高中数学圆的方程典型题型归纳总结
高中数学圆的方程知识点题型归纳
高中数学圆的方程知识点题型归纳第一讲圆的方程一、知识清单一）圆的定义及方程圆的定义是平面内距离定点距离相等的点的轨迹。
圆的标准方程为 (y-b)2=r2，一般方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0，其中圆心为 (a,b)，半径为 r。
标准方程和一般方程可以互相转化。
二）点与圆的位置关系点 M(x,y) 与圆 (x-a)2+(y-b)2=r2 的位置关系有三种情况：在圆外、在圆上和在圆内。
三）温馨提示求圆的方程时，可以利用圆的几何性质简化运算，如圆心在过切点且与切线垂直的直线上、圆心在任一弦的中垂线上、两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。
此外，中点坐标公式也是常用的计算方法。
二、典例归纳本讲内容主要是圆的方程和点与圆的位置关系。
在求圆的方程时，需要注意利用圆的几何性质简化运算。
同时，中点坐标公式也是常用的计算方法。
在实际问题中，需要根据具体情况选择合适的方法来解决问题。
且圆心在直线2x+y=0上，求该圆的方程。
变式3】已知圆C的方程为x2+y2-4x-6y+9=0，直线l的方程为2x+3y-6=0，求圆C与直线l的交点坐标。
变式4】已知圆C的方程为x2+y2-2x+4y-4=0，直线l的方程为x-y+2=0，求圆C与直线l的交点坐标。
方法总结：1.对于一般的圆方程，可以通过平移变换将其化为标准方程，然后根据圆的几何性质求出圆心和半径，进而写出标准方程。
2.对于已知圆心和半径的问题，可以利用圆的几何性质直接写出标准方程。
3.对于圆与直线的交点问题，可以将直线方程代入圆方程中解方程，或者将圆方程代入直线方程中解方程，求出交点坐标。
变式3】给定四个点A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(-1,2)，判断它们能否在同一个圆上，并说明原因。
这题可以通过计算四边形ABCD的两条对角线的中垂线是否相交来判断四个点是否在同一个圆上。
首先可以计算出AC的中点坐标为M(1.5.2.5)，斜率为-3/2，所以AC的中垂线的方程为y-2.5 = 2/3(x-1.5)。
高考数学必考之圆的方程
高考数学必考之圆的方程考点一 圆的方程1．圆心为()3,1，半径为5的圆的标准方程是【答案】()()223125x y -+-=【解析】∵所求圆的圆心为()3,1，半径为5，∴所求圆的标准方程为：()()223125x y -+-=，2．已知点()3,6A ，()1,4B ，()1,0C ，则ABC ∆外接圆的圆心坐标为 【答案】()5,2【解析】线段AB 中点坐标为()2,5，线段AB 斜率为64131-=-，所以线段AB 垂直平分线的斜率为1-，故线段AB 的垂直平分线方程为()52y x -=--，即7y x =-+.线段AC 中点坐标为()2,3，线段AC 斜率为60331-=-，所以线段AC 垂直平分线的斜率为13-，故线段AC 的垂直平分线方程为()1323y x -=--，即11133y x =-+.由75111233y x x y y x =-+⎧=⎧⎪⇒⎨⎨==-+⎩⎪⎩.所以ABC ∆外接圆的圆心坐标为()5,2. 3．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的范围是【答案】－2<a <23【解析】由题意可得圆的标准方程2223()()124a x y a a a +++=--，由23104a a -->解得223a -<<.考点二 点与圆的位置关系1．点()1,1在圆()2211x y +-=的（ ）A ．圆上B ．圆内C ．圆外D ．无法判定【答案】A【解析】将点()1,1的坐标代入圆()2211x y +-=的方程即()221111+-=，∴点()1,1在圆()2211x y +-=上，2．经过点(1,2)A 可做圆22240x y mx y ++-+=的两条切线，则m 的范围是（ ）A ．(,(23,)-∞-+∞B ．(5,(23,)--+∞C ．(,)-∞-⋃+∞D ．(5,(22,)--+∞【答案】B【解析】圆22240x y mx y ++-+=，即为222()(1)324m m x y -+-=-， 2304m ∴->⇒m <-m > 由题意知点A 在圆外，14440m ∴++-+>，解得5m >-．所以5m -<<-m >故选B3．若坐标原点在圆22222240x y mx my m +-++-=的内部，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()1,1-B ．,22⎛-⎝⎭C ．(D ．(【答案】D【解析】把原点坐标代入圆的方程得:222002020240m m m +-⨯+⨯+-<解得：m <本题正确选项：D考点三 直线与圆1．已知直线0x y +=与圆22(1)()2x y b -+-=相切，则b = 。
高中数学圆与方程知识点归纳与常考题型专题练习(附解析)
高中数学圆与方程知识点归纳与常考题型专题练习(附解析) 知识点：4.1.1 圆的标准方程1、圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程2、点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外（2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上（3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内4.1.2 圆的一般方程1、圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x ，圆心为半径为2、圆的一般方程的特点：(1)①x2和y2的系数相同，不等于0．②没有xy 这样的二次项．(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
4.2.1 圆与圆的位置关系1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2,2(E D --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当r d >时，直线l 与圆C 相离；（2）当r d =时，直线l 与圆C 相切；（3）当r d <时，直线l 与圆C 相交；直线、圆的位置关系注意：1.直线与圆的位置关系 直线与圆相交，有两个公共点d R ⇔<⇔方程组有两组不同实数解(0)∆> 直线与圆相切，只有一个公共点d R ⇔=⇔方程组有唯一实数解(0)∆=直线与圆相离，没有公共点d R ⇔>⇔方程组无实数解(0)∆<2.求两圆公共弦所在直线方程的方法：将两圆方程相减。
必修二圆的方程题型归纳非常完美
圆的方程题型一：圆的方程典例1、若圆C 的方程为222440x x y y +++-=，则该圆的圆心坐标为________． 【详解】圆的方程为222440x x y y +++-=,化为:22(1)(2)9x y +++=. 圆的圆心坐标为:(1,2)--.故答案为:(1,2)--.典例2、求满足下列条件的各圆的标准方程:(1)圆心在原点,半径长为3;(2)圆心为点()3,4C ,半径长是5(3)圆心为点(8,3)C -,且经过点(5,1)P【详解】(1)设圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，因为圆心在原点，即0,0a b ==，又由半径长为3，即3r =，圆的标准方程为229x y +=.(2)设圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，以为圆心为点()3,4C ,即3,4a b ==，半径长是5，即5r =，所以圆的标准方程为22(3)(4)5x y -+-=.(3)设圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，因为圆心为点(8,3)C -,即8,3a b ==-，又由圆经过点(5,1)P ，则22(85)(31)5r PC ==-+--=所以圆的标准方程为22(8)(3)25x y -++=.典例3、已知圆C 的圆心坐标为()3,0C ，且该圆经过点()0,4A .（1）求圆C 的标准方程；（2）若点B 也在圆C 上，且弦AB 长为8，求直线AB 的方程；（3）直线l 交圆C 于M ，N 两点，若直线AM ，AN 的斜率之积为2，求证：直线l 过一个定点，并求出该定点坐标.【详解】（1）圆以(3,0)为圆心，||5AB =为半径， 所以圆的标准方程为()22325x y -+=.（2）①k 不存在时，直线l 的方程为：0x =； ②k 存在时，设直线l 的方程为：4y kx =+，所以直线l 的方程为：724960x y +-=，综上所述，直线l 的方程为0x =或724960x y +-=.