高中数学--圆的方程知识点题型归纳
高中数学有关圆-椭圆-双曲线-抛物线的详细知识点
<一>圆的方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心O（a，b），半径r。
（1）圆的一般式方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0此方程可用于解决两圆的位置关系：配方化为标准方程：（x+D/2）^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4其圆心坐标：（-D/2,-E/2）半径为r=√[（D^2+E^2-4F）]/2此方程满足为圆的方程的条件是:D^2+E^2-4F>0若不满足,则不可表示为圆的方程（2）点与圆的位置关系点P（X1,Y1) 与圆(x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系：⑴当(x1－a)^2+(y1－b) ^2>r^2时，则点P在圆外。
⑵当(x1－a)^2+(y1－b) ^2=r^2时，则点P在圆上。
⑶当(x1－a)^2+(y1－b) ^2<r^2时，则点P在圆内。
圆与直线的位置关系判断平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。
利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。
2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x 轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2。
令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时，直线与圆相离；当x1<x=-C/A<x2时，直线与圆相交；半径r，直径d在直角坐标系中，圆的解析式为：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2;x^2+y^2+Dx+Ey+F=0=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)其实只要保证X方Y方前系数都是1就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2)这可以作为一个结论运用的且r=根号（圆心坐标的平方和-F）<二>椭圆的标准方程椭圆的标准方程分两种情况：当焦点在x轴时,椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；当焦点在y轴时,椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；其中a>0，b>0。
高中数学圆的方程知识点题型归纳
高中数学圆的方程知识点题型归纳第一讲圆的方程一、知识清单一）圆的定义及方程圆的定义是平面内距离定点距离相等的点的轨迹。
圆的标准方程为 (y-b)2=r2，一般方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0，其中圆心为 (a,b)，半径为 r。
标准方程和一般方程可以互相转化。
二）点与圆的位置关系点 M(x,y) 与圆 (x-a)2+(y-b)2=r2 的位置关系有三种情况：在圆外、在圆上和在圆内。
三）温馨提示求圆的方程时，可以利用圆的几何性质简化运算，如圆心在过切点且与切线垂直的直线上、圆心在任一弦的中垂线上、两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。
此外，中点坐标公式也是常用的计算方法。
二、典例归纳本讲内容主要是圆的方程和点与圆的位置关系。
在求圆的方程时，需要注意利用圆的几何性质简化运算。
同时，中点坐标公式也是常用的计算方法。
在实际问题中，需要根据具体情况选择合适的方法来解决问题。
且圆心在直线2x+y=0上，求该圆的方程。
变式3】已知圆C的方程为x2+y2-4x-6y+9=0，直线l的方程为2x+3y-6=0，求圆C与直线l的交点坐标。
变式4】已知圆C的方程为x2+y2-2x+4y-4=0，直线l的方程为x-y+2=0，求圆C与直线l的交点坐标。
方法总结：1.对于一般的圆方程，可以通过平移变换将其化为标准方程，然后根据圆的几何性质求出圆心和半径，进而写出标准方程。
2.对于已知圆心和半径的问题，可以利用圆的几何性质直接写出标准方程。
3.对于圆与直线的交点问题，可以将直线方程代入圆方程中解方程，或者将圆方程代入直线方程中解方程，求出交点坐标。
变式3】给定四个点A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(-1,2)，判断它们能否在同一个圆上，并说明原因。
这题可以通过计算四边形ABCD的两条对角线的中垂线是否相交来判断四个点是否在同一个圆上。
首先可以计算出AC的中点坐标为M(1.5.2.5)，斜率为-3/2，所以AC的中垂线的方程为y-2.5 = 2/3(x-1.5)。
高中数学圆与方程知识点归纳与常考题型专题练习(附解析)
高中数学圆与方程知识点归纳与常考题型专题练习(附解析) 知识点：4.1.1 圆的标准方程1、圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程2、点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外（2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上（3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内4.1.2 圆的一般方程1、圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x ，圆心为半径为2、圆的一般方程的特点：(1)①x2和y2的系数相同，不等于0．②没有xy 这样的二次项．(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
4.2.1 圆与圆的位置关系1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2,2(E D --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当r d >时，直线l 与圆C 相离；（2）当r d =时，直线l 与圆C 相切；（3）当r d <时，直线l 与圆C 相交；直线、圆的位置关系注意：1.直线与圆的位置关系 直线与圆相交，有两个公共点d R ⇔<⇔方程组有两组不同实数解(0)∆> 直线与圆相切，只有一个公共点d R ⇔=⇔方程组有唯一实数解(0)∆=直线与圆相离，没有公共点d R ⇔>⇔方程组无实数解(0)∆<2.求两圆公共弦所在直线方程的方法：将两圆方程相减。
高中数学必修2--圆与方程知识点归纳总结
圆与方程知识点1.圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-.特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+.2.点与圆的位置关系：(1).设点到圆心的距离为d，圆半径为r：a.点在圆内d＜r；b.点在圆上d=r；c.点在圆外d＞r(2).给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-.①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-⇔②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-⇔（③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-⇔（3）涉及最值：1圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值min PB BN BC r ==-max PB BM BC r==+2圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值min PA AN r AC==-max PA AM r AC==+思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ）3.圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .(1)当0422>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心⎪⎭⎫⎝⎛--2,2E D C ，半径2422FE D r -+=.(2)当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D .(3)当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形.注：方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且0422 AF E D -+.4.直线与圆的位置关系：直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-圆心到直线的距离22B A C Bb Aa d +++=1）无交点直线与圆相离⇔⇔>r d ；2）只有一个交点直线与圆相切⇔⇔=r d ；3）有两个交点直线与圆相交⇔⇔<r d ；弦长|AB|=222d r -还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组⎩⎨⎧=++++=++022F Ey Dx y x C By Ax 求解，通过解的个数来判断：（1）当0>∆时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交；（2）当0=∆时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切；（3）当0<∆时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；5.两圆的位置关系（1）设两圆2121211)()(:r b y a x C =-+-与圆2222222)()(:r b y a x C =-+-，圆心距221221)()(b b a a d -+-=1条公切线外离421⇔⇔+>r r d ；2条公切线外切321⇔⇔+=r r d ；3条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ；4条公切线内切121⇔⇔-=r r d ；5无公切线内含⇔⇔-<<210r r d ；外离外切相交内切（2）两圆公共弦所在直线方程圆1C ：221110x y D x E y F ++++=，圆2C ：222220x y D x E y F ++++=，则()()()1212120D D x E E y F F -+-+-=为两相交圆公共弦方程.补充说明：1若1C 与2C 相切，则表示其中一条公切线方程；2若1C 与2C 相离，则表示连心线的中垂线方程.（3）圆系问题过两圆1C ：221110x y D x E y F ++++=和2C ：222220x y D x E y F ++++=交点的圆系方程为()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=（1λ≠-）补充：1上述圆系不包括2C ；22）当1λ=-时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）3过直线0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=交点的圆系方程为()220x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=6.过一点作圆的切线的方程：(1)过圆外一点的切线：①k 不存在，验证是否成立②k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即⎪⎩⎪⎨⎧+---=-=-1)()(2110101R x a k y b R x x k y y 求解k，得到切线方程【一定两解】例1.经过点P(1，—2)点作圆(x+1)2+(y —2)2=4的切线，则切线方程为。
