运筹学例题解析

(一)线性规划建模与求解B.样题：活力公司准备在5小时内生产甲、乙两种产品。

甲、乙两种产品每生产1单位分别消耗2小时、1小时。

又根据市场需求信息，乙产品的产量应该至少是甲产品产量的3倍。

已知甲、乙两种产品每销售1单位的利润分别为3百元和1百元。

请问：在5小时内，甲、乙两种产品各生产多少单位，才能够使得总销售利润最大？要求：1、建立该问题的线性规划模型。

2、用图解法求出最优解和最大销售利润值，并写出解的判断依据。

如果不存在最优解，也请说明理由。

解：1、(1)设定决策变量： 设甲、乙两种产品分别生产x 1、x 2单位 。

(2)目标函数： max z=2 x 1+x 2(3)约束条件如下：12211225..3,0+≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩x x s t x x x x2、该问题中约束条件、目标函数、可行域和顶点见图1所示，其中可行域用阴影部分标记，不等式约束条件及变量约束要标出成立的方向，目标函数只须画出其中一条等值线，结论：本题解的情形是： 无穷多最优解 ，理由： 目标函数等值线z=2 x 1+x 2与约束条件2 x 1+x 2≤5的边界平行 。

甲、乙两种产品的最优产量分别为 (5,0)或(1,3)单位；最大销售利润值等于 5 百元。

（二）图论问题的建模与求解样题A.正考样题（最短路问题的建模与求解，清华运筹学教材编写组第三版267-268页例13）某企业使用一台设备，每年年初，企业都要做出决定，如果继续使用旧的，要付维修费；若购买一台新设备，要付购买费。

但是变卖旧设备可以获得残值收入，连续使用1年、2年、3年、4年以上卖掉的设备残值分别为8万元、6万元、3万元和0万元。

试制定一个5年的更新计划，使总支出最少。

已知设备在各年的购买费与维修费如表2所示。

要求：（1）建立某种图论模型；（2）求出最少总支出金额。

解：（1）建立图论——最短路问题模型。

①设点V i 表示第i 年年初，虚设一个点V 6，表示第五年年底；②弧(V i , V j )表示第i 年初购进一台设备一直使用到第j 年初(即第i-1年年底)再卖掉并获得残值收入；③弧(V i , V j )上的权数表示第i 年初购进一台设备，一直使用到第j 年初所需支付的购买、维修及抵扣残值收入以后的全部费用（单位：万元）。

例如：弧(V 1, V 4)上的费用权数30=11+(5+6+8)-3=27(万元)。

模型如图2所示：（2）用Dijkstra 法求解从V 1到V 6的最短路。

给起点V 1标号（0,v 1）；1.I={v 1} ; J={v 2,v 3,v 4,v 5,v 6} 弧集合{[v 1,v 2]、[v 1,v 3] 、[v 1,v 4] 、[v 1,v 5] 、[v 1,v 6]} s 12=l 1+b 12=0+8=8;s 13=l 1+b 13=0+16=16;s 14=l 1+b 14=0+27=27; s 15=l 1+b 15=0+41=41;s 16=l 1+b 16=0+59=59∵min{s 12,s 13,s 14,s 15,s 16}=min{8,16,27,41,59}=8= s 12=l 2 ∴给v 2标号（8,v 1） 2.I={v 1,v 2} J={ v 3,v 4,v 5,v 6}弧集合{[v 1,v 3] 、[v 1,v 4] 、[v 1,v 5] 、[v 1,v 6] 、[ v 2,v 3]、[v 2,v 4]、[v 2,v 5]、[v 2,v 6]} s 23=l 2+b 23=8+8=16;s 24=l 2+b 24=8+16=24;s 25=l 2+b 25=8+27=35;s 26=l 2+b 26=8+41=49 ∵min{s 13,s 14,s 15,s 16,s 23,s 24,s 25,s 26}=min{16,27,41,59,16,24,35,49}=16= s 13或s 23=l 3 ， ∴任选一个s 13，选择给v 3标号（16, v 1）。

