 1 … … 0 0 … 0 -M 2x 1 0 1 … 0 0 … … 0 0 … 0 … … … … … … … … … … … … … … … … -M n x 1 0 0 … 1 0 0 … 0 … 1 1 … 1 -s n M 0 0 … 0 11k a M p +12ka Mp + … 1mk a M p + (1)n k aM p +2n k a M p +…mnk a M p +1.3在下面的线性规划问题中找出满足约束条件的所有基解。
《运筹学》课后习题答案 第3章 运输问题
一、选择题1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.二、判断题1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.三、表上作业法 3. 解：可知，有初始基本可行解1112132122230,10,20,10,35,0x x x x x x ======用闭回路法计算非基变量的检验数：1123(56)(84)10(98)(67)40σσ=+-+=-<=+-+=>因为110σ<，该解并不是最优解。
进行换基迭代，让11x 进基，考虑上述闭回路，调整量min(10,10)10θ==，调整后得到新的调运方案：A2 4 0645945销量10 45 20计算非基变量的检验数得：1223(84)(56)10(95)(47)30σσ=+-+=>=+-+=>故此方案为最优方案，最优解为：11121321222310,0,20,0,45,0x x x x x x ======最优值min 105207456460Z =⨯+⨯+⨯=用电子表格模型求解进行验算：4. 解：用西北角法求得初始基本可行解：1112131421222324313233344,0,0,0;1,2,4,2;0,0,0,4;x x x x x x x x x x x x ============ 用位势法计算检验数：1111212121131322214142233131324323243433333106()210167()861012()9455()12194()731010()47u u v u v v u v u v u u v u v v u v u v v u v u v v u v u v u σσσσσσ=⎧+==-+=⎧⎧⎪=⎪⎪⎪+==-+=⎪⎪⎪=⎪⎪++=-+=⎪⎪⇒=⇒⎨⎨⎨+==-+=-⎪⎪=-⎪⎪+==-+=-=⎪⎪+==-+=⎪⎪⎩=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎩因为3132,σσ小于0，该解不是最优解。
运筹学课后习题答案
第一章 线性规划1、由图可得：最优解为2、用图解法求解线性规划： Min z=2x 1+x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≤+-01058244212121x x x x x x解：由图可得：最优解x=1.6,y=6.4Max z=5x 1+6x 2⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-0,23222212121x x x x x x解：由图可得：最优解Max z=5x 1+6x 2, Max z= +∞Maxz = 2x 1 +x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤0,5242261552121211x x x x x x x由图可得：最大值⎪⎩⎪⎨⎧==+35121x x x ， 所以⎪⎩⎪⎨⎧==2321x xmax Z = 8.1212125.max 23284164120,1,2maxZ .jZ x x x x x x x j =+⎧+≤⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥=⎩如图所示，在（4，2）这一点达到最大值为26将线性规划模型化成标准形式：Min z=x 1-2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-=++-≥+-≤++无约束321321321321,0,052327x x x x x x x x x x x x解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中x 3’≥0,x 3’’≥0Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥≥≥≥-=++-=--+-=+-++0,0,0'',0',0,05232'''7'''5433213215332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x7将线性规划模型化为标准形式Min Z =x 1+2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-=--≥++-≤++无约束，321321321321,00632442392-x x x x x x x x x x x x解：令Z ’ = -z ，引进松弛变量x 4≥0,引进剩余变量x 5≥0,得到一下等价的标准形式。
