高等数学多元函数的积分
多元微积分-多元函数的极值
( x0, y0 ) 处 有 极 值 ， 则 它 在 该 点 的 偏 导 数 必 然 为 零 ：
fx(x0,y0) 0 ， fy(x0,y 0) 0 .
（称驻点）
注意：极值点
驻点
例如, 点(0,0)是函数z xy的驻点，但不是极值点.
定理2 （充分条件）
设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 的某邻域内连续，
小值.
使函数取得极值的点称为极值点. 极大值、极小值统称为极值.
例1 函数 z 3x2 4 y2
在 (0,0) 处有极小值．
(1)
例2 函数 z x2 y2
(2)
在 (0,0) 处有极大值．
例3 函数 z xy
(3)
在 (0,0) 处无极值．
观察二元函数 z
xy ex2 y2
的图形
回忆一元函数的极值及其求法
100 5x2 48x 10 y2 24 y ，
令
Lx 10x 48 0 Ly 20y 24 0
解得惟一驻点
x 4.8, y 1.2，
A f xx 10 , B f xy 0 , C f yy 20 ,
B2 AC 0 , A 0 , 惟一驻点为极大值点，
即为最大值点，
解 fx (x, y) 3x2 3y fy (x, y) 3y2 3x
fxx (x, y) 6x fxy (x, y) 3 f yy (x, y) 6 y
解方程组
f f
x y
(x, (x,
y) y)
3x2 3y2
3y 3x
0 0
在 0, 0点处
得驻点 0, 0，1,1
A fxx (0, 0) 0 B fxy (0, 0) 3 C f yy (0, 0) 0
高等数学第八章多元函数积分学
D
证:f (x, y)d
y
D
d
f1(x) f2(y)dxdy
c
D
bd
dx ac
f1(x)
f2(y)dy
0a
bx
b
d
d
b
a[f1(x) c f2(y)d]ydxc f2(y)dy af1(x)d.x
.
比如， 1dx3xyed y1xd x 3eyd.y
y
xydxdy
1
dx
1x2
xydy
D
00
11x(1x2)dx1(x2x4)11. 1
02
22 4 0 8
D
本 题 若 先 对 x 积 分 ， 解 法 类 似 . O x 1
x
.
例4
改变积分
01dx
1
0
x
f
( x,
y )dy 的次序.
解 积分区域为 y
0x1, D:
1
0y1x.
0x1y, D:
f (x, y)d
b
d
a dxc f(x,y)dy
D
d
b
c dya f(x,y)dx
（2）如果被积函数 f (x, y) = f1(x)·f2(y),且积分区域是矩
形区域，则
f(x,y)da bf1(x)dxcdf2(y)d.y
D
.
设D：a x b, c y d. f (x, y) = f1(x)·f2(y)可积，
y
4
2
yx
D2 D1
D D 1D 2.
D1 :
2 x4, 2 y x.
高等数学多元函数微积分
高等数学多元函数微积分多元函数微积分是高等数学中的一个重要分支。
它研究在多变量空间中的单变元函数的微分和积分问题。
这对学习曲面、平面的渐变、凹凸和分界、曲面的体积、局部极值等问题具有重要意义。
一、基本概念1. 超曲面：一般讲，超曲面就是在n维空间中的一类曲面，它们由至少n+1个函数组成。
它是由n维变量组成的，因而可以容纳n维量空间中所有的事物，从而形成一个多维结构。
2. 多元函数微分：多元函数微分就是对在多元空间内变量中的一个函数进行微分的一类函数，它可以应用于求解曲面的斜率，曲面的凹凸和分界，比如计算椭圆曲线、抛物曲线等的曲率和斜率等问题。
3. 多元函数积分：多元函数积分是指在多元空间中的一个函数的积分运算，它可以用于计算曲面的体积，曲面的拉伸与缩小等问题，它也可以用于计算曲面的累积，例如计算三维抛物面、回旋曲线等曲率积分的体积等。
二、求解方法1. 黎曼微积分法：黎曼微积分法是指在进行多元函数微积分时，识别出包含所求函数的一组导函数，然后根据黎曼公式将这些导函数求和，不断缩小未知函数的范围，最终确定出未知函数的表达式的一类方法。
2. 光滑函数的变换法：光滑函数的变换法指的是在进行多变量函数积分时，先将所给函数进行光滑变换，然后根据变换法则和对称性，极限性和旋转对称性等等属性，运用变换法，不断将多变量函数转化为单变量函数，最后将单变量函数进行积分。
三、应用1. 力学中的应用：多元函数微积分在力学中有着重要的作用，通过多元函数微积分，可以研究分析物体的运动轨迹，甚至可以预测未来的物体的状态。
