运筹学例题
运筹学实例 含解析
案例1. 工程项目选择问题某承包企业在同一时期内有八项工程可供选择投标。
其中有五项住宅工程，三项工业车间。
由于这些工程要求同时施工，而企业又没有能力同时承担，企业应根据自身的能力，分析这两类工程的盈利水平，作出正确的投标方案。
有关数据见下表：表1 可供选择投标工程的有关数据统计工程类型 预期利润/元 抹灰量/m 2混凝土量/ m 3砌筑量/ m 3住宅每项 50011 25 000 280 4 200 工业车间每项 80 000480 880 1 800 企业尚有能力108 0003 68013 800试建立此问题的数学模型。
解：设承包商承包X 1项住宅工程，X 2项工业车间工程可获利最高，依题意可建立如下整数模型：目标是获利最高，故得目标函数为21X 80000X 50011z Max +=根据企业工程量能力限制与项目本身特性，有约束：利用WinSQB 建立模型求解：1080002X 4801X 25000≤+3680X 880X 28021≤+13800X 1800X 420021≤+为整数，；，2121X X 3X 5X ≤≤综上，承包商对2项住宅工程，3项车间工程进行投标，可获利最大，目标函数Max z=340022 元。
案例2. 生产计划问题某厂生产四种产品。
每种产品要经过A，B两道工序加工。
设该厂有两种规格的设备能完成A工序，以A1 ，A2表示；有三种规格的设备能完成B工序，以B1 ，B2，B3 表示。
产品D可在A，B任何一种规格的设备上加工。
产品E可在任何规格的A设备上加工，但完成B工序时只能在B1设备上加工。
产品F可在A2及B2 ，B3上加工。
产品G可在任何一种规格的A设备上加工，但完成B工序时只能在B1 ，B2设备上加工。
已知生产单件产品的设备工时，原材料费，及产品单价，各种设备有效台时如下表，要求安排最优的生产计划，使该厂利润最大？设设产品设备有效台时1 2 3 4A1 A2 B1 B2 B357647109812111068108601110000400070004000原料费（元/件）单价（元/件）0.251.250.352.000.502.800.42.4解：设Xia(b)j为i产品在a(b)j设备上的加工数量,i=1,2,3,4;j=1,2,3，得变量列表设备产品设备有效台时Ta(b)j1 2 3 4A1 A2 B1 B2 B3X1a1X1a2X1b1X1b2X1b3X2a1X2a2X2b1X3b2X3b3X3a1X3a2X3b1X3b2X3b3X4a1X4a2X4b1X4b2X4b3601110000400070004000原料费Ci （元/件） 单价Pi （元/件） 0.25 1.25 0.352.00 0.50 2.80 0.4 2.4其中，令X 3a 1，X 3b 1，X 3b 2，X 3b 3，X 4b 3=0 可建立数学模型如下： 目标函数: ∑∑==-=4121)](*[Maxi j iaj Ci Pi X z=1.00*（X 1a 1+X 1a 2）+1.65*（X 2a 1+X 2a 2）+2.30* X 3a 2+2.00*（ X 4a 1+X 4a 2）约束条件：利用WinSQB 求解（X1~X4，X5~X8,X9~X12,X13~X17,X18~X20分别表示各行变量）：4,3,2,1X21j 31==∑∑==i X j ibjiaj2,1T X 41iaj=<=∑=j Taj i iaj 3,2,141=<=∑=j TbjT Xi ibj ibj2,1;4,3,2,10X iaj ==>=j i 且为整数32,1;4,3,2,10X ibj ，且为整数==>=j i 0X X X X X 4b33b33b23b13a1=====综上，最优生产计划如下：设备产品1 2 3 4A1 A2 B1 B2 B3774235004004008732875目标函数zMax=3495，即最大利润为3495案例3. 高校教职工聘任问题 （建摸）由校方确定的各级决策目标为：P 1 要求教师有一定的学术水平。
运筹学20道习题
1．已知线性规划（15分）123123123max 3452102351,2,3jZ x x x x x x x x x x j =++⎧+-≤⎪-+≤⎨⎪≥=⎩0，（1）求原问题和对偶问题的最优解；（2）求最优解不变时c j 的变化范围36.解：（1）化标准型 2分 （2）单纯形法 5分（3）最优解X=(0，7，4)；Z ＝48 （2分） （4）对偶问题的最优解Y ＝（3.4，2.8） (2分)（5）Δc 1≤6，Δc 2≥-17/2，Δc 3≥-6，则 1235(,9),,13c c c ∈-∞≥-≥-(4分)2．某公司要将一批货从三个产地运到四个销地，有关数据如下表所示。
