2019-2020学年湖南省益阳市资阳区第六中学高二上学期期中考试数学试题

2019-2020学年湖南省益阳市资阳区第六中学高二上学期期中考试数学试题★祝考试顺利★ 注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第I 卷（选择题)一、单选题（每小题5分，共60分）1.若命题p ：x R ∀∈，2210x ->，则该命题的否定是（ ）A. 0x R ∃∈，20210x -< B. x R ∀∈，2210x -≥ C. 0x R ∃∈，20210x -≤D. x R ∀∈，2210x -<【答案】C 【解析】 【分析】根据全称与存在性命题互为否定的关系，准确改写，即可求解.【详解】由题意，根据全称与存在性命题的关系，可得命题p ：x R ∀∈，2210x ->，则该命题的否定是“0x R ∃∈，20210x -≤”.故选C.【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题和存在性命题的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.2.如图所示茎叶图记录了甲乙两组各5名同学的数学成绩甲组成绩中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示若两个小组的平均成绩相同，则下列结论正确的是（ ）A. 2X =，22S S <甲乙 B. 2X =，22S S >甲乙 C. 6X =，22S S <甲乙D. 6X =，2，22S S >甲乙【答案】A 【解析】 【分析】根据两个小组的平均成绩相同，得到甲乙两组的总和相同，建立方程即可解得X 的值，利用数据集中的程度，可以判断两组的方差的大小． 【详解】∵两个小组的平均成绩相同，∴8072747463X +++++8183706566=++++， 解得：2X =，由茎叶图中的数据可知，甲组的数据都集中在72附近，而乙组的成绩比较分散，∴根据数据分布集中程度与方差之间的关系可得22S S <甲乙，故选A ．【点睛】本题主要考查茎叶图的应用，要求熟练掌握平均数和方差的定义和判断方法，比较基础．3.在△ABC 中，若ab<cosC ，则△ABC 为（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理化简已知不等式，求得cos 0B <，由此判断出三角形的形状.【详解】依题意cos a C b <，由余弦定理得2222a a b c b ab+-<，化简得2220a c b +-<，所以222cos 02a c b B ac+-=<，故B 为钝角，所以三角形为钝角三角形.【点睛】本小题主要考查利用余弦定理判断三角形的形状，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.4.在一个不透明的箱子中装有4件同型号的产品，其中合格品3件、不合格品1件，现在从这4件产品中随机抽取2件检测，则抽到的都是合格品的概率是（ ） A.14B.13C.12D.34【答案】C 【解析】 【分析】列举出这4件产品中随机抽取2件的基本事件和抽到的都是合格品的基本事件，根据古典概型的概率公式即可求解.【详解】记合格品为,,a b c 不合格为d这4件产品中随机抽取2件的基本事件为：()()()()()(),,,,,,,,,,,a b a c a d b c b d c d 抽到的都是合格品的基本事件为()()(),,,,,a b a c b c 即抽到的都是合格品的概率3162P == 故答案选C【点睛】本题主要考查了古典概型求概率问题，属于基础题.5.已知椭圆C ：22213x y a +=的一个焦点为()1,0，则C 的离心率为（ ）A.13B.12C.2D.3【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆的简单性质，利用椭圆的焦点坐标得到c 的值，再根据222a b c =+求得a ，最后代入离心率公式．【详解】椭圆222:13x y C a +=的一个焦点为(1,0)，可得231a -=，解得2a =，所以椭圆的离心率为：12c e a ==． 故选B.【点睛】本题考查利用,a c 的值求解椭圆的离心率，考查简单的运算求解能力．6.已知平面α，β和直线1l ，2l ，且2αβl =I ，则“12l l P ”是“1l αP 且1l β∥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】将“12l l P ”与“1l αP 且1l β∥”相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件. 【详解】当“12l l P ”时，1l 可能在α或β内，不能推出“1l αP 且1l β∥”.当“1l αP 且1l β∥”时，由于2αβl =I ，故“12l l P ”.所以“12l l P ”是“1l αP 且1l β∥”的必要不充分条件. 故选B.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查空间直线、平面的位置关系，属于基础题.7.