2018-2019学年江苏省扬州市高邮市高二下学期期中数学(理)试题(解析版)

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江苏省扬州市2018-2019学年高二下学期期末调研测试数学理试题及答案

江苏省扬州市2018-2019学年高二下学期期末调研测试数学理试题及答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．设集合{1,2,3}A =,集合{2,2}B =-,则A B = ▲ ．2．i 为虚数单位，复数21i-= ▲ ． 3．函数()lg(1)f x x =+的定义域为 ▲ ． 4．“0ϕ=”是“函数()sin()f x x ϕ=+为奇函数”的▲ 条件．（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”中选择适当的填写） 5．函数xy e =在1x =处的切线的斜率为 ▲ ． 6．若tan θ+1tan θ=4则sin2θ= ▲ ． 7．某工厂将4名新招聘员工分配至三个不同的车间，每个车间至少分配一名员工，甲、乙两名员工必须分配至同一车间，则不同的分配方法总数为 ▲ （用数字作答）． 8．函数()sin cos f x x x =-的值域为 ▲ ．9===⋅⋅⋅=，则21n m += ▲ ． 10．已知函数2|1|=1x y x --的图象与函数=2y kx -的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是 ▲ ．11．已知函数()f x 是定义在[4,)-+∞上的单调增函数，且对于一切实数x ，不等式 22(cos )(sin 3)f x b f x b -≥--恒成立，则实数b 的取值范围是 ▲ ． 12．设T S ,是R 的两个非空子集，如果存在．．一个从S 到T 的函数)(x f y =满足： (i)}|)({S x x f T ∈=；(ii)对任意S x x ∈21,，当21x x <时，恒有)()(21x f x f <．那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下4对集合： ①,{1,1}S R T ==-； ②*,S N T N ==；③{|13},{|810}S x x T x x =-≤≤=-≤≤；④{|01},S x x T R =<<=其中，“保序同构”的集合对的对应的序号是 ▲ (写出所有“保序同构”的集合对的对应的序号)．13．已知定义在R 上的奇函数()f x 在0x >时满足4()f x x =，且()4()f x t f x +≤在[1,16]x ∈恒成立，则实数t 的最大值是 ▲ ．14．若关于x 的不等式2xax e ≥的解集中的正整数解有且只有3个，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）已知a R ∈，命题2:"[1,2],0"p x x a ∀∈-≥，命题2:",220"q x R x ax a ∃∈++-=． ⑴若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；⑵若命题""p q ∨为真命题，命题""p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围． 16．（本小题满分14分）已知函数()2cos()(0,)6f x x x R πωω=+>∈的最小正周期为10π．⑴求函数()f x 的对称轴方程； ⑵设,[0,]2παβ∈，56516(5),(5)35617f f ππαβ+=--=，求cos()αβ+的值．17．（本小题满分14分）已知*(1)(,)nmx m R n N +∈∈的展开式的二项式系数之和为32，且展开式中含3x 项的系数为80． ⑴求,m n 的值；⑵求6(1)(1)nmx x +-展开式中含2x 项的系数．18．（本小题满分16分）如图，某市新体育公园的中心广场平面图如图所示，在y 轴左侧的观光道曲线段是函数sin()(0,0,0)y A x A ωϕωϕπ=+>><<，[4,0]x ∈-时的图象且最高点B （-1，4），在y 轴右侧的曲线段是以CO 为直径的半圆弧． ⑴试确定A ，ω和ϕ的值；⑵现要在右侧的半圆中修建一条步行道CDO （单位：米），在点C 与半圆弧上的一点D 之间设计为直线段（造价为2万元/米），从D 到点O 之间设计为沿半圆弧的弧形（造价为1万元/米）．设DCO θ∠=(弧度)，试用θ表示修建步行道的造价预算，并求造价预算的最大值？（注：只考虑步行道的长度，不考虑步行道的宽度）19．（本小题满分16分）已知函数2()1f x ax bx =++（,a b 为实数，0,a x R ≠∈），(),0()(),0f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩．⑴若(1)0f -=，且函数()f x 的值域为[0,)+∞，求()F x 的表达式；⑵设0,0,0mn m n a <+>>，且函数()f x 为偶函数，判断()()0F m F n +>是否大0？⑶设ln 1()xx g x e +=，当1a b ==时，证明：对任意实数0x >，2[()1]'()1F x g x e --<+ (其中'()g x 是()g x 的导函数) ．20．（本小题满分16分）已知函数2()(,)f x ax bx a b R =+∈，函数()ln g x x =．⑴当0=a 时，函数)(x f 的图象与函数)(x g 的图象有公共点，求实数b 的最大值； ⑵当0b =时，试判断函数)(x f 的图象与函数)(x g 的图象的公共点的个数；⑶函数)(x f 的图象能否恒在函数()y bg x =的上方？若能，求出,a b 的取值范围；若不能，请说明理由．参考答案数学（理科附加题）（全卷满分40分，考试时间30分钟）2018．621．（本小题满分10分）一个口袋中装有大小形状完全相同的红色球1个、黄色球2个、蓝色球*()n n N ∈个．现进行从口袋中摸球的游戏：摸到红球得1分、摸到黄球得2分、摸到蓝球得3分．若从这个口袋中随机地摸出2个球，恰有一个是黄色球的概率是158． ⑴求n 的值；⑵从口袋中随机摸出2个球，设ξ表示所摸2球的得分之和，求ξ的分布列和数学期望E ξ． 22．（本小题满分10分）已知函数ax x x f +-=3)(在(1,0)-上是增函数．⑴求实数a 的取值范围A ；⑵当a 为A 中最小值时，定义数列{}n a 满足：1(1,0)a ∈-，且)(21n n a f a =+，用数学归纳法证明(1,0)n a ∈-，并判断1n a +与n a 的大小． 23．（本小题满分10分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，90BAC ︒∠=，F 为棱1AA 上的动点，14,2A A AB AC ===． ⑴当F 为1A A 的中点，求直线BC 与平面1BFC⑵当1AF FA 的值为多少时，二面角1B FC C --的大小是45︒．24．（本小题满分10分）已知数列{}n a 为0123,,,,,()n a a a a a n N ⋅⋅⋅∈，0nn i i b a ==∑表示0a．⑴若数列{}n a 为等比数列2()nn a n N =∈，求()niini b C =∑；⑵若数列{}n a 为等差数列2()n a n n N =∈，求1()ni ini b C =∑．参考答案理科数学试题参考答案一、填空题：1．{2} 2．1i + 3．(1,)-+∞ 4．充分不必要 5．e 6．127．6 8．[9．2014 10．(0,1)(1,4) 11．1[2- 12．②③④131 14．4[,)16e e二、解答题：15⑴因为命题2:"[1,2],0"p x x a ∀∈-≥，令2()f x x a =-，根据题意，只要[1,2]x ∈时，min ()0f x ≥即可， ……4分也就是101a a -≥⇒≤； ……7分 ⑵由⑴可知，当命题p 为真命题时，1a ≤，命题q 为真命题时，244(2)0a a ∆=--≥，解得21a a ≤-≥或 ……11分因为命题""p q ∨为真命题，命题""p q ∧为假命题，所以命题p 与命题q 一真一假，当命题p 为真，命题q 为假时，12121a a a ≤⎧⇒-<<⎨-<<⎩，当命题p 为假，命题q 为真时，11-21a a a a >⎧⇒>⎨≤≥⎩或，综上：1a >或21a -<<． ……14分 16⑴由条件可知，21105T ππωω==⇔=， ……4分则由155()566x k x k k Z ππππ+=⇒=-+∈为所求对称轴方程； ……7分⑵56334(5)cos()sin ,cos352555f ππαααα+=-⇔+=-⇔==，因为[0,]2πα∈，所以6334cos()sin ,cos 52555πααα⇔+=-⇔==，516815(5)cos ,sin 6171717f πβββ-=⇔==，因为[0,]2πβ∈，所以516815(5)cos ,sin 6171717f πβββ-=⇔== … …11分4831513cos()cos cos sin sin 51751785αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-． ……14分17⑴由题意，232n=，则5n =； ……3分由通项15(0,1,,5)r r r r T C m x r +==，则3r =，所以33580C m =，所以2m =；…7分⑵即求56(12)(1)x x +-展开式中含2x 项的系数，56011220122555666(12)(1)[(2)(2)]()x x C C x C x C C x C x +-=+++⋅⋅⋅-++⋅⋅⋅22(11040)(1615)x x x x =+++⋅⋅⋅-++⋅⋅⋅， ……11分所以展开式中含2x 项的系数为11510(6)4015⨯+⨯-+⨯=-． ……14分 18⑴因为最高点B （-1，4），所以A=4；又(4,0)E -，所以 1(4)3124TT =---=⇒=，因为2126T ππωω==⇒= ……5分代入点B （-1，4），44sin[(1)]sin()166ππϕϕ=⨯-+⇒-=，又203πϕπϕ<<⇒=； ……8分 ⑵由⑴可知：24sin(),[4,0]63y x x ππ=+∈-，得点C (0,即CO =取CO 中点F ，连结DF ，因为弧CD 为半圆弧，所以2,90DFO CDO θ∠=∠=︒，即2DO θ== ，则圆弧段DO造价预算为万元， Rt CDO ∆中，CD θ=，则直线段CD造价预算为θ万元，所以步行道造价预算()g θθ=+，(0,)2πθ∈． ……13分由'()sin )2sin )g x θθ=-+=-得当6πθ=时，'()0g θ=，当(0,)6πθ∈时，'()0g x >，即()g θ在(0,)6π上单调递增；当(,)62ππθ∈时，'()0g x <，即()g θ在(,)62ππ上单调递减所以()g θ在6πθ=时取极大值，也即造价预算最大值为（63+）万元．……16分 19⑴因为(1)0f -=，所以10a b -+=，因为()f x 的值域为[0,)+∞，所以20,40a b a >⎧⎨∆=-=⎩， ……3分所以24(1)02,1b b b a --=⇒==，所以2()(1)f x x =+，所以22(1),0()(1),0x x F x x x ⎧+>⎪=⎨-+<⎪⎩； ……5分 ⑵因为()f x 是偶函数，所以20,()1b f x ax ==+即，又0a >，所以221,0()1,0ax x F x ax x ⎧+>⎪=⎨--<⎪⎩， ……8分因为0mn <，不妨设0m >，则0n <，又0m n +>，所以0m n >->，此时2222()()11()0F m F n am an a m n +=+--=->，所以()()0F m F n +>； ……10分⑶因为0x >，所以2()()1F x f x ax bx ==++，又1a b ==，则2()1F x x x -=+，因为ln 1()x x g x e +=，所以'1ln 1()xx x g x e--= 则原不等式证明等价于证明“对任意实数0x >，221ln 1()1xx x x x e e---+⋅<+ ” ，即 21(1ln )1x x x x x e e-+⋅--<+. ……12分先研究 1ln x x x --，再研究1x xe+.① 记()1ln ,0i x x x x x =-->，'()ln 2i x x =--，令'()0i x =，得2x e -=，当(0x ∈，2)e -时'()0i x >，()i x 单增；当2(x e -∈，)+∞时'()0i x <，()i x 单减 .所以，22max ()()1i x i e e --==+，即21ln 1x x x e ---≤+.② 记1(),0x x j x x e +=>，'()0x x j x e=-<，所以()j x 在(0,)+∞单减，所以，()(0)1j x j <=，即11x x e+<.综上①、②知，2211()(1ln )(1)1x x x x g x x x x e e ee--++=--≤+<+.即原不等式得证，对任意实数0x >，2[()1]'()1F x g x e --<+ ……16分 20⑴bx x f a =∴=)(0 ,由一次函数与对数函数图象可知两图象相切时b 取最大值， ……1分设切点横坐标为0x ，1(),()f x b g x x''==，000011,,ln b x x e b e bx x⎧=⎪∴∴=∴=⎨⎪=⎩, 即实数b 的最大值为1b e =； ……4分⑵2ln 0,0,()()xb x f x g x a x =>∴=⇔=，即原题等价于直线y a =与函数2ln ()xr x x=的图象的公共点的个数， ……5分'432ln 12ln ()x x x xr x x x --==， ()r x ∴在递增且1()(,)2r x e∈-∞，()r x 在)+∞递减且1()(0,)2r x e∈，1(,)2a e∴∈+∞时，无公共点，1(,0]{}2a e ∈-∞⋃时，有一个公共点，1(0,)2a e∈时，有两个公共点； ……9分⑶函数)(x f 的图象恒在函数()y bg x =的上方，即()()f x bg x >在0x >时恒成立， ……10分①0a <时()f x 图象开口向下，即()()f x bg x >在0x >时不可能恒成立， ②0a =时ln bx b x >，由⑴可得ln x x >，0b ∴>时()()f x bg x >恒成立，0b ≤时()()f x bg x >不成立， ③0a >时，若0b <则2ln a x x b x -<，由⑵可得2ln x xx -无最小值，故()()f x bg x >不可能恒成立，若0b =则20ax >，故()()f x bg x >恒成立，若0b >则2(ln )0ax b x x +->，故()()f x bg x >恒成立， ……15分综上，0,0a b =>或0,0a b >≥时函数)(x f 的图象恒在函数()y bg x =的图象的上方． ……16分21⑴由题设158231211=++n n C C C ，即03522=--n n ，解得3=n ； ……4分 ⑵ξ取值为3,4,5,6.则1112262(3)15C C P C ξ===， 11213222664(4)15C C C P C C ξ==+=，1123262(5)5C C P C ξ===，23261(6)5C P C ξ===， ……8分ξ的分布列为：故234561515553E ξ⨯+⨯+⨯+⨯==． ……10分22⑴'2()30f x x a =-+≥即23a x ≥在(1,0)x ∈-恒成立，[3,)A ∴=+∞； ……4分 ⑵用数学归纳法证明：(1,0)n a ∈-．（ⅰ）1=n 时，由题设1(1,0)a ∈-；（ⅱ）假设k n =时，(1,0)k a ∈-则当1+=k n 时，)3(21)(2131k k k k a a a f a +-==+ 由⑴知：x x x f 3)(3+-=在(1,0)-上是增函数，又(1,0)k a ∈-，所以331111((1)3(1))1()(3)0222k k k k a f a a a +--+⨯-=-<==-+<，综合（ⅰ）（ⅱ）得：对任意*N n ∈，(1,0)n a ∈-． ……8分3111(3)(1)(1)22n n n n n n n n a a a a a a a a +-=-+-=--+因为(1,0)n a ∈-，所以10n n a a +-<，即1n n a a +<． … …10分23．如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得11(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,4),(0,2,4)A B C A C ，⑴因为F 为中点，则1(0,0,2),(2,0,2),(2,2,4),(2,2,0)F BF BC BC =-=-=-，设(,,)n x y z =是平面1BFC 的一个法向量，则12202240n BF x zn BC x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，得x y z =-= 取1x =，则(1,1,1)n =-，设直线BC 与平面1BFC 的法向量(1,1,1)n =-的夹角为则cos 3||||22BC n BC n θ⋅===-⋅，所以直线BC 与平面1BFC……5分 ⑵设1(0,0,)(04),(2,0,),(2,2,4)F t t BF t BC ≤≤=-=-，设(,,)n x y z =是平面1BFC 的一个法向量，则1202240n BF x tz n BC x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取2z =，则(,4,2)n t t =- (2,0,0)AB =是平面1FC C 的一个法向量，cos ,2||||2n AB n AB n AB t ⋅<>===⋅，得52t =，即153,22AF FA ==，所以当153AF FA =时，二面角1B FC C --的大小是45． ……10分24⑴0121222221n n n b +=+++⋅⋅⋅+=-，所以10213210()(21)(21)(21)(21)ni n ninn n n n i b C C C C C +==-+-+-+⋅⋅⋅+-∑100211322121212121n n nn n n n n n n n C C C C C C C C +=⋅-⋅+⋅-⋅+⋅-⋅+⋅⋅⋅+⋅-⋅ 011220122(222)()n n n n n n n n n n n C C C C C C C C =+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅-+++⋅⋅⋅+2(12)2232n n n n =+-=⋅-． ……4分 ⑵0242(1)n b n n n =+++⋅⋅⋅+=+，1230()122334(1)ni ninn n n n i b C CC C n n C ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅++∑，因为012233(1)n n nn n n n n x C C x C x C x C x +=++++⋅⋅⋅+，两边同乘以x ，则有01223341(1)n n n n n n n n x x C x C x C x C x C x ++=++++⋅⋅⋅+，两边求导，左边1(1)(1)n n x nx x -=+++，右边012233234(1)n nn n n n n C C x C x C x n C x =++++⋅⋅⋅++，即1012233(1)(1)234(1)n n n nn n n n n x nx x C C x C x C x n C x -+++=++++⋅⋅⋅++（*），对（*）式两边再求导，得12123212(1)(1)(1)213243(1)n n n n n n n n n x n n x x C C x C x n nC x ---++-+=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅++ 取1x =，则有22123(3)2122334(1)n n n n n n n n C C C n n C -+⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅++所以221()(3)2ni n ini b C nn -==+⋅∑． ……10分。

