运筹学例题

例9 分析在原计划中是否应该安排一种新产品。

以第一章例1为例。

设该厂除了生产产品Ⅰ、Ⅱ外，现有一种新产品Ⅲ。

已知生产产品Ⅲ，每件需要消耗原材料A ，B 各为6kg ，3kg ，使用设备2台时；每件可获利5元。

问改产是否应生产该产品和生产多少？若能以10个单位的价格再买进15单位的原材料A ，这样做是否有利？
()()T
B P B
C c 3,6,20,125.0,5.153133-='-'='-σ
=1.25＞0
21max x x z +=
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥≤+-≤+为整数
21212
121,0,13651914x x x x x x x x ()T
n X ⎪⎭⎫ ⎝⎛=310,23
()629=*z 2,111≥≤x x
21max x x z += 21max x x z =
（IP1）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤+-≤+为整数212112121,0,113651914x x x x x x x x x （IP2）⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧≥≥≤+-≤+为整数
212112121,0,21
3651914x x x x x x x x x
继续解（IP1）和（IP2），得最优解分别为：
()()()()941,923,2310,37,12211=
⎪⎭
⎫
⎝⎛==
⎪⎭⎫
⎝⎛=z X z X T
T
()9410≤≤*z 3,221≥≤x x
21max x x z = 21max x x z +=
（IP3）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨≥≤≥≤--为整数2121212121,0,22136x x x x x x x x （IP3）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨≥≥≥≤+-为整数
2121212121,0,32
1
36x x x x x x x x
()()1461,2,143333=⎪⎭
⎫
⎝⎛=z X T
IP4无可行解
21max x x z += 21max x x z =
（IP5）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤+-≤+为整数2121212121,0,2113651914x x x x x x x x x x （IP6）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤+-≤+为整数
2121212121,0,31
1
3651914x x x x x x x x x x
()()()3,2,155==z X T
IP6无可行解
14613≤≤*z
()T
2,1433=不为整数
3,211≥≤x x
分别加入问题（IP3）形成两个子问题
21max x x z += 21max x x z =
（IP7）⎪
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪
⎪⎨≥≤≤≥≤+-为整数21211
212121,0,2221
36x x x x x x x x x （IP8）
⎪
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪
⎪⎨≥≤≤≥≤+-为整数
21211
212121,0,32
21
36x x x x x x x x x 这两个子问题的松弛问题分别记为（LP7）和（LP8），它们的可行域D 7和D 8分别表示在图5.3.5的左边和右边。

问题（LP7）的最优解为()()()4,2,277==z X T
，即图5.3.5中的G 点。

问题（LP8）的最优解为()()()4,1,388==z X T
，即图5.3.5中的F 点。

重新定界：由于()
7X
和()
8X
均为整数解。

故有4==z z ，即已求得最优解
()()T X X 2,27==*或()()T
X X 1,38==*。

目标函数最优解4=*
z 。

例1 某火车站一个售票窗口，若到达该窗口购票的顾客按Poisson 流到达，平均每分钟到达1人，假定售票时间服从负指数分布，平均每分钟可售2人，试研究该售票窗口前得排队情况。

解 由题设知，()
()2
1
/2/1===ρμλ，分人，分人。

该系统按∞M /1/M/型处理，于是在统计平衡下，有
() ,2,1,0,2111
=⎪
⎭
⎫
⎝⎛=-=+j p j j j ρρ
平均队长为 ()人11=-=
ρ
ρ
N
平均等待队长为 ()人2
1
12q =-=ρρN
平均等待时间为 ()
()分钟2
1
12q =
-=
ρμρ 平均逗留时间为 ()分钟11
=-=λ
μW
()()2121,,1,v v v v d 最短路为
=。

. ()()3141,,2,v v v v d 最短路为
=。

()()()42143161,,,,,4,v v v v v v v v d 或最短路为
=。

()()53151,,,4,v v v v v d 最短路为
=。

()()642161,,,,7,v v v v v v d 最短路为
=。

例6.3 背包问题：
某卡车载重能力为10吨，现要装三种产品，已知每件产品的重量和利润如下表：
现用动态规划方法求解： 阶段;3,2,1=k
决策变量k x ——第k 阶段的装载件数； 状态变量k s ——第k 阶段初的可装载能力；
状态转移方程()
产品的单件重量为k p x p s s k k k k k -=+1 ()3333s r s f
= 阶段后最优利润公式递推()()
()()
()()1,2,30,max 4411==+=++∈k s f f x
r s f k k
k k s k k
k s D x k k 。

当k =3时，
1
v
v 2
3 6
5
7 6v
图10.5.31
当=2时，
4
610,210010,210
,0332211=-===-====***
s x s x s x 最大利润400=*f
(15分)设有A1、A2和A3三个产地生产某种物资，B1、B2、B3和B4四个销地需要该物资，已知各产地产量、销地销量和产销地之间的单位运价如表5。

1）现已知其一可行调运方案如表所示，试判断该方案运费是否最小？如果不是，请给出运费最小的方案。

2）若产地A1由于生产技术条件的改善，其产量有所提高，最多能生产11吨物资，鉴于销售需要和客观条件的限制，产地A1至少要发出5吨物资，产地A2不允许就地存贮，销地B2要求A3至少供应4个单位产品，请确定此时的运输表及相应的初始调运方案。

例5.4 设有5项工作A，B，C，D，E，需分配甲、乙、丙、丁、戊5个人去完成，每个人只能完成1项工作，每件工作只能由1个人去完成，5个人分别完成各项工作所需的费用如表5.3.3所示，问如何分配工作才能使总费用最省？
()
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
Φ
Φ
Φ
Φ=
5
3
3
4
2
3
3
1
2
4
3
6
2
3
1
3
1
2
ij
c
()
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
=
6
4
4
3
2
2
3
2
3
2
6
1
3
3
3
ij
c
此时，独立零元素的个数5=m 。

于是已求得最优解151********=====*
****x x x x x ，其余
0=*ij x 。

目标函数最优值为
2814161715=⨯+⨯+⨯+⨯=*
z
为节约成本，舍弃甲和乙二人，而让丙、丁和戊来完成这五项工作。

根据实际情况，可以允许每个人完成一项或者两项工作，试确定该指派问题的标准型系数矩阵。