某调研机构随机调查了2019年某地区n 名业主物业费的缴费情况，发现缴费金额（单位：万元）都在区间[]0.5,1.1内，其频率分布直方图如图所示，若第五组的频数为32，则样本容量n =（）A. 200B. 400C. 800D. 1600【答案】B 【解析】 【分析】先计算出第5组的频率，利用频数除以频率求得样本容量.【详解】根据频率分布直方图，第五组的频率为0.80.10.08⨯=，又第五组的频数为32，所以样本容量为324000.08n ==. 故选B.【点睛】本小题主要考查利用频率分布直方图计算样本容量，考查图表分析能力，属于基础题.8.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且2a =，2b =30B =o ，则cos A =( )A. 22-B.22C. 22±D.12【答案】C 【解析】 【分析】 由正弦定理得：22sin A =，解得2sin 2A =，即可求出cos A . 【详解】由正弦定理得：22sin A =，解得2sin A =45A ︒=或135︒， 当45A ︒=时，2cos A =当135A ︒=时，cos A =. 故选C.【点睛】本题考查了利用正弦定理解三角形，考查了计算能力，属于基础题.9.O 为坐标原点，F 为抛物线2:4C y x =的焦点，P 为C 上一点，若4PF =，则POF V 的面积为C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的标准方程24y x =可得抛物线的焦点坐标和准线方程,设出(,)P x y ,由PF =4以及抛物线的定义列式可得(1)4x --=,即3x =,再代入抛物线方程可得点P 的纵坐标,再由三角形的面积公式1||2S y OF =可得. 【详解】由24y x =可得抛物线的焦点F (1,0),准线方程为1x =-,如图:过点P 作准线1x =- 的垂线,垂足为M ,根据抛物线的定义可知PM =PF =4,设(,)P x y ,则(1)4x --=,解得3x =,将3x = 代入24y x =可得y =±,所以△POF 的面积为1||2y OF ⋅=112⨯=故选B .【点睛】本题考查了抛物线的几何性质,定义以及三角形的面积公式,关键是①利用抛物线的定义求P 点的坐标;②利用OF 为三角形的底,点P 的纵坐标的绝对值为高计算三角形的面积.属中档题.10.已知矩形ABCD 中，4,3AB AD ==.如果向该矩形内随机投一点P ，那么使得ABP ∆与ADP ∆的面积都不小于2的概率为（ ）A.14B.13C.47D.49【答案】D 【解析】，由题意知本题是一个几何概型的概率， 以AB 为底边，要使面积不小于2， 由于122ABP S AB h h V =⨯=，则三角形的高要h ⩾1,同样,P 点到AD 的距离要不小于43，满足条件的P 的区域如图， 其表示的区域为图中阴影部分,它的面积是()41643133⎛⎫--= ⎪⎝⎭， ∴使得△ABP 与△ADP 的面积都不小于2的概率为：1643439=⨯. 故选D.11.在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，且a =b =cos 4B =，则c =( )B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合余弦定理2222cos2a c b B ac +-===，可求出答案.【详解】由余弦定理可得：2222cos2a c b B ac +-===，解得c =c =，因为0c >，所以c = B.【点睛】本题考查了余弦定理的运用，考查了学生的计算能力，属于基础题. 12.已知0a b >>，椭圆1C 方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 与2C的离心率之积为2，则2C 的渐近线方程为 ）A. 0x ±= 0y ±= C. 20x y ±= D. 20x y ±=【答案】A 【解析】 【分析】,a b 将离心率表示出来，构造一个关于,a b 的方程，然后解出b a的值，从而得到双曲线渐近线方程． 【详解】设椭圆和双曲线的半焦距为12,c c ，则1212c c e e a a ⋅=⋅===所以2b a =，所以双曲线2C 的渐近线方程为：2b y x x a =±=±，即x o ±=，故选A. 【点睛】本题考查椭圆与双曲线的离心率即双曲线的渐近线方程求离心率直接构造出关于,a c 的方程从而求出e ，求双曲线渐近线方程则只需构造,a b 的方程，从而解出ba，便可得到渐近线方程．第II 卷（非选择题)二、填空题（每小题5分，共20分） 13.在ABC ∆中，1a =，60b B ==o ，则A =___________．【答案】6π【解析】 【分析】由正弦定理即可求出sin A ，结合三角形大边对大角的性质即可求出答案. 【详解】由正弦定理，sin sin a b A B=，则sin 1sin 2a B A b ==，(0,)A π∈，且a b <，即A B <，故6A π=.所以本题答案为6π. 【点睛】本题考查正弦定理的应用和三角形大边对大角的性质，注意仔细审题，认真计算，属基础题.14.