(完整版)运筹学》习题答案运筹学答案
《运筹学》习题答案一、单选题1.用动态规划求解工程线路问题时，什么样的网络问题可以转化为定步数问题求解（）BA.任意网络B.无回路有向网络C.混合网络D.容量网络2.通过什么方法或者技巧可以把工程线路问题转化为动态规划问题？（）BA.非线性问题的线性化技巧B.静态问题的动态处理C.引入虚拟产地或者销地D.引入人工变量3.静态问题的动态处理最常用的方法是？BA.非线性问题的线性化技巧B.人为的引入时段C.引入虚拟产地或者销地D.网络建模4.串联系统可靠性问题动态规划模型的特点是（）DA.状态变量的选取B.决策变量的选取C.有虚拟产地或者销地D.目标函数取乘积形式5.在网络计划技术中，进行时间与成本优化时，一般地说，随着施工周期的缩短，直接费用是( )。
CA.降低的B.不增不减的C.增加的D.难以估计的6.最小枝权树算法是从已接接点出发，把( )的接点连接上CA.最远B.较远C.最近D.较近7.在箭线式网络固中，( )的说法是错误的。
DA.结点不占用时间也不消耗资源B.结点表示前接活动的完成和后续活动的开始C.箭线代表活动D.结点的最早出现时间和最迟出现时间是同一个时间8.如图所示，在锅炉房与各车间之间铺设暖气管最小的管道总长度是( )。
CA.1200B.1400C.1300D.17009.在求最短路线问题中，已知起点到A，B，C三相邻结点的距离分别为15km，20km,25km，则（）。
DA.最短路线—定通过A点B.最短路线一定通过B点C.最短路线一定通过C点D.不能判断最短路线通过哪一点10.在一棵树中，如果在某两点间加上条边，则图一定( )AA.存在一个圈B.存在两个圈C.存在三个圈D.不含圈11.网络图关键线路的长度( )工程完工期。
CA.大于B.小于C.等于D.不一定等于12.在计算最大流量时，我们选中的每一条路线( )。
CA.一定是一条最短的路线B.一定不是一条最短的路线C.是使某一条支线流量饱和的路线D.是任一条支路流量都不饱和的路线13.从甲市到乙市之间有—公路网络，为了尽快从甲市驱车赶到乙市，应借用（）CA.树的逐步生成法B.求最小技校树法C.求最短路线法D.求最大流量法14.为了在各住宅之间安装一个供水管道．若要求用材料最省，则应使用( )。
运筹学课后习题答案
运筹学课后习题答案运筹学课后习题答案运筹学是一门研究如何在有限资源下做出最优决策的学科。
它涉及到数学、统计学和计算机科学等多个领域，旨在解决实际问题中的优化和决策难题。
在学习运筹学的过程中，课后习题是巩固知识和理解概念的重要方式。
下面将为大家提供一些运筹学课后习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 线性规划问题线性规划是运筹学中最基本的问题之一。
它的目标是在给定的约束条件下，找到使目标函数达到最大或最小值的决策变量的取值。
以下是一个线性规划问题的示例及其答案：问题：某公司生产两种产品A和B，每单位产品A的利润为3万元，产品B的利润为4万元。
产品A每单位需要2个工时，产品B每单位需要3个工时。
公司总共有40个工时可用。
如果公司希望最大化利润，应该生产多少单位的产品A和产品B？答案：设产品A的生产单位为x，产品B的生产单位为y。
根据题目中的约束条件可得到以下线性规划模型：目标函数：Maximize 3x + 4y约束条件：2x + 3y ≤ 40x ≥ 0, y ≥ 0通过求解这个线性规划模型，可以得到最优解为x = 10，y = 10。
也就是说，公司应该生产10个单位的产品A和10个单位的产品B，以最大化利润。
2. 项目管理问题项目管理是运筹学的一个重要应用领域。
它涉及到如何合理安排资源、控制进度和降低风险等问题。
以下是一个项目管理问题的示例及其答案：问题：某公司需要完成一个项目，该项目包含5个任务。
每个任务的完成时间和前置任务如下表所示。
为了尽快完成项目，应该如何安排任务的执行顺序？任务完成时间（天）前置任务A 4 无B 6 无C 5 AD 3 BE 7 C, D答案：为了确定任务的执行顺序，可以使用关键路径方法。
首先，计算每个任务的最早开始时间和最晚开始时间。
然后，找到所有任务的最长路径，即关键路径。
关键路径上的任务不能延迟，否则会延误整个项目的完成时间。
根据上表中的信息，可以得到以下关键路径：A → C → E，最长时间为4 + 5 + 7 = 16天因此，任务的执行顺序应为A → C → E。
运筹学第三版课后习题答案 (2)
