运筹学课后习题答案
(完整版)运筹学》习题答案运筹学答案
《运筹学》习题答案一、单选题1.用动态规划求解工程线路问题时，什么样的网络问题可以转化为定步数问题求解（）BA.任意网络B.无回路有向网络C.混合网络D.容量网络2.通过什么方法或者技巧可以把工程线路问题转化为动态规划问题？（）BA.非线性问题的线性化技巧B.静态问题的动态处理C.引入虚拟产地或者销地D.引入人工变量3.静态问题的动态处理最常用的方法是？BA.非线性问题的线性化技巧B.人为的引入时段C.引入虚拟产地或者销地D.网络建模4.串联系统可靠性问题动态规划模型的特点是（）DA.状态变量的选取B.决策变量的选取C.有虚拟产地或者销地D.目标函数取乘积形式5.在网络计划技术中，进行时间与成本优化时，一般地说，随着施工周期的缩短，直接费用是( )。
CA.降低的B.不增不减的C.增加的D.难以估计的6.最小枝权树算法是从已接接点出发，把( )的接点连接上CA.最远B.较远C.最近D.较近7.在箭线式网络固中，( )的说法是错误的。
DA.结点不占用时间也不消耗资源B.结点表示前接活动的完成和后续活动的开始C.箭线代表活动D.结点的最早出现时间和最迟出现时间是同一个时间8.如图所示，在锅炉房与各车间之间铺设暖气管最小的管道总长度是( )。
CA.1200B.1400C.1300D.17009.在求最短路线问题中，已知起点到A，B，C三相邻结点的距离分别为15km，20km,25km，则（）。
DA.最短路线—定通过A点B.最短路线一定通过B点C.最短路线一定通过C点D.不能判断最短路线通过哪一点10.在一棵树中，如果在某两点间加上条边，则图一定( )AA.存在一个圈B.存在两个圈C.存在三个圈D.不含圈11.网络图关键线路的长度( )工程完工期。
CA.大于B.小于C.等于D.不一定等于12.在计算最大流量时，我们选中的每一条路线( )。
CA.一定是一条最短的路线B.一定不是一条最短的路线C.是使某一条支线流量饱和的路线D.是任一条支路流量都不饱和的路线13.从甲市到乙市之间有—公路网络，为了尽快从甲市驱车赶到乙市，应借用（）CA.树的逐步生成法B.求最小技校树法C.求最短路线法D.求最大流量法14.为了在各住宅之间安装一个供水管道．若要求用材料最省，则应使用( )。
运筹学部分课后习题解答
运筹学部分课后习题解答P47 1.1 用图解法求解线性规划问题a）12121212min z=23466 ..424,0x xx xs t x xx x++≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩解：由图1可知，该问题的可行域为凸集MABCN，且可知线段BA上的点都为最优解，即该问题有无穷多最优解，这时的最优值为min 3z=23032⨯+⨯= P47 1.3 用图解法和单纯形法求解线性规划问题a）12121212max z=10x5x349 ..528,0x xs t x xx x++≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩解：由图1可知，该问题的可行域为凸集OABCO，且可知B点为最优值点，即112122134935282xx xx x x=⎧+=⎧⎪⇒⎨⎨+==⎩⎪⎩，即最优解为*31,2Tx⎛⎫= ⎪⎝⎭这时的最优值为max335z=101522⨯+⨯=单纯形法： 原问题化成标准型为121231241234max z=10x 5x 349..528,,,0x x x s t x x x x x x x +++=⎧⎪++=⎨⎪≥⎩ j c →10 5B CB Xb 1x2x3x4x0 3x 9 3 4 1 0 04x8[5] 2 0 1 j j C Z -105 0 0 0 3x 21/5 0 [14/5] 1 -3/5 101x8/51 2/5 0 1/5 j j C Z -1 0 -2 5 2x 3/2 0 1 5/14 -3/14 101x11 0 -1/72/7j j C Z --5/14 -25/14所以有*max 33351,,1015222Tx z ⎛⎫==⨯+⨯= ⎪⎝⎭P78 2.4 已知线性规划问题：1234124122341231234max24382669,,,0z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++≤⎧⎪+≤⎪⎪++≤⎨⎪++≤⎪≥⎪⎩求: (1) 写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为)0,4,2,2(*=X ，试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。
《运筹学》课后答案