若x ，y 满足约束条件10050y x y x y +⎧⎪-⎨⎪+-⎩……„，则3z x y =+的最大值为_________.【答案】10 【解析】 【分析】根据线性规划限定条件画出可行域，再通过30x y +=平移找出最值即可【详解】画出可行域知，当:30l x y +=平移到过点55,22⎛⎫⎪⎝⎭时，max 10z =.则3z x y =+的最大值为10【点睛】本题主要考察了根据线性规划求目标函数的最值问题，相对简单，解题方法一般为先画出可行域，再将目标函数转化为斜截式，通过判断目标函数值与截距的关系，找出目标点，求出最值即可15.某校有高一学生n 名，其中男生数与女生数之比为6:5，为了解学生的视力情况，现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为10n的样本，若样本中男生比女生多12人，则n =_______．【答案】1320 【解析】 【分析】 依题意可得6512111110n⎛⎫-⨯=⎪⎝⎭，解之即得解.【详解】依题意可得6512111110n⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭，解得1320n =. 故答案为1320【点睛】本题主要考查分层抽样，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 16.以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A B 、为两个定点，K 为非零常数，若PA PB K -=,则动点P 的轨迹是双曲线； ②方程22520x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；③双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=有相同的焦点；④已知抛物线22y px =，以过焦点的一条弦AB 为直径作圆，则此圆与准线相切，其中真命题为__________．（写出所有真命题的序号） 【答案】②③④ 【解析】A 、B 为两个定点，K 为非零常数，若|PA|﹣|PB|=K ，当K=|AB|时，动点P 的轨迹是两条射线，故①错误；方程2x 2﹣5x+2=0的两根为12和2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故②正确； 双曲线225x ﹣29y =1的焦点坐标为0），椭圆235x ﹣y 2=1的焦点坐标为0），故③正确；设AB 为过抛物线焦点F 的弦，P 为AB 中点，A 、B 、P 在准线l 上射影分别为M 、N 、Q ， ∵AP+BP=AM+BN ∴PQ=12AB ， ∴以AB 为直径作圆则此圆与准线l 相切，故④正确 故正确的命题有：②③④ 故答案为②③④三、解答题（本大题共7小题，共70分）17.已知命题2:60p k k --≤，命题q ：方程2241yx k k+=--表示焦点在x 轴上的双曲线.（1）命题q 为真命题，求实数k 的取值范围；（2）若命题“p q ∨”为真，命题“p q ∧”为假，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）()1,4k ∈（2）[]()2,13,4k ∈-U 【解析】 【分析】（1）由题意得到()()40410k k k ->⎧⎨--<⎩，求解，即可得出结果；（2）先由题意，得到,p q 一真一假，分别讨论p 真q 假，p 假q 真，两种情况，即可求出结果.【详解】解：（1）若q 为真命题，则方程()()221441x y k k k +=---中， ()()40410k k k ->⎧⎨--<⎩，解得()1,4k ∈； （2）若命题“p q ∨”为真，“p q ∧”为假，则,p q 一真一假， 1）若p 真q 假，则231,4k k k -≤≤⎧⎨≤≥⎩或，[]2,1k ∴∈-2）若p 假q 真，则2,314k k k ⎧-⎨<<⎩或，()3,4k ∴∈综上，[]()2,13,4k ∈-U【点睛】本题主要考查由命题真假求参数的问题，会根据或且非的真假判断原命题真假即可，属于常考题型.18.某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表（1）画出散点图．观察散点图，说明两个变量有怎样的相关性.(2)用最小二乘法计算利润额y 对销售额x 的回归直线方程． (3)当销售额为4(千万元)时，估计利润额的大小.其中()()()1111222ˆˆˆi i i i i i n ni i i i n n x x y y x y nxy b x x x nx a y bx====⎧∑--∑-⎪==⎪⎨∑-∑-⎪⎪=-⎩【答案】（1）见解析（2）ˆ0.50.4yx =+（3）2.4(百万元) 【解析】 【分析】（1）根据所给的这一组数据，得到5个点的坐标，把这几个点的坐标在直角坐标系中描出对于的点，即可得到散点图，可判断为正相关；（2）根据这组数据，利用最小二乘法求得ˆˆ,ab 的值，即可求解回归直线的方程； （3）利用作出的回归直线方程，把4x =的值代入方程，估计出对应的y 的值.