(新课标)高中数学 3.2 函数模型及其应用课件 新人教A版必修1
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【新教材】新人教A版 高中数学必修一 函数模型及其应用 课件
单调_递__增_
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大 逐渐表现为 与_y__轴__平行
随x的增大 逐渐表现为 与_x__轴__平行
随n值变化 而各有不同
值的比较
存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax
3．解函数应用问题的4步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系， 初步选择函数模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化 为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型； (3)解模：求解函数模型，得出数学结论； (4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题． 以上过程用框图)一根蜡烛长 20 cm，点燃后每小时燃烧 5 cm，燃
烧时剩下的高度 h(cm)与燃烧时间 t(h)的函数关系用图象表示为
图中的
()
答案：B 2．已知某种动物繁殖量 y(只)与时间 x(年)的关系为 y＝alog3(x
＋1)，设这种动物第 2 年有 100 只，到第 8 年它们发展到 ________只．
如图所示抛物线的一段．已知跳水板AB长为2 m，跳水板距水面CD的高BC为3 m．为安全 和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳
点A处水平距h m(h≥1)时达到距水面最大高度 4 m，规定：以CD为横轴，BC为纵轴建立直 角坐标系． (1)当h＝1时，求跳水曲线所在的抛物线方程； (2)若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到比较好的训练效 果，求此时h的取值范围． 解：由题意，最高点为(2＋h,4)，(h≥1)．设抛物线方程为y＝ a[x－(2＋h)]2＋4．
1．几类函数模型
函数模型 一次函数模型
反比例函 数模型
-函数模型及其应用(人教A版必修1)课件
-函数模型及其应用(人教A版必修1)
下面再看累计的回报数,通过计算器或计算机列表如下：
天数
回报/元
123 4
5
6
方案
一
40 80 120 160 200 240
二
10 30 60 100 150 210
三
0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2
-函数模型及其应用(人教A版必修1)
天数
回报/元
9 40
0
90
10 102.4 51.2
10 40
0
100
10 204.8 102.4
……
…
…
…
…
…
30 40
0
300
10 21474 107374182
8364. .4
8
-函数模型及其应用(人教A版必修1)
再作出三个函数的图象（图3.2-1）。
-函数模型及其应用(人教A版必修1)
由表3-4和图3.2-1可知，方案一的函数是常数函数， 方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与 方案二的函数的增长情况很不同.
-函数模型及其应用(人教A版必修1)
问1：例2涉及了哪几类函数模型？本例的本质是什么？ 问2：你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否
符合公司要求吗？ 问3：通过对三个函数模型增长差异的比较，你能写出例
2的解答吗？
-函数模型及其应用(人教A版必修1)
分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个 模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖 金不超过利润的25%，由于公司的总的利润目标为 1000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总 的利润.于是，只需在区间[10，1000]上，检验三 个模型是否符合公司要求即可.
下面再看累计的回报数,通过计算器或计算机列表如下：
天数
回报/元
123 4
5
6
方案
一
40 80 120 160 200 240
二
10 30 60 100 150 210
三
0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2
-函数模型及其应用(人教A版必修1)
天数
回报/元
9 40
0
90
10 102.4 51.2
10 40
0
100
10 204.8 102.4
……
…
…
…
…
…
30 40
0
300
10 21474 107374182
8364. .4
8
-函数模型及其应用(人教A版必修1)
再作出三个函数的图象（图3.2-1）。
-函数模型及其应用(人教A版必修1)
由表3-4和图3.2-1可知，方案一的函数是常数函数， 方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与 方案二的函数的增长情况很不同.
-函数模型及其应用(人教A版必修1)
问1：例2涉及了哪几类函数模型？本例的本质是什么？ 问2：你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否
符合公司要求吗？ 问3：通过对三个函数模型增长差异的比较，你能写出例
2的解答吗？
-函数模型及其应用(人教A版必修1)
分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个 模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖 金不超过利润的25%，由于公司的总的利润目标为 1000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总 的利润.于是，只需在区间[10，1000]上，检验三 个模型是否符合公司要求即可.
【成才之路】2014-2015学年高中数学 3.2.2 函数模型的应用实例课件 新人教A版必修1
当该顾客购买茶杯 40 个时，采用优惠办法 (1) 应付款 y1 ＝
5×40＋60＝260元；采用优惠办法(2)应付款y2＝4.6×40＋73.6 ＝257.6元，由于y2<y1，因此应选择优惠办法(2).