3.I={v 1,v 2,v 3} J={v 4,v 5,v 6} 弧集合{[v 1,v 4]、[v 1,v 5] 、[v 1,v 6] 、[v 2,v 4]、[v 2,v 5] 、[v 2,v 6]、[v 3,v 4]、[v 3,v 5] 、[v 3,v 6] }s 34=l 3+b 34=16+9=25; s 35=l 3+b 35=16+27=35;s 26=l 2+b 26=8+41=49 ∵min{s 14,s 15,s 16,s 24,s 25,s 26,s 34,s 35,s 36}=min{27,41,59,24,35,49,25,35,49}=24=s 24=l 4 ∴给v 4标号（24,v 2）4.I={v 1,v 2,v 3,v 4} J={v 5,v 6} 弧集合{ [v 1,v 5] 、[v 1,v 6] 、[v 2,v 5] 、[v 2,v 6]、 [v 3,v 5] 、[v 3,v 6]、[v 4,v 5] 、[v 4,v 6 } s 45=l 4+b 45=24+9=33; s 46=l 4+b 46=24+17=41∵min{s 15,s 16,s 25,s 26,s 35,s 36,s 45,s 46}=min{41,59,35,49,35,49,33,41}=33=s 45=l 5 ∴给v 5标号（33,v 4）5.I={v 1,v 2,v 3,v 4,v 5} J={v 6} 弧集合{ [v 1,v 6]、[v 2,v 6]、[v 3,v 6]、[v 4,v 6]、[v 5,v 6] } s 56=l 5+b 56=33+10=43 ∵min{s 16,s 26,s 36,s 46,s 56}=min{59,49,49,41,43}=41=s 46=l 6 ∴给v 6表2171741 28 27 41 v 6 v 5 27v 4 v 2 v 3 1616 98 8 v 1 10 959图2标号（41,v 4）6.I={Φ} J={Φ} 计算终止。

由终点v 6标号反向追踪，可得到v 1到v 6的最短路：v 1→v 2→v 4→v 6,长度为l 6=41,即5年内该设备的最小总支出金额为41万元。

B.考题复习知识点：1.最短路问题求解的基本思想？请查阅课本或其他参考书籍，自行简答总结。

2.掌握用上述“Dijkstra 标号法”求解的步骤和处理方法，考试时书写格式请参照本样题。

3.掌握最短路确定的反向追踪方法和最短距离。

考试题比此题计算量小。

4.掌握图论问题建模的程序，会说明图论模型各组分（弧或边、节点、权数）的实际涵义。

（三）动态规划——“复合系统工作可靠性问题”建模和求解）A ．正考样题及其解答：某厂设计一种电子设备，由三种元件D 1、D 2、D 3组成。

已知这三种元件的单位价格、单位重量和可靠性如表4，要求在设计中所使用元件的费用不超过105元，重量不超过21克。

问应如何设计使设备的可靠性达到最大。

解：（1）建立动态规划模型①按元件的种类数划分阶段，k ＝1,2,3。

每阶段阶段第k 种元件并联几个。

②状态变量x k 表示第k 阶段初尚未使用的费用；状态变量y k 表示第k 阶段初剩余的可增加重量。

显然x 1=105,y 1=21,x k >0,y k >0 。

③决策变量u k 表示第k 阶段元件D k 并联的个数。

允许决策集合：c k 表示第k 种元件的单位费用；w k 表示第k 种元件的单位重量； ④状态转移方程：x k+1＝ x k -c k ·u k ； y k+1＝y k -w k ·u k 。

⑤阶段指标函数d k (u k )表示元件D k 正常工作的概率 ；最优指标函数f k (x k ,y k )表示从元件D k 到元件D 3 正常运行的最大概率。