【详解】（1）根据所给的这一组数据，得到5个点的坐标：(3,2),(5,3),(6.3),(7,4),(9,5)，把这几个点的坐标在直角坐标系中描出对应的点，得到如下的散点图：（2）设回归直线的方程是：ˆˆˆybx a =+， 由表格中的数据，可得6, 3.4x y ==，又由121()()3( 1.4)(1)(0.4)10.63 1.6ˆ9119()niii ni i x x y y bx x ==---⨯-+-⨯-+⨯+⨯==+++-∑∑101202==11ˆ 3.220.446ay x =--⨯==，即ˆ0.50.4y x =+ ∴y 对销售额x 的回归直线方程为ˆ0.50.4yx =+ （3）当销售额为4(千万元)时，利润额为：0.50.4ˆ4y=⨯+＝2.4(百万元). 【点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解及其应用，其中解答中正确求得线性回归直线的方程的系数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.19.某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100）作为样本（样本容量为n ）进行统计，按照[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100的分组作出频率分布直方图，已知得分在[)50,60，[]90,100的频数分别为8，2．（1）求样本容量n 和频率分布直方图中的,x y 的值； （2）估计本次竞赛学生成绩的中位数；（3）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[]90,100内的概率． 【答案】(1)；(2)；(3).【解析】【详解】试题分析：(1)借助题设条件运用频率分布直方图求解；(2)借助题设条件运用频率分布直方图中提供的数据信息求解；(3)运用列举法和古典概型计算公式求解.试题解析：（1）由题意可知，样本容量n=80.01610⨯=50，，x=0.100﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.040=0.030；（2）设本次竞赛学生成绩的中位数为m，平均分为x，则[0.016+0.03]×10+（m﹣70）×0.040 =0.5，解得71m=，x=（55×0.016+65×0.030+75×0.040+85×0.010+95×0.004]×10=70.6，（3）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有5人，记这5人分别为a1，a2，a3，a4，a5，分数在[90，100]内的学生有2人，记这2人分别为b1，b2．抽取的2名学生的所有情况有21种，分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，a5），（a3，b1），（a3，b2），（a4，a5），（a4，b1），（a4，b2），（a5，b1），（a5，b2），（b1，b2）．其中2名同学的分数都不在[90，100]内的情况有10种，分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a3，a4），（a3，a5），（a4，a5）．∴所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率101112121p=-=.考点：频率分布直方图、频率与频数的关系及古典概型的计算公式等有关知识的综合运用．【易错点晴】本题以学校中的数学竞赛的数学成绩的抽样统计的频率分布直方图为背景,设置了三个较为平常的数学问题.解答时一定要充分利用题设中提供的频率分布直方图所提供的数据信息,结合题设条件进行求解.第一问中求的是频率分布直方图中的未知数的值,运用该频率分布直方图时一定要注意该图的纵坐标是频率与组距的比值,这一点解题很容易被忽视.第二问中求的是中位数和平均数,求解时先依据中位数这个概念建立了方程求解,再运用平均数公式进行求解；第三问是运用简单枚举法一一列举出基本事件的所有可能和符合条件的事件的可能,最后运用古典概型的计算公式求出其概率的值.这是一道非常平常的考查基础知识和基本方法的基础题.20.设椭圆()222210x y a b a b +=>>的左焦点为()2,0F -，且椭圆经过点2,5⎛- ⎝⎭. （1）求椭圆的方程；（2）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB （B 为椭圆上顶点）与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上.若ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率.【答案】(1) 2215x y +=；(2) 5±. 【解析】 【分析】（1）由椭圆的焦点得2c =，再把点2,⎛ ⎝⎭代入椭圆方程求得a ，进而得到椭圆的方程； （2）设00(,)P x y ，先求出直线PB 的方程，得到点M 的坐标，再由OP MN ⊥，得到斜率相乘为1-，结合点P 在椭圆上，求得点P 的坐标，再代入斜率公式，即可得到答案.