（3）设直线MN ：y kx t =+，()11,M x kx t +，()22,N x kx t +，联立方程()()()22222126160325y kx t k x kt xt x y =+⎧⎪⇒++-+-=⎨-+=⎪⎩， 得()()()()()()2222216426410k t kt k kt t k --+--++-+=， ，所以直线l 的方程为：，所以过定点()6,12--. 题型二：直线与圆的位置关系 典例1、过原点O 作圆2268200x y x y +--+=的两条切线，设切点分别为P Q 、,则直线PQ 的方程是 ______．解：圆2268200x y x y +--+=可化为22(3)(4)5x y -+-=圆心(3,4)C ，半径为 过原点O 作C 的切线，切点分别为P ，Q ，∴直线PQ 可看作已知圆与以OC 为直径的圆的交线，以OC 为直径的圆的方程为()22325224x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭， 即22340x y x y +--=，两式相减得34200x y +-=， 即直线PQ 的方程为34200x y +-=，故答案为：34200x y +-=．典例2、已知圆C ：x 2+y 2﹣4x ＝0.（1）直线l 的方程为30x y -=，直线l 交圆C 于A 、B 两点，求弦长|AB|的值；（2）从圆C 外一点P （4，4）引圆C 的切线，求此切线方程．【详解】（1）化圆C ：x 2+y 2﹣4x ＝0为：（x ﹣2）2+y 2＝4，知圆心（2，0）为半径为2， 故圆心到直线的距离2131d ==+，∴22223AB R d =-=； （2）当斜率不存在时，过P （4，4）的直线是x ＝4，显然是圆的切线；当斜率存在时，设直线方程为y ﹣4＝k （x ﹣4）．由24221kk -=+，解得34k =． 此时切线方程为3x ﹣4y+4＝0.综上所述：切线方程为x ＝4或3x ﹣4y+4＝0.典例3、已知0m >，0n >，若直线()()1120m x n y +++-=与圆222210x y x y +--+=相切，则m n +的取值范围为（ ）A ．)222,⎡++∞⎣B ．)222,⎡-+∞⎣C ．2,222⎡⎤+⎣⎦D ．(0,222⎤+⎦ 【详解】将圆的方程化为标准方程得()()22111x y -+-=，该圆的圆心坐标为()1,1，半径为1，由于直线()()1120m x n y +++-=与圆()()22111x y -+-=相切， 则()()22111m nm n +=+++，化简得1m n mn ++=， 由基本不等式可得212m n m n mn +⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，即()()2440m n m n +-+-≥， 当且仅当m n =时，等号成立，0m >，0n >，0m n ∴+>，解得222m n +≥+. 因此，m n +的取值范围是)222,⎡++∞⎣.故选：A.【点睛】本题考查利用直线与圆相切求参数的取值范围，解题的关键就是利用基本不等式构造不等式求解，考查运算求解能力，属于中等题.典例4、函数211y x =-+ 与函数(2)y k x =-的图象有两个不同的公共点,则实数k 的取值范围是________. 【详解】由题意可知，函数211y x =-+的图象是以(0,1)为圆心，半径为1r =的上半圆.函数(2)y k x =-的图象是恒过点(2,0)的直线l .如图所示若使得函数211y x =-+ 与函数(2)y k x =-的图象有两个不同的公共点则需直线l 夹在半圆的切线1l 与过点(1,1)的直线2l 之间，即12l l k k k <≤ 直线2l 过点(1,1)与点(2,0)∴221101l k -==-- 又直线1l 为半圆22(1)1y x +-=(1)y ≥的切线∴圆心(0,1)到直线1l ：1(2)l y k x =-的距离等于半径1r = 即112|(02)1|1()1l l k k --=+，解得143l k =-∴413k -<≤-故答案为：4(,1]3-- 典例5、已知直线1:0l kx y +=()k R ∈与直线2:220l x ky k -+-=相交于点A ，点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，则||AB 的最大值为（ ）A ．32B ．52C ．522+D ．322+【详解】由0220kx y x ky k +=⎧⎨-+-=⎩，消去参数k 得22(1(1)2x y -+-=）， 所以A 在以(1,1)C 为圆心，2为半径的圆上，又点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，此圆圆心为(2,3)D --，半径为2， 22(12))(13)5CD =+++=，∴AB 的最大值为22522CD ++=+．故选：C.题型三：圆与圆的位置关系典例1、已知圆221:2410C x y x y ++-+=，圆222:(3)(1)1C x y -++=，则这两个圆的公切线条数为（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 【详解】根据题意，圆221:2410C x y x y ++-+=，即22+1+24x y -=（）（）其圆心为12-（，），半径12r =， 圆222:(3)(1)1C x y -++=，其圆心为31-（，），半径21r =， 则有221212435C C r r =+=>+，两圆外离，有4条公切线；故选：D ． 典例2、已知圆22()()8(0)x a y a a -+-=>与圆222x y +=有公共点，则a 的取值范围是________．【详解】因为圆22()()8(0)x a y a a -+-=>与圆222x y +=有公共点，所以两圆位置关系为外切、相交、内切，所以得到22222222a a ≤≤-++，因为0a >，故解得13a ≤≤，即a 的取值范围为[]1,3.故答案为：[]1,3.典例3、点A 、B 分别为圆M ：x 2＋(y －3)2＝1与圆N ：(x －3)2＋(y －8)2＝4上的动点，点C 在直线x ＋y ＝0上运动，则|AC|＋|BC|的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10【详解】解：设M(0，3)关于直线的对称点为P(－3，0)，且N(3，8) ∴故选A.题型四：轨迹问题典例1、设P ()1,0是圆O ：224x y +=内一定点，过P 作两条互相垂直的直线分别交圆O 于A 、B 两点，则弦AB 中点的轨迹方程是_________.【详解】设AB 的中点为(,)M x y ,设11(,)A x y ,22(,)B x y .则12122,2x x x y y y =+=+. (1)由题意,A B 均在圆O 上则有：222211224,4x y x y +=+=. (2) 又由条件有BP AP ⊥，即0BP AP ⋅=.即BP AP ⋅=1122(1,)(1,)x y x y --⋅--=1212121()0x x x x y y +-++= （3）将（1）代入（3）中有：121212121x x y y x x x +=+-=- （4）将（1）中两式平方相加得：2222121244()()x y x x y y +=+++. 即222222112211224422x y x x x x y y y y +=+++++ （5）将（2），（4）代入（5）得：224482(21)x y x +=+-. 即弦AB 中点的轨迹方程是2222230x y x +--=.故答案为：2222230x y x +--= 典例2、在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知()3,0A ，()0,3B ，动点M 满足，则OM 斜率k 的取值范围是（ ）A B C 3224⎤⎡-⎥⎢⎦⎣D 2334⎤⎡-⎥⎢⎦⎣解析：设点(,)M x y ，∵MB =，∴2222(3)4[(3)]x y x y +-=-+， 整理得：22(4)(1)8x y -++=，则点M 是以(4,)1-为圆心，2为半径的圆，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，故选：A 跟踪训练1、圆心为()2,3A -，半径等于5的圆的方程是( )A.22(2)(3)5x y -++=B.22(2)(3)5x y ++-=C.22(2)(3)25x y -++=D.22(2)(3)25x y ++-=解析：因为圆心(),a b 即为()2,3-，半径=5r ，所以圆的标准方程为：()()222325x y -++=，故选：C.【点睛】本题考查根据圆心和半径写出圆的标准方程，难度较易.2、已知圆C 的圆心在直线0x y -=上，过点(2,2)且与直线0x y +=相切，则圆C 的方程是______．