2
2
二次函数模型问题与函数的图象
西部山区的某种特产由于运输原因，长期只能
在当地销售，当地政府对该项特产的销售投资收益为：每年投 1 入 x 万元，可获得利润 P＝－160(x－40)2＋100(万元)．当地政 府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方 案为： 在规划前后对该项目每年都投入 60 万元的销售投资， 在 未来 10 年的前 5 年中， 每年都从 60 万元中拨出 30 万元用于修 建一条公路，5 年修成，通车前该特产只能在当地销售；
●温故知新
旧知再现 1．常见的函数模型 kx k为常数，k≠0)； (1)正比例函数模型：f(x)＝____(
k (2)反比例函数模型：f(x)＝____( x k为常数，k≠0)；
(3)一次函数模型：f(x)＝________( kx＋b k，b为常数，k≠0)； ax2＋bx＋c a ， b ， c 为常数， (4) 二次函数模型： f(x) ＝ ____________(
(1)分别求出通话费y1、y2与通话时间x之间的函数关系式； (2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜．
[分析]
由题目可获取以下主要信息： (1)通过图象给出函
数关系， (2) 函数模型为直线型， (3) 比较两种函数的增长差 异．解答本题可先用待定系数法求出解析式，然后再进行函数 值大小的比较．
1 又由题设 P＝－160(x－40)2＋100 知， 每年投入 30 万元时， 795 利润 P＝ 8 (万元)． 前 5 年的利润和为 795 2 775 8 ×5－150＝ 8 (万元)．
新人教A版必修一函数模型的应用课件(21张)
解应用题类似,故称为方程法.
题型一
题型二
题型三
已知函数模型的应用题
【例1】 灌满开水的热水瓶放在室内,如果瓶内开水原来的温度
是θ1 ℃,室内气温是θ0 ℃,t min后,开水的温度可由公式θ=θ0+(θ1θ0)e-kt求得,这里k是一个与热水瓶类型有关的正的常量.现有一只某
种类型的热水瓶,测得瓶内水温为100 ℃,过1 h后又测得瓶内水温
∴2=
e2 ; ∴k=2ln
2,∴y=e2tln 2=22t.
∴当t=5时,y=22×5=1 024.
答案:2ln 2
1 024
题型一
题型二
题型三
建立函数模型的应用题
【例2】 某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是
M(单位:亿元)和N(单位:亿元),它们与投资额t(单位:亿元)的关系有
1
数问题,即实际问题函数化;
第三步:运用所学的数学知识和数学方法解答函数问题,得出函
数问题的解;
第四步:将所得函数问题的解还原成实际问题的结论,要注意检
验所得的结论是否符合实际问题的意义.
题型一
题型二
题型三
【变式训练2】 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.记
鲑鱼的游速为v(单位:m/s),鲑鱼的耗氧量的单位数为Q,研究中发现
− 2 log3 100
= 1.
1
∴ 2 log3 2 = 1, ∴ 2 = 9, 即Q2=9Q1.
1
1
故鲑鱼要想把游速提高1 m/s,其耗氧量单位数应变为原来的9倍.
题型一
题型二
题型三
易混易错题
易错点 求函数最值时忽略了实际情况对函数定义域的限制
题型一
题型二
题型三
已知函数模型的应用题
【例1】 灌满开水的热水瓶放在室内,如果瓶内开水原来的温度
是θ1 ℃,室内气温是θ0 ℃,t min后,开水的温度可由公式θ=θ0+(θ1θ0)e-kt求得,这里k是一个与热水瓶类型有关的正的常量.现有一只某
种类型的热水瓶,测得瓶内水温为100 ℃,过1 h后又测得瓶内水温
∴2=
e2 ; ∴k=2ln
2,∴y=e2tln 2=22t.
∴当t=5时,y=22×5=1 024.
答案:2ln 2
1 024
题型一
题型二
题型三
建立函数模型的应用题
【例2】 某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是
M(单位:亿元)和N(单位:亿元),它们与投资额t(单位:亿元)的关系有
1
数问题,即实际问题函数化;
第三步:运用所学的数学知识和数学方法解答函数问题,得出函
数问题的解;
第四步:将所得函数问题的解还原成实际问题的结论,要注意检
验所得的结论是否符合实际问题的意义.
题型一
题型二
题型三
【变式训练2】 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.记
鲑鱼的游速为v(单位:m/s),鲑鱼的耗氧量的单位数为Q,研究中发现
− 2 log3 100
= 1.