现要求制定调运计划，且依次满足：（1）B 3的供应量不低于需要量； （2）其余销地的供应量不低于85%； （3）A 3给B 3的供应量不低于200； （4）A 2尽可能少给B 1；（5）销地B 2、B 3的供应量尽可能保持平衡。
（6）使总运费最小。
试建立该问题的目标规划数学模型。
3、请用表上作业法解下题，得到最优解,并计算此时总运费：现在有运价表如下:产地销地B1B2B3产量A1 5 1 6 12A2 2 4 0 14A3 3 6 7 4销量9 10 11 30 答案：根据上面运价表以及销量和产量的要求，使用表上作业法：5 1 62 4 03 6 79 10 11得到下面运输方案：检验空格：空格A检验：6 –(0+3) = 3 > 0空格B检验：7 – (3-2) = 6 > 0空格C检验：6 - (1-2) = 7 > 0空格D检验：4 – (1-3)= 6 > 0 故全部符合要求。
总运输费用：2×5 + 3× 2 + 4 × 3 + 10 × 1 + 11 × 0 = 38 答：上面的运输方案为最佳方案，总运费为38。
运筹学例题及解答
运筹学例题及解答一、市场对I、II两种产品的需求量为：产品I在1-4月每月需10000件，5-9月每月需30000件,10-12月每月需100000件；产品II在3-9月每月需15000件，其它月份每月需50000件。
某厂生产这两种产品成本为：产品I在1-5月内生产每件5元，6-12月内生产每件4.50元；产品II在1-5月内生产每件8元，6-12月内生产每件7元。
该厂每月生产两种产品能力总和应不超过120000件。
产品I容积每件0.2立方米，产品II容积每件0.4立方米，而该厂仓库容积为15000立方米，要求：(a)说明上述问题无可行解；(b)若该厂仓库不足时，可从外厂借。
若占用本厂每月每平方米库容需1元，而租用外厂仓库时上述费用增加为1.5元，试问在满足市场需求情况下，该厂应如何安排生产，使总的生产加库存费用为最少。
解： (a) 10-12月份需求总计：100000X3+50000X3=450000件，这三个月最多生产120000X3=360000件，所以10月初需要（450000-360000=90000件）的库存，超过该厂最大库存容量，所以无解。
••（b）考虑到生产成本，库存费用和生产费用和生产能力，该厂10-12月份需求的不足只需在7-9月份生产出来库存就行，则设xi第i个月生产的产品1的数量，yi第i个月生产的产品2的数量，zi，wi分别为第i个月末1，2的库存数s1i，s2i分别为用于第i+1个月库存的原有及租借的仓库容量m3，可建立模型：Lingo 程序为 MODEL: sets: row/1..16/:;!这里n 为控制参数; col/1..7/:; AZ(row,col):b,x; endsetsdata:12111277777787887898998910910109101110111110111211min (4.57)( 1.5)30000150003000015000300001500030000150003000015000.i i i i i i z x y s s x z y w x z z y w w x z z y w w x z z y w w x z z y w w st x z ===+++-=→-=+-=→+-=+-=→+-=+-=→+-=+-=→+-=+∑∑1211121100005000120000(712)0.20.415000(712)0i i i i i i iy w x z i z w s s s i ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨=→+=⎪⎪+≤≤≤⎪+=+⎪⎪≤≤≤⎪⎪⎩变量都大于等于b=1.754167,1.737500,1.737500,1.770833,1.770833,1.762500,1.7 62500,1.667500,1.609167,1.609167,1.650833,1.650833,1.659167 ,1.659167,1.396667,1.380000,1.380000,1.438333,1.438333,1.41 3333,1.413333,1.658333,1.633333,1.633333,1.658333,1.658333, 1.658333,1.658333,1.546667,1.513333,1.513333,1.555000,1.555 000,1.546667,1.546667,1.538333,1.496667,1.496667,1.480000,1 .480000,1.505000,1.505000,1.562500,1.545833,1.545833,1.5791 67,1.579167,1.570833,1.570833,1.645833,1.604167,1.604167,1. 637500,1.637500,1.637500,1.637500,1.670833,1.645833,1.64583 3,1.645833,1.645833,1.654167,1.654167,1.454167,1.420833,1.4 20833,1.412500,1.412500,1.420833,1.420833,1.463333,1.480000 ,1.480000,1.421667,1.421667,1.430000,1.430000,1.682500,1.69 0833,1.690833,1.699167,1.699167,1.690833,1.690833,1.466667, 1.483333,1.483333,1.475000,1.475000,1.466667,1.466667,1.508 333,1.500000,1.500000,1.466667,1.466667,1.475000,1.475000,1 .552500,1.535833,1.535833,1.569167,1.569167,1.560833,1.5608 33,1.542500,1.509167,1.509167,1.550833,1.550833,1.542500, 1.542500;enddatamax=@sum(AZ(i,j): b(i,j)*x(i,j));@for(col(j): @sum(row(i):x(i,j))<=2);@for(col(j): @sum(row(i):x(i,j))>=1);@sum(AZ(i,j):x(i,j))=8;@for(row(i): @sum(col(j):x(i,j))=1);@for(AZ(i,j): @bin(x(i,j)));运行结果：Rows= 32 Vars= 112 No. integer vars= 112 ( all are linear)Nonzeros= 591 Constraint nonz= 448( 448 are +- 1) Density=0.163Smallest and largest elements in abs value= 1.00000 8.00000No. < : 7 No. =: 17 No. > : 7, Obj=MAX, GUBs <= 16Single cols= 0。
运筹学典型题型案例集
运筹学典型题型案例集第一章线性规划1 生产计划问题（（摘自王治祯环境应用数学309页））某企业为了搞好综合利用，用三种废品生产三种副产品，生产情况和利润见下表，求最佳利润。
解：设ABC三种产品的产量为X1X2X3Max Z =5X1+8X2+2X310X1+5X2+3 X3<=4006X1+10X2+2 X3<=4004X1+5X2+4X3<=200经过求解X1=34.23，X2=8.19X3=5.37最大利润为274.412 投资问题解：用Xij表示第i年初（i=1，2，3）给项目j（A，B，C，D）的投资金额。
第一年资金量：30万，可投项目：A、B；故：X1A+X1B＜=30。
第二年资金量：1.2*X1A，可投项目：A、C；故：X2A+X2C＜=1.2*X1A。
第三年资金量：1.2*X2A+1.5*X1B，可投项目：A、B、D；故：X3A+X3B+X3D＜=1.2*X2A+1.5*X1B。
其它条件：X1B＜=20；X2C＜=15；X3D＜=10。
目标：第三年底收益最大。
因投资X3B在第3年底不能收回，故无收益。