高中数学圆与方程知识点
高中数学圆与方程知识点分析1. 圆的方程：（1）标准方程：222()()x a y b r -+-=（圆心为A(a,b),半径为r ）（2）圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ）圆心（-2D ，-2E ）半径F E D 42122-+ 2. 点与圆的位置关系的判断方法：根据点与圆心的距离d 与r 在大小关系判断 3. 直线与圆的位置关系判断方法（1）几何法：由圆心到直线的距离和圆的半径的大小关系来判断。
d=r 为相切，d>r 为相交，d<r 为相离。
适用于已知直线和圆的方程判断二者关系，也适用于其中有参数，对参数谈论的问题。
利用这种方法，可以简单的算出直线与圆相交时的相交弦的长，以及当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最远、最近距离等。
（2）代数法：由直线与圆的方程联立得到关于x 或y 的一元二次方程,然后由判别式△来判断。
△=0为相切，△>0为相交，△<0为相离。
利用这种方法，可以很简单的求出直线与圆有交点时的交点坐标。
4．圆与圆的位置关系判断方法（1）几何法：两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C 相离；2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C 外切；3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C 相交；4）当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C 内切； 5）当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C 内含；（2）代数法：由两圆的方程联立得到关于x 或y 的一元二次方程, 然后由判别式△来判断。
△=0为外切或内切，△>0为相交，△<0为相离或内含。
若两圆相交，两圆方程相减得公共弦所在直线方程。
5. 直线与圆的方程的应用：利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系题型一 求圆的方程例1.求过点A( 2,0)，圆心在(3, 2)圆的方程。
圆高二数学选择性必修第一册)(解析版)
专题6圆目录一、热点题型归纳【题型一】求圆1：圆心在直线上求方程......................................................................................1【题型二】求圆2：外接圆..............................................................................................................2【题型三】求圆3：内切圆..............................................................................................................5【题型四】点与圆的关系...............................................................................................................7【题型五】弦长与弦心距.................................................................................................................9【题型六】到直线距离为定值的圆上点个数............................................................................10【题型七】弦长与弦心距：弦心角...............................................................................................12【题型八】圆过定点.......................................................................................................................13【题型九】两圆位置关系...............................................................................................................15【题型十】两圆公共弦.................................................................................................................17培优第一阶——基础过关练...........................................................................................................18培优第二阶——能力提升练...........................................................................................................21培优第三阶——培优拔尖练.. (24)【题型一】求圆1：圆心在直线上求方程【典例分析】（2022·全国·高二）已知圆M 的圆心在直线40x y +-=上，且点(1,0)A ，(0,1)B 在M 上，则M 的方程为（）A ．22(2)(2)13x y -+-=B ．22(1)(1)1x y -+-=C ．22(2)(2)5x y -+-=D ．22(1)(1)5x y +++=【答案】C【分析】由题设写出AB 的中垂线，求其与40x y +-=的交点即得圆心坐标，再应用两点距离公式求半径，即可得圆的方程.【详解】因为点(1,0)A ，(0,1)B 在M 上，所以圆心在AB 的中垂线0x y -=上．由400x y x y +-=⎧⎨-=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，即圆心为(2,2)，则半径r =，所以M 的方程为22(2)(2)5x y -+-=．故选：C1.（2022·安徽省亳州市第一中学高二阶段练习）已知圆C 过点(7,2)A -，(4,1)B ，且圆心在x 轴上，则圆C 的方程是（）A ．22(5)8x y -+=B ．22(6)5x y -+=C ．22(5)4x y -+=D ．22(4)13x y -+=【答案】B【分析】根据圆心在x 轴上，设出圆C 的方程，把点(7,2)A -，(4,1)B 的坐标代入圆的方程即可求出答案.【详解】因为圆C 的圆心在x 轴上，所以设圆C 的方程为()222x a y r -+=，因为点(7,2)A -，(4,1)B 在圆C 上，所以()()22227441a r a r ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得26,5a r ==，所以圆C 的方程是22(6)5x y -+=.故选：B.2.（2021·山西·太原市第六十六中学校高二期中）过点(2,1)M -，且经过圆224440x y x y +--+=与圆2240x y +-=的交点的圆的方程为（）A ．2260x y x y +++-=B ．2280x y x y ++--=C ．2220x y x y +-+-=D ．2240x y x y +---=【答案】A 【分析】根据题意，设所求圆的方程为()222244440x y x y x y λ+--+++-=，再待定系数求解即可．【详解】解：由圆系方程的性质可设所求圆的方程为()222244440x y x y x y λ+--+++-=，因为所求圆过点(2,1)M -，所以()()()222221424142140λ⎡⎤+--⨯-⨯-+++--=⎣⎦，解得：5λ=-所以所求圆的方程为：2260x y x y +++-=故选：A【题型二】求圆2：外接圆【典例分析】（2022·福建漳州·高二期末）在平面几何中，将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆.如线段的最小覆盖圆就是以该线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆就是该三角形的外接圆.若(2,0)A -，(2,0)B ，(0,4)C ，则ABC 的最小覆盖圆的半径为（）A ．32B ．2C ．52D ．3【答案】C【分析】根据新定义只需求锐角三角形外接圆的方程即可得解.【详解】(2,0)A -，(2,0)B ，(0,4)C ，ABC ∴△为锐角三角形，ABC ∴△的外接圆就是它的最小覆盖圆，设ABC 外接圆方程为220x y Dx Ey F ++++=，则420420,1640D F D F E F -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得034D E F =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩ABC ∴△的最小覆盖圆方程为22340x y y +--=，即22325()24x y +-=，ABC ∴△的最小覆盖圆的半径为52.故选：C1.（2022·全国·高二专题练习）已知△ABC 的顶点坐标分别为A （1，3），B （﹣2，2），C （1，﹣7），则该三角形外接圆的圆心及半径分别为（）A ．