运筹学第三版课后习题答案第一章：引论1.1 课后习题习题1a)运筹学是一门应用数学的学科，旨在解决实际问题中的决策和优化问题。
它包括数学模型的建立、问题求解方法的设计等方面。
b)运筹学可以应用于各个领域，如物流管理、生产计划、流程优化等。
它可以帮助组织提高效率、降低成本、优化资源分配等。
c)运筹学主要包括线性规划、整数规划、指派问题等方法。
习题2运筹学的应用可以帮助组织提高效率、降低成本、优化资源分配等。
它可以帮助制定最佳的生产计划，优化供应链管理，提高运输效率等。
运筹学方法的应用还可以帮助解决紧急情况下的应急调度问题，优化医疗资源分配等。
1.2 课后习题习题1运筹学方法可以应用于各个领域，如物流管理、生产计划、供应链管理、流程优化等。
在物流管理中，可以使用运筹学方法优化仓储和运输的布局，提高货物的运输效率。
在生产计划中，可以使用运筹学方法优化产品的生产数量和生产周期，降低生产成本。
在供应链管理中，可以使用运筹学方法优化订单配送和库存管理，提高供应链的效率。
在流程优化中，可以使用运筹学方法优化业务流程，提高整体效率。
习题2在物流管理中，可以使用运筹学方法优化车辆的调度和路线规划，以提高运输效率和降低成本。
在生产计划中，可以使用运筹学方法优化生产线的安排和产品的生产量，以降低生产成本和提高产能利用率。
在供应链管理中，可以使用运筹学方法优化供应链各个环节的协调和调度，以提高整体效率和减少库存成本。
在流程优化中，可以使用运筹学方法优化业务流程的排布和资源的分配，以提高流程效率和客户满意度。
第二章：线性规划基础2.1 课后习题习题1线性规划是一种数学优化方法，用于解决包含线性约束和线性目标函数的优化问题。
其一般形式为：max c^T*xs.t. Ax <= bx >= 0其中，c是目标函数的系数向量，x是决策变量向量，A是约束矩阵，b是约束向量。
习题2使用线性规划方法可以解决许多实际问题，如生产计划、供应链管理、资源分配等。
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第一章 线性规划1、由图可得：最优解为2、用图解法求解线性规划： Min z=2x 1+x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≤+-01058244212121x x x x x x解：由图可得：最优解x=1.6,y=6.4Max z=5x 1+6x 2⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-0,23222212121x x x x x x解：由图可得：最优解Max z=5x 1+6x 2, Max z= +∞Maxz = 2x 1 +x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤0,5242261552121211x x x x x x x由图可得：最大值⎪⎩⎪⎨⎧==+35121x x x ， 所以⎪⎩⎪⎨⎧==2321x xmax Z = 8.1212125.max 23284164120,1,2maxZ .jZ x x x x x x x j =+⎧+≤⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥=⎩如图所示，在（4，2）这一点达到最大值为26将线性规划模型化成标准形式：Min z=x 1-2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-=++-≥+-≤++无约束321321321321,0,052327x x x x x x x x x x x x解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中x 3’≥0,x 3’’≥0Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥≥≥≥-=++-=--+-=+-++0,0,0'',0',0,05232'''7'''5433213215332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x7将线性规划模型化为标准形式Min Z =x 1+2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-=--≥++-≤++无约束，321321321321,00632442392-x x x x x x x x x x x x解：令Z’ = -z ，引进松弛变量x 4≥0,引进剩余变量x 5≥0,得到一下等价的标准形式。