则目标函数为：f(x)=0.2*（X1A+ X2A + X3A）+0.5*X1B+0.6* X2C+0.4* X3D LINGO Model如下：max =0.2*(X1A+ X2A + X3A)+0.5*X1B+0.6* X2C+0.4* X3D;X1A+X1B<=30;X2A+X2C<=1.2*X1A;X3A+X3B+X3D<=1.2*X2A+1.5*X1B;@bnd(0,X1B,20); @bnd(0,X3B,20); @bnd(0,X2C,15); @bnd(0,X3D,10);运行结果如下：Global optimal solution found.Objective value: 27.50000Total solver iterations: 2Variable Value Reduced CostX1A 12.50000 0.000000X2A 0.000000 0.6000000E-01X3A 16.25000 0.000000X1B 17.50000 0.000000X2C 15.00000 -0.1000000X3D 10.00000 -0.2000000X3B 0.000000 0.2000000Row Slack or Surplus Dual Price1 27.50000 1.0000002 0.000000 0.80000003 0.000000 0.50000004 0.000000 0.2000000投资计划解释：第一年年初投资A项目12.5万元，投资B项目17.5万元；第二年年初投资C项目15万元；第三年年初投资A项目16.25万元，投资D项目10万元；第三年年年末可获最大收益27.5万元。
(典型例题)《运筹学》运输问题
xj0，yij0，zij0，（i=1,┈,4；j=1,┈,5）
2008/11
--22--
--《Ⅵ 产量
新购 1 第一天 M 第二天 M 第三天 M
第四天 M
1 1 1 1 0 5200
0.2 0.1 0.1 0.1 0 1000
2008/11
--21--
建立模型：
--《运筹学》 运输问题--
设 xj—第j天使用新毛巾的数量；yij—第i天送第j天使用快洗 餐巾的数量；zij—第i天送第j天使用慢洗餐巾的数量；
Min z=∑xj+∑∑0.2yij+∑∑0.1zij
第一天：x1=1000
需 第二天：x2+y12=700
求 约
m1
xij b j (j 1,2,...,n)
i1
x 0 (i 1,...,m,m 1; j 1,...,n) ij
2008/11
--16--
--《运筹学》 运输问题--
销＞产问题单位运价表
产地销地 B1 B2 ┈
A1
C11 C12 ┈
A2
C21 C22 ┈
┊ ┆┊┈
Am Cm1 Cm2 ┈
2008/11
--8--
产销平衡表
--《运筹学》 运输问题--
单位运价表
B1 B2 B3 B4 产量
A1 (1) (2) 4 3 7 A2 3 (1) 1 (-1) 4 A3 (10) 6 (12) 3 9 销量 3 6 5 6
B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5
Ⅰ Ⅱ
示。又如果生产出来的柴
Ⅲ
运筹学试题及答案
运筹学试题及答案一、线性规划试题一某工厂生产A、B两种产品，A产品每件利润为20元，B 产品每件利润为30元。
已知生产一个A产品需10小时，生产一个B产品需15小时。
某次生产过程中，工厂共有50个小时可用于生产，且设定A产品的最少需求量为20件，B产品的最少需求量为15件。
问应该生产多少件A产品和多少件B产品，才能使得工厂的利润最大化？答案一为了使工厂的利润最大化，我们需要建立一个数学模型来描述这个问题。
设工厂生产的A产品数量为x，B产品数量为x。
根据题目中的要求，可得以下条件：1.$10x+15y\\leq50$ （生产时间的限制）2.$x\\geq20$ （A产品的最少需求量）3.$y\\geq15$ （B产品的最少需求量）另外，我们还需要定义目标函数，即使工厂利润最大化：$max\\ Z = 20x+30y$根据以上条件和目标函数，可以得到如下线性规划模型：$max\\ Z = 20x+30y$$\\begin{cases} 10x+15y\\leq50\\\\ x\\geq20\\\\y\\geq15\\\\ x,y\\geq0 \\end{cases}$以上模型可以通过线性规划求解软件进行求解，得到最优解。
试题二某公司有甲、乙、丙三个工厂，每个工厂都可以制造产品A和产品B。
