运筹学II习题解答
运筹学教程（第二版）（胡运权）课后答案（清华大学出版社）
运筹学教程（第⼆版）（胡运权）课后答案（清华⼤学出版社）运筹学教程（第⼆版）习题解答第⼀章习题解答运筹学教程1.1 ⽤图解法求解下列线性规划问题。
并指出问题具有惟⼀最优解、⽆穷多最优解、⽆界解还是⽆可⾏解。
1 2x , x ≥ 0 ? ≤ 2 2 1 ? .? 2 x 1 - x 2 ≥ 2st- 2 x + 3x (4) max Z = 5 x 1 + 6 x 2≤ 82 5 ≤ x ? 1 ? 5 ≤ x ≤ 10 .?max Z = x 1 + x 26 x 1 + 10 x 2 ≤ 120st ?(3) 1 2 x , x ≥ 0 ? 2 1 ? ? ? 4 x 1 + 6 x 2 ≥ 6st .?2 x + 2 x ≥ 4 (1) min Z = 2 x 1 +3 x 21 2 ? ≥ 12 2 1 ? x , x ≥ 0 .? ?2 x 1 + x 2 ≤ 2st ?3x + 4 x (2) max Z = 3x 1 + 2 x 2x , x ≥ 0 1 2该问题⽆解≥ 12 2 1 ? ? 2 x 1 + x 2 ≤ 2st .?3 x +4 x ( 2 ) max Z = 3 x 1 + 2 x 2第⼀章习题解答3 2 1x = 1, x = 1, Z = 3是⼀个最优解⽆穷多最优解，1 2x , x ≥ 0 ? 2 1 ? ? ? 4 x 1 + 6 x 2 ≥ 6st .?2 x + 2 x ≥ 4 (1) min Z = 2 x 1 +3 x 2该问题有⽆界解1 2x , x ≥ 0 ? ≤ 2 2 1 ? .? 2 x 1 - x 2 ≥ 2st- 2 x + 3x (4) max Z = 5x 1 + 6 x 2第⼀章习题解答唯⼀最优解， x 1 = 10, x 2 = 6, Z = 16 ≤ 82 5 ≤ x ?1 ? 5 ≤ x ≤ 10 .?max Z = x 1 + x 26 x 1 + 10 x 2 ≤ 120st ?(3)第⼀章习题解答运筹学教程1.2 将下述线性规划问题化成标准形式。
运筹学(第二版)课后答案
４０５
附录四习题参考答案
CB -M 0 -M σj -M 5 -M σj 1 0 -M σj
XB X6 X5 X7 X6 X2 X7 X3 X2 X7
4 X1 3 2 1 4+4M -1 2 -1 4-2M -1 2 -2 5-2M
5 X2 2 1 1 5+3M 0 1 0 0 0 1 0 0
（1） 、 （2）答案如下表所示，其中打三角符号的是基本可行解，打星 号的为最优解：
４０２
附录四习题参考答案
x1 x2 x3 x4 x5 z x1 x2 x3 △ 0 0 4 12 18 0 0 0 0 △ 4 0 0 12 6 12 3 0 0 6 0 -2 12 0 18 0 0 1 △ 4 3 0 6 0 27 -9/2 0 5/2 △ 0 6 4 0 6 30 0 5/2 0 *△ 2 6 2 0 0 36 0 3/2 1 4 6 0 0 -6 42 3 5/2 0 0 9 4 -6 0 45 0 0 5/2 1.3 (1)解：单纯形法 首先，将问题化为标准型。加松弛变量 x3，x4，得
1 0 1 0 0 （P 1，P 2，P 3，P 4，P 5）即 0 2 0 1 0 3 2 0 0 1 x1 x3 4 1 0 1 0 2 0 线性独立，故有 2 x 2 12 x 4 因（P 1，P 2，P 3） 3x 2 x 18 x 2 5 3 2 0 1 x1 x3 4 令非基变量 x4 , x5 0 得 2 x 2 12 → 3x 2 x 18 2 1
12400120300175max547543216543215443217654321?jxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxstxxxxxxxzj第二章对偶理论和灵敏度分析21对偶问题为1????????????????02211042010min2121212121yyyyyyyystyys2????????????????????????无约束32131321213213210013312245minyyyyyyyyyyyyystyyys3???????????????????????????无约束32132132132131321001373323232253minyyyyyyyyyyyyyystyyys4?????????????????????????无约束3213213213213210071036655552015maxyyyyyyyyyyyystyyys附录四习题参考答案410221因为对偶变量ycbb1第k个约束条件乘上0即b1的k列将为变化前的1由此对偶问题变化后的解y1y2