2. 热物理学的应用：多元函数微积分可以用来研究热物理学中各种复杂多变量的函数，如热力学量在温度和压力变化时的变化情况，揭示物质性质在热状态时的性质变化，以及热流、热量变化的关系等。
3. 数学建模的应用：多元函数微积分也可以用来进行数学建模，如多元微积分可以用来描述一个普通一般问题的结构特性，如一个多边形的周长、三角形的体积、四棱锥的表面积等。
高等数学中的多元函数与曲线积分
高等数学中的多元函数与曲线积分引言：在高等数学中，多元函数与曲线积分是重要的概念和工具。
多元函数是指依赖于多个自变量的函数，而曲线积分则是对函数沿曲线的积分。
本教案将介绍多元函数的概念、性质以及曲线积分的计算方法和应用。
一、多元函数的概念与性质（2000字左右）1.1 多元函数的定义多元函数是指依赖于多个自变量的函数，通常表示为f(x1, x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn为自变量，f为因变量。
与一元函数类似，多元函数也可以进行运算，如加减乘除等。
1.2 多元函数的图像与等值曲面多元函数的图像是指函数在多维空间中的表示，常用三维坐标系绘制。
而等值曲面则是多元函数在空间中取得相同函数值的曲面，可以用来观察函数的特性和变化。
1.3 多元函数的导数与偏导数多元函数的导数是指函数在某一点处的变化率，可以用来描述函数的斜率和曲线的切线。
而偏导数则是多元函数对某一个自变量的导数，其他自变量视为常数。
导数和偏导数在求解极值、判断函数增减性等方面起着重要作用。
二、曲线积分的基本概念与计算方法（2000字左右）2.1 曲线积分的定义曲线积分是指将函数沿曲线的路径进行积分，用于描述函数在曲线上的累积效应。
曲线积分分为第一类和第二类曲线积分，分别对应于标量场和向量场。
2.2 第一类曲线积分的计算方法第一类曲线积分是将标量场沿曲线的路径进行积分，可以通过参数化曲线和积分上限下限的代入来计算。
常用的计算方法有参数化曲线积分和直接计算法。
2.3 第二类曲线积分的计算方法第二类曲线积分是将向量场沿曲线的路径进行积分，可以通过参数化曲线和向量场的点乘来计算。
常用的计算方法有参数化曲线积分和直接计算法。
三、曲线积分的应用（2000字左右）3.1 曲线积分在物理学中的应用曲线积分在物理学中有广泛的应用，如计算力场对物体的做功、电场对电荷的做功等。
通过曲线积分，可以描述力场和电场在曲线上的作用效果。
3.2 曲线积分在工程学中的应用曲线积分在工程学中也有重要的应用，如计算液体在管道中的流量、电流在电路中的环路电压等。
自考高等数学(一)第六章 多元函数微积分
第六章多元函数微积分6.1 空间解析几何基础知识一、空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合右手系。
即以右手握住z轴，当右手的四个手指从正向x轴以角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向。
空间直角坐标系共有八个卦限空间的点有序数组（x,y,z）特殊点的表示：坐标轴上的点P,Q,R；坐标面上的点A，B，C；0（0，0，0）空间两点间距离公式：特殊地：若两点分别为M（x,y,z），0（0，0，0）。
二、空间中常见图形的方程1、球面已知球心M0（x0,y0,z0），半径为R，则对于球面上任意点M（x，y，z），有，称为球面方程。
特别地，以原点为球心，半径为R的球面方程是。
2、平面到两点等距离的点的轨迹就是这两点组成线段的垂直平分面。
例1、已知A（1，2，3），B（2，-1，4），求线段AB的垂直平分面的方程。
【答疑编号11060101】解：设M（x,y,z）是所求平面上任一点，根据题意有|MA|=|MB|，化简得所求方程2x-6y+2z-7=0。
x，y，z的一次方程表示的图形是一个平面。
3、柱面定义平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
柱面举例4、二次曲面三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面。
（1）椭球面椭球面与三个坐标面的交线：（2）x2+y2=2pz的图形是一个旋转抛物面。
6.2 多元函数的基本概念一、准备知识1、邻域设P0（x0,y0）是xoy平面上的一个点，δ是某一正数，与点P0（x0,y0）距离小于δ的点P（x,y）的全体，称为点p0的δ邻域，记为U（P0, δ）,。