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-=--=-++-=+++,0,,,0632442392-542132153214321x x x x x x x x x x x x x x xx 2’=-x 2 x 3=x 3’-x 3’’ Z’ = -min Z = -x 1-2x 2-3x 3()()⎪⎩⎪⎨⎧-=--+=--+--=+-+-632442392-''3'3215''33'214''3'3'21x x x x x x x x x x x x x x123123412358.maxZ=3x 3434540643660,1,2,3,4,5j x x x x x x x x x x x j ++⎧+++=⎪+++=⎨⎪≥=⎩10,2,max .∴最优解为（0，0,0），目标函数Z=389用单纯形法求解线性规划问题：Max Z =70x 1+120x 2⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤+≤+3001032006436049212121x x x x x x解： Max Z =70x 1+120x 2⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3001032006436049521421321x x x x x x x x x单纯形表如下Max Z =3908.1212121123453451231241510.max 432+230005 2.54000500,0,,(,,0)2230005 2.5+40005000,1,2,3,4,5jZ x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j =+⎧≤⎪+≤⎪⎨≤⎪⎪≥⎩≥⎧++=⎪+=⎪⎨+=⎪⎪≥=解：引入松弛变量111222121min 5min 4(020501)43(02+0 2.5+00)3,)max(4,3)4,30004000500,,500,251c z c z x x σσσσθ=-=-⨯+⨯+⨯==-=-⨯⨯⨯===∴⎛⎫==∴ ⎪⎝⎭检验数>0,max(对应的为换入变量.为换出变量.123451110500,0,2000,1500,0,4(020501)4500302000.x x x x c z σ≤∴=====∴=-=-⨯+⨯+⨯=⨯+⨯=非基变量检验数，得到最优解：x 目标函数的maxZ=4max Z=10X1+6X2+4X3X1+X2+X3+X4=10010 X1+4X2+5X3+X5=6002 X1+2X2+6X3+X6=300X1,X2,X3,X4,X5,X6≥0得到初始单纯形表：（2）其中ρ1 =C1-Z1=10-（0×1+0×10+0×2）=10，同理求得其他根据ρmax =max{10,6,4}=10,对应的X1为换入变量，计算θ得到，θmin =min{100/1,600/10,300/2}=60,X5为换出变量，进行旋转运算。
（3）重复（2）过程得到如下迭代过程ρj≤0，迭代已得到最优解，X*=（100/3，200/3，0，0，0，100）T，Z* =10×100/3+6×200/3+4×0 =2200/3。
word资料max Z=2X1+X25X2+X3=15X1+2X2+ X5=5X1,X2,X3,X4,X5≥0得到初始单纯形表：（2）其中ρ1 =C1-Z1=2-（0×1+0×10+0×2）=2，同理求得其他根据ρmax =max{2,1,0}=2,对应的X1为换入变量，计算θ得到，θmin =min{-,24/6,5/1}=4, X4为换出变量，进行旋转运算。
（3）重复（2）过程得到如下迭代过程ρj≤0，迭代已得到最优解，X*=（7/2，3/2，0，0，0）T，Z* =2×7/2+3/2 =17/2。
word资料word 资料13解：引入松弛变量X 3、X 4，约束条件化成等式，将原问题进行标准化，得： Max Z=2.5X 1+X 23X 1+5X 2+X 3 =15 5X 1+2X 2 +X 4=10 1,X 2,X 3,X 4≥0（1） 确定初始可行基为单位矩阵I=[P 3，P 4]，基变量为X 3，X 4，X 5，非基变量为X 1，X 2，则有：Max Z=2.5X 1+3X 2 X 3=15-3X 1-5X 2 s.t X 4=10-5X 1-2X 2 Xi ≥0，j=1，2，3，4将题求解过程列成单纯形表格形式，表1由上述可得，将1x 替换为4x表2，单纯形迭代过程由表2可得，将2x 替换为3x表3 最终单纯形表非基变量检验数3σ=0,4σ=1-2，得到该线性规划另一最优解，*x =（2019，4519，0,0）,*z =5， 该线性规划具有无穷多个解14.用单纯形法求解线性规划问题：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+=005 2426155..2max 212121221x x x x x x x t s x x z ， 解：（1）将原问题转化为标准形式，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥≥≥=++=++=+++++=0,0 ,0 ,0 ,0524 2615 5..0002max 543215214213254321x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x z（2）建立单纯性，并进行迭代运算（3）得到最优解X*=(195 ,65 ,9 ,0 ,0 )T，Z*=44515.