运筹学第二章课后题
习题2.1某厂利用A 、B 两种原料生产甲、乙、丙三种产品，已知单位产品所需的原料、利润及有关数据如表2—3所示。
表2—3 两种原料生产三种产品的有关数据产品甲 产品乙 产品丙 拥有量 原料A 6 3 5 45 原料B 3 4 5 30 单位利润 4 1 5 请分别回答下列问题：（1） 求使该厂获利最大的生产计划。
（2） 若产品乙、丙的单位利润不变，当产品甲的单位利润在什么范围内变化时，最优解不变？（3） 若原料A 市场紧缺，除拥有量外一时无法购进，而原料B 如数量不足可去市场购买，单价为0.5，问该厂是否应该购买，且以购进多少为宜？解：（1）设产品甲的产量为x 1，产品乙的产量为x 2，产品丙的产量为x 3. 目标函数为:Max z =4 x 1 + x 2+5 x 3约束条件：s.t.{ 6x 1+3x 2+5x 3≤45；3x 1+4x 2+5x 3≤30；x 1,x 2,x 3≥0；该线性规划模型为：答：该厂获利最大的生产计划为产品甲产量为5，产品乙产量为0，产品丙产量为3，总利润为35。
（2）敏感性报告为：答：如数据显示，产品甲的单位利润变化范围为：[3，6]。
（3）敏感性报告为：由敏感性报告显示原料B允许的增量为15，其影子价格为0.667，又因为市场上原料B单价为0.5，此时，总利润为37.5。
答：该厂可购买15。
习题2.3已知某工厂计划生产三种产品，各产品需要在设备A、B、C上加工，有关数据如表2—5所示。
表2—5 生产三种产品的有关数据产品A产品B产品C每月设备有效台时设备A8210300设备B1058400设备C21310420单位利润（千元）32 2.9请分别回答下列问题：(1)如何充分发挥设备能力，才能使生产盈利最大？(2)为了增加产量，可借用其他工厂的设备B，若每月可借用60台时，租金为1.8万元，问借用设备B是否合算？(3)若另有两种新产品（产品4和产品5），其中生产每件新产品4需用设备A、B、C各12、5、10台时，单位赢利2.1千元；生产每件新产品5需用设备A、B、C各4、4、12台时，单位赢利1.87千元。
运筹学习题答案(第二章)
0
-5/4
(j)
第二章习题解答
2.4 给出线性规划问题 写出其对偶问题；(2)用图解法求解对偶问题；(3)利用(2)的结果及根据对偶问题性质写出原问题最优解。
最优解是：y1=-8/5,y2=1/5,目标函数值-19/5。
01
由于 y1=-8/5,y2=1/5都不等于零，原问题中的约束取等号。又上面第4个约束不等号成立，故x4=0，令x3=0就可以得到最优解： x1=8/5,x2=1/5。
3
2
5
0
0
0
CB
基
b
X1
X2
X3
X4
X5
X6
2
X2
15-7/4
1/4
1
0
0
0
1/4
5
X3
30+
3/2
0
1
0
1/2
0
0
X4
3 /2-5
-1
0
0
1
-1/2
-1/2
Cj－Zj
-7
0
0
-1
-2
0
第二章习题解答
第二章习题解答
2.14 某厂生产A，B，C三种产品，其所需劳动力、材料等有关数据见下表：
第二章习题解答
已知原问题最优解为X*=(2，2，4，0)，代入原问题，第4个约束不等式成立，故y4=0。有由于x1,x2,x3大于0，上面对偶问题前3个约束取等号，故得到最优解： y1=4/5, y2,=3/5, y3=1, y4=0
第二章习题解答
2.8 已知线性规划问题A和B如下：
01
01
02
2.6 已知线性规划问题
运筹学课后答案2
运筹学（第2版）习题答案2第1章 线性规划 P36~40第2章 线性规划的对偶理论 P68~69 第3章 整数规划 P82~84 第4章 目标规划 P98~100 第5章 运输与指派问题 P134~136 第6章 网络模型 P164~165 第7章 网络计划 P185~187 第8章 动态规划 P208~210 第9章 排队论 P239~240 第10章 存储论 P269~270 第11章 决策论 Pp297－298 第12章 博弈论 P325~326 全书360页由于大小限制，此文档只显示第6章到第12章，第1章至第5章见《运筹学课后答案1》习题六6.1如图6－42所示，建立求最小部分树的0－1整数规划数学模型。