（2，﹣2）B ．（1，﹣2）C ．（1，﹣2），5D ．（2，﹣2），5【答案】C【分析】根据题意，设三角形外接圆的圆心为M ，其坐标为（a ，b ），半径为r ，由|MA |＝|MC |和|MA |＝|MB |，求出a 、b 的值，可得圆心坐标，进而可得r 的值，即可得答案.【详解】根据题意，设三角形外接圆的圆心为M ，其坐标为（a ，b ），半径为r ，△ABC 的顶点坐标分别为A （1，3），B （﹣2，2），C （1，﹣7），|MA |＝|MC |，必有b ＝﹣2，|MA |＝|MB |，则有（a ﹣1）2+25＝（a +2）2+16，解可得a ＝1，则r ＝|MA |＝5；即圆心为（1，﹣2），半径r ＝5；故选：C.2.（2021·全国·高二专题练习）已知曲线22020y x x =+-与x 轴交于M ，N 两点，与y 轴交于P 点，则MNP △外接圆的方程为（）A ．22201920200x y x y ++--=B ．22202120200x y x y ++--=C ．22201920200x y x y +++-=D ．22202120200x y x y +++-=【答案】C【分析】设MNP △外接圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，分别令0,0x y ==，结合韦达定理求得D ,E ,F ,代入即可求得圆的方程.【详解】设MNP △外接圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，点Q 是MNP △的外接圆与y 轴的另一个交点，分别令0,0x y ==，则20y Ey F ++=，20x Dx F ++=．设()()()()1212,0,,0,0,,0,M x N x P y Q y ，则1212x x y y =，又曲线22020y x x =+-与x 轴交于M ，N 两点，则122020x x =-，121x x +=-，12020y =-，1D =，2020F =-，所以21y =，()12(20201)2019E y y =-+=--+=，故MNP △外接圆的方程22201920200x y x y +++-=．故选：C.3.（2022·江苏·高二单元测试）已知圆22:(1)(1)4C x y -+-=，P 为直线:220l x y ++=上的动点，过点P 作圆C 的切线PA ，切点为A ，当PAC △的面积最小时，PAC △的外接圆的方程为（）A ．22115224x y ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．22119224x y ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．221524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭D ．221524x y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭【答案】C【分析】先确定PAC △的面积最小时P 点坐标，再由PAC △是直角三角形求出外接圆的圆心和半径，即可求出外接圆方程.【详解】由题可知，PA AC ⊥，半径2AC =，圆心(1,1)C，所以12PAC S PA AC PA =⋅==要使PAC △的面积最小，即PC 最小，PC 的最小值为点(1,1)C 到直线:220l x y ++==P 点运动到PC l ⊥时，PAC S 最小，直线l 的斜率为2-，此时直线PC 的方程为11(x 1)2y -=-，由11(1)2220y x x y ⎧-=-⎪⎨⎪++=⎩，解得10x y =-⎧⎨=⎩，所以(1,0)P -，因为PAC △是直角三角形，所以斜边PC 的中点坐标为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，而PC ==PAC △的外接圆圆心为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以PAC △的外接圆的方程为221524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.故选：C.【题型三】求圆3：内切圆【典例分析】（2022·全国·高二单元测试）已知三角形三边所在直线的方程分别为0y =、20x y -+=和40x y +-=，求这个三角形的内切圆圆心和半径．【答案】圆心()3；半径为3.【分析】由三角形所在位置设出其内切圆圆心坐标，利用三角形内切圆性质列方程，求解作答.【详解】依题意，由020y x y =⎧⎨-+=⎩得直线0y =与20x y -+=的交点(2,0)B -，由040y x y =⎧⎨+-=⎩得直线0y =与40x y +-=的交点(4,0)C ，由2040x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得直线20x y -+=与40x y +-=的交点(1,3)A ，显然AC AB ⊥，且||||AC AB ==，即ABC 是等腰直角三角形，则直线1x =平分BAC ∠，设ABC 的内切圆圆心为(1,)M b ，03b <<，则b ==3b =，即()3M ，半径3r b ==，所以这个三角形的内切圆圆心和半径分别为圆心()3，3.1.（2022·全国·高二课时练习）若直线34120x y ++=与两坐标轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则AOB ∆的内切圆的标准方程为__________．【答案】22(1)(1)1x y +++=【分析】结合三角形面积计算公式，建立等式，计算半径r ，得到圆方程，即可．【详解】设内切圆的半径为r ，结合面积公式1111342222OA r OB r AB r ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅则1r =因而圆心坐标为()1,1--，圆的方程为()()22111x y +++=2.（2022·重庆南开中学高二阶段练习）平面直角坐标系中，点()A 、()3B -、()C ，动点P 在ABC 的内切圆上，则12PC PA -的最小值为_________.【答案】2-##【分析】求出ABC 的内切圆方程，设点(),P x y ，计算得出2PC PE =，其中点3,02E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，数形结合可求得12PC PA -的最小值.【详解】由两点间的距离公式可知6AB BC AC ===，则ABC 是边长为6的等边三角形，设ABC 的内切圆的半径为r ，则216182ABC S r ==⨯△，解得r =，因为点A 、B 关于x 轴对称，所以，ABC 的内切圆圆心在x 轴上，易知直线AB 的方程为x =O 到直线AB 的距离为所以，ABC 的内切圆为圆22:3O x y +=，设点(),P x y ，PC =2PE ===，其中点E ⎫⎪⎪⎝⎭，所以，122PC PA PE PA AE -=-≥-==-，当且仅当点P 为射线AE 与圆O 的交点时，等号成立，故12PC PA -的最小值为故答案为：3.（2016·重庆·一模（理））已知直线1:22l x y a +=+和直线2:221l x y a -=-分别与圆()22(1)16x a y -+-=相交于,A B 和,C D ，则四边形ACBD 的内切圆的面积为________．【答案】8π【分析】由两直线方程，得出两直线垂直且交于点(,1)a ，结合圆的几何性质判断出四边形ACBD 是边长为.【详解】联立22221x y a x y a +=+⎧⎨-=-⎩，解得1x ay =⎧⎨=⎩，即直线1:22l x y a +=+和直线2:221l x y a -=-互相垂直且交于点(,1)a ，而(,1)a 恰好是圆()22(1)16x a y -+-=的圆心，则AB,CD 为圆的两条互相垂直的直径，且8AB CD ==,所以，四边形ACBD是边长为因此其内切圆半径是2π8π⨯=，故答案为:8π.【题型四】点与圆的关系【典例分析】（2021·全国·高二课时练习）如果直线2140(0,0)ax by a b -+=>>和函数1()1(0,1)x f x m m m +=+>≠的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆22(1)(2)25x a y b -+++-=的内部或圆上，那么ba的取值范围是（）A ．34,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．34,43⎛⎤ ⎝⎦C ．34,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．34(,)43【答案】C 【分析】由已知可得()7,0,0a b a b +=>>．再由由点()1,2-在圆22(1)(2)25x a y b -+++-=内部或圆上可得2225a b +≤()0,0a b >>．由此可解得点(),a b 在以()3,4A 和()4,3B 为端点的线段上运动．由ba表示以()3,4A 和()4,3B 为端点的线段上的点与坐标原点连线的斜率可得选项．【详解】函数()11x f x m +=+恒过定点()1,2-．将点()1,2-代入直线2140ax by -+=可得22140a b --+=，即()7,0,0a b a b +=>>．由点()1,2-在圆22(1)(2)25x a y b -+++-=内部或圆上可得()()22112225a b --+++-≤，即2225a b +≤()0,0a b >>．2273254a b a a b b +==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩或43a b =⎧⎨=⎩．所以点(),a b 在以()3,4A 和()4,3B 为端点的线段上运动．ba表示以()3,4A 和()4,3B 为端点的线段上的点与坐标原点连线的斜率．所以min 303404b a -⎛⎫== ⎪-⎝⎭，max 404303b a -⎛⎫== ⎪-⎝⎭．所以3443b a ≤≤．故选：C．1.（2022·安徽·合肥市第八中学高二开学考试）若点()1,2R -在圆C ：22220x y x y a +--+=的外部，则实数a 的取值范围为（）A ．3a <-B ．3a >-C ．32a -<<D ．23a -<<【答案】C【分析】根据点与圆的位置关系建立不等式求解，并注意方程表示圆所满足的条件.【详解】因为点()1,2R -在圆C ：22220x y x y a +--+=的外部，所以14240a ++-+>，解得3a >-，又方程22220x y x y a +--+=表示圆，所以22(2)(2)40a -+-->，解得2a <，故实数a 的取值范围为32a -<<．故选：C2.（2020·河北·高二期中）直线1ax by +=与圆221x y +=有两个公共点，那么点(),a b 与圆22+1x y =的位置关系是（）A ．点在圆外B ．点在圆内C ．点在圆上D ．不能确定【答案】A【解析】直线1ax by +=与圆221x y +=||1<1>，由此可得点与圆的位置关系．