2、区域平面上的点集称为开集，如果对任意一点，都有的一个邻域。
设D是开集。
如果对于D内任何两点，都可用折线连结起来且该折线上的点都属于D，则称开集D是连通的。
连通的开集称为区域或开区域。
开区域连同它的边界一起称为闭区域。
3、n维空间设n为取定的一个自然数，我们称n元数组的全体为n维空间，而每个n元数组称为n维空间中的一个点，数x i称为该点的第i个坐标说明：n维空间的记号为R n；n维空间中两点间距离公式：设两点为特殊地当n=1，2，3时，便为数轴、平面、空间两点间的距离。
高等数学积分公式大全
高等数学积分公式大全高等数学是一门非常重要的学科，在很多领域都有应用。
其中，积分学是高等数学中的一个重要章节。
积分可以理解为求解曲线图形下面的面积，不同类型的积分公式有着不同的概念和应用，下面，就为大家整理了一份高等数学积分公式大全，让大家对这个知识点有一个更全面的认识。
1. 常数积分公式$$\int kdx=kx+C$$2. 幂函数积分公式$$\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$3. 指数函数积分公式$$\int e^xdx=e^x+C$$4. 对数函数积分公式$$\int \frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$$5. 三角函数积分公式$$\int \sin xdx=-\cos x+C$$$$\int \cos xdx=\sin x+C$$6. 反三角函数积分公式$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$$$$\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C$$$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}dx=\ln|x+\sqrt{x^2-1}|+C$$7. 换元法积分公式$$\int f(u)du=\int f(u(x))\frac{du}{dx}dx$$8. 分部积分公式$$\int u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\int v(x)u'(x)dx$$9. 定积分公式$$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$$10. 积分中值定理$$\int_a^bf(x)dx=f(c)(b-a)$$这便是几种高等数学积分公式的介绍，这些公式是数学中不可或缺的知识点，掌握这些公式不仅有助于学生学好数学，还对应用数学的工作有相当多的帮助。
除了这些基本的积分公式之外，高等数学还涉及到一些比较复杂的积分公式，如多重积分、线性代数积分、微积分方程等等。
1. 多重积分公式多重积分是指对多元函数的积分，通常被用于几何问题、概率论问题和物理学问题中。
多元函数
( x, y )
{( x, y, z) | z f ( x, y), ( x, y) D}
这个点集称为二元函数的图形. 注意：二元函数的图形通常是一张曲面.
医用高等数学
z
M ( x, y, z)
y
o
x
p
y
D
x
医用高等数学
三、二元函数的极限与连续
1.二元函数的极限 定义4-2 设函数 z f ( x, y)在点P 0 ( x0 , y 0 )的某一邻域内 有定义(点 P 0 ( x0 , y 0 ) 可以除外).如果当 P( x, y ) 沿任何路径 趋近于 P 0 ( x0 , y 0 )时，函数 f ( x, y )无限趋近于一个常数 A ,则 称 f ( x, y )当 P( x, y) P0 ( x0 , y 0 ) 时 ,以 A 为极限，记作
证明 当 p( x, y)沿曲线 y kx 趋于(0, 0)时
xy kx 2 k lim 2 lim 2 2 2 2 2 x 0 x 0 x k x x y 1 k y kx 0
当k取不同的值时,所得的值不同
xy 所以 lim 不存在． x 0 x 2 y 2 y 0
P
o
在直角 M 1 NM 2 Q 及 直 角 M PN 1 N 中，使用勾股定 y 理知
2 2
x
d M 1 P PN NM 2
2
2
医用高等数学
M1 P x2 x1 , PN y2 y1 ,
NM 2 z2 z1 ,
d
M 1 P PN NM 2
医用高等数学
自变量 ( x , y ) 的取值范围称为函数的定义域.