【解】边[i ，j ]的长度记为c ij ，设⎩⎨⎧=否则包含在最小部分树内边0],[1j i x ij数学模型为：,12132323243434364635365612132434343546562324463612132446362335244656121324354656m in 52,22,233344,510ij ijij i j ij Z c x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ==++≤++≤++≤++≤+++≤+++≤+++≤++++≤++++≤+++++≤=∑或,[,]i j ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩所有边6.2如图6－43所示，建立求v 1到v 6的最短路问题的0－1整数规划数学模型。
图6－42【解】弧(i ，j )的长度记为c ij ，设⎩⎨⎧=否则包含在最短路径中弧0),(1j i x ij数学模型为：,1213122324251323343524344546253545564656m in 100,00110,(,)ijiji jij Z cx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x i j =⎧+=⎪---=⎪⎪+--=⎪⎪+--=⎨⎪++-=⎪⎪+=⎪=⎪⎩∑或所有弧 6.3如图6－43所示，建立求v 1到v 6的最大流问题的线性规划数学模型。
《运筹学》(第二版)课后习题参考答案
生产工序
所需时间（小时）
每道工序可用时间（小时）
1
2
3
4
5
成型
3
4
6
2
3
3600
打磨
4
3
5
6
4
3950
上漆
2
3
3
4
3
2800
利润（百元）
2.7
3
4.5
2.5
3
解：设 表示第i种规格的家具的生产量（i=1,2,…,5），则
s.t.
通过LINGO软件计算得： ．
11．某厂生产甲、乙、丙三种产品，分别经过A，B，C三种设备加工。已知生产单位产品所需的设备台时数、设备的现有加工能力及每件产品的利润如表2—10所示。
－10/3
－2/3
0
故最优解为 ，又由于 取整数，故四舍五入可得最优解为 , ．
（2）产品丙的利润 变化的单纯形法迭代表如下：
10
6
0
0
0
b
6
200/3
0
1
5/6
5/3
－1/6
0
10
100/3
1
0
1/6
－2/3
1/6
0
0
100
0
0
4
－2
0
1
0
0
－20/3
－10/3
－2/3
0
要使原最优计划保持不变，只要 ，即 ．故当产品丙每件的利润增加到大于6.67时，才值得安排生产。
答：（1）唯一最优解：只有一个最优点；
（2）多重最优解：无穷多个最优解；
（3）无界解：可行域无界，目标值无限增大；
运筹学II习题解答
第七章 决策论1. 某厂有一新产品，其面临的市场状况有三种情况，可供其选择的营销策略也是三种，每一钟策略在每一种状态下的损益值如下表所示，要求分别用非确定型决策的五种方法进行决策(使用折衷法时α＝0.6)。
营销策略 市 场 状 况Q1 Q2 Q3S1 S2 S3 50 30 10 10 25 10 －50 10【解】（1） 悲观法：根据“小中取大”原则，应选取的经营策略为s3；（2） 乐观法：根据“大中取大”原则，应选取的经营策略为s1；（3） 折中法（α=0.6）：计算折中收益值如下：S1折中收益值=0.6⨯50+0.4⨯ (-5)=28S2折中收益值=0.6⨯30+0.4⨯0=18S3折中收益值=0.6⨯10+0.4⨯10=10显然，应选取经营策略s1为决策方案。
（4） 平均法：计算平均收益如下：S1:x _1=（50+10-5）/3=55/3 S2:x _2=(30+25)/3=55/3 S3:x _3=(10+10)/3=10 故选择策略s1,s2为决策方案。
（5） 最小遗憾法：分三步第一，定各种自然状态下的最大收益值，如方括号中所示；第二，确定每一方案在不同状态下的最小遗憾值，并找出每一方案的最大遗憾值如圆括号中所示；第三，大中取小，进行决策。
故选取S 1作为决策方案。
2．如上题中三种状态的概率分别为: 0.3, 0.4, 0.3, 试用期望值方法和决策树方法决策。
（1）用期望值方法决策：计算各经营策略下的期望收益值如下：故选取决策S2时目标收益最大。
（2）用决策树方法，画决策树如下：3. 某石油公司拟在某地钻井，可能的结果有三：无油(θ1)，贫油（θ2）和富油（θ3），估计可能的概率为：P (θ1) =0.5, P (θ2)=0.3，P (θ3)=0.2。
已知钻井费为7万元，若贫油可收入12万元，若富油可收入27万元。
为了科学决策拟先进行勘探，勘探的可能结果是：地质构造差(I1)、构造一般(I2)和构造好(I3)。
运筹学基础(第2版)何坚勇 第四章习题答案
解：
• 当右端列向量b • X B =B-1b • -Z =-CBB-1 b