《运筹学》课后答案《运筹学》是一门研究如何在有限资源下做出最佳决策的学科，它涉及到数学、统计学、经济学等多个学科的知识。
掌握运筹学的方法和技巧对于解决实际问题具有重要意义。
下面是《运筹学》课后习题的答案：1. 什么是线性规划问题？线性规划问题是指在一组线性约束条件下，求解一个线性目标函数的最优值的问题。
线性规划问题具有优化的特点，即找到一组满足约束条件的解，使得目标函数取得最大（最小）值。
2. 线性规划问题的标准形式是什么？线性规划问题的标准形式是指将目标函数和约束条件都写成标准形式，即目标函数为最大化（最小化）一个线性函数，约束条件为一组线性不等式和线性等式。
3. 线性规划问题的解的存在性和唯一性是什么？线性规划问题的解的存在性和唯一性是由线性规划问题的特殊结构决定的。
如果线性规划问题有有界解（即目标函数有最大（最小）值），则存在解；如果线性规划问题的目标函数有最大（最小）值，且该最大（最小）值只有一个解，则解是唯一的。
4. 什么是单纯形法？单纯形法是一种解线性规划问题的常用方法，它通过迭代计算来逐步接近最优解。
单纯形法的基本思想是从一个初始可行解出发，通过一系列变换（包括基变换、基可行解的改进等）来逐步接近最优解。
5. 什么是对偶理论？对偶理论是线性规划问题的一个重要理论基础，它通过将原问题转化为对应的对偶问题来研究线性规划问题。
对偶理论可以帮助我们理解线性规划问题的性质和结构，并且可以通过对偶问题的解来得到原问题的解。
6. 什么是整数规划问题？整数规划问题是指在线性规划问题的基础上，将决策变量的取值限制为整数的问题。
整数规划问题具有更为复杂的性质，其解的搜索空间更大，求解难度更大。
7. 什么是分支定界法？分支定界法是解整数规划问题的一种常用方法，它通过将整数规划问题分解为一系列线性规划子问题，通过不断分支和约束来逐步缩小解的搜索空间，最终找到最优解。
8. 什么是动态规划？动态规划是一种解决多阶段决策问题的方法，它通过将问题分解为一系列子问题，并且利用子问题的解来构建整体问题的解。
运筹学参考答案
-3 x2 [4] 2 -3+6M 1 0
0
-1 x3 2 0 -1+2M 1/2 -1
1/2-M
0 x4 -1 0 -M -1/4 -1/2
-3/4-M/2
0 x5 0 -1 -M 0 -1
-M
-M x6 1 0 0 1/4 -1/2
3/4-3M/2
-M x7 0 1 0 0 1
b.用单纯形法求解 列单纯形表： 解： Cj→ CB 0 0 xB x3 x4 x3 x1 x2 x1 b 15 24 3 4 3/4 15/4 2 x1 3 [6] 2 0 1 0 0 1 0
*
1 x2 5 2 1 [4] 1/3 1/3 1 0 0
T
0 x3 1 0 0 1 0 0 1/4 -1/12 -1/12
5 x1 + 3 x2 + x3 + x4 = 9 −5 x1 + 6 x2 + 15 x3 + x5 = 15 s.t. 2 x1 + x2 + x3 − x6 + x7 = 5 x , x , x , x , x , x , x , ≥ 0 1 2 3 4 5 6 7
M 为一个任意正数 Cj→ CB 0 0 -M Cj-Zj 10 0 -M Cj-Zj 10 12 -M Cj-Zj x1 x3 x7 3/2 3/2 1/2 x1 x5 x7 9/5 24 7/5 xB x4 x5 x7 b 9 15 5 10 x1 [5] -5 2 10+2M 1 0 0 0 1 0 0 0 15 x2 3 6 1 15+M 3/5 9 -1/5 9-M/5 39/80 9/16 -43/80 27/8-43M/80 12 x3 1 15 1 12+M 1/5 [16] 3/5 10+3M/5 0 1 0 0 0 x4 1 0 0 0 1/5 1 -2/5 -2-2M/5 3/16 1/16 -7/16 -21/8-7M/16 0 x5 0 1 0 0 0 1 0 0 -1/80 1/16 -3/80 -5/8-3M/80 0 x6 0 0 -1 -M 0 0 -1 -M 0 0 -1 -M -M x7 0 0 1 0 0 0 1 O 0 0 1 0 9 3/2 7/3 9/5 5/2
《运筹学》课后习题答案 第3章 运输问题
一、选择题1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.二、判断题1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.三、表上作业法 3. 解：可知，有初始基本可行解1112132122230,10,20,10,35,0x x x x x x ======用闭回路法计算非基变量的检验数：1123(56)(84)10(98)(67)40σσ=+-+=-<=+-+=>因为110σ<，该解并不是最优解。
