初中奥数系列：7.3.1一次函数的图象及性质(2).讲义学生版

一、一次函数的概念
一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，0k ≠）的函数，叫做一次函数，当0b =时，即y kx =，这时即
是前一节所学过的正比例函数．
⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．
⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数．
⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．
二、一次函数的图象
⑴一次函数y kx b =+（0k ≠，k ，b 为常数）的图象是一条直线． ⑵由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．
①如果这个函数是正比例函数，通常取()00，，()1k ，两点； ②如果这个函数是一般的一次函数（0b ≠），通常取()0b ，
，0b k ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，，即直线与两坐标轴的交点．
⑶由函数图象的意义知，满足函数关系式y kx b =+的点()x y ，在其对应的图象上，这个图象就是一条直
线l ，反之，直线l 上的点的坐标()x y ，满足y kx b =+，也就是说，直线l 与y kx b =+是一一对应的，所以通常把一次函数y kx b =+的图象叫做直线l ：y kx b =+，有时直接称为直线y kx b =+．
三、一次函数的性质
知识点睛
中考要求
一次函数的图象及性质（2）
1．一次函数图象的位置
在一次函数y kx b =+中：
⑴当0k >时，其图象一定经过一、三象限；当0k <时，其图象一定经过二、四象限．
⑵当0b >时，图象与y 轴交点在x 轴上方，所以其图象一定经过一、二象限；当0b <时，图象与y 轴 交点在x 轴下方，所以其图象一定经过三、四象限．
反之，由一次函数y kx b =+的图象的位置也可以确定其系数k 、b 的符号． 2．一次函数图象的增减性 在一次函数y kx b =+中：
⑴当0k >时，一次函数y kx b =+的图象从左到右上升，y 随x 的增大而增大； ⑵当0k <时，一次函数y kx b =+的图象从左到右下降，y 随x 的增大而减小．
四、含绝对值的一次函数
对于含有绝对值的一次函数，其图象是由若干条线段和射线组成的折线，我们通常采用零点讨论法，即先找出绝对值的零解，然后将数轴划分为若干个区间，接下来就可以在各个区间中确定每个绝对值中式子的符号，进而去掉绝对值符号．
我们知道，函数y x a =-，当x a =时，y 取最小值0．函数1212()y x a x a a a =-+-<，
若2x a >，则121221()()2()y x a x a x a a a a =-+-=-+>-； 若1x a <，则121221()()()2y a x a x a a x a a =-+-=+->-；
当12a x a ≤≤时，y 取最小值1221()()y x a a x a a =-+-=-． 在数学竞赛中，有这样一类问题非常普遍：
设121n n a a a a -<<<<…，当x 为何值时，函数121n n y x a x a x a x a -=-+-++-+-…取最小值？ 下面我们给出这类问题的一般性结论． 对于函数11n y x a x a =-+-，
当1n a x a ≤≤时，1y 取得最小值1n a a -．同理，
当21n a x a -≤≤时，函数221n y x a x a -=-+-取得最小值12n a a --；
当32n a x a -≤≤时，332n y x a x a -=-+-取得最小值23n a a --；……于是我们得到：
⑴ 若n 为奇数，当12
n x a +=时，1122n n y x a ++=-取最小值0，此时，1212
n y y y +，，…，都取得最小值，则
1212n y y y y +=++…+取得最小值1112122n n n n a a a a a a -++⎛⎫⎛⎫
+++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
……．
⑵ 若n 为偶数，当1
2
2n n a x a +≤≤时，1
222
n n n
y x a x a +=-+-取得最小值1
22
n n a a +-，此时，122
n y y y ，，…， 都
取得最小值，故122n y y y y =+++…取得最小值1121
22n n n n a a a a a a -+⎛⎫⎛⎫
+++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
……．
这一点从图象上也不难看出．当1x a <或n x a >时，图象是向左右两边向上无限延伸的两条射线，而中间各
段在区间[]1(121)i i a a i n +=-，，，…，上均为线段，它们首尾相连形成折线，在中间点或中间段处最低，此时函数有最小值．
一、一次函数解析式的确定
【例1】 如果每盒羽毛球有20个，每盒售价为24元，那么羽毛球的售价y （元）与羽毛球个数x （个）之
间的关系式为（ ）
A ．24y x =
B ．20y x =
C ．65y x =
D ．56
y x =
【巩固】 出租车收费按路程计算，3km 内（包括3km ）收费8元；超过3km 每增加1km 加收１元，则路程3x ≥km
时，车费y （元）与x （km ）之间的函数关系式是________________．
【例2】 已知函数图象如图所示，则此函数的解析式为（ ）
A ．2y x =-
B ．2(10)y x x =--<<
C ．1
2
y x =-
D ． 1
(10)2
y x x =--<<
【巩固】如图，一次函数的图象经过M 点，与x 轴交于A 点，与y 轴交于B 点，根据图中信息求：求这个函
数的解析式 ．
【例3】 已知一次函数的图象经过（3，2）和（1，-2）两点．求这个一次函数的解析式．
例题精讲。