1
∴ 2 log3 2 = 1, ∴ 2 = 9, 即Q2=9Q1.
1
1
故鲑鱼要想把游速提高1 m/s,其耗氧量单位数应变为原来的9倍.
题型一
题型二
题型三
易混易错题
易错点 求函数最值时忽略了实际情况对函数定义域的限制
高中数学人教新课标A版：函数模型及其应用 课件
其中 S(单位：克)代表 t 分钟末未溶解糖块的质量，则 k＝
Байду номын сангаас()
A．ln 2
B．ln 3
C．ln52
D．ln53
解析：由题意可得，当t＝0时，S＝a＝7，因为在第5分钟末测得的未溶解糖
块的质量为3.5克，所以3.5＝7e－5k，解得k＝ln52. 答案：C
2．(好题分享——新人教A版必修第一册P154T1改编)
答案：B
2．(函数与方程)某商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数 据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若零售价每降低(升高)0.5 元，则可多(少)销售40瓶，在每月的进货当月销售完的前提下，为获得最大 利润，销售价应定为________元/瓶． 解析：设销售价每瓶定为x元，利润为y元，则y＝(x－3)·400＋40－.5x×40 ＝ 80(x－3)(9－x)＝－80(x－6)2＋720(x≥3)，所以x＝6时，y取得最大值．
品的年利润比不投入广告费时的年利润增加了31.5－17＝14.5(万元)，故答案
为14.5.
答案：14.5
3．某商场从生产厂家以每件 20 元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为 p 元，销售量为 Q 件，则销售量 Q(单位：件)与零售价 p(单位：元)有如下 关系：Q＝8 300－170p－p2，求最大毛利润． 解：设毛利润为 L(p)元， 则由题意知 L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20) ＝(8 300－170p－p2)(p－20) ＝－p3－150p2＋11 700p－166 000， 所以 L′(p)＝－3p2－300p＋11 700. 令 L′(p)＝0， 解得 p＝30 或 p＝－130(舍去)． 当 p∈(0,30)时，L′(p)＞0； 当 p∈(30，＋∞)时，L′(p)＜0， 故 L(p)在 p＝30 时取得极大值，即最大值，且最大值为 L(30)＝23 000.
高中数学 3.2函数模型及其应用课件 新人教A版必修1
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17
探究 2 用函数有关的知识建立数学模型，难点是理解题意， 把实际问题数学化，建立数学模型一定要过好三关：
①事理关：通过阅读、理解，明白问题讲的是什么，熟悉实 际背景，为解题打开突破口．
②文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言， 用数学式子表达数字关系．
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18
③数理关：在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行 检索，从而认定或构建相应的数学模型．
00..78＝ ＝91a6＋ a＋3b4＋ b＋c，c， 0.5＝25a＋5b＋c，
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13
消去 c 化简，得79aa＋ ＋bb＝ ＝0－.10，.3，
解得 ab＝ ＝－1.50，.2， c＝－2.
所以
p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－15t2－125t＋21265＋4156－2＝－
1 5
t－1452＋1136，所以当 t＝145＝3.75 时，p 取得最大值，即最佳加
工时间为 3.75 分钟．
【答案】 B
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14
题型二 根据条件建立函数模型
例2 某市原来民用电价为0.52 元/kwh.换装分时电表后， 峰时段(早上八点到晚上九点)的电价为0.55 元/kwh，谷时段(晚 上九点到次日早上八点)的电价为0.35 元/kwh.对于一个平均每月 用电量为200 kwh的家庭，要使节省的电费不少于原来电费的 10%，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为多少kwh?
16
【解析】 ①原来电费 y1＝0.52×200＝104(元)． ②设峰时用电为 x kwh，电费为 y. 则 y＝x×0.55＋(200－x)×0.35≤0.9 y1， 即 0.55x＋70－0.35x≤93.6， 则 0.2x≤23.6，x≤118. 答：这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为 118 kwh.
