一元函数微分学练习题(答案)
一元函数微分学模拟试卷2(题后含答案及解析)
一元函数微分学模拟试卷2(题后含答案及解析)全部题型 2. 数学(选择题) 3. 数学(填空题) 4. 数学(解答题) 数学部分单项选择题1．设函数f(x)＝x.tanx.esinx，则f(x)是( )．A．偶函数B．无界函数C．周期函数D．单调函数正确答案：B 涉及知识点：一元函数微分学2．设A，B皆为n阶矩阵，则下列结论正确的是( )．A．AB＝0的充分必要条件是A＝0或B＝0B．AB≠0的充分必要条件是A≠0或B≠0C．AB＝0且r(A)＝n，则B＝0D．若AB≠0，则｜A｜≠0或｜B｜≠0正确答案：C 涉及知识点：一元函数微分学3．设cosx-1=xsina(x),其中｜a(x)｜＜π/2,则当x→0时，a(x)是A．比x高阶的无穷小B．比x低阶的无穷小C．比x同阶但不等价的无穷小D．与x等价的无穷小正确答案：C 涉及知识点：一元函数微分学4．设A，B，C均为n阶矩阵，若AB=C，且曰可逆，则A．矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价B．矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价C．矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价D．矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价正确答案：B 涉及知识点：一元函数微分学5．函数f(x)在点x＝a处可导，则函数｜f(x)｜在点x＝a处不可导的充分条件是( )．A．f(a)＝0且fˊ(a)＝0B．f(a)＝0且fˊ(a)≠0C．f(a)＞0且fˊ(a)＞0D．f(a)＜0且fˊ(a)＜0正确答案：B 涉及知识点：一元函数微分学6．设A，B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则( )．A．λE-A＝λE-BB．A与B有相同的特征值和特征向量C．A与B都相似于一个对角矩阵D．对任意常数t，tE-A与tE-B相似正确答案：D 涉及知识点：一元函数微分学7．向量组α1，α2，…,αm线性无关的充分必要条件是( )．A．向量组α1，α2，…,αm，β线性无关B．存在一组不全为零的常数k1，k2，…，km，使得k1α1＋k2α2＋…＋kmαm≠0C．向量组α1，α2，…,αm的维数大于其个数D．向量组α1，α2，…,αm的任意一个部分向量组线性无关正确答案：D 涉及知识点：一元函数微分学8．设A是n阶矩阵，且A的行列式｜A｜＝0，则A( )．A．必有一列元素全为0B．必有两列元素对应成比例C．任一列向量是其余列向量的线性组合D．必有一列向量是其余列向量的线性组合正确答案：D 涉及知识点：一元函数微分学9．设n阶方程A＝(α1，α2，…,αn)，B＝(β1，β2，…，βn)，AB＝(γ1，γ2，…γn)，记向量组(I)：1，α2，…,αn，(Ⅱ)：β1，β2，…，βn，(Ⅲ)：γ1，γ2，…γn，如果向量组(Ⅲ)线性相关，则( )．A．向量组(I)与(Ⅱ)都线性相关B．向量组(I)线性相关C．向量组(Ⅱ)线性相关D．向量组(I)与(Ⅱ)中至少有一个线性相关正确答案：D 涉及知识点：一元函数微分学10．设函数f(x)在(-∞，+∞)内有定义，x0≠0是函数f(x)的极大值点，则( )．A．x0必是函数f(x)的驻点B．﹣x0必是函数﹣f(﹣x)的最小值点C．对一切x0都有f(x)≤f(x0)D．﹣x0必是函数﹣f(﹣x)的极小值点正确答案：D 涉及知识点：一元函数微分学11．函数y＝C1ex＋C2e﹣2x＋xex满足的一个微分方程是( )．A．y〞-yˊ-2y＝3xexB．y〞-yˊ-2y＝3exC．y〞＋yˊ-2y＝3exD．y〞＋yˊ-2y＝3xex正确答案：C 涉及知识点：一元函数微分学12．设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax＝0仅有零解的充分条件是( )．A．A的列向量线性相关B．A的行向量线性相关C．A的行向量线性无关D．A的列向量线性无关正确答案：D 涉及知识点：一元函数微分学13．设A为n阶实矩阵，AT为A的转置矩阵，则对于线性方程组(I)AX＝0和(Ⅱ)ATAx＝0必有( )．A．(Ⅱ)的解是(I)的解，(I)的解也是(Ⅱ)的解B．(I)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(I)的解C．(I)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(I)的解D．(Ⅱ)的解是(I)的解，但(I)的解不是(Ⅱ)的解正确答案：A 涉及知识点：一元函数微分学14．设λ=2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵(1/3 A2 )-1 有一个特征值等于A．4/3B．3/4C．1/2D．1/4正确答案：B 涉及知识点：一元函数微分学15．设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵．已知n维列向量α是A 的属于特征值A的特征向量，则矩阵(P-1 AP)T 属于特征值A的特征向量是A．P-1α．B．PT α．C．Pα．D．(P-1 )Tα．正确答案：B 涉及知识点：一元函数微分学填空题16．微分方程xy’+y=0满足初始条件y(1)=2的特解为__________.正确答案：2/x 涉及知识点：一元函数微分学17．微分方程xy’+y=0满足条件y(1)=1的解是y=________.正确答案：1/x 涉及知识点：一元函数微分学18．微分方程y”-2y’+2y=ex的通解为________.正确答案：ex(C1cosx+C2sinx+1) 涉及知识点：一元函数微分学19．若x→0时，(1-ax2)1/4-1与xsinx的等价无穷小，则a＝________．正确答案：-4 涉及知识点：一元函数微分学20．已知fˊ(lnx)＝1＋x，则f(x)＝_________．正确答案：x+ex+C 涉及知识点：一元函数微分学21．若四阶矩阵A与B为相似矩阵，A的特征值为1／2、1／3、1／4、1／5，则行列式｜B-1-E｜＝_______．正确答案：24 涉及知识点：一元函数微分学22．设A，B为3阶矩阵，且｜A ｜=3，｜B ｜=2，｜A-1+B｜=2，则｜A+B-1 ｜=_____________.正确答案：3 涉及知识点：一元函数微分学23．设A为3阶矩阵，｜A｜=3，A*为A的伴随矩阵．若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则｜BA*｜=__________．正确答案：-27 涉及知识点：一元函数微分学24．若a1，a2，a3，β1，β2都是4维列向量，且4阶行列式｜a1，a2，a3，β1｜=m，｜a1，a2，β2，a3｜=n，则4阶行列式｜a1，a2，a3，β1+β2｜=正确答案：n-m 涉及知识点：一元函数微分学25．设A，B均为n阶矩阵，｜A ｜=2，｜B｜=-3，则｜2A*B-1｜=_______．正确答案：-22n-1/3 涉及知识点：一元函数微分学26．若4阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为1/2,1/3,1/4,1/5，则行列式｜B-1-E ｜=_________.正确答案：24 涉及知识点：一元函数微分学解答题27．求微分方程y”-2y’-e2x=0满足条件y(0)=1，y’(0)=1的解．正确答案：齐次方程y”-2y’=0的特征方程为λ2-2λ=0．由此求得特征根λ1=0，λ2=2.对应齐次方程的通解为y=C1+C2e2x．设非齐次方程的特解为y”=Axe2x，则(y*)’=(A+2Ax)e2x，(y*)”=4A(1+x)e2x代入原方程，可得A=1/2，从涉及知识点：一元函数微分学28．求：微分方程y〞＋y＝-2x的通解．正确答案：方程y〞＋y＝-2x对应的齐次方程的特征方程为λ2＋1＝0，特征根为λ1，2＝±i，故对应的齐次方程通解为C1cosx＋C2sinx．因为a＝0不是特征根，因此原方程的特解可设为y*＝Ax＋B，代入原方程得A＝-2，B＝0．所以原方程的通解为y＝C1cosx＋C22sinx-2x．涉及知识点：一元函数微分学。
专升本高等数学二(一元函数微分学)模拟试卷3(题后含答案及解析)
专升本高等数学二（一元函数微分学）模拟试卷3(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．设f(x)在x=0处可导，则= ( )A．f’(0)B．f’(0)C．2f’(0)D．f’(0)正确答案：C解析：知识模块：一元函数微分学2．设函数y=ex－2，则dy= ( )A．ex－3dxB．ex－2dxC．ex－1dxD．exdx正确答案：B解析：因为y=ex－2，y’=ex－2，所以dy=ex－2dx．知识模块：一元函数微分学3．下列函数中，在x=0处可导的是( )A．y=｜x｜B．y=C．y=x3D．y=lnx正确答案：C解析：选项A中，y=｜x｜，在x=0处左右导数不相同，则y=｜x｜在x=0处不可导；选项B中，在x=0处无定义，即y=在x=0处不可导；选项C中，y=x3，y’=3x2处处存在，即y=x3处处可导，也就在x=0处可导；选项D中，y=lnx在x=0点没定义，所以y=lnx在x=0处不可导．知识模块：一元函数微分学4．f(x)=(x+1)(x+2)…(x+100)，则f’(一1)= ( )A．100！B．99！C．∞D．一99！正确答案：B解析：由导数的定义可知f’(一1)==(x+2)…(x+100)=99！．知识模块：一元函数微分学5．曲线y=( )A．有一个拐点B．有两个拐点C．有三个拐点D．无拐点正确答案：D解析：因y’=，则y’’在定义域内恒不等于0，且无二阶不可导点，所以无拐点．知识模块：一元函数微分学6．函数y=ex+e－x的单调增加区间是( )A．(一∞，+∞)B．(一∞，0]C．(一1，1)D．[0，+∞)正确答案：D解析：y=ex+e－x，则y’=ex一e－x=，令y’＞0，则x＞0，所以y 在区间[0，+∞)上单调递增．知识模块：一元函数微分学7．函数f(x)=在[0，3]上满足罗尔定理，则ξ= ( )A．2B．3C．0D．1正确答案：A解析：由f(x)=，得f(0)=f(3)=0．又因f’(x)=，故f’(ξ)=0，所以ξ=2．知识模块：一元函数微分学8．设y=f(x)在[0，1]上连续，且f(0)＞0，f(1)＜0，则下列正确的是( ) A．y=f(x)在[0，1]上可能无界B．y=f(x)在[0，1]上未必有最小值C．y=f(x)在[0，1]上未必有最大值D．方程f(x)=0在(0，1)内至少有一个实根正确答案：D解析：函数在闭区间上连续，则在该区间必定有界，且存在最大、最小值，由零点定理可知选项D正确．知识模块：一元函数微分学填空题9．设函数y=(x一3)4，则dy=________．正确答案：4(x一3)3dx解析：因为y=(x一3)4，y’=4(x一3)3，则dy=4(x一3)3dx．知识模块：一元函数微分学10．设y=x2ex，则y(10)｜x=0=________．