⑥逆序解法的基本方程如下： （2）用逆序解法求解 ①第3阶段，k=3②第2阶段，k=2 ③第1阶段，k=13333333]]⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭∑∑kkkkj=k+1j=k+1kkkkkkkx -c y -w 1≤u ≤min([ ],[,k =1,2c w D (x , y )=u x y1≤u ≤min([ ],[c w k u k k k d (u )=1-(1-p )[]111(,)444f (,)max ()(,) k=3,2,1(,)1+++∈⎧=⋅⎪⎨=⎪⎩k k k k k k k k k k k k u D x y x y d u f x y f x y []33333f (,)=max ()⎛⎫ ⎪⎝⎭=x y d u 3333u xy 1≤u ≤=min [ ],[]2051-(1-0.5)22223222222205f (,)max [](,)--⎡⎤=⋅--⎣⎦x y f x c u y w u 222u x y 1≤u ≤min([ ],[])1541-(1-0.8)11121111201554f (,)max [](30,3)----⎡⎤=⋅--⎣⎦x y f x u y u 1111u x y 1≤u ≤min([ ],[])3031-(1-0.9)④由于x 1=105,y 1=21,故问题为求出f 1(105,21)即可。

而∴状态转移图如下：结论：求得u *1=1, u *2=2,u *3=2为最优方案，即D 1、 D 2、 D 3三种元件分别并联1个、2 个和2个。

总费用为100元，总重量为21克，可靠性为0.648。

B.正考复习知识点：1.会按照样题解答那样分六步建立动态规划模型。

文字说明方面：准确说明各种变量的实际涵义；数学表达方面：能正确、规范地写出逆序解法的基本方程，阶段变量必须逆着写取值，明确边界条件；在建模时对取值明确的状态变量应该说明其具体值；会以规范的集合语言写出允许决策集合的具体形式；具体写出状态转移方程函数形式；写出阶段指标函数的数学表达式。

考试题目比此题的计算量要小，而且未必会考两个状态的情形。

2.比照样题中的解答步骤来书写答题过程，会绘制“状态转移图”并以此得出结论，会得出全过程最优指标函数值并给出依据。

3.清华大学教材编写组编写《运筹学》第三版237-238页例8计算过程可以参考（但f k (s k )中x k 的范围有错，请按照课件第四章50-53张例4.6.1来改正，答题格式也须参照后者。

（四）线性目标规划或运输问题的建模和求解A.正考样题——非标准运输问题的建模与“表上作业法求解”[]121110520152154222f (105,21)max [](10530,213) =max 0.9(75,18),0.99(45,15)----⎡⎤=⋅--⎣⎦f u u f f 111u 1≤u ≤min([ ],[])3031≤u ≤1-(1-0.9)[]23227520185333f (75,18)max [](7515,184) =max 0.8(60,14),0.96(45,10),0.992(30,6)--⎡⎤=⋅--⎣⎦f u u f f f 222u 1≤u ≤min([ ],[])1541≤u ≤31-(1-0.8)[]2322452015533136014f (45,15)max [](4515,154) =max 0.8(30,11)0.8(30,11)(60,14)max []max (0.5,0.75)0.--=⎡⎤=⋅--⎣⎦====f u u f f f 222333u 1≤u ≤min([ ],[])154u u 1≤u ≤21≤u ≤min([ ],[])2051-(1-0.8)1-(1-0.5)75345103306330114510050750753060505301105========f f f (,)max []max(.,.).(,)max []max(.).(,)max []max(.)333333333u 1≤u ≤21≤u ≤min([ ],[])205u u =11≤u ≤min([ ],[])205u u =11≤u ≤min([ ],[])2051-(1-0.5)1-(1-0.5)1-(1-0.5)05=.23f (45,15)0.8(30,11)0.80.50.4==⨯=f []2f (75,18)=max 0.80.75,0.960.75,0.9920.50.72⨯⨯⨯=[]1f (105,21)=max 0.90.72,0.990.40.648⨯⨯=有三个发电站产地B 1，B 2，B 3需要从两个煤矿A 1，A 2购买煤炭，各自的产量、需求量以及每万吨煤炭的运价（千元）如表5所示。