高中数学 3.2函数模型及其应用课件1 新人教A版必修1
2
2
2
例2：在各项均为正数的等比数列{an}中，若a5a6=9， 则log3a1+log3a2+……+log3a10=
（ A ） 1； 2B ） （ 1； 0C ） （ 8D ） lo5g 3
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3
1、解答（思路）
例1：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么该 曲线的离心率为
（ A ） 3；B （ ） 6；C （ ） 3；D （ ） 2
（A）0；
（B）1；
（C）2；
（D）-1
解答： a=0、1、2都不行
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选D
12
9、解答（思路）
例9：直线x+ay=2a+2与ax+y=a+1平行的充分必要条件是
（ A ） a 1 ； B ） a （ 1 ； C ） a （ 1 ； D ） a （ 1
2
2
解答： a=1不平行，a=1/2 平行
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21
14、解答（思路）
例16：在各项均为正数的等比数列{an}中，若a5a6=9， 则log3a1+log3a2+……+log3a10=
（ A ） 1； 2B ） （ 1； 0C ） （ 8D ） lo5g 3 解答：取an=a，得a=3，选B
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22
16、解答（思路）
例16：一个平行四边形的两邻边分别为a,b，若分别依 次绕这两边旋转，则所得旋转体体积之比等于
3
7
（C）7 或 5
5
7
例13：若loga2<logb2<0,则
（B）7 或 4
4
7
（D）7 或 6
高中数学 3.2函数模型及其应用课件6 新人教A版必修1
高考对函数图象的考查形式多样，命题形式主要有由 函数的性质及解析式选图；由函数的图象来研究函数的性 质、图象的变换、数形结合解决问题等，其重点是基本初 等函数的图象以及函数的性质在图象上的直观体现.
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10
题型一 知式选图问题
B 1．函数y＝1－x－1 1的图像是(
)
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11
2．(2012·衡水调研)函数 y＝ln(1－x)的图像大致为
之，对于平移变换，记忆口诀为：左加右减，上加下减．
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34
(2)伸缩变换
y＝f(ax)(a>0)的图象，可将 y＝f(x)的图象上所有点的
1 横 坐标变为原来的 a
倍， 纵 坐标不变 而得到．
y＝af(x)的图象，可将 y＝f(x)的图象上所有点的 横 坐标 不变， 纵 坐标伸长为原来的 a倍．
a－ 1 <1<a 4
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21
• 绘制函数图象的一般方法 • 描点法和图象变换法． •能利用函数图象研究函数的性质, 达到
识图、作图、用图的目的.
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22
1 (2010·山东)函数 y＝2x－x2 的图象大致是( A).．
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23
2► (2011·山东)函数 y＝2x－2sin x 的图象大致是( )．
与 y＝f(1－x)的图像关于( )
A．直线 y＝0 对称
B．直线 x＝0 对称
C．直线 y＝1 对称
D．直线 x＝1 对称
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28
【解析】 (1)设P(x，y)为函数y＝g(x)上任意一点， 则点P(x，y)关于点(1,0)的对称轴点Q(2－x，－y)在函数y ＝f(x)图像上，即
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10
题型一 知式选图问题
B 1．函数y＝1－x－1 1的图像是(
)
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11
2．(2012·衡水调研)函数 y＝ln(1－x)的图像大致为
之，对于平移变换，记忆口诀为：左加右减，上加下减．
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34
(2)伸缩变换
y＝f(ax)(a>0)的图象，可将 y＝f(x)的图象上所有点的
1 横 坐标变为原来的 a
倍， 纵 坐标不变 而得到．
y＝af(x)的图象，可将 y＝f(x)的图象上所有点的 横 坐标 不变， 纵 坐标伸长为原来的 a倍．
a－ 1 <1<a 4
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21
• 绘制函数图象的一般方法 • 描点法和图象变换法． •能利用函数图象研究函数的性质, 达到
识图、作图、用图的目的.
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22
1 (2010·山东)函数 y＝2x－x2 的图象大致是( A).．
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23
2► (2011·山东)函数 y＝2x－2sin x 的图象大致是( )．
与 y＝f(1－x)的图像关于( )
A．直线 y＝0 对称
B．直线 x＝0 对称
C．直线 y＝1 对称
D．直线 x＝1 对称
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28
【解析】 (1)设P(x，y)为函数y＝g(x)上任意一点， 则点P(x，y)关于点(1,0)的对称轴点Q(2－x，－y)在函数y ＝f(x)图像上，即
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方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多 回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前 一天翻一番. 请问，你会选择哪种投资方案？
问1：在例1中，涉及哪些数量关系？如何用函数描 述这些数量关系？
问2：根据例1表格中所提供的数据，你对三种方案 分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？
不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象， 得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果.