【详解】根据题意，圆C 的圆心在直线0x y -=上，设圆C 的圆心为(,)a a ，半径为r . 又由圆C 过点(2,2)且与直线0x y +=相切，解得1a =，故圆心的坐标为(1,1)，则222(2)(2)2r a a =-+-=， 则圆C 的方程为22(1)(1)2x y -+-=.故答案为：22(1)(1)2x y -+-=．3、方程22220x y ax y ++++=表示圆，则实数a 的取值范围是__________． 解：方程22220x y ax y ++++=表示圆，222420a ∴+-⨯> 24a ∴>22a a ∴<->或，即()(),22,a ∈-∞-+∞，故答案为：()(),22,-∞-+∞4的直线l 与圆221x y +=有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）k由直线l 与圆221x y +=有公共点得D. 5、已知圆的方程为222880x y x y ++-+=，过点(1,0)P 作该圆的一条切线，切点为A ，那么线段PA 的长度为______．【详解】圆222880x y x y ++-+=，即22(1)(4)9x y ++-=，故(1,4)C -为圆心、半径3R =，6、已知圆C 的方程为222210x y x y ++-+=，当圆心C 到直线40kx y ++=的距离最大时，k 的值为（ ）A ．15- B ．-5 C ．15 D ．5解：因为圆C 的方程为222210x y x y ++-+=，配方可得22(1)(1)1x y ++-=， 所以圆的圆心为(1,1)C -半径1r =，直线40kx y ++=可化为4y kx =--，恒过定点(0,4)B -，当直线与BC 垂直时，圆心C 到直线40kx y ++=的距离最大，由斜率公式可得BC 的斜率为4150(1)--=---， 由垂直关系可得：(5)1k -⨯-=-，解得15k =-，故选：A ． 7、知点(),P x y 在圆C ：()()22111x y -+-=上，则2y x+的最小值是____________． 【详解】2y x +表示圆上的点和点()0,2-连线的斜率， 设直线2y kx +=，即20kx y --=，如图，当直线与圆相切时，此时直线的斜率最小，21211k k --∴=+ ，解得：43k =故答案为：438、若关于x 的方程222x x kx -+=+有且只有一个实数解，则实数k 的取值范围是____.解析：可设2122,2y x x y kx =-+=+，其中212y x x =-+可转化为()2211x y -+=，[]02x ,∈，可转化成直线与圆的位置关系问题，画出图形，再进行求解。
圆的方程知识点及题型归纳总结
圆的方程知识点及题型归纳总结由于题目对于具体的格式并没有限制，下面将逐步介绍圆的方程知识点以及一些相关题型的归纳总结。
一、圆的基本知识在开始介绍圆的方程之前，我们先来回顾一些与圆相关的基本知识：1. 定义：圆是由平面上到一个定点的距离恒等于一个定值的所有点的集合。
2. 元素：圆心、半径。
3. 直径：连接圆上任意两个点，并通过圆心的线段称为圆的直径，它的长度是半径的两倍。
4. 弦：连接圆上的两个点，并没有通过圆心的线段。
5. 弧：连接圆上的两个点，并在圆上的部分。
6. 弧长：弧所对应的圆周上的一部分的长度。
二、圆的方程类型及示例1. 标准方程：(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2在标准方程中，(a,b)表示圆心的坐标，r表示半径的长度。
例如，圆的方程为(x-2)^2 + (y+3)^2 = 25。
2. 一般方程：x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0在一般方程中，系数D、E、F的值决定了圆心与半径的关系，可以通过配方将一般方程转化为标准方程。
例如，圆的方程为x^2 + y^2 - 4x + 6y + 9 = 0。
三、常见的圆相关题型归纳1. 求圆心和半径：已知圆的方程，求圆心和半径的长度。
策略：将方程与标准方程形式进行对比，通过对坐标系上的平移和缩放得到圆心和半径。
示例：已知圆的方程为x^2 + y^2 - 6x - 4y + 9 = 0，则圆心为(3, 2)，半径为√10。
2. 求圆与直线的交点：已知圆心、半径和直线方程，求圆与直线的交点坐标。
策略：将直线方程代入圆的方程，解圆方程与直线方程联立方程组，求解得到交点坐标。
示例：已知圆的方程为(x-1)^2 + (y+2)^2 = 5，直线方程为y = 2x + 1，则交点坐标为(-1, -1)和(2, 5)。
3. 判断点的位置关系：已知圆心、半径和点的坐标，判断点与圆的位置关系。
策略：计算点到圆心的距离，与半径进行比较。
圆方程经典例题
高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程〔1〕标准方程，圆心a,b，半径为r；点M(x0,y0)与圆(x a)2(y b)2r2的位置关系：当，点在圆外当，点在圆上当，点在圆内〔2〕一般方程当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为当时，表示一个点；当时，方程不表示任何图形。
3〕求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。
确定一个圆需要三个独立条件，假设利用圆的标准方程，需求出a，b，r；假设利用一般方程，需要求出D，E，F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
1.假设过点P(a,a)可作圆x2+y2-2ax+a2+2a-3=0的两条切线,那么实数a的取值范围是.2．圆x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，那么a－b的取值范围是()A．(－∞，4)B．(－∞，0)C．(－4，＋∞)D．(4，＋∞)3.求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线y 0上的圆的标准方程并判断点P(2,4)与圆的关4.求半径为4，与圆x2y24x 2y 4 0相切，且和直线y0相切的圆的方程．5.求经过点A(0,5)，且与直线x 2y 0和2x y0都相切的圆的方程．6.直线l:x+y-2=0和圆C:x2+y2-12x-12y+54=0,那么与直线l和圆C都相切且半径最小的圆的标准方程是.7、设圆满足：(1)截y轴所得弦长为2；(2)被x轴分成两段弧，其弧长的比为3:1，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线l：x 2y0的距离最小的圆的方程．12+(y-1)2222=上的动点,那么|PN|-|PM|的8.点P(2,2),点M是圆O:x=上的动点,点N是圆O:(x-2)+y 最大值是()A.-1B.-2类型二：直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种情况：〔1〕设直线l:AxByC0222，圆心Ca,b到l的距离为，圆C:xa ybrAa BbC，那么有dB2A22〕过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，那么过此点的切线方程1、直线3x y 23 0和圆x2y24，判断此直线与圆的位置关系.2：直线x y 1与圆x2y22ay 0(a 0)没有公共点，那么a的取值范围是3：假设直线ykx2与圆(x2)2(y3)21有两个不同的交点，那么k的取值范围是.4．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的动点Q到直线3x＋4y＋8＝0距离的最小值为．圆(x3)2(y3)29上到直线3x4y110的距离为1的点有几个6.、假设直线y x m与曲线y 4 x2有且只有一个公共点，求实数m的取值范围.7.圆M:x2(y2)21,Q是x轴上的动点,QA、QB分别切圆M于A，B两点(1)假设点Q的坐标为〔1，0〕，求切线QA、QB的方程；42(2)求四边形QAMB的面积的最小值；(3)假设AB，求直线MQ的方程.3类型三：圆与圆的位置关系通过两圆半径的和〔差〕，与圆心距〔d〕之间的大小比拟来确定。
(完整版)高中数学圆的方程(含圆系)典型题型归纳总结
高中数学圆的方程典型题型归纳总结倘若充分挖掘本题的几何关系,不难得出二在以=为直径的圆上。
而‘丄刚类型一：巧用圆系求圆的过程在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。
常用的圆系方程有如下几种：⑴以宀为圆心的同心圆系方程:■ 1-■■_■■-⑵过直线’"T 与圆! 1的交点的圆系方程x2矽+£ + 兄（出+旳+U）三0⑶过两圆［「一、_1一 J八和圆〔-< I的交点的圆系方程IL I + ［此圆系方程中不包含圆：，直接应用该圆系方程，必须检验圆【是否满足题意, 谨防漏解。