正确答案：90解析：y’=2xex+x2ex=ex(x2+2x)=ex[(x+1)2一1]，y’’=ex(x2+2x)+ex(2x+2)=ex[(x+2)2一2]，y’’’=ex(x2+4x+2)+ex(2x+4)=ex[(x+3)2一3]，…y(10)=ex[(x+10)2一10]，所以y(10)｜x=0=90．知识模块：一元函数微分学11．x=，y=t3，则=________．正确答案：一3t2(1+t)2解析：=一3t2(1+t)2．知识模块：一元函数微分学12．曲线y=的水平渐近线方程为_________．正确答案：y=解析：的水平渐近线．知识模块：一元函数微分学13．f(x)=xex，则f(n)(x)的极小值点为_________．正确答案：x=一(n+1)解析：f’(x)=ex+xex=(x+1)ex，f’’(x)=ex+(x+1)ex=(x+2)ex，f’’’(x)=ex+(x+2)ex=(x+3)ex，…，f(n)(x)=(x+n)ex，故(f(n)(x))’=f(n＋1)(x)=(x+n+1)ex=0，则x=一(n+1)，显然当x＞一(n+1)时，f(n＋1)(x)＞0；当x＜一(n+1)时，f(n＋1)(x)＜0，因此f(n)(x)的极小值点为x=一(n+1)．知识模块：一元函数微分学解答题14．讨论f(x)=在x=0处的可导性．正确答案：f－’(0)==0，f＋’(0)==0．故函数在x=0处可导且f’(0)=0．涉及知识点：一元函数微分学15．求曲线y=e－x上通过原点的切线方程及和直线x+y=2垂直的法线方程．正确答案：曲线y=e－x上任一点(x0，e－x0)处的切线方程为y=e－x0=一(e －x)｜x=x0(x—x0)，即y—e－x0=一e－x0(x—x0)．因切线过原点，则将x=0，y=0代入得x0=一1，则切点为(一1，e)，故过原点的切线方程为y=一ex．又曲线y=e－x上任意点的法线方程为y—e－x0=ex0(x—x0)，因法线与x+y=2垂直，故有ex0．(一1)=一1，得x0=0，从而所求法线方程为y=x+1．涉及知识点：一元函数微分学16．函数y=y(x)由方程ey=sin(x+y)确定，求dy．正确答案：将ey=sin(x+y)两边对x求导，有ey．y’=cos(x＋y)(1+y’)，所以y’=dx．涉及知识点：一元函数微分学17．求函数y=的导数[已知f(μ)可微]．正确答案：设y=f(μ)，μ=ν2，ν=sint，t=，则涉及知识点：一元函数微分学18．设f(x)在x0点可导，求．正确答案：=2f’( x0)．涉及知识点：一元函数微分学19．已知g(x)=af2(x)且f’(x)=，证明：g’(x)=2g(x)．正确答案：g’(x)=(af2(x))’=lna．af2(x)．[f2(x)]’=lna．af2(x)．2f(x)．f’(x)，又f’(x)=，所以g’(x)=lna．af2(x)．2f(x)．=2af2(x)=2g(x)．涉及知识点：一元函数微分学20．已知曲线y=ax4+bx2+x2＋3在点(1，6)处与直线y=11x一5相切，求a，b．正确答案：曲线过点(1，6)，即点(1，6)满足曲线方程，所以6=a+b+4，①再y’=4ax2+3bx2+2x，且曲线在点(1，6)处与y=11x一5相切，所以y’｜x=1=4a+3b+2=11，②联立①②解得a=3，b=一1．涉及知识点：一元函数微分学21．设f(x)在[0，+∞)上连续，f(0)=0，f’’(x)在(0，+∞)内恒大于零，证明g(x)=在(0，+∞)内单调增加．正确答案：方法一因为f’’(x)＞0，所以f’(x)在(0，+∞)单调增加，故f’(x)＞f’(ξ)，即g’(x)＞0，从而g(x)在(0，+∞)单调增加．方法二g’(x)=，欲证分子φ(x)=f’(x)x－f(x)大于零，因为φ’(x)=f’’(x)x+f’(x)一f’(x)=f’’(x)x＞0(x＞0)，所以x＞0时φ(x)单调增加，即φ(x)＞φ(0)=0，故当x＞0，g(x)在(0，+∞)内单调增加．涉及知识点：一元函数微分学22．设f(x)在[a，b]上具有一、二阶导数，f(a)=f(b)=0，又F(x)=(x一a)2f(x)．证明F(x)在(a，b)内至少存在一点ζ，使F’’(ζ)=0．正确答案：显然，F(x)在[a，b]上满足罗尔定理条件，故存在η∈(a，b)，使F’(η)=0，又由F’(x)=2(x一a)f(x)+(x一a)2f’(x)，知F’(a)=0．因此，F’(x)在[a，η]上满足罗尔定理条件，故存在ζ∈(a，η)(a，b)，使得F’’(ζ)=0．涉及知识点：一元函数微分学23．当0＜x＜π时，证明．正确答案：令F(x)=，则F(0)=F(π)=0．又F’(x)=＜F’(0)＞F’(x)＞F’(π)．而F’(0)=＜0，判别不出F’(x)的正负．注意到F’’(x)＜0，则F(x)在0＜x＜π时是凸曲线，由于F(0)=F(π)=0，故F(x)＞0，即，得证．涉及知识点：一元函数微分学24．设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，k为正整数，求证：存在一点ξ∈(0，1)使得ξf’(ξ)+kf(ξ)=f’(ξ)．正确答案：xf’(x)+kf(x)=f’(x)，整理得，(x一1)f’(x)=一kf(x)，分离变量得，两边积分得lnf(x)=一kln(1一x)+C1，整理得lnf(x)(1一x)k=C1，即f(x)(1一x)k=C，所以设F(x)=f(x)(1一x)k，F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，又F(0)=0，F(1)=0，则F(x)在[0，1]上满足罗尔定理，故存在一点ξ∈(0，1)，使得F’(ξ)=0，即ξf’(ξ)+kf(ξ)=f’(ξ)．涉及知识点：一元函数微分学25．证明当x＞0时，有．正确答案：分析可得＞0，又可构造辅助函数，用单调性证明．令F(x)=(0＜x＜+∞)，因为F’(x)=＜0，所以F(x)在(0，+∞)上单调减少，又=0，所以，对一切x∈(0，+∞)，恒有F(x)＞0，即．涉及知识点：一元函数微分学26．某企业计划生产一批服装a件，分若干批进行生产，设生产每批服装需要固定支出1000元，而每批生产直接消耗的费用与产品数量的平方成正比，已知当每批服装生产数量是40件时，直接消耗的生产费用是800元，问每批服装生产多少件时，才能使总费用最少?正确答案：设每批生产x件，则一年内生产批，每批生产直接消耗费用为p，则p=kx2，又因为根据条件，每批产品40件时，直接消耗的生产费用为800，所以，800=k402，即k=x2，该产品的总费用y为y=．0＜x≤a，又因为在实际问题中唯一的极值点就是最值点，所以当x=≈45时，总费用最小．涉及知识点：一元函数微分学。
高等数学：一元函数微分学习题含答案
第二章一元函数微分学一、选择题1．设)(x f y =可导，则)()2(x f h x f -+等于（）.A．)()(h o h x f +'B．)()(h o h x f +'C．)()(h o h x f +'-D．)()(2h o h x f +'2．设)(x f 在0x 处可导，且4)()2(lim000=--→xx f x x f x ，则)(0x f '等于（）.A．0B．1-C．1D．2-3．设)(x f 在0x 处可导，则下列命题中不正确的是（）.A．00)()(limx x x f x f x x --→存在B．00)()(limx x x f x f x x --→不存在C．00)()(lim 0x x x f x f x x --+→存在D．00)()(lim 0x x x f x f x x ---→存在4．已知)(x f y =在0=x 处可导且0)0(=f ，则当0≠t 时，有=→xtx f x )(lim 0（）.A.)(t f B.)0(f 'C．)0(f t 'D．不存在5．函数)(x f 在0x x =处连续，是)(x f 在0x 处可导的（）.A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件6．函数x x f =)(在0=x 处（）.A．连续但不可导B．连续且可导C．极限存在但不连续D．不连续也不可导7．设0)0(=f ，且x x f x )(lim→存在，则xx f x )(lim 0→等于（）.A．)(x f 'B．)0(f 'C．)0(f D．)0(21f '8．设21)1(+=+x x f ，则)(x f '等于（）.A．2)1(1--x B．2)1(1+-x C．11+x D．11--x9．设x x f sin )(=，则0=x 处（）.A．1)0(,1)0(='='-+f f B．1)0(,1)0(-='='-+f f C．1)0(,1)0(-='-='-+f f D．1)0(,1)0(='-='-+f f 10．函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=1132)(23x xx xx f 在1=x 处（）.A．左右导数均存在B．左导数存在，右导数不存在C．左导数不存在，右导数存在D．左右导数均不存在11．设周期函数)(x f 在()+∞∞-,内可导，周期为2，又12)1()1(lim-=--→xx f f x ，则曲线)(x f y =在点())3(,3f 处的切线斜率为（）.A．21B．1C．2-D．212．设函数⎩⎨⎧≤<--+≤=10,110,sin )(x x x x x x f ，则)(x f 在0=x 处满足（）.A．0)0(='f B．1)0(='f C．3)0(='f D．)0(f '不存在13．已知⎩⎨⎧≤+>-=221)(2x b ax x x x ϕ，且)2(ϕ'存在，则常数b a ,的值为（）.A．1,2==b a B．5,1=-=b a C．5,4-==b a D．3,3-==b a 14．函数)(x f 在),(+∞-∞上处处可导，且有1)0(='f ，此外，对任何的实数x ，y 恒有xy y f x f y x f 2)()()(++=+，那么=')(x f （）.A．xe B．xC．12+x D．1+x 15．设xe x g x xf =+=)(),1ln()(2，则[]='))((x g f （）.A．x xe e 2212+B．x xe e 221+C．xxe e 2212-D．xxe e 221-16．设2)(-=x xf ，则)2(f '满足（）.A．值为2-B．值为2C．值为1D．不存在17．设)(x f y =的导数2)0(='f ，则=-→xx f f x 2)()0(lim 0（）.A．1B．2-C．1-D．218．设⎩⎨⎧<+≥+=0,,1sin )(x b x x x a x f ，要使)0(f '存在，则b a ,的值分别是（）.A．1,1==b a B．0,1==b a C．0,0==b a D．1,1-=-=b a 19．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1arctan )(x x xx x f ，则)(x f 在0=x 处的性质是（）.A．连续且可导B．连续但不可导C．既不连续也不可导D．可导但不连续20．设2arcsin cosxy =，则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'23y （）.A．21-B．21C．