运筹学课件第三章运输问题

第三章运输问题一、学习目的与要求1、掌握表上作业法及其在产销平衡运输问题求解中的应用2、掌握产销不平衡运输问题求解方法 二、课时 6学时第一节 运输问题及其数学模型一、运输问题的数学模型单一品种运输问题的典型情况：设某种物品有m 个产地A 1,A 2,…,A m ，各产地的产量分别是a 1,a 2,…,a m ；有N 个销地B 1,B 2,…,B n ，各销地地销量分别为b 1,b 2,…,b n 。

假定从产地A i (i =1,2, …,m )向销地B j (j =1,2,…,n )运输单位物品的运价是c ij ，问怎样调运这些物品才能使总运费最小？表中x ij i j ij i j如果运输问题的总产量等于其总销量，即有∑∑===nj jm i i ba 11则称该运输问题为产销平衡运输问题；反之，称为产销不平衡运输问题。

产销平衡运输问题的数学模型如下：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥=====∑∑∑∑===+=0,...,2,1,...,2,1..min 11111ij m i jij nj iij m i n j ijij x nj b x mi a x t s x c z这就是运输问题的数学模型，它包含m ×n 个变量，(n 十m)个约束方程．其系数矩阵的结构比较松散，且特殊。

二、运输问题数学模型的特点1、运输问题有有限最优解，即必有最优基本可行解2、运输问题约束条件的系数矩阵A 的秩为(m+n-1)该系数矩陈中对应于变量x ij 的系数向量p ij ，其分量中除第i 个和第m 十j 个为1以外，其余的都为零．即 A ij ＝(0…1…1…0)’=e i +e m+j对产销平衡的运输问题具有以下特点： (1)约束条件系数矩阵的元素等于0或1(2)约束条件系数矩阵的每一列有两个非零元素，对应于每一个变量在前m 个约束方程中出现一次，在后n 个约束方程中也出现一次。

此外，对于产销平衡问题，还有以下特点 (3)所有结构约束条件都是等式约束 (4)各产地产量之和等于各销地销量之和第二节 用表上作业法求解运输问题解题步骤第1步：确定初始基本可行解。

第2步：最优性判别，若最优准则σij ≥0，则当前解最优，计算停止，否则转第3步。

第3步：取一个检验数最小的非基变量做进基变量。

第4步：调整当前基本可行解，转第2步一、确定初始基本可行解（初始调运方案） 以实例介绍：例 某部门有3个生产同类产品的工厂(产地),生产的产品由4个销售点(销地)出售，各工厂的生产量、各销点的销售量（假定产位均为t ）以及各工厂到各销售点的单位运价（元/t ）于下表中，要求研究产品A 最小元素法总运费（目标函数）：24611==∑∑==i j ij ijx cz 这个解满足约束条件，其非零变量的个数为6（等于m+n-1=3+4-1=6）。

B 西北角法总运费（目标函数）：37211==∑∑==i j ij ijx cz 这个解满足约束条件，其非零变量的个数为6（等于m+n-1=3+4-1=6）。

C总运费（目标函数）：24411==∑∑==i j ij ijx cz二、解的最优性检验 1、闭回路法检验数表由于024<σ，故知解不是最优解。

2、对偶变量法（也称位势法）对产销平衡问题，若用n m v v v u u u ,,,,,2121分别表示前m 个约束条件与后n 个约束条件的对偶变量，即有对偶变量),,,,,(2121n m v v v u u u Y =这时对偶问题的对偶规划写成⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≤++='∑∑==的符号不限j i ij j i jnj j i m i i v u nj m i c v u t s u b u a z ,,,2,1,,2,1..max 11由上一章知道，线性规划问题变量x j 的检验数可表示为j j j B j j j j YP c P B C c z c -=-=-=-1σ由此可写出运输问题某变量x ij 的检验数如下：)(),,,,,,,(2121j i ij ij n m ij ij ij ij ij ij v u c P v v v u u u c YP c z c +-=-=-=-= σ现设我们已得到解到了运输问题的一个基可行解，其基变量是1,,,21121-+=n m s x x x s j i j i j i s由于基变量的检验数等于零，故对这组基变量可写出方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+js s i s j is j i j i j i j i cv u c v u c v u ,2,221,11111112这个方程组有m+n-1个方程。

解以上方程组，可得解（上方程组解不唯一），此方程组解称为位势。

由上章知当每个0)(≥+-=j i ij ij v u c σ达到最优解。

例⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+=+=+6532114432332124131v u v u v u v u v u v u 令02=u 得方程组的解：9,4,10,1,3,2234131=-=====v u v u v v 计算检验数由于σ24<0三、解的改进（用闭回路法调整当前基可行解）解的改进步骤：（1）以x ij 为换入变量，找出运输表中的闭回路； （2）对顶点进行编号；（3）确定换出变量：在闭回路上的所有偶数顶点中找出运输量量小的顶点，以该格中的变量为换出变量；（4）以换出变量值为奇数顶点处的运输量增加值，得新的运输方案； （5）检验新的方案是否为最优，如否则重复以上步骤。

⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+=+=+6592114432342124131v u v u v u v u v u v u 令02=u 得方程组的解：2,8,3,2,9,2==-====v v u u v v四、表上作业法计算中的几个问题1、某个基本可行解有几个非基变量的检验数为负若运输问题的某个基可行解有几个非基变量的检验数均为负，在继续进行迭代时，取它们中的任一变量均可使目标函数值得到改善，但通常取σij <0中最小者对应的变量为换入变量。