10多元函数积分中的三个公式计算及运用
10多元函数积分中的三个公式计算及运用在高等数学中，多元函数积分是一个重要的概念，它在应用数学、物理学等领域中都有着广泛的应用。
为了更好地理解和应用多元函数积分，李正元考研高数基础讲义中介绍了十个多元函数积分的基本公式，其中有三个是重要且常用的公式，它们分别是重积分的线性性、变量代换公式和极坐标系下的积分公式。
首先是重积分的线性性。
重积分的线性性是指如果f(x,y)和g(x,y)是定义在闭区域D上的可积函数，c1和c2是常数，那么c1f(x,y)+c2g(x,y)也是定义在D上的可积函数，并且有以下成立的公式：∫∫D [c1f(x, y) + c2g(x, y)]dxdy = c1∫∫D f(x, y)dxdy +c2∫∫D g(x, y)dxdy这个公式的运用非常广泛，在对多元函数进行积分时经常会用到。
其次是变量代换公式。
在计算多元函数积分时，有时可以通过进行变量代换来简化计算。
设有从平面区域D到平面区域D'的可导函数变换x=x(u,v),y=y(u,v)，且这个变换是一一对应，那么就有以下变量代换公式：∫∫D' f(x(u, v), y(u, v))，J(u, v)，dudv = ∫∫D f(x,y)dxdy其中J(u,v)是变换的雅可比行列式，即J(u,v)=∂(x,y)/∂(u,v)=∂x/∂u*∂y/∂v-∂x/∂v*∂y/∂u。
这个公式在计算复杂的多元函数积分时非常有用，通过适当的变量代换可以将积分区域转化成更简单的形式，从而简化计算过程。
最后是极坐标系下的积分公式。
当积分区域是一个闭圆盘或圆环时，可以使用极坐标系来进行积分计算。
假设f(r,θ)是定义在圆盘或圆环内的连续函数，那么有以下公式成立：∫∫D f(r, θ)rdrdθ = ∫(θ=a to b) ∫(r=0 to R) f(r,θ)rdrdθ其中D表示积分区域，a和b是角度的取值范围，R是极坐标下的积分区域的半径。
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多元函数积分学综述：多元函数积分学是对一元函数的不定积分与定积分相关知识的推广，主要涉及重积分和曲线、曲面积分的计算与应用.本章在考研数学数学一的考试中所占的比重非常大，一般来说，每次考试平均会出两道大题、一道小题，所占分值在24分左右.本章的主要知识点有：各种积分（二重积分、三重积分，对弧长的曲线积分，对坐标的曲线积分，对面积的曲面积分，对坐标的曲面积分）的定义与性质，各种积分的基本计算方法，联系各种积分的公式（格林公式，高斯公式，斯托克斯公式），以及场论的一些初级的知识.考生复习的时候要注意：1.定积分是所有积分的基础，计算其它积分本质上也是在计算定积分，而所有积分定义本质上也都是和定积分一致的.2.具体地来说，计算二重积分等价于计算两次定积分，计算三重积分等价于计算三次定积分.对于重积分，考生主要要掌握各种坐标的定限方法和适用范围.3.而对弧长和对坐标的曲线积分的计算本质上也都是定积分的计算.其中，考试对对弧长的曲线积分要求较低，只需掌握计算公式即可.而对对坐标的曲线积分，除了要掌握计算公式，还需要理解它和对弧长的曲线积分之间的关系，更重要的还需要掌握格林公式以及由它所引申出的积分与路径无关的条件以及二元函数的全微分等知识点.这是本章的第一个重点.4.然后，对面积的曲面积分和对坐标的曲面积分的计算本质上是二重积分的计算.其中考试对对面积的曲面积分要求较低，掌握计算公式即可.对坐标的曲面积分这一块考点较多：首先要掌握基本的计算公式和两类曲面积分之间的关系，然后还需要重点掌握高斯公式以及斯托克斯公式的应用.这是本章的另一个重点.本章常考的题型有：1.二重积分的计算，2.三重积分的计算；3.对弧长的曲线积分的计算；4.极对坐标的曲线积分的计算，5.格林公式的应用，6.对积分与路径无关的条件的考查，7.二元函数的全微分，8.对面积的曲面积分的计算，9.对坐标的曲面积分的计算，10.高斯公式的应用，11.斯托克斯公式的应用，12.综合应用，13.场论初步.常考题型一：二重积分的定义与性质常考题型一：二重积分的性质1.