当'=时，得到两圆公共弦所在直线方程（q・（耳-芯砂+（耳■用）=0例1:已知圆一::与直线「丁1相交于'L•两点，匚为坐标原点，若1 '-，求实数叫的值。
好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。
解：过直线" ——I与圆/ ! 1 -的交点的圆系方程为: b亠工一6戸+空+ 乂（戈+ 2丁一3）= 0 即又 n 满足方程①，则叱一口二：|故亡=：例2:求过两圆h ? _和’）I」’I _ 1：的交点且面积最小的圆的方程。
解：圆•「一一和•「」I —一的公共弦方程为疋+b - 2弘［0-1尸 + 0 —1尸-16］二0 即2z+2^-ll=0过直线L与圆''■ —「的交点的圆系方程为依题意, 匚在以’-为直径的圆上，则圆心（显然在直线?+/ - 25+l(2x+2y-11) = 0分析：此题最易想到设出「」—「•，由…一-得到---•，利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于的方程，最后验证得解依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心i 必在公共弦所在直线- ；■■ -上。
即- 二+二八，则例3:求证：m为任意实数时，直线(m—1)x + (2m —1)y= m—5恒过一定点P，并求P点坐标。
2024高考数学常考题型 第18讲 直线与圆常考6种题型总结(解析板)
第18讲直线与圆常考6种题型总结【考点分析】考点一：圆的定义：在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆考点二：圆的标准方程设圆心的坐标()C a b ，，半径为r ，则圆的标准方程为：()()222x a y b r -+-=考点三：圆的一般方程圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，圆心坐标：()22D E --，，半径：r =注意：①对于F E D 、、的取值要求：2240D E F +->当2240D E F +-=时，方程只有实数解22D E x y =-=-，．它表示一个点()22D E--，当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．②二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，表示圆的充要条件是22040A C B D E AF =≠⎧⎪=⎨⎪+->⎩考点四：以1122()()A x y B x y ，，，为直径端点的圆的方程为1212()()()()0x x x x y y y y -⋅-+--=考点五：阿波罗尼斯圆设A B ，为平面上相异两定点，且||2(0)AB a a =>，P 为平面上异于A B ，一动点且||||PA PB λ=（0λ>且1λ≠）则P 点轨迹为圆.考点六：直线与圆的位置关系设圆心到直线的距离d ，圆的半径为r ，则直线与圆的位置关系几何意义代数意义公共点的个数①直线与圆相交r d <0>∆两个②直线与圆相切r d =0=∆一个③直线与圆相离r d >0<∆0个注：代数法：联立直线方程与圆方程，得到关于x 的一元二次方程2Ax Bx C ++=考点七：直线与圆相交的弦长问题法一：设圆心到直线的距离d ，圆的半径为r ，则弦长222d r AB -=法二：联立直线方程与圆方程，得到关于x 的一元二次方程20Ax Bx C ++=，利用韦达定理，弦长公式即可【题型目录】题型一：圆的方程题型二：直线与圆的位置关系题型三：直线与圆的弦长问题题型四：圆中的切线切线长和切点弦问题题型五：圆中最值问题题型六：圆与圆的位置关系问题【典型例题】题型一：圆的方程【例1】AOB 顶点坐标分别为()2,0A ，()0,4B ，()0,0O ．则AOB 外接圆的标准方程为______．【答案】()()22125x y -+-=【解析】设圆的标准方程为()()222x a y b r -+-=，因为过点()2,0A ，()0,4B ，()0,0O 所以()()()()()()222222222200400a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+-=⎪⎩解得2125a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩则圆的标准方程为()()22125x y -+-=故答案为：()()22125x y -+-=【例2】已知圆22(1)(2)4x y +++=关于直线()200,0ax by a b ++=>>对称，则12a b+的最小值为（）A ．52B ．92C ．4D ．8故选：B【例3】过点(1,1),(3,5)A B -，且圆心在直线220x y ++=上的圆的方程为_______．【例4】设甲：实数3a <；乙：方程2230x y x y a +-++=是圆，则甲是乙的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例5】苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度100AB =米，拱高10OP =米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP 相距30米的支柱MN 的高度是（）米.（注意：≈3.162）A ．6.48B ．5.48C ．4.48D ．3.48【答案】A【解析】以O 为原点,以AB 所在直线为x 轴,以OP 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.设圆心坐标为（0，a ），则P (0,10),A (-50,0).可设圆拱所在圆的方程为()222x y a r +-=,由题意可得：()()222221050a r a r ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩解得：2120,16900a r =-=.所以所求圆的方程为()2212016900x y ++=.将x =-30代入圆方程,得:()290012016900y ++=,因为y >0,所以12040 3.162120 6.48y =≈⨯-=.故选：A.【例6】阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：在平面内到两定点距离之比为常数(0,1)k k k >≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 满足||||PA PB =，则PAB △面积的最大值是（）AB ．2C．D ．4【答案】C【解析】设经过点A ，B 的直线为x 轴，AB的方向为x 轴正方向，线段AB 的垂直平分线为y 轴，线段AB 的中点O 为原点，建立平面直角坐标系.则()1,0A -，()10B ,．设(),P x y，∵PA PB==两边平方并整理得22610x y x +-+=，即()2238x y -+=．要使PAB △的面积最大，只需点P到AB （x 轴）的距离最大时，此时面积为122⨯⨯故选：C.【题型专练】1．设点M 在直线210x y +-=上，点(3,0)和(0,1)均在M 上，则M 的方程为______________．2.经过三个点00()(02)()0A B C -,,,,的圆的方程为（）A ．(()2212x y ++=B ．(()2212x y +-=C ．(()2214x y ++=D ．(()2214x y +-=中的三点的一个圆的方程为____________．【答案】22420x y x y +--=或22460x y x y +--=或22814033x y x y +--=或2216162055x y x y +---=（答案不唯一，填其中一个即可）【解析】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=若圆过(0,0)，(4,0)，(4,2)三点，则0164020420F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪+++=⎩，解得420D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故圆的方程为22420x y x y +--=；若圆过(0,0)，(4,0)，(1,1)-三点，则0164020F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪-++=⎩，解得460D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故圆的方程为22460x y x y +--=；若圆过(0,0)，(1,1)-，(4,2)三点，则02020420F D E F D E F =⎧⎪-++=⎨⎪+++=⎩，解得831430D E F ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，故圆的方程为22814033x y x y +--=；若圆过(4,0)，(1,1)-，(4,2)三点，则16402020420D F D E F D E F ++=⎧⎪-++=⎨⎪+++=⎩，解得1652165D E F ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎩，故圆的方程为2216162055x y x y +---=.4.