3.3二阶系统解析
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3.3 二阶系统分析
tr
d
，其中 d
n
1 2， arccos
3.3 二阶系统的时域分析
峰值时间tp
c(t) 1
1
1 2
e nt sin(d t )
c(tp)=cmax
dc(tp)/dt=0
1
1 2
e nt sin(d t p ) 0
sin d t p 0, d t p k , k
解： k 6,n 2.45, 0.408
ts
4
n
4
M p 22%
k 12,n 3.46, 0.289
ts
4
n
4
M p 40%
K增大，系统的上升时间减小，超调量增大。 系统的响应速度加快，但振荡幅度增大、频率加快
3.3 二阶系统的时域分析
例题3.3 已知某系统的结构和单位阶跃响应的Mp<5%， tS<4秒，求系统的参数。
n n
2
1
,..T2
n
1
n
,
2 1
C(s)
n2
1
(s 1/ T1)(s 1/ T2 ) s
t
t
c(t) 1 e T1
e T2
T2 / T1 1 T1 / T2 1
1 / T2 1/ T1
3.3 二阶系统的时域分析
T1
1
n n
n
K
3.3.6 改善二阶系统性能的措施
1. 比例—微分控制
(1) 方法的思路
r(t)
1
c(t)01
R(s) E(s)
U(s
ωn2
大学自动控制原理_3.3二阶系统时间响应
1s 5% ts 1.33 2%
例2 如图所示的机械系统,在质量块上 施加9.8牛顿阶跃力后，m的时间响应 如图曲线，试求系统的 m、k 、c 。
Fi (t )
xo (t )
m c
k
解：根据牛顿第二定律，得
Fi (t ) Fk Fc Mo (t ) x Fk kxo (t ) Fc cxo (t )
即：
e
nt 2
1
1 1 1
2
解得： t s
n
ln
4 ln
若 0.02
1 1
2
则t s
n
3 ln
1 1
2
若 0.05
则t s
n
4
0.02) ( 若0 0.7时 ts n ts 32、源自阻尼状态( 0)2
1 X o (s) 2 2 s s n
1 s s s 2 n2
n
xo (t ) 1 cos nt
曲 线 特 点 ： 等 幅 振 荡
3、临界阻尼状态
1 X o (s) 2 s (s n )
( 1)
n
5、振荡次数N
在调整时间内响应曲线振荡的次数
ts ts N T 2
d
0 0.7时，
0.02时，t s 0.05时，t s 4
n
3
N N
2 1
2
1. 5 1
2
n
振荡次数N随着 而 。
( 2 1) nt ( 2 1) n t e e 2 2 1
自动控制原理 3-3二阶系统的时域分析
(a)根分布
(b)单位阶跃响应
图3-12 临界阻尼情况(z ＝1)
3. ＞１，称为过阻尼情况 当阻尼比 ＞１时，系统有两个不相等的实数根：
s1,2 ( 2 1)n 对于单位阶跃输入，C(s)为
(3.27)
C(s) 1 [2 2 1(
2 1)]1 [2 2 1(
2 1)]1
% e 12 100%
e 或 %
tg
100%
取5%
ln
1 2
h(t) 由包络线求调节时间ts
取2%
ln 1 2
0.05 2.997
0.05 3.913
0.1 0.2 0.3
3.001 3.016 3.043
ts
31.5 n
，取5% e 1
n t
12
ts
4.5 n
，取2%
0.1 0.2 0.3
2%， 0.78； 5%， 0.7
当０＜ ＜0.9时，则
ts
3
n
3T
(按到达稳态值的95%~105%计)
或
ts
4
n
4T
(按到达稳态值的98%~102%计)
(3.40)
由此可见, n大，ts就小，当n一定，则ts与成反比，这与tp， tr与的关系正好相反。
根据以上分析，如何选取和n来满足系统设计要求，总结几点