解：借助计算器或计算机作出函数y=0.25x， y=log7x+1，y=1.002x的图象（图3.2-2）
y 8 y=0.25x 7 6 5 4 3 2 1
y=1.002x
y=5 y=log7x+1
O 200 400 600 800 1000 x
问1：例2涉及了哪几类函数模型？本例的本质是什么？ 问2：你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否
符合公司要求吗？ 问3：通过对三个函数模型增长差异的比较，你能写出例
2的解答吗？
分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个 模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖 金不超过利润的25%，由于公司的总的利润目标为 1000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总 的利润.于是，只需在区间[10，1000]上，检验三 个模型是否符合公司要求即可.
从每天所得回报看，在第1~3天，方案一最多；在 第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第 5~8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个 方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿 元.
下面再看累计的回报数,通过计算器或计算机列表如下：
天数
回报/元
123 4
5
6
方案
一
40 80 120 160 200 240
第三章 函数的应用 3.2 函数模型及其应用
3.2.1 几类不同增长的函数模型（1）
一、实例分析 投资回报和选择奖励模型两个实例，让学生
对直线上升、指数爆炸与对数增长有一个感性的 认识，初步发现当自变量变得很大时，指数函数 比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长 得快.（底数a>0）
例1. 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资 方案供你选择，这三种方案的回报如下：
观察图象发现，在区间[10,1000]上，模型 y=0.25x，y=1.002x的图象都有一部分在直线y=5的上 方，只有模型y=log7x+1的图象始终在y=5的下方，这 说明只有按模型y=log7x+1进行奖励时才符合公司的 要求.
下面通过计算确认上述判断.
首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万. 对于模型y=0.25x，它在区间[10,1000]上递增， 而且当x=20时，y=5，因此，当x>20时，y>5，所以 该模型不符合要求； 对于模型y=1.002x，由函数图象，并利用计算 器，可知在区间(805,806)内有一个点x0满 足1.00x20 5，由于它在区间[10,1000]上递增，因此 当x>x0时，y>5，所以该模型也不符合要求；
二
10 30 60 100 150 210
三
0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2
天数
回报/元
7 8 9 10 11
方案
一
280 320 360 400 400
二
280 360 450 550 660
三
50.8 102 204.4 409.2 818.8
因此，投资1~6天，应选择方案一； 投资7天，应选择方案一或方案二； 投资8~10天，应选择方案二； 投资11天（含11天）以上，则应选择方案三.
问3：你能借助计算器做出函数图象，并通过图象描 述一下三个方案的特点吗？
问4：由以上的分析，你认为应当如何做出选择？
分析：我们可以先建立三种投资方案所对应的函 数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投 资方案提供依据.
解：设第x天所得回报是y元， 则方案一可以用函数y=40(x∈N*)进行描述； 方案二可以用函数y=10x(x∈N*)进行描述； 方案三可以用函数y=0.4×2x-1(x∈N*)进行描述. 三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是
……
…
…
…
…
…
30 40
0
300
10 21474 107374182
8364. .4
8
再作出三个函数的图象（图3.2-1）。
由表3-4和图3.2-1可知，方案一的函数是常数函数， 方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与 方案二的函数的增长情况很不同.
可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分 别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变， 而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的， 从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这 种增长速度是方案一、方案二所无法企及的.
递增函数模型.要对三个方案作出选择，就要对它们 的增长情况进行分析.
我们先用计算器或计算机计算一下三种方案所得回报
的增长情况（表3-4）。
x
方案一
方案二
方案三
/ y/元 增加量/元 y/元 增加量/元 y/元 增加量/元 天
1 40
10
0.4
2 40
0
20
10
0.8
0.4
3 40
0
30
10
1.6
0.8
4 40
0
40
10
3.2
1.6
5 40
0
50
10
6.4
3.2
x/
方案一
方案二
方案三
天 y/元 增加量/元 y/元 增加量/元 y/元 增加量/元
6 40
60
12.8
7 40
0
70
10பைடு நூலகம்
25.6 12.8
8 40
0
80
10
51.2 25.6
9 40
0
90
10 102.4 51.2
10 40
0
100
10 204.8 102.4
对于模型y=log7x+1，它在区间[10,1000]上递增， 而且当x=1000时，y=log71000+1≈4.55<5，所以它 符合奖金总数不超过5万元的要求.
例2. 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定 一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元 时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随 销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数 不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖 励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪个模 型能符合公司的要求？
问1：在例1中，涉及哪些数量关系？如何用函数描 述这些数量关系？
问2：根据例1表格中所提供的数据，你对三种方案 分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？
不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象， 得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果.