【2005—3 4分】 设σd y x I D⎰⎰+=221cos ,σd y x I D ⎰⎰+=)cos(222,σd y x I D⎰⎰+=2223)cos(, 其中}1),{(22≤+=y x y x D ，则（ ）()A 123I I I >>. ()B 321I I I >>. ()C 312I I I >>. ()D 213I I I >>.常考题型二：二重积分的计算1．交换积分次序2.【2004-1 4分】设函数()f u 连续, 区域{}22(,)2D x y x y y =+≤, 则()Df xy dxdy ⎰⎰等于（ ）()A11()dx f xy dy -⎰⎰()B 22()dy f xy dx ⎰⎰()C 2sin 20(sin cos )d f r dr πθθθθ⎰⎰()D 2sin 20(sin cos )d f r rdr πθθθθ⎰⎰3.【2007-2 4分】设函数(,)f x y 连续，则二重积分1sin 2d (,)d xx f x y y ππ⎰⎰等于（ ）()A 10arcsin d (,)d yy f x y x ππ+⎰⎰()B 10arcsin d (,)d yy f x y x ππ-⎰⎰()C 1arcsin 02d (,)d yy f x y x ππ+⎰⎰()D 1arcsin 02d (,)d yy f x y x ππ-⎰⎰4.【2009-1 4分】设函数(),f x y 连续，则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰（ ）()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰()C ()2411,ydy f x y dx-⎰⎰()D ()221,ydy f x y dx ⎰⎰5.【2004-1 4分】设()f x 为连续函数，⎰⎰=ttydx x f dy t F 1)()(，则)2(F '等于（）()A ()22f ()B ()2f ()C ()2f -()D 06.【2001-1 3分】交换二次积分的积分次序：()0112,ydy f x y dx --=⎰⎰.7.【2002—3 4分】交换积分次序：()()111422104,,yydy f x y dx dy f x y dx +=⎰⎰⎰8.【2014—3 4分】二次积分2211()________.x y yedy e dx x-=⎰⎰ 【小结】：交换积分次序的一般步骤：根据现有的积分次序画出积分区域；选择另一种次序确定上下限、写出新的累次积分，如果有必要，可以分类讨论.2.直接利用直角坐标计算二重积分9．【1999-3】设(,)f x y 连续，且(,)(,)Df x y xy f u v dudv =+⎰⎰，其中D 是由20,,1y y x x ===所围成的区域，则(,)f x y 等于 ( )(A)xy (B)2xy (C)18xy +(D)1xy + 10.【2003-4】设0a >，，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==而D 表示全平面，则⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(=.11.【2005-1 9分】计算二重积分σd y x D⎰⎰-+122，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D .12.【2008-1 11分】求二重积分max(,1),Dxy dxdy ⎰⎰其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤13.【2011-1 11分】已知函数(,)f x y 具有二阶连续偏导数，且(1,)0,(,1)0f y f x ==，(,)Df x y dxdy a=⎰⎰，其中{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤计算二重积分(,)xy DI xyf x y dxdy ''=⎰⎰14.【1998—3 7分】计算二重积分Dydxdy ⎰⎰，其中D 是由直线2,0,2x y y =-==以及曲线x =.15.【2001—3 6分】求二重积分()22121x y Dy xe dxdy +⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎰⎰的值，其中D 是由直线,1y x y ==-，1x =围成的平面区域.16.【2006—3 7分】计算二重积分d Dx y ，其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域.17.【2012—3 10分】计算二重积分x De xydxdy ⎰⎰，其中D为由曲线y =与y =所围区域。