甲工厂每天制造产品A的数量最多为80件，产品B的数量最多为100件；乙工厂每天制造产品A的数量最多为60件，产品B的数量最多为40件；丙工厂每天制造产品A的数量最多为50件，产品B的数量最多为70件。
公司有订单，要求每天至少制造产品A的30件，产品B的50件。
甲工厂生产产品A的成本为5元，产品B的成本为4元；乙工厂生产产品A的成本为4元，产品B的成本为3元；丙工厂生产产品A的成本为3元，产品B的成本为2元。
问如何安排存货以使公司在利润最大化的前提下能够满足订单需求？答案二为了使公司在利润最大化的前提下满足订单需求，我们需要建立一个数学模型来描述这个问题。
运筹学例题——精选推荐
例1-20 （生产计划问题）某工厂明年根据合同，每个季度末向销售公司提供产品，有关信息如表1-45所示，若当季生产的产品过多，季末有积余，则一个季度每积压一吨产品需支付存储费0.2万元，现该厂考虑明年的最佳生产方案，使该厂在完成合同的情况下，全年的生产费用最低. 试建立线性规划模型.表1-45例1-21 （多阶段投资问题）某公司现有资金30万元可用于投资，5年内有下列方案可供采纳：1#方案：在年初投资1元，2年后可收回1.3元；2# 方案：在年初投资1元，3年后可收回1.45元；3#方案：仅在第1年年初有一次投资机会，每投资1元，4年后可收回1.65元；4#方案：仅在第2年年初有一次投资机会，每投资1元，4年后可收回1.7元；5# 方案：在年初贷给其他企业，年息为10%，第二年年初可收回.每年年初投资所得收益及贷款本金利息也可用作安排. 问该公司在5年内怎样使用资金，才能在第六年年初拥有最多资金？例1-22 （混料问题）某糖果厂用原料A，B和C按不同比率混合加工而成甲、乙、丙3种糖果（假设混合加工中不损耗原料）. 原料A，B，C在糖果甲、乙、丙中的含量、原料成本、加工成本、原料限量及糖果售价如表1-47所示.问该厂对这3种糖果各生产多少千克，使得到的利润最大？表 1-47例1-23（下料问题）造纸厂接到定单，所需卷纸的宽度和长度如表1-48所示.(表中具体的单位长度是多少，我们没有给出，视具体问题而定.本教材在一些应用举例中不打算对讨论对象都给出具体的量纲而仅给出数字.例如本题在讨论时，有时连“单位长度”4个字都省去，就说宽度5，长度3000. 以后类似情况，我们不再说明. 当然，在同一问题中，同一讨论对象省去的量纲单位应统一.) 工厂生长1#（宽度10）和2#（宽度20）两种标准卷纸，其长度未加规定.现按定单要求对标准卷纸进行切割，切割后有限长度的卷纸可连接起来达到所需卷纸的长度. 问如何安排切割计划以满足定单需求而使切割损失量最小？。
运筹学例题-打印版
一、绪论一个班级的学生共计选修A 、B 、C 、D 、E 、F 六门课程，其中一部分人同时选修D 、C 、A ，一部分人同时选修B 、C 、F ，一部分人同时选修B 、E ，还有一部分人同时选修A 、B ，期终考试要求每天考一门课，六天内考完，为了减轻学生负担，要求每人都不连续参加考试，试设计一个考试日程表。
二、图解法例1. 某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产，已知生产单位产品所需的设备台时及A 、B 两种原材料的消耗、资源的限制，如下表：工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能使工厂获利最多？ 3.1例2 某公司由于生产需要，共需要A ，B 两种原料至少350吨（A ，B 两种材料有一定替代性），其中A 原料至少购进125吨。
但由于A ，B 两种原料的规格不同，各自所需的加工时间也是不同的，加工每吨A 原料需要2个小时，加工每吨B 原料需要1小时，而公司总共有600个加工小时。
又知道每吨A 原料的价格为2万元，每吨B 原料的价格为3万元，试问在满足生产需要的前提下，在公司加工能力的范围内，如何购买A ，B 两种原料，使得购进成本最低？ 三、单纯形法例1. 某厂生产甲乙两种产品，各自的零部件分别在A 、B 车间生产，最后都需在C 车间装配，相关数据如表所示：问如何安排甲、乙两产品的产量，使利润为最大。
例2. 某名牌饮料在国内有三个生产厂，分布在城市A1、A2、A3,其一级承销商有4个，分布在城市B1、B2、B3、B4，已知各厂的产量、各承销商的销售量及从A i 到B j 的每吨饮料运费为C ij ，为发挥集团优势，公司要统一筹划运销问题，求运费最小的调运方案。