用单纯形法求解线性规划问题：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+-≤+-≤+=0，04 2222 - .. max 2121212121x x x x x x x x t s x x z解：（1）将原问题转化为标准形式，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥≥≥=++-=++-=+-++++=0 ,0 ,0 ,0 ,04 222 2 ..000max 5432152142132154321x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x z（2）建立单纯性，并进行迭代运算本例第二个单纯形表中，非基变量X 2对应的检验数σ 0，并且对应的变量系数a i ，2≤0（i=1，2，3），根据无界解判定定理，该线性规划问题有无界解（或无最优解）。
如果从方程角度看，第二个表格还原线性方程⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=++=6 62322 - ..2-3 max 53243232121x x x x x x x x x t s x x z也即：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=6- 62-3-2 2 .325324321x x x x x x x x x 令3x =0，则⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=6 632 2 .252421x x x x x x 此时，若2x 进基，则1x ，4x ，5x 会和基变量2x 同时增加，同时目标函数值无限增长，所以本题无解。
16解：（1）引入松弛变量X 3，X 4，X 5将原问题标准化，得max Z=2X 1+4X 2+0X 3+0X 4+0X 5 X 1+2X 2+X 3=8 X 1+X 4=4 X 2+X 5=3X 1,X 2,X 3,X 4,X 5≥0 （1）得到初始单纯形表：（2）重复（1）过程得到如下迭代过程ρ5 = 0，ρ3 < 0，因此有无穷多解，其中一个解为X1=2 X2=3 max Z = 16 17、Max z=3x1+5x2 Max z=3x1+5x2x1+ x3=4x1 ≤4 标准化并且引入松弛变量2x2+ x4=12 2x2≤12 3x1+2x2+ x5=18 3x1+2x2≤18 x1，x2，x3，x4，x5≥0x1≥0 x2≥0非基变量σj≤0，得到最优解，其中x1=0，x2=6，x3=4.x4=0，x5=6 最优解Max Z=3*0+5*6=30其中，有非基变量σ1=0，所以有无穷多个解18、解：化为标准形式：MaxZ’=-5X1-2X2-4X33X1+X2+2X3-X4=46X1+3X2+5X3-X5=10X1,x2,x3,x4,x5>=0增加人工变量x6,x7,得到：MaxZ’=-5X1-2X2-4X3-MX6-MX73X1+X2+2X3-X4+X6=46X1+3X2+5X3-X5+X7=10X1,x2,x3,x4,x5>=0大M法求解过程如下：最优解为X1*=2/3,X2*=2,X3*=0最优目标函数值minZ=22/319、解：化为标准形式：maxZ=-540x1-450x2-720x33x1+5x2+9x3-x4=709x1+5x2+3x3-x5=30X1,x2,x3,x4,x5>=0增加人工变量x6,x7,得到：maxZ=-540x1-450x2-720x3-Mx6-Mx7 3x1+5x2+9x3-x4+x6=709x1+5x2+3x3-x5+x7=30X1,x2,x3,x4,x5>=0大M法求解过程如下：最优解为X*=(0,2,20/3,0,0) 最优目标函数值minZ=570020解：先将其化成标准形式，有max z = −31x + 3x +04x +05x 1x +2x +3x +4x =4 （a ） -21x +2x -3x -5x =1 （b ） 32x +3x =9 （c ） 1x ，2x ，3x ，4x ，5x 0这种情况可以添加两列单位向量6P ，P 7 ，连同约束条件中的向量P 4构成单位矩阵 P 4 P 6 P 71 0 00 1 0 0 0 1P 6，P 7是人为添加上去的，它相当于在上述问题的约束条件（b ）中添加变量6x ，约束条件（c ）中添加变量7x ，这两个变量相应称为人工变量。