2、无穷多个最优解当迭代到运输问题的最优解时，如果有某非基变量的检验数＝0，则说明该运输问题有无穷多最优解。

（如上例，为得到另一个最优解，只需让σij ＝0的非基变量进基） 3、退化问题当运输问题某部分产地的产量和与另一部分销地的销量和相等时，在迭代过程中有可能在某个格填入一个运量时需同时划去运输表的一行和一列，这时就出现了退化。

在运输问题中，退化解是时常发生的，为了使表上作业法的迭代工作进行下去，退化解应在同时划去的一行或一列中的某个空格中填入数字0，表示这个格中的变量是取值为0的基变量，使迭代过程中基可行解的分量恰好为m+n-1个。

b.在用闭回路法调整当前基本可行解时，调整量θ的取值应为θ＝min{x ij /( i,j )为闭回路上所有偶数号格点}。

这时可能出现有两个（或以上）偶数号格点的xij 都相等且都为极小值，只能取其中一个为离基格，其余的仍作为基格，而在作运输量调整时，运输量与θ相等的那些偶数号格点的x ij 都将调整为0，因此得到的也是一个退化了的基可行解。

第三节运输问题的进一步讨论一、产销不平衡的运输问题1、如果总产量大于总销量，即∑∑==>nj jm i i ba 11此时运输问题的数学模型为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥===≤=∑∑∑∑====0,...,2,1,...,2,1..min 1111ij m i jij nj iij m i nj ijij x nj b x mi a x t s x c z为借助产销平衡时表上作业法求解，可增加一个假想销地B n+1，由于实际上它不存在，因而由产地A i （i =1,2,…,m ）调运到这个假想销地的物品数量x i,n+1（相当于松驰变量），实际上是就地存贮在A i 的物品数量。

就地存贮的物品数量不经运输，故可令其运价c i,n+1=0（i =1,2,…,m ）。

若令假想销地的销量为b n+1，且∑∑==+-=nj j m i i n b a b 111则模型变为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+=====∑∑∑∑=+==+=01,...,2,1,...,2,1min 111111ij m i j ij n j iij m i n j ijij x n j b x mi a x x c z运输表2、总销量大于总产量可假想增加一个产地A m+1，它的产量等于∑∑==+-=mi i n j j m a b a 111由于这个产地并不存在，求出由它发往各销地的物品数量x m+1,j （j =1,2,…,n ），实际上各销地所需物品的欠缺额，显然有c m+1,j =0（j=1,2,…,n ）。

因此数学模型为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥==+===∑∑∑∑==+==0,...,2,11,...,2,1min 11111ij m i j ij nj iij m i nj ijij x nj b x m i a x x c z例 某市有三个造纸厂A 1,A 2,A 3,其纸产量分别为8，5，9个单位，有4个集中用户B 1,B 2,B 3,B 4,其需用量为4，3，5，6解略:Min z= 49二、有转运的运输问题假定某一产品有m 个产地A 1,A 2,…,A m 和n 个销地B 1,B 2,…,B n ，都可作为中间站使用，从而发送物品的地点和接收物品的地点都有m+n 个。

这样一来，我们就得到一个扩大了的运输问题。

令a i ：表示第 i 个产地的产量（净供应量）；b j ：表示第 j 个销地的销量（净需要量）；x i j ：表示第 i 个发送地运到第 j 个接收地的物品数量； c i j ：表示第 i 个发送地运到第 j 个接收地的单位运价； c i ：表示第 i 个地点转运单位物品的费用。

若将产地与销地统一编号，并把产地排在前，销地排在后，则有02121======+++m n m m m b b b a a a假定为产销平衡问题，即有Q ba nm j jm i i ==∑∑+==11运输表：运价表：例：如下图示出了一个运输系统，它包括两个产地、两个销地及一个中转站，各产地产量和各销地销量用相应节点处箭线旁的数字表示，节点连线上的数字表示其间的运输单价，节点旁的数字为该地的转运单价，试确定最优运输方案。

解：第四节 应用问题举例由于在变量个数相等的情况下，表上作业法的计算远比单纯形法简单得多．所以在解决实际问题时，人们常常尽可能把某些线性规划的问题化为运输问题的数学模型．下面介绍几个典型的例子．例1 某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供10，15，25，20台同一规格的柴油机．已知该厂各季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如表所示．又如果生产出来的柴油机当季不交货的，每台每积压一个季度需储存、维护等费用0.15万元．要求在完成合同的情况下，做出使该厂全年生产(包括储存、维护)费用最小的决策．解: 由于每个季度生产出来的柴油机不一定当季交货，所以设x ij 为第i 季度生产的用于第j 季度交货的柴油机数．根据合同要求，必须满足：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++=+=2025151044342414332313221211x x x x x x x x x x 又每季度生产的用于当季和以后各季交货的柴油机数不可能超过该季度的生产能力，故又有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+≤++≤+++10303525443433242322214131211x x x x x x x x x x 第i 季度生产的用于j 季度交货的每台柴油机的实际成本c ij 应该是该季度单位成本加上储存、维护等费用．c ij 的具体数值见表设用a i 表示该厂第i 季度的生产能力，b j 表示第j 季度的合同供应量，则问题可写成：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥=≤=∑∑∑∑====0min 41414141ij i j ij j iij i j ijij x b x a x x c z因为当j<i 时，x ij =0所以当j<i 时,取c ij =M,M 为一个充分大的正数。