已知“m t ≤”是“220x y m ++=”表示圆的必要不充分条件，则实数t 的取值范围是（）A ．()1,-+∞B ．[)1,+∞C ．(),1-∞D ．(),1-∞-5.若两定点()1,0A ，()4,0B ，动点M 满足2MA MB =，则动点M 的轨迹围成区域的面积为（）．A ．2πB ．5πC ．3πD ．4π6.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两定点A ，B 的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy 中，A （－2，0），B （4，0），点P 满足PA PB＝12.设点P 的轨迹为C ，则下列结论正确的是（）A ．轨迹C 的方程为（x ＋4）2＋y 2＝9B ．在x 轴上存在异于A ，B 的两点D ，E 使得PD PE＝12C ．当A ，B ，P 三点不共线时，射线PO 是∠APB 的平分线D ．在C 上存在点M ，使得2MO MA =【答案】BC【分析】根据阿波罗尼斯圆的定义，结合两点间距离公式逐一判断即可.MA MO，则在O，A，M三点所能构成7．已知动点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离满足2=的三角形中面积的最大值是（）A．1B．2C．3D．4易知90MBO ∠=︒时，MOA S △取得最大值3．故选：C ．题型二：直线与圆的位置关系【例1】直线:10l kx y k -+-=与圆223x y +=的位置关系是（）A ．相交B ．相离C ．相切D ．无法确定【例2】（黑龙江哈尔滨市）若过点()4,3A 的直线l 与曲线()()22231x y -+-=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A ．⎡⎣B ．(C ．,33⎡-⎢⎣⎦D ．,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由题意知，直线的斜率存在，设直线的斜率为k ，则直线方程为()43-=-x k y ，即043=-+-k y kx ，圆心为()3,2，半径为1，所以圆心到直线得距离1211433222+≤-⇒≤+-+-=k k k kk d ，解得3333≤≤-k【例3】直线:20l kx y --=与曲线1C x -只有一个公共点，则实数k 范围是（）A ．(3,)(,3)+∞-∞- B ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．4(2,4]3⎧⎫⎨⎬D ．(-由图知，当24k <≤或故选：C【例4】已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(),A a b ，则下列说法正确的是（）A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相交C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切【答案】AD【分析】根据直线与圆的位置关系相应条件判断即可．【题型专练】1.直线():120l kx y k k R -++=∈与圆22:5C x y+=的公共点个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．1个或2个【答案】D【解析】将直线l 变形为()012=+-+y x k ，令⎩⎨⎧=+-=+0102y x ，解得⎩⎨⎧=-=12y x ，所以直线过定点()1,2-P ，因为()51222=+-，所以点P 在圆上，所以直线与圆相切或者相交2.已知关于x 的方程2(3)1k x ++有两个不同的实数根，则实数k 的范围______.当直线与半圆相切时，圆心O 到直线1l 的距离d 解得：13265k -=（舍），或13265k +=当直线过点(2,0)-时，可求得直线2l 的斜率2k =则利用图像得：实数k 的范围为3261,5⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭故答案为：3261,5⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭3.（2022全国新高考2卷）设点A (－2，3)，B (0(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝1有公共点，则a 的取值范围为_______．【答案】13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()2,3A -关于y a =对称的点的坐标为()2,23A a '--，()0,B a 在直线y a =上，所以A B '所在直线即为直线l ，所以直线l 为32a y x a -=+-，即()3220a x y a -+-=；圆()()22:321C x y +++=，圆心()3,2C --，半径1r =，依题意圆心到直线l 的距离1d =≤，即()()2225532a a -≤-+，解得1332a ≤≤，即13,32a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；故答案为：13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦题型三：直线与圆的弦长问题【例1】已知圆C ：()()22210x y a a +-=>与直线l ：x -y -1=0相交于A ，B 两点，若△ABC 的面积为2，则圆C 的面积为（）A ．πB ．2πC ．4πD ．6π【答案】C 【解析】如图，由圆C 方程可知圆心()0,1C ，半径为a ，由点到直线的距离公式可知圆心C到直线l 的距离d =又△ABC 的面积为11222S AB d =⋅==，解得AB =2222a ⎛+= ⎝⎭，则a =2，即圆C 的半径为2.则圆C 的面积为24S a ππ==.故选：C.【例2】已知圆22:60M x y x +-=，过点()1,2的直线1l ，2l ，…，()*n l n ∈N 被该圆M 截得的弦长依次为1a ，2a ，…，n a ，若1a ，2a ，…，n a 是公差为13的等差数列，则n 的最大值是（）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】D【分析】求出弦长的最小和最大值，根据等差数列的关系即可求出n 的最大值此时，直线DE 的解析式为：3y x =-+直线BC 的解析式为：=+1y x 圆心到弦BC 所在直线的距离：AM 连接BM ,由勾股定理得，()22=322=1AB -x y+=交于,A B两点，过,A B分别作l的垂线与x轴交于【例3】已知直线:10l mx y+--=与圆2216,C D两点，则当AB最小时，CD=（）A．4B．C．8D．故选：D【例4】（多选题）若直线l 经过点0(3,1)P -，且被圆2282120x y x y +--+=截得的弦长为4，则l 的方程可能是（）A ．3x =B ．3y =C ．34130x y --=D ．43150x y --=【题型专练】1.直线:l y x m =+与圆224x y +=相交于A ，B 两点，若AB ≥m 的取值范围为（）A ．[]22-,B ．⎡⎣C ．[]1,1-D ．,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】令圆224x y +=的圆心(0,0)O 到直线l 的距离为d ，而圆半径为2r =，弦AB 长满足AB ≥，则有1d =，又d =1≤，解得m ≤≤所以实数m 的取值范围为⎡⎣.故选：B2.在圆22420x y x y +-+=内，过点()1,0E 的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】圆22420x y x y +-+=化简为22(2)(1)5x y -++=可得圆心为(2,1),r -=易知过点()1,0E 的最长弦为直径，即||AC =而最短弦为过()1,0E 与AC 垂直的弦，圆心(2,1)-到()1,0E 的距离：d ==所以弦||BD ==所以四边形ABCD 的面积：12S AC BD =⋅=故选：D.3.