23-D．2321．函数xe y sin =，则y ''等于（）.A．xesin B．)sin (sin x ex-C．[]2sin cos x e xD．]sin )[(cos 2sin x x ex-22．函数x x x f )2()(+=的导数为（）.A．1)2(-+x x x B．1)2(-+x x C．)2ln()2(++x x x D．⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++)2ln(2)2(x x xx x23．已知x x y ln =，则)12(y 等于（）.A．111x -B．111x C．11!10x D．11!10x -24．设xxe e y --=，则)2016(y等于（）.A．xxee -+B．xxee --C．xxee ---D．xx ee -+-25．已知函数)(x f 具有任何阶导数，且[]2)()(x f x f ='，则当n 为大于2的正整数时，)(x f 的n 阶导数)()(x f n 是（）.A．[]1)(!+n x f n B．[]1)(+n x f n C．[]nx f 2)(D．[]nx f n 2)(!26．由方程1sin =-y xy 所确定的隐函数()x f y =的导数=xyd d （）.A．yy x -cos B．xy y -cos C．yx y cos -D．yx x -cos 27．由方程x y x e y=++)ln(所确定的隐函数)(x f y =的导数=xy d d （）.A．()11++--y x e y x y B．()11-++-y x e y x y C．()11++-+y x e y x y D．()11-+-+y x e y x y 28．设)(x y y =由方程)cos(sin y x x y -=所确定，则=')0(y （）.A．12+πB．12+-πC．12-πD．12--π29．设由方程组⎩⎨⎧=++-=0112y te t x y 确定了y 是x 的函数，则==0d d t x y（）.A．21e B．e21-C．e1-D．e2-30．曲线22x e y x+=上横坐标0=x 处的切线方程是（）.A．012=-+-y x B．012=-+y x C．012=+-y x D．012=-+y x 31．曲线222)2ln(x x y +-=上对应于1=x 处的法线方程是（）.A．)1(22-=-x y B．)1(212--=-x y C．)1(22-=+x y D．)1(212--=+x y 32．曲线01cos 22=--y e x上点)3,0(π处的切线方程是（）.A．332π+=x y B．332π+-=x y C．332π--=x y D．xy 32-=33．曲线⎩⎨⎧==ty t x 2cos sin 在4π=t 处的切线方程是（）.A．)222222-=-x y B．)2222-=x y C．)22(22--=x y D．y 22=34．设1212+=x y ，则当01.0,1=∆=x x 时，y d 与y ∆分别为（）.A．2,01.0d =∆=y y B．01.0,201.12d =∆-=y y C．21)01.1(21,01.0d 2-=∆=y y D．1,01.0d =∆=y y 35．若函数)(x f y =有21)(0='x f ，则当0→∆x 时，该函数在0x x =处的微分y d 是x∆的（）.A．等价无穷小B．同阶但不等价的无穷小C．低阶无穷小D．高阶无穷大36．xx y 1=在e x =处取得（）.A．极大值B．最大值C．极小值D．最小值37．下列函数在[]e ,1满足拉格朗日中值定理的是（）.A．xx sin ln ln +B．xln 1C．)2ln(+x D．)2ln(2x -38．设函数)(x f 在[]b a ,上连续，则下列命题正确的是（）.A．)(x f 在[]b a ,上一定有最大值和最小值B．)(x f 必在区间内部取得最小值C．)(x f 必在区间端点处取得最大值D．若)(x f 在[]b a ,内有极值，则此值必为最值39．设1)()()(lim2-=--→a x a f x f ax ，则在a x =处)(x f （）.A．可导且1)(-='a f B．)(a f 是)(x f 的极小值C．不可导D．)(a f 是)(x f 的极大值40．设函数c bx ax x x f +++=23)(，且0)0()0(='=f f ，则下列结论不正确的是（）.A．0==c b B．当0>a 时，)0(f 为极小值C．当0<a 时，)0(f 为极大值D．当0≠a 时，())0(,0f 为拐点41．函数2332)(x x x f -=在区间[]4,1-上的最小值是（）.A．0B．1-C．80D．5-42．若当0→x 时，)1(2++-bx ax e x是比2x 高阶的无穷小，则（）.A．1,1==b a B．1,21==b a C．1,21=-=b a D．1,1-=-=b a 43．（数二）已知某产品的需求函数为510QP -=，则当30=Q 时的边际收益为（）.A．2-B．3-C．2D．344．（数二）若总成本函数是二次函数c bQ aQ Q C C ++==2)(，其中0,0,0≥≥>c b a ，当产量=Q （）时，平均成本最低？A．a cB．ca C．ac D．ca 二、填空题45．设)(x f 在0x 处可导，且A x f =')(0，则hx f h x f h )()2(lim000-+→用A 的代数式表示为_______．46．设2)3(='f ，则=-+→h f h f h 2)3()3(lim_______．47．设xe xf 1)(=，则=--→h f h f h )2()2(lim_______．48．设2)(x x f =，则=--→2)2()(lim2x f x f x _______．49．))...(2)(1()(n x x x x x f +++=，则=')0(f _______．50．设432)4()3()2)(1()(----=x x x x x f ，则=')1(f _______．51．设1)(0-='x f ，则=--→)()2(lim000x f h x f hh _______．52．设215)()5(lim5-=--→x x f f x ，则=')5(f _______．53．设)(x f 在点0x 处可导，且41)()2(lim000=--→x f h x f h h ，则=')(0x f _______．54．已知)(x f 在0=x 处可导，且0,6)0(≠='h f ，则=--→xhx f hx f x 3)()(lim_______．55．若1)1(2-=-x x f ，则=')(x f _______．56．曲线xe x y +=在点()1,0处的切线方程是_______．57．已知x x y arctan )1(2+=，则=''y _______．58．已知)1ln(2x x y ++=，则=''y _______．59．设曲线方程为⎩⎨⎧+=++=tt y tt x cos sin 2，则='y _______．60．设)1sin(2+=x e y x，则=y d _______．61．求=--→xx e x x 630sin 1lim 3_______．62．设)7)(5)(1)(13()(----=x x x x x f ，则方程0)(='x f 有_______个实根．63．函数x y sin =在区间[]π,0满足罗尔定理的=ξ_______．64．函数x x y -=22在[]2,0上满足拉格朗日中值定理的=ξ_______．65．曲线x x x y 23123+-=的拐点为_______．66．曲线35)2(-=x y 的拐点为_______．67．（数一）曲线x x y -=12的垂直渐近线方程是．68．（数一）1)(22-=x x x f 有条渐近线．69．（数一）111)(-+=x e x f 有条渐近线．70．已知)4,2(是曲线c bx ax x y +++=23的拐点，且曲线在3=x 处有极值，=a ，=b ，=c .71．（数二）已知某产品的总成本函数C 与产量x 的函数关系为2000102.0)(2++=x x x C ，则当产量10=x 时，其边际成本是．72．（数二）已知某商品的收入函数为2312Q Q R -=，则当=Q 时边际收入为0．73．（数二）设某种产品的单位成本y 是产量x 的函数，xx y 164++=（元），若产品以每件1000元的价格销量，当产量=x 时总利润最大．74．（数二）生产某产品的边际成本函数为100143)(2+-='x x x C ，固定成本1000)0(=C ，求生产x 个产品的总成本函数.75．（数二）设边际收入函数为q q R 32)(+='，且0)0(=R ，则平均收入函数为__________.76．（数二）某公司在一个生产周期内制造x 台电冰箱的成本22.02008000)(xx x C -+=)4000(≤≤x 第251台电冰箱的实际制造成本为.三、计算题77．设)1ln(cos )(2x x f -=，求)(x f '．78．4312)(+-=xx x f ，求)(x f '．79．221cos 5ln x x y -+=，求y '及y d ．80．设x ey x3cos -=，求y '．81．设xy 1cosln =，求y '．82．设1133+-=x x y ，求y '．83．设2x xee y +=，求1.00 d =∆=x x y．84．设x x y +=，求y '．85．设)32(2+-=-x x ey x，求y '．86．设212arcsintty +=，求y '．87．设⎪⎭⎫⎝⎛+-=2323x x f y ，且2arcsin )(x x f ='，求d d =x x y ．88．设134)1(2++=+x x x f ，)()(xe f x g -=，求)(x g '．89．求b a ,的值，使⎩⎨⎧>+≤-=1,ln 1),1(sin )(x b x x x a x f ，在1=x 处可导．90．设⎪⎩⎪⎨⎧≥+<--=0,0,11)(x bx a x x xx f 处处可导，求a 和b 的值．91．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,1)(1x x e xx f x ，求)0(-'f ，)0(+'f ，同时讨论)0(f '是否存在．92．已知⎩⎨⎧≥<=0,0,sin )(x x x x x f ，求)(x f '．93．求函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠==0,00,1sin )(2x x xx x f y 的导数．94．设)(x ϕ在a 点的某领域内连续，)()()(x a x x f ϕ-=，求)(a f '．95．设)(x f ''连续，0)0(=f ，记⎪⎩⎪⎨⎧='≠=0),0(0,)()(x f x x x f x F ，证明)(x F '连续．96．设函数)(x f 处处可导，[]{})(x f f f y =，求x yd d ．97．设x x y ln 22+=，求y ''．98．设xx y +-=11，求)(n y ．99．设x x y ln =，求)(n y ．100．设)1ln(2x x y ++=，求y ''．101．[])(ln x f y =，求y ''102．)