b+b改变第三列 X'B = B-1 （b+b） -Z' =-CBB-1（ b+b）
•A、若X'B = B-1 （b+b）0 •因为没有变 •则最优基不变，最优解为X'B 和 Z'
不大于0
• • • •
B、若X'B = B-1(b+b)0 因为0没有变， X'B = B-1 （b+b） X'N = 0 X'B
化标准型
max z=-8x1-6x2 -3x3 -6x4 s.t -x1-2x2 -x4 3 ( 4.5.1) -3x1-x2 -x3 -x4 6 -x3 -x4 2 -3x1 -x3 2 Xj 0, j=1,2,3,4 最优解: X（0）=（1，1，2 ， 0）T
写对偶问题 min f=3w1+6w2 +2w3 +2w4 s.t -w1-3w2 –w4 -8
5/14 -3/14
-1/7 2/7
P
3 4 1 0 1
（P1， P2， P3， P4）
5 2 0
代入
= （ C´1 ， C´2，0，0）-（ C´2 ， C´1） B-1（P1， P2， P3， P4） = （ C´1 ， C´2，0，0） 5/14 -3/14 3 4 1 0 1
（ C´2 ， C´1）
Xj 0, j=1,2,3,4
最优解: X（0）=（1，1，2 ， 0）T
互补松弛条件 最优解: X（0）=（1，1，2 ， 0）T
• 即Xj 0,
j=1,2,3
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第七章决策论1.某厂有一新产品，其面临的市场状况有三种情况，可供其选择的营销策略也是三种，每一钟策略在每一种状态下的损益值如下表所示，要求分别用非确定型（1）悲观法：根据“小中取大”原则，应选取的经营策略为s3；（2）乐观法：根据“大中取大”原则，应选取的经营策略为s1；（3）折中法（α=0.6）：计算折中收益值如下：S1折中收益值=0.6⨯50+0.4⨯(-5)=28S2折中收益值=0.6⨯30+0.4⨯0=18S3折中收益值=0.6⨯10+0.4⨯10=10显然，应选取经营策略s1为决策方案。
（4）平均法：计算平均收益如下：S1:x_1=（50+10-5）/3=55/3S2:x_2=(30+25)/3=55/3S3:x_3=(10+10)/3=10故选择策略s1,s2为决策方案。
（5）最小遗憾法：分三步第一，定各种自然状态下的最大收益值，如方括号中所示；第二，确定每一方案在不同状态下的最小遗憾值，并找出每一方案的最大遗憾值如圆括号中所示；第三，大中取小，进行决策。
故选取S1作为决策方案。
2．如上题中三种状态的概率分别为: 0.3, 0.4, 0.3, 试用期望值方法和决策树方法决策。
（1）用期望值方法决策：计算各经营策略下的期望收益值如下：故选取决策S2时目标收益最大。
（2）用决策树方法，画决策树如下：3. 某石油公司拟在某地钻井，可能的结果有三：无油(θ1)，贫油（θ2）和富油（θ3），估计可能的概率为：P (θ1) =0.5, P (θ2)=0.3，P (θ3)=0.2。
已知钻井费为7万元，若贫油可收入12万元，若富油可收入27万元。
为了科学决策拟先进行勘探，勘探的可能结果是：地质构造差(I1)、构造一般(I2)和构造好(I3)。
根据过去的经验，地质构造与出油量间的关系如下表所示：P (I j|θi) 构造差(I1) 构造一般(I2) 构造好(I3)无油(θ1) 0.6 0.3 0.1贫油(θ2) 0.3 0.4 0.3富油(θ3) 0.1 0.4 0.5假定勘探费用为1万元, 试确定：(1)是否值得先勘探再钻井?(2)根据勘探结果是否值得钻井？【解】第一步第二步，画出决策树如下：第三步，计算后验概率首先，知，各种地质构造的可能概率是：再由得到，每一种构造条件下每一状态发生的概率：E(s 1)=-7⨯0.7313+5⨯0.2195+20⨯0.0488=-3.0484若勘探得到结果为“构造一般”，则有：E(s 2)=-7⨯0.4286+5⨯0.3429+20⨯0.2286=3.2863若勘探得到结果为“构造好”，则有：E(s 3)=-7*0.2083+5*0.3750+20*0.4167=8.7509E(勘探)=∑=ni 1E(s i )P(I i )=-3.0484⨯0.41+3.2863⨯0.35+8.7509⨯0.24=2.0006已知，勘探成本为1万元，所以值得先勘探后钻井；同时，由于不钻井的期望收益为0，勘探后的结果为值得钻井。
4. 某企业拟从3名干部中选拔一人担任总经理助理，选拔的标准包括健康状况、业务知识、写作能力、口才、政策水平和工作作风6个方面。