四、线性规划在工商管理中的应用 例1．某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下： 设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?例2．一家中型的百货商场，它对售货员的需求经过统计分析如下表所示。
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某昼夜服务的公交线路
解：设x i 表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员数,这样我们建立如下的数学模型。
目标函数：Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 s.t. x1 + x6≥60 x1 + x2≥70 x2 + x3≥60 x3 + x4≥50 x4 + x5≥20 x5 + x6≥30 x1,x2,x3,x4,x5,x6 ≥0 解得50,20,50,0,20,10（x1到x6）一共需要150人
一家中型的百货商场
解：设x i ( i = 1,2,…,7)表示星期一至日开始休息的人数,这样我们建立如下的数学模型。
目标函数：Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 s.t. x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≥28 x2 + x3 + x4 + x5 + x6≥15 x3 + x4 + x5 + x6 + x7≥24 x4 + x5 + x6 + x7 + x1≥25 x5 + x6 + x7 + x1 + x2≥19 x6 + x7 + x1 + x2 + x3≥31 x7 + x1 + x2 + x3 + x4≥28 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 ≥0 解得12.0.11.5.0.8.0(x1到x7) 最小值36
某工厂要做100套钢架
设x1,x2,x3,x4,x5 分别为5 种方案下料的原材料根数。
这样我们建立如下的数学模型。
目标函数：Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 s.t. x1 + 2x2 +x4≥100 2x3+2x4 +x5≥100
3x1+x2+2x3+3x5≥100 x1,x2,x3,x4,x5≥0 解得30,10,0,50,0 只需要90根原料造100钢架某工厂要用三种原料1、2、3
设设x ij 表示第i 种（甲、乙、丙）产品中原料j 的含量。
目标函数：Max z = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33 s.t. 0.5 x11-0.5 x12 -0.5 x13≥0 -0.25x11+0.75x12 -0.25x13≤0 0.75x21-0.25x22 -0.25x23≥0 -0.5 x21+0.5 x22 -0.5 x23≤0 x11+x21 +x31≤100 x12+x22 +x32≤100 x13+x23+x33≤60 x ij≥0 , i = 1,2,3; j = 1,2,3 解得x11=100,x12=50,x13=50原料分别为第1种100 第2种50 第3种50
资源分配
解：将问题按工厂分为三个阶段，甲、乙、丙三个厂分别编号为1、2、3厂。
设sk= 分配给第k个厂至第3个厂的设备台数（k=1、2、3）。
xk=分配给第k个工厂的设备台数。
已知s1=5, 并有S2=T1(s1,x1)=s1-x1,S3=T2(s2,x2)=s2-x2从Sk与Xk的定义，可知s3=x3
以下我们从第三阶段开始计算。
Maxr3(s3,x3)=r3(s3,x3)即F3（s3）= Maxr3(s3,x3)=r3(s3,x3). 第二阶段F2（s2）=max[r2(s2,x2)+f3(s3)]第一阶段当s1=5时最大盈利为f1(5)=max[r1(5,x1)+f2(5-x1)] 得出2个方案⑴分配给甲0台乙0台丙3台⑵分配甲2台乙2台丙1台，他们的总盈利值都是21.
