3.3二阶系统解析

 n  jn 1   2

   j

j

[s]
2

j

[s]

s1

j n 1  
 n 0


2

s1 s 2
 n

0



s2

 j n 1  

(a) 0    1
j

(b)   1
[s]
j

[s]

s1

s1

s2

n

0


s2

0



(c)   1

(d)   0



过阻尼系统单位阶跃响应的变化率
(   2  1)n dc(t )  e  (  dt 2  2  1(   2  1)
 2 1)n t

 2  1)n  e  (  2  2  1(   2  1)

( 

 2 1)n t

dc(t ) 0  dt  0

t 0 t 0

所以，整个暂态过程中， 阶跃响应都是单调增长的 .

2. 临界阻尼(ζ＝1)
此时，系统具有二重负实极点，则
2 n A0 A1 A2 C ( s)     2 s ( s  n ) s s  n ( s  n ) 2

A0  1源自文库
d 2   A1    C ( s )( s   )  1  n    ds s n
dc(t ) 0 dt t 0 dc(t ) 0 dt t 0

e(  )  0
dc(t ) 2  n t  n te dt
dc(t ) 0 dt t 

表明临界阻尼系统的阶跃响应是单调上升的。



单位阶跃响应变化率最大的时刻：
d 2 h(t ) dt 2
dh ( t )  max dt 2 n t  n e (1  n t )  0
1 c()  lim sG( s) R( s)  lim s    1; s 0 s 0 ( s  s1 )( s  s2 ) s

2

e(  )  0
过渡过程时间（按近似后一阶系统求出）

ts  (3 ~ 4) 

1 (   2  1)n

单调上升，无振荡，过渡过程时间长，无稳态误差。
2 2

e

 (   2 1)n t

1 2   1(    1)
2 2

e

 (   2 1)n t

(t  0)

稳态分量：1 暂态分量：两个指数函数之和， 指数部分由系统传递函数极点确定。

讨论：
 

过阻尼系统是两个惯性环节的串联。 有关分析表明，当  1时，两极点s1和s2与虚轴的 距离相差很大，此时靠近虚轴的极点所对应的惯性 环节的时间响应与原二阶系统非常接近，可以用该

1.

过阻尼(ζ>1)

n  n  2  1

这种情况下，系统存在两个不等的负实根，则
2 2 n n C (s)   2 2 s ( s  2n s  n ) s ( s  s1 )( s  s2 )

A0 A1 A2    s s  s1 s  s2

A0  C (s)s s 0  1

注意：

• 控制工程中，二阶系统的典型应用极为普
遍； • 为数众多的高阶系统在一定条件下可近似 为二阶系统。

二、二阶系统的特征根（极点）分布


求解二阶系统特征方程，
2 s2  2n s  n 0

可得两个特征根（极点）
s1 , s2  n  n   1
2

(  1) ( <1)
A1  C ( s )( s  s1 ) s  s 
1

1 2 
2

 1(  

2

 1)

A2  C ( s )( s  s2 ) s  s 
2

1 2  2  1(   2  1)



拉氏反变换可得过阻尼系统的单位阶跃响应：
c(t )  1   1 2   1(    1)

(1). 欠阻尼

0   1

s1 , s2  n  jn 1   2 是一对共轭复数根。 (2). 临界阻尼   1

s1 , s2  n
(3). 过阻尼   1

是两个相同的负实根。

s1 , s2  n  n  2  1 是两个不同的负实根。

(4). 无阻尼   0

惯性环节来近似原来的二阶系统。即有

n  n  2  1  s1 C ( s)   R( s ) s  n  n  2  1 s  s1

• 近似原则：用其中一个惯性环节近似原二
阶系统，需要保证近似前后初值和终值相 等，并且要用到待定系数法！



过阻尼系统稳态值和最终误差
3.3 二阶系统的时域分析
一、 二阶系统数学模型及其标准形式
R( s) ＋
－

K1  s 1

K2 s

C (s)

RLC电路、电动机转速控制系统

R( s)

2 n 2 s 2  2n s  n

C (s)

K1 K 2 C ( s) G( s)   2 R( s )  s  s  K1 K 2

• 典型二阶系统是一个前向通道为惯性环节和积分 环节串联的单位负反馈系统。
• 令
K1 K 2 1





2 n



 2n

则二阶系统传递函数的标准形式为
2 n C (s) G( s)   2 2 R( s ) s  2n s  n

其中ζ称为阻尼比，τ为时间常数，ωn为系统的自然 振荡角频率（无阻尼自振角频率）。

s1 , s2   jn 是一对共轭纯虚数根。

三、二阶系统的单位阶跃响应
对于单位阶跃输入
r (t )  1(t )
1 R( s)  s

于是

2 n 1 C ( s)  2 2 s  2n s  n s

由拉氏反变换可以得到二阶系统的单位阶跃响应为

c(t )  L1[C ( s)] 下面按阻尼比分别讨论。
2  A2   C ( s )( s   ) n   s n  n

 

单位阶跃响应为

c(t )  1  ent (1  nt )

临界阻尼系统单位阶跃响应的误差及终值

e(t )  r (t )  c(t )  ent (1  nt )
单位阶跃响应的变化率为：