若直线1y kx =+与圆221x y +=相交于B A ,两点，且60AOB ∠= (其中O 为原点)，则k 的值为（）A ．3-或3B ．3C ．D 4.直线l ：()()2110m x m y -+-+=与圆C ：2260x x y -+=相交于A ，B 两点，则AB 的最小值是（）A ．B ．2C ．D ．4【答案】D【解析】分别取1,2m m ==，则1010x y -+=⎧⎨-+=⎩，得11x y =⎧⎨=⎩，即直线l 过定点(1,1)P ，将圆C 化为标准方程：22(3)9x y -+=，圆心为(3,0)，半径3r =.如图，因为AB =，所以当圆心到直线距离最大时AB 最小.当CP 不垂直直线l 时，总有d CP <，故当CP l ⊥时AB 最小，因为CP =所以AB的最小值为4=.故选：D题型四：圆中的切线切线长和切点弦问题【例1】直线l 过点(2,1)且与圆22:(1)9C x y ++=相切，则直线l 的方程为______________．【例2】已知圆C ：228240x y y +--+=，且圆外有一点()0,2P ，过点P 作圆C 的两条切线，且切点分别为A ，B ，则AB =______.【例3】点P 在圆C ：()()22334x y -+-=上，()2,0A ，()0,1B ，则PBA ∠最大时，PB =___________.【答案】3【分析】根据题意PBA ∠最大时，直线【详解】点P 在圆C ：()23x -+如图将BA 绕点B 沿逆时针方向旋转，当刚好与圆当旋转到与圆相切于点2P 时，∠【例4】过点()2,1P 作圆O ：221x y +=的切线，切点分别为,A B ，则下列说法正确的是（）A．PA B ．四边形PAOB 的外接圆方程为222x y x y +=+C ．直线AB 方程为21y x =-+D ．三角形PAB 的面积为85【题型专练】1.过点(0,2)作与圆2220x y x +-=相切的直线l ，则直线l 的方程为（）A ．3480x y -+=B ．3480x y +-=C ．0x =D ．1x =2.直线40x y +-=平分圆222:2250C x y bx by b +---+=的周长，过点()1,P b --作圆C 的一条切线，切点为Q ，则PQ =（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B【详解】圆222:2250C x y bx by b +---+=的圆心为(,)C b b ，半径为r =因为直线40x y +-=平分圆222:2250C x y bx by b +---+=的周长，所以直线40x y +-=经过(,)C b b ，所以40b b +-=，故2b =，由已知()1,2P --，(2,2)C ，||PC ，圆的半径为3，所以4PQ =，故选：B.3.过点(2,2)P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为_______．【答案】2+-x y 0=【分析】由题知()0,2A 、()2,0B ，进而求解方程即可.【详解】解：方法1：由题知，圆224x y +=的圆心为()0,0，半径为2r =，所以过点(2,2)P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为()0,2A 、()2,0B ，所以1AB k =-，所以直线AB 的方程为2y x =-+，即2+-x y ；方法2：设()11,A x y ，()22,B x y ，则由2211111142.12x y y y x x ⎧+=⎪-⎨=-⎪-⎩，可得112x y +=，同理可得222x y +=，所以直线AB 的方程为2+-x y 0=.故答案为：2+-x y 题型五：圆中最值问题【例1】已知l ：4y x =+，分别交x ，y 轴于A ，B 两点，P 在圆C ：224x y +=上运动，则PAB △面积的最大值为（）A ．82-B ．1682-C ．842+D ．162+【答案】C 【解析】如图所示，以AB 为底边，则PAB △面积最大等价于点P 到l 距离最大，而点P 到l 距离最大值等于O 到l 的距离加半径看，O 到l 的距离422d =O 的半径2r =，()4,0A -，()0,4B ，则42AB =PAB △面积的最大值为()14222822⨯=+故选：C【例2】已知点P 是圆()()2241625x y -+-=上的点，点Q 是直线0x y -=上的点，点R 是直线125240x y -+=上的点，则PQ QR +的最小值为（）A ．7B ．335C ．6D ．295【答案】B【分析】设圆心()1,6C ，记点()6,1E ，作圆()()224:1625C x y -+-=关于直线0x y -=的对称圆()()224:6125E x y -+-=，计算出圆心E 到直线125240x y -+=的距离d ，结合对称性可得出PQ QR +的最小值为25d -，即可得解.【详解】设圆心()1,6C ，记点()6,1E ，作圆()()224:1625C x y -+-=关于直线0x y -=的对称圆()()224:6125E x y -+-=，由对称性可知CQ EQ =，点E 到直线125240x y -+=的距离为()221265247125d ⨯-+==+-，【例3】已知直线:320l x y ++=与x 、轴的交点分别为A 、B ，且直线1:310l mx y m --+=与直线2:310l x my m +--=相交于点P ，则PAB 面积的最大值是（）A ．103+B ．103+C D【例4】已知圆()()22:254C x y -+-=的圆心为C ，T 为直线220x y --=上的动点，过点T 作圆C 的切线，切点为M ，则TM TC ⋅的最小值为（）A ．10B ．16C ．18D ．20()2TM TC TC CM TC TC CM ⋅=+⋅=+ CM TM ⊥ ，CM CT CM CT ∴⋅=⋅ 24TM TC TC ∴⋅=- ，【例5】已知复数z 满足1i 1z +-=（i 为虚数单位），则z 的最大值为（）A ．2B 1C 1D ．1【答案】B【解析】令i z x y =+，x ，y ∈R ，则()1i 11i 1z x y +-=++-=，即()()22111x y ++-=，表示点(),x y 与点()1,1-距离为1的点集，此时，i z x y =-()()22111x y ++-=上点到原点距离，所以z 的最大值，即为圆上点到原点的距离的最大值，，且半径为1，1．故选：B ．【例6】若0x =，则2yx -的取值范围为【答案】11[,]22-【解析】因为0x +=x =-所以()2210x y x +=≤如图，此方程表示的是圆心在原点，半径为1的半圆,2yx -的几何意义是点(),x y 与点()2,0连线的斜率如图，()()0,1,0,1A B -，()2,0P101022PA k -==--，101022PB k --==-所以2y x -的取值范围为11[,]22-故选：D【例】AB 为⊙C ：(x －2)2＋(y －4)2＝25的一条弦，6AB =，若点P 为⊙C 上一动点，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．[0，100]B ．[－12，48]C ．[－9，64]D ．[－8，72]【答案】D 【解析】【分析】取AB 中点为Q ,利用数量积的运算性质可得2||9PA PB PQ ⋅=- ，再利用圆的性质可得||PQ 取值范围，即求.【详解】取AB 中点为Q ，连接PQ2PA PB PQ ∴+= ，PA PB BA -= 221()()4PA PB PA PB PA PB ⎡⎤∴⋅=+--⎣⎦ 2214||||4PQ BA ⎡⎤=-⎣⎦ ，又||6BA = ，4CQ =2||9PA PB PQ ∴⋅=-，∵点P 为⊙C 上一动点，∴max min ||9,|5|15PQ Q P C Q Q C =+=-==PA PB ∴⋅的取值范围[－8，72].故选：D.【题型专练】1．直线20x y +-=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆22(2)2x y ++=上，则ABP 面积的取值范围是（）A ．[]2,6B ．[]4,8C ．D ．⎡⎣2.（多选题）已知点P 在圆O :224x y +=上,直线l :43120x y +-=分别与x 轴,轴交于,A B 两点,则（）A ．过点B 作圆O 的切线,则切线长为B ．满足0PA PB ⋅=的点P 有3个C ．点P 到直线l 距离的最大值为225D ．PA PB +的最小值是1【答案】ACD【分析】对于A,根据勾股定理求解即可;对于B,0PA PB ⋅=即PA PB ⊥,所以点P 在以AB 为直径的圆上,设AB 的中点为M ,写出圆M 的方程,根据两个圆的交点个数即可判断正误;对于C,根据圆上一点到直线的最大3．