解：借助计算器或计算机作出函数y=0.25x， y=log7x+1，y=1.002x的图象（图3.2-2）
y 8 y=0.25x 7 6 5 4 3 2 1
y=1.002x
y=5 y=log7x+1
O 200 400 600 800 1000 x
问1：例2涉及了哪几类函数模型？本例的本质是什么？ 问2：你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否
符合公司要求吗？ 问3：通过对三个函数模型增长差异的比较，你能写出例
2的解答吗？
分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个 模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖 金不超过利润的25%，由于公司的总的利润目标为 1000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总 的利润.于是，只需在区间[10，1000]上，检验三 个模型是否符合公司要求即可.
从每天所得回报看，在第1~3天，方案一最多；在 第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第 5~8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个 方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿 元.
下面再看累计的回报数,通过计算器或计算机列表如下：
天数
回报/元
123 4
5
6
方案
一
40 80 120 160 200 240
第三章 函数的应用 3.2 函数模型及其应用
3.2.1 几类不同增长的函数模型（1）
一、实例分析 投资回报和选择奖励模型两个实例，让学生
对直线上升、指数爆炸与对数增长有一个感性的 认识，初步发现当自变量变得很大时，指数函数 比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长 得快.（底数a>0）
例1. 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资 方案供你选择，这三种方案的回报如下：
观察图象发现，在区间[10,1000]上，模型 y=0.25x，y=1.002x的图象都有一部分在直线y=5的上 方，只有模型y=log7x+1的图象始终在y=5的下方，这 说明只有按模型y=log7x+1进行奖励时才符合公司的 要求.
下面通过计算确认上述判断.
首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万. 对于模型y=0.25x，它在区间[10,1000]上递增， 而且当x=20时，y=5，因此，当x>20时，y>5，所以 该模型不符合要求； 对于模型y=1.002x，由函数图象，并利用计算 器，可知在区间(805,806)内有一个点x0满 足1.00x20 5，由于它在区间[10,1000]上递增，因此 当x>x0时，y>5，所以该模型也不符合要求；
二
10 30 60 100 150 210
三
0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2
天数
回报/元
7 8 9 10 11
方案
一
280 320 360 400 400
二
280 360 450 550 660
三
50.8 102 204.4 409.2 818.8
因此，投资1~6天，应选择方案一； 投资7天，应选择方案一或方案二； 投资8~10天，应选择方案二； 投资11天（含11天）以上，则应选择方案三.
问3：你能借助计算器做出函数图象，并通过图象描 述一下三个方案的特点吗？
问4：由以上的分析，你认为应当如何做出选择？
分析：我们可以先建立三种投资方案所对应的函 数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投 资方案提供依据.
解：设第x天所得回报是y元， 则方案一可以用函数y=40(x∈N*)进行描述； 方案二可以用函数y=10x(x∈N*)进行描述； 方案三可以用函数y=0.4×2x-1(x∈N*)进行描述. 三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是
……
…
…
…
…
…
30 40
0
300
10 21474 107374182
8364. .4
8
再作出三个函数的图象（图3.2-1）。
由表3-4和图3.2-1可知，方案一的函数是常数函数， 方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与 方案二的函数的增长情况很不同.
可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分 别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变， 而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的， 从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这 种增长速度是方案一、方案二所无法企及的.
递增函数模型.要对三个方案作出选择，就要对它们 的增长情况进行分析.
我们先用计算器或计算机计算一下三种方案所得回报
的增长情况（表3-4）。
x
方案一
方案二
方案三
/ y/元 增加量/元 y/元 增加量/元 y/元 增加量/元 天
1 40
10
0.4
2 40
0
20
10
0.8
0.4
3 40
0
30
10
1.6
0.8
4 40
0
40
10
3.2
1.6
5 40
0
50
10
6.4
3.2
x/
方案一
方案二
方案三
天 y/元 增加量/元 y/元 增加量/元 y/元 增加量/元
6 40
60
12.8
7 40
0
70
10பைடு நூலகம்
25.6 12.8
8 40
0
80
10
51.2 25.6
9 40
0
90
10 102.4 51.2
10 40
0
100
10 204.8 102.4
对于模型y=log7x+1，它在区间[10,1000]上递增， 而且当x=1000时，y=log71000+1≈4.55<5，所以它 符合奖金总数不超过5万元的要求.
例2. 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定 一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元 时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随 销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数 不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖 励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪个模 型能符合公司的要求？