背包
设Sk＝分配给第k种咨询项目到第四种咨询项目的所有客户的总工作日Xk=在第k种咨询项目中处理客户的数量已知s1=10,有S2=T1(s1,x1)=s1-x1. S3=T2(s2,x2)=s2-3x2. S4=T3(s3,x3)=s3-4x3,第四阶段F4(s4)=maxr4(s4,x4)=r4(s4,[s4/7])第三阶段F3(s3)=max[r3(s3,x3)+f4(s3-4x3)]第二阶段F2(s2)=max[r2(s2,x2)+f3(s2-3x2)]第一阶段已知s1=10，又因s2=s1-x1有F1(10)=max[r1(10,x1)+f2(10-x1)]
综上当x1*=0,x2*=1,x3*=0,x4*=1,最大盈利为28
京城畜产品
解：设：0--1变量xi = 1 (Ai 点被选用）或0 (Ai 点没被选用）。
这样我们可建立如下的数学模型：Max z =36x1+40x2+50x3+22x4+20x5+30x6+25x7+48x8+58x9+61x10 s.t. 100x1+120x2+150x3+80x4+70x5+90x6+80x7+140x8+160x9+180x10 ≤720 x1 + x2 + x3 ≤2 x4 + x5 ≥1 x6 + x7 ≥1 x8 + x9 + x10 ≥2 xi≥0 且xi为0--1变量，i = 1,2,3,……,10 函数值245 最优解1,1,0,0,1,1,0,0,1,1（x1到x10的解）
高压容器公司
设x1，x2，x3 分别为小号容器、中号容器和大号容器的生产数量。
设y i = 1(当生产第i 种容器, 即x i ＞0 时) 或0（当不生产第i种容器即x i = 0 时）。
这样我们可建立如下的数学模型：Max z = 4x1 + 5x2 + 6x3 - 100y1 - 150y2 - 200y3 s.t. 2x1 + 4x2 + 8x3 ≤500
2x1 + 3x2 + 4x3 ≤300 x1 + 2x2 + 3x3 ≤100 x i ≤M y i ，i =1，2，3，M充分大x j ≥0 y j 为0--1变量，i = 1,2,3 函数值300 最优解x1=100,x2=0,x3=0
一工艺品厂商
采用简化模式，最终得到目标线性规划如下：Min P1(d1+)+ P1(d2－)+P2(d3-)+ P3(d4-)+ P3(2d5-)s.t. 2x1+3x2-d1++d1-=680 对应第1个目标2x1+3x2-d2++d2-=600 对应第2个目标250x1+125x2-d3-+d3+＝70000 对应第3个目标x1-d4++d4-=200 对应第4个目标
x2-d5++d5-=120 对应第5个目标x1,x2,d1+,d1-,d2+,d2-,d3+,d3-,d4+,d4-,d5+,d5-≥0先考虑P1 根据上式得出x1=0，x2=200，d1+ =0，d1- =80，d2+= d2−=0，d3+=0，d3−=45 000
P2 上式加一步d1+加d2-=0得可得，x1=270，x2=20，d1+=0，d1−=80，d2+= d2−=0，d3+=d3−=0，d4+=70，d4−=0，d5+=0，d5−=100，目标函数d3−=0
P3 从P2加一步d3-=0 得出x1=250；x2=60；d1+=0；d1-=0；d2+=80；d2-=0；d3+=0；d3-=0；d4+=50；d4-=0；d5+=0；d5-=60，目标函数d4-+2d5- =120。
课件目标1、目标3和目标4达到了，但目标2、目标5都有一些偏差。
某公司装配（统筹方法）
公式Ts=LS-ES=LS-EF即下面数字减上面数字
注：无第2章，第11章,第3章套裁下料问题。