2(2x x f y +=，其中f 二阶可导，求y ''．103．设)(x f ''存在，)(x xe f y -=，求y ''．104．求由方程32y x e xy +=所确定的隐函数)(x f y =的微分y d ．105．求方程)sin(y x y +=确定的隐函数的二阶导数．106．已知222222b a y a x b =+，求y ''107．求由方程232-+=y x e xy 确定的隐函数)(x f y =在点)1,0(处的切线方程．108．设)(x y y =由方程e xy e y =+确定，求)0(y '．109．用对数求导法求函数xx x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1的导数．110．用对数求导法求函数54)1()3(2+-+=x x x y 的导数．111．设函数)(x f y =由参数方程⎩⎨⎧==t e y t e x t t cos sin 所确定，求3d d π=t x y ．112．设曲线)(x f y =由参数方程⎩⎨⎧==ty t x 2cos sin 所确定，求曲线在4π=t 处的切线方程．113．设函数)(x f y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-==ty t x 1 22，求22d d x y ．114．设函数)(x f y =由参数方程⎩⎨⎧-==t t t y t x cos sin cos 确定，22d d ,d d x yx y ．115．求方程⎩⎨⎧==ta y t a x 33sin cos 表示的函数的二阶导数．116．x xx x 20tan )1ln(lim -+→．117．x x x 2cot 2lim 2⎪⎭⎫⎛-→ππ．118.xx x cos 1120)1(lim -→-．119．求⎪⎭⎫⎝⎛--→111lim 0x x e x ．120．求()x x x ln 31102sin lim +→+．121．求x x x 2sin 231lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→．122.ax a x a x --→sin sin lim .123．xx x 5tan 3sin lim π→.124．22)2(sin ln lim x x x -→ππ.125．)0(lim ≠--→a a x a x nn mm a x .126．xx x 2tan ln 7tan ln lim 0+→.127．x xx 3tan tan lim 2π→.128．xarc x x cot 11ln lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→.129．x x x x cos sec )1ln(lim 20-+→.130．x x x 2cot lim 0→.131．2120lim x xe x →.132．⎪⎭⎫⎝⎛---→1112lim 21x x x .133．122231lim -∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+++x x x x a .134．x x x sin 0lim +→.135．x x x tan 01lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+→.136．求7186223---=x x x y 的单调区间．137．求3)3)(1(+-=x x y 的单调区间．138．求函数x x y -=在区间[]1,0上的最小值．139．求函数)1ln(21arctan 2x x y +-=的极值点和极值．140．求函数32)1(2--=x y 的极值点和极值．141．设x x a y 3sin 31sin +=在点3π=x 处取得极小值，求a 的值．142．求曲线)1ln(2+=x y 的拐点．143．设函数)(x f y =由方程1222223=-+-x xy y y 所确定，求)(x f y =的极值．144．求曲线21x xy +=的凹凸区间及拐点．145．设函数x bx x a x f 3ln )(2-+=在1=x 和2=x 处取得极值，求b a ,的值．146．已知点)4,2(是曲线c bx ax x y +++=23的拐点，且曲线在3=x 处取得极值，求b a ,c 的值．147．求函数12+=x x y 的极值．148．求函数x e x x f -=2)(在]3,1[-上的最大值与最小值．149．设曲线方程为462++=x x y ，求曲线在)4,2(--处的切线方程．150．求等边双曲线x y 1=在点⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程．151．求曲线⎩⎨⎧==-t tey e x 22在0=t 处的切线方程和法线方程．152．求曲线0)ln(22=++yxe y x 在0=x 处的切线方程．153．确定c b a ,,的值，使c bx ax x y +++=23在点)1,1(-处为拐点，且在0=x 处有极大值为1，并求此函数的极小值．154.设函数)(x f 在[]a ,0上二阶可导，0>a 且0)(>''x f ，0)0(=f ，证明xx f x g )()(=在[]a ,0上单调增加．155．求函数26323-+-=x x x y 在区间[]1,1-上的最值．156．求函数322)1()2(+-=x x y 在区间[]2,2-上最大值和最小值．157．求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,23与曲线21x y =相切的直线方程．158．求曲线01322=+++y xy x 在点)1,2(-处的切线和法线方程．159．设甲船以km/h 6的速率向东行驶，乙船以8km/h 的速度向南行驶，在中午十二点整时，乙船位于甲船之北16km 处，问下午一点整时两船相离的速率为多少？160．已知曲线2x y =与3x y =的切线平行，求x 的取值．161．求椭圆12222=+by a x 在点),(11y x M 处的切线方程．162．设甲、乙两船同时从一码头出发，甲船以km/h 30的速度向北行驶，乙船以km/h 40的速度向东行驶，求两船间的距离增加的速度．163．已知曲线的参数方程⎩⎨⎧==-232t t e y e x ，证明0d d d d 21222=+x y x y e t .164．（数一）求曲线2)1(42--=xx y 的水平和垂直渐近线．165．设曲线cx bx ax y ++=23上点)2,1(处有水平切线，且原点为该曲线的拐点，求该曲线方程．166．设点)2,1(-是曲线123-+=bx ax y 上的一个拐点，求a 和b 的值．167．设函数3)(4-+=bx ax x f 在1-=x 点处取得极小值0，求a 和b 的值．168．设函数)(x f 满足)()(x f x f ='，且1)0(=f ，求证:x e x f =)(．169．求函数xe y x+=1的单调区间和极值．170．设)1ln(21arctan )(arctan 21222x x x x x y ++-+=，求y d ．171．求函数3223x x y -=在区间[]1,1-上的最大值与最小值．172．已知曲线2x y =与直线cx y =)10(<<c 所围成图形的面积为1S ，曲线2x y =与直线cx y =)10(<<c 及直线1=x 所围城图形的面积为2S ，求21)(S S c S +=的最小值.173．求内接于半径a的球的长方体体积的最大值.174．用32cm长的一根铁丝围成一个矩形小框，试问：当矩形的长和宽各为多少时，围成的矩形面积最大？175．用薄铁板做一体积为V的有盖圆柱形桶，问桶底直径与桶高应有怎样的比例，才能使所用材料最省.176．已知某船的耗油费用与其速度的立方成正比，若每小时行驶10海里的耗油费为25元，其余费用每小时100元，求最经济的速度．177．欲做一个容积为3m V 的无盖圆柱形储粮桶，底用铝制，侧壁用木板制，已知每平方米铝价是木板价的5倍，问怎样做才能使费用最少．178．窗子的上半部为半圆，下半部为矩形，如果窗子的周长L 固定，试问当圆的半径r 取何值时，能使窗子的面积最大．179．欲围一个面积为2m 150的矩形场地，所用材料的造价是正面是每平方米6元，其余三面是每平方米3元，问场地的长，宽各为多少米时，才能使所用材料费最少．180．设甲船位于乙船东75海里，以12海里每小时的速度向西行驶，而乙船则以6海里每小时的速度向北行驶，问经过多长时间，两船相距最近？181．用a 万元购料，建造一个宽于深相同的长方体水池，已知四周的单位面积材料费为底面积材料费的5.1倍，求水池长与宽（深）各是多少，才能使容积最大.（地面单位面积材料费为1万元）.182．在曲线26x y -=)0(>x 上确定一点，使该点处的切线与两坐标轴围城的平面图形的面积最小，并求最小值.183．已知函数x x x f 2)(3+=在区间[]1,0上满足拉格朗日定理，求相关的ξ值．184．（数二）设某工厂生产某种商品的固定成本为200（百元），每生产一个单位商品成本增加5（百元），且已知需求函数P Q 2100-=（其中P 为价格，Q 为产量）.这种商品在市场上市场上畅销的．（1）试分别列出该商品的总成本函数)(P C 和总收益函数)(P R 的表达式．（2）求出使该商品的总利润最大时的产量．185．（数二）某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，每多生产一吨该产品，成本增加5万元，该产品的边际收益函数为Q Q R 02.010)(-='，其中Q (单位：吨)为产量.试求：（1）该产品的边际成本函数；（2）该产品的总收入函数；（3）Q 为多少时，该厂总利润L 最大？最大利润是多少？186．（数二）某工厂生产某产品时，每日总成本为C 元，其中固定成本为50元，每多生产一单位产品，成本增加2元，该产品的需求函数为505Q p =-，求Q 为多少时，工厂日总利润L 最大？最大利润是多少？187．（数二）某商品的需求函数为275)(p p f Q -==，（1）求5=p 时的边际需求；（2）当p 为何值时，总收益最大？最大的总收益为多少？31第二章一元函数微分学1.D 。
一元函数微分学练习题