【详解】（1）由已知得2c =，所以椭圆的方程为222214x y a a +=-，因为点2,5⎛- ⎝⎭在椭圆上，所以224115(4)a a +=-，解得25a =， 因为222541b a c =-=-=，所以椭圆的方程为2215x y +=.（2）设00(,)P x y ，由（1）知(0,1)B ，因为ON OF =，所以(0,2)N -，所以PB 的方程为0011y y x x -=+， 当0y =时，001x x y =-，所以00(,0)1x M y -， 因为OP MN ⊥，所以20000002172501OP MN y k k y y x x y ⋅=⋅=-⇔--=-，解得：057y =-，因为00(,)P x y在椭圆上，所以0x =所以5()77P ±-，所以515PB k --==±.【点睛】本题考查待定系数法求椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系求与直线的斜率，考查简单的几何关系坐标化求解的思想.21.在锐角△ABC 中，a b c 、、分别为A 、B 、C2sin c A = （1）确定角C 的大小；（2）若c，求△ABC 周长的取值范围． 【答案】（1）C =60°；（2），． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得sin C 的值，根据三角形是锐角三角形求得C 的大小.（2）利用正弦定理将,a b 转化为角度来表示，求得三角形ABC 周长的表达式，利用三角函数求取值范围的方法，求得三角形ABC 周长的取值范围. 【详解】解:（1）已知a 、b 、c 分别为A 、B 、C 所对的边，＝2csinA ，＝2sinCsinA ，又sinA ≠0，则∴C=60°或C =120°,∵△ABC 为锐角三角形，∴C =120°舍去．∴C =60° （2）∵c，sinC=2∴由正弦定理得：sin sinB sinCa b cA ====,即sinA ，sinB ，又A+B=π-C =23π， 即B=23π-A∴（sinA+sinB ） [sinA+sin （23π-A ）（sinA+sin23πcosA-cos 23πsinA ）（sinAcos 6π+cosAsin 6π）sin （A +6π），∵△ABC 是锐角三角形， ∴6π＜A ＜2π，sin （A+6π）≤1，则△ABC ，．【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查利用正弦定理进行边角互化，考查三角恒等变换，考查三角函数取值范围的求法，属于中档题.22.已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，若点P 在C 上，点E 在l 上，且PEF ∆是边长为8的正三角形． （1）求C 的方程；（2）过点()1,0的直线n 与C 交于,A B 两点，若23FA FB ⋅=-u u u r u u u r，求FAB ∆的面积．【答案】（1）2y 8x =；（2）． 【解析】 【分析】()1根据等边三角形的性质，即可求出p 的值，则抛物线方程可求；()2设过点()1,0的直线n 的方程为x ty 1=+，联立直线方程与抛物线方程，得2y 8ty 80.--=利用根与系数的关系结合FA FB 23⋅=-u u u r u u u r求得t ，进一步求出AB 与F 到直线的距离，代入三角形面积公式求解．【详解】() 1由题知，PF PE =，则PE ⊥l ． 设准线l 与x 轴交于点D ，则PE //DF ．又PEF V 是边长为8的等边三角形，PEF 60∠=o ，EFD 60∠∴=o ，1DF EF cos EFD 842∠=⋅=⨯=，即p 4=． ∴抛物线C 的方程为2y 8x =；()2设过点()1,0的直线n 的方程为x ty 1=+，联立2y 8xx ty 1=⎧=+⎨⎩，得2y 8ty 80--=．设()11A x ,y ，()22B x ,y ，则12y y 8t +=，12y y 8=-．()()()212121212x x ty 1ty 1t y y t y y 11=++=+++=． ()21212x x t y y 28t 2+=++=+．由FA FB 23⋅=-u u u r u u u r，得()()()()11221212x 2,y x 2,y x 2x 2y y -⋅-=--+()()2121212x x 2x x 4y y 128t 24823=-+++=-++-=-，解得t 1=±．不妨取t 1=，则直线方程为x y 10--=．2221212AB 1t (y y )4y y 283283=+⋅+-=⋅+=．而F 到直线x y 10--=的距离1212d 22⨯-==． FAB ∴V 的面积为12832622⨯⨯=．【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程的求解、及直线与抛物线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．- 21 -。