这6个方面经过比较后得出的判断矩阵如下：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1132221133/1113/13/115/14/14/12/13512/112/1142112/114111A 经过对三个对象按每一标准权衡，得到的判断矩阵依次是：试应用AHP 方法，对三个候选人ABC 排出优先顺序。
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13/123142/14/11⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1252/1145/14/11⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛113113/13/131⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛17/15/171353/11⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛17/17/1711711⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛15/19/1517/1971【解】对于C1矩阵：C1 P1P2P3P1 1 1/4 1/2 V1=0.5 W1=0.1365P2 4 1 3 V2=2.2894 W2=0.625P3 2 1/3 1 V3=0.8736 W3=0.2385∑V=3.663对于C2矩阵：C2 P1 P2P3P1 1 1/4 1/5 V1=0.3684 W1=0.0974P2 4 1 1/2 V2=1.2599 W2=0.3331P3 5 2 1 V3=2.1544 W3=0.570∑V=3.7827对于C3矩阵：C3P1P2P3P1 1 3 1/3 V1=1 W1=0.3189P21/3 1 1 V2=0.6934 W2=0.2211P3 5 2 1 V3=1.4422 W3=0.46∑V=3.1356对于C4矩阵：C4P1P2P3P1 1 1/3 5 V1=1.1856 W1=0.279P2 3 1 7 V2=2.7589 W2=0.6491P31/5 1/7 1 V3=0.3057 W3=0.0719∑V=4.2502对于C5矩阵：C5P1P2P3P1 1 1 7 V1=1.9129 W1=0.4667P2 1 1 7 V2=1.9129 W2=0.4667P31/7 1/7 1 V3=0.2733 W3=0.0667∑V=4.0991对于C6矩阵：C6P1P2P3P1 1 7 9 V1=3.9791 W1=0.772P21/7 1 5 V2=0.8939 W2=0.1734P31/9 1/5 1 V3=0.2811 W3=0.0545∑V=5.1541对于A矩阵：1 1 1 4 1 1/2 V1=1.1225 W1=0.16851 12 4 1 1/2 V2=1.2599 W2=0.18911 1/2 1 53 1/2 V3=1.2464 W3=0.18711/4 1/4 1/5 1 1/3 1/3 V4=0.334 W4=0.05011 1 1/3 3 1 1 V5=1 W5=0.15012 2 23 1 1 V 6=1.6984 W 6=0.255∑V=6.6612第八章 对策论1． 求解下列的矩阵对策，并明确回答它们分别是不是既约矩阵？有没有鞍点？（1） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---3258414122 （2） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡612443122 （3） ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡6132445343221272 （4） ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡4532312265833427645608139 【解】（1） -2 12 -4 第二行优超于第三行1 4 8 第1列优超于第2列-5 2 3 不是既约矩阵这个矩阵对策有鞍点为a 21=1（2） 2 2 1 第二行优超于第一行3 4 4 不是既约矩阵，2 1 6 这个矩阵鞍点为a 21=3（3） 2 7 2 1 第三行优超于第二行2 234 第1列优超于第2列3 54 4 不是既约矩阵2 3 1 6 该矩阵对策有鞍点为a 31=3(4) 9 3 1 8 0 第二行优超于第五行6 5 4 67 第3列优超于第4列2 43 3 8 不是既约矩阵5 6 2 2 1 该矩阵对策有鞍点为a 23=43 2 3 5 42． 试证明在矩阵对策：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22211211a a a a A 中，不存在鞍点的充要条件是有一条对角线的每一元素大于另一条对角线上的每一元素。