2018-2019扬州市邗江区高二数学理科下学期期中考试卷答案

2018-2019学年度第二学期高二数学期中测试卷数学（理科）答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1、i -2、正方形的对角线相等3、54、815、-26、187、(－2,53)∪(53,+∞) 8、480 9、2k 10、512623c b a +-11、96 12、3 13、84 14、962二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15、（1）设z ＝b i （b ∈R ），则z －＝－b i ，因为|z －z －|＝23，则|2b i|＝23，即|b |＝3，所以b ＝±3，所以z ＝±3i.-------------------------------------------7分（2）设z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ），则z －＝a －b i ，因为|z －z －|＝23，则|2b i|＝23，即|b |＝3，z －z －2＝a ＋b i －（a －b i ）2＝a －a 2＋b 2＋（b ＋2ab ）i.因为z －z －2为实数，所以b ＋2ab ＝0，因为|b |＝3，所以a ＝－12，所以|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋（±3）2＝132-------------------------------14分16、(1)法一 (元素分析法) 先排甲有6种，其余有A 88种，故共有6·A 88＝241 920(种)排法．法二 (位置分析法)中间和两端有A 38种排法，包括甲在内的其余6人有A 66种排法，故共有A 38·A 66＝336×720＝241 920(种)排法．法三 (等机会法)9个人的全排列数有A 99种，甲排在每一个位置的机会都是均等的，依题意，甲不在中间及两端的排法总数是A 99×69＝241 920(种)．法四 (间接法)A 99－3·A 88＝6A 88＝241 920(种)．--------------------------------------------------------4分(2)先排甲、乙，再排其余7人，共有A 22·A 77＝10 080(种)排法．--------------------------------------------------------9分 (3)(插空法)先排4名男生有A 44种方法，再将5名女生插空，有A 55种方法，故共有A 44·A 55＝2 880(种)排法．--------------------------------------------------------------------------------------14分17、以A 为原点，{}AB AD AP ，，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz ．则(000)A ，，，(100)B ，，，(120)C ，，，(020)D ，，，(002)P ，，，(110)F ，，．（1）当2λ=时，由PE EC λ=得242()333E ，，，所以112()333EF =--，，，又(022)PD =-，，，所以3cos 6EF PD EF PD EF PD⋅==⋅，所以异面直线PD 与EF ． …… 7分（2）当12λ=时，由12PE EC =，得124()333E ，，．设平面AEF 的一个法向量为1(1)y z =，，n ，又124()333AE =，，，(110)AF =，，，则1100AE AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 得11(11)4=-，，n ．又平面AFC 的一个法向量为2(001)=，，n ，所以12121233cos ⋅==⋅，n n nn n n ．所以二面角E AFC ……14分18、(1)假设111,,a b c 成等差数列，则211b a c=+ 2()ac b a c ∴=+a b c 、、成等差数列2b a c ∴=+ 22()2,()02a c ac a c +∴=∴-=a c ∴=，又2,b ac a b c =+∴==这与a b c 、、成等差数列且公差0d ≠矛盾，所以111,,a b c不可能成等差数列------------------------------------8分（2）①当p ＝2时，(1＋x )2＝1＋2x ＋x 2>1＋2x ，原不等式成立．②假设p ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式(1＋x )k>1＋kx 成立．当p ＝k ＋1时，(1＋x )k ＋1＝(1＋x )(1＋x )k>(1＋x )·(1＋kx )＝1＋(k ＋1)x ＋kx 2>1＋(k ＋1)x . 所以当p ＝k ＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，当x >－1，x ≠0时，对一切整数p >1，不等式(1＋x )p>1＋px 均成立．-----------------------------------16分19、（1）,,,,1(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)(1,1,1),ABE ABCD EO AB ABE ABCD AB EO ABCD OD ABCD EO OD OB OD OE O xyz EAB OA OB OD OE OB O A B C D E EC ⊥⊥⋂=∴⊥⊂∴⊥-∴====∴-∴=-平面平面，且平面平面平面平面由、、两两垂直，建立如图所示的看见直角坐标系为等腰直角三角形设(0,1,0)3sin cos ,ABE OD EC EC OD EC OD EC ODEC ABE θθ=⋅∴===平面的法向量设直线与平面所成角为即直线与平面-----------------------------------------------------------------------------------------8分 (2)1=3//111(,0,)33312(,0,),3342(,0,)33=,,)000,142033(1,1,2)(1,1,1)(1,1,2)EF F EA EC FBD EF EA F FB FBD a b c BD FB a b a a c EC υυυυυ==---∴=-⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩-+=⎧⎪∴=⎨-=⎪⎩=⋅=-⋅=存在点，且时有平面证明如下由设平面的法向量为（有取得0//1//3EC FBDEC FBDEF F EC FBDEA ⊄∴=且平面平面即点满足时有平面------------------------------------------------------------------------------------------16分20、(1) a 2＝0，a 3＝2－1.-------------------------------------------2分(2) 设f(x)＝（x －1）2＋1－1，则a n ＋1＝f(a n )．①当n ＝1时，不等式显然成立；假设当n ＝k(k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立，即0≤a k ≤1，则当n ＝k ＋1时，易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，所以0＝f (1)≤f (a k )≤f (0)＝2－1<1，即0≤a k ＋1≤1，所以当n ＝k ＋1时不等式成立．综上所述，0≤a n ≤1.----------------------------------------------6分 ②先证a 2n <a 2n ＋1(n ∈N *)：当n ＝1时，0＝a 2<a 3＝2－1，即当n ＝1时不等式成立；假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立，即a 2k <a 2k ＋1，则当n ＝k ＋1时，由①及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得a 2k ＋1＝f (a 2k )>f (a 2k ＋1)＝a 2k ＋2，所以a 2(k ＋1)＝f (a 2k ＋1)<f (a 2k ＋2)＝a 2(k ＋1)＋1, 即当n ＝k ＋1时，不等式成立．所以a 2n <a 2n ＋1对一切n ∈N *成立；-----------------------------11分再证a 2n <14<a 2n ＋1(n ∈N *)：由上可知a 2n <a 22n －2a 2n ＋2－1＝a 2n ＋1，即(a 2n ＋1)2<a 22n －2a 2n ＋2，所以a 2n <14.由f (x )在(－∞，1]上为减函数，得f (a 2n )>f (a 2n ＋1)，即a 2n ＋1>a 2n ＋2，所以a 2n ＋1>a 22n ＋1－2a 2n ＋1＋2－1＝a 2n ＋2，解得a 2n ＋1>14，所以a 2n <14<a 2n ＋1(n ∈N *)成立．--------------------------------------------16分。

江苏高二高中数学期中考试带答案解析

江苏高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.过点且倾斜角为45°的直线方程为______2.已知动直线，则其倾斜角的取值范围是___________．3.若直线过圆的圆心，则实数的值为________4.圆截直线所得的弦长为8，则的值是________5.已知圆心，一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是________6.如果直线和直线都平行于直线，则之间的距离为_______7.已知圆的方程为，过点的圆的三条弦的长分别为，若成等比数列，则其公比的最大值为_________．8.已知直线，直线，点关于的对称点为，点关于直线的对称点为，则过点的圆的方程为_________9.设，若直线与圆相切，则的取值范围是_________10.已知，，若方程有且只有两个不同的实数根，则实数的取值范围是_______11.已知，，，点是直线上的动点，若恒成立，则最大负整数的值为________12.设直线：，圆：，若在圆上存在两点，，在直线上存在一点，使得，则的取值范围是_________13.已知圆和两点，（），若圆上存在点，使得，则实数的取值范围是__________14.如图，在平面直角坐标系中，圆与轴的正半轴交于点，以点为圆心的圆与圆交于两点，若是圆上的动点且交轴与，则的最大值为________．15.如图，已知点为圆与圆在第一象限内的交点．过的直线被圆和圆所截得的弦分别为，（，不重合），若，则直线的方程是______．二、解答题1.已知圆，直线与圆相交于不同的两点，．（1）求实数的取值范围；（2）若弦的垂直平分线过点，求实数的值．2.已知圆．（1）若，过点作圆的切线，求该切线方程；（2）若为圆的任意一条直径，且（其中为坐标原点），求圆的半径．3.已知圆：，过原点作两条不同的直线，与圆都相交．（1）从分别作，的垂线，垂足分别为，，若，，求直线的方程；（2）若，且，与圆分别相交于，两点，求△面积的最大值．4.已知圆的圆心在轴上，半径为1，直线被圆所截的弦长为，且圆心在直线的下方．（1）求圆的方程；（2）设，若圆是的内切圆，求的面积的最大值和最小值．5.已知直线：，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方．（1）求圆的方程；（2）若直线过点且与圆交于，两点（在轴上方，在轴下方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．6.已知⊙和点.过作⊙的两条切线，切点分别为且直线的方程为．(1)求⊙的方程；(2)设为⊙上任一点，过点向⊙引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由．7.已知圆，圆，经过原点的两直线满足，且交圆于不同两点交，圆于不同两点，记的斜率为（1）求的取值范围；（2）若四边形为梯形，求的值．8.已知圆，两个定点，，其中，．为圆上任意一点，且（为常数)．（1）求常数的值；（2）过点作直线与圆交于两点，若点恰好是线段的中点，求实数的取值范围．江苏高二高中数学期中考试答案及解析一、填空题1.过点且倾斜角为45°的直线方程为______【答案】【解析】斜率,由直线的点斜式方程可得,即.2.已知动直线，则其倾斜角的取值范围是___________．【答案】【解析】斜率，令，为上的奇函数，当时，有，当时，有，∵，∴，∴当时，的值域为，因此，动直线的倾斜角的范围为．3.若直线过圆的圆心，则实数的值为________【答案】【解析】由题可知，圆的一般方程化成标准方程为，圆心坐标为（-1,2），将圆心坐标代入到直线方程中，得出。