第一部分、一元函数微分学习题集1一、选择题1.下列命题正确的是（ ）0(A)()lim ().x x f x x f x →=∞若在的任意空心邻域内无界，则0(B)lim (),().x x f x f x x →=∞若则在的任意空心邻域内无界(C)lim (),lim ().x x x x f x f x →→=∞若不存在则1(D)lim (),lim.()x x x x f x f x →→=∞若=0则 2.{}n x 关于数列下列命题正确的个数是（ ）{}(1)lim .n n n x A x →∞⇒若=存在有界(2)lim lim .n n k n n x A k x A +→∞→∞=⇔=存在对任意确定正整数有221(3)lim lim lim .n n n n n n x A x x A -→∞→∞→∞=⇔==存在1(4)lim lim1.n n n n nx x A x +→∞→∞=⇒=存在(A)1 (B)2 (C)3 (D)43. 下列命题正确的是( )00,0()()lim (),lim ()x x x x x x f x g x f x A g x B A B δδ→→∃><-<>==>(A)若当时， 且均存在，则0lim ()lim ()00()()x x x x f x g x x x f x g x δδ→→≥∃><-<>(B)若，则，当时 00lim ()lim ()00()()x x x x f x g x x x f x g x δδ→→≥∃><-<≥(C)若，则，当时0lim ()lim ()00()()x x x x f x g x x x f x g x δδ→→>∃><-<>(D)若，则，当时4 ()()()cos 1sin ,02x x x x x x πααα-=<→设,当时( )x (A)比高阶的无穷小 x (B)比低阶的无穷小 x (C)与同阶但不等价的无穷小 x (D)与是等价的无穷小5. 已知当0x →时，函数()3sin sin 3f x x x =-与k cx 是等价无穷小，则( )(A) 1,4k c == （B ）1,4k c ==- （C ）1,4k c == （D ）3,4k c ==- 6.20()sin ()ln(1)x f x x ax g x x bx →=-=-当时，与是等价无 a 穷小,则=( )b=( )1111(A)1,(B)1,(C)1,(D)1,6666a b a b a b a b ==-===-=-=-=-7.设()(1231,1,1a x a a =-=+=.当0x +→时，以上3个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是 ( ) （A ）123,,a a a （B ）231,,a a a （C ）213,,a a a （D ）321,,a a a8.(](](),lim (),(),x f x b f x A f x b →-∞-∞=-∞设在上连续,则存在是在上有界的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 9.[]11()tan (),( ) ()xxe e xf x x x e e ππ+=-=-设在上的第一类间断点是0 1 22ππ(A) (B)(C)- (D)10. 1()( )(1)ln xx f x x x x-=+函数的可去间断点的个数为0 1 2(A) (B)(C) (D)311.()20sin ()lim 1,( ) x tt t f x x →⎛⎫+-∞+∞ ⎪⎝⎭函数=在内(A)连续 (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点12.曲线y= 1ln(1)x e x++, 渐近线的条数为 ( )A.0B.1C.2D.313. 已知()f x 在0x =附近有定义，且()00f =，则f(x)在0x =处可导的充要条件为 ( )（A ）()22limx f x x →存在. （B ）()1lim xx f ex→-存在.(C) ()201cos limx f x x →-存在. (D)()02()lim x f x f x x→-存在.14. 已知函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩，则（ ）（A ）0x =是()f x 的第一类间断点 （B ）0x =是()f x 的第二类间断点 （C ）()f x 在0x =处连续但不可导 （D ）()f x 在0x =处可导15. 已知函数()2321cos ,0()arcsin ,0x x f x xg x x x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩，其中g (x )是有界函数，则f (x )在x =0处（ ） （A ）极限不存在 （B ）极限存在但不连续 （C ）连续但不可导 （D ）可导16.[]0(),(0)1y f x f δδδ∃>=-=若使得在上有定义,且满足20ln(12)2()lim 0()x x xf x x →-+=，则 ''(A)()0 (B)()0(C)()0(0)0 (D)()0(0)1f x x f x x f x x f f x x f ======在处不连续在处连续但不可导在处可导，且在处可导，且17.'1cos ,0()()00, 0x x f x f x x x x αβαβ⎧>⎪==⎨⎪≤⎩设，(>0,>0),若在处连续，则( )(A) 1 (B)0 1 (C) 2 (D)0 2 αβαβαβαβ-><-≤-><-≤18.()2()cos ln 1lim 1?n y f x xy y x f n →∞⎡⎤⎛⎫=+-=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦设是由所确定,则n （ ）(A) 2 (B) 1 (C) 1 (D) 2--19.()()''0,()0 , f x f x +∞>设函数在上具有二阶导数，且 令(),1,2,3,,n u f n n ==则下列结论正确的是( ).{}{}{}{}12121212(A), (B),(C), (D),n n n n u u u u u u u u u u u u >><<若则必收敛若则必发散若则必收敛若则必发散20.()()()2'2arctan limx f x x f x xfx ξξ→==设，若则=( )211(A)1 (B) (C) (D)32321.21,y ax b y x a b x=+=设直线同时与曲线及y=相切，则为( )(A)4, 4 (B)3, 4(C)4, 3 (D)3, 3a b a b a b a b =-=-=-=-=-=-=-=-22.()()()0,()0,()gf xg x g x g x a x ''<=设函数具有二阶导数，且若是()()0f g x x 的极值，则在取极大值的一个充分条件是( )(A) ()0f a '< (B)()0f a '> (C)()0f a ''< (D)0)(>''a f 23.设函数0()y f x x =在的某邻域内具有二阶导数，且0''0()lim 0x x f x A x x →=<-，则（ ） ()()0000(A)0,(),()x x x y f x x x x y f x δδδ∃>∈-=∈+=当时是凹的，当时是凸的()()0000(B)0,(),()x x x y f x x x x y f x δδδ∃>∈-=∈+=当时是凸的，当时是凹的()00(C)0,()x x x y f x δδδ∃>∈-+=当时是凹的()00(D)0,()x x x y f x δδδ∃>∈-+=当时是凸的 24. 设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其导函数的图形如图所示，则 ( ) （A ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有2个拐点 （B ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有3个拐点 （C ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有1个拐点 （D ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有2个拐点25.''22()()(1,1)2()f x y f x x y f x =+=设 不变号，且曲线在点上的曲率圆为,则函数在区间(1,2)内( ).(A), (B),(C), (D),有极值点无零点无极值点有零点有极值点有零点无极值点无零点26.设函数()(1,2)i f x i =具有二阶连续导数，且''0()0(1,2)i f x i <=，若两条曲线()(1,2)i y f x i ==在点00(,)x y 处具有公切线()y g x =，且在该点处曲线1()y f x =的曲率大于曲率2()y f x =的曲率，则在0x 的某个邻域内，有 （ ）（数一、二做）12(A)()()()f x f x g x ≤≤ 21(B)()()()f x f x g x ≤≤ 12(C)()()()f x g x f x ≤≤ 21(D)()()()f x g x f x ≤≤ 27.设商品的需求函数为()215()150082Q p p p p =--<<其中Q ， p 分别为需求量和价格，ε为商品需求弹性，若1ε<，则p 的取值范围 （ ）（数三做）(A)03p << (B)58p << (C)35p << (D)05p <<二、填空题 1. 212lim tan1x xx x →∞-=+ . 2. 0ln(1sin )lim cos 1x x x x →+-= .3.cos 0x x →= .4. tan sin 0limx xx e e →=- .5.limx →∞= .6.(lim sin x →∞-= .7.设0()ln 1lim 3x f x x x x→⎛⎫++ ⎪⎝⎭=，则20()lim x f x x →= .8. []()21cos ()()lim 1(0) 1()xx xf x f x f ef x →-==-已知函数连续且，则 . 9. 已知函数()f x满足x →=02，则lim ()____x f x →=0.10.20()()x x kx x αβ→==当时，与 k 是等价无穷小则= .11.3231lim (sin cos )2x x x x x x x →∞+++=+求 .12.20ln cos lim _________.x xx →=13. 30arctan sin lim x x x x →-⎛⎫=⎪⎝⎭求 .14.()11lim _________nn n n -→∞+⎛⎫= ⎪⎝⎭.15.101+2lim 2xxx →⎛⎫= ⎪⎝⎭求 . 16.10ln(1)lim 2xx x x →+⎛⎫-= ⎪⎝⎭.17.20lim x x →-= .18.21lim tan 4n n n π→∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭.19.21000lim xx e x--→= .20.()2224cos limx x e x x xe ex-→-= .21.若2260sin 3()lim 0x x x f x x→+=，则403()lim →+=x f x x . 22.()21,()=, .2, x x cf x c x c x ⎧+≤⎪-∞+∞=⎨>⎪⎩设函数在内连续则23. x =0是1()1arctanf x x x=-的 间断点.24. x =1是221()lim 1n nn x f x x →∞-=+的 间断点. 25. 曲线()322arctan 11x y x x=+++的斜渐近线方程为 . 26. 曲线1y x =-+的水平渐近线方程为 ，垂直渐近线方程为 ，斜渐近线方程为 .27.1()(()) .21,1x edyx f x y f f x dx x x =⎧≥===⎨-<⎩设，,则28.'()y f x f =设是以3为周期的周期函数，且(7)=1,则(1)(13tanh)lim.h f h f h→+--=29.'f 设(1)=1,则0(1)(12sin )lim .2sin x f x f x x x→+--+=30. ()2()1,0lim . 2n n y f x y x x nf n →∞⎛⎫==-=⎪+⎝⎭曲线和在点处有切线,则31.111cos '1(0)1(0)3lim . nn n f f f n -→∞⎛⎫=== ⎪⎝⎭设，,则32. 2cos cos .41sin x t t t y tπ⎧=+=⎨=+⎩曲线上对应于点的法线斜率为33.()21ln(1),()2arctan x t t y f x y t ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩设为参数则在任意点处的曲率22 ,() .()d yK dx==数一、二做数三做34.曲线arctan y x=在(1,0)点的切线方程为 .35. 曲线tan()4y x y e π++=在点(0,0)处的切线方程为 .36.()12 ln 0(0)13n x y x n y x -===+函数在处的阶导数 . 37.()2()sin cos (0).n f x x x x f=设 ,则 =38.()23 ()3+ 0, f x x Ax x A A -=>设为正常书，则至少取时f(x)20.≥有39. 若曲线y x ax bx =+++3214有拐点(1,3),则b=_____________.40. 已知一个长方形的长l 以2cm/s 的速率增加，宽w 以3cm/s 的速率增加，则当l=12cm,w=5cm 时，它的对角线增加的速率为_________. （数学一、二做） 41.已知动点P 在曲线3x y =上运动，记坐标原点与点P 间的距离为l 。