【详解】因为直线1ax by +=与圆221x y +=有两个公共点，1<，1>，因为点(,)b a 与221x y +=，圆224x y +=的半径为1，所以点P 在圆外.故选：A.3.（2021·辽宁·沈阳市第一中学高二阶段练习）已知三点(3,2)A ，(5,3)B -，(1,3)C -，以(2,1)P -为圆心作一个圆，使得A ，B ，C 三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，则这个圆的标准方程为______.【答案】22(2)(1)13x y -++=【分析】计算,,PA PB PC ,根据大小确定半径，即可求出圆的方程.【详解】PA =PB =5PC =，PA PB PC ∴<<，故所求圆以PB 为半径，方程为22(2)(1)13x y -++=.故答案为：22(2)(1)13x y -++=【题型五】弦长与弦心距【典例分析】（2021·江苏·滨海县八滩中学高二期中）已知圆C ：()()223216x y -+-=，直线l ：y x t =+与圆C 交于A ，B 两点，且ABC 的面积为8，则直线l 的方程为()A ．3y x =-或5y x =-B ．3y x =+或5y x =+C ．3y x =+或5y x =-D ．3y x =-或5y x =+【答案】C【分析】由三角形面积定理求出等腰三角形顶角，进而求出其高，再用点到直线距离得解.【详解】由圆C 的方程可得圆心C 的坐标为()3,2，半径为4．∵ABC 的面积为144sin 82ACB ⨯⨯∠=，∴90ACB ∠=︒，∴⊥CB CA ，∴点C 到直线AB的距离为．由点到直线的距离公式可得点C 到直线AB=∴3t =或5t =-，∴l 的方程为3y x =+或5y x =-.故选：C ．1.（2021·江苏·高二期中）已知的OMN 三个顶点为()0,0O ，()6,0M ，()8,4N ，过点()3,5作其外接圆的弦，若最长弦与最短弦分别为AC，BD ，则四边形ABCD 的面积为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】由已知O ，M ，N 三点的坐标可得OMN 外接圆的方程，根据题意可知，过（3，5）的最长弦为直径，最短弦为过（3，5）且垂直于该直径的弦，利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半即可求得面积．【详解】设OMN 的外接圆的方程为（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝r 2，由O （0，0），M （6，0），N （8，4），得()()()222222222684a b r a b ra b r ⎧+=⎪⎪-+=⎨⎪-+-=⎪⎩，解得345a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩.∴圆的标准方程为（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝52，点（3，5）在圆内部，由题意得最长的弦|AC |＝2×5＝10，点（3，5）到圆心（3，4）的距离为1．根据勾股定理得最短的弦|BD |＝=AC ⊥BD ，四边形ABCD 的面积S ＝12|AC |•|BD |＝2×10×故选：B ．2.（2022·四川成都·高二开学考试（文））直线l 与圆()2224x y -+=相交于A ，B 两点，则弦长AB =l 共有（）．A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】D【分析】先利用题意得到圆心到直线l 的距离，然后分直线过原点和不过原点进行假设直线方程，结合弦长即可得到答案；【详解】解：由()2224x y -+=可得圆心为()2,0，半径为2，所以圆心到直线l 的距离为1d ==，当直线不过原点时，设直线l 的方程为1ya a+=即0x y a +-=，所以圆心到直线l的距离为1d ==，解得2a =此时直线l 为20x y +-=或20x y +-=；当直线过原点时，设直线l 的方程为y kx =即0kx y -=，所以圆心到直线l 的距离为1d ==，解得k =此时直线l 为y=或y x =；综上所述，直线l 共有4条，故选：D ．3.（2022·江西南昌·模拟预测（文））若直线x =-224x y +=相交于,A B 两点，OOA AB ⋅=（）A．B ．4C ．-D ．－4【答案】D【分析】先求出圆心到直线的距离，再利用弦心距，半径和弦的关系可求出AB ，然后利用向量的数量积的定义及几何意义可求得结果.【详解】由题意得圆224x y +=的圆心(0,0)O 到直线x =-d =AB=AB =所以()cos OA AB OA AB OAB π⋅=-∠cos OA AB OAB =-∠242AB =-=-，故选：D【题型六】到直线距离为定值的圆上点个数【典例分析】（2021·天津市西青区杨柳青第一中学高二期中）已知圆()()22:129C x y -+-=上存在四个点到直线:0l x y b -+=的距离等于2，则实数b范围是（）A ．()(,11-∞-⋃++∞B ．(1-+C ．()(,11-∞⋃+∞D ．(1+【答案】D【分析】根据题意可知，圆心到直线的距离小于1，即求.【详解】由()()22:129C x y -+-=知圆心(1,2)C ，半径为3，若圆()()22:129C x y -+-=上存在四个点到直线:0l x y b -+=的距离等于2，则点C 到直线:0l x y b -+=的距离1d <1<，∴11b <<.故选：D.【变式训练】1.（2020·全国·高二课时练习）已知圆22(2)(1)12x y -++=上恰有三个点到直线:0l kx y +=l 的斜率为（）A ．2B ．2-±C 2D ．2±【答案】A【分析】由于圆22(2)(1)12x y -++=上恰有三个点到直线:0l kx y +=而圆的半径为l 的距离等于半径的一半即可，然后利用点到直线的距离公式列方程可求出直线的斜率.【详解】解：由题意，圆心到直线l 的距离等于半径的一半，，解得2k =故选：A.2.（2016·湖北黄石·高二阶段练习）能够使得圆222410x y x y +-++=上恰好有两个点到直线20x y c ++=的距离等于1的一个c 值为A ．2B ．C ．3D ．【答案】C【分析】根据当M 到直线l ：2x +y +c =0的距离d ∈（1，3）时，⊙M 上恰有两个点到直线l 的距离等于1求解.【详解】解：圆的方程可化为：()()22124x y -++=，所以圆心M （1，-2），半径r =2，由题意知：当M 到直线l ：2x +y +c =0的距离d ∈（1，3）时，⊙M 上恰有两个点到直线l 的距离等于1，(1.3)d =，得(c ∈-⋃3<<c 可以是3故选：C3.（2021·山东·日照青山学校高二期末）定义：如果在一圆上恰有四个点到一直线的距离等于1，那么这条直线叫做这个圆的“相关直线”.则下列直线是圆()()22:124C x y ++-=的“相关直线”的为（）A ．1y =B ．34120x y -+=C ．20x y +=D ．125170x y --=【答案】BC【分析】分析可知，圆心C 到“相关直线”的距离d 满足1d <，然后计算出圆心到每个选项中直线的距离，即可得出合适的选项.【详解】由题意可知，圆C 的圆心为()1,2C -，半径为2r =.设圆心C 到“相关直线”的距离为d ，由图可知12d +<，可得1d <.对于A 选项，121d =-=，不合乎题意；对于B 选项，15d =，合乎题意；对于C 选项，0d =，合乎题意；对于D 选项，3d =，不合乎题意.故选：BC.【题型七】弦长与弦心距：弦心角【典例分析】（2022·江苏·高二课时练习）若直线1y kx =+与圆221x y +=相交于A B ，两点，且60AOB ∠=(其中O 为原点)，则k 的值为（）A．BC．D 【答案】A【分析】根据点到直线的距离公式即可求解.【详解】由60AOB ∠=可知，圆心(0,0)到直线1y kx =+23k =⇒=±故选：A 【变式训练】1.（2023·全国·高二专题练习）已知直线l ：10x my ++=与圆O ：2234x y +=相交于不同的两点A ，B ，若∠AOB 为锐角，则m 的取值范围为（）A．⎛⎛-⋃⎝⎭⎝⎭B．⎛⎝⎭C．,∞∞⎛⎛⎫-⋃+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D．⎛ ⎝⎭【答案】A【分析】以∠AOB 为直角时为临界，此时圆心O 到直线l的距离d ==d <<【详解】因为直线l ：10x my ++=经过定点()1,0-，圆O ：2234x y +=的半径为32，当∠AOB 为直角时，此时圆心O 到直线l的距离d ，解得3m =，则当∠AOB 为锐角时，m <又直线与圆相交于A ，B 两点，则2d =<，即m >，所以m <<m <<A ．【题型八】圆过定点【典例分析】（2022·江苏·高二课时练习）点(),P x y 是直线250x y +-=上任意一点，O 是坐标原点，则以OP 为直径的圆经过定点（）A ．()0,0和()1,1B ．()0,0和()2,2C ．()0,0和()1,2D ．()0,0和()2,1【答案】D【分析】设点(),52P t t -，求出以OP 为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标.【详解】设点(),52P t t -，则线段OP 的中点为52,22t t M -⎛⎫⎪⎝⎭，圆M 的半径为OM =所以，以OP 为直径为圆的方程为2225252025224t t t t x y --+⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()22250x y tx t y +-+-=，即()()22520x y y t y x +-+-=，由222050y x x y y -=⎧⎨+-=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或21x y =⎧⎨=⎩，因此，以OP 为直径的圆经过定点坐标为()0,0、()2,1.故选：D.1.（2022·河北沧州·高二期末）已知点A 为直线2100x y +-=上任意一点，O 为坐标原点．则以OA 为直径的圆除过定点()0,0外还过定点（）A ．()10,0B ．()0,10C ．()2,4D ．()4,2【答案】D【分析】设OB 垂直于直线2100x y +-=，可知圆恒过垂足B ；两条直线方程联立可求得B 点坐标.【详解】设OB 垂直于直线2100x y +-=，垂足为B ，则直线OB 方程为：12y x =，由圆的性质可知：以OA 为直径的圆恒过点B ，由210012x y y x +-=⎧⎪⎨=⎪⎩得：42x y =⎧⎨=⎩，∴以OA 为直径的圆恒过定点()4,2.故选：D.2.（2022·宁夏·银川一中高二期末）如果直线2140(0,0)ax by a b -+=>>和函数1()1(0,1)x f x m m m +=+>≠的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆22(1)(2)25x a y b -+++-=的内部或圆上，那么ba的取值范围是（）A ．