2018-2019江苏省扬州中学高二下学期期中考试（理）数学试题

绝密★启用前江苏省扬州中学2018-2019学年高二下学期期中考试（理) 数学试题一、填空题1．命题“x R ∃∈，20x x +>”的否定是______. 【答案】x R ∀∈，20x x + 【解析】【分析】根据存在性命题的否定的结构形式写出即可. 【详解】命题“x R ∃∈，20x x +>”的否定为“x R ∀∈，20x x +≤”.填x R ∀∈，20x x +. 【点睛】全称命题的一般形式是：x M ∀∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∃∈⌝.存在性命题的一般形式是x M ∃∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∀∈⌝. 2．若复数z 满足：(1i)2z ⋅+=，则||z =______.【解析】【分析】利用复数的除法求出z 后可得其模. 【详解】因为(1i)2z ⋅+=，故211z i i==-+，故||z =. 【点睛】本题考查复数的除法及复数的模，属于容易题.3．若3()f x x =，其导数满足()03f x '=，则0x 的值为______.【答案】±1 【解析】【分析】求出()'f x 后可得关于0x 的方程，可从该方程解出0x 即可. 【详解】()2'3f x x =，则()200'33f x x ==，故01x =±，填±1.【点睛】本题考查导数的计算，属于基础题.4．命题“220x x --=”是命题“1x =-”的______条件. 【答案】必要不充分【解析】【分析】求出方程220x x --=的解后可判断两者之间的条件关系. 【详解】220x x --=的解为1x =-或2x =，所以当“220x x --=”成立时，则“1x =-”未必成立；若“1x =-”，则“220x x --=”成立，故命题“220x x --=”是命题“1x =-”的必要不充分条件，填必要不充分. 【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的充分不必要条件；若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的充分必要条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的必要不充分条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的既不充分也不必要条件.5．投掷两个骰子，向上的点数之和为12的概率为______. 【答案】136【解析】【分析】计算出基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数后可得所求的概率. 【详解】记A 为“投掷两个骰子，向上的点数之和为12”，则投掷两个骰子，向上的点数共有6636⨯=种，而投掷两个骰子，向上的点数之和为12只有1种，故()136P A =，故填136. 【点睛】古典概型的概率计算，关键在于基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数的计算，可用枚举法或排列组合的知识来计算，注意基本事件要符合等可能这个要求. 6．若曲线在点P 处的切线平行于直线则点P 的坐标为 .【答案】（1，0）【解析】试题分析：设点，则，即.考点：导数的几何意义.7．有3名男生4名女生排成一排，要求男生排在一起，女生也排在一起，有______种不同的排列方法.（用数字作答）【答案】288 【解析】【分析】用捆绑法可求不同的排列数. 【详解】因为男生排在一起，女生也排在一起，故不同的排法总数是34342288A A =，填288.【点睛】排列组合中，相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法，有时排队问题还要求特殊元素放置在特殊位置，此时用特殊元素、特殊位置优先考虑的方法.8．在数学归纳法的递推性证明中，由假设n k =成立推导1n k =+成立时，1()12f n =+11321n ++⋯+-增加的项的个数是______（用k 表示）【答案】2k 【解析】【分析】观察()f k 中各项分母的变化规律可得增加的项的个数. 【详解】因为1()12f n =+11321k ++⋯+-，各项的分母从1变化到2k ，故()f k 共有2k 个项，1(1)12f k +=+111132121k k +++⋯+++--，{}|?•(),, A B mm a b a b a A b B *==-∈∈共有12k +，故增加的项的个数为1222k k k +-=，填2k【点睛】数学归纳法由归纳起点、归纳假设和归纳证明组成，其中归纳证明必须用到归纳假设，因此归纳证明的等式或不等式在归纳假设的基础上变化了多少项要明确. 9．若数列{}n a 为等差数列，定义1233n n n n a a a b +++++=，则数列{}n b 也为等差数列.类比上述性质，若数列{}n a 为等比数列，定义数列{}:n nb b =______，则数列{}n b 也为等比数列.【解析】【分析】可证明当{}n a 为等差数列时，{}n b 也为等差数列，从这个证明过程就可以得到等比数列中类似的结论 . 【详解】因为{}n a 为等差数列，从而12323n n n n a a a a ++++++=，所以2n n b a +=，121n n n n a d b a b +-+--==，所以{}n b 为等差数列，而当{}n a 为等比数列时，23312nn n n a a a a ++++=2n a +=，若n b =2n n b a +=，此时121n n n n b b aq a +-+==（q 为{}n a 的公比），所以{}n b【点睛】等差数列与等比数列性质的类比，往往需要把一类数列中性质的原因找到，那么就可以把这个证明的过程类比推广到另一类数列中，从而得到两类数列的性质的类比.需要提醒的是等差数列与等比数列性质的类比不是简单地“和”与“积”或“差”与“商”的类比.10．6(1)ax +的展开式中二项式系数的最大值为______.（用数字作答）【答案】20 【解析】【分析】因为展开式中共有7项，中间项的二项式系数最大. 【详解】6(1)ax +的展开式共有7项，中间项的二项式系数最大且为3620C =，填20. 【点睛】本题考查二项式系数的性质，属于基础题.11．若函数2()ln 2f x mx x x =+-在定义域内是增函数，则实数m 的最小值为______.【答案】12【解析】【分析】求出'()f x ，考虑'()0f x ≥且不恒为零时实数m 的取值范围即可. 【详解】()f x 的定义域为()0,∞+，1'()22f x mx x =+-，因为()f x 在()0,∞+上为增函数，故1220mx x+-≥在()0,∞+上恒成立，且'()f x 不恒为零.1220mx x +-≥在()0,∞+上恒成立等价于22211211m x x x ⎛⎫≥-=--+ ⎪⎝⎭在()0,∞+上恒成立，故21m ≥即12m ≥，而当12m =，当且仅当1x =时有'()0f x =，故'()f x 不恒为零. m 的最小值为12. 填12.【点睛】一般地，若()f x 在区间(),a b 上可导，且()()()'0'0f x f x ><，则()f x 在(),a b 上为单调增（减）函数；反之，若()f x 在区间(),a b 上可导且为单调增（减）函数，则()()()'0'0f x f x ≥≤且不恒为零．12．已知函数f(x)＝x 3＋3x 对任意的m ∈[－2,2]，f(mx －2)＋f(x)<0恒成立，则x 的取值范围为________．【答案】(－2，23) 【解析】∵函数f(x)＝x 3＋3x 是奇函数，且在定义域f(x)＝x 3＋3x 上单调递增，∴由f(mx －2)＋f(x)<0得f(mx －2)<－f(x)＝f(－x)，即mx －2<－x ，令g(m)＝xm ＋(x －2)，由题意知g(2)<0，g(－2)<0，令g(m)＝xm ＋(x －2)，g(2)<0，g(－2)<0， ∴220220x x x x -+-<⎧⎨+-<⎩，解得－2<x<23.13．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，(1)0f =，且对任意0x >都有()()0x f x f x '⋅->成立，则不等式2()0x f x ⋅>的解集是______.【答案】(1,0)(1,)-⋃+∞ 【解析】【分析】令()()f xg x x=，可证()g x 为偶函数且为()0,∞+上的增函数，考虑当0x >时，()0g x >的解及当0x <时，()0g x <的解，它们的并是所求不等式的解集.【详解】2()0x f x ⋅>等价于0()0x f x ≠⎧⎨>⎩，令()()f xg x x =，则()()()2''xf x f x g x x-=，当0x >时，有()'0g x >，故()g x 为()0,∞+上的增函数，而()10g =，故当0x >时，()0g x >的解为()1,+∞，故当0x >时，()0f x >的解为()1,+∞，因()()()()f x f x g x g x x x--===-，故()g x 为偶函数，当0x >时，()0f x >等价于()0g x <，因()g x 为偶函数，故当0x <时，()0g x <的解为()1,0-即当0x <时，()0f x >的解为()1,0-，综上，2()0x f x ⋅>的解集是(1,0)(1,)-⋃+∞，填(1,0)(1,)-⋃+∞. 【点睛】如果题设中有关于函数()f x 及其导数()'f x 的不等式，我们应具体该式的形式构建新函数并且新函数的单调性可根据题设中的不等式得到，构建新函数时可借鉴导数的运算规则.14．设曲线()(1)x f x ax e =-⋅在点()01,A x y 处的切线为1l ，()(1)x g x x e -=-⋅在点()02,B x y 处的切线为2l ，若存在030,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围是______. 【答案】31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】求出()()00,f x g x ''，利用两切线垂直可以得到()()00121ax a x -+⋅-=-，参变分离后可得0003121x a x x -=⋅-+，令03t x =-，换元后可求函数0003121x y x x -=⋅-+的值域，从而得到实数a 的取值范围. 