令 dh(t) ab(c a) eat ab(a b) ebt 0
dt c(b a)
c(a b)
j
ca
分子正分母负，t<0，
ln 得：t c b
-c -b -a 0
零
无解！
ab
j
点
分子出错，无解！ j
33二阶系统的时域分析PPT课件
开环传递函数为:
G(s)
s2
n2 2ns
闭环传递函数为: (s)1 G G (s()s)s22n 2 nsn 2
(s)称为典型二阶系统的传递函数，称为阻尼系数， n 称为无阻
尼振荡频率或自然频率。
20.11.2020
3
二、二阶系统的单位阶跃响应
特征方程为： s22 nsn 20
特征根为：s1,2nn 21，注意：当 不同时，特征根
o 1,欠阻尼 s1,2 njn 12
一对共轭复根(左 半平面）
衰减振荡
1，临界阻尼 s1,2 n(重根 ) 一对负实重根 单调上升
1，过阻尼 s1,2 nn 21 两个互异负实根 单调上升
20.11.2020
8
❖二阶系统在各种不同 情况下的闭环极点分布见P95 图3-9
Im [s]
s1
n 1 2
小写 ν ξ ο π ρ σ τ υ φ χ ψ ω
中文名 纽
克西 欧米克隆
派 柔 西格玛 陶 玉普西隆 弗爱 凯 普赛 奥米伽
20.11.2020
2
这是最常见的一种系统，很多高阶系统也可简化为二阶系统。
一、二阶系统的数学模型 下图所示为稳定的二阶系统的典型结构图。
R(s) -
2 n
C(s)
s(s 2 n )
nt
8 10 12
可以看出：随着 的增加，c(t)将从无衰减的周期运动变为有
衰减的正弦运动，当 1 时c(t)呈现单调上升运动(无振荡)。
可见 反映实际系统的阻尼情况，故称为阻尼系数。
20பைடு நூலகம்11.2020
10
三、典型二阶系统的动态过程分析
（一）衰减振荡瞬态过程 (01)：欠阻尼
33二阶系统解析
• 近似原则：用其中一个惯性环节近似原二 阶系统，需要保证近似前后初值和终值相 等，并且要用到待定系数法！
过阻尼系统稳态值和最终误差
c() lim sG(s)R(s) lim s
2
1 1;
s0
s0 (s s1)(s s2 ) s
e() 0 过渡过程时间（按近似后一阶系统求出）
为二阶系统。
二、二阶系统的特征根（极点）分布 求解二阶系统特征方程，
s2 2ns n2 0
可得两个特征根（极点）
s1, s2 n n 2 1 ( 1) n jn 1 2 ( <1) j
j
[s]
s1
jn 1 2
讨论：
过阻尼系统是两个惯性环节的串联。
有关分析表明，当 1时，两极点s1和s2与虚轴的
距离相差很大，此时靠近虚轴的极点所对应的惯性 环节的时间响应与原二阶系统非常接近，可以用该 惯性环节来近似原来的二阶系统。即有
C(s) n n 2 1 s1 R(s) s n n 2 1 s s1
s(s2
n2 2ns
n2 )
s(s
n2
s1 )( s
s2 )
A0 A1 A2 s s s1 s s2
A0
C(s)s s0
1
A1
C
(s)(s
s1
) s
s1
2
1
2 1(
2 1)
A2
C
(s)(s
s2
) s s2
2
1
3.3二阶系统的动态性能(上)解析
s 2n 1 s [( s n ) jd )][( s n ) jd ]
s 2n 1 s 2n 1 s ( s n )2 ( jd )2 s ( s n )2 d 2
at
s n n 1 s (s n )2 d 2 (s n )2 d 2 n 1 2 1 s n 1 2 2 s ( s n ) d ( s n )2 d 2
5.84 n ts 4.75 n
4、稳态误差为0，说明典型二阶系统跟踪阶跃输入信号时，无稳态误差， 系统为无静差系统。
4.过阻尼（ζ>1）状态
闭环特征方程
特征根
2 s 2 2n s n 0
s1 n n 2 1