已知动点A ，B 分别在圆1C ：()2221x y ++=和圆2C ：()2244x y -+=上，动点P 在直线10x y -+=上，则PA PB +的最小值是_______【答案】3-##3-+如图，设点()10,2C -关于直线10x y -+=对称的点为()030,C x y ，所以，00002121022y x x y +⎧=-⎪⎪⎨-⎛⎫⎪-+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得003,1x y =-=，即()33,1C -，所以，3252C C =所以，32523PA B C P C r R --+=-≥，即PA PB +的最小值是523-.故答案为：523-4．过直线3450x y +-=上的一点P 向圆()()22344x y -+-=作两条切线12l l ，．设1l 与2l 的夹角为θ，则θ的最大值为______．【答案】π3##60︒【分析】由题可得圆心为()3,4C ，半径为2，设12l l ，与圆C 切于,A B ，根据圆的性质结合条件可得1sin sin22APC θ∠=≤，进而即得.【详解】由()()22344x y -+-=，可得圆心为()3,4C ，半径为2，设12l l ，与圆C 切于,A B ，则2APB APC θ=∠=∠，在Rt APC △中，2AC =，2sin sin 2CA APC CP CPθ∠===又()3,4C 到直线3450x y +-=的距离为223344534⨯+⨯-+所以4CP ≥，1sin sin22APC θ∠=≤，所以APC ∠的最大值为π6，即θ的最大值为π3.故答案为：π3.5．已知圆22:410,+--=M x y x (),P x y 是圆M 上的动点，则3t x =+的最大值为_________；22x y +的最小值为____________．6.18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如z OZ =，也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离．已知复数z 满足2z =，则34i z --的最大值为（）A ．3B ．5C ．7D ．9【答案】C【解析】2z = ，z ∴对应的点(),Z x y 的轨迹为圆224x y +=；34i z -- 的几何意义为点(),Z x y 到点()3,4的距离，max 34i 27z ∴--==.故选：C.题型六：圆与圆的位置关系问题【例1】已知圆221:1C x y +=与圆222:(3)(4)4C x y -+-=，则圆1C 与2C 的位置关系是（）A ．内含B ．相交C ．外切D ．相离【例2】已知点P 在圆O ：224x y +=上，点()30A -,，()0,4B ，满足AP BP ⊥的点P 的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】【分析】设(,)P x y ，轨迹AP BP ⊥ 可得点P 的轨迹方程，即可判断该轨迹与圆的交点个数.设点(,)P x y ，则224x y +=，且(3,)(,4)AP x y BP x y =+=- ，，由AP BP ⊥，得22(3)(4)340AP BP x x y y x y x y ⋅=++-=++-= ，即22325()(2)24x y ++-=，故点P 的轨迹为一个圆心为3(,2)2-、半径为52的圆，则两圆的圆心距为52，半径和为59222+=，半径差为51222-=，有159222<<，所以两圆相交，满足这样的点P 有2个.故选：B.【例3】圆221:22260O x y x y +---=与圆222:820O x y y +--=的公共弦长为（）A ．B ．C ．D ．【例4】已知圆C ：()()22681x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（）A ．12B ．11C ．10D ．9【答案】B【分析】由题意得P 点轨迹，转化为有交点问题【详解】90APB ∠=︒，记AB 中点为O ，则||OP m =，故P 点的轨迹是以原点为圆心，m 为半径的圆，又P 在圆C 上，所以两圆有交点，则|1|||1m OC m -≤≤+，而||10OC =，得911m ≤≤．故选：B【题型专练】1．写出与圆221x y +=和圆()2264x y -+=都相切的一条直线的方程______.2.（2022全国新高考1卷）写出与圆x 2＋y 2＝1和(x －3)2＋(y －4)2＝16都相切的一条直线的方程_______．【答案】3544y x =-+或7252424y x =-或1x =-【解析】【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1，圆22(3)(4)16x y -+-=的圆心1O 为(3,4)，半径为4，5=，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l 时，因为143OO k =，所以34l k =-，设方程为3(0)4y x t t =-+>O 到l 的距离1d ==，解得54t =，所以l 的方程为3544y x =-+，当切线为m 时，设直线方程为0kx y p ++=，其中0p >，0k <，由题意14⎧=⎪⎪=，解得7242524k p ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，7252424y x =-当切线为n 时，易知切线方程为1x =-，故答案为：3544y x =-+或7252424y x =-或1x =-.3.（多选题）圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则有（）A ．公共弦AB 所在直线的方程为0x y -=B ．公共弦AB 所在直线的方程为10x y +-=C ．公共弦ABD ．P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB 14.已知点()()2,3,5,1A B -，则满足点A 到直线l 的距离为1，点B 到直线l 距离为3的直线l 的条数有（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】以A 为圆心，1为半径，B 为圆心，3为半径分别画圆，将所求转化为求圆A 与圆B 的公切线条数，判断两圆的位置关系，从而得公切线条数.【详解】以A 为圆心，1为半径，B 为圆心，3为半径分别画圆，如图所示，由题意，满足点A 到直线l 的距离为1，点B 到直线l 距离为3的直线l 的条数即为圆A 与圆B 的公切线条数，因为513AB ==>+，所以两圆外离，所以两圆的公切线有4条，即满足条件的直线l 有4条.故选：D5.已知圆()()221:111C x y -++=，圆()()222:459C x y -+-=，点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，点P 为x 轴上的动点，则PN PM -的最大值是（）A ．4B ．9C ．7D ．2【答案】B【解析】【分析】分析可知()21max 4PN PM PC PC -=-+，设点()24,5C 关于x 轴的对称点为()24,5C '-，可得出22PC PC '=，求出21PC PC '-的最大值，即可得解.【详解】圆()()221:111C x y -++=的圆心为()11,1C -，半径为1，圆()()222:459C x y -+-=的圆心为()24,5C ，半径为3．()max min max PN PM PN PM -=- ，又2max 3PN PC =+，1min 1PMPC =-，()()()2121max 314PN PM PC PC PC PC ∴-=+--=-+．点()24,5C 关于x 轴的对称点为()24,5C '-，2121125PC PC PC PC C C ''-=-≤==，所以，()max 549PN PM -=+=，故选：B ．。
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高中数学圆的方程典型题型归纳总结类型一：巧用圆系求圆的过程在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。
常用的圆系方程有如下几种：⑴以为圆心的同心圆系方程⑵过直线与圆的交点的圆系方程⑶过两圆和圆的交点的圆系方程此圆系方程中不包含圆，直接应用该圆系方程，必须检验圆是否满足题意，谨防漏解。
当时，得到两圆公共弦所在直线方程例1：已知圆与直线相交于两点，为坐标原点，若，求实数的值。
分析：此题最易想到设出，由得到，利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于的方程，最后验证得解。
倘若充分挖掘本题的几何关系，不难得出在以为直径的圆上。
而刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。