【详解】()(1)x f x ax a e '=-+，()(2)x g x x e -'=-，存在030,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()001f x g x ''⋅=-，即()()00121ax a x -+⋅-=-,()001112a x x -⋅+=+-,0003121x a x x -=⋅-+，令0333,2t x ⎡⎤=-∈--⎢⎥⎣⎦， 14(4)(1)5t y t t t t==++++,13443t t -≤+≤-，∴312y ≤≤，故312a ≤≤，∴答案为31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】解决曲线的切线问题，核心是切点的横坐标，因为函数在横坐标处的导数就是切线的斜率.含参数的方程的有解问题，可通过参变分离把问题转化为不含参数的函数的值域问题.15．在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，90ADC ∠=︒，1AB AD PD ===，2CD =.设Q 为侧棱PC 上一点，PQ PC λ=.（1）若13λ=，证明：PB DQ ⊥；（2）试确定λ的值，使得二面角P BD Q --的大小为45°. 【答案】（1）证明见解析；（2）21λ=.【解析】【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，计算出,PB DQ 的坐标后可得它们的数量积为零，从而得到PB DQ ⊥.（2）计算出平面BDQ 的法向量和平面PBD 的法向量再计算它们的夹角的余弦值，根据二面角的P BD Q --的大小得到关于λ的方程，从而可求λ的值. 【详解】如图建立直角坐标系D xyz -，(0,0,1)P ，(1,1,0)B ，(0,2,0)C ，(1,1,1)PB =-，(0,2,1)PC =-(1,1,0)DB =， (0,2,)PQ PC λλλ==-， (0,2,1)DQ DP PQ λλ=+=-，（1）当13λ=时，22(0,,)33DQ =，∴22033PB DQ ⋅=-=，所以PB DQ ⊥. （2）设平面BDQ 的法向量(,,)m x y z = ，00m DB m DQ ⎧⋅=⎨⋅=⎩， 02(1)0x y y z λλ+=⎧⎨+-=⎩，令1x =，则1y =-，21z λλ=-，21,1,1m λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，同理可得：平面PBD 的法向量(1,1,0)n =-，2|cos ,|2||||m n m nm n ⋅<>==⋅2=，2221λλ⎛⎫= ⎪-⎝⎭， 1λ=（舍负）.【点睛】二面角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为法向量的夹角的计算，注意向量的夹角与二面角的平面角的关系是相等或互补，所以两者的余弦值的绝对值相等，我们常利用这个关系式构建关于参数的方程.二、解答题16．命题p ：方程210x mx ++=有实数根；命题q ：方程244(2)10x m x +-+=无实数根.若命题p 、q 中有且仅有一个真命题，求实数m 的取值范围. 【答案】12m <<或3m 或2m - 【解析】【分析】先求出p 真、q 真时m 的取值范围，根据题设条件可得p 真q 假或p 假q 真，从而可求出实数m 的取值范围. 【详解】若p 真，则方程210x mx ++=有实数根.∴2140m ∆=-≥，∴p 真时2m ≥或2m ≤-；若q 真，则方程244(2)10x m x +-+=无实数根，∴2216(2)160m ∆=--<，∴q 真时13m <<.因为命题p 、q 中有且仅有一个真命题， ①p 真q 假：所以2231m m m m ≥≤-⎧⎨≥≤⎩或或，故3m ≥或2m ≤-；②p 假q 真：所以2213m m -<<⎧⎨<<⎩，故 12m <<；综上，实数m 的取值范围为12m <<或3m ≥或2m ≤-. 【点睛】对于命题p 、q 中有且仅有一个真命题的问题，我们一般先求出p 真时参数的范围，再求出q 为真时参数的范围，通过p 真q 假和p 假q 真得到最终的参数的取值范围． 17．已知33314n nn n n C A C -+⋅+=⋅(3,)n n ∈N .（1）求n 的值；（2）求2nx ⎫⎪⎭展开式中的常数项. 【答案】（1）4；（2）8. 【解析】【分析】（1）利用排列数公式、组合数公式化简可得216n =，从而得到n 的值. （2）利用通项公式可求常数项. 【详解】（1）33314n nn n n CA C-+⋅+=⋅等价于()()()()()1!!1243!3!3!2!n n n n n n n n +⋅+--=--，整理得到()()()()()()121112466n n n n n n n n n n --+-⋅+--=，因3n ≥，故()10n n -≠，故()()()221263n n n n -+⋅+-=整理得到：216n =即4n =. （2）444314422rr rrr rr T CC x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令4403r-=，故1r =，从而展开式中的常数项为112428T C ==.【点睛】本题考查排列数、组合数的计算及二项展开式中指定项的计算，属于基础题.18．已知数列{}n a 小满足123a =-，112nn a a -=-+()*2,n n ∈N .（1）求2a 、3a ；（2）猜想数列通项公式n a ，并用数学归纳法给出证明. 【答案】（1）34-，45-；（2）()*12n n a n n +=-∈+N ,证明见解析. 【解析】【分析】（1）依据递推关系可求2a 、3a . （2）根据（1）可猜测12n n a n +=-+，按照数学归纳法的基本步骤证明即可. 【详解】（1）234a =-，345a =-；（2）猜想数列通项公式12n n a n +=-+，证明如下：当1n =时，123a =-，1223n n +-=-+，所以12n n a n +=-+成立；假设n k =时成立，即12k k a k +=-+ ，当1n k =+时，()()1111121231222n k k k a k a k k k ++++=-=-=-=-+++++-+ ， ∴1n k =+时，12n n a n +=-+成立，综上，由①②得：()*12n n a n n +=-∈+N . 【点睛】由数列的前若干项和递推关系可猜测数列的通项，然后再用数学归纳法去证明，注意数学归纳法有三个部分即归纳的起点、归纳假设和归纳证明，注意归纳证明的推理过程必须用到归纳假设.19．在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球5个，白球3个，蓝球2个.现从中任取出一球确定颜色后放回盒子里，再取下一个球.重复以上操作，最多取3次，过程中如果取出蓝色球则不再取球. （1）求最多取两次就结束的概率；（2）求整个过程中恰好取到2个白球的概率；（3）求取球次数的分布列和数学期望. 【答案】（1）925；（2）1531000；（3）6125.【解析】【分析】（1）设取球次数为ξ，分别计算(1)P ξ=和(2)P ξ=可得最多取两次就结束的概率. (2) 最多取球三次，恰好取到2个白球的情况共有四种：红白白、白红白、白白红、白白蓝四种情况，分别计算它们的概率可得所求的概率.（3）设取球次数为η，则1,2,3η=，分别计算(1)P =、(2)P =和(3)P =，从而可得η的分布列，再利用公式计算其数学期望. 【详解】（1）设取球次数为ξ，则121101(1)5C P C ξ===，1182111010414(2)5525C C P C C ξ==⨯=⨯=. 所以最多取两次的概率14952525P =+=. （2）由题意知可以如下取球：红白白、白红白、白白红、白白蓝四种情况，所以恰有两次取到白球的概率为53333215331010101010101000P =⨯⨯⨯+⨯⨯=. （3）设取球次数为η，则21(1)105P η===，824(2)101025P η==⨯= , 882816(3)1010101025P η⎛⎫==⨯⨯+= ⎪⎝⎭，则分布列为η1 2 3P15 425 1625取球次数的数学期望为()1416611235252525E η=⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查离散型随机变量的概率及其分布、数学期望的计算等，在概率计算的过程中，要注意对所讨论的对象进行合理的分类讨论，做到不重不漏. 20．已知函数，其中m ，a 均为实数．（1）求的极值；（2）设，若对任意的，恒成立，求的最小值；（3）设，若对任意给定的，在区间上总存在，使得成立，求的取值范围．【答案】(1)极大值为1，无极小值；(2)3-；(3)．【解析】试题分析：（1）求函数极值，先明确定义域为再求其导数为．由，得x = 1.分析导数在定义区间符号正负，确定函数先增后减，所以y =有极大值为1，无极小值．（2）不等式恒成立问题，先化简不等式．化简不等式的难点有两个，一是绝对值，二是两个参量可从函数单调性去绝对值，分析两个函数，一是，二是.利用导数可知两者都是增函数，故原不等式等价于，变量分离调整为,这又等价转化为函数在区间上为减函数，即在上恒成立．继续变量分离得恒成立，即.最后只需求函数在上最大值,就为的最小值.（3）本题含义为：对于函数在上值域中每一个值，函数在上总有两个不同自变量与之对应相等．首先求出函数在上值域，然后根据函数在上必须不为单调函数且每段单调区间对应的值域都需包含.由在不单调得，由每段单调区间对应的值域都需包含得，.试题解析：（1），令，得x = 1．1分列表如下：x （-∞，1） 1 （1，+∞）+ 0 -g(x) ↗极大值↘∵g(1) = 1，∴y =的极大值为1，无极小值．3分（2）当时，，．∵在恒成立，∴在上为增函数．4分设，∵> 0在恒成立，∴在上为增函数．5分设，则等价于，即．设，则u(x)在为减函数．∴在（3，4）上恒成立6分∴恒成立．设，∵=，xÎ[3，4]，∴，∴< 0，为减函数．∴在[3，4]上的最大值为v(3) =" 3" -．8分∴a≥3 -，∴的最小值为3 -．9分（3）由（1）知在上的值域为．10分∵，，当时，在为减函数，不合题意．11分当时，，由题意知在不单调，所以，即．① 12分此时在上递减，在上递增，∴，即，解得．②由①②，得．13分∵，∴成立．14分下证存在，使得≥1．取，先证，即证．③设，则在时恒成立．∴在时为增函数．∴，∴③成立．再证≥1．∵，∴时，命题成立．综上所述，的取值范围为．16分考点：函数极值，不等式恒成立。