34,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．34,43⎛⎤ ⎝⎦C ．34,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．34(,)43【答案】C 【分析】由已知可得()7,0,0a b a b +=>>．再由由点()1,2-在圆22(1)(2)25x a y b -+++-=内部或圆上可得2225a b +≤()0,0a b >>．由此可解得点(),a b 在以()3,4A 和()4,3B 为端点的线段上运动．由ba表示以()3,4A 和()4,3B 为端点的线段上的点与坐标原点连线的斜率可得选项．【详解】函数()11x f x m +=+恒过定点()1,2-．将点()1,2-代入直线2140ax by -+=可得22140a b --+=，即()7,0,0a b a b +=>>．由点()1,2-在圆22(1)(2)25x a y b -+++-=内部或圆上可得()()22112225a b --+++-≤，即2225a b +≤()0,0a b >>．2273254a b a a b b +==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩或43a b =⎧⎨=⎩．所以点(),a b 在以()3,4A 和()4,3B 为端点的线段上运动．ba表示以()3,4A 和()4,3B 为端点的线段上的点与坐标原点连线的斜率．所以min 303404b a -⎛⎫== ⎪-⎝⎭，max 404303b a -⎛⎫== ⎪-⎝⎭．所以3443b a ≤≤．故选：C ．3.（2022·全国·高二）若动圆C 过定点A (4,0),且在y 轴上截得的弦MN 的长为8,则动圆圆心C 的轨迹方程是()A ．221412x y -=B ．()2212412x y y -=>C ．28y x=D ．28y x =(0x ≠)【答案】C【分析】设(),C x y 并作CE y ⊥轴于E ，由垂径定理得4ME =，又2222==+CA CM ME EC ，利用两点间的距离公式化简，即可得结果.【详解】设圆心C 的坐标为(),x y ，过C 作CE y ⊥轴，垂足为E ，则4ME =，2222CA CMME EC ∴==+，()222244x y x ∴-+=+，得28y x =.故选：C.【题型九】两圆位置关系【典例分析】（2021·浙江·兰溪市厚仁中学高二期中）已知圆1C ：2216x y +=和圆2C ：()()()222340x y r r -+-=>，则（）A ．2r =时，两圆相交B ．1r =时，两圆内切C ．9r =时，两圆外切D ．10r =时，两圆内含【答案】AD【分析】根据题意得两圆圆心距为125C C =，圆1C 半径4R =，再依次讨论求解即可得答案.【详解】解：由题知圆1C ：2216x y +=的圆心为()0,0，半径4R =；圆2C ：()()()222340x y r r -+-=>的圆心为()3,4，半径r ，所以两圆圆心距为125C C =，故对于A 选项，当2r =，12256R r C C R r =-<=<+=，故两圆相交，正确；对于B 选项，当1r =，125C C R r ==+，故两圆外切，错误；对于C 选项，当9r =，125r R C C -==，故两圆内切，错误；对于D 选项，当10r =，12r R C C ->，故两圆内含，正确.故选：AD 【提分秘籍】基本规律圆与圆位置关系的判定（1）几何法：若两圆的半径分别为1r ，2r ，两圆连心线的长为d ，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关外离外切相交内切内含1.（2020·湖南省邵东市第一中学高二期末）已知圆O 1：(x －a )2＋(y －b )2＝4，O 2：(x －a －1)2＋(y －b －2)2＝1(a ，b ∈R )，则两圆的位置关系是()A ．内含B ．内切C ．相交D ．外切【答案】C【详解】两圆圆心之间的距离为|O 1O 2|，由12＋1＝3，所以两圆相交，答案C2.（2022·全国·高二专题练习）分别求当实数k 为何值时，两圆C1：x 2＋y 2＋4x －6y ＋12＝0，C 2：x2＋y 2－2x －14y ＋k ＝0相交和相切．【答案】答案见解析【分析】根据两圆的位置关系，可得圆心距和半径之间的关系，由两圆半径分别为1和|C 1C 2|＝5，进行比较即可得解.【详解】将两圆的一般方程化为标准方程，C 1：(x ＋2)2＋(y －3)2＝1，C 2：(x －1)2＋(y －7)2＝50－k ，圆C 1的圆心为C 1(－2，3)，半径长r 圆C 2的圆心为C 2(1，7)，半径长r 2(k ＜50)，从而|C 1C 2|5=，当15，即k ＝34时，两圆外切.当1|＝56，即k ＝14时，两圆内切.当1|＜5＜1即14＜k ＜34时，两圆相交，∴当k ＝14或k ＝34时，两圆相切，当14＜k ＜34时，两圆相交.【题型十】两圆公共弦【典例分析】（2022·全国·高二课时练习）已知圆221:20C x y kx y +--=和圆222:220C x y ky +--=相交，则圆1C 和圆2C 的公共弦所在的直线恒过的定点为（）A ．(2，2)B ．(2，1)C ．(1，2)D ．(1，1)【答案】B 【分析】根据题意，联立两个圆的方程可得两圆公共弦所在的直线方程，由此分析可得答案．【详解】根据题意，圆221:20C x y kx y +--=和圆222:220C x y ky +--=相交，则222220220x y kx y x y ky ⎧+--=⎨+--=⎩，则圆1C 和圆2C 的公共弦所在的直线为2220kx ky y -+-=，变形可得(2)2(1)k x y y -=-，则有2010x y y -=⎧⎨-=⎩，则有21x y =⎧⎨=⎩，即两圆公共弦所在的直线恒过的定点为(2,1)，故选：B ．1.（2021·全国·高二专题练习）垂直平分两圆222620x y x y +-++=，224240x y x y --++=的公共弦的直线方程为（）A ．3430x y --=B ．4350x y ++=C ．3490x y ++=D ．4350x y -+=【答案】B【分析】分别求解两个圆的圆心，圆心连线即为所求.【详解】根据题意，圆222620x y x y +-++=，其圆心为M ，则(1,3)M -，圆224240x y x y --++=，其圆心为N ，则(2,1)N -，垂直平分两圆的公共弦的直线为两圆的连心线，则直线MN 的方程为313(1)12y x --+=-+，变形可得4350x y ++=；故选:B.2.（2020·山东泰安·高二期中）圆2260x y x +-=和圆22460x y x y +-+=交于A ，B 两点，则两圆公共弦的弦长AB 为（）A ．5B ．10C ．5D ．10【答案】A【解析】两圆两式相减，得到公共弦所在直线的方程为30x y +=，结合弦长公式，即可求解.【详解】由题意，圆2260x y x +-=和圆22460x y x y +-+=，两式相减，可得30x y +=，即公共弦所在直线的方程为30x y +=，又由圆2260x y x +-=可化为22(3)9x y -+=，可得圆心坐标为(3,0)，半径为3r =，则圆心到直线的距离为d =所以5AB ===，即两圆公共弦的弦长AB 为5.故选：A.3.2022·全国·高二专题练习）圆心都在直线:0l x y a -+=上的两圆相交于两点(0,1)A ，(2,)B b ，则ab =（）A ．1B ．0C ．1-D ．2-【答案】A【分析】由相交两圆的公共点性质求解，即由直线l 是线段AB 的垂直平分线求解．【详解】由题意直线l 是线段AB 的垂直平分线，所以1121102b b a -⎧=-⎪⎪⎨+⎪-+=⎪⎩，解得11a b =-⎧⎨=-⎩，所以1ab =．故选：A ．培优第一阶——基础过关练1.．（2022·浙江省兰溪市第三中学高二开学考试）已知圆C 过点(2,0),(0,4)A B -，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为（）A ．22(1)(2)5x y ++-=B ．22(1)9x y -+=C ．22(3)25x y -+=D ．2216x y +=【答案】C【分析】设出圆的标准方程，将已知点的坐标代入，解方程组即可.【详解】设圆的标准方程为222()x a y r -+=，将(2,0),(0,4)A B -坐标代入得:()2222216a r a r ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,解得2325a r =⎧⎨=⎩，故圆的方程为22(3)25x y -+=，故选：C.2.（2022·全国·高二专题练习）已知((0,3)A B C ，则ABC 外接圆的方程为（）A ．22(1)2x y -+=B ．22(1)4x y -+=C ．22(1)2x y +-=D ．22(1)4x y +-=【答案】D【分析】求得ABC 外接圆的方程即可进行选择.【详解】设ABC 外接圆的方程为()222()x a y b r -+-=则有()()()222222222()0)0(0)3a b r a b r a b r ⎧+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+-=⎪⎩，解之得012a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩则ABC 外接圆的方程为22(1)4x y +-=故选：D3.（2022·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知三点()1,2A -，()3,2B ，21,3C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则ABC 的内切圆的方程为（）A ．()()22164x y -+-=B ．()()22114x y -+-=C ．()()22161x y -+-=D ．()()22111x y -+-=【答案】D【分析】结合题意设出圆心，再利用圆心到直线AC 与到直线AB 的距离相等列出一个等式，即可求出圆心，即可进而求出半径，得到答案.【详解】易知ABC 是等腰三角形，且AC BC =，∴圆心D 在直线1x =上，设圆心()()1,2D b b <，易得直线AC 的方程为4320x y +-=，直线AB 的方程为2y =，则2b -=1b =，则内切圆的半径为211r =-=，∴所求圆的方程为()()111x y -+-=.故选：D.4.（2022·全国·高二课时练习）已知点A （1，2）在圆C ：22220x y mx y ++-+=外，则实数m 的取值范围为（）A ．()()3,22,--+∞B ．()()3,23,--⋃+∞C ．()2,-+∞D ．()3,-+∞【答案】A【分析】由22220x y mx y ++-+=表示圆可得22(2)420m +--⨯>，点A （1，2）在圆C 外可得22122220m ++-⨯+>，求解即可【详解】由题意，22220x y mx y ++-+=表示圆故22(2)420m +--⨯>，即2m >或2m <-点A （1，2）在圆C ：22220x y mx y ++-+=外故22122220m ++-⨯+>，即3m >-故实数m 的取值范围为2m >或32m -<<-即()()3,22,m --∞∈+故选：A5.（2023·全国·高二专题练习）已知直线(0)y kx k =>与圆()()22:214C x y -+-=相交于A ，B两点AB =，则k ＝（）A ．15B ．43C ．12D ．512【答案】B【分析】圆心()2,1C 到直线(0)y kx k =>的距离为d ，则d =而1d =，所以1d =，解方程即可求出答案.【详解】圆()()22:214C x y -+-=的圆心()2,1C ，2r =所以圆心()2,1C 到直线(0)y kx k =>的距离为d ，则d =，而1d =，所以1d =，解得：43k =.故选：B.6.（2021·北京八中高二期末）已知圆C ：()2221x y r ++=（0r >），直线l ：3420x y +-=.若圆C 上恰有三个点到直线的距离为1，则r 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】A 【解析】圆C 的圆心为()1,0-到直线l 的距离为1，由圆C 上恰有三个点到直线l 的距离为1，得到圆心为()1,0-到直线l 的距离为2rd =，由此求出r 的值.【详解】圆C 的圆心为()1,0-,则圆心C 到直线l 的距离1d ==.又圆C 上恰有三个点到直线l 的距离为1.所以圆心为()1,0-到直线l 的距离为2r d =,即12rd ==。