解：过直线与圆的交点的圆系方程为：，即………………….①依题意，在以为直径的圆上，则圆心（）显然在直线上，则，解之可得又满足方程①，则故例2：求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程。
解：圆和的公共弦方程为，即过直线与圆的交点的圆系方程为，即依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心必在公共弦所在直线上。
即，则代回圆系方程得所求圆方程例3:求证：m为任意实数时，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过一定点P，并求P点坐标。
分析：不论m为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。
解：由原方程得m(x ＋2y －1)－(x ＋y －5)＝0，①即⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-+=-+4y 9x 05y x 01y 2x 解得， ∴直线过定点P （9，－4）注：方程①可看作经过两直线交点的直线系。
例4已知圆C ：（x －1）2＋（y －2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y －7m －4=0（m ∈R ）. （1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点； （2）求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程. 剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得. （1）证明：l 的方程（x +y －4）+m （2x +y －7）=0. 2x +y －7=0， x =3， x +y －4=0， y =1，即l 恒过定点A （3，1）.∵圆心C （1，2），｜AC ｜＝5＜5（半径）， ∴点A 在圆C 内，从而直线l 恒与圆C 相交于两点. （2）解：弦长最小时，l ⊥AC ，由k AC ＝－21， ∴l 的方程为2x －y －5=0.评述：若定点A 在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢？思考讨论类型二：直线与圆的位置关系∵m ∈R ，∴ 得例5、若直线m x y +=与曲线24x y -=有且只有一个公共点，求实数m 的取值范围.解：∵曲线24x y -=表示半圆)0(422≥=+y y x ，∴利用数形结合法，可得实数m 的取值范围是22<≤-m 或22=m .变式练习：1.若直线y=x+k 与曲线x=21y -恰有一个公共点，则k 的取值范围是___________.解析：利用数形结合. 答案：－1＜k ≤1或k=－2例6 圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？分析：借助图形直观求解．或先求出直线1l 、2l 的方程，从代数计算中寻找解答． 解法一：圆9)3()3(22=-+-y x 的圆心为)3,3(1O ，半径3=r ．设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324311343322<=+-⨯+⨯=d ．如图，在圆心1O 同侧，与直线01143=-+y x 平行且距离为1的直线1l 与圆有两个交点，这两个交点符合题意．又123=-=-d r ．∴与直线01143=-+y x 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意． ∴符合题意的点共有3个．解法二：符合题意的点是平行于直线01143=-+y x ，且与之距离为1的直线和圆的交点．设所求直线为043=++m y x ，则1431122=++=m d ，∴511±=+m ，即6-=m ，或16-=m ，也即06431=-+y x l ：，或016432=-+y x l ：．设圆9)3()3(221=-+-y x O ：的圆心到直线1l 、2l 的距离为1d 、2d ，则 34363433221=+-⨯+⨯=d ，143163433222=+-⨯+⨯=d ．∴1l 与1O 相切，与圆1O 有一个公共点；2l 与圆1O 相交，与圆1O 有两个公共点．即符合题意的点共3个．说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解： 设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324311343322<=+-⨯+⨯=d ．∴圆1O 到01143=-+y x 距离为1的点有两个．显然，上述误解中的d 是圆心到直线01143=-+y x 的距离，r d <，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1． 类型三：圆中的最值问题例7：圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是解：∵圆18)2()2(22=-+-y x 的圆心为（2，2），半径23=r ，∴圆心到直线的距离r d >==25210，∴直线与圆相离，∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是262)()(==--+r r d r d .例8 (1)已知圆1)4()3(221=-+-y x O ：，),(y x P 为圆O 上的动点，求22y x d +=的最大、最小值． (2)已知圆1)2(222=++y x O ：，),(y x P 为圆上任一点．求12--x y 的最大、最小值，求y x 2-的最大、最小值．分析：(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决． 解：(1)(法1)由圆的标准方程1)4()3(22=-+-y x ．可设圆的参数方程为⎩⎨⎧+=+=,sin 4,cos 3θθy x （θ是参数）．则θθθθ2222sin sin 816cos cos 69+++++=+=y x d)cos(1026sin 8cos 626φθθθ-+=++=（其中34tan =φ）． 所以361026max =+=d ，161026min =-=d ．(法2)圆上点到原点距离的最大值1d 等于圆心到原点的距离'1d 加上半径1，圆上点到原点距离的最小值2d 等于圆心到原点的距离'1d 减去半径1．所以6143221=++=d ．4143222=-+=d ．所以36max =d ．16min =d ．(2) (法1)由1)2(22=++y x 得圆的参数方程：⎩⎨⎧=+-=,sin ,cos 2θθy x θ是参数．则3cos 2sin 12--=--θθx y ．令t =--3cos 2sin θθ， 得t t 32cos sin -=-θθ，t t 32)sin(12-=-+φθ1)sin(1322≤-=+-⇒φθt t 433433+≤≤-⇒t ． 所以433max +=t ，433min -=t ．即12--x y 的最大值为433+，最小值为433-．此时)cos(52sin 2cos 22φθθθ++-=-+-=-y x ． 所以y x 2-的最大值为52+-，最小值为52--． (法2)设k x y =--12，则02=+--k y kx ．由于),(y x P 是圆上点，当直线与圆有交点时，如图所示，两条切线的斜率分别是最大、最小值． 由11222=++--=k k k d ，得433±=k ． 所以12--x y 的最大值为433+，最小值为433-．令t y x =-2，同理两条切线在x 轴上的截距分别是最大、最小值． 由152=--=m d ，得52±-=m ．所以y x 2-的最大值为52+-，最小值为52--．例9、已知对于圆1)1(22=-+y x 上任一点),(y x P ，不等式0≥++m y x 恒成立，求实数m 的取值范围．设圆1)1(22=-+y x 上任一点)sin 1,(cos θθ+P )2,0[πθ∈∴θcos =x ，θsin 1+=y ∵0≥++m y x 恒成立 ∴0sin 1cos ≥+++m θθ即)sin cos 1(θθ++-≥m 恒成立．∴只须m 不小于)sin cos 1(θθ++-的最大值． 设1)4sin(21)cos (sin -+-=-+-=πθθθu∴12max -=u 即12-≥m ．说明：在这种解法中，运用了圆上的点的参数设法．一般地，把圆222)()(r b y a x =-+-上的点设为)sin ,cos (θθr b r a ++()2,0[πθ∈)．采用这种设法一方面可减少参数的个数，另一方面可以灵活地运用三角公式．从代数观点来看，这种做法的实质就是三角代换．。