江苏省扬州中学2018学年高二下学期期中数学试卷理科含解析

2018-2018学年江苏省扬州中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．复数z=的共轭复数为．2．命题“x=π”的条件．是“sinx=0”3．设异面直线l1，l2的方向向量分别为=（1，1，0），=（1，0，﹣1），则异面直线l1，l2所成角的大小为．4．的二项展开式中，x3的系数是．（用数字作答）5．某团队有6人入住宾馆中的6个房间，其中的房号301与318对门，318与318对门，318与318对门，若每人随机地拿了这6个房间中的一把钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为．（x）＞f（x），则不等式（x）满足f′6．已知可导函数f（x）的导函数f′的解集是．7．设f（k）=+++…+（k∈N*），那么f（k+1）﹣f（k）=．8．若数列{a n}的通项公式，记f（n）=（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a n），试通过计算f（1），f（2），f（3）的值，推测出f（n）=．9．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是．10．已知：（x+2）8=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a8（x+1）8，其中a i=（i=0，1，2…８）为实常数，则a1+2a2+…+7a7+8a8=．11．某班某天要安排语文、数学、政治、英语、体育、艺术6节课，要求数学课排在前3节，体育课不排在第1节，则不同的排法种数为．（以数字作答）．12．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．则二面角B﹣DE﹣C的平面角的余弦值是．13．已知函数f（x）=x3+ax2+bx在区间[﹣1，1）、（1，3]内各有一个极值点，则a﹣4b的取值范围是．14．我们在学习立体几何推导球的体积公式时，用到了祖日恒原理：即两个等高的几何体，被等高的截面所截，若所截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．类比此方法：求双曲线（a＞0，b＞0），与x轴，直线y=h （h＞0）及渐近线所围成的阴影部分（如图）绕y轴旋转一周所得的几何体的体积．二．解答题（本大题共6题，共90分）15．已知命题：“?x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式x2﹣x﹣m=0成立”是真命题，（1）求实数m的取值集合M；（2）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．16．已知复数w满足w﹣4=（3﹣2w）i（i为虚数单位）．（1）求w；（2）设z∈C，在复平面内求满足不等式1≤|z﹣w|≤2的点Z构成的图形面积．17．已知的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而又等于它后一项系数的．（1）求展开后所有项的系数之和及所有项的二项式系数之和；（2）求展开式中的有理项．18．如图（1），等腰直角三角形ABC的底边AB=4，点D在线段AC上，DE⊥AB 于E，现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如图（2））．（Ⅰ）求证：PB⊥DE；（Ⅱ）若PE⊥BE，直线PD与平面PBC所成的角为30°，求PE长．19．某班级共派出n+1个男生和n个女生参加学校运动会的入场仪式，其中男生甲为领队．入场时，领队男生甲必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，共有E n种排法；入场后，又需从男生（含男生甲）和女生中各选一名代表到主席台服务，共有F n种选法．（1）试求E n和F n；（2）判断lnE n和F n的大小（n∈N+），并用数学归纳法证明．20．已知函数f（x）（x∈R），f′（x）存在，记g（x）=f′（x），且g′（x）也存在，g′（x）＜0．（1）求证：f（x）≤f（x0）+f′（x0）（x﹣x0）；（x0∈R）（2）设n），且λ1+λ2+…+λn=1，x i∈R（i=1，…，n）（n ∈N+）求证：λ1f（x1）+λ2f（x2）+…+λn f（x n）≤f（λ1x1+λ2x2+…+λn x n）（3）已知a，f（a），f[f（a）]，f{f[（f（a）]}是正项的等比数列，求证：f（a）=a．2018-2018学年江苏省扬州中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．复数z=的共轭复数为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z==，∴．故答案为：．2．命题“x=π”的充分不必要条件．是“sinx=0”【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】x=π?sinx=0，反之不成立，例如取x=0，满足sinx=0．即可判断出结论．【解答】解：x=π?sinx=0，反之不成立，例如取x=0，满足sinx=0．是“sinx=0”的充分不必要条件．∴“x=π”故答案为：充分不必要．3．设异面直线l1，l2的方向向量分别为=（1，1，0），=（1，0，﹣1），则异面直线l1，l2所成角的大小为．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】求出cos＜＞，由此能求出异面直线l1，l2所成角的大小．【解答】解：∵异面直线l1，l2的方向向量分别为，∴cos＜＞===，∴＜＞=．∴异面直线l1，l2所成角的大小为．故答案为：．4．的二项展开式中，x3的系数是﹣10．（用数字作答）【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式中第r+1项，令x的指数为3得解．【解答】解：T r+1=，令5﹣2r=3得r=1，所以x3的系数为（﹣2）1?C51=﹣10．故答案为﹣105．某团队有6人入住宾馆中的6个房间，其中的房号301与318对门，318与318对门，318与318对门，若每人随机地拿了这6个房间中的一把钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】6个人拿6把钥匙可以看作是6个人的全排列，而甲乙对门的拿法种数包括甲乙拿301与318门的钥匙，其余4人任意排列，甲乙拿318与318门的钥匙，其余4人任意排列，甲乙拿318与318门的钥匙，其余4人任意排列，然后利用古典概型概率计算公式求概率．【解答】解：法一、6个人拿6把钥匙共有种不同的拿法，记甲、乙恰好对门为事件A，则事件A包括甲、乙拿了301与318，其余4人随意拿．共种；甲、乙拿了318与318，其余4人随意拿．共种；。