3． 先处理下列矩阵对策中的优超现象，再利用公式法求解：A ＝⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡3880667864959379520503043 【解】对矩阵A 观察可知：3 4 0 3 0 第三行优超于第二行5 0 2 5 9 第四行优超于第一行7 3 9 5 9 故可划去第一行和第二行4 6 8 7 6 第1，2，4，5列都优超于第3列6 0 8 8 3 第2列优超于第4，5列故可划去第3，4，5列，得到：7 34 6 第一行优超于第三行，可划去第三行6 07 34 6解之：e=7+6-（4+3）=6 p 3=d-c/e=1/3 p 4=a-b/e=2/3q 1=d-b/e=1/2 q 2=a-c/e=1/2V G =ad-bc/e=5所以 p*=(0,0,1/3,2/3,0) q*=(1/2,1/2,0,0,0)T4． 利用图解法求解下列矩阵对策：（1）A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2114672 （2）A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡2581031 【解】（1） 假定局中人Ⅱ取混合策略（q ，1－q ）局中人I 随机地取纯策略a 1,a 2,a 3于是根据公式E(a i ，q)=∑ja ij q j 有：E(a 1 ,q)=a 11q+a 12(1-q)=a 12+(a 11-a 12)q=7-5qE(a 2 ,q)=a 21q+a 22(1-q)=a 22+(a 21-a 22)q=4+2qE(a 3 ,q)=a 31q+a 32(1-q)=a 32+(a 31-a 32)q=2+9q于是，可得到如下图示：按照大中取小准则，应有：7529E q E q =-⎧⎨=+⎩得5/143514q E =⎧⎪⎨=⎪⎩所以局中人Ⅱ的最优混合策略q *=5/149/14⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 由图可知，当局中人I 出a2时，期望收益小于均衡收益E*，故令p2＝0 同时，因为q1>0，q2>0，所以有：2111373/14712373/14131p p p p p p ⨯+⨯=⎧⎪⨯+⨯=⎨⎪+=⎩得19/1435/14p p =⎧⎨=⎩ 所以p*＝(9/14，0，5/14) 【解】（2）E(p ,b 1)=a 11p+a 21(1-p)=a 21+(a 11-a 21)p=8-7pE(p ,b 2)=a 12p+a 22(1-p)=a 22+(a 12-a 22)p=5-2pE(p ,b 3)=a 13p+a 23(1-p)=a 23+(a 13-a 23)p=2+8p于是，有如下图示：按照小中取大准则，有：5228E p E p =-⎧⎨=+⎩得3/10245p E =⎧⎪⎨=⎪⎩所以p*=( 3/10,7/10) 由图可知，当局中人II 出b1时，期望收益大于均衡收益E*，故令q 1*=0又因为 p 1*=3/10﹥0 ,p 2*=7/10﹥03210322/5522322/5231q q q q q q +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解得：24/531/5q q =⎧⎨=⎩ q*=(0 , 4/5 ,1/5)T5． 已知矩阵对策：A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡060800004 的解为：x*＝（6/13,3/13,4/13）,y*＝(6/13,4/13,3/13)T ，对策值为24/13，求下列矩阵对策的解：（1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2821022226 （2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------242226222 （3）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡203820442020202032 