一元函数微分学练习题(答案)

一元函数微分学练习题答案

一、计算下列极限：

1．93

25

235lim

222-=-+=-+→x x x 2．01)3(3)3(13lim 2

2223=+-=+-→x x x 3．x x x 11lim

--→)

11(lim

)11()11)(11(lim 00+--=+-+---=→→x x x

x x x x x x 21

1

011

1

11lim

-=+--=

+--=→x x

4．0111

111lim )1)(1()1(lim 112lim 1212

21=--+-=-+=-++=-++-→-→-→x x x x x x x x x x x 5．21

)23()124(lim 2324lim

202230=++-=++-→→x x x x x x

x x x x x x 6．x t x t

x t x x t x t x t x t t t 2)2(lim )

)((lim )(lim

00220-=--=--+-=--→→→ 7．0001001311

1lim 13lim 4

2322

42=+-+=+-+

=+-+∞

→∞→x

x x x x x x x x x 8．943)3(2)

13()31()12(lim )13()31()12(lim

10

82108

210

108822=-⋅=---=---=∞→∞→x x x x x x x x x x x 原式 9．2)211(lim 22

11)211(1lim )21...41211(lim =-=--

=++++∞→∞→∞→n n n n n n 10．21

2lim 02tan lim 3sin lim )2tan 3sin (lim 0000=+=+=+

→→→→x x x x x x x x x x x x x x

11．01

sin lim 20=→x

x x （无穷小的性质）

12．0arctan 1

lim arctan lim ==∞→∞→x x x

x x x （无穷小的性质）

13．51

231121lim

3

)3sin(lim )2)(3()3sin(lim 6)3sin(lim

33323

=+⋅=+⋅--=+--=---→→→→x x x x x x x x x x x x x 14．x

x x x x x x x

x x x x )

11)(sin(lim

)

11)(11()11)(sin(lim

11)sin(lim

00

-+-=-+---+-=---→→→

2)011(1)11(lim )

sin(lim

00-=-+⋅-=-+⋅-=→→x x

x x x

15．2

323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x

16．m

n x x x )

(sin )sin(lim 0→（n 、m 为正整数） ⎪⎩

⎪

⎨⎧<∞=>==→→m

n m n m

n x x x x m

n

x m n

x , ,1 ,0lim )(sin )sin(lim 00 17．3

2)2

(231lim 2sin 21)1(lim 1cos 1)1(lim 2

2023

1203

1

20-=⋅-=--+=--+→→→x x

x x x x x x x （等价替换）

18．3

1

301)3(lim )3(sin lim 3sin lim

2

202030

=+=+=+=+→→→x x x x x x x x x x x x 19．413)

1()(3

3)11(lim )31(lim )11()31(lim )1()3(lim )13(

lim e e

e x

x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x ==-+=-+=-+=-+--⋅-∞→⋅∞→∞→∞→∞→ 20．21

21

)2()21

()2(])21

1(lim [)

211(lim )211(lim ---∞→-⋅-∞→∞→=-=-=-e x

x x x x x x x x 21．1lim )1ln(lim 00==+→→x x

x x x x （等价替换）注：也可用洛必达法则

22．5

3

5sec 53cos 3lim 5tan 3sin lim

2-==→→x x x x x x ππ

23．)2(sin cos lim 41)

2)(4(sin cos lim )2(sin ln lim

2

2

22

ππππππ

-⋅=--⋅=-→→→

x x x

x x x x x x x x 8

1

2141sin 2)2(cos sin lim

412

-=-⋅=+-⋅-=

→x x x x x ππ 24．n

m n m a x n n

m m a x a n

m nx mx a a x a x ---→→==≠--1

1lim )0(lim 25．x

x x x x

x x x

x x x x x 2sec 22tan 7tan 7sec 7lim 2tan 2sec 27tan 7sec 7lim 2tan ln 7tan ln lim 2202200⋅==+++→→→ 17cos 2cos lim 2sec 7sec lim 2sec 2277sec 7lim 220220220===⋅=+++→→→x

x x x x x x x x x x 26．1cos lim sin cos )1ln(lim cos 1cos )1ln(lim cos sec )1ln(lim 2

2022022020==+=-+=-+→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x 27．a a

a x

x x x e x

a x a =+=+⋅∞→∞→)1(lim )1(lim

28．21

11lim 1

1lim )1112(lim )1112(

lim 1212

2121

-=+-=--=-+--=---→→→→x x x x x x x x x x x x

二、计算下列函数的导数： 1．5

31-=

x y 2．x x e y x

+=1

3．1004)13(-=x y 4．1

22

-+-=x x

e y

5．bx e y ax sin =（b a ,为常数） 6．3cos 1

2e e

y x x ++= 7．x

x

y --

+=

1111 8．x x x x y 3cot sin )32(252-+-+=

9．)1lg()1(22x e x y x -++=- 10．)1ln(2x x y ++= 11．x

y 1tan 2= 12． 3

22)13(+=x y

13．4)sin(=++xy e y x （求y '） 14．4)sin(=++xy e y x （求y '）