2018-2019学年江苏省扬州市邗江中学高二下学期期中考试数学(理)试题解析版

绝密★启用前江苏省扬州市邗江中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理)试题评卷人得分一、填空题1．已知复数（为虚数单位），则=______．【答案】5【解析】【分析】直接利用复数的模的公式求解.【详解】因为复数，所以.故答案为：5【点睛】（1）本题主要考查复数的模的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)复数的模.2．已知集合，则___________【答案】【解析】【分析】求解出集合，根据交集定义求得结果.【详解】本题正确结果：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.3．观察下列不等式：①；②；③；…则第个不等式为_____【答案】＋＋＋＋<试题分析：不等式的规律是：，则第⑤个不等式为考点：归纳推理点评：归纳推理，关键在于观察事实，寻求规律，然后得到结论。

对此类题目，只要用心思考，都能做得很好。

4．已知()()*111123f n n N n =++++∈ ，用数学归纳法证明()22n nf >时，()()122k k f f +-=__________．【答案】111121222k k k ++++++ 【解析】试题分析：因为假设n k =时，111(2)1232k k f =++++ ，当1n k =+时，1111111(2)1232212k k k k f ++=++++++++ ，所以()()122k k f f +-=1111111111(1)232212232k k k k ++++++++-+++++ 111121222k k k +=+++++ ．考点：数学归纳法．【方法点晴】本题主要考查了数学归纳法，由归纳法的性质，我们由()P n 对n k =成立，则它对1n k =+也成立，由此类推，对于n k ≥的任意整数均成立，其中熟记数学归纳法的步骤和推理结构是解答此类问题的关键，本题的解答中根据数学归纳法的思想，得出当n k =和1n k =+时，分别写出(2)kf 和()12k f +的表达式，即可作差求解()()122k k f f +-的表示形式，属于基础题．5．已知，是矩阵的属于特征值的一个特征向量，则矩阵的另一个特征值为___________【答案】-3【解析】【分析】由求得，则可得矩阵的特征多项式为，令求得结果.由题意得：，即可得：，解得：特征多项式为则或另一个特征值为：本题正确结果：【点睛】本题考查矩阵的特征向量问题，属于基础题.6．设随机变量，且，则事件“”的概率为_____（用数字作答）【答案】【解析】【分析】根据二项分布求得，再利用二项分布概率公式求得结果.【详解】由可知：本题正确结果：【点睛】本题考查二项分布中方差公式、概率公式的应用，属于基础题.7．已知命题，命题，若命题且是真命题，则实数的取值范围是______【答案】【解析】试题分析：是真命题，则为真命题，为真命题，命题为真命题，则，命题为真命题，，则，所以．考点：1、命题的真假性；2、一元二次不等式恒成立．【方法点睛】本题主要考察存在性问题，一元二次不等式恒成立问题，存在性问题等价于或，对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：（1），（2），一元二次不等式在上恒成立，看开口方向和判别式．8．已知，设……，则……___________【答案】1023【解析】【分析】根据组合数公式性质可得；分别代入和求得和，作差即可得到结果.【详解】即：代入可得：代入可得：本题正确结果：【点睛】本题考查组合数的性质、二项展开式系数和的应用问题，对于与二项展开式系数和有关的问题，常采用特殊值的方式来求解.9．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数）．以原点O为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是,直线被曲线截得的线段长为_______【答案】【解析】【分析】将曲线的参数方程化为普通方程；直线极坐标方程化为直角坐标方程，联立后求得交点坐标，利用两点间距离公式求得线段长.【详解】由得的普通方程为：又的直角坐标方程为：联立，解得交点坐标为：，直线被曲线截得的线段长为：本题正确结果：【点睛】本题考查直线被曲线截得的弦长问题，关键是能够将参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程，进而在直角坐标系中来求解.10．下列命题错误的是__________（1）命题“若，则”的逆否命题为“若中至少有一个不为0，则”；（2）若命题：，则：；（3）中，“”是“”的充要条件；（4）若向量满足，则的夹角为钝角。

江苏省扬州市扬州中学2018-2019学年高二12月月考试数学试题(含解析)

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故答案是2 + 2 先由点到直线的距离求得距离模型，再由三角函数的性质求得最值．本题主要考查建模和解模的能力．如图是 2008 年“隆力奇”杯第 13 届 CCTV 青年歌手电视大奖赛上某一位选手的部分得分的茎叶统计图，则该选手的所有得分数据的中位数与众数之和为______．【答案】170 【解析】解：由茎叶图知，该组数据从小到大排列为： 78，84，84，84，86，87，92，94，97；则该组数据的中位数为 86，众数是 84，且86 + 84 = 170．故答案为：170．由茎叶图中的数据求出中位数和众数的值，再求和．本题考查了利用茎叶图求中位数和众数的应用问题，是基础题．如图是一个算法的伪代码，则输出的 i 的值为______．
>0
，化为：(�� + 2)(�� ‒ 1) < 0，解得 ‒ 2 < �� < 1．
∵ ��是 q 的必要不充分条件，
则实数 a 的取值范围是( ‒ ∞, ‒ 2]．故答案为：( ‒ ∞, ‒ 2]．利用不等式的解法化简 q，根据必要不充分条件即可得出范围．本题考查了不等式的基本性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 10. 若函数��(��) = (�� ‒ 1)(�� ‒ 2)(�� ‒ 3)(�� ‒ 4)，则��'(2) = ______．【答案】2 【解析】解：设��(��) = (�� ‒ 1)(�� ‒ 3)(�� ‒ 4)； ∴ ��(��) = (�� ‒ 2)��(��)； ∴ ��'(��) = ��(��) + (�� ‒ 2)��'(��)； ∴ ��'(2) = ��(2) + (2 ‒ 2)��'(2) = ��(2) = (2 ‒ 1)(2 ‒ 3)(2 ‒ 4) = 2．故答案为：2．可设��(��) = (�� ‒ 1)(�� ‒ 3)(�� ‒ 4)，从而得出��(��) = (�� ‒ 2)��(��)，求导得出 ��'(��) = ��(��) + (�� ‒ 2)��'(��)，带入�� = 2即可求出��'(2)的值．考查基本初等函数的求导，以及积的导数的求导公式．

2018-2019学年江苏省扬州中学高二数学下学期4月月考(理科)试卷含答案

江苏省扬州中学2018—2019学年第二学期月考考试高二（理）数学 2019.4一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．写出命题“2,10x C x ∀∈+>”的否定：_____________________ 2．计算()()12i i i++的结果为__________。

3．“z z =”是“z 为实数”的______________条件（选填：充要、充分不必要、必要不充分，既不充分又不必要）4．若复数z 满足(2)(1)z m m i =-++（i 为虚数单位）为纯虚数，其中m R ∈，则__________z =5．五名同学站成一排，甲不站在正中间，则不同的站法有（用数字作答）． 6. 设010211()cos ,()'(),()'(),,()'()n n f x x f x f x f x f x f x f x +====,,n N *∈则2019()f x = . 7.用数学归纳法证明不等式11111231n n n ++⋅⋅⋅≥+++(n ∈N,n ≥2) 从n =k 到n =k +1时，左边的项数增加了_____项．8. 四位外宾参观某校，需配备两名安保人员．六人依次进入校门，为安全起见，首尾一定是两名安保人员，则六人的入门顺序共有种不同的安排方案（用数字作答）． 9. 函数()ln xf x x=的单调递增区间是． 10．在ABC Rt ∆中，若,,,900a BCb AC C ===∠则三角形ABC 的外接圆半径222b a r +=，把此结论类比到空间，空间三条侧棱互相垂直的四面体，三条侧棱长分别为c b a ,,，则此三棱锥外接球的半径是r =_____________。