s2 n n 2 1
nt
d
L[e at cos t ]
上式取拉氏反变换，得
y(t ) 1 e
1 1
cos d t
1
2
sa ( s a)2 2 L[e at sin t ] ( s a)2 2
ent sin d t
e nt 1 2 e
Δ 2 Δ 5
4T1 1.25 ts 3T 1
Δ 2 Δ 5
1.34
3、稳态误差为0，说明典型二阶系统跟踪阶跃输入信号时，无稳态误 Y(t) 差，系统为无静差系统。
2
4、需要说明的是，对于临界阻尼和过阻 尼的二阶系统，其单位阶跃响应都没有 振荡和超调，系统的调节时间随ζ的增加 而变大，在所有无超调的二阶系统中， 临界阻尼时，响应速度最快。
2 n 1 1 s Y ( s ) ( s ) R( s ) 2 2 2 s n s s s 2 n
3-3二阶系统的时域分析
输出为衰减振荡形 式(欠阻尼响应) ；
1：
s1, 2 n ；
c(t ) n te
2 t
C(t) t
；
输出为无振荡衰减形式(临界阻尼响应) ；
1 ： T11 n n 2 1 s1 ，T21 n n 2 1 s2 ； n t / T t / T
2
s ( s 2 n )
； ( s)
a2 s a1s a2
2
；
典型二阶系统有两个参数。系统有两个极点：
1
极点在S平面上的位置不同(值，见图3-9) ，系统 的性质不同，对输入信号的响应过程不同。
0
0
0
s1, 2 jd
(a ) 1 0
s1, 2 n 1
2
s1, 2 jd
(c) 0 1
(b) 1
0
0
0
s1, 2 jn
(d ) 0
s1, 2 n
(e) 1
s1, 2 n 1
2
(f ) 1
n
衰减系数， d n
1
2
(阻尼)振荡频率
图3-9 二阶系统的闭环极点分布
☆二阶系统的单位脉冲响应：
0：
s1, 2 jn ；
c(t ) n sin( nt ) ；
输出为等幅振荡形式(无阻尼响应) ；
0 1 ：s1, 2 jd ；c(t )
n
1
2
e
t
sin( d t ) ；
n
d
e
sin( d t 2 ) ；
自控理论 3-3二阶系统分析
令
Φ( s ) =
K
2
1 + Kτ s + s+ K T T
T
2 ω n1 = 2 2 s + 2ζ 1ω n1 s + ω n1
系统仍为二阶系统， 特征参数ζ 系统仍为二阶系统 ， 特征参数 ζ1 和 ωn1 与实际系 统参数的关系为
K ω = T 1 + Kτ 2ζ 1ω n1 = T
2 n1
2 n
h ( t ) = c ( t ) = 1 − cos ω n t
响应曲线为等幅振荡曲线。 响应曲线为等幅振荡曲线。
2.
ζ >1 (过阻尼） (过阻尼 过阻尼）
ωn2
s ( s + 2ζω n s + ω n )
2 2
2 s 2 + 2ζω n s + ω n = 0
此时
C (s ) =
s1,2 = -ζωn ±ωn ζ 2 - 1
,
ω n1
, ζ1 =
K = T 1 + Kτ 2 KT
ωn = ζ=
K T 1
2 KT
由上式可见， 加入速度反馈不改变ω 由上式可见 ， 加入速度反馈不改变 ωn 值 ， 但 增大了，从而减小了超调量σ 阻尼比ζ增大了，从而减小了超调量σ% 。
所示， 【例3-3】 设系统结构如图 】 设系统结构如图3-20(b)所示，令T=1。若 所示 。 σ%＝ ％， ％，t 。 要求系统具有性能指标 σ%＝20％， p=1s。试决定系 统参数K和 统参数 和 τ，并计算暂态性能指标 td , tr 和ts（△=2%）。 （ ） 由图知， 解 由图知，闭环传函为
式中 β = tg −1 1−ζ 2
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t 0 t 0
所以，整个暂态过程中， 阶跃响应都是单调增长的 .