一元函数微分学习题
第二部分 一元函数微分学[选择题］容易题 1—39，中等题40—106，难题107-135。
1．设函数)(x f y =在点0x 处可导,)()(00x f h x f y -+=∆,则当0→h 时，必有（ )（A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -∆是h 的同阶无穷小量。
（C) y d 是比h 高阶的无穷小量。
(D ） y y d -∆是比h 高阶的无穷小量. 答D2．已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数，且当0<x 时，0)(,0)(<''>'x f x f ，则在),0(+∞内有( ）(A)0)(,0)(<''>'x f x f 。
（B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。
（C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。
（D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。
答C3．已知)(x f 在],[b a 上可导，则0)(<'x f 是)(x f 在],[b a 上单减的（ ）(A ）必要条件。
（B) 充分条件.（C)充要条件。
（D ）既非必要，又非充分条件。
答B4．设n 是曲线x x x y arctan 222-=的渐近线的条数，则=n （ ） (A) 1． （B ） 2 （C) 3 （D) 4 答D5．设函数)(x f 在)1,1(-内有定义，且满足)1,1(,)(2-∈∀≤x x x f ，则0=x 必是)(x f 的（ )（A ）间断点。
（B ）连续而不可导的点. (C ）可导的点,且0)0(='f . （D ）可导的点，但0)0(≠'f . 答C6．设函数f(x ）定义在［a ，b]上,判断何者正确？( ） （A ）f(x ）可导,则f （x ）连续 (B ）f （x ）不可导，则f （x ）不连续 （C)f （x ）连续，则f （x)可导 （D ）f （x ）不连续，则f （x ）可导 答A7．设可微函数f(x ）定义在［a ，b]上,],[0b a x ∈点的导数的几何意义是：（ ） （A)0x 点的切向量 （B ）0x 点的法向量 （C ）0x 点的切线的斜率 （D ）0x 点的法线的斜率 答C8．设可微函数f （x)定义在[a ，b ］上，],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是：（ ）(A)0x 点的自向量的增量 （B ）0x 点的函数值的增量(C ）0x 点上割线值与函数值的差的极限 （D ）没意义 答C9．x x f =)(，其定义域是0≥x ,其导数的定义域是（ ) （A ）0≥x（B）0x≠（C）0x>（D）0x≤答Cx不可导，则（）10．设函数)(xf在点x没有切线（A）)f在点(xx有铅直切线（B）)f在点(xx有水平切线（C）)f在点(x（D)有无切线不一定答D11．设'=''='''>()(),()00, 则（）f x f x f x000(A）x是'f x()的极大值点（B) x是f x()的极大值点是f x()的极小值点（C) x(D) (,())是f x()的拐点x f x00[D］12． (命题I）：函数f在［a,b]上连续. (命题II）: 函数f在[a,b］上可积。
专升本高等数学一(一元函数微分学)模拟试卷1(题后含答案及解析)
专升本高等数学一（一元函数微分学）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．设f(x)在x0处不连续，则( )A．f’(x0)必存在B．f’(x0)必不存在C．f(x)必存在D．f(x)必不存在正确答案：B解析：f(x)在x0处不连续，是指连续性的三要素之一不满足，因此C、D都不对，由于可导必连续，则不连续必不可导，所以A不对，故选B．知识模块：一元函数微分学2．设函数f(x)=｜x3一1｜φ(x)，其中φ(x)在x=1处连续，则φ(1)=0是f(x)在x=1处可导的( )。
A．充分必要条件B．充分但非必要条件C．必要但非充分条件D．既非充分又非必要条件正确答案：A解析：由φ(1)=0可知即f＋’(1)=f －’(1)=0，所以，f’(1)=0．设f(x)在x=1处可导，因为f(1)=0，所以(x2+x+1)φ(x)=3φ(1)，知识模块：一元函数微分学3．设函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，则=( ) A．一2f’(0)B．一f’(0)C．f’(0)D．0正确答案：B解析：由于f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，则=f’(0)一2f’(0)=一f’(0)．知识模块：一元函数微分学4．若f(x一1)=x2一1，则f’(x)等于( )A．2x+2B．x(x+1)C．x(x一1)D．2x一1正确答案：A解析：因f(x一1)=x2一1=(x—1)(x一1+2)，故f(x)=x2+2x，则f’(x)=2x＋2．知识模块：一元函数微分学5．函数y=f(x)可导，则y=f｛f[f(x)]｝的导数为( )A．f’｛[f(x)]｝B．f’｛f’[f’(x)]｝C．f’｛f[f(x)]｝f’(x)D．f’｛f[f(x)]｝f’[f(x)]f’(x)正确答案：D解析：y’(x)=(f{f[f(x)]})’=f’{f[f(x)]}f’[f(x)]f’(x)，故选D．知识模块：一元函数微分学6．设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f’(x)＜0，则下列结论成立的是( )A．f(0)＜0B．f(1)＞0C．f(1)＞f(0)D．f(1)＜f(0)正确答案：D解析：因f’(x)＜0，x∈(0，1)，可知f(x)在[0，1]上是单调递减的，故f(1)＜f(0)．知识模块：一元函数微分学7．设函数f(x)在[a，b]连续，在(a，b)可导，f’(x)＞0，若f(a)．f(b)＜0，则y=f(x)在(a，b) ( )A．不存在零点B．存在唯一零点C．存在极大值点D．存在极小值点正确答案：B解析：由题意知，f(x)在(a，b)上单调递增，且f(a)．f(b)＜0，则由零点定理以及单调性可得y=f(x)在(a，b)内存在唯一零点．知识模块：一元函数微分学8．曲线y=( )A．没有渐近线B．仅有水平渐近线C．仅有铅直渐近线D．既有水平渐近线，又有铅直渐近线正确答案：D解析：因=1，所以y=1为水平渐近线，又因=∞，所以x=0为铅直渐近线．知识模块：一元函数微分学9．下列函数在给定区间满足罗尔定理条件的有( )A．f(x)=B．y=C．y=xex，[0，1]D．y=x2一1，[一1，1]正确答案：D解析：A选项中，函数在x=5处不连续；B选项中，函数在x=1处不连续；C选项中，y(0)≠y(1)；D选项中，函数在[一1，1]连续，在(一1，1)可导，y(－1)=y(1)，符合罗尔定理条件，故选D．知识模块：一元函数微分学10．要制作一个有盖铁桶，其容积为V，要想所用铁皮最省，则底面半径和高的比例为( )A．1：2B．1：1C．2：1D．正确答案：A解析：设底面半径为r，高为h，则有V=πr2h，S=2πrh＋2πr2=+2πr2，S’(r)=一＋4πr=，由于驻点唯一，必是最值点，此时h=，则r：h=1：2．知识模块：一元函数微分学填空题11．设函数y=sin(x一2)，则y’’=________．正确答案：一sin(x一2)解析：因为y=sin(x一2)，y’=cos(x一2)，y’’=一sin(x一2)．知识模块：一元函数微分学12．设函数f(x)有连续的二阶导数且f(0)=0，f’(0)=1，f’’(0)=一2，则=_______．正确答案：一1解析：=一1．知识模块：一元函数微分学13．y=y(x)是由方程xy=ey－x确定的函数，则dy=_______．正确答案：解析：方程两边对x求导，注意y是x的函数，有y+xy’=ey－x(y’一1)，所以y’=．知识模块：一元函数微分学14．函数y=cosx在[0，2π]上满足罗尔定理，则ξ=_________．正确答案：π解析：y’=一sinx，因函数在[0，2π]上满足罗尔定理，故存在ξ∈(0，2π)，使一sinξ=0，故ξ=π．知识模块：一元函数微分学15．若函数f(x)在[0，1]上满足f’’(x)＞0，则f’(0)，f’(1)，f(1)一f(0)的大小顺序为_________．正确答案：f’(1)＞f(1)一f(0)＞f’(0)解析：f’’(x)＞0，则f’(x)单调递增，又有拉格朗日中值定理得f(1)一f(0)=f’(ξ)(1一0)=f’(ξ)，ξ∈(0，1)．故有f’(1)＞f’(ξ)＞f’(0)，即f’(1)＞f(1)一f(0)＞f’(0)．知识模块：一元函数微分学解答题16．设f(x)=其中a、b、A为常数，试讨论a、b、A为何值时，f(x)在x=0处可导?正确答案：若函数f(x)在x=0可导，则函数f(x)也连续，故有=f(0)，f＋’(0)=f－’(0)，涉及知识点：一元函数微分学17．设y=，求y’．正确答案：涉及知识点：一元函数微分学18．设=a，且f’(0)存在，求f’(0)．正确答案：∴f’(0)=a．涉及知识点：一元函数微分学19．求函数x=cosxy的导数．正确答案：等式两边关于x求导，可得1=一(sinxy)(xy)’=一(sinxy)(y+xy’)，整理后得(xsinxy)y’=一1一ysinxy，从而y’=．涉及知识点：一元函数微分学20．已知y=，f’(x)=arctanx2，计算．