11．若数列{}n a 的通项公式)()1(12+∈+=N n n a n ，记)1()1)(1()(21n a a a n f -⋅⋅⋅--=，试通过计算)3(),2(),1(f f f 的值，推测出.________________)(=n f12．若已知x C 10=28-x C +18-x C +329-x C ，则x =13．已知函数()31f x x x =++,若对任意的x ,都有()()22f x a f ax ++>,则实数a 的取值范围是__________．14．对于各数互不相等的正数数组（i 1，i 2，…，i n ）（n 是不小于2的正整数），如果在p ＜q 时有i p ＜i q ，则称“i p 与i q ”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”．例如，数组（2，4，3，1）中有顺序“2，4”、“2，3”，其“顺序数”等于2．若各数互不相等的正数数组（a 1，a 2，a 3，a 4，a 5）的“顺序数”是4，则（a 5，a 4，a 3，a 2，a 1）的“顺序数”是 .二、解答题（本大题共6道题，共计90分） 15．（1）已知命题；命题函数在区间上为减函数．若命题“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值集合；（2）若集合，}，是的充分不必要条件，求实数的取值范围．16．已知z 、ω为复数，(13)i z +为实数，ω=,||2且ziω=+ （1）求|z |；（2）求ω。

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2018-2019学年江苏省扬州市高邮市高二下学期期中数学（理）试题一、填空题1．复数121izi-=-的虚部是__________.【答案】1 2 -【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算得答案．【详解】解：12(12)(1)311(1)(1)22i i iz ii i i--+===---+Q，∴复数121izi-=-的虚部是12-．故答案为：12 -．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．设离散型随机变量X的概率分布如下：则m的值为__________.【答案】1 3【解析】由离散型随机变量X的概率分布的性质能求出m的值．【详解】解：由离散型随机变量X的概率分布的性质得：1111366m+++=，解得13m=．故答案为：13．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量分布列的性质等基础知识，考查运算求解能力．3．若()2,1,3a x =r ，()1,3,9b =r ，若//a b r r，则x =__________.【答案】16【解析】利用向量共线定理即可求出．【详解】解：Q //a b rr，∴存在实数λ使得a b λ=rr，即21339x λλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得1613x λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．故答案为：16．【点睛】本题考查空间向量的共线定理，熟练掌握向量共线的充要条件是解题的关键．4．已知111095mn A =⨯⨯⨯⨯L ，则mn 为__________.【答案】77【解析】由题意根据排列数公式的定义和排列数公式的计算方法，求得m 、n 的值，可得mn 的值．【详解】解：Q 已知(1)(2)(1)11109mnA n n n n m =⨯-⨯-⋯⨯-+=⨯⨯⋯，5⨯， 11n ∴=，15n m -+=，7m ∴=，则77mn =. 故答案为：77．【点睛】本题考查排列数公式的定义和排列数公式的计算，属于基础题．5．用反证法证明命题：“a 、b N ∈，ab 能被3整除，那么a 、b 中至少有一个能被3整除”时，假设的内容应为“a 、b N ∈，ab 能被3整除，那么__________”. 【答案】a ，b 都不能被3整除【解析】根据反证法的定义对结论进行假设即可．a ，b 都不能被3整除，故答案为：a ，b 都不能被3整除. 【点睛】本题考查反证法的应用，结合反证法的定义和步骤是解决本题的关键．6．若212626x x C C -=，则x ＝__________.【答案】1或9【解析】由212626x x C C -=，再根据组合的互补性质可得26(21)2626x x C C --=，即可解得x 的值．【详解】解：由212626x x C C -=，可得：21x x =-，解得：1x =，又根据组合的互补性质可得26(21)2626x x C C --=，可得：26(21)x x =--，解得：9x =．故答案为：1或9．【点睛】本题考查了组合及组合数公式的应用，掌握组合数的性质和组合数公式是解题的关键． 7．若()626012612x a a x a x a x -=++++L ，则126a a a +++L 的值为__________. 【答案】0【解析】在所给的等式中，分别令0x =，令1x =，从而求得126a a a ++⋯+的值．【详解】解：6260126(12)x a a x a x a x -=+++⋯+Q ，令0x =，可得01a =，再令1x =，可得12611a a a +++⋯+=， 1260a a a ∴++⋯+=，故答案为：0．【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，利用赋值法是解题的关键．8．从0，1，2，3，4，5这6个数字中任取3个组成一个无重复数字的三位数，其中奇【解析】根据题意，分3步进行分析：①从1、3、5三个数中取一个排个位；②0不能在百位，则百位的安排方法有4种；③在剩下的4个数中任选1个，安排在十位，由分步计数原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分3步进行分析：①从1、3、5三个数中取一个排个位，有3种安排方法， ②0不能在百位，则百位的安排方法有4种，③在剩下的4个数中任选1个，安排在十位，有4种情况，则符合题意的奇数的个数是为34448⨯⨯=个. 故答案为：48. 【点睛】本题考查排列组合及简单的计算原理，采用特殊元素特殊位置优先考虑的方法.9．若向量()1,,1a λ=r ，()2,1,2b =-r ，且a r 与b r 夹角的余弦值为13，则λ=__________.【答案】74【解析】根据条件可求出|||3a b ==r r ，224a b λλ=-+=-rr g ，再根据,a b r r 夹角的余弦为134λ=-，解出λ即可．【详解】解：|||3a b ==r r ，224a b λλ=-+=-r r g ，又,a b rr 夹角的余弦值为13，∴||||cos ,4a b a b a b λ=<>=-rrrr r r g ，解得74λ=．故答案为：74．【点睛】本题考查空间向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，向量数量积的计算公式．10．,,,,,A B C D E F 六人并排站成一排，,A B 必须站在一起，且,C D 不能相邻，那【解析】根据题意，分2步进行分析：①将AB 两人看成一个元素，与2EF 人进行全排列，易得排好后有4个空位；②在4个空位中任选2个，安排C 、D ，由分步计数原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分2步进行分析：①将AB 两人看成一个元素，与2EF 人进行全排列，有232312A A =种排法，排好后有4个空位，②在4个空位中任选2个，安排C 、D ，有2412A =种情况，则有1212144⨯=种不同的排法. 故答案为：144. 【点睛】本题考查排列、组合的应用，注意常见的相邻和不相邻问题的处理方法有捆绑法和插空法．11．已知某人每次投篮投中的概率均为13，计划投中3次则结束投篮，则此人恰好在第5次结束投篮的概率是__________. 【答案】881【解析】第五次结束投篮，则前四次有两次投中，且第五次投中，根据独立重复试验的知识处理即可．【详解】解：依题意，恰好在第五次结束投篮，则前四次有两次投中，且第五次投中，所以概率为：22241118()(1)33381p C =⨯⨯-⨯=．故答案为：881．【点睛】本题考查独立重复试验的知识，利用了二项分布求概率的公式．12．学校安排5名学生到3家公司实习，要求每个公司至少有1名学生，则有__________种不同的排法. 【答案】150【解析】根据题意，分2步分析：①先将5名学生分成3组，分2种情况分类讨论；②【详解】解：根据题意，分2步进行分析： ①先将5名学生分成3组，若分成1、1、3的三组，有1135432210C C C A =种分组方法，若分成1、2、2的三组，有1225422215C C C A =种分组方法，则有101525+=种分组方法；②再将分好的三组全排列，对应三个公司，有336A =种情况，则有256150⨯=种不同的安排方式. 故答案为：150. 【点睛】本题考查排列、组合的应用，注意本题计算安排方式时用到分组涉及平均分组与不平均分组问题．13．六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体.如图甲在平行四边形ABCD 中，有()22222AC BD AB AD+=+，那么在图乙中所示的平行六面体1111ABCD A B C D-中，若设底面边长和侧棱长分别为3,4,5，则22221111AC BD CA DB +++＝______.【答案】200【解析】根据四边形11A BCD ，四边形11AB C D ，四边形ABCD 均是平行四边形得出结论．【详解】解：Q 四边形11A BCD 和四边形11AB C D 都是平行四边形，22221112()AC D B BC A B ∴+=+， 22221112()AC DB AB AD +=+，22221112()AB A B AB AA ∴+=+，22222222111112[2()]AC BD CA DB BC AD AB AA ∴+++=+++ 22214()4(91625)200AD AB AA =++=++=，即22221111200AC BD CA DB +++=.故答案为：200. 【点睛】本题考查棱柱的结构特征，考查转化能力和计算能力． 14．在数学上，常用符号来表示算式，如记ni i a =∑=0123n aa a a a +++++L ，其中*n N ∈.若51nn b =-，记11[(1)]ni in i n i d b C ==+-∑，且不等式(1)n n t d b ⋅-≤对任意的n 为正偶数恒成立，则实数t 的最大值是__________. 【答案】32【解析】借助于二项式系数的性质化简可得(4)1n n d =-+，代入不等式(1)n n t d b -g„，可求出n 为正偶数时t 的最大值．【详解】解：当51nn b =-时，11[(1)]ni in i n i d b C ==+-∑=()11[(1)51]niiini C =+--∑=()0[(1)51]niii ni C =--∑=()0[5][(1)]1nnii ii nni i C C ==---+∑∑(15)(11)1(4)1n n n =---+=-+，即(4)1n n d =-+，将51nb =-，(4)1n d =-+代入不等式(1)t d b -g„中得，(4)51n n t --g „，∴当n 为正偶数时，22513()()442t -=„．故答案为：32．【点睛】本题考查二项式系数的性质和不等式恒成立问题，体现了数学转化思想方法．二、解答题15．已知复数()23z a a i =+-，i 为虚数单位，a R ∈. （1）若z 是实数，求实数a 的值；（2）若z =a 的值；（3）若z 在复平面内对应的点位于第四象限，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）32；（2）302a <<.