【解】（1）对于（1），根据定理8.6，因为A 1＝A ＋2所以，对策的值V G1=V G +k=24/13+2=50/13解为：X*=(6/13 ,3/13 ,4/13 )Y*=(6/13 ,4/13 ,3/13)T（2）因为对⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------242226222的第一列和第三列换位，得到：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------242622222=2060800004-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ 所以，T(G B ) = T(G A ) 所以V GB V GA -2= V GB =24/13-26/13=-2/13 但由于列换了位，所以解应为：X*=(6/13 ,3/13 ,4/13) Y*=(3/13 ,4/13 , 6/13)T（3）6． 用行列式解法求解下列矩阵对策：（1）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-1140322210414301 （2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡032104321 【解】（1） 1 0 3 4 第四行优超于第二行-1 4 0 1 第1列优超于第4列2 2 23 划去第二行和第4列0 4 1 1得到： 1 0 3 第1列优超于第3列2 2 2 第二行优超于第一行0 4 1 划去第一行和第3列得到： 2 20 4 故鞍点为a 31=2（2） 1 2 34 0 12 3 0 此矩阵为既约矩阵先求局中人Ⅰ的混合策略：第1列减第2列，第2列减第3列得 -1 -1 a 1：12-1=11 , a 2：-3-1=-－4 , a 3：1+4=54 -1 策略的混合比为 11：4：5-1 3 所以p*=(11/20 ,4/20 ,5/20)=(11/20 ,1/5 ,1/4)再求局中人Ⅱ的混合策略：第一行减第二行，第二行减第三行得 -3 2 2 b 1：2+6=8 , b 2：-3-4=－7 , b 3：9-4=52 -3 1 策略的混合比为 8：7：5所以q*=（8/20，7/20，5/20）T=（2/5，7/20，1/4）T7． 试用线性规划方法求解下列矩阵对策：（1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡446662428 （2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡121130202 【解】（1）（P ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥++≥++≥++++03,2,1134261413426121362218)321min(x x x x x x x x x x x x x x x (D)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤++≤++≤++++03,2,1134241613626121342218)321max(y y y y y y y y y y y y y y y解之，X=(0 ,1/14 ,1/7) Y=(1/14 ,1/14 ,1/14) V G =1/∑Xi =14/3 所以，p*=V G X=(0 ,1/3 ,2/3)， q*=V G Y=(1/3 ,1/3 ,1/3)T(P)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥++≥++≥++++03,2,1132121322310132012)321min(x x x x x x x x x x x x x x x (D)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤++≤++≤++++03,2,1132211323101322012)321max(y y y y y y y y y y y y y y y解之，得到：X=(1/4 ,0 ,1/2) Y=(1/2 ,1/4 ,0) V G =1/∑Xi =4/3所以，p*=V G X=(1/3 ,0 ,2/3)，q*＝V G Y ＝(2/3 ,1/3 ,0)T8． 试写出“石头·剪刀·布”两碰吃游戏的赢得矩阵并求解双方的最优策略。