进行换基迭代，让11x 进基，考虑上述闭回路，调整量min(10,10)10θ==，调整后得到新的调运方案：A2 4 0645945销量10 45 20计算非基变量的检验数得：1223(84)(56)10(95)(47)30σσ=+-+=>=+-+=>故此方案为最优方案，最优解为：11121321222310,0,20,0,45,0x x x x x x ======最优值min 105207456460Z =⨯+⨯+⨯=用电子表格模型求解进行验算：4. 解：用西北角法求得初始基本可行解：1112131421222324313233344,0,0,0;1,2,4,2;0,0,0,4;x x x x x x x x x x x x ============ 用位势法计算检验数：1111212121131322214142233131324323243433333106()210167()861012()9455()12194()731010()47u u v u v v u v u v u u v u v v u v u v v u v u v v u v u v u σσσσσσ=⎧+==-+=⎧⎧⎪=⎪⎪⎪+==-+=⎪⎪⎪=⎪⎪++=-+=⎪⎪⇒=⇒⎨⎨⎨+==-+=-⎪⎪=-⎪⎪+==-+=-=⎪⎪+==-+=⎪⎪⎩=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎩因为3132,σσ小于0，该解不是最优解。
运筹学基础课后习题答案
运筹学基础课后习题答案[2002年版新教材]第一章导论 P51.、区别决策中的定性分析和定量分析，试举例。
定性——经验或单凭个人的判断就可解决时，定性方法定量——对需要解决的问题没有经验时；或者是如此重要而复杂，以致需要全面分析（如果涉及到大量的金钱或复杂的变量组）时，或者发生的问题可能是重复的和简单的，用计量过程可以节约企业的领导时间时，对这类情况就要使用这种方法。
举例：免了吧。
2、. 构成运筹学的科学方法论的六个步骤是哪些？.观察待决策问题所处的环境；.分析和定义待决策的问题；.拟定模型；.选择输入资料；.提出解并验证它的合理性（注意敏感度试验）；.实施最优解；3、．运筹学定义：利用计划方法和有关许多学科的要求，把复杂功能关系表示成数学模型，其目的是通过定量分析为决策和揭露新问题提供数量根据第二章作业预测P251、. 为了对商品的价格作出较正确的预测，为什么必须做到定量与定性预测的结合？即使在定量预测法诸如加权移动平均数法、指数平滑预测法中，关于权数以及平滑系数的确定，是否也带有定性的成分？答：（1）定量预测常常为决策提供了坚实的基础，使决策者能够做到心中有数。
但单靠定量预测有时会导致偏差，因为市场千变万化，影响价格的因素很多，有些因素难以预料。
调查研究也会有相对局限性，原始数据不一定充分，所用的模型也往往过于简化，所以还需要定性预测，在缺少数据或社会经济环境发生剧烈变化时，就只能用定性预测了。
（2）加权移动平均数法中权数的确定有定性的成分；指数平滑预测中的平滑系数的确定有定性的成分。
2.、某地区积累了5 个年度的大米销售量的实际值（见下表），试用指数平滑法，取平滑系数α= 0.9，预测第6年度的大米销售量（第一个年度的预测值，根据专家估计为4181.9千公斤）年度 1 2 3 4 5大米销售量实际值（千公斤）5202 5079 3937 4453 3979 。
答：F6=a*x5+a(1-a)*x4+a(1-a)~2*x3+a(1-a)~3*x2+a(1-a)~4*F1F6=0.9*3979+0.9*0.1*4453+0.9*0.01*3937+0.9*0.001*5079+0.9*0.0001*4181.9F6=3581.1+400.77+35.433+4.5711+0.3764F6=4022.33 、某地区积累了11个年度纺织品销售额与职工工资总额的数据，列入下列表中（表略），计算：（1）回归参数a,b（2）写出一元线性回归方程。
运筹学课后习题答案
第一章 线性规划1、由图可得：最优解为2、用图解法求解线性规划： Min z=2x 1+x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≤+-01058244212121x x x x x x解：由图可得：最优解x=1.6,y=6.4Max z=5x 1+6x 2⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-0,23222212121x x x x x x解：由图可得：最优解Max z=5x 1+6x 2, Max z= +∞Maxz = 2x 1 +x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤0,5242261552121211x