高中数学--圆的方程知识点题型归纳
高中数学--圆的方程知识点题型归纳第一讲圆的方程一、知识清单（一）圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心：(a，b)，半径：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圆心：⎝⎛⎭⎪⎪⎫－D2，－E2，半径：12D2＋E2－4F1、圆的标准方程与一般方程的互化（1）将圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2 展开并整理得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，取D＝－2a，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2，得x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.（2）将圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0通过配方后得到的方程为：(x ＋D 2)2＋(y ＋E 2)2＝D 2＋E 2－4F4①当D 2＋E 2－4F >0时，该方程表示以(－D2，－E 2)为圆心，12D 2＋E 2－4F 为半径的圆； ②当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程只有实数解x ＝－D 2，y ＝－E 2，即只表示一个点(－D 2，－E 2)；③当D 2＋E 2－4F <0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．2、圆的一般方程的特征是：x 2和y 2项的系数 都为1 ，没有 xy 的二次项.3、圆的一般方程中有三个待定的系数D 、E 、F ，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．（二）点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：（1）若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.（2）若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.（3）若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.（三）温馨提示1、方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是：（1）B＝0；（2）A＝C≠0；（3）D2＋E2－4AF＞0.2、求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．（1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上． （2）圆心在任一弦的中垂线上． （3）两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．3、中点坐标公式：已知平面直角坐标系中的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，点M (x ，y )是线段AB 的中点，则x ＝122x x + ，y ＝122yy + .二、典例归纳考点一：有关圆的标准方程的求法【例1】 圆的圆心是 ，半径是 .【例2】 点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4内，则实数a 的取值范围是( )A．(－1,1) B．(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(1，＋∞)【例3】圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y －3)2＝1【例4】圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点P(0,0)对称的圆的方程为()A．(x－2)2＋y2＝5B．x2＋(y －2)2＝5C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5【变式1】已知圆的方程为()()()()12240x x y y --+-+=，则圆心坐标为【变式2】已知圆C 与圆()2211x y -+=关于直线y x =-对称，则圆C 的方程为【变式3】 若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －3)2＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫y －732＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D.⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －322＋(y－1)2＝1【变式4】已知ABC∆的顶点坐标分别是()1,5A-，()∆外接圆的方程.5,5B，()C-，求ABC6,2方法总结：1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a，b，r的方程组．2．利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．考点二、有关圆的一般方程的求法【例1】 若方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆，则m 的取值范围是( )A .14＜m ＜1B ．m ＜14或m ＞1C ．m ＜14D ．m ＞1【例2】 将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( )A ．x ＋y －1＝0B ．x ＋y ＋3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝0【例3】 圆x 2－2x ＋y 2－3＝0的圆心到直线x ＋3y －3＝0的距离为________．【变式1】 已知点P 是圆22:450C x y x ay +++-=上任意一点，P 点关于直线210x y +-=的对称点也在圆C上，则实数a =【变式2】已知一个圆经过点()3,1A、()1,3B-，且圆心在320--=上，求圆的方程.x y【变式3】平面直角坐标系中有()()()()A B C D-四点，这四点能否在同一个圆0,1,2,1,3,4,1,2上？为什么？【变式4】如果三角形三个顶点分别是O(0,0)，A(0,15)，B(－8,0)，则它的内切圆方程为________________．方法总结：1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于D，E，F的方程组．2．熟练掌握圆的一般方程向标准方程的转化考点三、与圆有关的轨迹问题【例1】动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为() A．x2＋y2＝32B．x2＋y2＝16C．(x－1)2＋y2＝16 D．x2＋(y －1)2＝16【例2】方程2y x=--）25A. 一条射线B. 一个圆C. 两条射线D. 半个圆【例3】在ABC∆中，若点,C B的坐标分别是（-2,0）和（2,0），中线AD 的长度是3，则点A 的轨迹方程是（ ）A.223x y += B. 224x y += C.()2290x y y +=≠ D. ()2290x y x +=≠【例4】 已知一曲线是与两个定点O (0,0)，A (3,0)距离的比为12的点的轨迹．求这个曲线的方程，并画出曲线．【变式1】 方程()2111x y -=--所表示的曲线是（ ）A. 一个圆B. 两个圆C. 一个半圆 D. 两个半圆【变式2】动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为() A．x2＋y2＝32B．x2＋y2＝16C．(x－1)2＋y2＝16 D．x2＋(y －1)2＝16【变式3】如右图，过点M(－6,0)作圆C：x2＋y2－6x－4y＋9＝0的割线，交圆C于A、B两点，求线段AB的中点P的轨迹．【变式4】如图，已知点A(－1,0)与点B(1,0)，C是圆x2＋y2＝1上的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|＝|BC|，求AC与OD的交点P的轨迹方程．方法总结：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：（1）直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简．(2)定义法：根据直线、圆等定义列方程．(3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．考点四：与圆有关的最值问题【例1】已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称，则a－b的取值范围是________【例2】已知x，y满足x2＋y2＝1，则y－2x－1的最小值为________．【例3】 已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的动点，则|MN |的最小值是( )A.95 B ．1 C.45 D.135【例4】已知实数x ，y 满足(x －2)2＋(y ＋1)2＝1则2x －y 的最大值为________，最小值为________．【变式1】 P (x ，y )在圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1上移动，则x 2＋y 2的最小值为________．【变式2】 由直线y ＝x ＋2上的点P 向圆C ：(x －4)2＋(y ＋2)2＝1引切线PT (T 为切点)，当|PT |最小时，点P 的坐标是( )A．(－1,1) B．(0,2) C．(－2,0)D．(1,3)【变式3】已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是________．【变式4】已知圆M过两点C(1，－1)，D(－1,1)，且圆心M在x＋y－2＝0上．（1）求圆M的方程；（2）设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．方法总结：解决与圆有关的最值问题的常用方法（1）形如u＝y－bx－a的最值问题，可转化为定点(a，b)与圆上的动点(x，y)的斜率的最值问题（2）形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；（3）形如(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题．（4）一条直线与圆相离，在圆上找一点到直线的最大（小）值：d r （其中d为圆心到直线的距离）。