正确答案：令y=f(μ)，μ=，则涉及知识点：一元函数微分学21．讨论曲线y=的单调性、极值、凸凹性、拐点．正确答案：y=，令y’=0得x=e．而y’’=，令y’’=0，得x=e2．当x→1时，y→∞，则x=1为垂直渐近线．当0＜x＜1时，y’＜0，y’’＜0，故y单调下降，且是凸的．当1＜x＜e时，y’＜0，y’’＞0，故y单调下降，且是凹的．当e＜x＜e2时，y’＞0，y’’＞0，故y单调上升，且是凹的．当e2＜x＜+∞时，y’＞0，y’’＜0，故y单调上升，且是凸的．当x=e时，y有极小值2e，且(e2，e2)是拐点．涉及知识点：一元函数微分学22．设f(x)在[1，e]可导，且f(1)=0，f(e)=1，试证f’(x)=在(1，e)至少有一个实根．正确答案：设F(x)=f(x)一lnx，F(1)=0，F(e)=0，由罗尔定理，至少存在一点ξ∈(1，e)使F’(ξ)=0，即f’(ξ)一=0，所以f’(x)=在(1，e)至少有一个实根．涉及知识点：一元函数微分学23．设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1，试证明对任意给定的正数a及b，在(0，1)内必存在不相等的x1，x2，使=a+b．正确答案：因a，b＞0，故0＜＜1，又因f(x)在[0，1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1，由介值定理，必存在ζ∈(0，1)，使f(ζ)=．又分别在[0，ζ]，[ζ，1]上用拉格朗日中值定理，得f(ζ)一f(0)=(ζ一0)f’(x1)，f(1)一f(ζ)=(1一ζ)f’(x2)(其中0＜x1＜ζ＜x2＜1)即有=1－ζ．考虑到1－，并将上两式相加，得=1，即存在不相等的x1，x2使=a+b．涉及知识点：一元函数微分学24．利用拉格朗日中值定理证明：当x＞1时，ex＞ex．正确答案：令f(μ)=eμ，μ∈[1，x]．容易验证f(μ)在[1，x]上满足拉格朗日中值定理的条件，故存在ξ∈(1，x)，使=f’(ξ)，即=eξ，因为ξ∈(1，x)，所以eξ＞e．即＞e，整理得，当x＞1时，ex＞ex．涉及知识点：一元函数微分学25．设a＞b＞0，n＞1，证明：nbn－1(a一b)＜an一bn＜nan－1(a一b)．正确答案：构造函数f(x)=xn(n＞1)，因为f(x)=xn在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，所以，存在一点ξ∈(a，b)使得f’(ξ)==nξn－1，又0＜a＜ξ＜b，故an－1＜ξn－1＜bn－1，所以nan－1＜nξn－1＜nbn－1，即nan－1＜＜nbn－1，整理得nan－1(b一a)＜bn一an＜nbn－1(b一a)．两边取负号得nbn－1(a一b)＜an一bn＜nan－1(a一b)．涉及知识点：一元函数微分学已知函数f(x)=．26．证明：当x＞0时，恒有f(x)+；正确答案：则可知F(x)=C，C为常数．当x=1时，F(1)=C=f(1)+f(1)=，故当x＞0时，F(x)=f(x)+恒成立；涉及知识点：一元函数微分学27．试问方程f(x)=x在区间(0，+∞)内有几个实根?正确答案：令g(x)=f(x)一x，则g‘(x)=一1＜0，故g(x)在(0，+∞)上单调递减，又则g(x)=0在(0，+∞)上有且仅有一个实根，即f(x)=x在(0，+∞)上只有一个实根．涉及知识点：一元函数微分学28．假设某企业在两个互相分割的市场上出售同一种产品，两个市场的销售量分别是Q1=，Q2=12一x，其中x为该产品在两个市场的价格(万元／吨)，该企业生产这种产品的总成本函数是C=2(Q1+Q2)+5，试确定x的值，使企业获得最大利润，并求出最大利润．正确答案：由已知条件得利润函数为L=(Q1+Q2)x—C=(Q1+Q2)x一2(Q1+Q2)一5=[＋(12－x)](x－2)一5=x2+24x一47，求导得L’=一3x+24，令L’=0，得驻点x=8．根据实际情况，L存在最大值，且驻点唯一，则驻点即为最大值点．Lmax=．82+24．8—47=49．故当两个市场价格为8万元／吨时，企业获得最大利润，此时最大利润为49万元．涉及知识点：一元函数微分学。
专升本高等数学(二)-一元函数微分学(一)
专升本高等数学(二)-一元函数微分学(一)(总分：94.00，做题时间：90分钟)一、{{B}}选择题{{/B}}(总题数：4，分数：8.00)1.已知函数y=x5+3x4，则y'|x=2=______。
∙ A.8∙ B.176∙ C.7∙ D.186（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：2.若下列各极限都存在，其中等式不成立的是______ A． B． C． D （分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 利用导数f(x)在点x0处的定义进行判断。
选项A中，[*]，原等式成立。
选项B中，[*]，原等式成立。
选项C中，[*]，原等式不成立。
选项D中，[*]，原等式成立。
3.已知函数f(x)在点x0处可导，且f'(x0)=2______∙ A.0∙ B.1∙ C.2∙ D.4（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：[解析] [*]。
4.设f(x)在x0处不连续，则______A．f'(x0)必存在 B．f'(x0)必不存在C．必存在 D（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 根据函数的可导与连续的关系可知，f(x)在x0处不连续，则f(x)在x0处不可导。
二、{{B}}填空题{{/B}}(总题数：8，分数：24.00)5.(2，3)处的切线方程是 1。
（分数：3.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：6.函数y=4x3-9x2+6x+1的驻点是 1。
（分数：3.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]，1）解析：7.f'(0)=______。
（分数：3.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[解析] [*] 依题意，有[*]，于是有[*]。
8.曲线y=e-x在点(0，1)处的切线的斜率k为 1。
（分数：3.00）填空项1:__________________ （正确答案：-1）解析：[解析] y'=(e-x)'=-e-x，根据导数的几何意义有，k=y'|x=0=-e0=-1。
专升本高等数学一(一元函数微分学)模拟试卷3(题后含答案及解析)
专升本高等数学一（一元函数微分学）模拟试卷3(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．设函数f(x)在x=0处连续，且=1，则A．f(0)=0且f－’(0)存在B．f(0)=1且f－’(0)存在C．f(0)=0且f＋’(0)存在D．f(0)=1且f＋’(0)存在正确答案：C解析：因为f(x)在x=0处连续，且=1，所以f(0)=0．从而有=f＋’(0)，故选C．知识模块：一元函数微分学2．设f(x)=e2+，则f’(x)= ( )A．B．C．D．正确答案：B解析：f’(x)=(e2)’+．知识模块：一元函数微分学3．设函数f(x)=xsinx，则f’()= ( )A．B．1C．D．2π正确答案：B解析：因为f’(x)=sinx+xcosx，所以=1．知识模块：一元函数微分学4．函数f(x)=在x=0处( )A．连续且可导B．连续且不可导C．不连续D．不仅可导，导数也连续正确答案：B解析：因为=0=f(0)，所以函数在x=0处连续；又因不存在，所以函数在x=0处不可导．知识模块：一元函数微分学5．设y=x2+2x一1(x＞0)，则其反函数x=φ(y)在y=2处导数是( )A．B．C．D．正确答案：A解析：y=x2+2x一1(x＞0)，y’=2x+2，y=2时，x=1或x=一3(舍)，y’(1)=4，所以x=φ(y)在y=2处的导数为φ’(2)=，故选A．知识模块：一元函数微分学6．已知f(x)在x=0的某个邻域内连续，且f(0)=0，=2，则在点x=0处f(x) ( )A．不可导B．可导且f(0)≠0C．取得极大值D．取得极小值正确答案：D解析：因为＞0，由极限的保号性知，存在x=0的某个邻域使＞0，因此在该邻域内有f(x)＞f(0)，所以f(x)在x=0处取极小值，故选D．知识模块：一元函数微分学7．函数y=ex+arctanx在区间[一1，1]上( )A．单调减少B．单调增加C．无最大值D．无最小值正确答案：B解析：因y’=ex+＞0处处成立，于是函数在(－∞，+∞)内都是单调增加的，故在[一1，1]上单调增加，在区间端点处取得最值．知识模块：一元函数微分学8．设函数f(x)满足关系式f’’(x)+[f’(x)]2=x，且f’(0)=0，则( )A．f(0)是f(x)的极大值B．f(0)是f(x)的极小值C．点(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点D．f(0)不是f(x)的极值，点(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点正确答案：C解析：由f’(0)=0及f’’(x)+[f’(x)]2=x知f’’(0)=0且f’’(x)=x一[f’(x)]2，又x，f’(x)可导，所以f’’(x)可导，于是f’’’(x)=1—2f’(x)f’’(x)，f’’’(0)=1＞0，而f’’’(0)=，故f’’(x)在x=0左、右两侧异号，故选C．知识模块：一元函数微分学9．设f(x)在[0，a]上二次可微，且xf’(x)一f(x)＜0，则在区间(0，a)内是( )A．单调减少B．单调增加C．有增有减D．不增不减正确答案：A解析：在区间(0，a)内单调减少．知识模块：一元函数微分学10．点(0，1)是曲线y=ax3+bx2+c的拐点，则有( )A．a=1，b=一3，c=1B．a≠0，b=0，c=1C．a=1，b=0，c为任意D．a、b为任意，c=1正确答案：B解析：(0，1)在曲线上，所以c=1，y’=3ax2+2bx，y’’=6ax+2b，(0，1)为拐点，所以y’’(0)=0，得a≠0，b=0，故选B．知识模块：一元函数微分学填空题11．设f’(x)=g(x)，则[f(sin2x)]=________．正确答案：g(sin2x)sin2x解析：[f(sin2x)]=f’(sin2x)．(sin2x)’=2sinxcosxf’(sin2x)=sin2xg(sin2x)．知识模块：一元函数微分学12．设y=(3x+1)27，则y(27)=________．正确答案：327．27！解析：对于形如y=(ax+b)n的函数，其k阶导为y(k)=ak(ax+b)n－k，对于此题n=k=27，a=3，b=1，所以y(27)=27！．327．知识模块：一元函数微分学13．若f’(x0)=1，f(x0)=0，则=_________．正确答案：一1解析：=－f’(x0)=－1．知识模块：一元函数微分学14．函数F(x)=∫1x(2－)dt(x＞0)的单调递减区间是_________．正确答案：0＜x＜解析：由F(x)=∫1x(2一)dt(x＞0)，则F’(x)=2一．令F’(x)=0，得时，F’(x)＜0，F(x)单调递减．知识模块：一元函数微分学15．设点(x0，f(x0))是曲线y=f(x)的拐点，且f’’(x0)≠0，则f’’(x0)必定_________．正确答案：不存在解析：拐点是二阶导数为0的点或是二阶导数不存在的点．知识模块：一元函数微分学解答题16．当h→0，f(x0+3h)一f(x0)+2h是h的高阶无穷小量，求f’(x0)．正确答案：因为h→0，f(x0+3h)－f(x0)+2h是h的高阶无穷小量，即所以，3f’(x0)+2=0，即f’(x0)=．涉及知识点：一元函数微分学17．求曲线处的切线方程．正确答案：则根据点斜式求得切线方程为y=a+[x一a[一1)]=x－+2a．涉及知识点：一元函数微分学18．设f(x)在x=1处有连续导数，且f’(1)=2，求．正确答案：涉及知识点：一元函数微分学19．设y=y(x)由所确定，求．正确答案：，由隐函数求导涉及知识点：一元函数微分学20．计算lnl．01的近似值．正确答案：由微分定义可知f(x+△x)=f(x)+f’(x)△x，令f(x)=lnx，则ln1．01=f(1．01)=f(1)+f’(1)．0．01=0+1．0．01=0．01．涉及知识点：一元函数微分学给定曲线y=。