x x x x x x由图可得：最大值⎪⎩⎪⎨⎧==+35121x x x ， 所以⎪⎩⎪⎨⎧==2321x xmax Z = 8.1212125.max 23284164120,1,2maxZ .jZ x x x x x x x j =+⎧+≤⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥=⎩如图所示，在（4，2）这一点达到最大值为26将线性规划模型化成标准形式：Min z=x 1-2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-=++-≥+-≤++无约束321321321321,0,052327x x x x x x x x x x x x解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中x 3’≥0,x 3’’≥0Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥≥≥≥-=++-=--+-=+-++0,0,0'',0',0,05232'''7'''5433213215332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x7将线性规划模型化为标准形式Min Z =x 1+2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-=--≥++-≤++无约束，321321321321,00632442392-x x x x x x x x x x x x解：令Z ’ = -z ，引进松弛变量x 4≥0,引进剩余变量x 5≥0,得到一下等价的标准形式。
运筹学课后习题解答_1.(DOC)
运筹学部分课后习题解答P47 1.1 用图解法求解线性规划问题min z=2x1 3x2a4x1 6x2 6 ）2x2 4 st.. 4x1x1, x2 0解：由图 1 可知，该问题的可行域为凸集 MABCN，且可知线段 BA上的点都为最优解，即该问题有无量多最优解，这时的最优值为3z min =23 0 3 2P47 1.3 用图解法和纯真形法求解线性规划问题max z=10x1 5x 2a ）3x1 4x2 95x1 2x2 8st..x1, x2 0解：由图 1 可知，该问题的可行域为凸集OABCO，且可知 B 点为最优值点，3x1 4x2x1 1 T 9 3，即最优解为x*1,3即2x2 8x2 2 5x1 2这时的最优值为 z max =10 1 5 3 35 2 2纯真形法：原问题化成标准型为max z=10x15x23x1 4 x2x39st.. 5x12x2x48x1 , x2 , x3 ,x4 010 5 0 0c jC B X B b x1 x2 x3 x49 3 4 1 0x38 [5] 2 0 1x410 5 0 0C j Z j21/5 0 [14/5] 1 -3/5 x38/5 1 2/5 0 1/5 10x10 1 0 -2C j Z j53/2 0 1 5/14 -3/14 x21 1 0 -1/7 2/7 10x10 0 -5/14 -25/14C j Z j1,3 T1015335因此有 x*, zmax2 2 2P78 2.4 已知线性规划问题：max z 2 x1 4x2 x3 x4x1 3x2 x4 82x1 x2 6x2 x3 x4 6x1 x2 x3 9x1 , x2 , x3,x4 0求: (1) 写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为X* (2,2,4,0) ，试依据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。
解：（ 1）该线性规划问题的对偶问题为：min w 8 y1 6 y2 6 y3 9 y4y1 2 y2 y4 23y1 y2 y3 y4 4y3 y4 1y1 y3 1y1, y2 , y3 ,y4 0（2）由原问题最优解为X* ( 2,2,4,0) ，依据互补废弛性得：y1 2 y2 y4 23y1 y2 y3 y4 4y3 y4 1把 X * (2,2,4,0) 代入原线性规划问题的拘束中得第四个拘束取严格不等号，即 2 2 4 8 9 y4 0y1 2 y2 2进而有3y1 y2 y3 4y3 1得 y 4 , y2 3, y31, y 01 5 5 4( 4,3,1,0)T，最优值为w min16因此对偶问题的最优解为y*5 5P79 2.7考虑以下线性规划问题：min z 60x140x280x33x12x2x3 24x1x23x3 42x12x22x3 3x1, x2 , x30（ 1）写出其对偶问题；（ 