高中数学必修2圆与方程(教师用)
圆的方程知识点与题型1. 确定圆方程需要有三个互相独立的条件.圆的方程有两种形式，要注意各种形式的圆方程的适用范围.(1) 圆的标准方程：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，其中(a ，b)是圆心坐标，r 是圆的半径； (2) 圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 (D 2＋E 2－4F ＞0)，圆心坐标为(2,2ED --)，半径为r ＝2422FE D -+2. 直线与圆的位置关系的判定方法.(1) 法一：直线：Ax ＋By ＋C ＝0；圆：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.消元⎩⎨⎧=++++=++0022F Ey Dx y x C By Ax 一元二次方程⎪⎩⎪⎨⎧⇔<∆⇔=∆⇔>∆−−→−相离相切相交判别式000 (2) 法二：直线：Ax ＋By ＋C ＝0；圆：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，圆心(a ，b)到直线的距离为d ＝⎪⎩⎪⎨⎧⇔>⇔=⇔<→+++相离相切相交r d r d r d B A C Bb Aa 22. 3. 两圆的位置关系的判定方法.设两圆圆心分别为O 1、 O 2，半径分别为r 1、 r 2， ｜O 1O 2｜为圆心距，则两圆位置关系如下： ｜O 1O 2｜＞r 1＋r 2⇔两圆外离；｜O 1O 2｜＝r 1＋r 2⇔两圆外切； ｜r 1－r 2｜＜｜O 1O 2｜＜r 1＋r 2⇔两圆相交；｜O 1O 2｜＝｜r 1－r 2｜⇔两圆内切； ０＜｜O 1O 2｜＜｜r 1－r 2｜⇔两圆内含. 一、圆的方程1 、以点)1,2(-为圆心且与直线0543=+-y x 相切的圆的方程为( ) (A)3)1()2(22=++-y x (B)3)1()2(22=-++y x (C)9)1()2(22=++-y x(D)9)1()2(22=-++y x解：已知圆心为)1,2(-，且由题意知线心距等于圆半径，即2243546+++=d r ==3，∴所求的圆方程为9)1()2(22=++-y x ，故选(C).2、方程x 2+y 2－2（t +3）x +2（1－4t 2）y +16t 4+9=0（t ∈R ）表示圆方程，则t 的取值范围是（ ）A.－1<t <71 B.－1<t <21 C.－71<t <1D .1<t <2 ：由D 2+E 2－4F >0，得7t 2－6t －1<0，即－71<t <1.答案：C3、已知两点P 1（4，9）、P 2（6，3），求以P 1P 2为直径的圆的方程.【思考与分析】 根据已知条件，我们需要求出圆的圆心位置，又由点P 1P 2的坐标已知，且P 1P 2为所求圆的直径，所以圆的半径很容易求出，这是常规的解法，如下面解法1所示，另外还有一些其它的解法，我们大家一起来欣赏：解法1：设圆心为C （a ，b ）、半径为r. 由中点坐标公式，得 a ＝＝5，b ＝＝6.∴ C （5，6），再由两点间距离公式，得∴ 所求的圆的方程为（x －5）2＋（y －6）2＝10.解法2：设P （x ，y ）是圆上任意一点，且圆的直径的两端点为P 1（4，9）、P 2（6，3）， ∴ 圆的方程为（x －4）（x －6）＋（y －9）（y －3）＝0， 化简得 （x －5）2＋（y －6）2＝10，即为所求.4、求过两点A （1，4）、B （3，2），且圆心在直线y =0上的圆的标准方程，并判断点M 1（2，3），M 2（2，4）与圆的位置关系.A 、B 两点，所以圆心在线段ABk AB =3124--=－1，AB 的中点为（2，3），故AB 的垂直平分线的方程为y －3=x －2，即x －yy =0上，因此圆心坐标是方程组x －y +1=0，y =0半径r =22)40()11(-+--=20，所以得所求圆的标准方程为（x +1）2+y 2=20.因为M 1到圆心C （－1，0）的距离为22)03()12(-++=18，|M 1C |<r ，所以M 1在圆C 内；而点M 2到圆心C 的距离|M 2C |=22)04()12(-++=25>20，所以M 2在圆C 外.5、已知圆2260x y x y m ++-+=和直线230x y +-=交于P 、Q 两点，且OP ⊥OQ （O 为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径长．解：将32x y =-代入方程2260x y x y m ++-+=，得2520120y y m -++=．的解，即圆心坐标为（－1，0）.设P ()11,x y ，Q ()22,x y ，则12,y y 满足条件：1212124,5m y y y y ++==． ∵ OP ⊥OQ , ∴12120,x x y y +=而1132x y =-，2232x y =-，∴()121212964x x y y y y =-++．∴3m =，此时Δ0>，圆心坐标为（－12，3），半径52r =．二、位置关系问题（点、直线、圆与圆的位置关系）1、点P （5a +1，12a ）在圆（x －1）2+y 2=1的内部，则a 的取值范围是（ D ）A.｜a ｜＜1B.a ＜131C.｜a ｜＜51 D .｜a ｜＜131解析：点P 在圆（x －1）2+y 2=1内部⇔（5a +1－1）2+（12a ）2＜1⇔｜a ｜＜131.答案：D 2、直线1=+y x 与圆0222=-+ay y x )0(>a 没有公共点，则a 的取值范围是( A )(A))12,0(- (B))12,12(+- (C))12,12(+-- (D))12,0(+解 化为标准方程222)(a a y x =-+，即得圆心),0(a C 和半径a r =.∵直线1=+y x 与已知圆没有公共点，∴线心距a r a d =>-=21，平方去分母得22212a a a >+-，解得1212-<<--a ，注意到0>a ，∴120-<<a ，故选(A).点评：一般通过比较线心距d 与圆半径r 的大小来处理直线与圆的位置关系：⇔>r d 线圆相离；⇔=r d 线圆相切；⇔<r d 线圆相交.3、 直线2x －y ＋1＝0与圆O ∶x 2+y 2+2x-6y-26=0的位置关系是（ ）.A ． 相切B ． 相交且过圆心C ． 相离D ． 相交不过圆心 【解析】 要想确定一条直线与圆的位置关系，我们需要得出圆心到直线的距离与圆半径的大小关系.所以将圆的方程化为标准形式为：圆O ∶（x+1）2+（y-3）2=36.圆心为（－1，3），半径为r ＝6，圆心到直线的距离为d ＝从而知0＜d ＜r ，所以直线与圆相交但不过圆心. 故正确答案为D4、已知圆C 与圆0222=-+x y x 相外切，并且与直线03=+y x 相切于点)3,3(-Q ，求圆C 的方程设圆C 的圆心为),(b a ，则6234004231)1(33322==⇒⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+-=-+r r b a b a b a b a a b 或或 所以圆C 的方程为36)34(4)4(2222=++=+-y x y x 或三、切线问题1、过坐标原点且与圆0252422=++-+y x y x 相切的直线方程为( ) (A)x y 3-=或x y 31= (B)x y 3=或x y 31-= (C)x y 3-=或x y 31-=(D)x y 3=或x y 31=解 化为标准方程25)1()2(22=++-y x ,即得圆心)1,2(-C 和半径25=r . 设过坐标原点的切线方程为kx y =，即0=-y kx ，∴线心距251122==++=r k k d ，平方去分母得0)3)(13(=+-k k ，解得3-=k 或31，∴所求的切线方程为x y 3-=或x y 31=，故选(A). 点评：一般通过线心距d 与圆半径r 相等和待定系数法，或切线垂直于经过切点的半径来处理切线问题.2、求由下列条件所决定圆422=+y x 的圆的切线方程：(1)经过点)1,3(P ，(2)经过点)0,3(Q ，(3)斜率为1-解：(1) 41)3(22=+ ∴点)1,3(P 在圆上，故所求切线方程为43=+y x 。
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第一讲圆的方程
一、知识清单
（一）圆的定义及方程
1
（1）将圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2 展开并整理得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，取D＝－2a，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2，得x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
（2）将圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0通过配方后得到的方程为：
(x＋D
2)
2＋(y＋
E
2)
2＝
D2＋E2－4F
4
①当D2＋E2－4F>0时，该方程表示以(－D
2，－
E
2)为圆心，
1
2D
2＋E2－4F为半径的圆；
②当D2＋E2－4F＝0时，方程只有实数解x＝－D
2，y＝－
E
2，即只表示一个点(－
D
2，－
E
2)；③当D
2＋
E2－4F<0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．
2、圆的一般方程的特征是：x2和y2项的系数都为1 ，没有xy 的二次项.