多元积分基本公式
多元积分基本公式多元积分是高等数学中的重要内容，它就像是一个神秘的魔法盒子，里面装满了各种奇妙的数学知识和解题技巧。
咱们先来说说多元积分到底是个啥。
想象一下，你有一块形状不规则的土地，你想知道这块地的面积。
如果是简单的矩形或三角形，那很容易算。
但要是奇形怪状的，那可就麻烦了。
这时候多元积分就派上用场啦！它能帮咱们精确地算出这种不规则区域的大小。
比如说，在一个三维空间里，有一个像奇形怪状的气球一样的物体。
我们要计算它的体积，这就得靠多元积分。
还记得我之前给一个学生讲多元积分的时候，那孩子一脸懵，眼睛瞪得大大的，完全不知所措。
我就给他举了个例子，我说：“你想想啊，咱们去买水果，那种不规则形状的水果，比如榴莲。
水果店老板要给榴莲定价，总不能随便估摸个价格吧？他就得通过计算榴莲的体积来估计成本，这时候多元积分就像是他的秘密武器。
”这孩子一听，好像有点明白了。
多元积分包括二重积分、三重积分等等。
二重积分就像是在一个平面上给不规则的图形测量面积，而三重积分则是在三维空间里给不规则的物体测量体积。
咱们来具体看看二重积分。
假设在一个平面直角坐标系中，有一个区域，这个区域的边界弯弯曲曲的，不好直接计算面积。
那咱们就把这个区域分成很多很多小的矩形，然后计算每个小矩形的面积，再把它们加起来。
这听起来好像挺麻烦，但其实有一套固定的公式和方法。
就像有一次我带着学生们在课堂上做练习，有一道题是计算一个由曲线围成的区域的面积。
大家一开始都抓耳挠腮的，不知道从哪儿下手。
我就引导他们一步一步来，先确定积分区域的边界，再确定被积函数。
慢慢地，同学们开始有了思路，一个个算出了答案，那兴奋劲儿，就像是解开了一个超级难的谜题。
三重积分呢，比二重积分更复杂一点，但原理是类似的。
想象一下一个充满了气体的不规则的气球，咱们要知道这个气球里气体的多少，就得用三重积分来计算它的体积。
在学习多元积分的过程中，一定要搞清楚积分的上下限，这就像是给计算划定了一个范围，不能超出去。
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以 D 为底的曲顶柱体体积。
4、二重积分在直角坐标下的计算法
的法矢量
n1
1,1,
4
当
n
∥
n
1
时，即
6x
2y 1
6y 1
2x
4 4
得： x y 1 , z 1
4
16
∵ 在 (1 , 1 , 1 ) 点处切平面平行已知平面 4 4 16
∴
点(1 4
,
1 4
,
1 16
)
到平面距离最短，
d
m
in
2 8
例 2、在曲面 z 2 x2 y2 位于第一卦限部分上求一点，使该点的切 平面与三个坐标面围成的四面体的体积最小。
Y y 3x y X x
x 3y
Yx 3y X3x y yx 3y x3x y
切线与两坐标轴的截距分别为 x x 3y y, y 3x y x
3x y
x 3y
S
1 2
x
x 3y 3x y
y
y
3x y x 3y
x
1 2
x
1 3y
1 3x
y
若要使 S 最小，只要 x 3y3x y最大
例3、 求原点到曲线 x , y 0 的最大距离 此题即在条件 x , y 0 下求 z x2 y2 的最小值问题
20 条件极值、拉格朗日乘数法 在实际问题中可根据题意来确定最值而不需判别
求在条件 x , y 0 下, z f x , y的极值
令 F f x , y x , y 称 f x , y 为目标函数, 为拉格朗日常
10 二重积分 1、定义
第六章 多元函数的积分 P225
n
f
D
x
, y d l im f 0 1
,
2、性质
P226
其中 d 表示平面区域 D 的面积
D
f x , yd f , , , D ， 表 D 的面积