2）用对偶纯真形法求解原问题；解：（ 1）该线性规划问题的对偶问题为：max w 2y1 4 y23y33y1 4 y2 2 y3602 y1 y22y340y13y22y380y1, y2 , y30（2）在原问题加入三个废弛变量x4 , x5 , x6把该线性规划问题化为标准型：max z 60x1 40x2 80x33x1 2x2 x3 x4 24x1 x2 3x3 x5 42 x1 2x2 2x3 x6 3x j 0, j 1, ,6c j-60 -40 -80 0 0 0 C B X B b x1 x2 x3 x4 x5 x6x4-2 -3 -2 -1 1 0 0x5-4 [-4] -1 -3 0 1 0x6-3 -2 -2 -2 0 0 1 C j Z j-60 -40 -80 0 0 0x41 0 -5/4 5/4 1 -1/12 080x11 1 1/4 3/4 0 -1/4 0x6-1 0 [-3/2] -1/2 0 -1/2 1C j Zj0 -25 -35 0 -15 0x411/6 0 0 5/3 1 1/3 -5/680x15/6 1 0 2/3 0 -1/3 1/640x22/3 0 1 1/3 0 1/3 -2/3C j Zj0 0 -80/3 0 -20/3 -50/3x* ( 5 , 2 ,0) T , z max 60 5 40 2 80 0 2306 3 6 3 3P81 2.12某厂生产A、B、C三种产品，其所需劳动力、资料等相关数据见下表。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一章 线性规划1、由图可得：最优解为2、用图解法求解线性规划： Min z=2x 1+x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≤+-01058244212121x x x x x x解：由图可得：最优解x=1.6,y=6.4Max z=5x 1+6x 2⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-0,23222212121x x x x x x解：由图可得：最优解Max z=5x 1+6x 2, Max z= +∞Maxz = 2x 1 +x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤0,5242261552121211x x x x x x x由图可得：最大值⎪⎩⎪⎨⎧==+35121x x x ， 所以⎪⎩⎪⎨⎧==2321x xmax Z = 8.1212125.max 23284164120,1,2maxZ .jZ x x x x x x x j =+⎧+≤⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥=⎩如图所示，在（4，2）这一点达到最大值为26将线性规划模型化成标准形式：Min z=x 1-2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-=++-≥+-≤++无约束321321321321,0,052327x x x x x x x x x x x x解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中x 3’≥0,x 3’’≥0Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥≥≥≥-=++-=--+-=+-++0,0,0'',0',0,05232'''7'''5433213215332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x7将线性规划模型化为标准形式Min Z =x 1+2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-=--≥++-≤++无约束，321321321321,00632442392-x x x x x x x x x x x x解：令Z’ = -z ，引进松弛变量x 4≥0,引进剩余变量x 5≥0,得到一下等价的标准形式。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-=--=-++-=+++,0,,,0632442392-542132153214321x x x x x x x x x x x x x x xx 2’=-x 2 x 3=x 3’-x 3’’ Z’ = -min Z = -x 1-2x 2-3x 3()()⎪⎩⎪⎨⎧-=--+=--+--=+-+-632442392-''3'3215''33'214''3'3'21x x x x x x x x x x x x x x123123412358.maxZ=3x 3434540643660,1,2,3,4,5j x x x x x x x x x x x j ++⎧+++=⎪+++=⎨⎪≥=⎩10,2,max .