2. 临界阻尼(ζ＝1)
此时，系统具有二重负实极点，则
2 n A0 A1 A2 C ( s) 2 s ( s n ) s s n ( s n ) 2
A0 1
d 2 A1 C ( s )( s ) 1 n ds s n
dc(t ) 0 dt t 0 dc(t ) 0 dt t 0
e( ) 0
dc(t ) 2 n t n te dt
dc(t ) 0 dt t
表明临界阻尼系统的阶跃响应是单调上升的。
单位阶跃响应变化率最大的时刻：
d 2 h(t ) dt 2
dh ( t ) max dt 2 n t n e (1 n t ) 0
n jn 1 2
j
j
[]
2
j
[s]
s1
j n 1
n 0
2
s1 s 2
n
0
s2
j n 1
(a) 0 1
j
(b) 1
[s]
j
[s]
s1
s1
s2
n
0
s2
0
(c) 1
(d) 0
惯性环节来近似原来的二阶系统。即有
n n 2 1 s1 C ( s) R( s ) s n n 2 1 s s1
• 近似原则：用其中一个惯性环节近似原二
阶系统，需要保证近似前后初值和终值相 等，并且要用到待定系数法！
过阻尼系统稳态值和最终误差
A1 C ( s )( s s1 ) s s
1
1 2
2
1(
2
1)
A2 C ( s )( s s2 ) s s
2
1 2 2 1( 2 1)
拉氏反变换可得过阻尼系统的单位阶跃响应：
c(t ) 1 1 2 1( 1)
s1 , s2 jn 是一对共轭纯虚数根。
三、二阶系统的单位阶跃响应
对于单位阶跃输入
r (t ) 1(t )
1 R( s) s
于是
2 n 1 C ( s) 2 2 s 2n s n s
由拉氏反变换可以得到二阶系统的单位阶跃响应为
c(t ) L1[C ( s)] 下面按阻尼比分别讨论。
• 典型二阶系统是一个前向通道为惯性环节和积分 环节串联的单位负反馈系统。
• 令
K1 K 2 1
2 n
2n
则二阶系统传递函数的标准形式为
2 n C (s) G( s) 2 2 R( s ) s 2n s n
其中ζ称为阻尼比，τ为时间常数，ωn为系统的自然 振荡角频率（无阻尼自振角频率）。
注意：
• 控制工程中，二阶系统的典型应用极为普
遍； • 为数众多的高阶系统在一定条件下可近似 为二阶系统。
二、二阶系统的特征根（极点）分布
求解二阶系统特征方程，
2 s2 2n s n 0
可得两个特征根（极点）
s1 , s2 n n 1
2
( 1) ( <1)
3.3 二阶系统的时域分析
一、 二阶系统数学模型及其标准形式
R( s) ＋
－
K1 s 1
K2 s
C (s)
RLC电路、电动机转速控制系统
R( s)
2 n 2 s 2 2n s n
C (s)
K1 K 2 C ( s) G( s) 2 R( s ) s s K1 K 2
(1). 欠阻尼
0 1
s1 , s2 n jn 1 2 是一对共轭复数根。 (2). 临界阻尼 1
s1 , s2 n
(3). 过阻尼 1
是两个相同的负实根。
s1 , s2 n n 2 1 是两个不同的负实根。
(4). 无阻尼 0
1.
过阻尼(ζ>1)
n n 2 1
这种情况下，系统存在两个不等的负实根，则
2 2 n n C (s) 2 2 s ( s 2n s n ) s ( s s1 )( s s2 )
A0 A1 A2 s s s1 s s2
A0 C (s)s s 0 1
1 c() lim sG( s) R( s) lim s 1; s 0 s 0 ( s s1 )( s s2 ) s
2
e( ) 0
过渡过程时间（按近似后一阶系统求出）
ts (3 ~ 4)
1 ( 2 1)n
单调上升，无振荡，过渡过程时间长，无稳态误差。
过阻尼系统单位阶跃响应的变化率
( 2 1)n dc(t ) e ( dt 2 2 1( 2 1)
2 1)n t
2 1)n e ( 2 2 1( 2 1)
(
2 1)n t
dc(t ) 0 dt 0
2 2
e
( 2 1)n t
1 2 1( 1)
2 2
e
( 2 1)n t
(t 0)
稳态分量：1 暂态分量：两个指数函数之和， 指数部分由系统传递函数极点确定。
讨论：
过阻尼系统是两个惯性环节的串联。 有关分析表明，当 1时，两极点s1和s2与虚轴的 距离相差很大，此时靠近虚轴的极点所对应的惯性 环节的时间响应与原二阶系统非常接近，可以用该
2 A2 C ( s )( s ) n s n n
单位阶跃响应为
c(t ) 1 ent (1 nt )
临界阻尼系统单位阶跃响应的误差及终值
e(t ) r (t ) c(t ) ent (1 nt )
单位阶跃响应的变化率为：