D
3、几何意义
f x , y 0 ，x , y D ，则 f x , yd 表示以 z f x , y为顶，
4、二元函数的极值、最值
10 极值定义
P208
f x 、y f x0 、y0
f x0 、y0 为极大值
f x 、y f x0 、y0
f x0 、y0 为极小值
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ f
x
、y
在
x0
、y 0
有极限值
f x f y
x0 x0
、y 0 、y 0
0 0
驻点 极值点，需判别
dx
3
3
3
z
8 3
,
4 3
256 27
比较 z 625 ， z 0 ， z 256
64
27
得最大值 z 625 ，最小值 z 0 64
在实际问题中要求最大，最小值往往带有附加条件，即对函数 的自变量除了限制在函数的定义域内外，还有其他的附加条件，这 些条件由函数的各自变量之间的一些方程来表示。
Fz
0 4z
F x 2 y2 z 2 0
得： x y
2 2
z 1
∵ 驻点唯一
∴
2, 2
2 2
,1
为所求点。
例 3、在第一象限内，过椭圆曲线 3x 2 2xy 3y 2 1 上任一点作椭圆 的切线，求诸切线与坐标轴所围成的三角形面积的最小值。
解：在第一象限内曲线上任一点（x，y）处的切线方程为：
设 fxx x0 、y0 A 、 fxy x0 、y0 B 、 fyy x0 、y0 C
B2 AC
f x0 、y0
A < 0 极大值
< 0 A > 0 极小值
>0
非极值
=0
不定
例1、 求 z x3 y3 3xy 的极值
解： f x 3x 2 3y ， fy 3y2 3x ， fxx 6x ，
数
FFxy
0 0
F 0
解得的 x , y为可能的极值点
例 1、求曲面 4z 3x 2 2xy 3y 2 到平面 x y 4z 1的最短距离
解法一、曲面上任一点（x，y，z）到平面的距离 d x y 4z 1 18
∴ 设 F 1 x y 4z 12 3x2 2xy 3y2 4z 2
又 A 1,1 6 0 ∴ f 1 , 1 1 为极小值
例 2、求 z x 2 y5 x y在闭区域 D： x 0 ， y 0 ，
x y 4 的最大，最小值。
解： fx xy 10 3x 2y ， fy x2 5 x 2y
令
xy10
x 2 5
3x 2y 0 x 2y 0
故设 F x 3y3x yλ 3x2 2xy 3y2 1
由
FFxy
6x 10y 6λ 10x 6y 2λ
x 2λ x 6λ
y0 y0
Fλ
3x2
2xy 3y2 1 0
得： x y 1 22
∵ 驻点唯一
∴
s m in
1 4
例 4、P212 例 5.32 5.33
f xy 3 ， f yy 6y
令
f f
x y
0 0
3x 2 3y 0 3y2 3x 0
得驻点 0 , 0 ， 1 , 1
y4 y 0
y0 y 1
在 0 , 0 ， B2 AC 0,0 32 0 9 0 ∴ f 0 , 0 非极值
1 , 1 ， B2 AC 1,1 32 36 0 ∴ 1 , 1为 极值点
Fx x y 4z 1 6x 2y 0
Fy
x
y 4z 1 6y 2x
0
Fz
4x
y 4z 1 4
0
F 3x 2 2xy 3y2 4z 0
xy1
得：
4
z 1
16
∵ 驻点唯一
∴
d min
2 8
解法二、曲面在任一点的切平面法矢量
n
6x
2y,6y
2x,
4
平面
x+y-4z=1
∵ 曲面位于第一卦限部分上任一点（x，y，z）处的平面方程为：
2xX 2yY Z 4 z
即
X 4z
Y 4z
4
Z
z
1，
∴ 四面体体积 V 4 z3
24xy
2x 2y
故令 F 3ln4 z lnx lny λ x2 y2 z 2
由
Fx
1 x
2x
0
Fy
1 y
2y
0
3
（在 D 内）
x
5 2
y
5 4
在 D 的内部函数只有一个驻点 5 , 5 ， f 5 , 5 625 2 4 2 4 64
在边界 x 0 ， f 0
在y 0 ，f 0
在 x y 4 ， z x 2 4 x5 x 4 x x 2 4 x 4x 2 x3
dz 8x 3x 2 0 得： x 8 ，即 x 8 ， y 4 为驻点