∴最优解为（0，0,0），目标函数Z=389用单纯形法求解线性规划问题：Max Z =70x 1+120x 2⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤+≤+3001032006436049212121x x x x x x解： Max Z =70x 1+120x 2⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3001032006436049521421321x x x x x x x x x单纯形表如下Max Z =3908.1212121123453451231241510.max 432+230005 2.54000500,0,,(,,0)2230005 2.5+40005000,1,2,3,4,5jZ x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j =+⎧≤⎪+≤⎪⎨≤⎪⎪≥⎩≥⎧++=⎪+=⎪⎨+=⎪⎪≥=解：引入松弛变量111222121min 5min 4(020501)43(02+0 2.5+00)3,)max(4,3)4,30004000500,,500,251c z c z x x σσσσθ=-=-⨯+⨯+⨯==-=-⨯⨯⨯===∴⎛⎫==∴ ⎪⎝⎭检验数>0,max(对应的为换入变量.为换出变量.123451110500,0,2000,1500,0,4(020501)4500302000.x x x x c z σ≤∴=====∴=-=-⨯+⨯+⨯=⨯+⨯=非基变量检验数，得到最优解：x 目标函数的maxZ=4max Z=10X1+6X2+4X3X1+X2+X3+X4=10010 X1+4X2+5X3+X5=6002 X1+2X2+6X3+X6=300X1,X2,X3,X4,X5,X6≥0得到初始单纯形表：（2）其中ρ1 =C1-Z1=10-（0×1+0×10+0×2）=10，同理求得其他根据ρmax =max{10,6,4}=10,对应的X1为换入变量，计算θ得到，θmin =min{100/1,600/10,300/2}=60,X5为换出变量，进行旋转运算。
（3）重复（2）过程得到如下迭代过程ρj≤0，迭代已得到最优解，X*=（100/3，200/3，0，0，0，100）T，Z* =10×100/3+6×200/3+4×0 =2200/3。
精选max Z=2X1+X25X2+X3=15X1+2X2+ X5=5X1,X2,X3,X4,X5≥0得到初始单纯形表：（2）其中ρ1 =C1-Z1=2-（0×1+0×10+0×2）=2，同理求得其他根据ρmax =max{2,1,0}=2,对应的X1为换入变量，计算θ得到，θmin =min{-,24/6,5/1}=4, X4为换出变量，进行旋转运算。
（3）重复（2）过程得到如下迭代过程ρj≤0，迭代已得到最优解，X*=（7/2，3/2，0，0，0）T，Z* =2×7/2+3/2 =17/2。
精选精选13解：引入松弛变量X 3、X 4，约束条件化成等式，将原问题进行标准化，得： Max Z=2.5X 1+X 23X 1+5X 2+X 3 =15 5X 1+2X 2 +X 4=10 1,X 2,X 3,X 4≥0（1） 确定初始可行基为单位矩阵I=[P 3，P 4]，基变量为X 3，X 4，X 5，非基变量为X 1，X 2，则有：Max Z=2.5X 1+3X 2 X 3=15-3X 1-5X 2 s.t X 4=10-5X 1-2X 2 Xi ≥0，j=1，2，3，4将题求解过程列成单纯形表格形式，表1由上述可得，将1x 替换为4x表2，单纯形迭代过程由表2可得，将2x 替换为3x表3 最终单纯形表非基变量检验数3σ=0,4σ=1-2，得到该线性规划另一最优解，*x =（2019，4519，0,0）,*z =5， 该线性规划具有无穷多个解14.用单纯形法求解线性规划问题：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+=005 2426155..2max 212121221x x x x x x x t s x x z ， 解：（1）将原问题转化为标准形式，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥≥≥=++=++=+++++=0,0 ,0 ,0 ,0524 2615 5..0002max 543215214213254321x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x z（2）建立单纯性，并进行迭代运算（3）得到最优解X*=(195 ,65 ,9 ,0 ,0 )T，Z*=44515.