3、圆的一般方程中有三个待定的系数D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．（二）点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
（1）若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.
（2）若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.
（3）若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2<r2
（三）温馨提示
1、方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是：
（1）B＝0；（2）A＝C≠0；（3）D2＋E2－4AF＞0.
2、求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．
（1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
（2）圆心在任一弦的中垂线上．
（3）两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．
3、中点坐标公式：已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，点M(x，y)是线段AB的中
点，则x＝12
2
x x
+
，y＝12
2
y y
+
.
二、典例归纳
考点一：有关圆的标准方程的求法
【例1】圆()()()
2220
x a y b m m
+++=≠的圆心是，半径是.
【例2】点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4内，则实数a的取值范围是()
A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(1，＋∞)
【例3】圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
【例4】圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点P(0,0)对称的圆的方程为()
A．(x－2)2＋y2＝5B．x2＋(y－2)2＝5
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5
【变式1】已知圆的方程为()()()()
12240
x x y y
--+-+=，则圆心坐标为
【变式2】已知圆C与圆()22
11
x y
-+=关于直线y x
=-对称，则圆C的方程为
【变式3】若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方
程是( )
A ．(x －3)2＋⎝⎛⎭⎫y －7
32＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1
D.⎝⎛⎭
⎫x －3
22＋(y －1)2＝1 【变式4】已知ABC ∆的顶点坐标分别是()1,5A -，()5,5B ，()6,2C -，求ABC ∆外接圆的方程.
方法总结：
1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a ，b ，r 的方程组．
2．利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的
运用．
考点二、有关圆的一般方程的求法
【例1】 若方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆，则m 的取值范围是( )
A .14＜m ＜1
B ．m ＜14或m ＞1
C ．m ＜1
4 D ．m ＞1
【例2】 将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( )
A ．x ＋y －1＝0
B ．x ＋y ＋3＝0
C ．x －y ＋1＝0
D ．x －y ＋3＝0
【例3】 圆x 2－2x ＋y 2－3＝0的圆心到直线x ＋3y －3＝0的距离为________．
【变式1】 已知点P 是圆2
2
:450C x y x ay +++-=上任意一点，P 点关于直线210x y +-=的对称点也在圆C 上，则实数a =
【变式2】 已知一个圆经过点()3,1A 、()1,3B -，且圆心在320x y --=上，求圆的方程.
【变式3】 平面直角坐标系中有()()()()0,1,2,1,3,4,1,2A B C D -四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？
【变式4】 如果三角形三个顶点分别是O (0,0)，A (0,15)，B (－8,0)，则它的内切圆方程为________________．
方法总结：
1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于D ，E ，F 的方程组． 2．熟练掌握圆的一般方程向标准方程的转化
考点三、与圆有关的轨迹问题
【例1】 动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为( )
A ．x 2＋y 2＝32
B ．x 2＋y 2＝16
C ．(x －1)2＋y 2＝16
D ．x 2＋(y －1)2＝16
【例2】
方程
y = ）
A. 一条射线
B. 一个圆
C. 两条射线
D. 半个圆
【例3】 在ABC ∆中，若点,C B 的坐标分别是（-2,0）和（2,0），中线AD 的长度是3，则点A 的轨迹方程是（ ）
A. 2
2
3x y += B. 2
2
4x y +=
C. ()2290x y y +=≠
D. ()2290x y x +=≠
【例4】 已知一曲线是与两个定点O (0,0)，A (3,0)距离的比为1
2的点的轨迹．求这个曲线的方程，并画出
曲线．
【变式1】 方程
1x -= ）
A. 一个圆
B. 两个圆
C. 一个半圆
D. 两个半圆
【变式2】动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为() A．x2＋y2＝32B．x2＋y2＝16
C．(x－1)2＋y2＝16 D．x2＋(y－1)2＝16
【变式3】如右图，过点M(－6,0)作圆C：x2＋y2－6x－4y＋9＝0的割线，交圆C于A、B两点，求线段AB的中点P的轨迹．
【变式4】如图，已知点A(－1,0)与点B(1,0)，C是圆x2＋y2＝1上的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|＝|BC|，求AC与OD的交点P的轨迹方程．
方法总结：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：
（1）直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简．
(2)定义法：根据直线、圆等定义列方程．
(3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．
(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
考点四：与圆有关的最值问题
【例1】已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称，则a－b的取值范围是________
【例2】已知x，y满足x2＋y2＝1，则y－2
x －1
的最小值为________．
【例3】已知点M是直线3x＋4y－2＝0上的动点，点N为圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝1上的动点，则|MN|的最小值是()
A.
9
5B．1 C.
4
5 D.
13
5
【例4】已知实数x，y满足(x－2)2＋(y＋1)2＝1则2x－y的最大值为________，最小值为________．【变式1】P(x，y)在圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1上移动，则x2＋y2的最小值为________．
【变式2】由直线y＝x＋2上的点P向圆C：(x－4)2＋(y＋2)2＝1引切线PT(T为切点)，当|PT|最小时，点P的坐标是()
A．(－1,1) B．(0,2) C．(－2,0) D．(1,3)
【变式3】已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是________．
【变式4】已知圆M过两点C(1，－1)，D(－1,1)，且圆心M在x＋y－2＝0上．
（1）求圆M的方程；
（2）设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．
方法总结：解决与圆有关的最值问题的常用方法
（1）形如u＝
y－b
x－a
的最值问题，可转化为定点(a，b)与圆上的动点(x，y)的斜率的最值问题
（2）形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；
（3）形如(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题．
（4）一条直线与圆相离，在圆上找一点到直线的最大（小）值：d r
（其中d为圆心到直线的距离）。