（3）302a << 【解析】（1）直接由虚部等于0求实数a 的值；（2）由|z |=a 的方程组求实数a 的值；（3）由题意，实部大于0且虚部小于0，联立不等式组求解．【详解】解：（1）若a 为实数，则230a -=，∴32a =. （2）z ===∴251240a a -+=，∴()()5220a a --=， ∴2a =或25a =. （3）由z 在复平面内对应的点位于第四象限得0230a a >⎧⎨-<⎩，∴302a <<.【点睛】本题考查复数的基本概念，考查复数模的求法，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．16．在n的展开式中，前3项的系数成等差数列，（2）求展开式中二项式系数最大的项；（3）求展开式中含2x -的项的系数. 【答案】（1）8n =（2）358x （3）1256 【解析】（1）根据前3项的系数成等差数列，利用等差数列的定义求得n 的值；（2）根据通项公式、二项式系数的性质求展开式中二项式系数最大的项；（3）在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于2-，求出r 的值，即可求得含2x -的项的系数．【详解】解：（1）因为前3项的系数成等差数列，且前三项系数为0121124n n n C C C ，，，所以1214n n n C C C =+，即2980n n -+=，所以1n =（舍去）或8n =.（2）因为8n =，所以展开式中二项式系数最大的项为第五项，即44458358T Cx ==.（3）通项公式：38441881,082r rr rrr r T C C x r r N --*+⎛⎫==≤≤∈ ⎪⎝⎭，由3424r-=-，8r ∴=，可得含x 的项的系数为88811()2256C =g . 【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质． 17．一批产品共10件，其中()05n n n N*<<∈，件是不合格品，从中随机抽取2件产品进行检验，记抽取的不合格产品数为ξ.若先随机抽取1件，放回后再随机抽取1件，当抽到不合格产品数1ξ=时，概率为2150. （1）求n 的值；（2）若一次性随机抽取2件，求抽到不合格产品数ξ的分布列及数学期望. 【答案】（1）3n =（2）详见解析以求出n 的值．（2）随机变量ξ可取的值为0，1，2，且ξ服从超几何分布，~(2H ξ，3，10)，由此求出ξ的分布列和()E ξ．【详解】解：（1）随机变量ξ服从二项分布，(2,)10nξ～B ，则()122111101050n n P C ξ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，所以210210n n -+=，解得：3n =或7n =，因为05n n N *<<∈，，所以3n =.（2）随机变量ξ可取的值为0，1，2，且ξ服从超几何分布，(2,3,10)H ξ～，于是02372107(0)15C C P C ξ⋅====， 11372107(1)15C C P C ξ⋅====， 20372101(2)15C C P C ξ⋅====. 因此ξ的分布列可表示为下表：所以()77130121515155E ξ=⨯+⨯+⨯=. 答：抽到不合格产品数ξ的数学期望为35.【点睛】等基础知识，考查运算求解能力．18．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ，8OA =，6OB =，8OP =，OP ⊥底面ABCD ，设点M 满足(01)PM MC λλ=<<u u u u r u u u u r.（1）若13λ=，求二面角M AB C --的大小；（2）若直线PA 与平面BDM 10λ的值. 【答案】（1）4π（2）12λ= 【解析】(1)以O 为原点建立坐标系，求出平面MAB 和平面ABC 的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小；()2用λ表示出平面BDM 的法向量n r ，令|cos PA <u u u r ，10|n >=r ，计算λ的值. 【详解】解：（1）以O 为坐标原点，建立坐标系O ABP -，则(8,0,0)A ，(0,6,0)B ，(8,0,0)C -，(0,6,0)D -，(0,0,8)P ，所以(8,6,0)AB =-u u u r ，13PM MC =u u u u r u u u u r ，设(),,M x y z ，则()()1,,88,,3x y z x y z -=----， ()2,0,6M ∴-，所以()266BM =--u u u u r ，，，易知平面ABC 的一个法向量1=(0,0,1)n u r ，设平面MAB 的一个法向量为()2,,n x y z =u u r ，则8602660x y x y z -+=⎧⎨--+=⎩，345x y z =⎧⎪∴=⎨⎪=⎩，所以()23,4,5n =u u r ，121212cos 2n n n n n n ⋅∴===u r u u r u r u u r u r u u r ，，由图形可得，二面角M AB C --为锐角，所以二面角M AB C --的大小为4π. （2）()()808,0120PA DB =-=u u u r u u u r ，，，，，13PM MC =u u u u r u u u u r ，设(),,M x y z ，则()(),,88,,x y z x y z λ-=----，88,0,11M λλλ-⎛⎫∴ ⎪++⎝⎭，所以88,6,11BM λλλ-⎛⎫=- ⎪++⎝⎭u u u u r ，设平面BDM 的一个法向量(),,n x y z =r ，则886011120x y z y λλλ-⎧-+=⎪++⎨⎪=⎩，令z λ=，则()1,0,4n πλ=r ，88PA n PA n λ==⋅=-u u u r r u u r r ，，因为直线PA 与平面BDMcos ,PA n PA n PA n ⋅===⋅u u u r r u u u r r u u u r r ， 22520λλ∴-+=，解得：122λλ==或 01λ<<Q ，12λ∴=.【点睛】本题考查空间向量的坐标运算和利用空间向量法计算空间二面角和线面角，考查计算能力．19．已知数列{}n a 的通项公式为()()22121n n a n n =-+，它的前n 项和为n S . （1）求1S ，2S ，3S 的值；（2）是否存在实数a ，b ，c 使得24n an bn S n c+=+对一切n *∈N 都成立？若存在，求出a ，b ，c 的值，并用数学归纳法证明，若不存在，说明利用.【答案】（1）123136,,357S S S .===（2）存在；1,1,2a b c === 【解析】（1）直接利用赋值法的应用求出结果；（2）利用数学归纳法的应用求出结果．【详解】解：（1）由已知得：当1n =时，解得：1113a S ==，当2n =时，2121433155S a a =+=+=．当3n =时，312367S a a a =++=．（2）由（1）得：13413421582693712a b c a a b b c c a b c +⎧=⎪+=⎧⎪+⎪⎪=∴=⎨⎨+⎪⎪=⎩+⎪=⎪+⎩，所以()()2222121335212142n n n n n n ++++=⨯⨯-++L 对于一切n *∈N 都成立，证明如下：当1n =时，左边211133==⨯，右边1114123+==⨯+，所以等式成立；假设()1,n k k k N *=≥∈时等式成立，即()()2222121335212142k k k k k k ++++=⨯⨯-++L ，当1n k =+时，()()()()()()22222212(1)1335211212123(1)1142212321223k k ++k k k k k k k k k k k k k k k +++⨯⨯+++++++⎛⎫=+=+ ⎪+++++⎝⎭L()()()()()()()()()22212125212122321223121146412k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++==+++++++++==+++所以，当1n k =+时等式成立.由①②知等式成立，即存在1,1,2a b c ===，使得242n n n S n +=+对于一切n *∈N 都成立. 【点睛】本题考查数列的通项公式的求法及应用，数学归纳法的证明及应用，主要考查学生的转换能力．20．在集合{1,2,3,,2}A n =L 中，任取()*,m m n m N ≤∈个元素构成集合m A .若m A 的所有元素之和为偶数，则称m A 为集合A 的偶子集，其个数记为(,)f n m ；若m A 的所有元素之和为奇数，则称m A 为集合A 的奇子集，其个数记为(,)g n m .（1）求(3,2)f ，(3,3)f 的值；（2）求()()()(4,2)5,26,2,2f f f f n ++++L ；（结果用含n 的多项式表示）（3）当n 为偶数时，证明：(),f n n ＋(),g n n ＝2nn C . 【答案】（1）()3,26f =；()3,310f =（2）3243n n --（3）证明见解析【解析】（1）读题看懂定义，利用计数原理求解即可；（2）首先算出通项2(,2)2n f n C =，其它各项均可写出，然后组合数性质公式计算即可；（3）令{1P =，3，5，⋯，21}n -，{2Q =，4，6，8，⋯，2}n ，当n 为偶数时，从集合A 中取n 个元素，其和为偶数，可从集合P 中取0个元素、Q 中取n 个元素；也可从P 中取2个元素，Q 中取2n -个元素；也可从P 中取4个元素，Q 中取4n -个元素；⋯⋯，分类表示结果，再写出(,)f n n 和(,)g n n ，利用二项式定理计算结果．【详解】解：（1）当3n =时，1,2,3,4,6{}5,A =，从集合A 中取两个元素，且和为偶数，则可取2个奇数，也可取2个偶数，所以()22333,26f C C =+=，从集合A 中取三个元素，且和为偶数，则可取2个奇数1个偶数，也可取3个偶数，所以()2133333,310f C C C =+=；（2）从集合A 中取两个元素，且和为偶数，则可取两个奇数，也可取2个偶数，故()2,22n f n C =，所以()()()(4,2)5,26,2,2f f f f n ++++L ＝()22224562n C C C C ++++L ()322223445642n C C C C C C =+++++-L ()333142423n n n C C +--=-=；（3）令{1,3,5,,21},{2,4,6,8,,2}P n Q n =-=L L ，当n 为偶数时，从集合A 中取n 个元素，其和为偶数，可从集合P 中取0个元素、Q 中取n 个元素，也可从P 中取2个元素，Q 中取2n -个元素，也可从P 中取4个元素，Q 中取4n -个元素，故()0220,n n n n n n n n n f n n C C C C C C -=+++L ，同理()113311,n n n n n n n n n g n n C C C C C C ---=+++L ，所以()(),,f n n g n n +＝011220n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C --++++L ，设()()21n x x ϕ=+，则()g x 展开式中n x 的系数为2n n C ，又()()()11n nx x x ϕ=++，其展开式中n x 的系数为011220n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C --++++L ，所以()0220,n n n n n n n n n f n n C C C C C C -=+++L ＝2n n C .【点睛】本题考查集合、函数和二项式定理的综合题型，难度系数较大．。