用单纯形法求解线性规划问题：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+-≤+-≤+=0，04 2222 - .. max 2121212121x x x x x x x x t s x x z解：（1）将原问题转化为标准形式，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥≥≥=++-=++-=+-++++=0 ,0 ,0 ,0 ,04 222 2 ..000max 5432152142132154321x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x z（2）建立单纯性，并进行迭代运算本例第二个单纯形表中，非基变量X 2对应的检验数σ 0，并且对应的变量系数a i ，2≤0（i=1，2，3），根据无界解判定定理，该线性规划问题有无界解（或无最优解）。
如果从方程角度看，第二个表格还原线性方程⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=++=6 62322 - ..2-3 max 53243232121x x x x x x x x x t s x x z也即：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=6- 62-3-2 2 .325324321x x x x x x x x x 令3x =0，则⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=6 632 2 .252421x x x x x x 此时，若2x 进基，则1x ，4x ，5x 会和基变量2x 同时增加，同时目标函数值无限增长，所以本题无解。
16解：（1）引入松弛变量X 3，X 4，X 5将原问题标准化，得max Z=2X 1+4X 2+0X 3+0X 4+0X 5 X 1+2X 2+X 3=8 X 1+X 4=4 X 2+X 5=3X 1,X 2,X 3,X 4,X 5≥0 （1）得到初始单纯形表：（2）重复（1）过程得到如下迭代过程ρ5 = 0，ρ3 < 0，因此有无穷多解，其中一个解为X1=2 X2=3 max Z = 16 17、Max z=3x1+5x2 Max z=3x1+5x2x1+ x3=4x1 ≤4 标准化并且引入松弛变量2x2+ x4=12 2x2≤12 3x1+2x2+ x5=18 3x1+2x2≤18 x1，x2，x3，x4，x5≥0x1≥0 x2≥0非基变量σj≤0，得到最优解，其中x1=0，x2=6，x3=4.x4=0，x5=6 最优解Max Z=3*0+5*6=30其中，有非基变量σ1=0，所以有无穷多个解18、解：化为标准形式：MaxZ’=-5X1-2X2-4X33X1+X2+2X3-X4=46X1+3X2+5X3-X5=10X1,x2,x3,x4,x5>=0增加人工变量x6,x7,得到：MaxZ’=-5X1-2X2-4X3-MX6-MX73X1+X2+2X3-X4+X6=46X1+3X2+5X3-X5+X7=10X1,x2,x3,x4,x5>=0大M法求解过程如下：最优解为X1*=2/3,X2*=2,X3*=0最优目标函数值minZ=22/319、解：化为标准形式：maxZ=-540x1-450x2-720x33x1+5x2+9x3-x4=709x1+5x2+3x3-x5=30X1,x2,x3,x4,x5>=0增加人工变量x6,x7,得到：maxZ=-540x1-450x2-720x3-Mx6-Mx7 3x1+5x2+9x3-x4+x6=709x1+5x2+3x3-x5+x7=30X1,x2,x3,x4,x5>=0大M法求解过程如下：最优解为X*=(0,2,20/3,0,0) 最优目标函数值minZ=570020解：先将其化成标准形式，有max z = −31x + 3x +04x +05x 1x +2x +3x +4x =4 （a ） -21x +2x -3x -5x =1 （b ） 32x +3x =9 （c ） 1x ，2x ，3x ，4x ，5x 0这种情况可以添加两列单位向量6P ，P 7 ，连同约束条件中的向量P 4构成单位矩阵 P 4 P 6 P 71 0 00 1 0 0 0 1P 6，P 7是人为添加上去的，它相当于在上述问题的约束条件（b ）中添加变量6x ，约束条件（c ）中添加变量7x ，这两个变量相应称为人工变量。