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一元函数微分学练习题答案一、计算下列极限：1．9325235lim222-=-+=-+→x x x 2．01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x 3．x x x 11lim--→)11(lim)11()11)(11(lim 00+--=+-+---=→→x x xx x x x x x 211011111lim-=+--=+--=→x x4．0111111lim )1)(1()1(lim 112lim 121221=--+-=-+=-++=-++-→-→-→x x x x x x x x x x x 5．21)23()124(lim 2324lim202230=++-=++-→→x x x x x xx x x x x x 6．x t x tx t x x t x t x t x t t t 2)2(lim ))((lim )(lim00220-=--=--+-=--→→→ 7．00010013111lim 13lim 4232242=+-+=+-+=+-+∞→∞→xx x x x x x x x x 8．943)3(2)13()31()12(lim )13()31()12(lim1082108210108822=-⋅=---=---=∞→∞→x x x x x x x x x x x 原式 9．2)211(lim 2211)211(1lim )21...41211(lim =-=--=++++∞→∞→∞→n n n n n n 10．212lim 02tan lim 3sin lim )2tan 3sin (lim 0000=+=+=+→→→→x x x x x x x x x x x x x x11．01sin lim 20=→xx x （无穷小的性质）12．0arctan 1lim arctan lim ==∞→∞→x x xx x x （无穷小的性质）13．51231121lim3)3sin(lim )2)(3()3sin(lim 6)3sin(lim33323=+⋅=+⋅--=+--=---→→→→x x x x x x x x x x x x x 14．xx x x x x x xx x x x )11)(sin(lim)11)(11()11)(sin(lim11)sin(lim00-+-=-+---+-=---→→→2)011(1)11(lim )sin(lim00-=-+⋅-=-+⋅-=→→x xx x x15．2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x16．mn x x x )(sin )sin(lim 0→（n 、m 为正整数） ⎪⎩⎪⎨⎧<∞=>==→→mn m n mn x x x x mnx m nx , ,1 ,0lim )(sin )sin(lim 00 17．32)2(231lim 2sin 21)1(lim 1cos 1)1(lim 220231203120-=⋅-=--+=--+→→→x xx x x x x x x （等价替换）18．31301)3(lim )3(sin lim 3sin lim2202030=+=+=+=+→→→x x x x x x x x x x x x 19．413)1()(33)11(lim )31(lim )11()31(lim )1()3(lim )13(lim e ee xx x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x ==-+=-+=-+=-+--⋅-∞→⋅∞→∞→∞→∞→ 20．2121)2()21()2(])211(lim [)211(lim )211(lim ---∞→-⋅-∞→∞→=-=-=-e xx x x x x x x x 21．1lim )1ln(lim 00==+→→x xx x x x （等价替换）注：也可用洛必达法则22．535sec 53cos 3lim 5tan 3sin lim2-==→→x x x x x x ππ23．)2(sin cos lim 41)2)(4(sin cos lim )2(sin ln lim2222ππππππ-⋅=--⋅=-→→→x x xx x x x x x x x 812141sin 2)2(cos sin lim412-=-⋅=+-⋅-=→x x x x x ππ 24．nm n m a x n nm m a x a nm nx mx a a x a x ---→→==≠--11lim )0(lim 25．xx x x xx x xx x x x x 2sec 22tan 7tan 7sec 7lim 2tan 2sec 27tan 7sec 7lim 2tan ln 7tan ln lim 2202200⋅==+++→→→ 17cos 2cos lim 2sec 7sec lim 2sec 2277sec 7lim 220220220===⋅=+++→→→xx x x x x x x x x x 26．1cos lim sin cos )1ln(lim cos 1cos )1ln(lim cos sec )1ln(lim 22022022020==+=-+=-+→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x 27．a aa xx x x e xa x a =+=+⋅∞→∞→)1(lim )1(lim28．2111lim 11lim )1112(lim )1112(lim 12122121-=+-=--=-+--=---→→→→x x x x x x x x x x x x二、计算下列函数的导数： 1．531-=x y 2．x x e y x+=13．1004)13(-=x y 4．122-+-=x xe y5．bx e y ax sin =（b a ,为常数） 6．3cos 12e ey x x ++= 7．xxy --+=1111 8．x x x x y 3cot sin )32(252-+-+=9．)1lg()1(22x e x y x -++=- 10．)1ln(2x x y ++= 11．xy 1tan 2= 12． 322)13(+=x y13．4)sin(=++xy e y x （求y '） 14．4)sin(=++xy e y x （求y '）答案：1．2312121)53(23)53()53(21])53[(------='-⋅--='-='x x x x y 2．x e x x x x x e x x e y x xx 23121)1()()(12211+-=⋅++-⋅='+'='3．99434994)13(1200)13()13(100-='-⋅-='x x x x y 4．1221222)22()12(-+--+-+-='-+-⋅='x xx xe x x x e y5．)cos sin ()(sin sin )()sin (bx b bx a e bx e bx e bx e y ax ax ax ax +='+'='='6．x x x x x x e x e x e e y -----=+-'='+'+'='sin )2(ln 20)(cos 2ln 2)()()2(cos cos 3cos 7．x xx x x x xxy --=-+---=--+=1211111111 22)1(1)1()1()1(212)1(2x x x x x x x x xx y -+-=-'----='--='8．)3(cot )(sin ])32[(252'-'+'-+='x x x x yx x x x x x x x x x x x x 3csc 3cos sin 2)32)(22(533csc cos sin 2)32()32(52422242++-++=⋅++'-+⋅-+=9．])1[lg(])1[(22'-+'+='-x e x y x10ln )1(2)1(2)1(10ln )1(1))(1()1(222222x x e x xe x x e x e x xx x x --+-='--+'++'+=----10．])1[ln(2'++='x x y2222222211])1(1211[11])1(1[11)1(11x x xx x x x x x x x x +='+⋅++++='++++='++++=11．)1(1sec 2ln 2)1(1sec 2ln 2)1(tan 2ln 2)2(221tan 21tan 1tan1tanxx x x x y x x xx-⋅⋅='='⋅='='12．3122312322)13(4)13()13(32])13[(--+='+⋅+='+='x x x x x y13．4)sin(=++xy e y x解：方程两边同时对x 求导xyxy xy xy xy xy xe y x ye y x y ye y x xe y x y y x y e y y x xy e y x y x ++++-='∴++-=++'='+⋅+'+⋅+='⋅+'+⋅+)cos()cos( ])[cos(])[cos( 0)()1()cos( 0)()()cos(14．（与13同）三、确定下列函数的单调区间： 1．7186223---=x x x y函数在]1,(--∞、),3[+∞内单调递增，在]3,1[-内单调递减。
2．)0(82>+=x xx y 函数在]2,0(内单调递减，在),2[+∞内单调递增。
3．xx x y 6941023+-=函数在)0,(-∞、]21,0(、),1[+∞内单调递减，在]1,21[内单调递增。
4．)1ln(2x x y ++=函数在),(+∞-∞内单调递增。
四、求下列函数图形的拐点及凹或凸区间： 1．53523++-=x x x y拐点)2720,35(，在]35,(-∞内是凸的，在),35[+∞内是凹的。
2．)1ln(2+=x y拐点)2ln ,1(-、)2ln ,1(，在]1,(--∞、),1[+∞内是凸的，在]1,1[-内是凹的。